第六章 6.1数列的概念--2021届高三数学一轮基础复习讲义(教师版)

第1课时

进门测

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×)

(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√)

(3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(×)

(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)

(5)如果数列{a n}的前n项和为S n，则对任意n∈N*，都有a n＋1＝S n＋1－S n.(√)

作业检查

无

第2课时

阶段训练

题型一 由数列的前几项求数列的通项公式 例1 (1)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－(n －1) B ．a n ＝n 2－1 C ．a n ＝n (n ＋1)

2

D ．a n ＝n (n －1)

2

(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，9

17，则这个数列的一个通项公式是a n ＝ .

答案 (1)C (2)2n ＋1

n 2＋1

解析 (1)观察数列1,3,6,10，…可以发现 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，

…

第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)

2.

∴a n ＝n (n ＋1)2

.

(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1

n 2＋1.

思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略

(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．

(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋

1，k ∈N *处理．

根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．

(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；

(3)12，14，－58，1316，－2932，61

64

，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)数列变为89⎝⎛⎭⎫1－110，89⎝⎛⎭⎫1－1102，8

9⎝⎛⎭⎫1－1103，…， 故a n ＝8

9⎝⎛⎭

⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－3

2

，

原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－3

24，…，

故a n ＝(－1)n

2n －3

2n

.

题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式

例2 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1

3，则{a n }的通项公式a n ＝ .

答案 (－2)n －

1

解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋1

3

，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1

时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －

1.

(2)已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式． ①S n ＝2n 2－3n ；②S n ＝3n ＋b . 解 ①a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1

＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2

－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. ②a 1＝S 1＝3＋b ，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －

1＋b ) ＝2·3n －

1.

当b ＝－1时，a 1适合此等式； 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －

1；

当b ≠－1时，a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

3＋b ，n ＝1，

2·3n －1，n ≥2.

思维升华 已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1；

(2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．

(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为 ．

(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( ) A ．2n －

1 B ．(32)n －1

C ．(32)n D.12

n －1

答案 (1)a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2，n ＝1，6n －5，n ≥2 (2)B

解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．

故数列的通项公式为a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2，n ＝1，

6n －5，n ≥2.

(2)由a n ＋1＝S n ＋1－S n ，得1

2S n ＝S n ＋1－S n ，

即S n ＋1＝3

2

S n (n ≥1)，又S 1＝a 1＝1，

所以数列{S n }是首项为1，公比为3

2的等比数列，

所以S n ＝(32

)n －

1，故选B.

题型三 由数列的递推关系求通项公式

例3 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1

n )；

(2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ；