2013届高考数学一轮复习讲义第九章 9.1 直线的方程

3 3 解得 k＝－ ，∴y＋1＝－ (x－1)， 4 4 即 3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为 x＝1 或 3x＋4y＋1＝0.
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探究提高
在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种 形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在， 而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线， 截距式不能表示与坐标 轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意 分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不 存在的情况．
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变式训练 1
经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，－2)，B(2,1)的线 段总有公共点，求直线 l 的倾斜角 α 与斜率 k 的范围．
解 方法一 如图所示， －2－(－1) kPA＝ ＝－1， 1－0 1－(－1) kPB＝ ＝1， 2－0
由图可观察出： 直线 l 倾斜角 α 的范围是[135° 180° ， )∪[0° 45° ， ]； 直线 l 的斜率 k 的范围是[－1,1]．
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设过 A(1，－1)且与 y 轴不平行的直线为 y＋1＝k(x－1)， 2x＋y－6＝0 解方程组 ， y＋1＝k(x－1) k＋7 x＝ k＋2 得两直线交点为 4k－2 y＝ k＋2
.
(k≠－2，否则与已知直线平行)．
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k＋7 4k－2 ， 则 B 点坐标为 . k＋2 k＋2 k＋7 2 4k－2 －1 ＋ ＋12＝52， 由已知 k＋2 k＋2
x－2y－3＝0， (3)解方程组 2x－3y－2＝0， x＝－5， 得 y＝－4
.
即两条直线的交点为(－5，－4)．
y－1 x－2 由两点式得 ＝ ，即 5x－7y－3＝0. －4－1 －5－2
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直线方程的综合应用
例 3 已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点， 如图所示，求△ABO 的面积的最小值 及此时直线 l 的方程．
解
(1)方法一 设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a＝0，
即 l 过点(0,0)和(3,2)， 2 ∴l 的方程为 y＝ x，即 2x－3y＝0. 3 主页
x y 若 a≠0，则设 l 的方程为a＋a＝1， 3 2 ∵l 过点(3,2)，∴a＋a＝1， ∴a＝5，∴l 的方程为 x＋y－5＝0，
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方法二
设直线 l 的斜率为 k，
则直线 l 的方程为 y＋1＝kx， 即 kx－y－1＝0. ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上． ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即 2(k＋1)(k－1)≤0.
∴－1≤k≤1. ∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是[135° ，180° )∪[0° ，45° ]； 直线 l 的斜率 k 的范围是[－1,1]．
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求直线的方程
例 2 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； 1 (2)过点 A(－1，－3)，斜率是直线 y＝3x 的斜率的－ ； 4 (3)过点 A(1，－1)与已知直线 l1：2x＋y－6＝0 相交于 B 点且 AB＝5.
选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可．
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要点梳理
(2)直线的斜率
忆一忆知识要点
①定义：一条直线的倾斜角 α 的 正切值 叫做这条直线的斜率， 斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝ tan α ，倾斜角是 90° 的直线 斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝ y2－y1 . x2－x1
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要点梳理
忆一忆知识要点
4．线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段 P1P2 x＝x1＋x2 2 的中点 M 的坐标为(x，y)，则 y＝ y1 y2 2 段 P1P2 的中点坐标公式．
，此公式为线
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[难点正本
疑点清源]
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(2)设所求直线的斜率为 k，依题意 1 3 k＝－ ×3＝－ . 4 4 又直线经过点 A(－1，－3)， 3 因此所求直线方程为 y＋3＝－ (x＋1)， 4 即 3x＋4y＋15＝0.
(3)过点 A(1，－1)与 y 轴平行的直线为 x＝1. x＝1 解方程组 ， 2x＋y－6＝0 求得 B 点坐标为(1,4)，此时 AB＝5， 即 x＝1 为所求．
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变式训练 2
求满足下列条件的直线 l 的方程： 3 (1)过点 A(0,2)，它的倾斜角的正弦值是 ； 5 (2)过点 A(2,1)，它的倾斜角是直线 l1：3x＋4y＋5＝0 的倾斜角的 一半； (3)过点 A(2,1)和直线 x－2y－3＝0 与 2x－3y－2＝0 的交点．
(1)设直线 l 的倾斜角为 α， 3 3 则 sin α＝ ，tan α＝± ， 5 4 3 由斜截式得 y＝± x＋2， 4 解 即 3x－4y＋8＝0 或 3x＋4y－8＝0.
y＝kx＋b
y－y1 x－x1 ＝ y2－y1 x2－x1 x y a＋b＝1 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
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要点梳理
忆一忆知识要点
3.过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 (1)若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为 x＝x1 ； (2)若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为 y＝y1 ； (3)若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为 x＝0 ； (4)若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0 时，直线即为 x 轴，方程为 y＝0 .
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要点梳理
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式
忆一忆知识要点
2．直线方程的五种形式 方程 适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x＝x1 (x1≠x2) 和直线 y＝y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过 原点的直线 平面直角坐标系内的直 线都适用
y－y0＝k(x－x0)
则直线 l 的方程为 y－2＝k(x－3) (k<0)， 2 且有 A3－k，0，B(0,2－3k)， 4 2 1 1 ∴S△ABO＝ (2－3k)3－k＝ 12＋(－9k)＋(－k) 2 2 4 1 (－9k)· ≥ 12＋2 2 (－k) 1 ＝ ×(12＋12)＝12. 2
即直线 l 的斜率 k
1 的取值范围是－∞，－2∪[5，＋∞)．
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探究提高
解决本类题目有两种思路：一运用数形结合思想．当直线的 倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函 数 y＝tan α 的单调性求 k 的范围，数形结合是解析几何中的 重要方法．解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解 题思路，达到快捷解题的目的；二巧妙利用不等式所表示的 平面区域的性质使问题得以解决．
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当直线 l 绕着点 P 由 PA 旋转到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的 斜率变化范围是[5，＋∞)；
当直线 l 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时，它的斜率的变化 1 范围是－∞，－2. 1 ∴直线 l 的斜率的取值范围是－∞，－2∪[5，＋∞)． 方法二 设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y－2＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0. ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上， ∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0， 1 即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5 或 k≤－ . 2
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(2)设直线 l 和 l1 的倾斜角分别为 α、β， β π 3 0， ，又 tan β＝－ ， 则 α＝ ∈ 2 2 4 3 2tan α 则－ ＝ ， 4 1－tan2α 1 解得 tan α＝3 或 tan α＝－ (舍去)． 3
由点斜式得 y－1＝3(x－2)，即 3x－y－5＝0.
综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0. 方法二 由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k≠0，
设直线方程为 y－2＝k(x－3)，
2 令 y＝0，得 x＝3－k，令 x＝0，得 y＝2－3k， 2 2 由已知 3－k＝2－3k，解得 k＝－1 或 k＝ ， 3 ∴直线 l 的方程为 2 y－2＝－(x－3)或 y－2＝ (x－3)， 3 即 x＋y－5＝0 或 2x－3y＝0.
一轮复习讲义
直线的方程
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要点梳理
(1)直线的倾斜角
忆一忆知识要点
1．直线的倾斜角与斜率 ①定义： 在平面直角坐标系中， 对于一条与 x 轴相交的直线， 把 x 轴 所在的直线绕着交点按 逆时针 方向旋转到和直线 重合时所转过的最小正角 称为这条直线的倾斜角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0° . ，180° ． ) ②倾斜角的范围为 [0°
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4 2 当且仅当－9k＝ 时，即 k＝－ 时，等号成立． 3 －k 即△ABO 面积的最小值为 12.
故所求直线的方程为 2x＋3y－12＝0.
探究提高
利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形 式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或 点斜式；已知截距选择截距式．
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直线的倾斜角与斜率
例 1 已知直线 l 过点 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3，0) 为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围．
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分别求出 PA、PB 的斜率，直线 l 处于直线 PA、PB 之间，根据 斜率的几何意义利用数形结合即可求．
解 方法一 如图所示，直线 PA 的斜率 2－(－3) kPA＝ ＝5， －1－(－2) 直线 PB 的斜率 0－2 1 kPB＝ ＝－ . 2 3－(－1)
1．直线的斜率与倾斜角的区别及联系 在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其 次是倾斜角的范围．每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每 一条直线都存在斜率．所以在研究直线的有关问题时，应考虑到 斜率存在与不存在的情况，避免出现漏解的情形．同时，斜率又 是由倾斜角唯一确定的． 2．直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方 程的特殊形式，其中点斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由 它推导．直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有 一些特定的限制条件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜率； 截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零；两点式方程 的使用要求直线不与坐标轴垂直．因此应用时要注意它们各自适 用的范围，以避免漏解．
先建立 AB 所在直线的方程，再求出 A，B 两点的坐标，表 示出△ABO 的面积，然后利用相关的数学知识求最值．
解 设 A(a,0)，B(0，b) (a>3，b>2)， x y 则直线 l 的方程为a＋b＝1， 方法一
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3 2 2a ∵l 过点 P(3,2)，∴a＋b＝1，b＝ ， a－3 1 1 2a a2 从而 S△ABO＝ a· a· ＝ b＝ ， 2 2 a－3 a－3 (a－3)2＋6(a－3)＋9 故有 S△ABO＝ a－3 9 9 ＝(a－3)＋ ＋6≥2 (a－3)· ＋6＝12， a－3 a－3 9 当且仅当 a－3＝ ， a－3 2×6 即 a＝6 时，(S△ABO)min＝12，此时 b＝ ＝4. 6－3 x y ∴直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即 2x＋3y－12＝0. 6 4
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x y 方法二 设直线方程为a＋b＝1 (a>0，b>0)， 3 2 6 点 P(3,2)代入得a＋b＝1≥2 ab，得 ab≥24， 1 3 2 b 从而 S△AOB＝ ab≥12， 当且仅当a＝b时等号成立， 这时 k＝－a＝ 2 2 － ，从而所求直线方程为 2x＋3y－12＝0. 3 方法三 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k<0.