(高清版)2018年北京市中考数学试卷

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绝密★启用前
北京市2018年高级中等学校招生考试
数 学
本试卷满分150分,考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的） 1.下列几何体中,是圆柱的为
（ ）
A
B
C
D 2.实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是
（ ）
A
.4a ＞
B .0c b -＞
C .0ac ＞
D .0a c +＞ 3.方程式3
3814x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为
（ ）
A .12x y =-⎧⎨=⎩
B .12x y =⎧⎨=-⎩
C .2
1x y =-⎧⎨=⎩
D .2
1x y =⎧⎨=-⎩
4.被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。

已知每个标准足球场的面积为7140m2,则FAST 的反射面总面积约为
（ ）
A.327.1410m ⨯
B.427.1410m ⨯
C.522.510m ⨯
D.62
2.510m ⨯ 5.若正多边形的一个外角是o 60,则该正多边形的内角和为
（ ）
A .o 360
B .o 540
C .o 720
D .o 900 6.如果23a b -=,那么代数式222a b a
b a a b ⎛⎫+-⋅ ⎪-⎝⎭
的值为
（ ）
A .3
B .23
C .33
D .43
7.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20y ax bx c a =+=≠ .下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为
（ ）
A .10m
B .15m
C .20m
D .22.5m
（第7题图）
（第8题图）
8.上图是老北京城一些地点的分布示意图。

在图中,分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系,有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为()0,0,表示广安门的点的坐标为()6,3--时,表示左安门的点的坐标为()5,6-；
②当表示天安门的点的坐标为()0,0,表示广安门的点的坐标为()12,6--时,表示左安门的点的坐标为()10,12-；
③当表示天安门的点的坐标为()1,1,表示广安门的点的坐标为()11,5--时,表示左安门的点的坐标为()11,11-；
④当表示天安门的点的坐标为()1.5,1.5,表示广安门的点的坐标为()16.5,7.5--时,表
示左安门的点的坐标为()16.5,16.5,-。

上述结论中,所有正确结论的序号是
（ ）
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
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A .①②③
B .②③④
C .①④
D .①②③④
二、填空题（本大题共8小题,每小题2分,共16分.把答案填写在题中的横线上） 9.右图所示的网络是正方形网格,BAC ∠ DAE ∠。

（填“＞”,“＝”或“＜”）
10.若x 在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是 。

11.用一组a ,b ,c 的值说明命题“若a b <,则ac bc >”是错误的,这组值可以是
a = ,
b = ,
c = 。

12.如图,点A ,B ,C ,D 在⊙O 上,CB CD =))))
,30CAD ∠=︒,50ACD ∠=︒,则
ADB ∠= 。

（第12题图）
（第13题图）
13.如图,在矩形ABCD 中,E 是边AB 的中点,连接DE 交对角线AC 于点F ,若4AB =,
3AD =,则CF 的长为 。

14.从甲地到乙地有A ,B ,C 三条不同的公交线路。

为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况,在每条线路上随机选取了500个班次的公交车,收集 3035t ≤≤
3540t ＜≤
4045t ＜≤
4550t ＜≤
合计 A 59 151 166 124 500 B 50 50 122 278 500 C
45
265
167
23
500
早高峰期间,乘坐 （填“A ”,“B ”或“C ”）线路上的公交车,从甲地到乙
地“用时不超过45分钟”的可能性最大。

15.某公园划船项目收费标准如下：
船型
两人船
（限乘两人）
四人船
（限乘四人）
六人船
（限乘六人）
八人船
（限乘八人）
每船租金（元/小时）
90
100
130
150
某班18名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为1小时,则租船的总费用最低为 元。

16.2017年,部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示,中国创新综合排名全球第22,创新效率排名全球第 。

三、解答题（本大题共12小题,共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分5分）
下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程。

已知：直线l 及直线l 外一点P 。

求作：直线PQ ，使得PQ ∥l 。

作法：如图，
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数学试卷 第5页（共30页） 数学试卷 第6页（共30页）
①在直线l 上取一点A ，作射线PA 以点A 为圆心，AP 为半径画弧，交PA 的延长线于点B ；
②在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交BC 的延长线于点Q ；
③作直线PQ 。

所以直线PQ 就是所求作的直线。

根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明。

证明：AB =Q ，CB = ， l PQ Q ∥（ ）
（填推理的依据）。

18.（本小题满分5分）
计算()0
4sin452181π︒+---+.
19.（本小题满分5分）
解不等式组：()311922x x x x ⎧+>-⎪
⎨+>⎪
⎩.
20.（本小题满分5分）
关于x 的一元二次方程210ax bx ++=.
（1）当2b a =+时,利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a ,b 的值,并求此时方程的根.
21.（本小题满分5分）
如图,在四边形ABCD 中,AB DC ∥,AB AD =,对角线AC ,BD 交于点O ,AC 平分
BAD ∠,过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ,连接OE .
（1）求证:四边形ABCD 是菱形; （2）若5AB =,2BD =,求OE 的长.
22.（本小题满分5分）
如图,AB 是O e 的直径,过O e 外一点P 作O e 的两条切线PC ,PD ,切点分别为C ,
D ,连接OP ,CD .
（1）求证:OP CD ⊥;
（2）连接AD ,BC ,若50DAB ∠=︒, 70CBA ∠=︒,2OA =,求OP 的长.
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效---
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23.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中,函数()0k
y x x
=
＞的图象G 经过点()4,1A ,直线1
4
L y x b +:与图象G 交于点B ,与y 轴交于点C .
（1）求k 的值;
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G 在点A ,B 之间的部分与线段OA ,
OC ,BC 围成的区域（不含边界）为w .
①当1b =-时,直接写出区域W 内的整点个数;
②若区域W 内恰有4个整点,结合函数图象,求b 的取值范围
24.（本小题满分6分）
如图,Q 是»
AB 弦AB 所围成的图形的内部的一定点,P 是弦AB 上一动点,连接PQ 并延长交»
AB 于点C ,连接AC .已知6cm AB =,设A ,P 两点间的距离为cm x ,P ,C 两点间的距离为1cm y ,A ,C 两点间的距离为2cm y 。

小腾根据学习函数的经验,分别对函数1y ,2y ,随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小腾的探究过程,请补充完整：
（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量,分别得到了1y ,2y 与x 的几组/cm x
0 1 2 3 4 5 6 1/cm y
5.62
4.67 3.76 2.65 3.18 4.37 2/cm y
5.62
5.59
5.53
5.42
5.19
4.73
4.11
（2）在同一平面直角坐标系xOy 中,描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y 并画出2(,)x y 函数1y ,2y 的图象;
（3）结合函数图象,解决问题:当APC △为等腰三角形,AP 的长度约为 cm .
25.（本小题满分6分）
某年级共有300名学生.为了解该年级学生A ,B 两门课程的学习情况,从中随机抽取60名学生进行测试,获得了他们的成绩（百分制）,并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a .A 课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050x ≤＜,5060x ≤＜,
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
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6070x ≤＜,7080x ≤＜,8090x ≤＜,90100x ≤≤）
： b .A 课程成绩在7080x ≤＜这一组的是：
70
71 71 71 76 76 77 78 78.5
78.5
79 79 79 79.5
c .A ,B 两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B
72.2
70
83
根据以上信息,回答下列问题： （1）写出表中m 的值；
（2）在此次测试中,某学生的A 课程成绩为76分,B 课程成绩为71分,这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填“A ”’或“B ”）,理由是 , （3）假设该年级学生都参加此次测试,估计A 课程成绩跑过75.8分的人数.
26.（本小题满分6分）
在平面直角坐标系xOy 中,直线44y x =+y=4X+4与x 轴y 轴分别交于点A ,B ,抛物线23y ax bx a =+-经过点A 将点B 向右平移5个单位长度,得到点C . （1）求点C 的坐标; （2）求抛物线的对称轴;
（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点,结合函数图象,求a 的取值范围
27.（本小题满分7分）
如图,在正方形ABCD 中,E 是边AB 上的一动点（不与点A ,B 重合）,连接DE ,点
A 关于直线DE 的对称点为F ,连接EF 并延
长交BC 于点G ,连接DG ,过点E 作
EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ,连接BH .
（1）求证：GF GC =;
（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系,并证明.
28.（本小题满分7分）
对于平面直角坐标系元xOy 中的图形M ,N ,给出如下定义：P 为图形M 上任意一点Q 为图形N 上任意一点,如果P ,Q 两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M ,N 间的"闭距离",记作,()d M N . 已知点6()2,A -,()2,2B --,2(6,)C -. （1）求0,()d ABC 点△;
（2）记函数()11,0y kx x k =-≠≤≤
的图象为图形G .若(),1d G ABC =△,直接写出k 的取值范围;
（3）T e 的圆心为0(),T t ,半径为1.若,(1)d T ABC =e △,直接写出t 的取值范围.
-------------在
--------------------此--------------------
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上--------------------
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题--------------------
无--------------------
效---
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北京市2018年高级中等学校招生考试
数学答案解析
1.【答案】A
【解析】解：A 、此几何体是圆柱体； B 、此几何体是圆锥体； C 、此几何体是正方体； D 、此几何体是四棱锥； 故选：A ． 【考点】立体图形 2.【答案】B
【解析】本题由图可知，a 、b 、c 绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错．解：
43|4|a a --∴Q ＜＜＜A ∴不正确；
又0,00a c ac C ∴∴Q ＜＞＜不正确； 又3,30a c a c D -∴+∴Q ＜＜＜不正确； 又0,00c b c b B ∴-∴Q ＞＜＞正确； 故选：B ．
【考点】实数的绝对值及加减计算之间的关系 3.【答案】D
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可,解：
3⨯-①②得：55y =-，即1y =-，
将1y =-代入①得：2x =，
则方程组的解为2
1x y =⎧⎨
=-⎩
； 故选：D ．
【考点】解二元一次方程组 4.【答案】C
【解析】先计算FAST 的反射面总面积，再根据科学记数法表示出来，科学记数法的表示形式为10n a ⨯，其中11|0|a ≤＜
，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于249900250000≈有6位，所以可以确定615n =-=．
解：根据题意得：52
714035249900 2.510m ⨯=≈⨯（）
故选：C ．
【考点】科学记数法 5.【答案】C
【解析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再
由多边形的内角和公式求出其内角和．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解：该正多边形的边数为：360606︒÷︒=， 该正多边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒． 故选：C ．
【考点】多边形的内角与外角 6.【答案】A
【解析】先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，
继而代入计算可得．
解：当a b -=时，
原式= 故选：A ．
【考点】分式的化简求值 7.【答案】B
【解析】将点()()()0,54.040,46.220,57.9、、分半代入函数解析式，求得系数的值；然后
由抛物线的对称轴公式可以得到答案．
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数学试卷 第13页（共30页） 数学试卷 第14页（共30页）
解：根据题意知，抛物线()20y ax bx c a =++≠）经过点()()()0,54.040,46.220,57.9、、，
则5416004046.24002057.9c a b c a b c =⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
所以15x =（m ）． 故选：B ．
【考点】二次函数的应用 8.【答案】D
【解析】由天安门和广安门的坐标确定出每格表示的长度，再进一步得出左安门的坐标
即可判断．
解：①当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()6,3--时，表示左
安门的点的坐标为()5,6-，此结论正确；
②当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()12,6--时，表示左安
门的点的坐标为（()10
12，﹣），此结论正确； ③当表示天安门的点的坐标为()1,1，表示广安门的点的坐标为()5,2-时，表示左安门的
点的坐标为11,11-（）
，此结论正确； ④当表示天安门的点的坐标为1.51.5，（），表示广安门的点的坐标为16.5,7.5--（）
时，表示左安门的点的坐标为16.5,16.5（-），此结论正确．
故选：D ．
【考点】坐标确定位置 9.【答案】＞
【解析】作辅助线，构建三角形及高线NP
，先利用面积法求高线PN BAC DAE ∠∠、的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．
解：连接NH ，BC ，过N 作NP AD ⊥于P ，
1
•2
ANH S AH NP =△，
Rt ANP △中，3
sin 0.65
NAP ∠==，
Rt ABC △
中，sin 0.6BAC ∠=
， ∵正弦值随着角度的增大而增大，
BAC DAE ∴∠∠＞，
故答案为：＞．
【考点】锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌
握锐角三角函数的增减性是关键． 10.【答案】0x ≥
【解析】根据二次根式有意义的条件可求出x 的取值范围． 解：由题意可知：0x ≥． 故答案为：0x ≥．
【考点】二次根式有意义，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础
题型． 11.【答案】1 2 0
【解析】∵不等式的两边同乘一个正数，不等号的方向不变.∴若a b ＜ ,则对任意实数
0c ≤，结论bc ac ＜都是错误的.
【考点】不等式的性质 【提示】答案不唯一 12.【答案】70︒
【解析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出
180ACB ADB CAB ABC ∠=∠=︒-∠-∠，进而得出答案．
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解：30CAD ∠=︒Q ，
30CAD CAB ∴∠=∠=︒， 30DBC DAC ∴∠=∠=︒，
50ACD ∠=︒Q ， 50ABD ∴∠=︒，
18018050303070ACB ADB CAB ABC ∴∠=∠=︒∠∠=︒-︒-︒-︒=︒﹣﹣．
故答案为：70︒．
【考点】圆周角定理以及三角形内角和定理
13.【答案】10
3
【解析】根据矩形的性质可得出AB CD ∥，进而可得出FAE FCD ∠=∠，结合
AFE CFD ∠=∠（对顶角相等）可得出AFE CFD △△∽，利用勾股定理可求出AC
的长度，即可求出CF 的长． 解：∵四边形ABCD 为矩形，
AB CD AD BC AB CD ∴==，，∥，
FAE FCD ∴∠=∠，
又AFE CFD ∠=∠Q ，
AFE CFD ∴△△∽，
10
3CF ∴=．
故答案为：10
3
．
【考点】相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理 14.【答案】C
【解析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．
解：Q A 线路公交车用时不超过45分钟的可能性0.752=， B 线路公交车用时不超过45分钟的可能性0.444=， C 线路公交车用时不超过45分钟的可能性0.954=，
∴C 线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，
故答案为：C
【考点】可能性的大小 15.【答案】380
【解析】分四类情况，分别计算即可得出结论． 解：Q 共有18人，
当租两人船时，∴1829÷=（艘），Q 每小时90元，∴租船费用为909810⨯=元， 当租四人船时，Q 1844÷=余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，Q 四人船每小时
100元，
∴租船费用为100490490⨯+=元，
当租六人船时，Q 1863÷=（艘），Q 每小时130元，∴租船费用为1303390⨯=元， 当租八人船时，1882÷=Q 余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，Q 8人船每小时
150元，
如果租1艘8人船，1艘6人船，1艘4人船时，租船费用为150+130+100=380元
∴而810490390380＞＞＞，
∴租1艘八人船、1艘六人船和1艘四人船费用最低是380元，
故答案为：380． 【考点】有理数的运算． 16.【答案】3
【解析】两个排名表相互结合即可得到答案．
解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，
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数学试卷 第17页（共30页） 数学试卷 第18页（共30页）
再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3 故答案为：3
【考点】平面直角坐标系中点的坐标确定问题，解答时注意根据具体题意确定点的位置
和坐标．
17.【答案】（1）解：直线PQ 如图所示；
（2）AP
CQ
三角形的中位线平行于三角形的第三边 【解析】（1）根据题目要求作出图形即可； （2
）利用三角形中位线定理证明即可。

18.【答案】解：2
=41321
2
=22
⨯
+-+-原式 【解析】解：2
=41321
2
=22
⨯
+-+-原式 19.【答案】解：()311922x x x x ⎧+-⎪
⎨+⎪
⎩
＞①＞②
∵解不等式①得：2x ＞-， 解不等式②得：3x ＜，
∴不等式组的解集为23x -＜＜．
【解析】解：()311922x x x x ⎧+-⎪
⎨+⎪
⎩
＞①
＞②
∵解不等式①得：2x ＞-，
解不等式②得：3x ＜，
∴不等式组的解集为23x -＜＜． 20.【答案】解：（1）0a ≠，
22
224244444b a a a a a a a ==+=+++-=△﹣（）﹣，
20a Q ＞， 0∴△＞，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）Q 方程有两个相等的实数根，
240b a -∴==△，
若21b a ==，，则方程变形为2210x x ++=，解得121x x ==-．
【解析】（1）计算判别式的值得到24a =+△，则可判断0△＞，然后根据判别式的意义
判断方程根的情况；
（2）利用方程有两个相等的实数根得到240b a -==V ，设21b a ==，，方程变形为
2210x x ++=，然后解方程即可．
【考点】根的判别式
21.【答案】解：（1）AB CD ∥Q ，
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OAB DCA ∴∠=∠， AC Q 为DAB ∠的平分线， OAB DAC ∴∠=∠，
DCA DAC ∴∠=∠， CD AD AB ∴==， AB CD Q ∥，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
AD AB =Q ， ABCD ∴Y 是菱形；
（2）Q 四边形ABCD 是菱形，
OA OC BD AC CE AB ∴=⊥⊥Q ，，，
OE OA OC ∴==， 2BD =Q ， 1OB BD ∴==，
在Rt AOB △
中，1AB OB =，
2OA ∴=， 2OE OA ∴==．
故500人时，需要一等奖奖品50020%100⨯=（份）．
【解析】（1）先判断出OAB DCA ∠=∠，进而判断出DAC DAC ∠=∠，得出
CD AD AB ==，即可得出结论；
（2）先判断出OE OA OC ==，再求出1OB =，利用勾股定理求出OA ，即可得出结论． 【考点】菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理 22.【答案】解：（1）连接OC OD ，，
OC OD ∴=，
PD PC Q ，是O e 的切线，
90ODP OCP ∠=∠=︒Q ，
在Rt ODP △和Rt OCP △中，OD OC
OP OP =⎧⎨
=⎩
，
Rt Rt ODP OCP ∴△△≌，
DOP COP ∴∠=∠， OD OC =Q ，
OP CD ∴⊥；
（2）如图，连接OD OC ，，
2OA OD OC OB ∴====，
50ADO DAO ∴∠=∠=︒，70BCO CBO ∠=∠=︒， 80AOD ∴∠=︒，40BOC ∠=︒， 60COD ∴∠=︒， OD OC =Q ，
COD ∴△是等边三角形，
由（1）知，30DOP COP ∠=∠=︒， 在Rt ODP △
中，OP =
．
【解析】（1）先判断出Rt Rt ODP OCP △△≌，得出DOP COP ∠=∠，即可得出结论； （2）先求出60COD ∠=︒，得出OCD △是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出
结论．
【考点】等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数 23.【答案】解：（1）把41A ，（）代入y=得414k =⨯=； （2）①当1b =﹣时，直线解析式为
1
14
y x =
-，y=x ﹣1， 解方程得22x =+
而01C ，-（）
， 如图1所示，区域W 内的整点有102030，，，，，（）（）（）
，有3个； ②如图2，直线l 在OA 的下方时，当直线l ：14y x b =+过11-，（）
时，5
4b =-， 且经过(5,0)，
∴区域W 内恰有4个整点，b 的取值范围是5
14
b --≤＜．
如图3，直线l 在OA 的上方时，
Q 点22，()在函数0k
y x x =＞（）
的图象G ， 当直线l ：14y x b =+过12，()时，7
4b =，
当直线l ：14y x b =+过(1,3)时，11
4
b =，
∴区域W 内恰有4个整点，b 的取值范围是711
44
b ＜≤．
综上所述，区域W 内恰有4个整点，b 的取值范围是514b -≤＜-或711
44
b ＜≤．
【解析】（（1）把41A ，()代入K
y X =
中可得k 的值； （2）直线OA 的解析式为：1
4
y x =，可知直线l 与OA 平行，
①将1b =-时代入可得：直线解析式为1
14
y x =-，画图可得整点的个数；
②分两种情况：直线l 在OA 的下方和上方， 画图计算边界时点b 的值，可得b 的取值．
24.【答案】解：（1）当3x =时，3PA PB PC ===，
13y ∴=，
故答案为3．
（2）函数图象如图所示：
（3）观察图象可知：当x y =，即当PA PC =或PA AC =时，3x =或4.91， 当12y y =时，即PC AC =时， 5.77x =，
综上所述，满足条件的x 的值为3或4.91或5.77． 故答案为3或4.91或5.77．
【解析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题； （2）利用描点法画出图象即可．
（3）图中寻找直线y x =与两个函数的交点的横坐标以及1y 与2y 的交点的横坐标即可； 25.【答案】解：（1）A Q 课程总人数为26121418860+++++=，
∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在7080x ≤＜这一组， ∴中位数在7080x ≤＜这一组，
7080x Q ≤＜这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79
79.5，
∴A 课程的中位数为78.579
78.752
+=，即78.75m =；
（2）Q 该学生的成绩小于A 课程的中位数，而大于B 课程的中位数，
∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B ，
故答案为：B 、该学生的成绩小于A 课程的中位数，而大于B 课程的中位数．
（3）估计A 课程成绩跑过75.8分的人数为18108
30018060++⨯=人．
【解析】（1）先确定A 课程的中位数落在第4小组，再由此分组具体数据得出第30、31
个数据的平均数即可；
（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；
（3）用总人数乘以样本中超过75.8分的人数所占比例可得．
26.【答案】解：（1）与y 轴交点：令0x =代入直线44y x =+得4y =，
0,4B ∴()，
Q 点B 向右平移5个单位长度，得到点C ，
5,4C ∴()；
（2）与x 轴交点：令0y =代入直线44y x =+得1x =﹣，
1,0A ∴-()，
Q 点B 向右平移5个单位长度，得到点C ，
将点1,0A -()代入抛物线23y ax bx a =+﹣中得03a b a =--，即2b a =-，
∴抛物线的对称轴1x =；
（3）Q 抛物线23y ax bx a =+﹣经过点(10)A -，且对称轴1x =， 由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A 的对称点(3)0，， ①0a ＞时，如图1，
将0x =代入抛物线得3y a =-，
Q 抛物线与线段BC 恰有一个公共点，
34a ∴＜﹣，
43
a ＞-，
将5x =代入抛物线得12y a =，
124a ∴≥，
13a ≥，
13
a ∴≥；
②0a ＜时，如图2，
将0x =代入抛物线得3y a =-，
Q 抛物线与线段BC 恰有一个公共点，
34a ∴＞﹣，
4
3
a ＜-；
③当抛物线的顶点在线段BC 上时，则顶点为(1,4)，如图3， 将点(1,4)代入抛物线得423a a a =--， 解得1a =﹣．
综上所述，13a ≥或3
4
a ＜-或1a =-．
【解析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B 的坐标，根据平移的性质可求点C 的
坐标；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A 的坐标，进一步求得抛物线的对称轴； （3）结合图形，分三种情况：①0a ＞；②0a ＜，③抛物线的顶点在线段BC 上；进行
讨论即可求解．
27.【答案】证明：（1）如图1，连接DF ，
Q 四边形ABCD 是正方形，
DA DC ∴=，90A C ∠=∠=︒，
Q 点A 关于直线DE 的对称点为F ，
ADE FDE ∴△△≌，
DA DF DC ∴==，90DFE A ∠=∠=︒，
90DFG ∴∠=︒，
在Rt DFG △和Rt DCG △中， Rt Rt DFG DCG HL ∴△△≌（）
， GF GC ∴=；
（2
）BH =，理由是：
证法一：如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM AE =，
AD AB =Q ， DM BE ∴=，
由（1）知：12∠=∠，34∠=∠，
90ADC ∠=︒Q ，
123490∴∠+∠+∠+∠=︒，
222390∴∠+∠=︒， 2345∴∠+∠=︒，
即45EDG ∠=︒，
EH DE ⊥Q ，
90,DEH DEH ∴∠=︒△是等腰直角三角形， 190AED BEH AED DE EH ∴∠+∠=∠+∠=︒=，，
1BEH ∴∠=∠，
在DME △和EBH △中，
1DE BE BEH DE EH =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
Q DME EBH ∴△△≌，
EM BH ∴=，
Rt AEM △中，90A AM AE ∠=︒
=，， EM AE ∴=，
BH AE ∴=；
证法二：如图3，过点H 作HN AB ⊥于N ，
90ENH ∴∠=︒，
由方法一可知：DE EH =，1NEH ∠=∠， 在DAE △和ENH △中
1A ENH
NEH DE EH ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
Q ， DAE ENH ∴△△≌，
AE HN AD EN ∴==，， AD AB =Q ，
AB EN AE BE BE BN ∴==+=+， AE BN HN ∴==，
BNH ∴△是等腰直角三角形，
BH HN AE ∴==．
【解析】（1）如图1，连接DF ，根据对称得：ADE FDE △△≌，再由HL 证明
Rt Rt DFG DCG △△≌，可得结论；
（2）证法一：如图2，作辅助线，构建AM AE =，先证明45EDG ∠=︒，得DE EH =，
证明DME EBH △△≌，则EM BH =，根据等腰直角AEM △
得：EM =，得结论；
证法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明DAE ENH △△≌，得AE HN =，
AD EN =，再说明BNH △是等腰直角三角形，可得结论．
28.【答案】解：（1）如图所示，点O 到ABC △的距离的最小值为2，
()1d O ABC ∴=，△点；
（2）0y kx k =≠（）经过原点，在11x -≤≤范围内，函数图象为线段，
当110y kx x k =-≠≤≤
，()经过(1,)1-时，1k =-，此时1d G ABC =，△()； 当(110)y kx x k =-≠≤≤，经过(1,1)--时，1k =，此时1d G ABC =，△()； 11k ∴-≤≤，
0k ≠Q ，
11k ∴-≤≤且0k ≠；
（3）T e 与ABC △的位置关系分三种情况：
①当T e 在ABC △的左侧时，由(,)1d T ABC =e △知此时4t =﹣； ②当T e 在ABC △内部时，
当点T 与原点重合时，1d T ABC =e ，△()，知此时0t =； 当点T 位于3T 位置时，由1d T ABC =e ，△()知32T M =，
8AB BC ==Q 、90ABC ∠=︒，
345C T DM ∴∠=∠=︒，
则3T D =，
4t ∴=
故此时04t -≤≤
③当T e 在ABC △右边时，由1d T ABC =e ，△()知42T N =，
445T DC C ∠=∠=︒Q ，
4T D ∴=
4t ∴=+
综上，4t =-
或04t -≤≤
4t =+
【解析】（1）根据点A B C 、、三点的坐标作出ABC △，利用“闭距离”的定义即可得； （2）由题意知y kx =在11x -≤≤范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过
(1,1)-和()1,1--时k 的值即可得；
（3）分T e 在ABC △的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可
得．。