一元二次方程综合复习(含知识点和练习)(含答案)

一元二次方程

本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容：建立一元二次方程

此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的[拓展应用]的例4及其变式题，[课时作业]的第6、7题。

１．一元二次方程的概念

此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计[拓展应用]的例1、例3，[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。

2.一元二次方程的解的含义

利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计[拓展应用]的例2，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。

点击一：一元二次方程的定义

答案：（5）

针对练习。

答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。故m≠－3

点击二：一元二次方程的一般形式

元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c＝0（a≠0）的一般形式.其中，尤其注意a≠0的条件，有了a≠0的条件，就能说明ax2+bx+c＝0是一元二次方程.若不能确定a≠0，并且b≠0，则需分类讨论：当a≠0时，它是一元二次方程；当a＝0时，它是一元一次方程.

针对练习3:

答案：原方程化为一般形式是:5x2+8x－2=0(若写成－5x2－8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).

点击三：一元二次方程的根的定义的意义

一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程

ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根，则m 必然满足该方程，将m 代入该方程，便有am 2

+bm +c ＝0（a ≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使am 2+bm +c ＝0（a ≠0）成立，则m 一定是ax 2+bx +c ＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.

针对练习

答案： m 3

+2m 2

+2009＝m 3

+ m 2

+m 2

+2009＝m （m 2

+ m ）+ m 2

+2009＝m+ m 2

+2009＝1+2009＝2010.

类型之一：一元二次方程的定义

例1.关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？ 【解析】先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.

【解答】由mx 2－3x=x 2－mx+2得到（m －1）x 2+（m －3）x －2=0,所以m －1≠0，即m≠1.所以关于x 的方程232

2+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足m ≠1.

【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了.当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.

类型之二：考查一元二次方程一般形式

一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是已知数，a≠0），其中a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数c 叫做常数项．只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．这里特别要注意各项系数的符号。

例2一元二次方程（x+1）2

－x==3（x 2

－2）化成一般形式是 .

【解析】一元二次方程一般形式是ax 2+bx+c=0（a≠0），对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x 2－x －7=0。

【解答】2x 2－x －7=0

类型之三：考查一元二次方程的解

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。

例3已知关于x 的一元二次方程（m －2）x 2

+3x+（m 2

－4）=0有一个解是0，求m 的值。 【解析】；因为0是方程的解，所以m 2－4=0，m=±2。又因为方程是关于x 的一元二次方程，所以二次项系数m －2≠0、m≠2，所以m 的值是－2。

【解答】m=－2

【点拨】本题逆用一元二次方程解的定义易得出m 的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m －2≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析。

类型之四：综合应用

例4. 已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程）

【解析】这是一道结论开放题，答案不唯一，解这类题的一般思路有两种：一种思路是根据根的定义，写一个含有1的等式，例如0312152=-⨯-⨯，再把1换成x ：

03252=--x x ；也可根据等式性质，由x=1，可得x+2=1+2，两边再平方得9

)2(2=+x 即可。

【解答】答案不唯一。例如：9)2(2=+x 等。

1.下列方程中的一元二次方程是( )

A.3(x+1)2=2(x －1)

B.

21x +x

1

－2=0 C.ax 2+bx+c=0 D.x 2+2x=(x+1)(x －1) 【解析】A 注意一元二次方程中二次项系数不能为0,并且最高为二次. 2.把方程－5x 2+6x+3=0的二次项系数化为1,方程可变为( ) A.x 2+

56x+53=0 B.x 2－6x －3=0 C.x 2－56x －53=0 D.x 2－56x+5

3=0 【解析】C 注意方程两边除以－5,另两项的符号同时发生变化. 3. 已知关于x 的方程(m －3)7

2-m x

－x=5是一元二次方程，求m 的值.

【解析】利用一元二次方程的定义，要注意二次项系数不为0的条件.

【解答】由题意,得m 2

－7=2且m －3≠0，所以只能取m=－3，即当m=－3时，方程(m －3)7

2-m x

－x=5是一元二次方程.

1.将方程3x 2＝2x －1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( )

A. 3,2,－1

B. 3,－2,－1

C. 3,－2,1

D. －3,－2,1 【解析】C 将方程3x 2＝2x －1化成一元二次方程的一般形式，可化为3x 2－2x ＋1＝