2017-2018学年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(一)(理科)

2017-2018学年高二数学下学期期末模拟试卷及答案（一）（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的﹒1．已知：z（1+2i）=3﹣i，则=（）A．B．C．D．2．设随机变量ξ～B（2，p），随机变量η～B（3，p），若，则Eη=（）A．B．C．1 D．3．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线在正方形內的部分）的点的个数的估计值为（）A．1193 B．1359 C．2718 D．34134．x，y的取值如表，从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则m=（）A．15 B．16 C．16.2 D．175．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2=，3=，4=，5=则按照以上规律，若8=具有“穿墙术”，则n=（）A．7 B．35 C．48 D．636．从混有3张假钞的10张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）的部分图象是（）A．B．C．D．8．已知函数函数，其中a＞0，若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰好有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，3） B．（3，+∞）C． D．9．已知：，则a6=（）A．﹣28 B．﹣448 C．112 D．44810．已知数列{a n}各项的绝对值均为1，S n为其前n项和．若S7=3，则该数列{a n}的前七项的可能性有（）种．A．10 B．20 C．21 D．4211．若f（x）=，则fA．B．C．D．12．已知定义在R上函数f（x）是可导的，f（1）=2，且f（x）+f'（x）＜1，则不等式f（x）﹣1＜e1﹣x的解集是（）（注：e为自然对数的底数）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1） D．（﹣∞，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题纸上.13．在二项式（+）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为．14．若函数f（x）=e x+ax2无极值点，则a的取值范围是．15．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则=．16．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且，则=．三、解答题：17．已知：二项式展开式中所有项的二项式系数和为64，（1）求n的值；（2）若展开式所有项的系数和为，其中a，b为有理数，求a和b的值．18．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列表：（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女生的概率．（3）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出K2，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？附：下面的临界值表供参考：19．（1）已知：x∈（0+∞），求证：；（2）已知：n∈N且n≥2，求证：．20．学校在军训过程中要进行打靶训练，给每位同学发了五发子弹，打靶规则：每个同学打靶过程中，若连续两发命中或者连续两发不中则要停止射击，否则将子弹打完．假设张同学在向目标射击时，每发子弹的命中率为．（1）求张同学前两发只命中一发的概率；（2）求张同学在打靶过程中所耗用的子弹数X的分布列与期望．21．某兴趣小组有9名学生．若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是．（1）该小组中男女学生各多少人？（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）22．设函数（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）曲线y=xf（x）是否存在经过原点的切线，若存在，求出该切线方程，若不存在说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的﹒1．已知：z（1+2i）=3﹣i，则=（）A．B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】求出z，由复数的除法运算法则化简，再由共轭复数的定义，即可得到所求．【解答】解：z（1+2i）=3﹣i，可得z===，则=+i．故选：B．2．设随机变量ξ～B（2，p），随机变量η～B（3，p），若，则Eη=（）A．B．C．1 D．【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据独立重复事件的概率公式计算p，从而得出Eη．【解答】解：∵，∴，解得．∴η～，∴Eη=1．故选C．3．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线在正方形內的部分）的点的个数的估计值为（）A．1193 B．1359 C．2718 D．3413【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】根据正态分布的对称性得出阴影面积，从而得出点落入阴影的概率，即可得出答案．【解答】解：μ=﹣1，σ=1，∵P（μ﹣σ＜x≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）=0.9544，即P（﹣2＜x＜0）=0.6826，P（﹣3＜x＜1）=0.9544，∴P（0＜x＜1）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359，∴点落入阴影的概率p==0.1359，∴落入阴影的点个数约为10000×0.1359=1359．故选：B．4．x，y的取值如表，从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为，则m=（）A．15 B．16 C．16.2 D．17【考点】BK：线性回归方程．【分析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值，【解答】解：∵==3，==，∴这组数据的样本中心点是（3，），∵y与x线性相关，且回归方程为，∴=3.5×3﹣1.3，∴m=17，故选D．5．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2=，3=，4=，5=则按照以上规律，若8=具有“穿墙术”，则n=（）A．7 B．35 C．48 D．63【考点】F1：归纳推理．【分析】观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决．【解答】解2=2==，3=3=，4=4=，5=5=则按照以上规律8=，可得n=82﹣1=63，故选：D．6．从混有3张假钞的10张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】记“抽出的两张中有一张是假币”为事件A，“抽出的两张都是假币”为事件B，利用条件概率计算公式能求出将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率．【解答】解：记“抽出的两张中有一张是假币”为事件A，记“抽出的两张都是假币”为事件B，则将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为：．故选：A．7．函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）的部分图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由y=sinx的图象画出函数y=﹣sinx的图象，根据图象的形状相同选出答案．【解答】解：根据y=sinx的图象知，函数y=﹣sinx的图象和y=sinx的图象关于x轴对称，则函数f（x）的图象和y=﹣sinx的图象形状大致一致．函数y=﹣sinx的图象如下图：故选D．8．已知函数函数，其中a＞0，若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰好有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，3） B．（3，+∞）C． D．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】求出函数f（x）的导数，分解因式，可得f（x）在区间（﹣2，﹣1）内单调增加，在区间（﹣1，0）单调减少，由零点存在定理可得f（﹣2）＜0，f（﹣1）＞0，f（0）＜0，解不等式即可得到所求a的范围．【解答】解：函数的导数为：f′（x）=x2+（1﹣a）x﹣a=（x+1）（x﹣a），a＞0，易知函数f（x）在区间（﹣2，﹣1）内单调增加，在区间（﹣1，0）单调减少，从而函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰好有两个零点，当且仅当，即为，即有，解得．故选：C．9．已知：，则a6=（）A．﹣28 B．﹣448 C．112 D．448【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】令t=x﹣1，根据展开式的通项公式，即可求出a6．【解答】解：令t=x﹣1，则，故，故选：A．10．已知数列{a n}各项的绝对值均为1，S n为其前n项和．若S7=3，则该数列{a n}的前七项的可能性有（）种．A．10 B．20 C．21 D．42【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，由数列{a n}的前七项和S7=3可知，前七项之中有5项为1，2项为﹣1，由组合数公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}各项的绝对值均为1，即a n=1或﹣1，又由S7=3，则数列{a n}的前七项之中有5项为1，2项为﹣1，故该数列前七项的排列有种，故选：C．11．若f（x）=，则fA．B．C．D．【考点】3T：函数的值．【分析】由题意得f=，由此能求出结果．【解答】解：由题可知：当x＞0时，f（x）=f（x﹣5），所以f=f（﹣3），故f已知定义在R上函数f（x）是可导的，f（1）=2，且f（x）+f'（x）＜1，则不等式f（x）﹣1＜e1﹣x的解集是（）（注：e为自然对数的底数）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1） D．（﹣∞，1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，设F（x）=e x（f（x）﹣1），对其求导可得F'（x），分析可得函数F（x）为减函数且F（1）=e，进而可以将不等式f（x）﹣1＜e1﹣x转化为F（x）＜F（1），由F（x）的单调性分析即可得答案．【解答】解：根据题意，设F（x）=e x（f（x）﹣1），则F'（x）=e x[f（x）+f'（x）﹣1]，因为e x＞0，由已知可得，F'（x）＜0，即函数F'（x）是单调减函数，F（1）=e，故f（x）﹣1＜e1﹣x，即F（x）＜F（1），则有x＞1；即不等式f（x）﹣1＜e1﹣x的解集是（1，+∞）；故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题纸上.13．在二项式（+）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为．【考点】DB：二项式系数的性质；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】求出二项展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出n；求出展开式的项数；令通项中x的指数为整数，求出展开式的有理项；利用排列求出将9项排起来所有的排法；利用插空的方法求出有理项不相邻的排法；利用古典概型的概率公式求出概率．【解答】解：展开式的通项为∴展开式的前三项系数分别为，，∵前三项的系数成等差数列∴=+解得n=8所以展开式共有9项，所以展开式的通项为当x的指数为整数时，为有理项所以当r=0，4，8时x的指数为整数即第1，5，9项为有理项共有3个有理项所以有理项不相邻的概率P==．故答案为：14．若函数f（x）=e x+ax2无极值点，则a的取值范围是．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出f（x）的导数，可得e x=﹣2ax至多一个实数解，设g（x）=e x，h（x）=﹣2ax，求出y=g （x）的过原点的切线方程，可得切线的斜率，由题意可得a的不等式，即可得到a的范围．【解答】解：函数f（x）=e x+ax2导数f′（x）=e x+2ax，令f′（x）=0，即e x=﹣2ax，设g（x）=e x，h（x）=﹣2ax，g′（x）=e x，设切点为（m，e m），可得切线的斜率为e m，切线的方程为y﹣e m=e m（x﹣m），易求过点（0，0）的曲线g（x）的切线斜率为e，切点为（1，e），方程为y=ex，因此，由题意可得，0≤﹣2a≤e，故．故答案为：．15．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则=3．【考点】F3：类比推理．【分析】设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又因为O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，可得O到四面体各面的距离都相等，所以O也是为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM，从而结果可求．【解答】解：设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又∵O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，∴O到四面体各面的距离都相等，O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有四面体的体积V=4••r=，∴r==，即OM=，所以AO=AM﹣OM=，所以=3故答案为：316．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且，则=﹣32．【考点】67：定积分．【分析】设，根据导数得运算法则，求出函数f（x）的表达式，再根据定积分的计算法则即可求出【解答】解：设，则f（x）=﹣x3+3f'（2）x+a，所以，f'（x）=﹣3x2+3f'（2），令x=2，求得f'（2）=6，故f（x）=﹣x3+18x+a，因此，，则有32+2a=a，得a=﹣32．故答案为：﹣32．三、解答题：17．已知：二项式展开式中所有项的二项式系数和为64，（1）求n的值；（2）若展开式所有项的系数和为，其中a，b为有理数，求a和b的值．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】（1）由题意，2n=64，解得即可，（2）方法一：求出通项公式，即可求出a，b，方法二：赋值法，令x=1时求出a+b=99+70，问题得以解决【解答】解：（1）由题意，2n=64，n=6（2）展开式的通项为（r=0，1，2，…，6）．则，方法二令x=1，则，因为故，a=99，b=70．18．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列表：（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女生的概率．（3）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出K2，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？附：下面的临界值表供参考：【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）根据分层抽样原理计算样本中男生应抽取的人数；（2）计算基本事件数，求出对应的概率值；（3）根据表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】解：（1）在喜欢打蓝球的学生中抽6人，则抽取比例为；∴男生应该抽取人；….4分（2）在上述抽取的6名学生中，女生的有2人，男生4人；则从6名学生任取2名的所有情况为：种情况，其中恰有1名女生情况有：种情况，故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女生的概率概率为；….8分（3）∵，且p（K2≥7.879）=0.005=0.5%，所以有99.5%的把握认为是否喜欢打蓝球是与性别有关系．….12分．19．（1）已知：x∈（0+∞），求证：；（2）已知：n∈N且n≥2，求证：．【考点】RG：数学归纳法．【分析】（1）设，令f（t）=ln（t+1）﹣，判断f（t）在（0，+∞）上的单调性，得出f（t）的值域从而得出结论；（2）把x=1，2，3，…，n﹣1代入（1）的结论，各式相加即可得出结论．【解答】证明：（1）不妨令，则t∈（0+∞），=，设，则f′（t）=﹣=＞0，∴f（t）在（0，+∞）上单调递增，∴f（t）＞f（0）=0，∴．即：．（2）方法一：由（1）知，即，∴ln2＞，ln＞，ln＞，…，ln＞，以上各式相加得：，即得：．方法二：当n=2时，，即左边＞右边，命题成立；②假设当n=k（k≥2）时，命题成立，即成立，当n=k+1时右边=由（1）知：令x=k，有，即因此有：左边=故，左边＞右边，即，当n=k+1时，命题成立．综上①②，当n∈N且n≥2，成立．20．学校在军训过程中要进行打靶训练，给每位同学发了五发子弹，打靶规则：每个同学打靶过程中，若连续两发命中或者连续两发不中则要停止射击，否则将子弹打完．假设张同学在向目标射击时，每发子弹的命中率为．（1）求张同学前两发只命中一发的概率；（2）求张同学在打靶过程中所耗用的子弹数X的分布列与期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记“第k发子弹命中目标”为事件A k，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且，其中k=1，2，3，4，5，由此能求出张同学前两发子弹只命中一发的概率．（2）X的所有可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记“第k发子弹命中目标”为事件A k，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且，其中k=1，2，3，4，5∴张同学前两发子弹只命中一发的概率为…4分（2）X的所有可能取值为2，3，4，5，，…6分，…8分，…9分，…10分综上，X的分布列为故E（X）==．…12分．21．某兴趣小组有9名学生．若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是．（1）该小组中男女学生各多少人？（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】（1）设男生有x人，由，可解得，x=6，于是可知该小组中男女学生的人数；（2）（方法一）按坐座位的方法：第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，第二步：余下的座位让3个女生去坐，利用分步乘法计数原理可得答案；（方法二）除序法：第一步：9名学生站队共有种站队方法；第二步：3名女生有种站队顺序，依题意可得答案；（3）第一步：将6名男生分成3组；第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，第三步：3组男生中每组男生站队，利用分步乘法计数原理可得答案．【解答】解：（1）设男生有x人，则，即x（x﹣1）（9﹣x）=90，解之得，x=6故男生有6人，女生有3人．…4分（2）（方法一）按坐座位的方法：第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有=60480种；第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；故，一共有60480×1﹣1=60479种重新站队方法．…8分（方法二）除序法：第一步：9名学生站队共有种站队方法；第二步：3名女生有种站队顺序；故一共有﹣1=60480﹣1=60479种重新站队方法．…8分（3）第一步：将6名男生分成3组，共有种；第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种故一共有：15×144×8=17280种站队方法．…12分．22．设函数（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）曲线y=xf（x）是否存在经过原点的切线，若存在，求出该切线方程，若不存在说明理由．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，可令h（x）=x2+2﹣2lnx，再求导数和单调区间，可得最小值，即可判断f（x）的单调性；（2）不妨设曲线y=x•f（x）在点（m，mf（m））（m＞0）处的切线经过原点，求出y=xf（x）的导数，可得切线的斜率，求得切线方程，代入原点，可得m2﹣lnm+1=0，（*），记，求出导数，判断单调性，即可得到方程解的情况．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，令h（x）=x2+2﹣2lnx，则，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，h（x）min=h（1）=3＞0，即当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0所以，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；（2）不妨设曲线y=x•f（x）在点（m，mf（m））（m＞0）处的切线经过原点，则有y=xf（x），y′=[xf（x）]′，即y′=x﹣a+，可得切线的斜率为k=m﹣a+，切线的方程为y﹣（m2﹣am+lnm）=（m﹣a+）（x﹣m），代入（0，0），化为m2﹣lnm+1=0，（*）记，则，令g'（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，g'（x）＜0，当x＞1时，g'（x）＞0，∴是g（x）的最小值，即当x＞0时，．由此说明方程（*）无解，∴曲线y=f（x）没有经过原点的切线．。