2013届高考数学一轮复习讲义第九章 9.1 直线的方程
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3 3 解得 k=- ,∴y+1=- (x-1), 4 4 即 3x+4y+1=0.
综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0.
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探究提高
在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种 形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在, 而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线, 截距式不能表示与坐标 轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,应注意 分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不 存在的情况.
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变式训练 1
经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)的线 段总有公共点,求直线 l 的倾斜角 α 与斜率 k 的范围.
解 方法一 如图所示, -2-(-1) kPA= =-1, 1-0 1-(-1) kPB= =1, 2-0
由图可观察出: 直线 l 倾斜角 α 的范围是[135° 180° , )∪[0° 45° , ]; 直线 l 的斜率 k 的范围是[-1,1].
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设过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x-1), 2x+y-6=0 解方程组 , y+1=k(x-1) k+7 x= k+2 得两直线交点为 4k-2 y= k+2
.
(k≠-2,否则与已知直线平行).
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k+7 4k-2 , 则 B 点坐标为 . k+2 k+2 k+7 2 4k-2 -1 + +12=52, 由已知 k+2 k+2
x-2y-3=0, (3)解方程组 2x-3y-2=0, x=-5, 得 y=-4
.
即两条直线的交点为(-5,-4).
y-1 x-2 由两点式得 = ,即 5x-7y-3=0. -4-1 -5-2
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直线方程的综合应用
例 3 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点, 如图所示,求△ABO 的面积的最小值 及此时直线 l 的方程.
解
(1)方法一 设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a,若 a=0,
即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0. 3 主页
x y 若 a≠0,则设 l 的方程为a+a=1, 3 2 ∵l 过点(3,2),∴a+a=1, ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0,
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方法二
设直线 l 的斜率为 k,
则直线 l 的方程为 y+1=kx, 即 kx-y-1=0. ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上. ∴(k+2-1)(2k-1-1)≤0,即 2(k+1)(k-1)≤0.
∴-1≤k≤1. ∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是[135° ,180° )∪[0° ,45° ]; 直线 l 的斜率 k 的范围是[-1,1].
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求直线的方程
例 2 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的- ; 4 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点且 AB=5.
选择适当的直线方程形式,把所需要的条件求出即可.
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要点梳理
(2)直线的斜率
忆一忆知识要点
①定义:一条直线的倾斜角 α 的 正切值 叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母 k 表示,即 k= tan α ,倾斜角是 90° 的直线 斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= y2-y1 . x2-x1
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要点梳理
忆一忆知识要点
4.线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且线段 P1P2 x=x1+x2 2 的中点 M 的坐标为(x,y),则 y= y1 y2 2 段 P1P2 的中点坐标公式.
,此公式为线
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[难点正本
疑点清源]
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(2)设所求直线的斜率为 k,依题意 1 3 k=- ×3=- . 4 4 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 4 即 3x+4y+15=0.
(3)过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 x=1. x=1 解方程组 , 2x+y-6=0 求得 B 点坐标为(1,4),此时 AB=5, 即 x=1 为所求.
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变式训练 2
求满足下列条件的直线 l 的方程: 3 (1)过点 A(0,2),它的倾斜角的正弦值是 ; 5 (2)过点 A(2,1),它的倾斜角是直线 l1:3x+4y+5=0 的倾斜角的 一半; (3)过点 A(2,1)和直线 x-2y-3=0 与 2x-3y-2=0 的交点.
(1)设直线 l 的倾斜角为 α, 3 3 则 sin α= ,tan α=± , 5 4 3 由斜截式得 y=± x+2, 4 解 即 3x-4y+8=0 或 3x+4y-8=0.
y=kx+b
y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y a+b=1 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)
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要点梳理
忆一忆知识要点
3.过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 (1)若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴,方程为 x=x1 ; (2)若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴,方程为 y=y1 ; (3)若 x1=x2=0,且 y1≠y2 时,直线即为 y 轴,方程为 x=0 ; (4)若 x1≠x2,且 y1=y2=0 时,直线即为 x 轴,方程为 y=0 .
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要点梳理
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式
忆一忆知识要点
2.直线方程的五种形式 方程 适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1 (x1≠x2) 和直线 y=y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过 原点的直线 平面直角坐标系内的直 线都适用
y-y0=k(x-x0)
则直线 l 的方程为 y-2=k(x-3) (k<0), 2 且有 A3-k,0,B(0,2-3k), 4 2 1 1 ∴S△ABO= (2-3k)3-k= 12+(-9k)+(-k) 2 2 4 1 (-9k)· ≥ 12+2 2 (-k) 1 = ×(12+12)=12. 2
即直线 l 的斜率 k
1 的取值范围是-∞,-2∪[5,+∞).
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探究提高
解决本类题目有两种思路:一运用数形结合思想.当直线的 倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需根据正切函 数 y=tan α 的单调性求 k 的范围,数形结合是解析几何中的 重要方法.解题时,借助图形及图形性质直观判断,明确解 题思路,达到快捷解题的目的;二巧妙利用不等式所表示的 平面区域的性质使问题得以解决.
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当直线 l 绕着点 P 由 PA 旋转到与 y 轴平行的位置 PC 时,它的 斜率变化范围是[5,+∞);
当直线 l 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时,它的斜率的变化 1 范围是-∞,-2. 1 ∴直线 l 的斜率的取值范围是-∞,-2∪[5,+∞). 方法二 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0. ∵A、B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上, ∴(-2k+3+k+2)(3k-0+k+2)≤0, 1 即(k-5)(4k+2)≥0,∴k≥5 或 k≤- . 2
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(2)设直线 l 和 l1 的倾斜角分别为 α、β, β π 3 0, ,又 tan β=- , 则 α= ∈ 2 2 4 3 2tan α 则- = , 4 1-tan2α 1 解得 tan α=3 或 tan α=- (舍去). 3
由点斜式得 y-1=3(x-2),即 3x-y-5=0.
综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. 方法二 由题意,所求直线的斜率 k 存在且 k≠0,
设直线方程为 y-2=k(x-3),
2 令 y=0,得 x=3-k,令 x=0,得 y=2-3k, 2 2 由已知 3-k=2-3k,解得 k=-1 或 k= , 3 ∴直线 l 的方程为 2 y-2=-(x-3)或 y-2= (x-3), 3 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0.
一轮复习讲义
直线的方程
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要点梳理
(1)直线的倾斜角
忆一忆知识要点
1.直线的倾斜角与斜率 ①定义: 在平面直角坐标系中, 对于一条与 x 轴相交的直线, 把 x 轴 所在的直线绕着交点按 逆时针 方向旋转到和直线 重合时所转过的最小正角 称为这条直线的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0° . ,180° . ) ②倾斜角的范围为 [0°
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4 2 当且仅当-9k= 时,即 k=- 时,等号成立. 3 -k 即△ABO 面积的最小值为 12.
故所求直线的方程为 2x+3y-12=0.
探究提高
利用直线方程解决问题,为简化运算可灵活选用直线方程的形 式:一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或 点斜式;已知截距选择截距式.
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直线的倾斜角与斜率
例 1 已知直线 l 过点 P(-1,2),且与以 A(-2,-3),B(3,0) 为端点的线段相交,求直线 l 的斜率的取值范围.
百度文库
分别求出 PA、PB 的斜率,直线 l 处于直线 PA、PB 之间,根据 斜率的几何意义利用数形结合即可求.
解 方法一 如图所示,直线 PA 的斜率 2-(-3) kPA= =5, -1-(-2) 直线 PB 的斜率 0-2 1 kPB= =- . 2 3-(-1)
1.直线的斜率与倾斜角的区别及联系 在确定直线的斜率、倾斜角时,首先要注意斜率存在的条件,其 次是倾斜角的范围.每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每 一条直线都存在斜率.所以在研究直线的有关问题时,应考虑到 斜率存在与不存在的情况,避免出现漏解的情形.同时,斜率又 是由倾斜角唯一确定的. 2.直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方 程的特殊形式,其中点斜式是最基本的,其他形式的方程皆可由 它推导.直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义,但又都有 一些特定的限制条件,如点斜式方程的使用要求直线存在斜率; 截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零;两点式方程 的使用要求直线不与坐标轴垂直.因此应用时要注意它们各自适 用的范围,以避免漏解.
先建立 AB 所在直线的方程,再求出 A,B 两点的坐标,表 示出△ABO 的面积,然后利用相关的数学知识求最值.
解 设 A(a,0),B(0,b) (a>3,b>2), x y 则直线 l 的方程为a+b=1, 方法一
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3 2 2a ∵l 过点 P(3,2),∴a+b=1,b= , a-3 1 1 2a a2 从而 S△ABO= a· a· = b= , 2 2 a-3 a-3 (a-3)2+6(a-3)+9 故有 S△ABO= a-3 9 9 =(a-3)+ +6≥2 (a-3)· +6=12, a-3 a-3 9 当且仅当 a-3= , a-3 2×6 即 a=6 时,(S△ABO)min=12,此时 b= =4. 6-3 x y ∴直线 l 的方程为 + =1,即 2x+3y-12=0. 6 4
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x y 方法二 设直线方程为a+b=1 (a>0,b>0), 3 2 6 点 P(3,2)代入得a+b=1≥2 ab,得 ab≥24, 1 3 2 b 从而 S△AOB= ab≥12, 当且仅当a=b时等号成立, 这时 k=-a= 2 2 - ,从而所求直线方程为 2x+3y-12=0. 3 方法三 依题意知,直线 l 的斜率 k 存在且 k<0.