2018-2019学年人教A版必修2 1.3.2 球的体积和表面积 作业

1.3.2 球的体积和表面积

目标定位 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.

自 主 预 习

球的体积公式与表面积公式

(1)球的体积公式V ＝4

3πR 3(其中R 为球的半径) (2)球的表面积公式S ＝4πR 2

即 时 自 测

1.判断题

(1)球的半径为R ，那么它的体积V ＝4

3πR 3.(√) (2)半径为3的球的体积是36π.(√)

(3)球的半径为R ，那么它的表面积S ＝4πR 2.(√) (4)半径为2的球的表面积等于2π.(×) 提示 (4)S 球＝4π×(2)2＝8π.

2.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A.1∶9

B.1∶27

C.1∶3

D.1∶1

解析 由表面积公式知，两球的表面积之比为R 21∶R 2

2＝1∶9.

答案 A

3.球的体积是32π

3，则此球的表面积是( ) A.12π

B.16π

C.16π3

D.64π3

解析 设球的半径为R ，则V ＝43πR 3＝32

3π，∴R ＝2， ∴表面积S ＝4πR 2＝16π. 答案 B

4.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.

解析 设大球的半径为R ，则有43πR 3

＝2×43π×13， R 3＝2，∴R ＝3

2. 答案 32

类型一 球的表面积和体积

【例1】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积. (2)已知球的体积为500

3π，求它的表面积.

解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4，所以球的体积V ＝4

3πR 3＝43π·(4)3＝2563π.

(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝500

3π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2

＝4π×52＝100π.

规律方法 1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积. 2.已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.

【训练1】在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A ．4π

B.9π

2

C ．6π

D.32π3

解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V 的最大值为9π

2. 答案 B

类型二 球的截面问题(互动探究)

【例2】 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )

A.6π

B.43π

C.46π

D.63π

[思路探究]

探究点一用一个平面去截球，截面是什么？

提示圆面.

探究点二有关球的截面问题的解题策略如何？

提示有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决，计算时，需要注意球心与截面圆心之间的距离，截面圆的半径及球的半径满足勾股定理.

解析如图，设截面圆的圆心为O′，

M为截面圆上任一点，

则OO′＝2，O′M＝1.

∴OM＝（2）2＋1＝ 3.

即球的半径为 3.∴V＝4

3π(3)

3＝43π.

答案 B

规律方法有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.

【训练2】已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________.

解析若两个平行截面在球心同侧，如图(1)，则两个截面间的距离为52－32－52－42＝1；

若两个平行截面在球心异侧，如图(2)，则两个截面间的距离为52－32＋52－42＝7.

答案 1或7

类型三 球的组合体与三视图

【例3】 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.

解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为

S ＝1

2×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 该几何体的体积为：V ＝23＋12×4

3π×13＝8＋2π3.

规律方法 1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义. 2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.

【训练3】 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________.

解析 由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为R ，则2R ＝23，∴R ＝ 3.∴S 球表＝4πR 2＝4π×3＝12π. 答案 12π [课堂小结]

1.球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据，在球的轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的

主要方法.

2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.

1.直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A.36π，144π B.36π，36π C.144π，36π

D.144π，144π

解析 球的半径为3，表面积S ＝4π·32＝36π，体积V ＝4

3π·33＝36π. 答案 B

2.若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的( ) A.2倍

B.4倍

C.8倍

D.16倍

解析 设气球原来的半径为r ，体积为V ，则V ＝4

3πr 3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍. 答案 C

3. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A ．12π

B.323π

C ．8π

D ．4π

解析 由题可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π，故选A. 答案 A

4.在半径为R 的球面上有A ，B ，C 三点，且AB ＝BC ＝CA ＝3，球心到△ABC 所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.

解 依题意知，△ABC 是正三角形，△ABC 的外接圆半径r ＝3

3×3＝ 3. 由R 2

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫R 22

＋(3)2，得R ＝2.所以球的表面积S ＝4πR 2＝16π.

基 础 过 关

1.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为( )