【创新设计】2015-2016学年高中数学 第三章 直线与方程章末检测(A)新人教A版必修2
高中数学必修2第三章《直线与方程》单元检测卷含解析
高中数学必修2第三章《直线与方程》单元检测卷含解析必修2第三章《直线与方程》单元检测卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若直线过点(1,2)，(4,2+3)，则此直线的倾斜角是()A。
30° B。
45° C。
60° D。
90°2.如果直线ax+2y+2=与直线3x-y-2=平行，则系数a为()A。
-3 B。
-6 C。
-2/3 D。
2/33.下列叙述中不正确的是()A。
若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应。
B。
每一条直线都有唯一对应的倾斜角。
C。
与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°。
D。
若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα。
4.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与直线y=x+a的图象（如图所示）正确的是（选项不清晰，无法判断）5.若三点A(3,1)，B(-2,b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于()A。
2 B。
3 C。
9 D。
-96.过点(3，-4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是()A。
x+y+1=0 B。
4x-3y=0 C。
4x+3y=0 D。
4x+3y=0或x+y+1=07.已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(-2，-3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A。
4 B。
13 C。
15 D。
178.设点A(2，-3)，B(-3，-2)，直线过P(1,1)且与线段AB 相交，则l的斜率k的取值范围是()A。
k≥3/4或k≤-4/3 B。
-4/3≤k≤3/4 C。
-3≤k≤4 D。
以上都不对9.已知直线l1：ax+4y-2=与直线l2：2x-5y+b=互相垂直，垂足为(1，c)，则a+b+c的值为()A。
-4 B。
20 C。
高中数学第三章《直线与方程》单元测试题新人教a版必修
高中数学第三章《直线与方程》单元测试题新人教A版必修2(共3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2第三章《直线与方程》单元测试题人教A 必修2一、选择题：1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（ ）Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０°2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=A 、 -3B 、-6C 、23D 、323.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）274. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（ ）Ａ m ＝－３，n ＝１０ Ｂ m ＝３，n ＝１０Ｃ m ＝－３，n ＝５ Ｄ m ＝３，n ＝５5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0C 3x-y+6=0D 3x+y+2=06.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,则Ｌ的方程是（）Ａx-2y+3=0 B 2x-y-3=0C 2x+y-5=0D x+2y-4=07. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）8. 直线022=++=++nyxmyx和的位置关系是（A）平行（B）垂直（C）相交但不垂直（D）不能确定9. 如图1，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有A. k1<k3<k2B. k3<k1<k2C. k1<k2<k3D. k3<k2<k110.已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（）（A）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0二、填空题：11.已知点)4,5(-A和),2,3(B则过点)2,1(-C且与BA,的距离相等的直312．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 .13．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 .14．原点Ｏ在直线Ｌ上的射影为点Ｈ（－２，１），则直线Ｌ的方程为 .三、解答题：15. ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程；3的②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是105直线的方程.16.直线x+m2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，求实数m的值.4517.已知直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点（1，0），求直线l 的方程.参考答案：；；；；；；；；；.+4y-7=0或x=-1;+y-3=0或2x-y=0;13.261;+5=0; 15. (1)3x+4y+23=0或3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0. =0或m=-1;=1或3x-4y-3=0.。
高中数学 第三章 直线与方程章末综合检测(含解析)新人
【优化方案】2013-2014学年高中数学 第三章 直线与方程章末综合检测（含解析）新人教A 版必修2(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．135°解析：选D.由题意知，k ＝－1，故倾斜角为135°.2．已知直线的斜率k ＝－43，且直线不过第一象限，则直线的方程可能是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0解析：选B.∵k ＝－43，排除A 、D ，又直线不过第一象限，在y 轴上截距小于0，故选B.3．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－6 C.32 D.23 解析：选B.由题意得a ·(－1)－2·3＝0，∴a ＝－6.4．过点P (－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y ＋7＝0解析：选A.由所求直线垂直于直线x －2y ＋3＝0，可得所求直线的斜率为k ＝－2，则由直线方程的点斜式可得所求直线为y －3＝－2(x ＋1)，即2x ＋y －1＝0. 5．不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( )A.⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9，－4)解析：选D.将所给直线方程分解后按是否含参数进行分类，得m (x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0.所以直线过两直线的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4，所以直线恒过定点(9，－4)．6．若动点P 到点F (1,1)和直线3x ＋y －4＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x －3y ＋2＝0 C ．x ＋3y －2＝0 D ．3x －y ＋2＝0解析：选B.点F (1,1)在直线3x ＋y －4＝0上，则过点F (1,1)且垂直于已知直线的直线为所求．7．直线l 过点A (3,4)，且与点B (－3,2)的距离最远，则直线l 的方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．3x ＋y ＋13＝0 D ．3x ＋y －13＝0解析：选D.当l ⊥AB 时符合要求，∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k 1＝－3，∴直线l 的方程为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.8．已知直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m ＋n －p 等于( )A ．0B ．4C ．20D ．24解析：选A.由两直线垂直得－m 4·25＝－1，解得m ＝10.直线为10x ＋4y －2＝0. 又∵垂足为(1，p )，∴10＋4p －2＝0， ∵p ＝－2，∴2＋10＋n ＝0，∴n ＝－12.∴m ＋n －p ＝10－12＋2＝0.9．已知△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2,3)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选B.由两点间距离，得 |AB |＝(5－1)2＋(－1－1)2＝20， |AC |＝(5－2)2＋(－1－3)2＝5， |BC |＝(1－2)2＋(1－3)2＝5，∴|AB |2＋|BC |2＝|AC |2，∴△ABC 为直角三角形．10．直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (4,0)为端点的线段相交，则l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－25，5 B.⎣⎡⎭⎫－25，0∪(0,5] C.⎝⎛⎦⎤－∞，－25∪[5，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－25，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，5 解析：选C.设l ，P A ，PB 的倾斜角分别为θ，α1，α2，∵l 与线段AB 相交，∴α1≤θ≤α2，又tan α1＝5，tan α2＝－25，且α1∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴k ≥5或k ≤－25. 二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上) 11．△ABC 中，点A (4，－1)，AB 的中点为M (3,2)，重心为P (4,2)，则边BC 的长为________． 解析：∵B (2,5)，C (6,2)，∴|BC |＝5. 答案：512．平行四边形ABCD 的三个顶点依次为A (3，－2)，B (5,2)，C (－1,4)，则D 点坐标是________．解析：设D (x ，y )，则k AD ＝k BC ，k AB ＝k CD ，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x －3＝－13，y －4x ＋1＝2，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0，即D (－3,0)．答案：(－3,0)13．已知点A (－2,4)与直线l ：x ＋y ＋4＝0，P 是直线l 上一动点，则|P A |的最小值为________．解析：当P A ⊥l 时，P A 最小，即为点A 到直线l 的距离，所以|P A |的最小值为|－2＋4＋4|2＝3 2.答案：3 214．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与(－2,0)重合，且点(2 011,2 012)与点(m ，n )重合，则n －m ＝________.解析：∵(－2,0)与(0,2)两点重合， ∴这张纸的折痕为y ＝－x .∴(2 011,2 012)与(－2 012，－2 011)重合，故n －m ＝(－2 011)－(－2 012)＝1. 答案：115．已知a ，b ，c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，且m 2＋n 2为直线上的点到原点的距离的平方．当两直线垂直时，距离最小．故d ＝|a ·0＋b ·0＋2c |a 2＋b2＝2c a 2＋b2＝2cc ＝2，所以m 2＋n 2≥4. 答案：4三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．求倾斜角为直线y ＝－x ＋1的倾斜角的13，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－4,1)；(2)在y 轴上的截距为－10.解：由于直线y ＝－x ＋1的斜率为－1，所以其倾斜角为135°，由题意知所求直线的倾斜角为45°，所求直线的斜率k ＝1.(1)由于直线过点(－4,1)，由直线的点斜式方程得y －1＝x ＋4，即x －y ＋5＝0. (2)由于直线在y 轴上的截距为－10，由直线的斜截式方程得y ＝x －10，即x －y －10＝0.17．已知点A (1,1)，B (2,2)，点P 在直线y ＝12x 上，求|P A |2＋|PB |2取得最小值时P 点的坐标．解：设P (2t ，t )，则|P A |2＋|PB |2＝(2t －1)2＋(t －1)2＋(2t －2)2＋(t －2)2＝10t 2－18t ＋10.当t ＝910时，|P A |2＋|PB |2取得最小值，即P ⎝⎛⎭⎫95，910. 18．已知正方形的中心为G (－2,0)，一边所在直线方程为x ＋3y －4＝0，求其他三边所在直线的方程．解：正方形中心G (－2,0)到四条边的距离均为|－2－4|12＋32＝610. 设正方形与已知直线平行的一边所在直线的方程为x ＋3y ＋c 1＝0(c 1≠－4)，则|－2＋c 1|10＝610，即|c 1－2|＝6，解得c 1＝－4(舍去)或c 1＝8，所以与已知直线平行的边所在直线的方程为x ＋3y ＋8＝0.设正方形另一组对边中的一边所在直线的方程为3x －y ＋c 2＝0，则|3×(－2)＋c 2|10＝610，即|c 2－6|＝6，解得c 2＝0或c 2＝12，所以正方形另两边所在直线的方程为3x －y ＋12＝0,3x －y ＝0.19．已知直线l 1：y ＝2x ，直线l ：y ＝3x ＋3.求l 1关于l 的对称直线l 2的方程．解：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x y ＝3x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－6.∴l 1与l 的交点为P (－3，－6)，且此点在所求直线l 2上．在直线y ＝2x 上取点O (0,0)，它关于直线y ＝3x ＋3的对称点为M ⎝⎛⎭⎫－95，35， 由两点式可得l 2的方程为11x －2y ＋21＝0.法二：设P (x ，y )是直线l 2上任一点，点P 关于直线l ：y ＝3x ＋3的对称点为P 1(x 1，y 1)，由P 1P ⊥l ，且PP 1的中点在l 上得y －y 1x －x 1＝－13，y ＋y 12＝3·x ＋x 12＋3.解得x 1＝－45x ＋35y －95，y 1＝35x ＋45y ＋35.∵P 1(x 1，y 1)在直线l 1上，即y 1＝2x 1，∴35x ＋45y ＋35＝2⎝⎛⎭⎫－45x ＋35y －95， 整理得11x －2y ＋21＝0. ∴l 2的方程为11x －2y ＋21＝0.20．已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解：(1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)， 所以点(m ，－1)在l 1、l 2上，将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1. 又因为m ＝1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m ×(－1)－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1，所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.。
《创新设计》2015-2016学年(人教版,必修二)高中数学第三章直线与方程3.3.3
课堂讲义
2．当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时，可利用数形结合来 解决． (1)两直线都与 x 轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2， 则 d＝|x2－x1|； (2)两直线都与 y 轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2， 则 d＝|y2－y1|.
课堂讲义
• 跟踪演练2 求与直线l：5x－12y＋6＝0平 行且与直线l距
2y＋3＝0之间的距离．
解 法一 在直线 l1：2x－y－1＝0 上任取一点，不妨取点 P(0，－1)
则点 P 到直线 l2：4x－2y＋3＝0 的距离为
d＝|4×0＋4－2＋2×－2－21＋3|＝
5 2
∴l1
与
l2
间的距离为
5 2.
课堂讲义
法二 将直线 l2 的方程化为：2x－y＋32＝0.
课堂讲义
法二 经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴ 2|＋52λ＋2＋λ－1－5|2λ2＝3， 即 2λ2－5λ＋2＝0， 解得 λ＝2 或12， ∴l 的方程为 4x－3y－5＝0 或 x＝2.
课堂讲义
|C1－C2| ＋C2＝0 之间的距离 d＝_____A_2_＋__B_2__.
课堂讲义
要点一 点到直线的距离 例 1 求点 P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝34x＋41； (2)y＝6； (3)x＝4.
课堂讲义
解 (1)把方程 y＝34x＋41写成 3x－4y＋1＝0，由点到直线的 距离公式得 d＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158. (2)法一 把方程 y＝6 写成 0·x＋y－6＝0，由点到直线的距 离公式得 d＝|0×3＋02＋－122－6|＝8. 法二 因为直线 y＝6 平行于 x 轴，所以 d＝|6－(－2)|＝8. (3)因为直线 x＝4 平行于 y 轴，所以 d＝|4－3|＝1.
高中数学第三章直线与方程章末质量检测含解析新人教A版必修20904171
高中数学第三章直线与方程章末质量检测含解析新人教A版必修20904171一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过A (2,0)，B (5,3)两点的直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．90° D ．60°解析：∵A (2,0)，B (5,3)，∴直线AB 的斜率k ＝3－05－2＝1.设直线AB 的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)， 则tan θ＝1，∴θ＝45°.故选A. 答案：A2．经过点A (2，－1)，B (－4,5)的直线的一般式方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x ＋y －1＝0解析：因为直线过A (2，－1)，B (－4,5)，所以由直线方程的两点式得直线方程为y －－15－－1＝x －2－4－2，化为一般式得x ＋y －1＝0. 答案：D3．直线－x 2＋y3＝－1在x 轴，y 轴上的截距分别为( )A ．2,3B ．－2,3C ．－2，－3D ．2，－3解析：由－x 2＋y 3＝－1得x 2＋y－3＝1，则在x 轴，y 轴上的截距分别为2，－3.答案：D4．已知两点A (－2,0)，B (0,4)，则线段AB 的垂直平分线的方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x －y ＋4＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．x －2y ＋5＝0解析：k AB ＝4－00－－2＝2，AB 的中点为(－1,2)，∴所求直线方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.答案：C5．已知三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0交于一点，则坐标(m ，n )可能是( )A ．(1，－3)B ．(3，－1)C ．(－3,1)D ．(－1,3)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.由三条直线相交于一点，可知m ×1＋n ×2＋5＝0即m ＋2n ＋5＝0，结合选项可知A 项正确． 答案：A6．两平行直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋4y ＋1＝0之间的距离是( ) A ．4 B.21313C.51323 D.71326解析：6x ＋4y ＋1＝0可化为3x ＋2y ＋12＝0，则由两条平行直线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－－332＋22＝71326.答案：D7．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( ) A ．(3,0) B ．(－3,0) C ．(0，－3) D ．(0,3)解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2， 所以l 2的斜率为2. 又l 2过点(－1,1)，所以l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 整理即得：y ＝2x ＋3， 令x ＝0，得y ＝3， 所以P 点坐标为(0,3)． 答案：D8．已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行，则a 的值是( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D ．3或－2解析：由直线l 1与l 2平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a a ＋1＝2×3，a ×1≠2，解得a ＝－3.答案：A9．等腰Rt△ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A 的坐标为(0,4)，则点B 的坐标可能是( )A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)解析：设B 点坐标为(x ，y )，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，即⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0·y －3x －3＝－1，x －32＋y －32＝0－32＋4－32，整理可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，故B (2,0)或B (4,6)．答案：A10．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0得交点坐标为(2,2)，当直线l 的斜率不存在时，易知不满足题意． ∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0， ∵点(5,1)到直线l 的距离为10， ∴|5k －1＋2－2k |k 2＋－12＝10，解得k ＝3.∴直线l 的方程为3x －y －4＝0. 答案：C11．若直线ax ＋2y ＝0和2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．－12 B.12C ．0D ．－2解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0解得a ＝－12.答案：A12．如图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )解析：假定y ＝ax 与y ＝x ＋a 中的一条直线的图象正确，验证另一条是否合适． 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．直线l 经过点P (3,2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，则直线l 的方程为__________________．解析：方法一 设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 则有3a ＋2b ＝1，且12ab ＝12.解得a ＝6，b ＝4.所以所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.方法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 令x ＝0，得y ＝2－3k ； 令y ＝0，得x ＝3－2k.所以S △OAB ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12，解得k ＝－23. 故所求直线方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0.答案：2x ＋3y －12＝014．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________．解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行， 所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)． 又因为l 1与l 2的距离是2， 所以|b ＋1|12＋12＝2，解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝015．设直线l 经过点A (－1,1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为______________．解析：设点B (2，－1)到直线l 的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝32， ∴直线l 的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0.答案：3x －2y ＋5＝016．已知点A (2,1)，B (－2,2)，若直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－15且总与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是________________．解析：如图所示，当直线l 由位置PA 绕点P 转动到位置PB 时，l 的斜率逐渐变大，当直线l 垂直于x 轴时，l 无斜率，再转动时斜率为负值并逐渐变大直到等于PB 的斜率，所以直线l 的斜率k ≥k PA ＝37或k ≤k PB ＝－116，即k ≥37或k ≤－116.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－116∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫37，＋∞三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (4,1)，B (0,3)，C (2,4)，边AC 的中点为D ，求AC 边上中线BD 所在的直线方程并化为一般式．解析：因为A (4,1)，C (2,4)，所以AC 边的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，又B (0,3)，由直线两点式，得中线BD 所在的直线方程为x －30－3＝y －523－52，即x ＋6y －18＝0.18．(12分)求经过直线l 1：2x ＋3y －5＝0，l 2：3x －2y －3＝0的交点且平行于直线2x＋y －3＝0的直线方程．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，3x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1913，y ＝913，由平行于2x ＋y －3＝0，可得直线的斜率为－2， ∴直线方程为y －913＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1913，即26x ＋13y －47＝0.19．(12分)过点M (2,1)作直线l ，分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A ，B ，试求△ABO 的面积S 最小时直线l 的方程．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， ∵点M (2,1)在直线l 上，∴2a ＋1b ＝1，即a ＋2b ＝ab ，∴b ＝aa －2， ∵a >0，b >0，∴a >2，∴△ABO 的面积S ＝12ab ＝12·a 2a －2＝12·a －22＋4a －2＋4a －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2＋4a －2＋4，又a >2，∴(a －2)＋4a －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2－2a －22＋4≥4， 当且仅当a －2＝2a －2，即a ＝4，b ＝2时等号成立，∴当a ＝4，b ＝2时，S min ＝4，∴直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0. 20．(12分)求直线l 1：x －y －2＝0关于直线l ：3x －y ＋3＝0对称的直线l 2的方程．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－52，y ＝－92，∴l 1与l 相交，且交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92，则此点也在直线l 2上．在l 1上取一点P (0，－2)，设它关于直线l 的对称点为Q (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋2x 0－0×3＝－1，3×x 02－y 0－22＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－1，∴点Q (－3，－1)， 又点Q 在l 2上，∴直线l 2的方程为y ＋1－92＋1＝x ＋3－52＋3，即7x ＋y ＋22＝0.21．(12分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使： (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解析：(1)由条件知m 2－8＋n ＝0，且2m －m －1＝0， ∴m ＝1，n ＝7.(2)由m ·m －8×2＝0，得m ＝±4.又8×(－1)－n ·m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2时，或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8，即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.22．(12分)(1)已知直线方程为(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0，求证：不论m 为何实数，此直线必过定点；(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线的方程． 解析：(1)证明：直线方程可写为m (x －2y －3)＋2x ＋y ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝0，2x ＋y ＋4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴点(－1，－2)适合方程(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0， 因此，直线(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0过定点(－1，－2)．(2)设过点(－1，－2)所引的直线与x 轴、y 轴分别交于A (a,0)，B (0，b )点， ∵(－1，－2)是线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋02＝－1，0＋b 2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4，∴所求直线方程为x－2＋y－4＝1，即2x ＋y ＋4＝0.。
《创新设计》2015-2016学年(人教版,必修二)高中数学第三章直线与方程3.3.1
课堂讲义
法二 设过直线 l1、l2 交点的直线方程为 x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)， 即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0， 由题意可知，λλ＋ －13＝－2，解得 λ＝35， 所以所求直线方程为83x＋34y－43＝0， 即 2x＋y－1＝0.
课堂讲义
• 要点二 两点间距离公式的应用 • 例2 已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，
课堂讲义
•规律方法 (1)法一是常规方法，思路自然， 但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待 定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0,0) 不能在直线2x＋y＋2＝0上．否则，会出现λ的 取值不确定的情形． •(2)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋ C2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A1x＋B1y＋C1) ＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0可表示过l1、l2交点的所 有直线； •②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不能表示 直线l2.
课堂讲义
• 跟踪演练1 (2014·潍坊高一检测)求经过直 线l1：x＋3y－3＝
• 0，l2：x－y＋1＝0的交点且平行于直线2x＋ •解y程－法．3一＝由0的xx＋ －直3y＋y线－1方3＝＝00，， 得yx＝＝10，，
∴直线 l1 与 l2 的交点坐标为(0,1)， 再设平行于直线 2x＋y－3＝0 的直线方程为 2x＋y＋c＝0， 把(0,1)代入所求的直线方程，得 c＝－1， 故所求的直线方程为 2x＋y－1＝0.
预习导学
[预习导引] 1．两条直线的交点
已知两条直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 若两直线的方程联立，得方程组AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00 .若方程 组有___唯__一__解______，则两条直线相交；若方程组无解，则 两条直线_平__行___．若方程组有无穷多个解，则两条直线重 合．
章末检测10：第三章 直线与方程
章末检测一、选择题1．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．5 D ．－52．过点P (4，－1)，且与直线3x －4y ＋6＝0垂直的直线方程是( ) A ．4x ＋3y －19＝0 B ．4x ＋3y －13＝0 C ．3x ＋4y －16＝0D ．3x ＋4y －8＝03．若三点A (4,3)，B (5，a )，C (6，b )共线，则下列结论正确的是( ) A ．2a －b ＝3 B ．b －a ＝1 C ．a ＝3，b ＝5D ．a －2b ＝34．若直线l 1与直线l 2：3x ＋2y －12＝0的交点在x 轴上，并且l 1⊥l 2，则l 1在y 轴上的截距是( )A ．－4B ．4C ．－83 D.835．已知直线mx ＋ny ＋1＝0平行于直线4x ＋3y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为( ) A ．4和3 B ．－4和3 C ．－4和－3D ．4和－36．点P (4,0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是( ) A ．(－6,8) B ．(－8，－6) C ．(6,8)D ．(－6，－8)7．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对8．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有 ( ) A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0 D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过的定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3) C.⎝⎛⎭⎫1，－12 D ．(－2,0) 10．已知点M (1,0)和N (－1,0)，直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值范围为( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，12 D ．[0,2] 二、填空题11．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________．12．若光线由点P (2,3)射到x 轴上，反射后过点Q (1,1)，则反射光线所在直线方程是________． 13．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________．14．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________． 三、解答题15．直线l 经过两直线l 1：2x －y ＋4＝0与l 2：x －y ＋5＝0的交点，且与直线x －2y －6＝0垂直．(1)求直线l 的方程；(2)若点P (a,1)到直线l 的距离为5，求实数a 的值．16．如图所示，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当线段AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．17．已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值；(3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．18．已知三条直线l1：mx－y＋m＝0，l2：x＋my－m(m＋1)＝0，l3：(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，它们围成△ABC.(1)求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点；(2)当m取何值时，△ABC的面积取最值？并求出最值．答案精析1．D [因为倾斜角为135°，所以k ＝tan 135°＝－1.所以k AB ＝y ＋34－2＝－1， 所以y ＝－5.]2．B [因为3x －4y ＋6＝0的斜率为34，所以与其垂直的直线的斜率为－43.故所求方程为y＋1＝－43(x －4)，即4x ＋3y －13＝0.]3．A [若A ，B ，C 三点共线，则k AB ＝k BC ，即a －35－4＝b －a6－5，即a －3＝b －a ，所以2a －b ＝3.]4．C [因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1.所以k 1＝23.设l 1的方程为y ＝23x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋b ，3x ＋2y －12＝0，得y ＝2413＋913b ＝0.所以b ＝－83，故选C.]5．C [由题意知：－m n ＝－43，即3m ＝4n ，且有－1n ＝13，∴n ＝－3，m ＝－4.]6．D [设点P (4,0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点为P 1(x 1，y 1)．由对称的概念，知PP 1的中点M ⎝⎛⎭⎫x 1＋42，y 12在对称轴5x ＋4y ＋21＝0上，且PP 1与对称轴垂直，则有⎩⎨⎧5·x 1＋42＋4·y 12＋21＝0，y 1x 1－4＝45.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－6，y 1＝－8.所以P 1(－6，－8)．故选D.]7．A [建立如图所示的直角坐标系．由图可得k ≥k PB 或k ≤k P A .∵k PB ＝34，k P A ＝－4，∴k ≥34或k ≤－4.]8．C [若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．]9．B [将直线方程变为：a (x ＋2)＋(－x －y ＋1)＝0，则直线恒过两直线x ＋2＝0与－x －y ＋1＝0的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，即直线过定点(－2,3)．]10．A [直线可化成y ＝－2x ＋b ，当直线过点M 时，可得b ＝2；当直线过点N 时，可得b ＝－2.所以要使直线与线段MN 相交，b 的取值范围为[－2,2]．] 11．－23解析 设P (x,1)，则Q (2－x ，－3)，将Q 坐标代入x －y －7＝0得，2－x ＋3－7＝0. ∴x ＝－2，∴P (－2,1)，Q (4，－3)， ∴k l ＝－23.12．4x ＋y －5＝0解析 点P (2,3)关于x 轴的对称点为P ′(2，－3)，则直线P ′Q 的方程为y ＋31＋3＝x －21－2，即反射光线所在直线方程为4x ＋y －5＝0. 13．3 解析a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离，d ＝|0＋0－15|32＋42＝3.14．(2,4)解析 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,4)．15．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0得交点为(1,6)，又直线l 垂直于直线x －2y －6＝0，所以直线l 的斜率为k ＝－2. 故直线l 的方程为y －6＝－2(x －1)， 即2x ＋y －8＝0.(2)由于P (a,1)到直线l 的距离等于5， 则|2a ＋1－8|5＝5，解得a ＝1或a ＝6.16．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以线段AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．因为P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 17．解 (1)当斜率不存在时，方程x ＝2符合题意； 当直线的斜率存在时，设为k ，则直线方程应为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由题意，得|2k ＋1|k 2＋1＝2.解得k ＝34. 所以直线方程为3x －4y －10＝0.所以适合题意的直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)过点P ，且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP 垂直的直线，易求其方程为2x －y －5＝0，且最大距离d ＝ 5.(3)由于原点到过点P (2，－1)的直线的最大距离为5，而3＞5，故不存在这样的直线． 18．(1)证明 设直线l 1与直线l 3的交点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧ mx －y ＋m ＝0，(m ＋1)x －y ＋(m ＋1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0， ∴点A 的坐标为(－1,0)，∴不论m 取何值，△ABC 中总有一个顶点A (－1,0)为定点．(2)解 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋my －m (m ＋1)＝0，(m ＋1)x －y ＋(m ＋1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝m ＋1，即l 2与l 3交点为B (0，m ＋1)．再由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，x ＋my －m (m ＋1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝mm 2＋1，y ＝m 3＋m 2＋mm 2＋1，即l 1与l 2交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m m 2＋1，m 3＋m 2＋m m 2＋1.设边AB 上的高为h ，∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝12·1＋(m ＋1)2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m (m ＋1)m 2＋1－m 3＋m 2＋m m 2＋1＋m ＋1(m ＋1)2＋1＝12·|m 2＋m ＋1|m 2＋1＝12·m 2＋m ＋1m 2＋1＝12⎝⎛⎭⎫1＋m m 2＋1.当m ＝0时，S ＝12；当m ≠0时，S ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋1m . ∵函数f (x )＝x ＋1x 的值域为[2，＋∞)∪(－x ，－2]．∴－12≤1m ＋1m ＜0或0＜1m ＋1m ≤12，∴14≤S ≤12或12＜S ≤34. 当m ＝1时，△ABC 的面积的最大值为34，当m ＝－1时，△ABC 的面积的最小值为14.。
《创新设计》2015-2016学年(人教版,必修二)高中数学第三章直线与方程3.2.2
课堂讲义
• 要点一 直线的两点式方程 • 例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，
在△ABC中， • (1)求BC边的方程； • 解 (2(1))求∵BBCC边边过上两的点 中B(5线，－所4在)，直C(0线，－的2方)，程．
∴由两点式得－y－2－－－44＝0x－－55， 即 2x＋5y＋10＝0. 故 BC 边的方程为 2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
高中数学·必修2 人教A版
3.2.2 直线的两点式方程 3.2.3 直线的一般式方程
预习导学
• [学习目标] • 1．会根据条件写出直线的两点式方程和截距
式方程． • 2．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌
握直线方程的一般形式．
预习导学
[知识链接]
1．直线的点斜式方程为_____y_－__y0_＝__k_(_x_－__x0_)______．
故其可得直线 AC 的 方程为－y－1－11＝2x－－44，
课堂讲义
即 x－y－3＝0. 同理可由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为1y－－22＝ 4x－－22，即 x＋2y－6＝0.
课堂讲义
• 要点二 直线的截距式方程 • 例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的
课堂讲义
将点(5,2)代入方程得25a＋a2＝1， 解得 a＝92， 所以直线 l 的方程为 x＋2y－9＝0. 综上知，所求直线 l 的方程为 y＝25x，或 x＋2y－9＝0.
课堂讲义
要点三 直线的一般式方程 例 3 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－12，经过点 A(8，－2)； (2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是32、－3； (4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)．
高中数学 第三章 直线与方程本章测评 新人教A版必修2
第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016山西忻州一中期中)直线x-y-1=0的倾斜角α=()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:直线x-y-1=0的斜率为k=,故tan α=.∵0°≤α<180°,∴α=30°.答案:A2.过点(-1,3),且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为()A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0解析:设所求直线方程为2x+y+c=0,则2×(-1)+3+c=0,c=-1,所以所求直线方程为2x+y-1=0.答案:A3.如图,在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是()解析:当a>0时,A,B,C,D均不成立;当a<0时,只有C成立,故选C.答案:C4.若直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与(2-a)x+(a+3)y-1=0相互垂直,则a的值是()A.2B.-2C.2,-2D.2,0,-2解析:由两直线垂直,得(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=±2.答案:C5.与直线2x+y-3=0平行,且距离为的直线方程是()A.2x+y+2=0B.2x+y-8=0C.2x+y+2=0或2x+y-8=0D.2x+y-2=0或2x+y+8=0解析:设所求直线方程为2x+y+C=0,则,解得C=2或C=-8.所以所求直线方程为2x+y+2=0或2x+y-8=0.答案:C6.(2016河北南宫中兴月考)若直线=1与直线5x-7y+1=0相互平行,则等于()A.-B.C.-D.解析:直线=1的斜率为-,由两直线平行得-,即=-.答案:A7.若直线l与直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点,且AB的中点为P(1,-1),则直线l的斜率等于()A.B.-C.D.-解析:设A(m,1),B(a,b),则解得b=-3.∵点B在直线x-y-7=0上,∴a-(-3)-7=0,∴a=4,∴m=2-a=-2,故A(-2,1),B(4,-3).∴直线l的斜率k==-.8.导学号96640102(2016河南洛阳八中月考)设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没()A.B.C.D.解析:如图,直线ax+y+2=0恒过点C(0,-2),k AC=-,k BC=,故-<-a<,即-<a<.答案:B9.过点P(1,3),且与x,y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()A.3x+y-6=0B.x+3y-10=0C.3x-y=0D.x-3y+8=0解析:设所求直线的方程为=1(a>0,b>0),则有ab=6,且=1.由解得故所求直线的方程为=1,即3x+y-6=0.答案:A10.若直线l1:y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称,则直线l2恒过定点()A.(2,0)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-2,0)解析:∵l1:kx=x+y-2,由得l1恒过定点(0,2),记为点P,∴与l1关于直线y=x+1对称的直线l2也必恒过一定点,记为点Q,且点P和Q也关于直线y=x+1对称.令Q(m,n),则解得即Q(1,1),∴直线l2恒过定点(1,1),故选C.答案:C11.将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(-6,8)重合,则与点(-4,2)重合的点是()A.(4,-2)B.(4,-3)C.D.(3,-1)解析:由已知知以(10,0)和(-6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y=2x,则(-4,2)关于直线y=2x的对称点即为所求点.设所求点为(x0,y0),则解得答案:A12.若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面四个结论正确的个数是()①AB∥CD;②AB⊥AD;③|AC|=|BD|;④AC⊥BD.A.1B.2C.3D.4解析:①∵k AB==-,k CD==-,∴AB∥CD;②∵k AB=-,k AD=,∴k AB·k AD=-1,∴AB⊥AD;③∵|AC|==4,|BD|==4,∴|AC|=|BD|;④∵k AC=,k BD==-4,∴k AC·k BD=-1,∴AC⊥BD.综上知,①②③④均正确.故选D.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知直线l在y轴上的截距为1,且垂直于直线y=x,则直线l的方程是.解析:由题意可知所求直线的斜率为-2,由点斜式可求得l的方程为y=-2x+1.答案:y=-2x+114.设点P在直线x+3y=0上,且P到原点的距离与P到直线x+3y=2的距离相等,则点P的坐标为.解析:根据题意可设P(-3m,m),∴,解得m=±.∴P点坐标为.答案:15.(2016江西吉安一中期中)已知光线通过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线通过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程是.解析:∵光线通过点M(-3,4),设点M关于直线l:x-y+3=0的对称点K(x,y),∴解得即K(1,0).∵N(2,6),∴直线NK的斜率为6,∴反射光线所在直线的方程是6x-y-6=0.16y=4x2的图象上求一点P,使P到直线y=4x-5的距离最短,则P点的坐标为.解析:直线方程化为4x-y-5=0.设P(a,4a2),则点P到直线的距离为d=.当a=时,点P到直线的距离最短,最短距离为.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知直线l的倾斜角为135°,且经过点P(1,1).(1)求直线l的方程;(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A'的坐标.解:(1)∵k=tan 135°=-1,∴直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)设A'(a,b),则解得∴点A'的坐标为(-2,-1).18.(本小题满分12分)已知两条直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,l1与l2: (1)相交;(2)平行;(3)重合?解:当m=0时,l1:x+6=0,l2:x=0,故l1∥l2.当m=2时,l1:x+4y+6=0,l2:3y+2=0,故l1与l2相交.当m≠0,且m≠2时,由,得m=-1或m=3;由,得m=3.故(1)当m≠-1,且m≠3,且m≠0时,l1与l2相交.(2)当m=-1或m=0时,l1∥l2.(3)当m=3时,l1与l2重合.19.(本小题满分12分)已知△ABC的三边所在直线的方程分别是l AB:4x-3y+10=0,l BC:y=2,l CA:3x-4y=5.(1)求∠BAC的平分线所在直线的方程;(2)求AB边上的高所在直线的方程.解:(1)设P(x,y)是∠BAC的平分线上任意一点,则点P到AC,AB的距离相等,即,∴4x-3y+10=±(3x-4y-5).∵∠BAC的平分线所在直线的斜率在之间,∴7x-7y+5=0为∠BAC的平分线所在直线的方程.(2)设过点C的直线系方程为3x-4y-5+λ(y-2)=0,即3x-(4-λ)y-5-2λ=0.若此直线与直线l AB:4x-3y+10=0垂直,则3×4+3(4-λ)=0,解得λ=8.故AB边上的高所在直线的方程为3x+4y-21=0.20.(本小题满分12分)在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.解:由方程组解得点A(-1,0).又直线AB的斜率为k AB=1,且x轴是∠A的平分线,故直线AC的斜率为-1,AC所在的直线方程为y=-(x+1).已知BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,故直线BC的斜率为-2,故BC所在的直线方程为y-2=-2(x-1).解方程组得点C的坐标为(5,-6).21.(本小题满分12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x-y=0,一条直角边所在的直线l的斜率为,且经过点(4,-2),且此三角形的面积为10,求此等腰直角三角形的直角顶点的坐标.解:设直角顶点为C,C到直线3x-y=0的距离为d.则·d·2d=10,解得d=.∵直线l的斜率为,∴直线l的方程为y+2=(x-4),即x-2y-8=0.设l'是与直线3x-y=0平行且距离为的直线,则l'与l的交点就是C点.设l'的方程是3x-y+m=0,则,解得m=±10,∴l'的方程是3x-y±10=0,由方程组22本小题满分12分)已知点P(2,-1).2的直线l的方程;(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.解:(1)过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2,-1),可见,过P点垂直于x轴的直线满足条件,此时直线l的斜率不存在,其方程为x=2.若直线l的斜率存在,设其方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知,得=2,解得k=,此时直线l的方程为3x-4y-10=0.综上,直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与OP垂直的直线.由l⊥OP,得k l k OP=-1,所以k l=-=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为.(3)由(2)可知,存在过P点到原点距离最大为的直线,因此不存在过点P到原点距离为6的直线.。
高中数学 第三章 直线与方程单元质量测评(含解析)新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
第三章 单元质量测评对应学生用书P77 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的X 围是( ) A ．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90° C ．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180° 答案 B解析 ∵k＝2＞1，即tanα＞1，∴45°＜α＜90°． 2．在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．y ＝－x ＋2 B ．y ＝－x －2 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝x －2 答案 A解析 由题可知直线方程为y ＝tan135°·(x－2)，即y ＝－x ＋2． 3．若三点A(4，3)，B(5，a)，C(6，b)共线，则下列结论正确的是( ) A ．2a －b ＝3 B ．b －a ＝1 C ．a ＝3，b ＝5 D ．a －2b ＝3 答案 A解析 由k AB ＝k AC 可得2a －b ＝3，故选A ．4．若实数m ，n 满足2m －n ＝1，则直线mx －3y ＋n ＝0必过定点( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－13答案 D解析 由已知得n ＝2m －1，代入直线mx －3y ＋n ＝0得mx －3y ＋2m －1＝0，即(x ＋2)m＋(－3y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－3y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－13，所以此直线必过定点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－13，故选D ．5．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值X 围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 答案 B解析 直线ax ＋y ＋2＝0过定点C(0，－2)，k AC ＝－52，k BC ＝43．由图可知直线与线段没有交点时，斜率－a 的取值X 围为－52＜－a ＜43，解得a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52．6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．5x ＋4y ＋1＝0 B ．5x ＋4y －1＝0 C ．－5x ＋4y －1＝0 D ．－5x ＋4y ＋1＝0 答案 A解析 设所求直线上的任一点为(x′，y′)，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x′，－y′)．因为点(x′，－y′)在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x′＋4y′＋1＝0，即所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0．7．已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD( )A ．平行B ．垂直C ．不确定D ．相交 答案 D解析 易知A(2，1)，B(4，2)，原点O(0，0)，∴k OA ＝k OB ＝12，∴直线AB 过原点，同理，C(2，lg 2)，D(4，2lg 2)，k OC ＝k OD ＝lg 22≠12，∴直线CD 过原点，且与AB 相交．8．过点M(1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为 ( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0 答案 B解析 设P(x 0，0)，Q(0，y 0)．∵M(1，－2)为线段PQ 的中点，∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1，即2x －y －4＝0．故选B ．9．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n)到原点的距离的最小值为( )A ． 5B ． 6C ．2 3D ．2 5 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.把(1，2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得m ＋2n ＋5＝0， ∴m＝－5－2n ，∴点(m ，n)到原点的距离d ＝ m 2＋n 2＝5＋2n 2＋n 2＝5n ＋22＋5≥5，当n ＝－2时等号成立，此时m ＝－1．∴点(m ，n)到原点的距离的最小值为5．故选A ．10．点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A ． 3 B ．3m C ．3 D ．3m 答案 A解析 由点到直线的距离公式得点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝3．11．若直线l 经过点A(1，2)，且在x 轴上的截距的取值X 围是(－3，3)，则其斜率的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，15 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 在平面直角坐标系中作出点A(1，2)，B(－3，0)，C(3，0)，过点A ，B 作直线AB ，过点A ，C 作直线AC ，如图所示，则直线AB 在x 轴上的截距为－3，直线AC 在x 轴上的截距为3．因为k AB ＝2－01－－3＝12，k AC ＝2－01－3＝－1，所以直线l 的斜率的取值X 围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．12．已知△ABC 的边AB 所在的直线方程是x ＋y －3＝0，边AC 所在的直线方程是x －2y ＋3＝0，边BC 所在的直线方程是2x －y －3＝0．若△ABC 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355B ． 2C ．322D ． 5答案 B解析 联立直线方程，易得A(1，2)，B(2，1)．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A ，B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A ，B 两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l 的方程为________．答案 x ＝3解析 直线y ＝x ＋1的斜率为1，倾斜角为45°．直线l 的倾斜角是已知直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，所以直线l 的倾斜角为90°，直线l 的斜率不存在，所以直线l 的方程为x ＝3．14．直线x 3＋y4＝t 被两坐标轴截得的线段长度为1，则t ＝________．答案 ±15解析 直线与x ，y 轴的交点分别为(3t ，0)和(0，4t)，所以线段长为3t2＋4t2＝1，解得t ＝±15．15．已知点A(2，4)，B(6，－4)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，则实数λ的值为________．答案 58解析 设点P 的坐标为(a ，b)．∵A(2，4)，B(6，－4)，∴|PA|2＋|PB|2＝[(a －2)2＋(b －4)2]＋[(a －6)2＋(b ＋4)2]＝λ，即2a 2＋2b 2－16a ＋72＝λ．又∵点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，∴3a－4b ＋3＝0，∴509b 2－803b ＋90＝λ．又∵满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8032－4×509×(90－λ)＝0，解得λ＝58．16．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案 －12解析 因为y ＝|x －a|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －1，x≥a，－x ＋a －1，x<a ，所以该函数的大致图象如图所示．又直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则2a ＝－1，即a ＝－12．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知Rt△ABC 的顶点坐标A(－3，0)，直角顶点B(－1，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求斜边所在直线的方程．解 (1)解法一：依题意，Rt△ABC 的直角顶点坐标为B(－1，－22)， ∴AB⊥BC，∴k AB ·k BC ＝－1．又∵A(－3，0)，∴k AB ＝0＋22－3－－1＝－2，∴k BC ＝－1k AB ＝22，∴边BC 所在的直线的方程为y ＋22＝22(x ＋1)，即x －2y －3＝0． ∵直线BC 的方程为x －2y －3＝0，点C 在x 轴上，由y ＝0，得x ＝3，即C(3，0)． 解法二：设点C(c ，0)，由已知可得k AB ·k BC ＝－1，即0＋22－3－－1·0＋22c ＋1＝－1，解得c ＝3，所以点C 的坐标为(3，0)． (2)由B 为直角顶点，知AC 为直角三角形ABC 的斜边． ∵A(－3，0)，C(3，0)，∴斜边所在直线的方程为y ＝0．18．(本小题满分12分)点M(x 1，y 1)在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x 1∈[2，5]时，求y 1＋1x 1＋1的取值X 围． 解y 1＋1x 1＋1＝y 1－－1x 1－－1的几何意义是过M(x 1，y 1)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．点M 在直线y ＝－2x ＋8的线段AB 上运动，其中A(2，4)，B(5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y 1＋1x 1＋1≤53，∴y 1＋1x 1＋1的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53． 19．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．解 (1)联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，则两直线的交点为P(－2，2)．∵直线x －2y －1＝0的斜率为k 1＝12，所求直线垂直于直线x －2y －1＝0，那么所求直线的斜率k ＝－112＝－2，∴所求直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0．(2)对于方程2x ＋y ＋2＝0，令y ＝0则x ＝－1，则直线与x 轴交点坐标A(－1，0)， 令x ＝0则y ＝－2，则直线与y 轴交点坐标B(0，－2)， 直线l 与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB ， ∴S＝12|OA||OB|＝12×1×2＝1．20．(本小题满分12分)一条光线经过点P(2，3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：(1)入射光线所在直线的方程； (2)这条光线从P 到Q 所经路线的长度．解 (1)设点Q′(x′，y′)为点Q 关于直线l 的对称点，QQ′交l 于点M ．∵k l ＝－1，∴k QQ′＝1， ∴QQ′所在直线的方程为y －1＝1·(x－1)， 即x －y ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－12，∴交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x′2＝－12，1＋y′2＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－2，y′＝－2，∴Q′(－2，－2)．设入射光线与l 交于点N ，则P ，N ，Q′三点共线， 又∵P(2，3)，Q′(－2，－2)，∴入射光线所在直线的方程为y －－23－－2＝x －－22－－2，即5x －4y ＋2＝0．(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′| ＝[2－－2]2＋[3－－2]2＝41，即这条光线从P 到Q 所经路线的长度为41．21．(本小题满分12分)设直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．解 设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点分别为C(x C ，y C )，D(x D ，y D )，则⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋2y C －1＝0，x C －y C －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C ＝0，∴C(1，0)⎩⎪⎨⎪⎧x D ＋2y D －3＝0，x D －y D －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23． 则C ，D 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 即直线l 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13． 又直线l 经过点(－1，1)，由两点式得直线l 的方程为 y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0． 22．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2的方程等价于2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－12＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72．又因为a ＞0，解得a ＝3．(2)假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)，若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，解得c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0．若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 得|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0． 若点P 满足条件①，则3x 0＋2＝0不合适． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12.不符合点P 在第一象限，舍去．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.符合条件①．所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．。
高一数学A版必修二《直线与方程》第3章 习题课课时作业与单元检测(含答案)
习题课 直线的位置关系与距离公式【课时目标】 熟练掌握直线的位置关系(平行、垂直)及距离公式，能灵活应用它们解决有关的综合问题．1．三个距离公式⎩⎪⎨⎪⎧(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的距离|P 1P 2|＝ .(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 的距离d ＝ .(3)平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋ By ＋C 2＝0间的距离d ＝ .2．三种常见的对称问题 (1)点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于点M (a ，b )的对称点为P ′________________． (2)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ·x 1＋x 22＋B ·y 1＋y 22＋C ＝0，可得点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．(3)线关于点、线的对称线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P (x ，y )的坐标x ，y 满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．一、选择题1．点(3,9)关于直线x ＋3y －10＝0的对称点为( ) A ．(－13,1) B ．(－2，－6) C ．(－1，－3) D ．(17，－9)2．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y －5＝0 B ．3x ＋4y ＋5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0 D ．－3x ＋4y ＋5＝03．在直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是( ) A ．(5，－3) B ．(9,0) C ．(－3,5) D ．(－5,3)4．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( ) A ．3条 B ．2条 C ．1条 D ．0条 5．若点(5，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0与3x －4y ＋5＝0之间，则整数b 的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．4 D ．－46．已知实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，则x 2＋y 2－2x －4y ＋5的最小值是( )A ．3113B ．8913 C ．13 D ．不存在二、填空题7．点A (4,5)关于直线l 的对称点为B (－2,7)，则l 的方程为________________．8．如图所示，已知△ABC 的顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)，直线l 平行于AB ，且分别交AC 、BC 于E 、F ，△CEF 的面积是△CAB 面积的14，则直线l 的方程为________．9．设点A (－3,5)和B (2,15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上找一点P ，使|P A |＋|PB |为最小，则这个最小值为________．三、解答题10．一条直线被直线l 1：4x ＋y ＋6＝0和l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．11．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程． (1)l ′与l 平行且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4； (3)l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线．能力提升12．直线2x －y －4＝0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3,4)的距离之差的最大值．13．已知M (1,0)、N (－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点，求|PM |2＋|PN |2的最小值及取最小值时点P 的坐标．1．在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解．2．关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解．3．涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况．习题课 直线的位置关系与距离公式 答案知识梳理1．(1)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 (2)|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(3)|C 2－C 1|A 2＋B 22．(1)(2a －x 0,2b －y 0) (2)y 1－y 2x 1－x 2＝BA作业设计1．C [设对称点为(x 0，y 0)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－9x 0－3＝3，x 0＋32＋3·y 0＋92－10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－3.] 2．B [直线3x －4y ＋5＝0与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫－53，0，由对称直线的特征知，所求直线斜率为k ＝－34．∴y ＝－34⎝⎛⎭⎫x ＋53，即3x ＋4y ＋5＝0．] 3．A [当PQ 与已知直线垂直时，垂足Q 即为所求．]4．B [当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝1，原点到直线距离为1，满足题意．当直线斜率存在时，设直线方程为y －3＝k (x －1)即kx －y ＋3－k ＝0．由已知|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，满足题意．故共存在2条直线．] 5．C [把x ＝5代入6x －8y ＋1＝0得y ＝318，把x ＝5代入3x －4y ＋5＝0得y ＝5，∴318<b <5．又∵b 为整数，∴b ＝4．] 6．A [x 2＋y 2－2x －4y ＋5＝(x －1)2＋(y －2)2，它表示点(x ，y )与(1,2)之间的距离，两点距离的最小值即为点(1,2)到直线5x ＋12y ＝60的距离， ∴d ＝|1×5＋2×12－60|13＝3113．]7．3x －y ＋3＝0 8．x －2y ＋5＝0解析 由已知，直线AB 的斜率k ＝12，∵EF ∥AB ，∴直线EF 的斜率为k ＝12．∵△CEF 的面积是△CAB 面积的14，∴E 是CA 的中点，∴点E 的坐标⎝⎛⎭⎫0，52，直线EF 的方程是y －52＝12x ，即x －2y ＋5＝0． 9．513解析 设点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为(a ，b )，则由AA ′⊥l 且AA ′被l 平分， 得⎩⎪⎨⎪⎧b －5a ＋3×34＝－1，3×a －32－4×b ＋52＋4＝0.解之得a ＝3，b ＝－3．∴点A ′的坐标为(3，－3)，∴(|P A |＋|PB |)min ＝|A ′B |＝(3－2)2＋(－3－15)2＝513．10．解 设所求直线与直线l 1交于A (x 0，y 0)，它关于原点的对称点为B (－x 0，－y 0)，且B 在直线l 2上，由⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋6＝0，－3x 0＋5y 0－6＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－3623，y 0＝623，∴所求直线方程为y ＝623－3623x ＝－16x ，即x ＋6y ＝0．11．解 (1)直线l ：3x ＋4y －12＝0，k l ＝－34，又∵l ′∥l ，∴k l ′＝k l ＝－34．∴直线l ′：y ＝－34(x ＋1)＋3，即3x ＋4y －9＝0．(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43．设l ′与x 轴截距为b ，则l ′与y 轴截距为－43b ，由题意可知，S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪－43b ＝4， ∴b ＝±6．∴直线l ′：y ＝43(x ＋6)或y ＝43(x －6)．(3)∵l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线， ∴l ′与l 关于原点对称．任取点(x 0，y 0)在l 上，则在l ′上对称点为(x ，y )． x ＝－x 0，y ＝－y 0，则－3x －4y －12＝0． ∴l ′为3x ＋4y ＋12＝0．12．解 找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点．设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －4×2＝－12×4＋a 2－b －12－4＝0．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，所以|A ′B |＝(4－1)2＋(3－0)2＝32．13．解 ∵P 为直线2x －y －1＝0上的点， ∴可设P 的坐标为(m,2m －1)，由两点的距离公式得|PM |2＋|PN |2＝(m －1)2＋(2m －1)2＋(m ＋1)2＋(2m －1)2＝10m 2－8m ＋4．(m ∈R )令f (m )＝10m 2－8m ＋4＝10⎝⎛⎭⎫m －252＋125≥125， ∴当m ＝25时，|PM |2＋|PN |2取最小值，此时P ⎝⎛⎭⎫25，－15．。
人教版数学高一-15-16高一数学必修2章末测试 第三章 直线与方程
第三章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照直线的倾斜角的概念，直线集合与集合{α|0°≤α<180°}建立了一一对应的关系．正确的命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析仅有①正确，其他均错．答案 A2．过点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y等于() A．1 B．－1C．5 D．－5解析由题意可知y＋34－2＝tan135°＝－1，∴y＝－5.答案 D3．与原点距离为22，斜率为1的直线方程为()A．x＋y＋1＝0或x＋y－1＝0 B．x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0 C．x－y＋1＝0或x－y－1＝0 D．x－y＋2＝0或x＋y－2＝0解析 可设直线方程为y ＝x ＋b ，则|b |2＝22，∴|b |＝1，b ＝±1，故直线方程为x －y ＋1＝0或x －y －1＝0.答案 C4．如果点(5，a )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则整数a 的值为( )A ．5B ．4C ．－5D ．－4解析 由题意可知(5，a )到两平行线间距离之和等于两平行线间的距离，∴|30－8a ＋1|62＋82＋|30－8a ＋10|62＋82＝|10－1|62＋82，即|31－8a |＋|40－8a |＝9，把选项代入，知a ＝4，(a ＝5舍去)．答案 B5．过点(5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0解析 解法1：验证知D 为所求．解法2：当直线过原点时，设y ＝kx ，代入点(5,2)求得k ＝25， ∴y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线不过原点时，可设方程为x 2a ＋y a ＝1，代入点(5,2)求得a ＝92.∴方程为x ＋2y －9＝0.故所求方程为x ＋2y －9＝0，或2x －5y ＝0. 答案 D6．直线2x －y ＋k ＝0与4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行又不重合解析 因为2x －y ＋k ＝0与4x －2y ＋1＝0可变形为y ＝2x ＋k 和y ＝2x ＋12，所以当k ＝12时，两直线重合；当k ≠12时，两直线平行．故应选C.答案 C7．方程ax ＋by ＋c ＝0表示倾斜角为锐角的直线，则必有( ) A ．ab >1 B ．ab <0 C ．a >0且b <0D ．a >0或b <0解析 由题意知直线的斜率存在，且k ＝－ab >0，∴ab <0. 答案 B8．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在斜率为k 的直线上，若|AB |＝a ，则|y 2－y 1|等于( )A ．|ak |B ．a 1＋k 2 C.a 1＋k2D.a |k |1＋k2解析 设AB 的方程为y ＝kx ＋b ，则a ＝|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2|y 2－y 1|，∴|y 2－y 1|＝a |k |1＋k 2.答案 D9．如图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )解析 当a >0时，由y ＝ax 可知，C 、D 错误；又由y ＝x ＋a 又知A 、B 也不正确．当a <0时，由y ＝ax 可知A 、B 错误；又由y ＝x ＋a 可知D 也不正确．答案 C10．已知直线l ：x sin θ＋y cos θ＝1，点(1，cos θ)到l 的距离为14，且0≤θ≤π2，则θ等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析 由点到直线的距离公式，可得|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2θ＝14，即|sin θ－sin 2θ|＝14，经验证知θ＝π6满足题意．答案 B11．一条线段的长是5，它的一个端点A (2,1)，另一端点B 的横坐标是－1，则B 的纵坐标是( )A ．－3B ．5C ．－3或5D ．－5或3解析 设点B 的坐标为(－1，y )，由题意得(－1－2)2＋(y －1)2＝52，∴(y －1)2＝16.解得y ＝5或－3.答案 C12．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，下面四个结论正确的个数是( )①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③|AC |＝|BD |；④AC ⊥BD . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析 ①k AB ＝－4－26＋4＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，∴AB ∥CD .②k AB ＝－35，k AD ＝12－22＋4＝53，∵k AB ·k AD ＝－1，∴AB ⊥AD . ③|AC |＝(12＋4)2＋(6－2)2＝272，|BD |＝(2－6)2＋(12＋4)2＝272.∴|AC |＝|BD |.④k AC ＝6－212＋4＝14，k BD ＝12＋42－6＝－4，∵k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .综上知，①、②、③、④均正确．故选D. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知A (a,3)，B (3,3a ＋3)两点间的距离是5，则a 的值为________． 解析(3－a )2＋(3a ＋3－3)2＝5，即(3－a )2＋9a 2＝25，解得a ＝－1或85. 答案 －1或8514．两条平行直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，各自绕A ，B 旋转．若这两条平行线距离取最大时，两直线方程是________．解析 根据题意，当这两条直线平行旋转到与直线AB 垂直时，距离取得最大值．∵k AB ＝13， ∴两直线分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)， 即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0. 答案 3x ＋y －20＝0,3x ＋y ＋10＝015．已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，与两坐标轴围成的三角形面积为8，则直线l 1的方程为________．解析 ∵l 1与l 2平行，故可设l 1的方程为x －3y ＋m ＝0.与两坐标轴的交点(0，m3)，(－m,0)．由题意可得12|－m ×m3|＝8. ∴m ＝43，或m ＝－4 3. 答案 x －3y ±43＝016．设点P 在直线x ＋3y ＝0上，且P 到原点的距离与P 到直线x ＋3y －2＝0的距离相等，则点P 坐标是________．解析 ∵点P 在直线x ＋3y ＝0上，可设P 的坐标为(－3a ，a )． 依题意可得(－3a )2＋a 2＝|－3a ＋3a －2|12＋32，化简得10a 2＝410，∴a ＝±15. 故P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15，或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫35，－15，或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角为60°. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积． 解 (1)依题意得斜率k ＝tan60°＝ 3.又经过点(0，－2)，故直线l 的方程为y ＋2＝3(x －0)，即3x －y －2＝0.(2)由(1)知，直线l ：3x －y －2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别为23和－2，故直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×23×2＝233.18．(12分)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解 (1)当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y ＝kx ，由点到直线的距离公式，可得32＝|4k －3|1＋k2，解k ＝－6±3214.故所求直线的方程为y ＝(－6±3214)x . (2)当直线不经过坐标原点时，设所求直线为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0.由题意可得|4＋3－a |2＝32，解a ＝1，或a ＝13.故所求直线的方程为x ＋y－1＝0或x ＋y －13＝0.综上，可知所求直线的方程为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫－6±3214x ，或x ＋y －1＝0，或x ＋y －13＝0.19．(12分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1. (1)倾斜角为π4； (2)在x 轴上的截距为1. 解 (1)倾斜角为π4，则斜率为1. ∴－2m 2＋m －3m 2－m ＝1. 解得m ＝1，或m ＝－1.当m ＝1时，m 2－m ＝0，不符合题意．当m ＝－1时，直线方程为2x －2y －5＝0符合题意， ∴m ＝－1.(2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12，或m ＝2.当m ＝－12，或m ＝2时都符合题意， ∴m ＝－12，或m ＝2.20．(12分)求经过直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0与l 2：2x －3y －8＝0的交点M ，且满足下列条件的直线方程．(1)经过原点；(2)与直线2x ＋y ＋5＝0平行； (3)与直线2x ＋y ＋5＝0垂直． 解由⎩⎨⎧3x ＋4y ＋5＝0，2x －3y －8＝0，得交点M 的坐标为(1，－2)．(1)直线过原点，可得直线方程为2x ＋y ＝0.(2)直线与2x ＋y ＋5＝0平行，可设为2x ＋y ＋m ＝0，代入M (1，－2)，得m ＝0.∴直线方程为2x ＋y ＝0. (3)直线与2x ＋y ＋5＝0垂直，∴斜率为k ＝12，又过点M (1，－2)． 故所求方程为y ＋2＝12(x －1)． 即x －2y －5＝0.21．(12分)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a 和b 的值．(1)求直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解 (1)∵l 1⊥l 2， ∴(a －1)a ＋(－b )×1＝0. 即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，且l 2的斜率为1－a ，∴l 1的斜率也存在，即b ≠0. ∴a b ＝1－a .∴b ＝a 1－a (a ≠1)．故l 1、l 2的方程分别可以表示为 l 1：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0， l 2：(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0.∵原点到l 1和l 2的距离相等．∴4|a －1a |＝|a 1－a|， 解得a ＝2，或a ＝23，因此⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.22．(12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x －y ＝0，一条直角边所在的直线l 的斜率为12，且经过点(4，－2)，且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．解 设直角顶点为C ，C 到直线y ＝3x 的距离为d .则12·d ·2d ＝10，∴d ＝10.又l 的斜率为12，∴l 的方程为y ＋2＝12(x －4)．即x －2y －8＝0.设l ′是与直线y ＝3x 平行且距离为10的直线，则l ′与l 的交点就是C 点，设l ′的方程是3x －y ＋m ＝0， 则|m |10＝10， ∴m ＝±10，∴l ′的方程是3x －y ±10＝0，由方程组⎩⎨⎧ x －2y －8＝0，3x －y －10＝0，及⎩⎨⎧ x －2y －8＝0，3x －y ＋10＝0，得C 点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫125，－145，或⎝ ⎛⎭⎪⎫－285，－345.。
2015高中数学人教A版必修二第三章《 直线与方程》阶段质量检测
直线与方程一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)1、(2013·嘉兴高一检测)点A (2,－3)关于点B (－1,0)的对称点A ′的坐标就是( )A 、(－4,3)B 、(5,－6)C 、(3,－3)D 、⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－32 解析:选A 设A ′(x ′,y ′),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋x ′2＝－1－3＋y ′2＝0即⎩⎨⎧ x ′＝－4y ′＝3、2、已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1,则直线l 的倾斜角为( )A 、30°B 、45°C 、60°D 、135°解析:选D 由题意知k ＝－1,故倾斜角为135°、3、 点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( )A 、1B 、2C 、22D 、 2解析:选C 由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22、 4、若直线l 与直线y ＝1,x ＝7分别交于P 、Q ,且线段PQ 的中点坐标为(1,－1),则直线l 的斜率为( )A 、13B 、－13C 、3D 、－3解析:选B 设P (a,1),Q (7,b ),则有⎩⎨⎧ a ＋7＝2b ＋1＝－2、∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－5b ＝－3故直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13、a ＝－5、5、过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A 、x －2y ＋7＝0B 、2x ＋y －1＝0C 、x －2y －5＝0D 、2x ＋y －5＝0解析:选A ∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12, ∴所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1), 即x －2y ＋7＝0、6、若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3,且它的倾斜角就是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍,则( )A 、m ＝－3,n ＝1B 、m ＝－3,n ＝－3C 、m ＝3,n ＝－3D 、m ＝3,n ＝1解析:选D 依题意得－3n ＝－3,－m n ＝tan 120°＝－3,得m ＝3,n ＝1、 7、与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A 、3x ＋4y ＋5＝0B 、3x ＋4y －5＝0C 、－3x ＋4y －5＝0D 、－3x ＋4y ＋5＝0解析:选A 设所求直线上的任一点为(x ,y ),则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ,－y ),因为点(x ,－y )在直线3x －4y ＋5＝0上,所以3x ＋4y ＋5＝0、8、若三点A (3,1),B (－2,b ),C (8,11)在同一直线上,则实数b 等于( )A 、2B 、3C 、9D 、－9 解析:选D 由题意知k AB ＝k BC即b －1－2－3＝11－b 8＋2,解得b ＝－9、 9、将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(－6,8)重合,则与点(－4,2)重合的点就是( )A 、(4,－2)B 、(4,－3)C 、⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332 D 、(3,－1)解析:选A 由已知知以(10,0)与(－6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y ＝2x ,则(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点即为所求点、设所求点为(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－2x 0＋4＝－12y 0＋22＝2·x 0－42解得⎩⎨⎧ x 0＝4y 0＝－2、10、设点A (2,－3),B (－3,－2),直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交,则l 的斜率k 的取值范围就是( )A 、k ≥34,或k ≤－4 B 、－4≤k ≤34 C 、－34≤k ≤4 D 、以上都不对解析:选A 由题意知k AP ＝－3－12－1＝－4, k BP ＝－2－1－3－1＝34、由斜率的特点并结合图形可知k ≥34,或k ≤－4、 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)11、已知点A (2,1),B (－2,3),C (0,1),则△ABC 中,BC 边上的中线长为________、解析:BC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2＋023＋12即(－1,2),所以BC 边上中线长为2＋12＋1－22＝10、答案:10 12、经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程就是________、 解析:当直线过原点时,满足要求,此时直线方程为x －y ＝0;当直线不过原点时,设直线方程为x a ＋y a＝1,由于点(1,1)在直线上,所以a ＝2,此时直线方程为 x ＋y －2＝0、答案:x －y ＝0或x ＋y －2＝013、过点A (2,1)的所有直线中,距离原点最远的直线方程为____________、 解析:如右图,只有当直线l 与OA 垂直时,原点到l 的距离最大,此时k OA ＝12,则k l ＝－2,所以方程为y －1＝－2(x －2),即2x ＋y －5＝0、答案:2x ＋y －5＝014、已知点A (4,－3)与B (2,－1)关于直线l 对称,在l 上有一点P ,使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2,则点P 的坐标就是____________、解析:由题意知线段AB 的中点C (3,－2),k AB ＝－1,故直线l 的方程为y ＋2＝x －3,即y＝x －5、设P (x ,x －5),则2＝|4x ＋3x －17|42＋32, 解得x ＝1或x ＝277、 即点P 的坐标就是(1,－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫277－87、 答案:(1,－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫277－87 三、解答题(共4小题,共50分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15、(本小题满分12分)(2012·绍兴高二检测)已知直线l 的倾斜角为135°,且经过点P (1,1)、(1)求直线l 的方程;(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标、解:(1)∵k ＝tan 135°＝－1,∴l :y －1＝－(x －1),即x ＋y －2＝0、(2)设A ′(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×－1＝－1a ＋32＋b ＋42－2＝0解得a ＝－2,b ＝－1, ∴A ′的坐标为(－2,－1)、 16、(本小题满分12分)已知两条直线l 1:x ＋m 2y ＋6＝0,l 2:(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0 ,当m 为何值时,l 1与l 2(1)相交;(2)平行;(3)重合？ 解:当m ＝0时,l 1:x ＋6＝0,l 2:x ＝0,∴l 1∥l 2、 当m ＝2时,l 1:x ＋4y ＋6＝0,l 2:3y ＋2＝0,∴l 1与l 2相交、 当m ≠0且m ≠2时,由1m －2＝m 23m 得m ＝－1或m ＝3,由1m －2＝62m,得m ＝3、 故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时,l 1与l 2相交、(2)当m ＝－1或m ＝0时,l 1∥l 2、(3)当m ＝3时,l 1与l 2重合、17、(本小题满分12分)如图,已知点A (2,3),B (4,1),△ABC 就是以AB 为底边的等腰三角形,点C 在直线l :x －2y ＋2＝0上、(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程;(2)求△ABC 的面积、解:(1)由题意可知,E 为AB 的中点,∴E (3,2),且k CE ＝－1k AB ＝1,∴CE 所在直线方程为:y －2＝x －3,即x －y －1＝0、(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋2＝0x －y －1＝0得C (4,3),∴|AC |＝|BC |＝2,AC ⊥BC ,∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2、 18、(本小题满分14分)如图所示,在△ABC 中,BC 边上的高所在直线l 的方程为x －2y ＋1＝0,∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0,若点B 的坐标为(1,2),求点A 与点C 的坐标、解:由方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0解得顶点A (－1,0)、又AB 的斜率为k AB ＝1,且x 轴就是∠A 的平分线,故直线AC 的斜率为－1,AC 所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)、已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0,故BC 的斜率为－2,BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)、解方程组⎩⎨⎧ y ＝－x ＋1y －2＝－2x －1、得顶点C 的坐标为(5,－6)、 所以点A 的坐标为(－1,0),点C 的坐标为(5,－6)、。
高中数学 第三章 直线与方程章末综合测评1(含解析)新人教A版必修2(2021年最新整理)
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第三章直线与方程［自我校对］①0°≤α<180°②k＝tan α③错误!④k1·k2＝－1⑤k1＝k2，b1≠b2⑥|AB｜＝错误!⑦d＝错误!⑧d＝错误!(教师用书独具)直线方程及其应用（1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．（2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．过点A（－5，－4）作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．【精彩点拨】已知直线过定点A，且与两坐标轴都相交，围成的直角三角形的面积已知．求直线方程时可采用待定系数法,设出直线方程的点斜式，再由面积为5列方程，求直线的斜率．【规范解答】由题意知，直线l的斜率存在．设直线为y＋4＝k(x＋5），交x轴于点错误!，交y轴于点（0，5k－4)，S＝错误!×错误!×｜5k－4｜＝5，得25k2－30k＋16＝0（无实根),或25k2－50k＋16＝0，解得k＝错误!，或k＝错误!，所以所求直线l的方程为2x－5y－10＝0，或8x－5y＋20＝0。
高中数学 第三章 直线与方程综合检测题A必修2 试题(共4页)
新田县第一(d ìy ī)中学高中数学 第三章 直线与方程综合检测题〔无答案〕新人教A 版必修2时间是120分钟，满分是150分 姓名：〔 〕一、选择题(本大题一一共10个小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面只有一个是符合题目要求的)1．直线的方程为x －3y ＋2021＝0，那么直线的倾斜角为 ( )A. 30ºB.60ºC.120ºD.150º2．假设三点A (3,1)，B (－2, b )，C (8,11)在同一直线上，那么实数b 等于 () A ．2 B ．3 C ．9 D ．－93．过点P (－1,3)，且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为 ( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝04．过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，那么m 的值是( )A ．0B ．－8C ．2D ．105．ab ＜0，bc ＜0，那么直线ax ＋by ＝c 通过 ( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限6．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线恒过定点 ( )A ．(0,0)B ． (0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)7．点P (2,5)到直线y ＝－3x 的间隔 d 等于 ( )A ．0 B.23＋52 C.－23＋52 D.－23－528.与直线y ＝－2x ＋3平行，且与直线y ＝3x ＋4交于x 轴上的同一点的直线方程是A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝12x ＋4C ．y ＝－2x －83D ．y ＝12x －83 ( )9．两条直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，那么a 等于 ( )A ．2B ．1C ．0D ．－110．等腰直角三角形ABC的斜边所在(suǒzài)的直线是3x－y＋2＝0，直角顶点是C(3，－2)，那么两条直角边AC，BC的方程是 ( )A．3x－y＋5＝0，x＋2y－7＝0 B．2x＋y－4＝0，x－2y－7＝0C．2x－y＋4＝0,2x＋y－7＝0 D．3x－2y－2＝0,2x－y＋2＝0二、填空题(本大题一一共5个小题，每一小题5分，一共25分，把正确答案横线上)11．点A(－1,2)，B(－4,6)，那么|AB|等于________．12.．与直线7x＋24y＝5平行，并且间隔等于3的直线方程是________．13.．假设直线l经过点P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，那么直线l的方程为________或者________．14.．假设直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，那么m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)15. 设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，那么l的斜率k 的取值范围是_______________.三、解答题(此题一共6个大题，一共75分，解答写出文字说明，证明过程或者演算步骤)16．．(本小题满分是12分)直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，假设线段AB的中点为M(1，－1)，求直线l的斜率.17．(本小题满分是12分)(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？18．(本小题满分是12分)根据以下条件求直线(zhíxiàn)方程：(1)直线过点P(－2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1；(2)过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0.19．(本小题满分是13分)直线l过点(1,0)且被两条平行直线l1：3x＋y－6＝0和l2：3x＋y＋3＝0所截得的线段长为91010，求直线l的方程．20．(本小题满分是13分)当m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.(1)倾斜角为45°；(2)在x轴上的截距为1.21．(本小题满分(mǎn fēn)是13分)△ABC的三个顶点A(4，－6)，B(－4,0)，C(－1,4)，求(1)AC边上的高BD所在直线方程；(2)BC边的垂直平分线EF所在直线方程；(3)AB边的中线的方程．内容总结。
高中数学 第三章直线与方程单元测试题 A必修2 试题
卜人入州八九几市潮王学校第三章直线与方程单元测试题A 必修2一、选择题：1.假设直线过点〔１，２〕，〔４，２＋3〕，那么此直线的倾斜角是〔〕 Ａ３０°Ｂ４５°Ｃ６０°Ｄ９０°2.假设直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a=A 、-3B 、-6C 、23-D 、323.点P 〔-1，2〕到直线8x-6y+15=0的间隔为〔〕〔A 〕2〔B 〕21〔C 〕1〔D 〕27 4.点Ｍ〔４，m 〕关于点Ｎ〔n,－3〕的对称点为Ｐ〔６，－９〕，那么〔〕Ａm ＝－３，n ＝１０Ｂm ＝３，n ＝１０Ｃm ＝－３，n ＝５Ｄm ＝３，n ＝５5.以Ａ〔１，３〕，Ｂ〔－５，１〕为端点的线段的垂直平分线方程是〔〕Ａ3x-y-8=0B3x+y+4=0C3x-y+6=0D3x+y+2=06.过点Ｍ〔２,１〕的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 那么Ｌ的方程是〔〕Ａx-2y+3=0B2x-y-3=0C2x+y-5=0Dx+2y-4=07.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，那么该点的坐标是A 〔-2，1〕B 〔2，1〕C 〔1，-2〕D 〔1，2〕8.直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是〔A 〕平行〔B 〕垂直〔C 〕相交但不垂直〔D 〕不能确定9.如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，那么必有A.k 1<k 3<k 2B.k 3<k 1<k 2C.k 1<k 2<k 3D.k 3<k 2<k 110.A 〔1，2〕、B 〔-1，4〕、C 〔5，2〕，那么ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为〔〕〔A 〕x+5y-15=0(B)x=3(C)x-y+1=0(D)y-3=0二、填空题：11.点)4,5(-A 和),2,3(B 那么过点)2,1(-C 且与B A ,的间隔相等的直线方程为.12．过点Ｐ〔１，２〕且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是.13．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的间隔是.14．原点Ｏ在直线Ｌ上的射影为点Ｈ〔－２，１〕，那么直线Ｌ的方程为.三、解答题：15.①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的间隔是7的直线的方程；②求垂直于直线x+3y-5=0,且与点P(-1,0)的间隔是1053的直线的方程. 16.直线x+m 2y+6=0与直线〔m-2〕x+3my+2m=0没有公一共点，务实数m 的值. 17.直线l 被两平行直线063=-+y x 033=++y x 和所截得的线段长为3，且直线过点〔1，0〕，求直线l 的方程.参考答案： 1.A ；2.B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.D ；7.A ；8.C ；9.A ；10.A.11.x+4y-7=0或者x=-1;12.x+y-3=0或者2x-y=0;13.261;1x-y+5=0; 15.(1)3x+4y+23=0或者3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0或者3x-y-3=0.16.m=0或者m=-1;17.x=1或者3x-4y-3=0.。
2015-2016学年高中数学 3.2.1直线的点斜式方程课
写出满足下列条件的直线的方程． (1)斜率为 5，在 y 轴上截距为－1，________； (2)倾斜角 30°，在 y 轴上截距为 3，________. [答案] (1)5x－y－1＝0 (2)x－ 3y＋3＝0
[解析] (1)方程为 y＝5x－1，即 5x－y－1＝0. (2)方程为 y＝xtan30°＋ 3，即 x－ 3y＋3＝0.
规律总结：求直线的点斜式方程的步骤： ①确定定点坐标； ②求出直线的斜率； ③代入公式，写出方程．
特别提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂 直，直线上所有点的横坐标相等都为x0，故直线方程为x＝x0.
你能写出下列直线的点斜式方程吗？没有点斜式方程的直 线和斜率为0的直线如何表示？
2．直线的点斜式方程和斜截式方程的联系与区别 剖析：直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中，(x，y)是直线 上任意一点的坐标，(x0，y0)是直线上的一个定点，k是直线的 斜率；直线的斜截式方程y＝kx＋b中，(x，y)是直线上任意一 点的坐标，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，即过点 (0，b)． 联系：直线的点斜式方程和斜截式方程是直线方程的两种 不同形式，都可以看成直线上任意一点(x，y)的横坐标x和纵坐 标y之间的关系等式，即都表示直线．直线的斜截式方程是点 斜式方程的特殊情况．
[解析] (1)由直线的点斜式方程得y－3＝2(x＋2)，即2x－y ＋7＝0.
(2)直线垂直于y轴，故其斜率为0，所以此直线方程为y＝ 1.
(3)因为倾斜角为45°，所以直线斜率为tan45°＝1，由点 斜式方程得y－5＝x－2，即y＝x＋3.
[答案] (1)2x－y＋7＝0 (2)y＝1 (3)y＝x＋3
[解析] (1)y＝3x－3；
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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第三章 直线与方程章末检测（A ）新人教A 版必修2(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则系数a 为( )A ．－3B ．－6C ．－32D ．233．下列叙述中不正确的是( )A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都有唯一对应的倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α4．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与直线y ＝x ＋a 的图象(如图所示)正确的是( )5．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．－96．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．4x －3y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0D ．4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝07．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( )A ．4B ．13C ．15D ．178．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－334≤k ≤4 D ．以上都不对9．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．－4B ．20C ．0D ．2410．如果A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5,1)，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．x －3y ＋8＝0 C ．x ＋3y －4＝0 D ．3x －y ＋8＝011．直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上截距为－3，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝112．过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73与B (7,0)的直线l 1与过点(2,1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 等于( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知l 1：2x ＋my ＋1＝0与l 2：y ＝3x －1，若两直线平行，则m 的值为________． 14．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号)①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°．15．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________．16．已知直线l 经过点E (1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，则直线l 的方程为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为x ＋y ＋1＝0及3x －4＝0，其对角线的交点是D (3,3)，求另两边所在的直线的方程．18．(12分)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点．若点A (5,0)到l 的距离为3，求直线l 的方程．19．(12分)已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)．求(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．20．(12分) 如图，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上中线CE所在直线的方程为x＋2y －5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．21．(12分) 某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m2)．22．(12分)三角形ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|．求证：△ABC为等腰三角形．第三章 直线与方程(A) 答案1．A [利用斜率公式k ＝2＋3－24－1＝33＝tan θ，可求倾斜角为30°．]2．B [当两直线平行时有关系a 3＝2－1≠2－2，可求得a ＝－6．]3．D [α＝90°时，斜率不存在．∴选D ．] 4．C5．D [由k AB ＝k AC 得b ＝－9．]6．D [当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－4)代入得k ＝－43；当截距不为0时，设方程为x a ＋ya＝1，将(3，－4)代入得a ＝－1．] 7．D 8．A [如图：k PB ＝34，k PA ＝－4，结合图形可知 k ≥34或k ≤－4．] 9．A [垂足(1，c )是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4·25＝－1，∴a ＝10．l ：10x ＋4y －2＝0．将(1，c )代入，得c ＝－2；将(1，－2)代入l 2：得b ＝－12．则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4．]10．A11．D [依题意－3n＝－3，－mn＝tan 120°＝－3，∴m ＝3，n ＝1．故选D ．] 12．B [由题意知l 1⊥l 2， ∴kl 1·kl 2＝－1．即－13k ＝－1，k ＝3．]13．－2314．①⑤解析 两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为|3－1|2＝2．又动直线被l 1与l 2所截的线段长为22，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．15．－23解析 设P (x,1)则Q (2－x ，－3)，将Q 坐标代入x －y －7＝0得，2－x ＋3－7＝0．∴x ＝－2，∴P (－2,1)，∴k l ＝－23．16．4x ＋2y －8＝0解析 设直线l 的方程为x a ＋y b＝1． 由题意，得1a ＋2b＝1，①12ab ＝4． ② 联立①，②，得a ＝2，b ＝4．∴l 的方程为x 2＋y4＝1，即4x ＋2y －8＝0．17．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，3x －y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－54，y ＝14，即平行四边形给定两邻边的顶点为为⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，14． 又对角线交点为D (3,3)，则此对角线上另一顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫294，234． ∵另两边所在直线分别与直线x ＋y ＋1＝0及3x －y ＋4＝0平行，∴它们的斜率分别为 －1及3，即它们的方程为y －234＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －294及y －234＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －294，∴另外两边所在直线方程分别为x ＋y －13＝0和3x －y －16＝0．18．解 方法一 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0得交点P (2,1)，当直线斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)， 即kx －y ＋1－2k ＝0， ∴|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，∴l 的方程为y －1＝43(x －2)，即4x －3y －5＝0．当直线斜率不存在时，直线x ＝2也符合题意．∴直线l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2．方法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∴|5 2＋λ －5|2＋λ 2＋ 1－2λ2＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或12，∴直线l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2．19．解 (1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－32，k AC ＝1．∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0得B (7，－7)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0得C (－2，－1)．∴BC 边所在的直线方程2x ＋3y ＋7＝0． (2)∵|BC |＝117，A 点到BC 边的距离d ＝1513，∴S △ABC ＝12×d ×|BC |＝12×1513×117＝452．20．解 设B (x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22，由条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－5y 0＋8＝0x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－5y 0＋8＝0x 0＋2y 0－14＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝6y 0＝4，即B (6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)．故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0．21．解 在线段AB 上任取一点P ，分别向CD 、DE 作垂线划出一块长方形土地，以BC ，EA 的交点为原点，以BC ，EA 所在的直线为x ，y 轴，建立直角坐标系，则AB 的方程为x30＋y20＝1，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，20－2x 3，则长方形的面积S ＝(100－x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤80－⎝⎛⎭⎪⎫20－2x 3(0≤x ≤30)．化简得S ＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30)．当x ＝5，y ＝503时，S 最大，其最大值为6 017 m 2．22．证明作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 边所在的直线为x 轴，以OA 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，如右图所示．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)，因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以，由两点间距离公式可得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )·(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b)(c－d)，又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即c＝－b，所以△ABC为等腰三角形．。