同济大学概率统计期终试卷(A卷)

2011—2012学年第二学期

备用数据：

(1)0.8413,(2)0.9772Φ=Φ=,2

2

0.9750.0250.975(15) 2.1314,(15) 6.2621,(15)27.4884

t χχ===

一. 填空题(共20分)

1.（6分）设 ()0.7,()0.3,()0.1,P A P A B P B A =-=-=则()P AB = ， ()P AB = ，

()P A B ⋃= 。

2.（4分）设X 服从参数为1的指数分布，则当 k = 时，(2)0.25P k X k <<=。

3.（4分）已知X 的密度函数为 1

,21()10,x e f x x ⎧<<+⎪

=-⎨⎪⎩其他 ，则 2Y X =的密度函数为

()Y f y ⎧

=⎨⎩

。

4.（6分）设 16,,X X 是取自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，记 1352222

4

6

()c X X X Y X X X

++=

++，其中c 为不等

于零的常数，则当c = 时，Y 服从自由度为 的 分布。

二．（10分）设随机变量,X Y 相互独立且服从相同的分布，X 的密度函数为1,11

()0,x x f x ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩其他

，

记{}{}{}0.5,0.750.5A X B X Y =≤=≤⋂≤，求 ()P A 和 ()P A B -。 三．(14分) 设随机变量123,,X X X 相互独立且服从相同的分布,1112(1),(0)3

3

P X P X ====

。

记随机变量 331,1

0,1i i i X X Y X X +=⎧=⎨+≠⎩

， 1,2i = 。

（1）求 12(,)Y Y 的联合概率函数； （2）分别求12,Y Y 的边缘概率函数；

（3）问：12,Y Y 是否相互独立？请说明理由；（4）求2

12()Z Y Y =的概率函数。

四．（18分）设随机变量(,)X Y 的联合密度函数为

2,0102;(,)3

0,xy

x x y f x y ⎧+

<<<<⎪=⎨⎪⎩

且其他

(1) 分别求,X Y 的边缘密度函数; （2）求条件密度函数(0.5),(1)Y X X Y f y f x ；

（3）求随机变量X 与Y 的协方差()cov ,X Y ，并判断X 与Y 是否不相关； （4）求概率(0.51,12)P X Y <<<<。

五．(10分). 假设某条生产线组装一件产品所需时间X （单位：分钟）服从指数分布，且()10E X =（分钟）。

各件产品所需的组装时间相互独立且服从相同的分布。试用中心极限定理求该生产线组装100件产品所需时间在

15小时到20小时之间的概率.

六．(14分) 设某种汽车轮胎的寿命X （单位：万公里）服从正态分布2(,)N μσ，现对16只轮胎做寿命试验，

得到试验数据（单位：万公里）为116,,x x ，并由此算出16

16

21

1

75.2,354.79i i i i x x ====∑∑。分别求μ和2σ的置信

水平0.95的双侧置信区间。（结果保留三位小数）

七.(14分)设12,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本，2n ≥，X 的密度函数为

2,()0,x f x x θ

θ

⎧≥⎪=⎨⎪⎩

其他 ，其中 θ 未知。

（1） 求θ的极大似然估计量ˆθ；

（2） 将θ的极大似然估计量ˆθ修正为θ的无偏估计量ˆθ*

；

（3） 问：在（2）中求出的θ的无偏估计量ˆθ*是否为θ的相合估计量？请说明理由.