知识点3.卡诺图化简法
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逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
①从真值表中求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
②从一般表达式利用展开法求标准与或式
[例] 将下列函数化成最小项表达式。
F F( A ,B ,C ) AB AC
[解] F AB( C C ) AC( B B )
ABC ABC AB C ABC
【例3】化简逻辑函数 Y(A, B,C, D) m(0,1,2,3,4,8,12,13,14,15)
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例4】化简逻辑函数
化简得：
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
m6
m7
m1
m3
或 m 1 , 3 , 6 , 7
对于任何一个逻辑函数，它的真值表是唯一的，其标准的与或 表达式也是唯一的。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
（3）卡诺图 将n个变量的全部最小项分别用一个小方格表示，使具有
逻辑相邻性（只有一个变量不同）的最小项在图中几何位置 相邻，这样组织起来的图形称为n个变量的卡诺图。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
对于逻辑函数的卡诺图，逻辑函数包含哪个最小项，就把 那个最小项对应的小方格用“1”标示出来，其余小方格填入0 或空着。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
（4）利用卡诺图化简逻辑函数 ①最小项合并规律
相邻最小项合并后遵循“存同弃异”的原则，例如在图（a）中，
最小项
和
合并后只有 相同，所以合并结果
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
2n 个相邻最小项可合并成一项并消去n个变量。
wenku.baidu.com
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
②利用卡诺图化简的一般步骤
第一步：将函数化成最小项表达式并填入卡诺图。 第二步：按照规则，用包围圈将卡诺图中所有为1的方格圈 完，合并最小项。 第三步：将每个包围圈的逻辑表达式进行逻辑或，得到最简 函数表达式。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
为了更容易理解卡诺图化简的基本思路，先了解一下逻辑相邻
项。在最小项中，如果两个最小项仅有一个因子互反，而其它因子
都相同，则称这两个最小项具有逻辑相邻性。具有逻辑相邻性的最
小项称为逻辑相邻项。在含有三个变量A、B、C的逻辑函数中，
以ABC为例，和它相邻的项有 、 和 三个最小项。两个
画包围圈要注意以下几点:
①取值为1的最小项不能漏圈，否则最后得到的表达式与所 给的函数不等。
②以 2n 个相邻项（即包围圈内的1格必须为1,2,4,8等）画圈 且圈的面积越大越好，包围圈越大，化简后的乘积项因子越少， 化简结果越简单。
③包围圈的个数越少越好，这样化简后的乘积项就越少。 ④同ー个取值为1的最小项可以被不同的包围圈重复选用， 但每个包围圈至少有一个最小项与其它包围圈不重复，保证化 简项的独立性。
就是 。又如（b）图中，八个最小项合并，八个最小项分别
为
和 ，可见同时相
同的变量没有，但可以认为它们都具有的变量是“1”，所以化简
结果就是“1”。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
a.两个小方格相邻, 或处于某行(列)两端时，所代表的最 小项可以合并，合并后可消去一个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
Y F ( A ,B ,C ,D ) ( 4 变量共有 16 个最小项)
ABC D ABCD ABC D … … ABC D ABCD
( n 变量共有 2n 个最小项)
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
（2）最小项的性质
为了分析最小项的性质，把三个变量A、B、C所有最小项的真 值表列出来，如下所示：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
（1）最小项的定义 在包含n个输入变量的逻辑函数中，如果m为包含这n个变量的
乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现且 仅出现一次，则称m为该逻辑函数的一个最小项。
Y F ( A ,B ) ( 2 变量共有 4 个最小项)
AB AB AB AB
Y F ( A ,B ,C ) ( 3 变量共有 8 个最小项)
ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 01
相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
①从真值表中求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
②从一般表达式利用展开法求标准与或式
[例] 将下列函数化成最小项表达式。
F F( A ,B ,C ) AB AC
[解] F AB( C C ) AC( B B )
ABC ABC AB C ABC
【例3】化简逻辑函数 Y(A, B,C, D) m(0,1,2,3,4,8,12,13,14,15)
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例4】化简逻辑函数
化简得：
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
m6
m7
m1
m3
或 m 1 , 3 , 6 , 7
对于任何一个逻辑函数，它的真值表是唯一的，其标准的与或 表达式也是唯一的。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
（3）卡诺图 将n个变量的全部最小项分别用一个小方格表示，使具有
逻辑相邻性（只有一个变量不同）的最小项在图中几何位置 相邻，这样组织起来的图形称为n个变量的卡诺图。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
对于逻辑函数的卡诺图，逻辑函数包含哪个最小项，就把 那个最小项对应的小方格用“1”标示出来，其余小方格填入0 或空着。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
（4）利用卡诺图化简逻辑函数 ①最小项合并规律
相邻最小项合并后遵循“存同弃异”的原则，例如在图（a）中，
最小项
和
合并后只有 相同，所以合并结果
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
2n 个相邻最小项可合并成一项并消去n个变量。
wenku.baidu.com
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
②利用卡诺图化简的一般步骤
第一步：将函数化成最小项表达式并填入卡诺图。 第二步：按照规则，用包围圈将卡诺图中所有为1的方格圈 完，合并最小项。 第三步：将每个包围圈的逻辑表达式进行逻辑或，得到最简 函数表达式。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
为了更容易理解卡诺图化简的基本思路，先了解一下逻辑相邻
项。在最小项中，如果两个最小项仅有一个因子互反，而其它因子
都相同，则称这两个最小项具有逻辑相邻性。具有逻辑相邻性的最
小项称为逻辑相邻项。在含有三个变量A、B、C的逻辑函数中，
以ABC为例，和它相邻的项有 、 和 三个最小项。两个
画包围圈要注意以下几点:
①取值为1的最小项不能漏圈，否则最后得到的表达式与所 给的函数不等。
②以 2n 个相邻项（即包围圈内的1格必须为1,2,4,8等）画圈 且圈的面积越大越好，包围圈越大，化简后的乘积项因子越少， 化简结果越简单。
③包围圈的个数越少越好，这样化简后的乘积项就越少。 ④同ー个取值为1的最小项可以被不同的包围圈重复选用， 但每个包围圈至少有一个最小项与其它包围圈不重复，保证化 简项的独立性。
就是 。又如（b）图中，八个最小项合并，八个最小项分别
为
和 ，可见同时相
同的变量没有，但可以认为它们都具有的变量是“1”，所以化简
结果就是“1”。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
a.两个小方格相邻, 或处于某行(列)两端时，所代表的最 小项可以合并，合并后可消去一个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
Y F ( A ,B ,C ,D ) ( 4 变量共有 16 个最小项)
ABC D ABCD ABC D … … ABC D ABCD
( n 变量共有 2n 个最小项)
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
（2）最小项的性质
为了分析最小项的性质，把三个变量A、B、C所有最小项的真 值表列出来，如下所示：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
（1）最小项的定义 在包含n个输入变量的逻辑函数中，如果m为包含这n个变量的
乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现且 仅出现一次，则称m为该逻辑函数的一个最小项。
Y F ( A ,B ) ( 2 变量共有 4 个最小项)
AB AB AB AB
Y F ( A ,B ,C ) ( 3 变量共有 8 个最小项)
ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 01
相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式