17.指数函数与对数函数【教师版】(正式版)
幂函数、指数函数与对数函数(解析版))
幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。
福建省教师招聘考试网整理：对数函数与指数韩束
福建省教师招聘考试网整理：对数函数与对数函数指数函数是基本初等函数之一，在学习指数函数时，首先要了解根式的概念及运算法则，在此基础上来理解指数函数所表达的函数关系。
福建教师招考信息网整理指数函数重点知识如下：一、根式1.叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数。
2.当n为奇数时，a为任意实数，当n为偶数时，a≥0。
3.分数指数幂的运算法则a>1 0<a<1三、比较大小的常用方法1.做差（商）法：A-B大于0即A大于B，A-B等于0即A等于B，A-B小于0即A小于B。
A\B大于1即A大于B，A\B等于1即A等于B，A/B小于1即A小于B。
（A，B大于0）2.函数单调性法3.中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
注：1.对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
2.对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。
指数函数是数学中重要的函数，注重考察数形结合的分析运算，其函数图像的特点是常考的内容，在学习时，可以结合函数图像来理解函数的基本性质，加深印象。
在数学中，对数函数的定义为：一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
对数函数是福建省教师招聘考试的重点，也是难点。
以下是福建省教师招聘考试网整理的数学教案《对数函数》：一、教学目标（一）知识技能目标1.理解并掌握对数函数的概念；2.掌握对数函数图像的初步画法；3.了解对数函数的基本性质。
（二）过程与方法目标通过对动手操作、自主探究、合作讨论的方法，培养学生的观察问题能力，提高学生动手操作、类比、观察能力，发展数学思维，能在实际生活中解决一些实际问题。
（二）情感态度与价值目标通过对对数函数概念的理解和图像及性质的探索，使学生掌握富有挑战性的知识，激发学生自主探索数学问题的热情，在活动中增强探索数学规律的兴趣，积累积极的数学学习体验。
高中数学竞赛系列讲座：指数函数与对数函数
高中数学竞赛系列讲座：指数函数与对数函数指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。
无论在高考及数学竞赛中,都具有重要地位。
熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大。
一、指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。
相同因数相乘a·a……a(n个)=a n导出乘方,这里的n为正整数。
从初中开始,首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来,推广为有理指数；最后,在实数范围内建立起指数概念。
欧拉指出：“对数源出于指数”。
一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是a b=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
a b=N与b=logaN是一对等价的式子,这里a是给定的不等于1的正常数。
当给出b求N时,是指数运算,当给出N求b时,是对数运算。
指数运算与对数运算互逆的运算。
二、指数运算与对数运算的性质1．指数运算性质主要有3条：a x·a y=a x+y,(a x)y=a xy,(ab)x=a x·b x（a>0,a≠1,b>0,b≠1）2．对数运算法则（性质）也有3条：（1）loga(MN)=logaM+logaN（2）logaM/N=logaM-logaN（3）logaM n=nloga M(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)3．指数运算与对数运算的关系：X=a logax；m logan=n logam4．负数和零没有对数；1的对数是零,即loga1=0；底的对数是1,即logaa=15．对数换底公式及其推论：换底公式：logaN=logbN/logba推论1：loga m N n=(n/m)logaN推论2：三、指数函数与对数函数函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数。
高中数学北师大版必修1课件第三章指数函数和对数函数
A.a B.b
C.c D.d
解析:根据四种函数的变化特点,指数函数是变化最快的函数.当
运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数关系运动的
物体.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型三 函数的增长差异在实际中的应用
【例3】 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激
励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进
这说明,按模型y=log7x+1进行奖励,奖金不超过利润的25%.
综上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.
反思从这个例题可以看到,底数大于1的指数函数模型比一次项
系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多,而后者又比真数大
于1的对数函数模型增长速度要快,从而我们可以体会到对数增长、
直线上升、指数爆炸等不同函数类型增长的含义.
时,y>5,因此该模型不符合要求.
对于模型y=1.002x,利用计算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x
在(-∞,+∞)上是增函数,故当x∈(806,1 000]时,y>5,因此,也不符合题
意.
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上是增加的,且当x=1 000
是增函数,但它们增长的速度不同,而且不在一个“档次”上,随着x的
增大,y=ax(a>1)的增长速度会越来越快,会超过并远远大于
y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)的增长速度.由于指数函数值增长非
常快,人们常称这种现象为“指数爆炸”.
【做一做1】 当x(x>0)增大时,下列函数中,增长速度最快的是
(完整版)指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂n 1．整数指数幂概念：a =a ⋅Λ⋅a (n ∈N )a 0=1(a ≠0)1⋅4a 243*n 个aa-n=1a ≠0,n ∈N *)n(a 2．整数指数幂的运算性质：（1）a m ⋅a n =a m +n (m ,n ∈Z )（2）a （3）(ab )=a ⋅b n n n ()mn=a mn(m ,n ∈Z )(n ∈Z )其中a ÷a =a ⋅a m n m -n =a m -n a n ⎛a ⎫-1nn -n ， ⎪=(a ⋅b)=a ⋅b =n ．b ⎝b ⎭n 3．a 的n 次方根的概念即：若x n 一般地，如果一个数的n 次方等于a n >1,n ∈N )，那么这个数叫做a 的n 次方根，=a ，则x 叫做a 的n 次方根，(n >1,n ∈N )**(说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若a >0则n a >0，若a <o 则n a <0；②若n 是偶数，且a >0则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：-n a ；（例如：8的平方根±8=±2216的4次方根±416=±2）③若n 是偶数，且a <0则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④Θ0=0n >1,n ∈N nn (*)∴n 0=0；⑤式子a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴(a )nn=a ．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则n a n =a ；若n 是偶数，则n a n =a =⎨5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）3-8⎧a⎩-aa ≥0a <0．(3)（2）(-10)*2（3）4(3-π)（4）4例2．已知a <b <0,n >1,n ∈N ，化简：n (a -b )+n (a +b )．n n （二）分数指数幂1051231．分数指数幂：5a =a =a102(a >0)3a =a =a124(a >0)即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）a 3()kn=akn 对分数指数幂也适用，442255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫2532例如：若a >0，则 a 3⎪=a 3=a ， a 4⎪=a 4=a ，∴a =a 3⎝⎭⎝⎭a =a ．545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
【全文】指数函数与对数函数PPT课件 (2)
2.
y
(1)
1 x3
2
x≠ - 3
1 0 x3
y≠1, y>0
值域为 (0,1)∪(1,+∞)
平移变换
指数函数3(函数的图象变换)
1. y=f(x) →y=f(x-a)：左右平移
y=f(x-a)，a<0
y=f(x) y=f(x-a)，a>0
a>0时，向右平移a个单位； a<0时，向左平移|a|个单位.
5
1). a 2 a , a 2
11
a3 3 a2 ,
a3
3
a a, a4
3. 计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6 ); 4a
13
(2)(m 4 n 8 )8.
要点：分别计算系数和指数
m2n3
4. 计算下列各式：
5
⑵ y 3 5x1 ⑶ y 2 x 1
函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围。
（1）定义域为{x|x≠1}；
1 0
x 1
值域为{y|y>0且y≠1}
1
⑴ y 0.4 x1
⑵ y 3 5x1 ⑶ y 2 x 1
（2） 定义域为{x| x 1 } 5
值域为{y|y≥1}
1
m
an
(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)
0的正分数指数幂等于0
0的负分数指数幂无意义 有理指数幂的运算性质
a m a n a mn (m, n Q) (a m )n a mn (m, n Q) (ab)n a n bn (n Q)
人教版(2021)中职数学基础模块上册第四章《指数函数与对数函数》复习课课件
【例3】 求下列函数的定义域:
(1) y log2 (2 x) ; 1 x
(2) y lg[(1)x 1]. 3
3.指、对数方程 【例4】 (lg 2 lg 50) ( 2)x 4.
4.指、对数函数性质的应用
【例5】 解下列不等式:
(1)(1)x2 x6 1; 2(2)Biblioteka lg(4x 1) lg(2x 3).
【例6】 根据下列各式,确定a的取值范围:
(1)a2<a3;
(2)log2a<1;
(3)loga2>1.
图象
定义域
性
值域
定点
质
增减性
奇偶性
4.指数式与对数式转换 ab=N用对数式如何表示:
5.对数运算 (1)logaM+logaN= (3)alogaN= (5)logambn= (6)logbN=
; (2)logaM-logaN=
;
(4)logaMb=
;
(换为a为底的对数)=
; ;
(换为10为底的对数).
6.对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质
a
a>1
图象
定义域
性
值域
质
定点
增减性
0<a<1
二、典型例题 1.指、对数运算 【例1】 若loga2=m,loga5=n,求am+n的值.
【例2】 计算:
(1)(
3
2)0
(
1 )3
2
1253
;
2
(2)
log3
4
log3
8
log3
32 9
.
2.求函数的定义域
高中数学 第三章 指数函数和对数函数教案 北师大版必
第三章指数函数和对数函数§1正整数指数函数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解正整数指数函数模型的实际背景．(2)了解正整数指数函数的概念．(3)理解具体的正整数指数函数的图像特征及函数的单调性．2．过程与方法让学生结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，进一步认识到数学的应用价值，用数学的眼光观察世界．●重点难点重点：正整数指数函数的概念及图像特征．难点：正整数指数函数概念的理解．通过实例，利用计算器画出两个正整数指数函数图像，加深对概念的理解，突破难点．(教师用书独具)●教学建议1．对于问题1和问题2的学习，必须通过列表、描点、作图、计算器操作等步骤让学生体验数学研究的过程，体验数学实验、数学实践．2．通过问题1的学习，还要让学生体会指数增长，初步感受“指数爆炸”的含义．3．计算器的应用是新课标的一个特色，教材中出现“使用科学计算器可算得……”，学习中应适当地加以整合．4．通过本节课的学习，让学生感受数学的应用以及对正整数指数函数背景的理解，归纳概括出正整数指数函数的定义．从具体问题中归纳出一种重要的数学模型，这种模型化的处理也是学生研究的一个特色．●教学流程创设情景，导入新课，通过生活实例激发学生的学习动机⇒启发诱导探求新知，让学生动手作简单的图像对深刻理解本节课的内容有着一定的促进作用，并完成例1及变式训练⇒巩固新知，反馈回授，引导学生在同一坐标系下画出指数函数的图像⇒归纳正整数指数函数的性质，完成例2及其变式训练⇒进一步深化学习目标，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第35页)课标解读1.了解正整数指数函数模型的实际背景．2．了解正整数指数函数的概念．(重点)3．理解具体的指数函数的图像特征．(重点) 4．会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点)正整数指数函数的概念【问题导思】某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．1．你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时，得到的细胞个数吗？【提示】分裂次数12345678细胞个数2481632641282562．你能用图像表示1个细胞分裂的次数n(n∈N＋)与得到的细胞个数y之间的关系吗？【提示】3．请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式．1．正整数指数函数一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.2．正整数指数函数的图像特点前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．3．指数型函数把形如y＝ka x(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数.(见学生用书第35页)正整数指数函数的定义下列函数中一定是正整数指数函数的是( ) A ．y ＝(－4)x(x ∈N ＋) B ．y ＝(13)x (x ∈N ＋)C ．y ＝2×3x (x ∈N ＋)D ．y ＝x 3(x ∈N ＋)【思路探究】 熟练掌握定义中的三个特征是解决本题的关键．【自主解答】 y ＝(－4)x 的底数－4<0，不是正整数指数函数；y ＝2×3x 中3x的系数等于2，不是正整数指数函数；y ＝x 3中自变量x 在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数；由正整数指数函数的定义知，只有y ＝(13)x是正整数指数函数．【答案】 B1．正整数指数函数解析式的基本特征：a x前的系数必须是1，自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上，底数a 是大于零且不等于1的常数．2．要注意正整数指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)与幂函数y ＝x a的区别．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x为正整数指数函数，则实数a 的值为________．【解析】 若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 为正整数指数函数，则a x 的系数a 2－3a ＋3＝1，且底数a >0，a ≠1.由此可知，实数a 的值为2.【答案】 2正整数指数函数的图像与性质(1)画出函数y ＝(3)x(x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性；(2)画出函数y ＝3x(x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性．【思路探究】 使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N ＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．【自主解答】 (1)函数y ＝(13)x(x ∈N ＋)的图像如图(1)所示，从图像可知，函数y ＝(13)x(x ∈N ＋)是单调递减的；(2)函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像如图(2)所示，从图像可知，函数y ＝3x(x ∈N ＋)是单调递增的．(1) (2)1．正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．2．当0<a <1时，y ＝a x(x ∈N ＋)是减函数．当a >1时，y ＝a x(x ∈N ＋)是增函数．(1)函数y ＝(23)x，x ∈N ＋的图像是( )A ．一条上升的曲线B ．一条下降的曲线C ．一系列上升的点D ．一系列下降的点 (2)函数y ＝7x，x ∈N ＋的单调递增区间是( ) A ．R B ．N ＋C ．[0，＋∞) D．不存在【解析】 (1)因为正整数指数函数y ＝(23)x ，x ∈N ＋的底数23大于零且小于1，所以它的图像从左向右是一系列下降的点．(2)虽然正整数指数函数y ＝7x，x ∈N ＋在定义域N ＋上单调递增，但是N ＋不是区间，所以该函数不存在单调区间．【答案】 (1)D (2)D正整数指数函数的应用(1)写出本利和y (单位：元)关于存期x 的函数关系式；(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．【思路探究】 列出本利和随存期逐期变化的情况，总结变化过程便可得到函数关系式，再根据函数关系式求解第(2)小题．【自主解答】 (1)已知本金为a 元，每期利率为r ，则1期后的本利和为a＋a×r＝a(1＋r)元，2期后的本利和为a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2元，3期后的本利和为a(1＋r)3元，……x期后的本利和为a(1＋r)x元，所以本利和y关于存期x的函数关系式为y＝a(1＋r)x，x∈N＋.(2)已知a＝1 000，r＝2.25%，x＝5，所以y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元)．所以5期后的本利和约为1 117.68元．1．由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．2．在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．已知镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质量．(可以用计算器)【解】由题意知，镭原来质量为20克，如果把100年看成一个基数，那么每经过100年镭的质量变化如下：100年后镭的质量为20×95.76%克；200年后镭的质量为20×(95.76%)2克；300年后镭的质量为20×(95.76%)3克；……x百年后镭的质量为20×(95.76%)x克．∴y与x之间的函数关系式为y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)．∴经过1 000年(即x＝10)后镭的质量为y＝20×(95.76%)10＝12.967 95(克)．(见学生用书第36页)忽略实际问题中函数的定义域致误一种机器的年产量原为1万台，在今后10年内，计划使年产量平均比上一年增加10%.(1)试写出年产量y(万台)随年数x(年)变化的关系式，并写出其定义域；(2)画出其函数图像．【错解】(1)y＝(1＋10%)x＝1.1x，∴y与x的关系式是y＝1.1x，其定义域是[0，＋∞)．(2)【错因分析】本题错误的原因是没有注意自变量x的实际意义，错误地将定义域写成[0，＋∞)．【防范措施】解决此类问题首先应认真阅读题意，弄清自变量x的实际意义，再根据实际意义确定函数的定义域．【正解】(1)y＝(1＋10%)x＝1.1x，∴y与x的关系式是y＝1.1x，其定义域是{x|x≤10，x∈N＋}．(2)1．一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)叫正整数指数函数，其中x是自变量，定义域为正整数集，图像是一些孤立的点，当a>1时，函数是递增的，当0<a<1时函数是递减的．2．形如y＝N(1＋P)x的函数叫做指数型函数．在实际问题中，常常遇到有关增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，增长率为P，则对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.3．正整数指数函数y＝a x(x∈N＋)从形式上与幂函数形式上的对比：x a(α)形式指数函数y＝a x指数底数幂幂函数y＝xα底数指数幂(见学生用书第37页)1．函数y＝5x，x∈N＋的值域是( )A．R B．N＋C．N D．{5,52,53,54，…}【解析】 因为函数y ＝5x，x ∈N ＋的定义域为正整数集N ＋，所以当自变量x 取1,2,3,4，…时，其相应的函数值y 依次是5,52,53,54，….因此，函数y ＝5x ，x ∈N ＋的值域是{5,52,53,54，…}．【答案】 D2．函数y ＝(43)x，x ∈N ＋是( )A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数【解析】 由正整数指数函数不具有奇偶性，可排除C 、D ；因为函数y ＝(43)x，x ∈N ＋的底数43大于1，所以此函数是增函数．【答案】 A3．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积平均每年比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图像大致为( )【解析】 y ＝f (x )的解析式为y ＝(1＋10.4%)x(x ≥)．可知函数的图像大致为D 选项． 【答案】 D4．据国务院发展研究中心2 000年发表的《未来20年我国发展前景思路》判断，未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%.那么，到2 020年，我国的GDP 可望为2 000年的________倍．【解析】 如果把我国2 000年的GDP 看成是1个单位，2 001年为第1年，那么1年后，即2001年的GDP 为2 000年的(1＋7.3%)1倍．同理，2 002年的GDP 为2 000年的(1＋7.3%)2倍，依此类推，2 020年的GDP 为2 000年的(1＋7.3%)20倍．【答案】 (1＋7.3%)20(见学生用书第101页)一、选择题1．下列函数：①y ＝3x 2(x ∈N ＋)；②y ＝5x (x ∈N ＋)；③y ＝3x ＋1(x ∈N ＋)；④y ＝3×2x(x ∈N ＋)，其中正整数指数函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 由正整数指数函数的定义知，只有②中的函数是正整数指数函数． 【答案】 B2．函数f (x )＝(14)x，x ∈N ＋，则f (2)等于( )A ．2B ．8C ．16 D.116【解析】 ∵f (x )＝(14x)x ∈N ＋，∴f (2)＝(14)2＝116.【答案】 D3．(2013·阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4)，则它的解析式为( ) A ．y ＝(－2)x B ．y ＝2xC ．y ＝(12)xD ．y ＝(－12)x【解析】 设y ＝a x(a ＞0且a ≠1)， 由4＝a 2得a ＝2. 【答案】 B4．正整数指数函数f (x )＝(a ＋1)x是N ＋上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a <0 B ．－1<a <0 C ．0<a <1 D ．a <－1【解析】 ∵函数f (x )＝(a ＋1)x 是正整数指数函数，且f (x )为减函数， ∴0<a ＋1<1， ∴－1<a <0. 【答案】 B5．由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低13，设现在的电脑价格为8 100元，则3年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．2 700元C ．3 000元D ．3 600元 【解析】 1年后价格为8 100×(1－13)＝8 100×23＝5 400(元)，2年后价格为5 400×(1－13)＝5 400×23＝3 600(元)，3年后价格为3 600×(1－13)＝3 600×23＝2 400(元)．【答案】 A 二、填空题6．已知正整数指数函数y ＝(m 2＋m ＋1)(15)x (x ∈N ＋)，则m ＝______.【解析】 由题意得m 2＋m ＋1＝1， 解得m ＝0或m ＝－1， 所以m 的值是0或－1. 【答案】 0或－1 7．比较下列数值的大小： (1)(2)3________(2)5； (2)(23)2________(23)4.【解析】 由正整数指数函数的单调性知， (2)3<(2)5，(23)2>(23)4.【答案】 (1)< (2)>8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2012年产生的垃圾量为a 吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2020年的垃圾量为________吨．【解析】 由题意知，下一年的垃圾量为a ×(1＋b )，从2012年到2020年共经过了8年，故2020年的垃圾量为a ×(1＋b )8.【答案】 a ×(1＋b ) a ×(1＋b )8 三、解答题9．已知正整数指数函数f (x )＝(3m 2－7m ＋3)m x，x ∈N ＋是减函数，求实数m 的值． 【解】 由题意，得3m 2－7m ＋3＝1，解得m ＝13或m ＝2，又f (x )是减函数，则0<m <1，所以m ＝13.10．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)，(1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (5)；(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．【解】 (1)设正整数指数函数为f (x )＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3,27)，所以f (3)＝27，即a 3＝27，解得a ＝3，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x(x ∈N ＋)．(2)f (5)＝35＝243.(3)∵f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上单调递增， ∴f (x )有最小值，最小值是f (1)＝3；f (x )无最大值．11．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y ＝f (t )．(1)写出函数y ＝f (t )的定义域和值域； (2)在坐标系中画出y ＝f (t )(0≤t <6)的图像；(3)写出研究进行到n 小时(n ≥0，n ∈Z)时，细菌的总个数(用关于n 的式子表示)． 【解】 (1)y ＝f (t )的定义域为{t |t ≥0}，值域为{y |y ＝2m，m ∈N ＋)}；(2)0≤t <6时，f (t )为一分段函数， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0≤t <2，4，2≤t <4，8，4≤t <6.图像如图所示．(3)n 为偶数且n ≥0时，y ＝2n2＋1；n 为奇数且n ≥0时，y ＝2n －12＋1.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n2＋1n 为偶数，n ≥02n －12＋1n 为奇数，n ≥0(教师用书独具)已知正整数指数函数y ＝(1－m )x，x ∈N ＋是增函数，则实数m 的取值范围是________． 【思路探究】 正整数指数函数的单调性由底数1－m 来确定．【自主解答】 根据函数的单调性可得到底数1－m 大于1，即1－m >1，所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．【答案】 (－∞，0)若正整数指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)是增函数，则必有a >1；若是减函数，则必有0<a <1.由此可确定解析式中参数的取值范围．(1)若正整数指数函数f (x )＝(a －1)x在定义域N ＋上是减函数，则a 的取值范围是________．(2)比较下列各组幂值的大小(用“>”或“<”填空)． ①1.5819________1.5820；②0.52 009________0.52 010.【解析】 (1)因为正整数指数函数f (x )＝(a －1)x在定义域N ＋上是减函数，所以其底数满足0<a －1<1，即1<a <2.(2)由于每组中两个幂的底数相同，且指数都是正整数，所以，可构造正整数指数函数，利用正整数指数函数的单调性来比较大小．①考虑正整数指数函数y ＝1.58x，x ∈N ＋. ∵1.58>1，∴y ＝1.58x在N ＋上是增函数．又∵19<20，∴1.5819<1.5820.②考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋.∵0<0.5<1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数．又∵2 009<2 010，∴0.52 009>0.52 010.【答案】(1)(1,2) (2)①< ②>§2指数扩充及其运算性质2．1 指数概念的扩充2．2 指数运算的性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算．(2)能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简．2．过程与方法(1)让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．(2)随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．3．情感、态度与价值观使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义，增强学习数学的积极性和自信心．●重点难点重点：分数指数幂的运算性质．难点：难点是根式概念及分数指数的运算与化简．在教学中突破重点、难点的方法是在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子，给出定义后再为学生提供一些实例，比较、巩固概念并获得根式的性质．在具体教学过程中可以让学生多从具体实例中自己探究、归纳根式的性质结论．(教师用书独具)●教学建议本节安排的内容蕴含了推广的思想(指数幂运算律的推广)，逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)．同时，教材充分关注与实际问题的联系，体现数学的应用价值．建议教学时通过具体、实际的问题来体现数学思想及价值，教学过程中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算机或计算器创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．●教学流程新课导入，把正整数指数幂进一步扩充到分数指数幂⇒新知探究，导出分数指数幂的定义，完成课本例1，能写成分数指数幂的形式⇒能将根式和分数指数幂进行互化，完成例1及其变式训练⇒将分数指数幂进一步扩充到有理指数幂⇒类比正整数指数幂的运算性质，得出有理指数幂的运算性质⇒根据运算性质完成例2、例3及其变式训练，强化对运算性质的掌握⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第37页)课标解读1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3．掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重点、难点)分数指数幂【问题导思】1．判断下列运算是否正确． (1)3312＝3343＝34＝3123；(2)5215＝5235＝23＝2155.【提示】 正确．2．试想当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能否用分数指数幂表示？ 【答案】 能． 1．定义给定正实数a ，对于任意给定的正整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m ，把b 叫作a 的m n 次幂，记作b ＝a mn，它就是分数指数幂．2．几个结论(1)正分数指数幂的根式形式：a mn＝na m(a >0)． (2)负分数指数幂的意义：a －m n＝1a m n(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．指数幂的运算性质1．整数指数幂的运算性质有哪些？ 【提示】 (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝a mn；(3)(a ·b )m＝a m·b m ；(4)a m an ＝a m －n.2．计算(22)12和22×12，它们之间有什么关系？【提示】 (22)12＝412＝2,22×12＝21＝2，相等．若a >0，b >0，对任意实数m ，n ，指数运算有以下性质 (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝a mn；(3)(ab )m＝a m ·b m .(见学生用书第38页)根式与分数指数幂的互化(1)332可化为( )A. 2B.33C.327 D.27 (2)5a －2可化为( )A ．a －25B ．a 52C ．a 25D ．－a 52【思路探究】 熟练应用na m＝a m n是解决该类问题的关键． 【自主解答】 (1)332＝(33)12＝27.(2) 5a －2＝(a －2)15＝a －25.【答案】 (1)D (2)A根式与分数指数幂的互化规律1．关于式子na m＝a m n的两点说明； (1)根指数n ↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m ↔分数指数的分子；2．通常规定分数指数幂的底数a >0，但像(－a )12＝－a 中的a 则需要a ≤0.将下列各根式化为分数指数幂的形式：(1)13a ；(2)4a－b3.【解】(1)13a＝1a13＝a－13.(2)4a－b3＝(a－b)34.求指数幂amn的值求下列各式的值：(1)6423；(2)81－14.【思路探究】结合分数指数幂的定义，即满足b n＝a m时，amn＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解．【自主解答】(1)设6423＝x，则x3＝642＝4 096，又∵163＝4 096，∴6423＝16.(2)设81－14＝x, 则x4＝81－1＝181，又∵(13)4＝181，∴81－14＝13.解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．求下列各式的值：(1)12513；(2)128－17.【解】(1)设12513＝x，则x3＝125，又∵53＝125，∴x＝5.(2)设128－17＝x，则x7＝128－1＝1128，又∵(12)7＝1128，∴128－17＝12.分数指数幂的运算计算下列各式：(1)(0.064)－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)3a92a －3÷ 3a －7 3a 13(a >0)．【思路探究】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数． (2)将根式化为分数指数幂．【自主解答】 (1)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋[(0.1)2]12＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380. (2)原式＝[a 13·92·a 13·(－32)]÷[a 12·(－73)·a 12·133]＝a 96－36＋76－136＝a 0＝1.1．化简的顺序与要求：(1)四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的； (2)运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数．2．化简的方法与技巧：一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数、化底数为质数等，便于进行幂的运算．计算：(1)(0.0081)－14÷(338)－13－10×0.02713；(2)(247)0＋2－2×(2.25)－12－(1100)0.5.【解】 (1)原式＝(0.34)－14÷(278)－13－10×(0.33)13＝0.3－1÷23－3＝103×32－3＝2.(2)原式＝1＋14×(94)－12－(1100)12＝1＋14×[(32)2]－12－[(110)2]12＝1＋16－110＝1615.(见学生用书第39页)忽略a 1n成立的条件致误化简(1－a )[(a －1)－2(－a )12]12.【错解】 原式＝(1－a )(a －1)－2×12(－a )12×12＝(1－a )(a －1)－1(－a )14＝－(－a )14.【错因分析】 错解中忽略了条件(－a )12成立的条件，若(－a )12成立，则－a ≥0，故a ≤0，这样[(a －1)－2]12＝(1－a )－1.【防范措施】 1.化简指数式时，应该先讨论其中字母的取值范围，通常根据指数幂的指数来讨论，也可以化为根式，利用偶次方根的被开方数为非负数，奇次方根的被开方数是任意实数来求出其中字母的取值范围．2．(a m )n＝a nm只有在a >0时一定成立，若a <0，且m 为偶数，则需转化为(a m )n＝[(－a )m ]n＝(－a )mn .【正解】 由式子(－a )12知，－a ≥0，即a ≤0，所以a －1<0，所以(1－a )[(a －1)－2(－a )12]12＝(1－a )(1－a )－1(－a )14＝(－a )14.1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数指数幂，再进行运算． 2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.(见学生用书第39页)1．计算24315等于( )A ．9B ．3C ．±3D ．－3 【解析】 由35＝243，得24315＝3.【答案】 B2．下列各式运算错误的是( ) A ．(－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8B ．(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3C ．(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6D ．[(a 3)2·(－b 2)3]3＝－a 18b 18【解析】 对C ，(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6·(－b 6)＝－a 6b 6≠a 6b 6. 【答案】 C 3.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A．1 B ．a C ．a 15 D ．a 1710【解析】 原式＝a 3a 12·a45＝a 3a 12＋45＝a 3a 1310＝a 3－1310＝a 1710.【答案】 D4．计算0.064－13－(－78)0＋160.75＋0.2512的值．【解】 原式＝(0.43)－13－1＋(24)34＋(0.52)12＝0.4－1－1＋8＋12＝52＋7＋12＝10.(见学生用书第103页)一、选择题 1．若b－3n＝5m(m ，n ∈N ＋)，则b ＝( )A ．5－3n mB ．5－m 3nC ．53n mD ．53n m【解析】 若b n ＝a m(m ，n ∈N ＋，a >0，b >0)，则b ＝a m n .所以b ＝5－m3n .【答案】 B2．23×53＝( )A ．103B ．10 3C ．310D ．7 3【解析】 由实数指数幂的运算性质(ab )n ＝a n b n知，23×53＝(2×5)3＝10 3. 【答案】 B3．将3－22化为分数指数幂为( ) A ．212 B ．－212 C ．2－12 D ．－2－12【解析】3－22＝(－2×212)13＝(－232)13＝－212.【答案】 B 4．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 32【解析】a 2a ·3a2＝a 2a ·a23＝a 2a 53＝a 2a5312＝a 2a 56＝a 2－56＝a 76. 【答案】 C5．(2013·大连高一检测)计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)，得( )A ．－32b 2 B.32b 2 C ．－32b 73 D.32b 73【解析】 原式＝[2×(－3)÷4]×a －3－1＋4·b －23＋1＋53＝－32a 0b 2＝－32b 2.【答案】 A 二、填空题6．用分数指数幂表示下列各式(式中a >0)， (1)a 3＝________；(2)13a 5＝________.【解析】 (1)a 3＝a 32.(2)13a 5＝1a 53＝a －53. 【答案】 (1)a 32 (2)a －537．0.25×(－12)－4－4÷20－(116)－12＝________.【解析】 原式＝14×16－4－4＝－4.【答案】 －48．已知10α＝2,100β＝3，则1 0002α－13β＝________.【解析】 ∵100β＝3，即102β＝3， ∴10β＝312.∴1 0002α－13β＝106α－β＝10α610β＝26312＝6433. 【答案】6433三、解答题 9．计算：(1)32－35－(21027)－23＋0.5－2；(2)1.5－13×(－76)0＋80.25×42＋(32×3)6－－2323. 【解】 (1)原式＝(25)－35－(6427)－23＋(12)－2＝2－3－[(34)3]23＋22＝18－916＋4＝5716.(2)原式＝(23)13×1＋(23)14×214＋(213)6×(312)6－[(23)23]12＝(23)13＋(23×2)14＋22×33－(23)13＝2＋4×27＝110. 10．化简(式中各字母均为正数)： (1)(2x 12＋3y －14)(2x 12－3y －14)；(2)(2a 23b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)．【解】 (1)原式＝(2x 12)2－(3y －14)2＝4x －9y －12＝4x －9yy.(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4a1·b0＝4a.11．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求a－b a＋b的值．【解】∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，∴⎩⎨⎧a＋b＝6，ab＝4.∵a>b>0，∴a>b>0.∴a－ba＋b>0.(a－ba＋b)2＝a＋b－2aba＋b＋2ab＝6－246＋24＝210＝15，∴a－ba＋b＝15＝55.(教师用书独具)已知a12＋a－12＝3，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a－a－1a12－a－12.【思路探究】(1)已知条件两边平方即可．(2)利用(1)的结果再平方即可．(3)先运用平方差公式化简，再整体代入．【自主解答】(1)∵a12＋a－12＝3，∴(a12＋a－12)2＝9，即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.(2)由(1)知，a ＋a －1＝7， ∴(a ＋a －1)2＝49， 即a 2＋2＋a －2＝49， ∴a 2＋a －2＝47.(3)由于a －a －1＝(a 12＋a －12)(a 12－a －12)所以原式＝a 12＋a －12＝3.1．对于条件求值问题，需要充分利用已知条件和分数指数幂的运算性质进行化简、求值．2．此类问题通常不直接代入求值，而应整体上把握已知式和所求式的特点，用整体代入法求解．(1)已知2m ＋2－m ＝5，则4m ＋4－m的值为________． (2)已知x 12＋x －12＝5，则x 2＋1x 的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27 【解析】 (1)∵2m ＋2－m＝5， ∴(2m ＋2－m )2＝25， 即4m ＋2＋4－m＝25， ∴4m ＋4－m＝23.(2)∵x 12＋x －12＝5，∴x ＋2＋x －1＝25，∴x ＋x －1＝23.∴x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝23.【答案】 (1)23 (2)B指数的历史n 个相同的因数a 相乘，即a ·a ·a ·…·a n 个a ，记作a n ，叫做a 的n 次幂，这时n 叫做指数．本来幂的指数总是正整数，后来随着数的扩充，指数概念也不断发展．正整数指数幂，特别是与面积、体积的计算紧密相联系的平方和立方的概念，在一些文明古国很早就有了．我国汉代曾有人提出过负整数指数的概念，可惜的是未曾流传开.15世纪末，法国数学家休凯引入了零指数的概念.17世纪英国瓦利士在他的《无穷小算术》中提出了负指数，他写道：“平方指数倒数的数列11，14，19，…的指数是－2，立方指数倒数的数列11，18，127，…的指数是－3，两者逐项相乘，就得到‘五次幂倒数’的数列11，132，1243，…的指数显然是(－2)＋(－3)＝－5.同样，‘平方根倒数’的数列11，12，13，…的指数是－12，…”．这是一个巨大的进步，不过瓦利士没有真正使用2－2,2－3,2－12的指数符号，只是说14，18，12，…的指数是－2，－3和－12. 分数指数幂最早在奥力森的《比例算法》中出现，他使用的符号并不简洁．现行的分数指数和负指数符号是牛顿创设的．他在1676年6月13日写信给莱布尼茨，里面说到“因为代数学家将aa ，aaa ，aaaa 等写成a 2，a 3，a 4等，所以我将Va ，Va 3写成a 12，a 13；又将1a ，1aa ，1aaa ，…写成a －1，a －2，a －3，…”．他信中的“Va ”与“Va 3”就是现在的a 与3a .牛顿还首先使用任意实数指数的概念．§3指数函数3．1 指数函数的概念3．2 指数函数y ＝2x和y ＝(12)x 的图像和性质3．3 指数函数的图像和性质第1课时 指数函数的图像与性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用． 2．过程与方法培养学生数形结合的意识，提高学生观察、分析、归纳的思维能力． 3．情感、态度与价值观通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质．●重点难点重点：指数函数的概念、图像和性质及其应用． 难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．教学时，要让学生体会其中隐含的函数关系，引导学生通过y ＝2x和y ＝(12)x 两个函数，感受到这两个函数中的指数幂具有的共性：可以写为y ＝a x的形式．在学习指数函数的性质时，建议尽可能地引导学生通过观察图像，自己归纳概括出指数函数的性质．为了使学生能够主动研究指数函数的图像和性质，教师可以充分利用信息技术提供互动环境，先引导学生随意地取a 的值，并在同一个平面直角坐标系内画出它们的图像，然后再通过底数a 的连续动态变化展示函数图像的分布情况，这样就会使学生比较容易地概括出指数函数的性质．(教师用书独具)●教学建议为充分贯彻新课程理念，使教学过程真正成为学生学习过程，让学生体验数学发现和创造的历程，本节课拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法．以多媒体演示为载体，启发学生观察思考，分析讨论为主，教师适当引导点拨，让学生始终处在教学活动的中心．●教学流程从指数概念的扩充过程引出指数函数的概念，并完成例1及变式训练⇒通过描点法做出函数y ＝2x和y ＝(12)x 的图像，观察两个函数图像的特征⇒通过例2及其变式训练，加深对指数函数的认识⇒通过多媒体课件展示当底数a 取不同的值时函数图像，让学生直观感知底数对图像的影响⇒通过例3及其变式训练，让学生初步掌握函数的图像和性质⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第40页)课标解读1.理解指数函数的概念．2．通过具体指数函数的图像，体会指数函数图像与底数a的关系．(重点易混点)3．掌握指数函数的图像与性质及其简单应用．(难点)指数函数的定义已知函数y ＝2x，y ＝(13)x .1．上面两个关系式是函数式吗？ 【提示】 是．2．这两个函数形式上有什么共同点？ 【提示】 底数为常数，指数为自变量．函数y ＝a x叫作指数函数，自变量x 在指数位置上，底数a 是一个大于0且不等1的常量．指数函数的图像与性质1．试作出函数y ＝2x(x ∈R)和y ＝(12)x (x ∈R)的图像【提示】2．两函数图像有无交点？【提示】有交点，其坐标为(0,1)．3．两函数图像与x轴有交点吗？【提示】没有交点，图像在x轴上方．4．两函数的定义域是什么，值域是什么？【提示】定义域是R，值域是(0，＋∞)．5．两函数的单调性如何？【提示】y＝2x是增函数，y ＝(12)x是减函数．a>10<a<1图象性质定义域：R值域：(0，＋∞)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1是R上的增函数是R上的减函数(见学生用书第40页)。
单元复习 幂函数、指数函数与对数函数-高一数学(苏教版2019必修第一册)
故 f(x)=lg
+1
(2)由(1)知,f(x)=lg 1- (-1<x<1),
-+1
1-
1+ -1
1+
所以 f(-x)=lg1-(-)=lg1+=lg 1- =-lg 1- =-f(x),
所以 f(x)为奇函数.
+1
(3)原不等式可化为 lg 1- ≥lg(3x+1)(-1<x<1),
改进数学模型.
题型探究
一、直观想象
在本章中，函数图象的识别及应用均突出体现了直观想象的核心素养.
图象的识别
[例 1]
m
n
(1)已知函数 y＝x (m，n∈N *，且互质)的图象如图所示，
那么下面说法正确的是
(
)
m
A．m，n 是奇数， n <1
m
B．m 是偶数，n 是奇数， n >1
m
C．m 是偶数，n 是奇数， n <1
m
n
是奇数．根据函数图象，当 x∈(1，＋∞)时，y＝x 的图象在 y＝x 图象的下方，
m
n
m
所以 n <1.故选 C.
(2)当 0<a<1 时，函数 y＝ax 的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递减，
1
于是函数 y＝ax的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递增，函数ຫໍສະໝຸດ 1 1
1
y＝logax＋2的图象过定点2，0，在－2，＋∞上单调递减．
是由函数 f(x)＝ax 的图象向下平移一个单位长度，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上
方得到，分 a>1 和 0<a<1 两种情况作图，如图．当 a>1 时，直线 g(x)＝2a 与函数 f(x)
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
应用图像模型
谢谢！
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
指数函数y=ax (a>1) 对数函数y=logax(a>1) 幂函数y=xn (n>0，x>0) 在区间（0，+∞）上的单调性如何？ 都是增函数，并且当x趋向于正无穷大时，y也趋向于正无穷大
这3个函数增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？
指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
三种函数增长快慢的区别
x 的变 化区间
(1,10) (10,100) (100,300) (300,500) (500,700) (700,900) (900,1000) (1000,1100) (1100,1200)
函数值的变化量
y=2x
1023
y=x100(x>0) y=log2x
10100－1 3.321 928 1
y
y=2x y=x2
16
①对数函数 y=log2x增长最慢
y=log2x ②在（0,2)，幂函数比指数函数增长快；
在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快 4
o 12 4
三种函数增长快慢的区别
自变量x
···
函数值
y=2x
y=x100(x>0) y=log2x
···
···
···
121来自01.007 004 4 2.009 733 8 2.009 725 8 0.010 071 0
比较大小
比较大小
例2 已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是( )
A.m<n<p
B.m<p<n
C.p<m<n
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数 3.
3．5．2．对数函数的图像与性质（1）[教学目标]1、知识与技能（1）由前面学习对数函数的图像与性质的基础上,进一步应用对数函数的图像和性质解答问题．（2）会利用指数函数对数函数的图像研究对数函数的性质．（3）能够理解指数函数的图像和性质与对数函数的图像与性质之间的关系． 2、 过程与方法 （1）让学生掌握指数函数的图像与对数函数的图像之间的关系,会利用它们的对称关系, 熟练地进行画图．（2）学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质． 3、情感．态度与价值观使学生通过学习对数函数,了解指数函数与对数函数图像和性质之间的关系．在学习的过程中体会类比、转化、数形结合的方法研究问题．直观明了,增强学习对数函数的积极性和自信心．[教学重点]: 对数函数的图像和性质以及与指数函数图像与性质之间的关系． [教学难点]：对数函数图像与性质与指数函数的图像与性质之间的关系． [课时安排]: 2课时[学法指导]：学生思考、探究． [讲授过程] 【新课导入】 [互动过程1]复习:1．对数函数a y log x(a 0,a 1)=>≠分别就其底数a 1>和0a 1<<这两种情况的图像和性质:（0，+∞）（0，+∞）y<0 :1．在同一直角坐标系中画出下列函数的图像211323(1)y log x;(2)y log x;(3)y log x;(4)y lo g x;(5)y lg x=====2．求下列函数的定义域:31(1)y log (2)y ln4x==-解:（10>,即x 2>,所以函数3y log ={x |x 2}>;（2）因为104x >-,即x 4<,所以函数1y ln4x=-的定义域为{x |x 4}< 3．比较下列各题中两个数的大小:(1)lg 0.3,lg 0.4; 0.50.5(2)log 3,log 0.23(3)log e,ln 3; a a (4)log 0.9,log 1.2(a 0,a 1)>≠解: （1）因为10>1,函数y lg x =是增函数,0．3<0．4,所以lg0.3lg0.4;> （2）因为0．5<1,函数0.5y log x =是减函数,3>0．2,所以0.50.5log 3log 0.2<; （3）因为函数3y log x =是增函数,e 3<,所以33log e log 31<=,同理1lne ln3=<,所以3log e ln 3;<（4）当a 1>时,函数a y log x =在(0,)+∞上是增函数,此时, a a log 0.9log 1.2<, 当0a 1<<时,函数a y log x =在(0,)+∞上是减函数,此时, a a log 0.9log 1.2> [互动过程2]观察在同一坐标系内函数2y log x =与函数xy 2=的图像，分析它们之间的关系． 解:从图上可以看出点P （a,b ）与点Q （b,a ）关于直线y=x 对称,函数2y log x =与函数xy 2=互为反函数,对应于函数2y log x =图像上任意一点P （a,b ）,P 关于直线y=x的对称点Q （b,a ）总在函数x y 2=的图像上,所以,函数2y log x =的图像与函数xy 2=的图像关于直线y=x 对称．[结论]:一般地,函数y f (x)=的图像和它的反函数的图像关于直线y=x 对称． [互动过程3]1．根据表中的数据（精确到0．01）,画出函数2y log x =,3y log x =5y log x =的图像,并观察图像,说明三个函数图像的相同与不同之处．2．对数函数a y log x =,当底数a>1时,a 的变化对函数图像有何影响?3．仿照前面的方法,请你猜想,对数函数a y log x =当0<a<1时, a 的变化对函数图像有何影响? 4．练习:1[实际应用]人们早就发现放射性物质的衰减现象,在考古工作中,常用14C 的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律:rt0C(t)C e-=,其中t 表示衰减的时间,0C 表示放射性物质的原始质量,C(t)表示经衰减了t 年后剩余的质量． 为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰减一半的时间,称其为该物质的半衰期,14C 的半衰期大约是5730年,由此可确定系数r,人们又知道,放射性物质的衰减速度与其质量成正比的．1950年在巴比伦发现一根刻有Hammmurbi 王朝字样的木炭,当时测定,其14C 分子的衰减速度为4．09个/（g ·min ）,而新砍伐烧成的木炭中14C 的衰减速度为6．68个/（g ·min ）,,请估算出Hammmurbi 王朝所在的年代．解:因为14C 的半衰期大约是5730年,所以建立方程5730r 1e 2-=,解得r 0.000121=,由此可知14C 的衰减规律服从指数型函数0.000121t0C(t)C e-=设发现Hammmurbi 王朝字样的木炭的时间（1950年）为0t 年,因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比的,所以00C(t ) 4.09C 6.68=,所以0.000121t4.09e 6.68-=,两边取自然对数,得00.000121t ln 4.09ln 6.68-=-,解得0t 4054≈（年）．即Hammmurbi 王朝所在的年代大约在公元前2100年．课堂小结:1．互为反函数的图像之间的关系．2．对数函数a y log x =,当底数a>1时和当0<a<1时, a 的变化对函数图像有何影响? 3．指数函数、对数函数在考古中的应用． 作业:习题3-5 B 组1,2,3,4。
高中数学指数函数与对数函数的关系讲课版课件新人教B版必修1
O●
y=log2x x
问题
两个函数图象之间的关系：
以2为底的指数函数与以2为底对数函数的图象关于直线 y=x对称.
三、概念形成
用 y 来表示 x
y ax
(a0且a1)
x=log a y x 与 y 互换 y=logax
三、概念形成
用 y 来表示 x
y ax
(a0且a1)
x=log a y x 与 y 互换 y=logax
小结： 先解后换
例3已知函数 y a的x 图b象过点（1，4），其反函数的图
象过点（2，0），求a和b的值。
解：∵ y a的x 图b 象过点（1，4），
∴a+b=4
①
又∵ y a的x 反b 函数图象过点（2，0）
∴点（0，2）在原函数的图象上
∴ a0 b 2
②
联立①②得a=3，b=1。
练习：小结：互为反函数的图象关于 y=x 对称。
设函数 f(x)axb(a0)的图象过点（2，1），其反函数 图象过点（2，8），则 a+b=( 5 )
6
例3已知函数 y a的x 图b象过点（1，4），其反函数的图
象过点（2，0），求a和b的值。
解：∵ y a的x 图b 象过点（1，4），
∴a+b=4
①
又∵ y a的x 反b 函数图象过点（2，0）
高中数学指数函数与对数函数的关 系讲课版课件新人教B版必修1
y x2
y x
一、温故知新
1、指数函数yax(a0且 的a图1)象
2、对yloga数x(a0且a函1) 数 3、关于直线 的y=图x 象对称的两个点的坐标关系
4、指数式与对数式的互化
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
高中数学备课教案指数函数与对数函数的基本性质与像
高中数学备课教案指数函数与对数函数的基本性质与像高中数学备课教案：指数函数与对数函数的基本性质与像一、引言指数函数与对数函数作为高中数学中的重要内容，其基本性质与像的研究对于学生的数学素养和解题能力提升具有重要意义。
本教案将详细介绍指数函数与对数函数的基本性质，并重点讲解两者的像的计算方法。
二、指数函数的基本性质1. 指数函数的定义与表示：指数函数可以表示为 y = a^x，其中 a(a>0,且a ≠1)为底数，x为指数。
2. 指数函数的单调性：当底数 a > 1 时，指数函数呈现递增趋势；当底数 0 < a < 1 时，指数函数呈现递减趋势。
3. 指数函数的对称性：关于 y 轴对称。
4. 指数函数的特殊值：a^0 = 1，a^1 = a。
5. 指数函数的增长速度：对于任意正数 a，当 x > 0 时，a^x 的增长速度大于 x 的增长速度。
6. 指数函数的图像：以指数函数的基本性质为基础，可以绘制出不同底数的指数函数的图像。
三、对数函数的基本性质1. 对数函数的定义与表示：对数函数可以表示为y = logₐx，其中 a(a>0,且a≠1)为底数，x为实数。
2. 对数函数的单调性：当底数 a > 1 时，对数函数呈现递增趋势；当底数 0 < a < 1 时，对数函数呈现递减趋势。
3. 对数函数的对称性：关于直线 y = x 对称。
4. 对数函数的特殊值：logₐa = 1，logₐ1 = 0。
5. 对数函数的增长速度：对于任意正数 a，当 x > 0 时，logₐx 的增长速度小于 x 的增长速度。
6. 对数函数的图像：以对数函数的基本性质为基础，可以绘制出不同底数的对数函数的图像。
四、指数函数与对数函数的像的计算方法1. 指数函数的像的计算：根据指数函数的定义，将给定的 x 带入函数表达式中，计算得到相应的 y 值。
2. 对数函数的像的计算：根据对数函数的定义，将给定的 x 带入函数表达式中，计算得到相应的 y 值。
高中数学必修第一册人教A版(2019)第四章-《指数函数与对数函数》本章教材分析【2024版】
可编辑修改精选全文完整版《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.三、本章教学目标1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质.五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下:六、本章教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究本章教学要注重让学生再次经历研究函数的基本过程:背景—概念—图象和性质—应用.要注意引导学生通过计算分析具体实例的数据中蕴含的变化规律抽象形成相应的函数概念,利用教科书中的问题引导学生思考和总结.2.用函数的观点联系相关内容,培养学生的数学整体观本章的核心内容是指数函数和对数函数,全章都应该围绕核心内容展开教学,以更好地帮助学生形成函数观点和思想方法.指数幂的运算、对数的概念及其运算性质和公式、指数和对数的关系,是学习指数函数、对数函数必备的基础,运用这些运算性质,通过运算,解决具体的问题教学中要从整体上把握上述运算性质、函数概念、图象、性质以及应用的关系.3.加强“形”与“数”的融合,循序渐进地研究指数函数和对数函数为了能选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,教学时可以依据教科书,从两个方面帮助学生体会不同函数模型增长的差异:一是通过观察函数图象,利用图象直观比较指数函数与线性函数、对数函数与线性函数增长速度的差异；二是通过教科书中的实例,结合具体问题情境理解不同函数增长的差异,教学的关键是从局部到整体,从不同角度观察、比较不同函数图象增长变化的差异,从而直观体会直线的增长、指数爆炸、对数增长的含义4.加强背景和应用,发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教学中,应注意参考教科书,结合这些素材,引导学生从数学的视角发现问题、提出问题,构建指数函数和对数函数模型,确定模型中的参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决问题,让学生体会数学的来源与应用,丰富学生对数学的认识,提升数学建模素养.5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数在不同函数增长差异的教学中,利用信息技术可以作出函数在两个不同范围的图象,帮助学生从不同角度观察到不同函数增长的差异.6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想方法引入无理数指数幂.教学中,可以类比初中用有理数逼近无理数,让学生充分经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向,用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；通过在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点,发现这些点逼近一个确定的点,其对应的数就是这个无理数指数幂.这样从“数”与“形”的两个角度,加强了逼近和极限思想的渗透,有助于学生从中初步体会这一重要思想.。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数 3.5.2 对数函数的图像和性质(1)教案2
高中数学第三章指数函数和对数函数3.5 对数函数3.5.2 对数函数的图像和性质（1）教案2 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章指数函数和对数函数3.5 对数函数3.5.2 对数函数的图像和性质（1）教案2 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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对数函数的图像和性质一、复习回顾：1、对数函数的定义;2、对数函数的反函数。
二、讲授新课：下面我们研究对数函数x y 2log =的图像和性质。
可以用两种不同方法画出函数x y 2log =的图像。
方法一 描点法方法二 画出函数y x 2log =的图像，再变换为x y 2log =的图像对数函数()1,0log ≠>=a a x y a ，在其底数1>a 及10<<a 这两种情况下的图像和性质可以总结如表3—11 1>a 10<<a图像性质(1）定义域:()+∞,0 （1）定义域：()+∞,0 （2）值域:R （2）值域：R （3）过点()0,1，即1=x 时0=y （3)过点()0,1，即1=x 时0=y(4)当1>x 时0>y （4)当1>x 时0<y例4 求下列函数的定义域（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=解:（1)因为02>x ，即0≠x ，所以函数2log x y a =的定义域为{}0|≠x x ；（2）因为04>-x ,即4<x ，所以函数)4(log x y a -=的定义域为{}4|<x x . 例5 比较下列各题中两个数的大小:(1）7.4log ,3.5log 22（2）9log ,7log 2.02.0 (3)3log ,log 3ππ （4）)1,0(2.5log ,1.3log ≠>a a a a解:（1）因为12>,函数x y 2log =是增函数,7.43.5>，所以7.4log 3.5log 22>（2）因为12.0<,函数x y 2.0log =是减函数，97<,所以 9log 7log 2.02.0>(3）因为函数x y 3log =是增函数,3>π,所以 13log log 33=>π同理3log log 1πππ>=，所以 3log log 3ππ>(4）对数函数的单调性取决于其底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未明确指出底数a 于1哪个大，因此需要对底数进行讨论。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数 3.
3.5.1 对数函数的概念一．教学目标：1．知识技能：①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.2．过程与方法：让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.3．情感、态度与价值观：①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教法1．学法：通过让学生观察、思考、交流、发现函数的性质；2．教法：探究交流，讲练结合。
三．教学重难点：1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.2、难点：底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 四．教学过程（一）、设置情境：在3．2．1的例6中，考古学家利用logP 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C 14含量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log xa y =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log xa y x =关于的函数．（二）、探索新知一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为y a x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x =可化为yx a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，ya ＞0，所以(0,)x ∈+∞． 分析对数函数的定义探究对数函数的图象、性质.R+RR R增函数减函数探究：选取底数(a a＞0，且a≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的14x性质又例1 求下列函数的定义域：(其中a>0,a≠1)（1）y=log a x2 (2)y=log a(4-x)分析：由对数函数的定义知：2x＞0；4x-＞0，解出不等式就可求出定义域．解：（1）因为2x＞0，即x≠0，所以函数2log x ay=的定义域为{}|0x x≠.（2）因为4x-＞0，即x＜4，所以函数(4)log xay-=的定义域为{|x x＜}4.练习1 求函数y=log a(9-x2)的定义域例2 比较下列各组数中两个值的大小：（1）22log 3.4,log 8.5 （2）0.30.3log 1.8,log 2.7（3）log 5.1,log 5.9a a （a ＞0，且a ≠1）分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数2log y x =的图象.在图象上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：所以，22log 3.4log 8.5<解法2：由函数2log y x R =在+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以22log 3.4log 8.5<.（3）注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a ＞1时，log a y x =在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9.所以，log 5.1a <log 5.9a当a <1时，log a y x =在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9.所以，log 5.1a >log 5.9a 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一， 令 11log 5.1, 5.1,ba b a ==则 令22log 5.9, 5.9,b a b a==则 则2 5.9b a =则当a ＞1时，x y a =在R 上是增函数，且5.1＜5.9所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＜log 5.9a当0＜a ＜1时，xy a =在R 上是减函数，且5.1＞5.9所以，1b ＜2b ，即l og 5.1a ＞log 5.9a练习2: 比较下列各题中两个值的大小:⑴ log 106 log 108 ⑵ log 0.56 log 0.54 ⑶ log 0.10.5 log 0.10.6 ⑷ log 1.50.6 log 1.50.4 练习3：已知下列不等式，比较正数m ，n 的大小：(1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < log a n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1)（四）、小结：本节课学习了对数函数的定义、图象和性质①对数函数的概念必要性与重要性;②对数函数的性质，列表展现.（五）、课后作业：114P 习题3—2A,4，5，6，8，10 五、教后反思：。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数 3.5.1 对数函数的概念教案1 北师大版必修1
1 3.5.1 对数函数的概念
本节教材分析
有了学习指数函数的图象和性质的学习经历，以及对数知识的准备，对数函数的概念的引入，便水到渠成.对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受.
三维目标
1．知识技能：①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.2．过程与方法：让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.3．情感、态度与价值观：①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；②培养学生严谨的科学态度.
教学重点：理解对数函数的定义，及会求对数与指数函数的反函数.
教学难点：求解反函数.
教学建议：
1. 由学生阅读“问题提出”，感受研究对数函数的必要性.也可以让学生收集这类问题，互相交流.
2. 由指数函数导出对数函数时要组织学生讨论研究“为什么把指数函数)1,0(≠>=a a a y x 中的y 当作自变量，那么x 就是y 的函数？” “这个函数与原来的函数有什么关系？”以使学生理解对数函数的概念.
3. 关于反函数，只要求学生理解诸如指数函数和对数函数互为反函数，通过例题，求一些具体的指数函数或对数函数的反函数.
4. 组织学生，从对数函数的表达式分析它的某些性质，对比图象说明.
新课导入设计
导入一：利用考古学家研究文物时的一组对应关系：P t 573021
log
=（P 是碳14的含量，
t 是时间）引出课题.
导入二：通过指数函数，借助细胞分裂，转换研究角度，将指数函数中的自变量与因变量互换位置，得到一种新的函数—对数函数，教师直接点题.。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数 3.5.1 对数函数的概念教案3 北师大版必修1
3.5.1 对数函数的概念教学目标：1、理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实际中的简单应用，培养学生数学交流能力和与人合作精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数行结合、分类讨论等数学思想。
2、能根据对数函数的图像，画出含有对数式的函数的图像，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题。
认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用意识。
3、掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图像变化规律的理解，通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优秀品质，培养学生数学交流能力。
教学重点难点：重点：对数函数的定义、图像和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底数对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用。
难点：底数a 对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明。
教学过程：5.1 对数函数的概念（第1课时）一、引入：根据对数式N b a log = )1,0(≠>a a对于N 在正实数集内的每一个确定的值，在实数集R 内都有唯一确定的b 。
二、讲授新课： 1 对数函数 我们把函数)1,0(log ≠>=a a x y a 叫作对数函数，a 叫作对数函数的底数。
特别地，我们称以10为底的对数函数x y lg =为常用对数函数；称以无理数e 为底的对数函数x y ln =为自然对数函数。
例1 计算：（1）计算对数函数x y 2log =对应于x 取1，2，4时的函数值；（2）计算常用对数函数x y lg =对应于x 取1，10，100，0.1时的函数值。
解 （1）当1=x时，01log log 22===x y 当2=x 时，12log log 22===x y当4=x时，24log log 22===x y ； （2） 当1=x时，01lg lg ===x y 当10=x时，110lg lg ===x y 当100=x时，2100lg lg ===x y 当1.0=x时，11.0lg lg -===x y 指数函数)1,0(≠>=a a a y x 和对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 有什么关系？2 反函数指数函数)1,0(≠>=a a a y x ，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域是R ，值域是),0(+∞；对数函数)1,0(log ≠>=a a y x a ，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是),0(+∞，值域是R 。
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指数函数与对数函数教师版(正式版) 【课前预习】一、知识梳理1.指数函数与对数函数(0,1)x a a>≠1a>01a<<过定点(1,0)2.对数(1)对数的定义：(0,1)ba N a a b=>≠⇔=logaN.(2)对数恒等式：log a Na=N(0,1)a a>≠.(3)对数的基本运算性质：设0,1a a>≠，0,0M N>>，log loga aM N+=logaMN. log loga aM N-=logaMN. logaNα=logaNα.(4)换底公式：logaN=loglogbbNa(换成以b为底的对数);推论：0,logmnaM M>=loganMm;1log(log log1)loga a bbb b aa=⋅=.二、基础练习1.不用计算器，求下列各式的值.(1)26666[(1log3)log2log18]log4-+⋅÷=________;(2)2(lg5)lg50lg2+⋅=________;(3)=_________;(4)3948(log2log2)(log3log3)+⋅+=__________.2.设16log27a=, 则用a表示6log16=_______________.3.不等式2(21)1xa-<的解集为(,0)-∞, 则实数a的取值范围是________________________.4.若2log13a<, 则实数a的取值范围是________________________.114541234a+(,1)(1,)-∞-⋃+∞2(0,)(1,)3⋃+∞1xylog,1=>ay x a1xylog,01=<<ay x a5.函数222x x y +=的单调递增区间是_____________, 值域是____________. 6.函数|1|4()5x y -=的单调递减区间是_____________, 值域是____________.7.函数20.1log (62)y x x =+-的单调递增区间是________________. 8.函数lg100x y =的图像与函数10010x y =⋅的图像关于直线______________对称; 函数lg 100x y =的图像与函数0.1log 100x y =的图像关于直线______________对称.【例题解析】例1.设函数1()(0, 1)1x x a f x a a a -=>≠+,(1)求()f x 的定义域与值域; (2)讨论()f x 的奇偶性; (3)判断()f x 的单调性.(1)解: 由11x a +>, 即定义域为R; 设x t a =, 则0t >, 记()y f x =, 则1(0)1t y t t -=>+, 122111t y t t +--==+++, 在(0,)+∞上单调递增, 因此有(1,1)y ∈-, 即值域为(1,1)-. (2)解: 定义域关于原点对称, 对于任意R x ∈,11()()11x xx xa a f x f x a a -----===-++,即函数为奇函数;(3)解: 任取12x x <, 12121211()()11x x x x a a f x f x a a ---=-++ 121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x a a a a a a -+-+-=++12122()(1)(1)x x x x a a a a -=++, 若1a >, 则120x x a a -<, 即12()()f x f x <, 函数单调递增, 若01a <<, 则120x x a a ->, 即12()()f x f x >, 函数单调递减.例2.已知函数1()423x x f x a --=-⋅-在[2,)-+∞上有最小值4-, 求实数a 的值. 解: 令2x t -=, 则由[2,)x ∈-+∞, (0,4]t ∈,[1,)-+∞1[,)2+∞[1,)+∞(0,1]1[,2)4y x =0y =记()y f x =, 则223, (0,4]y t at t =--∈,其图像的对称轴为t a =,若0a ≤, 则函数在(0,4]上单调递增, 无法取到最小值; 若04a <≤, 则当t a =时, 2min 3y a =--, 由min 31y a =-⇒=;若4a <, 则函数在(0,4]上单调递减, 当4t =时, min 138y t =-, 由min 1738y a =-⇒=(舍), 综上所述, 1a =.例3.已知函数1()log (0,1)1axf x a a x-=>≠+. (1)讨论()f x 的奇偶性和单调性.(2)设函数()f x 的定义域为[,)a b ，值域为[1,)+∞，求实数,a b 的值. 解 (1)(1,1),()()D f x f x =--=-,奇函数.2()log (1)1a f x x=-++，当1a >时()f x 在(1,1)-上递减；当01a <<时，()f x 在(1,1)-上递增. (2)[,)(1,1)a b ⊆-，所以01,01a b <<<≤.根据(2)，有1()log 11a af a a -==+，得1a . 若1b <，则1()log 1a bf x b-<+，不满足题意，因此1b =.例4.已知函数2()log ()a f x ax x =-(0, 1a a >≠)在区间[2,4]上是增函数, 求实数a 的取值范围. 解: 令210(1)0(,0)(,)ax x x ax x a->⇔->⇒∈-∞⋃+∞给出,函数在[2,4]有定义, 则1122a a <⇒>, 令2t ax x =-, 其图像对称轴为直线12x a=, 当1a >时, 外层函数单调递增, 因此内层函数2t ax x =-在[2,4]上单调递增, 得11224a a ≤⇔≥, 结合定义域要求, 即1a >; 当01a <<时, 外层函数单调递减, 因此内层函数2t ax x =-在[2,4]上单调递减, 因此11428a a ≥⇒≤, 结合定义域要求, 无解; 综上所述, 1a >.【巩固练习】1.函数||3x y -=的值域是____________.2.已知01a <<, 1b <-, 则函数x y a b =+的图像不会经过第______象限. 3.函数y =_________________. 4.若()log (0, 1)a f x x a a =>≠在[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍, 则实数a 的值为__________.5.函数3()log |2|f x x a =+的图像的对称轴是直线2x =, 则实数a =__________.6.使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是_____________.7.设223()2(1)xx f x x -+=≥, 则其反函数1()f x -=8.求2211()log ()log ()24f x x x =⋅, 当[2,8]x ∈时的最小值和最大值.解: 22()(log 1)(log 2)f x x x =--, 令2log , [2,8]t x x =∈, [1,3]t ∈,记()y f x =, 则2(1)(2)32, [1,3]y t t t t t =--=-+∈, 其对称轴为32t =, 因此min 14y f ==-, max (8)2y f ==;综上所述, 当322x =时, min 1()4f x =-; 当2x =或8时, max ()2f x =.9.求函数2221()log log (1)log ()(1)1x f x x p x p x +=+-+->-的值域. 解 2221(1)()log [()](1)24p p f x x x p -+=--+<<, 当11,32p p p -<<>时，()f x 的值域为21(,2log ]2p +-∞；当11,132p p -≤<≤时，()f x 的值域为2(,1log (1))p -∞+-.10.已知0a >, 1a ≠, 21(log )()1a a f x x a x=--, (1)判断()f x 的定义域内的奇偶性及单调性, 并加以证明; (2)若()40f x -<的解集为(,2)-∞, 求a 的值.(1)解: 令log a t x =, 则R t ∈, 且t x a =, 代入条件得: 2()()1t ta f t a a a -=--, (0,1]I 17(,]2413222 or 2-(1,0)-4-1(4)x +≥即2()()(R)1x x af x a a x a -=-∈-; 任取R x ∈, 2()()()1x xa f x a a f x a --=-=--, 因此()f x 是奇函数, 任取1212,R, x x x x ∈<, 1122122()()()1x x x x af x f x a a a a a ---=--+- 121221()11x x x x a a a a a a ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭, 当1a >时, 12x x a a <,201a a >-, 12110x x a a +>,则12()()0f x f x -<, 函数是增函数; 当01a <<时, 12x x a a >,201a a <-, 12110x x a a +>,则12()()0f x f x -<, 函数是增函数;综上所述, 函数是R 上的增函数;(2)解: 由()4y f x =-单调递增, 即()40f x -=的解为2,222(2)4()4021af a a a a --=--=⇒=-【提高练习】11.已知函数([0,),0,1)x y a b c x b b =⋅+∈+∞>≠的值域为[2,3)-，试写出一个符合要求的函数 .53(01)x y b b =-⋅+<<12.已知函数()lg()(10)x x f x a b a b =->>>.(1)求()f x 的定义域.(2)在函数()y f x =的图像上是否存在两个不同的点，使得它们的连线平行于x 轴. (3)当,a b 满足什么条件时，()f x 在(1,)+∞上恒取正值. 解 (1)()1(0,)x x x a a b x b>⇒>⇒∈+∞. (2)()f x 是单调增函数，不存在这样的两点. (3)(1)01f a b ≥⇒-≥。