2019高考数学一轮复习 8-8 圆锥曲线的综合问题(视情况选用)课时作业文.doc

合集下载

高三数学第一轮复习测试及详细解答(8)——圆锥曲线

2y高三数学第一轮复习单元测试（7）—圆锥曲线一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1．若椭圆经过原点,且焦点为 F 1 (1, 0), F 2 (3, 0) ,则其离心率为（）3 2 A ．B ．4321 1 C ．D ．24x 2 y 22．若抛物线 y = 2 px 的焦点与椭圆 + = 1的右焦点重合，则 p 的值为（） 6 2A ． -2B ． 2C ． -4D ． 4 3．已知双曲线3x 2 - y 2 = 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于（）A ．B ．3C ． 2D ．44．与 y 轴相切且和半圆 x 2+ y 2= 4(0 ≤ x ≤ 2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是（）A ． y 2= -4(x -1)(0 < x ≤ 1) B ． y 2= 4(x -1)(0 < x ≤ 1) C ． y 2 = 4(x +1)(0 < x ≤ 1)D ． y 2= -2(x -1)(0 < x ≤ 1)5．直线 y = 2k 与曲线9k 2 x 2+ y 2= 18k 2x(k ∈ R , 且k ≠ 0) 的公共点的个数为（） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 46．如果方程 x2 + y 2 =表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是（）- p q1x 2y 2x 2y 2A ． + = 12q + p qB ． + = -12q + p px 2+ y 2 =x 2y 2C ． 2 p + q q 1D ．+ 2 p + qq = -17．曲线x 210 - m2 + = 1(m < 6) 与曲线 6 - mx 2 5 - m y 2 + = 1(5 < m < 9) 的（）9 - m A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同 8．双曲线 mx 2 + y 2 = 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m = （）A ． - 14B ． -4C ． 4D ． 14 9．设过点 P (x , y )的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、B 两点，点Q 与点 P关于 y 轴对称， O 为坐标原点，若 BP = 2PA ，且OQ ⋅ AB = 1，则 P 点的轨迹方程是2 32（）A ． 3x 2+ 3y 2= 1(x > 0, y > 0)2C ． 3x 2- 3y 2= 1(x > 0, y > 0)2B ． 3x 2- 3y 2= 1(x > 0, y > 0)2D ． 3 x 2+ 3y 2= 1(x > 0, y > 0)210．抛物线 y = -x 2上的点到直线 4x + 3y - 8 = 0 距离的最小值是（）4 7 8 A ．B ．C ．355D ． 311．已知抛物线 x 2= y + 1上一定点 A (-1, 0) 和两动点 P , Q 当 PA ⊥ PQ 是,点Q 的横坐标的取值范围是（）A ． (-∞, -3]B ． [1, +∞)C ． [-3,1]D ． (-∞, -3] [1, +∞)12．椭圆 x4y231= 1上有 n 个不同的点: P 1 , P 2 ,....P n , ,椭圆的右焦点为 F ,数列{| P n F |}是公差大于100的等差数列,则 n 的最大值为（）A ．199B ．200C ．198D ．201二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上)x 2 y 213．椭圆 + 12 3= 1的两个焦点为 F 1 , F 2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF 1 的中点在 y 轴上,那么| PF 1 |是| PF 2 |的倍.214．如图把椭圆 x + y = 1 的长轴 AB 分成 8 等25 16分,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P 1,P 2,…,P 7 七个点,F 是椭圆的焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=.15．要建造一座跨度为 16 米,拱高为 4 米的抛物线拱桥,建桥时,每隔 4 米用一根柱支撑,两边的柱长应为.16．已知两点 M (-5, 0), N (5, 0) ,给出下列直线方程:① 5x - 3y = 0 ;② 5x - 3y - 52 = 0 ;③x - y - 4 = 0 .则在直线上存在点 P 满足| MP |=| PN | +6 的所有直线方程是.(只填序号)三、解答题(本大题共 6 小题, 共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)2航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为1，变轨（即航天器运行轨迹由 17．（本小题满分 12 分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：x 2 + y 2= 100 25⎛64 ⎫椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 M 0, ⎝⎪ 为顶点的抛物线的实7 ⎭ 线部分，降落点为 D ( 8, 0 ) . 观测点 A ( 4, 0 )、B ( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A 、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？18．（本小题满分 12 分）已知三点 P （5，2）、 F 1 （－6，0）、 F 2 （6，0）。

2019届高考数学一轮复习第8单元解析几何第54讲圆锥曲线的综合问题课件理

2
).
由题设知,直线 AN 的方程为 y=-1��(x+ ��),故同理可得
|AN|=6��
��(1+�� 3�� 2+��
2
).
值范围.
教学参考
4.[2016·全国卷Ⅱ] 已知椭圆
E:��
2+��
2
=1
的焦点在
x
轴上,A
�� 3
解:(1)设 P(x,y),M(x0,y0),则
N(x0,0),�� =(x-x0,y),�� =(0,y0). 由��= 2 ��得 x0=x,y0= 22y. 因为 M(x0,y0)在 C 上,所以��2��2+��22=1, 因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2.
当 k=3 2时上式不成立,因此 t=3kk(23k-2-1).
t>3
等价于k
3
-2 k 2 +k k 3 -2
-2=(k
-2k)(3k-22+1)<0,即kk3--22<0,
由此得 kk-32-2><00, 或 kk-32-2<>00, ,解得3 2<k<2.
因此 k 的取值范围是(3 2,2).
是 E 的左顶点,斜率为 k(k>0)
的直线交 E 于 A,M 两点,点 N
在 E 上,MA⊥NA.
(1)当 t=4,|AM|=|AN|时,求
△AMN 的面积;
由
2|AM|=|AN|得 2

2019届高考数学一轮复习第8单元解析几何第54讲圆锥曲线的综合问题课件理20180713489

教学参考
考情分析
考点
考查方向
考例
考查热度
2017全国卷Ⅲ20, 直线与圆锥位置关系及弦长,中点 2016全国卷Ⅱ20, 曲线的位置弦问题 2015全国卷Ⅱ20, 关系 2013全国卷Ⅱ20
★★★
教学参考
2017全国卷Ⅱ20, 2017全国卷Ⅰ20, 2017全国卷Ⅲ20, 最值、范围、最值、范围、证明问 2016全国卷Ⅱ20, 证明问题题 2016全国卷Ⅰ20, 2015全国卷Ⅰ5, 2015全国卷Ⅱ20
★★★
教学参考
定点、定值、定点、定值、探索性探索性问题问题
2017全国卷Ⅰ20, 2016全国卷Ⅰ20, 2015全国卷Ⅰ20, 2015全国卷Ⅱ20
★★★
教学参考
真题再现
■ [2017－2013]课标全国真题再现
1.[2017· 全国卷Ⅱ] 设 O 为坐标原点, 动点 M 在椭圆 C: 2 +y =1 上,过 M 作 x
故圆心 M 的坐标为(m +2,m),圆 M 的半径
2
r=
(�� 2
+ 2) + �� 2 .
2
教学参考
2.[2017· 全国卷Ⅲ] 已知抛物线 C:y =2x,过点(2,0)的直线 l
2
由于圆 M 过点 P(4,-2),因此�� · �� =0,故 (x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即 x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得 y1y2=-4,x1x2=4, 所以 2m -m-1=0,解得 m=1 或 m=- .

高考数学复习-课时作业58圆锥曲线的综合问题

课时作业58圆锥曲线的综合问题基础巩疋y 2 3解析：由题可知，直线的方程为y =x — c ,与椭圆方程联立得 a b 'y = x — c , (b 2 + a 2)y 2 + 2b 2cy — b 4= 0,f— 2b 2ci yi +y 尸 a +b 2，设 A(x i , y i ), B(x 2, y 2)，贝S — b 4〔yiy 尸 a ^+b 2，— —又 AF = 2 F B , — (c — X i ，— y i ) = 2(x 2 — c , y 2),.•. — y i = 2y 2,可得[-2y2= a 22 (2019河北七校联考)如图，由抛物线y 2 = 8x 与圆E : (x — 2)2+ y 2= 9的实线部分构成图形Q,过点P(2,0)的直线始终与圆形Q 中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为(D )焦点F ，与椭圆交于 A 並 2— —A 、B 两点，且AF = 2 FB ，则该椭圆的离心率为(B )B 垃 B . 3C 亚D 山 D . 31.(2019河北石家庄一模 2 2)倾斜角为4的直线经过椭圆宇+ b 2= 1(a >b >0)的右_ — 2b 2c—y2=a +b 2, —b 4••• 1= a+p 」e =子，故选B.+ b 2'A • [2,3] C . [4,5] 解析：由题意可知抛物线y 2= 为E(2,0),因此点P , F ,E 三点重合，所以|FA|= 3. 设B(x o , y °),则由抛物线的定义可知|PB| = x °+ 2,y 2 = 8x ,2 由 22 得(x — 2) + 8x = 9,x — 22+ y 2= 9 '整理得x 2 + 4x — 5= 0,解得X 1= 1, x 2= — 5(舍去)，设圆E 与抛物线交于C , D 两点，所以X c = X D = 1,因此 0W x 0< 1,又 |AB|= |AP| + |BP|= 3 + x 。

高中数学一轮复习圆锥曲线的综合问题含答案

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )2．(模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．第1课时直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1 (模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．(全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．题型二弦长问题设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|P A|＝|PB|，求E的方程．题型三中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．命题点2 由中点弦解决对称问题例4 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．1．(泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，3) D ．(3，＋∞)2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94 D ．43．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.81054．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) A.54 B ．5 C.52 D. 56．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．167．(月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________．11．(模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．13.(联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(2016·黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )答案 D解析将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1变形为x 21a 2＋y 21b 2＝1，∵a >b >0，∴1a 2<1b 2，∴椭圆焦点在y 轴上．将方程ax ＋by 2＝0变形为y 2＝－ab x ，∵a >b >0，∴－ab<0，∴抛物线焦点在x 轴负半轴上，开口向左．2．(2016·青岛模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 答案 C解析双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 答案 16解析直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．答案 4解析由题意可设直线l 的方程为y ＝m ，代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2，所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4.第1课时直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1 (2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．题型二弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入 x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0，设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.思维升华有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b 2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．答案 (1)D (2)x ＋2y －8＝0解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D. (2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2). 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.命题点2 由中点弦解决对称问题例4 (2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎨⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，① 将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则 |AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 思维升华处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )．再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设弦MN 的中点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m . 所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0. 由点P (－12，y 0)在线段BB ′上 (B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3. 所以－334<m <334，且m ≠0.1．(2016·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞) 答案 B 解析要使直线与双曲线恒有两个公共点，则渐近线的斜率的绝对值应大于3，所以|b a|>3，所以e ＝ 1＋b 2a2>2，即e ∈(2，＋∞)，故选B.2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4 答案 C解析易知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)，∴|AB |为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点N (x 1＋x 22，y 1＋y 22)， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，∴x 1＋x 22＝74. ∴AB 中点到直线x ＋12＝0的距离为74＋12＝94. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－85t )2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0答案 A解析因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A.5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5 答案 D解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝(b a )2－4＝0，b a＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋(b a )2＝ 5. 6．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16答案 C解析依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||F A |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝144－16＝8 2.7．(2016·安顺月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案 (－2,4)，(1,1)解析设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，所以b >－14. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，由(－12，12＋b )在直线y ＝x ＋3上，即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. 8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．答案 6解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．答案 3x ＋4y －13＝0解析设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)．即3x ＋4y －13＝0.10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________．答案 (1,7＋43)解析由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0，可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0，由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m >1，f (1)≥0，Δ>0，得m >1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，得x 1＝2m －3(m 2－1)，x 2＝2m ＋3(m 2－1)，所以|MB ||MA |＝x 2x 1＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1)＝－1＋42－ 3(1－1m2)，由m >1得，|MB ||MA |的取值范围为(1,7＋43)． 11．(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程； (2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝⎝⎛⎭⎫222⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4. 所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1. (2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)，|F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2< 6.所以F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k2，由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 解得k ＝25或k ＝－2，故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y＝ 3. 因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1,所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869(9－n 2).当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又PQ ⊥y 轴，∴P (x 2，y )． ∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，∴(x 2)2＋y 2＝1，即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ，得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0.其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0.∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝[t (y 1－y 2)]2＋(y 1－y 2)231 ＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 将①②代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4 ＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1 ＝12×43|m |m 2＋3 ＝23|m |＋3|m |≤2323＝1，当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立．。

2019年高考数学一轮复习 8.9 圆锥曲线的综合问题课时作业理(含解析)新人教A版

2019年高考数学一轮复习 8.9 圆锥曲线的综合问题课时作业理（含解析）新人教A 版一、选择题1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( )A ．1B ．1或3C ．0D ．1或0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.答案：D2．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．22解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22. ∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D.答案：D3．(xx·山西适应性训练考试)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作倾斜角为30°的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点作PP 1，QQ 1垂直于抛物线的准线于P 1，Q 1，若|PQ |＝2，则四边形PP 1Q 1Q 的面积是( )A ．1B ．2C ．3 D.3解析：S ＝12(|PP 1|＋|QQ 1|)·|P 1Q 1|＝12×|PQ |×|PQ |×sin 30° ＝12×4×12＝1. 答案：A4．(xx·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：因为双曲线的离心率e ＝c a ＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝⎛⎭⎫－p 2，32p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p 2×3p ＝3，又p >0，所以p ＝2. 答案：C5．(xx·东北三校第二次联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.12B.14C.22D.33解析：由题知m 2＋n 2＝c 2，即n 2＝c 2－m 2，n 2是2m 2与c 2的等差中项，有2m 2＋c 2＝2n 2＝2c 2－2m 2得m 2＝c 24即m ＝c 2，又因c 是a 与m 的等比中项，所以am ＝c 2，即a ·c 2＝c 2，c a＝12，选A. 答案：A6．(xx·浙江卷)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意得a 2＋b 2＝3＝c 2②，则|OA |＝c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2c a＝62，故选D.③，联立②③解得a＝2，所以e＝答案：D二、填空题7．(xx·河南十所名校第三次联考)圆x 2＋y 2－2x ＋my －2＝0关于抛物线x 2＝4y 的准线对称，则m ＝________.解析：由条件易知圆心在抛物线x 2＝4y 的准线y ＝－1上，得m ＝2.答案：28．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．解析：由题意知，抛物线的方程为x 2＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝－4y 1，x 22＝－4y 2，两式相减得 x 21－x 22＝－4(y 1－y 2)， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4＝－1， ∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x .答案：x ＋y ＝09．(xx·江西卷)抛物线x 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线l 为y ＝－p 2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋p 22，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 22，－p 2，所以|AB |＝12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p 12＋p 2＝32，解得p ＝6. 答案：6三、解答题10．(xx·安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上． (1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1. (2)证明：设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝ 2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c ，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c. 故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝⎛⎭⎫0，cy 0c －x 0. 因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1. 化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P在定直线x ＋y ＝1上．11．(xx·江西卷)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b2＝1① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2②②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意可设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－34k 2＋3④ 在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12. 由于A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1 ＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1⑤ ④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24k 2－34k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1 ＝2k －1，又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意． 12．(xx·湖北武汉调考)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1，化简，得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x .得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.∵l 1⊥l 2，∴l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可是x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →||FB →|＋|FD →||EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋()2＋4k 2＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2 k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16. [热点预测]13．(xx·辽宁五校第一联合体考试)在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)、A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )、N 2(0，n )，且mn ＝3.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；(2)已知F 2(1,0)，设直线l ：y ＝kx ＋m 与(1)中的轨迹M 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．解：(1)依题意知直线A 1N 1的方程为：y ＝m 2(x ＋2)，① 直线A 2N 2的方程为：y ＝－n 2(x －2)，② 设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn 4(x 2－4)，由mn ＝3，整理得x 24＋y 23＝1. ∵N 1、N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)、A 2(2,0)不在轨迹M 上，∴轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)． (2)由题意知，直线l 的斜率存在且不为零，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，且kF 2P ＝kx 1＋m x 1－1，kF 2Q ＝kx 2＋m x 2－1. 由已知α＋β＝π，得kF 2P ＋kF 2Q ＝0，∴kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋m x 2－1＝0，化简，得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0，代入，得2k 4m 2－123＋4k 2－8mk m －k 3＋4k 2－2m ＝0，整理得m ＝－4k .∴直线l 的方程为y ＝k (x －4)，因此直线l 过定点，该定点的坐标为(4,0)．.。

【三维设计】高考数学一轮复习教师备选作业第八章第九节圆锥曲线的综合问题理

第八章第九节圆锥曲线的综合问题一、选择题1．设A 、B ∈R ，A ≠B ，且A ·B ≠0，则方程Bx －y ＋A ＝0和方程Ax 2－By 2＝AB 在同一坐标系下的图象大致是 ( )2．直线y ＝x ＋1截抛物线y 2＝2px 所得弦长为26，此时抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝6x C ．y 2＝－2x 或y 2＝6xD ．以上都不对3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1交于不同两点A 、B ，则|AB |的最大值为 ( )A ．2B.455C.4105D.81054．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60°，则|OA |为 ( )A.21p 4B.21p 2C.136pD.1336p 5．设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是 ( )A ．k 2－e 2>1 B ．k 2－e 2<1 C ．e 2－k 2>1D ．e 2－k 2<16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 1k 2≠0，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则双曲线的离心率为 ( )A. 2B.52C.32D.32二、填空题7．若y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144相切，则实数m 的值等于________．8．已知直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1、P 2两点，线段P 1、P 2 的中点为P ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值等于________．9．过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C .若梯形ABCD 的面积为122，则p ＝________.三、解答题10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．11．已知拋物线C 1：x 2＝y ，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M .(1)求点M 到拋物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是拋物线C 1上一点(异于原点)．过点P 作圆C 2的两条切线，交拋物线C 1于A ，B 两点．若过M ，P 两点的直线l 垂直于直线AB ，求直线l 的方程．12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点M (1，32)，其离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (|k |≤12)与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段OA 、OB 为邻边做平行四边形OAPB ，顶点P 恰好在椭圆C 上，O 为坐标原点，求|OP |的取值范围．详解答案一、选择题1．解析：方程Ax 2－By 2＝AB 可变为x 2B －y 2A ＝1.当AB >0时，方程x 2B －y 2A＝1.表示双曲线，直线Bx －y ＋A ＝0交x 轴于(－AB ，0)，即－A B<0，故排除C 、D 选项；当AB <0时，只有B >0，A <0，方程x 2B －y 2A ＝1表示椭圆，直线交x 轴于(－A B ，0)，而－AB>0，故排除A.答案：B2．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y 2＝2px 得x 2＋(2－2p )x ＋1＝0.x 1＋x 2＝2p －2，x 1x 2＝1.∴26＝1＋12·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·p －2－4.解得p ＝－1或p ＝3，∴抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝6x . 答案：C3．解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意得Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，即t 2<5.弦长|AB |＝2·4·5－t 25≤4105.答案：C4．解析：如图，过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|FA |＝2m ，|AD |＝3m ，由抛物线定义知|FA |＝|AB |，即p ＋m ＝2m ， ∴m ＝p . ∴|OA |＝p2＋p2＋3p2＝212p . 答案：B5．解析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k 只需满足－b a <k <b a，即k 2<b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1.答案：C6．解析：设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y ) 则k 1＝y －y 0x －x 0，k 2＝y ＋y 0x ＋x 0. 又∵M 、N 、P 都在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2.∴b 2(x 2－x 20)＝a 2(y 2－y 20)．∴x －x 0y －y 0＝a 2b 2 y ＋y 0x ＋x 0. ∴1|k 1|＝a 2b 2|k 2|，即|k 1|·|k 2|＝b 2a2. 又∵|k 1|＋|k 2|≥2|k 1||k 2|＝2b a.∴2b a＝1，即4b 2＝a 2∴4(c 2－a 2)＝a 2，即4c 2＝5a 2∴c 2a 2＝54，即e 2＝54，∴e ＝52. 答案：B二、填空题7．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m9x 2＋16y 2＝144，得25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0，所以Δ＝－576m 2＋14 400＝0，解得m ＝±5.答案：±58．解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k 1＝y 2－y 1x 2－x 1，k 1k 2＝y 22－y 21x 22－x 21.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2x 22＋2y 22＝2，相减得y 22－y 21＝－12(x 22－x 21)．故k 1k 2＝－12.答案：－129．解析：依题意，抛物线的焦点F 的坐标为(0，p2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB的方程为y －p2＝x ，代入抛物线方程得，y 2－3py ＋p 24＝0，故y 1＋y 2＝3p ，|AB |＝y 1＋y 2＋p＝4p ，直角梯形ABCD 有一个内角为45°.故|CD |＝22|AB |＝22×4p ＝2 2p ，梯形面积为12(|BC |＋|AD |)×|CD |＝12×3p ×22p ＝32p 2＝122，解得p ＝2.答案：2 三、解答题10．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m .消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，∴Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3. ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 0＝x 0＋m ＝m 3.∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(－2m 3)2＋(m 3)2＝1，∴m ＝±355.11．解：(1)由题意可知，拋物线C 1的准线方程为：y ＝－14，所以圆心M (0,4)到准线的距离是174.(2)设P (x 0，x 20)，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，由题意得x 0≠0，x 0≠±1，x 1≠x 2. 设过点P 的圆C 2的切线方程为y －x 20＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋x 20.① 则|kx 0＋4－x 20|1＋k2＝1，即(x 20－1)k 2＋2x 0(4－x 20)k ＋(x 20－4)2－1＝0.设PA ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以k 1＋k 2＝2x 0x 20－x 20－1，k 1k 2＝x 20－2－1x 20－1. 将①代入y ＝x 2得x 2－kx ＋kx 0－x 20＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝x 21－x 22x 1－x 2＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0＝2x 0x 20－4x 20－1－2x 0，k MP ＝x 20－4x 0. 由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝(2x 0x 20－4x 20－1－2x 0)·(x 20－4x 0)＝－1，解得x 20＝235.即点P 的坐标为(±235，235)，所以直线l 的方程为y ＝±3115115x ＋4. 12. 解：(1)由已知：e 2＝a 2－b 2a 2＝14①，又点M (1，32)在椭圆上，所以1a 2＋94b2＝1②，由①②解之，得a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1.消去y 化简整理得：(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(3＋4k 2－m 2)>0③ 设A ，B ，P 点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，y 0＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m3＋4k 2.由于点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1.从而16k 2m2＋4k22＋12m2＋4k22＝1，化简得4m 2＝3＋4k 2，经检验满足③式．又|OP |＝ x 2＋y 20＝ 64k 2m2＋4k22＋36m2＋4k22＝4m2k 2＋＋4k22＝16k 2＋94k 2＋3＝ 4－34k 2＋3. 因为0≤|k |≤12，得3≤4k 2＋3≤4，有34≤34k 2＋3≤1，故3≤|OP |≤132.综上，所求|OP |的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，132.。

2019届高考数学一轮复习：《圆锥曲线的综合问题》教学案(含解析)

圆锥曲线的综合问题(文视情况[知识能否忆起]1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a ＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|或 1＋1k2|y 1－y 2|.[小题能否全取]1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y216＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1 B.y 23－x 2＝1C.34x 2－38y 2＝1D.34y 2－38x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，ca ＝2，c ＝2，得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－x23＝1.2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交． 3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．4．过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a)，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝63. 答案：635．已知双曲线方程是x 2－y22＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P(2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________________．解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝01.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．典题导入[例1] (2018·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为22.直线y ＝k(x－1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N.(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．[自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k(x 1－1)，y 2＝k(x 2－1)，x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN|＝2－x 12＋2－y 12＝＋k21＋x 22－4x 1x 2]＝2＋k 2＋6k21＋2k2.又因为点A(2,0)到直线y ＝k(x －1)的距离d ＝|k|1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN|· d＝|k|4＋6k 21＋2k 2. 由|k|4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1. 由题悟法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．以题试法1．(2018·信阳模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：选C 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q(－2,0)，于是，可设过点Q(－2,0)的直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝＋⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k≤1.典题导入[例2] (2018·浙江高考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧＋2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y23＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M.当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m(m≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则 Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB|＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2，设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m|32＋22＝2|m －4|13. 设△ABP 的面积为S ，则 S ＝12|AB|·d＝36·－2－m2.其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u(m)＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]，u′(m)＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u(m)取到最大值．故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值．综上，所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.由题悟法1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．以题试法2．(2018·东莞模拟)已知抛物线y 2＝2px(p≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选B 设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b.将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p)x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p)．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p)2－4b 2＝4p 2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p(2p －1)＞0，即3p 2－2p ＜0，解得0＜p ＜23.典题导入[例3] (2018·辽宁高考)如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b<t 1<a.点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．[自主解答] (1)设 A(x 1，y 1)，B(x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a)，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a (x －a)．②由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A(x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x<－a ，y<0)． (2)证明：设A′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2|·|y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2. 由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2，从而y 21＋y 22＝b 2，因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．由题悟法1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．以题试法3．(2018·山东省实验中学模拟)已知抛物线y 2＝2px(p≠0)及定点A(a ，b)，B(－a,0)，ab≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，由点A ，M ，M 1共线可知y 0－b y 202p －a＝y 1－y 0y 212p －y 202p，得y 1＝by 0－2pa y 0－b，同理由点B ，M ，M 2共线得y 2＝2pa y 0.设(x ，y)是直线M 1M 2上的点，则y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－yy 222p－x ，即y 1y 2＝y(y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b ，y 2＝2pay 0，则(2px －by)y 02＋2pb(a －x)y 0＋2pa(by －2pa)＝0. 当x ＝a ，y ＝2pa b 时上式恒成立，即定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2pa b . 答案：⎝⎛⎭⎪⎫a ，2pa b1．已知双曲线x 2－y23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ,·2PF ,的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：选 A 设点P(x ，y)，其中x≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1)．1PA ,·2PF ,＝(－1－x ，－y)·(2－x ，－y)＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x≥1.因此，当x ＝1时，1PA ,·2PF ,取得最小值－2.2．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A ．有且只有一条 B ．有且只有两条 C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B 设该抛物线焦点为F ，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．3．(2018·南昌联考)过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M 、N(均在第一象限内)，若FM ,＝4MN ,，则双曲线的离心率为( )A.54 B.53 C.35D.45解析：选B 由题意知F(c,0)，则易得M ，N 的纵坐标分别为b 2a ，bc a ，由FM ,＝4MN ,得b 2a ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a －b 2a ，即bc ＝45.又c 2＝a 2＋b 2，则e ＝c a ＝53.4．已知椭圆x 225＋y216＝1的焦点是F 1，F 2，如果椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，则下面结论正确的是( )A ．P 点有两个B ．P 点有四个C ．P 点不一定存在D ．P 点一定不存在解析：选D 设椭圆的基本量为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝4，c ＝3.以F 1F 2为直径构造圆，可知圆的半径r ＝c ＝3＜4＝b ，即圆与椭圆不可能有交点．5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P(x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．解析：当P 在原点处时，|PF 1|＋|PF 2|取得最小值2；当P 在椭圆上时，|PF 1|＋|PF 2|取得最大值22，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为[2,2 2 ]．答案：[2,2 2 ]6．(2018·长沙月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x 22＋y 2＝1，得3x 2＝2，∴x ＝±63， ∴A ⎝⎛⎭⎪⎫63，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，－63， ∴|AB|＝433.设点C(2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·⎪⎪sin(θ－φ)⎪⎪ ≤32，∴S △ABC ＝12|AB|·d≤12×433×32＝ 2.答案： 27．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b2＝1(0<b<1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB|＋|BF 2|＝4，又2|AB|＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB|＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB|＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－b 2＋b22－4－2b 21＋b2＝8b 4＋b22，解得b ＝22. 8．(2018·黄冈质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C(m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得|AC|＝|BC|？并说明理由．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝ca ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F(1,0)，∴0≤m≤1. 假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k(x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1. 设AB 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1.∵|AC|＝|BC|，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1， ∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k＝－1，即(1－2m)k 2＝m.∴当0≤m＜12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ；当12≤m≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l.9．(2018·江西模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线y ＝x ＋6与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切，F 1，F 2为其左，右焦点，P 为椭圆C 上任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心为I ，且IG ∥F 1F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m(k≠0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，0，求实数k 的取值范围．解：(1)设P(x 0，y 0)，x 0≠±a，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 03，y 03. 又设I(x I ，y I )，∵IG ∥F 1F 2， ∴y I ＝y 03，∵|F 1F 2|＝2c ，∴S △F 1PF 2＝12·|F 1F 2|·|y 0|＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·| y 03| ，∴2c·3＝2a ＋2c ，∴e ＝c a ＝12，又由题意知b ＝|6|1＋1，∴b ＝3，∴a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意知Δ＝(8km)2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，即m 2＜4k 2＋3，又x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，则y 1＋y 2＝6m3＋4k2， ∴线段AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.又线段AB 的垂直平分线l′的方程为y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16，点P 在直线l′上，∴3m 3＋4k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2－16， ∴4k 2＋6km ＋3＝0，∴m ＝－16k(4k 2＋3)，∴2＋236k2＜4k 2＋3，∴k 2＞332，解得k ＞68或k ＜－68，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－68∪⎝ ⎛⎭⎪⎫68，＋∞.1．(2018·长春模拟)已知点A(－1,0)，B(1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB ＝2θ，|AM |,·|BM |,cos 2θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P ，Q 两点．(1)求|AM |,＋|BM |,的值，并写出曲线C 的方程； (2)求△APQ 的面积的最大值．解：(1)设M(x ，y)，在△MAB 中，|AB |,＝2，∠AMB ＝2θ，根据余弦定理得|AM |,2＋|BM |,2－2|AM |,·|BM |,cos 2θ＝|AB |,2＝4，即(|AM |,＋|BM |,)2－2|AM |,·|BM |,·(1＋cos 2θ)＝4，所以(|AM |,＋|BM |,)2－4|AM |,| BM |,·cos 2θ＝4. 因为|AM |,·|BM |,cos 2θ＝3，所以(|AM |,＋|BM |,)2－4×3＝4，所以|AM |,＋|BM |,＝4. 又|AM |,＋|BM|,＝4＞2＝|AB |，因此点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(点M 在x 轴上也符合题意)，设椭圆的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以曲线C 的方程为x 24＋y23＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 24＋y23＝1，消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.①显然方程①的判别式Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)＞0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则△APQ 的面积S △APQ ＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝48×3m 2＋33m 2＋42.令t ＝3m 2＋3，则t≥3，(y 1－y 2)2＝48t ＋1t＋2，由于函数φ(t)＝t ＋1t在[3，＋∞)上是增函数，所以t ＋1t ≥103，当且仅当t ＝3m 2＋3＝3，即m ＝0时取等号，所以(y 1－y 2)2≤48103＋2＝9，即|y 1－y 2|的最大值为3，所以△APQ 的面积的最大值为3，此时直线PQ 的方程为x ＝1.2．(2018·郑州模拟)已知圆C 的圆心为C(m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A(3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D ，B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．解：(1)由已知可设圆C 的方程为(x －m)2＋y 2＝5(m ＜3)，将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m)2＋1＝5，即(3－m)2＝4，解得m ＝1，或m ＝5. ∴m ＜3，∴m ＝1.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切，依题意设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的方程为y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0，若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5. ∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12. 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)． ∴由椭圆的定义得： 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝＋2＋12＋－2＋12＝52＋2＝6 2.∴a ＝32，即a 2＝18，∴e ＝432＝223＞12，满足题意．故直线PF 1能与圆C 相切．直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y22＝1.设B(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，把直线PF 1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y 2－16y －2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝1613，y 1y 2＝－213，故S △DBF 2＝4|y 1－y 2|＝41＋y 22－4y 1y 2＝241013.1．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)解析：选C 依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1消去y 得(x－1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)．2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为( )A ．至多1个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由题意得4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y24＝1的内部．3．(2018·深圳模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N.(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM ,·TN ,的最小值，并求此时圆T 的方程； (3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR|·|OS|为定值．解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知点M 与点N 关于x 轴对称，设M(x 1，y 1)，N(x 1，－y 1)，不妨设y 1＞0. 由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214.(*)由已知T(－2,0)，则TM ,＝(x 1＋2，y 1)，TN ,＝(x 1＋2，－y 1)， ∴TM ,·TN ,＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋852－15.由于－2＜x 1＜2，故当x 1＝－85时，TM ,·TN ,取得最小值－15.把x 1＝－85代入(*)式，得y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325.故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325. (3)设P(x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21.(**)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，代入(**)式，得x R ·x S ＝－y 2120－－y 221y 20－y 21＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20－y 21y 20－y 21＝4. 所以|OR|·|OS|＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．平面解析几何(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2018·佛山模拟)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a ＝－2或a ＝1. 2．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 设P(x P,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P(－5,1)，所以k ＝－13.3．(2018·长春模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：选A AB 的中点坐标为(0,0)， |AB|＝[1－－2＋－1－2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.4．(2018·福建高考)已知双曲线x 24－y 2b ＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3D ．5解析：选A ∵抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为(3,0)，故双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点为(3,0)，即c ＝3，故32＝4＋b 2，∴b 2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±52x ，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52×31＋54＝ 5.5．(2018·郑州模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为( )A.98 B.53 C.324D.54解析：选B 依题意得，c ＋b 2＝77＋3×2c，即b ＝45c(其中c 是双曲线的半焦距)，a ＝c 2－b 2＝35c ，则c a ＝53，因此该双曲线的离心率等于53.6．设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能解析：选C 若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|PA|＋|AF 1|)－(|PB|＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|.所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点．7．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1, 3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析：选D 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k(x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，所以|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33. 所以切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 8．(2018·新课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4D ．8解析：选C 抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A(－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.9．(2018·潍坊适应性训练)已知双曲线C ：x 24－y25＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则|PF 2|＝|F 1F 2|，则1PF ,·2PF ,等于( )A ．24B ．48C ．50D ．56解析：选C 由已知得|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，根据双曲线的定义可得|PF 1|＝10，在△F 1PF 2中，根据余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝56，所以1PF ,·2PF ,＝10×6×56＝50.10．(2018·南昌模拟)已知△ABC 外接圆半径R ＝1433，且∠ABC ＝120°，BC ＝10，边BC 在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B ，C 为焦点的双曲线方程为( )A.x 275－y2100＝1 B.x 2100－y275＝1 C.x 29－y216＝1D.x 216－y29＝1 解析：选D ∵sin ∠BAC ＝BC 2R ＝5314， ∴cos ∠BAC ＝1114， |AC|＝2Rsin ∠ABC ＝2×1433×32＝14， sin ∠ACB ＝sin(60°－∠BAC)＝sin 60°cos∠BAC －cos 60°sin∠BAC ＝32×1114－12×5314＝3314， ∴|AB|＝2Rsin ∠ACB ＝2×1433×3314＝6，∴2a ＝||AC|－|AB||＝14－6＝8，∴a ＝4，又c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， ∴所求双曲线方程为x 216－y29＝1.11．(2018·乌鲁木齐模拟)已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )A ．2± 3B ．2＋ 3 C.3±1D.3－1解析：选A 依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，所以y 21＝y 22，所以y 1＝－y 2.又|PQ|＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2± 3.12．已知中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为4的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．32或4 2B ．26或27C ．25或27D.5或7解析：选C 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m≠n 且m ，n ＞0)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，消去x 得(3m ＋n)y 2＋83my ＋16m －1＝0，由Δ＝0得3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m ＝16，①又c ＝2，即1m －1n ＝±4，②由①②联立得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17n ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝15，故椭圆的长轴长为27或2 5.二、填空题(本题有4小题，每小题5分，共20分)13．(2018·青岛模拟)已知两直线l 1：x ＋ysin θ－1＝0和l 2：2xsin θ＋y ＋1＝0，当l 1⊥l 2时，θ＝________.解析：l 1⊥l 2的充要条件是2sin θ＋sin θ＝0，即sin θ＝0，所以θ＝k π(k ∈Z)．所以当θ＝k π(k ∈Z)时，l 1⊥l 2.答案：k π(k ∈Z)14．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，A ，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，O 是坐标原点，OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，|F 1A|＝10＋5，则此椭圆的方程是______________________．解析：由于直线AB 的斜率为－b a ，故直线OP 的斜率为－b a ，直线OP 的方程为y ＝－b a x.与椭圆方程联立得x2a 2＋x 2a 2＝1，解得x ＝±22a.根据PF 1⊥x 轴，取x ＝－22a ，从而－22a ＝－c ，即a ＝2c.又|F 1A|＝a ＋c ＝10＋5，故 2c ＋c ＝10＋5，解得c ＝5，从而a ＝10.所以所求的椭圆方程为x 210＋y25＝1.答案：x 210＋y25＝115．(2018·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y.当y ＝－3时，x 2＝6，即x ＝±6，所以水面宽为2 6.答案：2 616．(2018·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n 2＝3，所以m2＋n 2＝13≥2|mn|，所以|mn|≤16，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn|≥3，最小值为3. 答案：3三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(10分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以l 1与l 2的交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k(x －1)(由题可知k 存在)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P(0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k|1＋k2，解得k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.18．(12分)(2018·南昌模拟)已知圆C 过点P(1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：设圆心C(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k(x －1)，PB ：y －1＝－k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝－，x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k(1－k)x ＋(1－k)2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y Ax B －x A ＝－B－－A－x B －x A＝2k －B＋x Ax B －x A＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．19．(12分)(2018·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ 的斜率的值．解：(1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b 2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b2k 2a 2＋b2.①由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a)2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 2＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝± 5.20．(12分)(2018·河南模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，短轴的一个端点为M(0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B.(1)若|AB|＝4269，求k 的值；(2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M. 解：(1)由题意知c a ＝22，b ＝1.由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2， ∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－169＝16k 2＋649＞0恒成立，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k2＋，x 1x 2＝－162＋. ∴|AB|＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·1＋x 22－4x 1x 2＝4＋k22＋2＋＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0，解得k ＝±1.(2)∵MA ,＝(x 1，y 1－1)，MB ,＝(x 2，y 2－1)， ∴MA ,·MB ,＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)，＝(1＋k 2)x 1x 2－43k(x 1＋x 2)＋169＝－＋k22＋－16k 22＋＋169＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M.21． (2018·广州模拟)设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a2a 2－2与x 轴交于点A ，若1OF ,＋21AF ,＝0(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE ,·PF ,的最大值．解：(1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2，0，F 1(a 2－2，0)，由1OF ,＋21AF ,＝0，得a 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2－a 2－2，解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为x 26＋y22＝1.(2)设圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的圆心为N ，则PE ,·PF ,＝(NE ,－NP ,)·(NF ,－NP ,) ＝(－NF ,－NP ,)·(NF ,－NP ,) ＝NP ,2－NF ,2＝NP ,2－1.从而将求PE ,·PF ,的最大值转化为求NP ―→,2的最大值．因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P(x 0，y 0)，所以x 206＋y 202＝1，即x 20＝6－3y 20.因为点N(0,2)，所以NP ,2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12. 因为y 0∈[－2， 2]，所以当y 0＝－1时，NP ,2取得最大值12.所以PE ,·PF ,的最大值为11.22． (2018·湖北模拟)如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆的一部分．曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52.(1)求曲线C 1和C 2的方程；(2)设点C 是C 2上一点，若|CF 1|＝ 2|CF 2|，求△CF 1F 2的面积．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝72＋52＝6，得a ＝3. 设A(x ，y)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则(x ＋c)2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722，(x －c)2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，两式相减得xc ＝32. 由抛物线的定义可知|AF 2|＝x ＋c ＝52，则c ＝1，x ＝32或x ＝1，c ＝32.又∠AF 2F 1为钝角，则x ＝1，c ＝32不合题意，舍去．当c ＝1时，b ＝22，所以曲线C 1的方程为x 29＋y 28＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－3≤x≤32，曲线C 2的方程为y 2＝4x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x≤32. (2)过点F 1作直线l 垂直于x 轴，过点C 作CC 1⊥l 于点C 1，依题意知|CC 1|＝|CF 2|. 在Rt △CC 1F 1中，|CF 1|＝ 2|CF 2|＝2|CC 1|，所以∠C 1CF 1＝45°，所以∠CF1F 2＝∠C 1CF 1＝45°.在△CF 1F 2中，设|CF 2|＝r ，则|CF 1|＝2r ，|F 1F 2|＝2.由余弦定理得22＋(2r)2－2×2×2rcos 45°＝r 2，解得r ＝2，所以△CF 1F 2的面积S △CF 1F 2＝12|F 1F 2|·|CF 1|sin 45°＝12×2×22sin 45°＝2.。

高三数学第一轮复习--圆锥曲线综合题

高考第一轮复习数学：8.7 圆锥曲线的综合问题答案

8.7 圆锥曲线的综合问题答案●知识梳理解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.具体来说，有以下三方面：（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法.有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口.（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识.（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题.在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号.●点击双基1.（春季北京，5）设abc ≠0，“ac >0”是“曲线ax 2+by 2=c 为椭圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：ac >0曲线ax 2+by 2=c 为椭圆. 反之成立. 答案：B2.到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是 A.椭圆 B.AB 所在直线 C.线段AB D.无轨迹解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB ：y =34x ，其中0≤x ≤3. 答案：C3.若点（x ，y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则2-x y的最小值为 A.1B.－1C.－323D.以上都不对解析：2-x y的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y =k （x －2）代入椭圆方程（4+k 2）x 2－4k 2x +4k 2－4=0.令Δ=0，k =±323.∴k min =－323.答案：C4.（春季上海，7）双曲线9x 2－16y 2=1的焦距是____________.解析：将双曲线方程化为标准方程得912x －1612y =1.∴a 2=91，b 2=161，c 2=a 2+b 2=91+161=14425.∴c =125，2c =65.答案：655.（春季北京）若直线mx +ny －3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为____________；以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +32y =1的公共点有____________个.解析：将直线mx +ny －3=0变形代入圆方程x 2+y 2=3，消去x ，得（m 2+n 2）y 2－6ny +9－3m 2=0. 令Δ<0得m 2+n 2<3. 又m 、n 不同时为零， ∴0<m 2+n 2<3.由0<m 2+n 2<3，可知|n |<3，|m |<3，再由椭圆方程a =7，b =3可知公共点有2个.答案：0<m 2+n 2<3 2 ●典例剖析【例1】（春季北京，18）如图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b （a >0，b ≠0），且交抛物线y 2=2px （p >0）于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点.（1）写出直线l 的截距式方程；（2）证明：11y +21y =b1；（3）当a =2p 时，求∠MON 的大小. 剖析：易知直线l 的方程为a x +by=1，欲证11y +21y =b 1，即求2121y y y y 的值，为此只需求直线l 与抛物线y 2=2px 交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y 1+y 2、y 1y 2的值，进而证得11y +21y =b1.由OM ²ON =0易得∠MON =90°.亦可由k OM ²k ON =－1求得∠MON =90°.（1）解：直线l 的截距式方程为a x +by=1. ①（2）证明：由①及y 2=2px 消去x 可得by 2+2pay －2pab =0. ②点M 、N 的纵坐标y 1、y 2为②的两个根，故y 1+y 2=bpa2-，y 1y 2=－2pa . 所以11y +21y =2121y y y y +=pa b pa22--=b1.（3）解：设直线OM 、ON 的斜率分别为k 1、k 2，则k 1=11x y ，k 2=22x y.当a =2p 时，由（2）知，y 1y 2=－2pa =－4p 2，由y 12=2px 1，y 22=2px 2，相乘得（y 1y 2）2=4p 2x 1x 2， x 1x 2=22214)(p y y =2224)4(pp =4p 2，因此k 1k 2=2121x x y y =2244pp -=－1. 所以OM ⊥ON ，即∠MON =90°.评述：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.【例2】（黄冈高三调研考题）已知椭圆C 的方程为22a x +22b y =1（a >b >0），双曲线22a x －22by =1的两条渐近线为l 1、l 2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l 1，又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B .（如下图）（1）当l 1与l 2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程；（2）当FA =λAP 时，求λ的最大值.剖析：（1）求椭圆方程即求a 、b 的值，由l 1与l 2的夹角为60°易得a b=33，由双曲线的距离为4易得a 2+b 2=4，进而可求得a 、b .（2）由FA =λAP ，欲求λ的最大值，需求A 、P 的坐标，而P 是l 与l 1的交点，故需求l 的方程.将l 与l 2的方程联立可求得P 的坐标，进而可求得点A 的坐标.将A 的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值.解：（1）∵双曲线的渐近线为y =±abx ，两渐近线夹角为60°，又ab<1，a3∴a =3b . 又a 2+b 2=4， ∴a 2=3，b 2=1.故椭圆C 的方程为32x +y 2=1.（2）由已知l ：y =b a （x －c ），与y =a b x 解得P （c a 2，cab），由FA =λAP 得A （λλ+⋅+12c a c ，λλ+⋅1c ab ）. 将A 点坐标代入椭圆方程得（c 2+λa 2）2+λ2a 4=（1+λ）2a 2c 2. ∴（e 2+λ）2+λ2=e 2（1+λ）2.∴λ2=2224--e e e =－［（2－e 2）+222e -］+3≤3－22. ∴λ的最大值为2－1.评述：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用.解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题.【例3】设椭圆中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e =23，已知点P （0，23）到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标.剖析：设椭圆方程为22a x +22by =1，由e =23知椭圆方程可化为x 2+4y 2=4b 2，然后将距离转化为y 的二次函数，二次函数中含有一个参数b ，在判定距离有最大值的过程中，要讨论y =－21是否在y 的取值范围内，最后求出椭圆方程和P 点坐标.解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是22a x +22b y =1，其中a ＞b ＞0待定.由e 2=22a c =222ab a -=1－（a b ）2可知a b =21e -=431-=21，即a =2b . 设椭圆上的点（x ，y ）到点P 的距离为d ，则d 2=x 2+（y －23）2=a 2（1－22by ）+y 2－3y +49= 4b 2－3y 2－3y +49=－3（y +21）2+4b 2+3，其中－b ≤y ≤b .如果b ＜21，则当y =－b 时d 2（从而d ）有最大值，由题设得（7）2=（b +23）2，由此得b =7－23＞21，与b ＜21矛盾. 因此必有b ≥21成立，于是当y =－21时d 2（从而d ）有最大值，由题设得（7）2=4b 2+3，由此可得b =1，a =2.故所求椭圆的直角坐标方程是42x +y 2=1.由y =－21及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－3，－21），点（3，－21）到点P 的距离都是7.解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是x =a cos θ，y =b sin θ，∵e =23， ∴a =2b .设椭圆上的点（x ，y ）到点P 的距离为d ，则d 2=x 2+（y －23）2=a 2cos 2θ+（b sin θ－23）2=－3b 2²（sin θ+b21）2+4b 2+3. 如果b21＞1，即b ＜21，则当sin θ=－1时，d 2（从而d ）有最大值，由题设得（7）2=（b +23） 2，由此得b =7－23＞21，与b ＜21矛盾.因此必有b 21≤1成立，于是当sin θ=－b21时，d 2（从而d ）有最大值，由题设得（7）2=4b 2+3.x =2cos θ，y =sin θ.消去参数得42x +y 2=1，由sin θ=21 ，cos θ=±23知椭圆上的点（－3，－21），（3，－21）到P 点的距离都是7.评述：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论.深化拓展根据图形的几何性质，以P 为圆心，以7为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P 的距离为7，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.x 2+（y －23）2=7，x 2+4y 2=4b 2，得3y 2+3y －49=4b 2－7，其中a ＞b ＞0待定，0≤θ＜2π，由此得b =1，a =2.所以椭圆参数方程提示：由由Δ=0得b 2=1，即椭圆方程为x 2+4y 2=4. 所求点为（－3，－21）、（3，－21）. ●闯关训练夯实基础1.（北京东城区目标检测）以正方形ABCD 的相对顶点A 、C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为A.3210- B.315- C.215-D.2210-解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e =2210-. 答案：D2.已知F 1（－3，0）、F 2（3，0）是椭圆m x 2+n y 2＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，当∠F 1PF 2＝3π2时，△F 1PF 2的面积最大，则有A.m =12，n =3B.m =24，n =6C.m =6，n =23D.m =12，n =6解析：由条件求出椭圆方程即得m =12，n =3. 答案：A3.（启东市第二次调研）设P 1（2，2）、P 2（－2，－2），M 是双曲线y =x1上位于第一象限的点，对于命题①|MP 2|－|MP 1|=22；②以线段MP 1为直径的圆与圆x 2+y 2=2相切；③存在常数b ，使得M 到直线y =－x +b 的距离等于22|MP 1|.其中所有正确命题的序号是____________. 解析：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP 1|可知正确. 答案：①②③ 4.（全国Ⅱ，15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.解析：双曲线中，a =21=b ，∴F （±1，0），e =ac=2.∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为22.∴长半轴长为2，短半轴长为1.∴方程为22x +y 2=1.答案：22x +y 2=15.（1）试讨论方程（1－k ）x 2+（3－k 2）y 2=4（k ∈R ）所表示的曲线；（2）试给出方程622-+k k x +1622--k k y =1表示双曲线的充要条件.解：（1）3－k 2>1－k >0⇒k ∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆； 1－k >3－k 2>0⇒k ∈（－3，－1），方程所表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆；1－k =3－k 2>0⇒k =－1，表示的是一个圆；（1－k ）（3－k 2）<0⇒k ∈（－∞，－3）∪（1，3），表示的是双曲线；k =1，k =－3，表示的是两条平行直线；k =3，表示的图形不存在.（2）由（k 2+k －6）（6k 2－k －1）<0⇒（k +3）（k －2）（3k +1）（2k －1）<0⇒k ∈（－3，－31）∪（21，2）.6.（湖北八市模拟题）已知抛物线y 2=2px 上有一内接正△AOB ，O 为坐标原点.（1）求证：点A 、B 关于x 轴对称；（2）求△AOB 外接圆的方程. （1）证明：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）， ∵|OA |=|OB |，∴x 12+y 12=x 22+y 22. 又∵y 12=2px 1，y 22=2px 2， ∴x 22－x 12+2p （x 2－x 1）=0，即（x 2－x 1）（x 1+x 2+2p ）=0.又∵x 1、x 2与p 同号，∴x 1+x 2+2p ≠0. ∴x 2－x 1=0，即x 1=x 2.由抛物线对称性，知点A 、B 关于x 轴对称. （2）解：由（1）知∠AOx =30°，则 y 2=2px ， x =6p ，y =33x y =23p .∴A （6p ，23p ）.方法一：待定系数法，△AOB 外接圆过原点O ，且圆心在x 轴上，可设其方程为x 2+y 2+dx =0. 将点A （6p ，23p ）代入，得d =－8p .故△AOB 外接圆方程为x 2+y 2－8px =0.方法二：直接求圆心、半径，设半径为r ，则圆心（r ，0）. 培养能力 7.（理）（北京，17）如下图，过抛物线y 2=2px （p ＞0）上一定点P （x 0，y 0）（y 0＞0），作两条直线分别交抛物线于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）.（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离； ∴（2）当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数. 解：（1）当y =2p 时，x =8p. 又抛物线y 2=2px 的准线方程为x =－2p，由抛物线定义得所求距离为8p －（－2p ）=85p .（2）设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB .由y 12=2px 1，y 02=2px 0，相减得（y 1－y 0）（y 1+y 0）=2p （x 1－x 0），故k P A =0101x x y y --=012y y p+（x 1≠x 0）.同理可得k PB =22y y p+（x 2≠x 0）.由P A 、PB 倾斜角互补知k P A =－k PB ，即12y y p +=－022y y p+，所以y 1+y 2=－2y 0，故21y y y +=－2. 设直线AB 的斜率为k AB . 由y 22=2px 2，y 12=2px 1，相减得（y 2－y 1）（y 2+y 1）=2p （x 2－x 1），所以k AB =1212x x y y --=212y y p+（x 1≠x 2）.将y 1+y 2=－2y 0（y 0＞0）代入得 k AB =212y y p +=－0y p，所以k AB 是非零常数.（文）如下图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P （1，2）、A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）均在抛物线上.（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率. 解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y 2=2px .∵点P （1，2）在抛物线上， ∴22=2p ²1，得p =2.故所求抛物线的方程是y 2=4x ，准线方程是x =－1. （2）设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB . 则k P A =1211--x y （x 1≠1），k PB =1222--x y （x 2≠1）. ∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A =－k PB . 由A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在抛物线上，得 y 12=4x 1， ① y 22=4x 2， ②∴1412211--y y =－1412222--y y . ∴y 1+2=－（y 2+2）.∴y 1+y 2=－4. 由①－②得直线AB 的斜率 k AB =1212x x y y --=214y y +=－44=－1（x 1≠x 2）.8.（北京东城区模拟题）从椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴右端点A 与短轴上端点B 的连线AB ∥OM .（1）求椭圆的离心率；（2）若Q 是椭圆上任意一点，F 2是右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；（3）过F 1作AB 的平行线交椭圆于C 、D 两点，若|CD |=3，求椭圆的方程. 解：（1）由已知可设M （－c ，y ），则有22)(ac -+22b y =1.∵M 在第二象限，∴M （－c ，ab 2）.又由AB ∥OM ，可知k AB =k OM . ∴－ac b 2=－ab .∴b =c .∴a =2b .∴e =ac=22.（2）设|F 1Q |=m ，|F 2Q |=n ，则m +n =2a ，mn ＞0.|F 1F 2|=2c ，a 2=2c 2，∴cos ∠F 1QF 2=mnc n m 24222-+=mn c mn n m 242)(22--+=mnc a 24422-－1=mn a 2－1≥22)2(n m a +－1=22a a －1=0.当且仅当m =n =a 时，等号成立.故∠F 1QF 2∈［0，2π］. （3）∵CD ∥AB ，k CD =－a b =－22.设直线CD 的方程为y =－22（x +c ），即y =－22（x +b ）.22a x +22b y =1，y =－22（x +b ）.（a 2+2b 2）x 2+2a 2bx －a 2b 2=0. 设C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），∵a 2=2b 2， ∴x 1+x 2=－22222b a b a +=－2344b b =－b ，x 1²x 2=－22222b a b a +=－2442bb =－22b .∴|CD |=21k +|x 1－x 2|=21k +²212214)(x x x x -+ =2)22(1-+²222)(b b +-=229b =3. ∴b 2=2，则a 2=4.∴椭圆的方程为42x +22y =1.探究创新9.（春季上海，22）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（－2，－2）的椭圆的标准方程.则消去y ，整理得（2）已知椭圆C 的方程是22a x +22by =1（a >b >0）.设斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，AB 的中点为M .证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上.（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.（1）解：设椭圆的标准方程为22a x +22b y =1，a >b >0，∴a 2=b 2+4，即椭圆的方程为422+b x +22b y =1.∵点（－2，－2）在椭圆上，∴442+b +22b =1. 解得b 2=4或b 2=－2（舍）.由此得a 2=8，即椭圆的标准方程为82x +42y =1.（2）证明：设直线l 的方程为y =kx +m ，与椭圆C 的交点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）， y =kx +m ，22a x +22b y =1. 解得（b 2+a 2k 2）x 2+2a 2kmx +a 2m 2－a 2b 2=0. ∵Δ>0，∴m 2<b 2+a 2k 2，即－222k a b +<m <222k a b +.则x 1+x 2=－22222k a b km a +，y 1+y 2=kx 1+m +kx 2+m =22222k a b mb +，∴AB 中点M 的坐标为（－2222k a b km a +，2222ka b mb +）. ∴线段AB 的中点M 在过原点的直线b 2x +a 2ky =0上.（3）解：如下图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，并分别取AB 、CD 的中点M 、N ，连结直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A 1、B 1和C 1、D 1，并分别取A 1B 1、C 1D 1的中点M 1、N 1，连结直线M 1N 1，那么直线MN 和M 1N 1的交点O 即为椭圆中心.则有●思悟小结在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系，正是高考命题的热点，为此在学习时应抓住以下几点：1.客观题求解时应注意画图，抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决.2.四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一.3.注意用好以下数学思想、方法：①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转化思想；⑥分类思想.除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形结合思想、主元分析思想、正难则反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法.在复习中必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力.●教师下载中心教学点睛本节是圆锥曲线的综合应用，主要是曲线方程的运用、变量范围的计算、最值的确定等，解决这类问题的关键是依据解析几何本身的特点，寻找一个突破口，那么如何找到解决问题的突破口呢？（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系.（2）建立目标函数，转化为求函数的最值问题.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思.（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.因此，它们的应用价值在于：①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题. （5）构造一个二次方程，利用判别式Δ≥0.拓展题例【例1】（启东市第二次调研题）抛物线y 2=4px （p >0）的准线与x 轴交于M 点，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点.（1）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于N （x 0，0），求证：x 0>3p ；（2）若直线l 的斜率依次为p ，p 2，p 3，…，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为N 1，N 2，N 3，…，当0<p <1时，求||121N N +||132N N +…+||11110N N 的值.（1）证明：设直线l 方程为y =k （x +p ），代入y 2=4px .得k 2x 2+（2k 2p －4p ）x +k 2p 2=0. Δ=4（k 2p －2p ）2－4k 2²k 2p 2>0，得0<k 2<1.令A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1+x 2=－2242k p p k -，y 1+y 2=k （x 1+x 2+2p ）=k p4， AB 中点坐标为（222k p k p -，k p2）.AB 垂直平分线为y －k p 2=－k 1（x －222kp k p -）.令y =0，得x 0=222k pp k +=p +22k p .由上可知0<k 2<1，∴x 0>p +2p =3p .∴x 0>3p .（2）解：∵l 的斜率依次为p ，p 2，p 3，…时，AB 中垂线与x 轴交点依次为N 1，N 2，N 3，…（0<p <1）. ∴点N n 的坐标为（p +122-n p，0）.|N n N n +1|=|（p +122-n p ）－（p +122+n p ）|=122)1(2+-n pp ， ||11+n n N N =)1(2212p p n -+，所求的值为)1(212p -［p 3+p 4+…+p 21］=)1()1(2)1(2193p p p p +--. 【例2】（南京市模拟题）已知双曲线C ：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0），B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足||、||、||成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P .（1）求证：PA ²OP =PA ²FP ；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D 、E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.（1）证法一：l ：y =－ba（x －c ）. y =－ba（x －c ）， y =ab x .解得P （c a 2，cab）.∵||、||、||成等比数列，∴A （c a 2，0）.∴=（0，－c ab ），=（c a 2，cab），=（－c b 2，cab）.∴PA ²OP =－222c b a ，PA ²FP =－222cb a .∴PA ²OP =PA ²FP .证法二：同上得P （c a 2，cab）.∴P A ⊥x 轴，PA ²OP －PA ²FP =PA ²OF =0.∴²=². y =－b a（x －c ），b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2.∴b 2x 2－24ba （x －c ）2=a 2b 2，即（b 2－24b a ）x 2+224b a cx －（224bc a +a 2b 2）=0.∵x 1²x 2=24222224)(ba b b a b c a -+-＜0， ∴b 4＞a 4，即b 2＞a 2，c 2－a 2＞a 2.∴e 2＞2，即e ＞2.（2）解：。

高中数学一轮复习圆锥曲线的综合问题含答案

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )2．(模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．第1课时直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1 (模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．(全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．题型二弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|P A|＝|PB|，求E的方程．题型三中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．命题点2由中点弦解决对称问题例4(2015·浙江)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．1．(泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，3) D ．(3，＋∞)2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94 D ．43．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.81054．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) A.54 B ．5 C.52 D. 56．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．167．(月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________．11．(模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →. (1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(2016·黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )答案 D解析将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1变形为x 21a 2＋y 21b 2＝1，∵a >b >0，∴1a 2<1b 2，∴椭圆焦点在y 轴上．将方程ax ＋by 2＝0变形为y 2＝－ab x ，∵a >b >0，∴－ab<0，∴抛物线焦点在x 轴负半轴上，开口向左．2．(2016·青岛模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 答案 C解析双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 答案 16解析直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．答案 4解析由题意可设直线l 的方程为y ＝m ，代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2， x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2，所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4.第1课时直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1 (2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．题型二弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入 x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0，设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.思维升华有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．答案 (1)D (2)x ＋2y －8＝0解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D. (2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2). 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.命题点2 由中点弦解决对称问题例4 (2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎨⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，① 将AB 中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则 |AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12. 且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 思维升华处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )．再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设弦MN 的中点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m . 所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0. 由点P (－12，y 0)在线段BB ′上 (B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3. 所以－334<m <334，且m ≠0.1．(2016·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)答案 B解析要使直线与双曲线恒有两个公共点，则渐近线的斜率的绝对值应大于3，所以|b a |>3，所以e ＝ 1＋b 2a 2>2，即e ∈(2，＋∞)，故选B.2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94D ．4 答案 C解析易知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)，∴|AB |为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点N (x 1＋x 22，y 1＋y 22)， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，∴x 1＋x 22＝74. ∴AB 中点到直线x ＋12＝0的距离为74＋12＝94. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－85t )2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0答案 A解析因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A. 5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5 答案 D解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝(b a )2－4＝0，b a＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋(b a )2＝ 5. 6．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16答案 C解析依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||F A |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝144－16＝8 2.7．(2016·安顺月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案 (－2,4)，(1,1)解析设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，所以b >－14. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，由(－12，12＋b )在直线y ＝x ＋3上，即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. 8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．答案 6解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．答案 3x ＋4y －13＝0解析设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)．即3x ＋4y －13＝0.10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________．答案 (1,7＋43)解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0，可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0，由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m >1，f (1)≥0，Δ>0，得m >1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，得x 1＝2m －3(m 2－1)，x 2＝2m ＋3(m 2－1)，所以|MB ||MA |＝x 2x 1＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1) ＝－1＋42－ 3(1－1m 2)，由m >1得，|MB ||MA |的取值范围为(1,7＋43)． 11．(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程； (2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝⎝⎛⎭⎫222⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4. 所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1. (2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)，|F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2< 6.所以F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2，由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 解得k ＝25或k ＝－2，故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， y 2－y 1x 2－x 1＝－1. 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1. 因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2. 又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3. 因此|AB |＝463. 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3. 因为直线CD 的斜率为1,所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869(9－n 2). 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又PQ ⊥y 轴，∴P (x 2，y )． ∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点， ∴(x 2)2＋y 2＝1，即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ，得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0.其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0.∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝[t (y 1－y 2)]2＋(y 1－y 2)2＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.将①②代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4 ＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1 ＝12×43|m |m 2＋3 ＝23|m |＋3|m |≤2323＝1，当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立．。

2019高三一轮总复习文科数学课时检测：8-8圆锥曲线的综合问题含解析

解析：由
得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点 A(x1，
1－k2≠0， Δ＝16k2－41－k2×－10>0， y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ x1x2＝ 4k >0， 1－k2
－10 >0， 1－k2
15 －，－1 15 <k<－1.即 k 的取值范围是 . 解得－ 3 3 答案：D 3．(2017 届山东师大附中模拟)已知两定点 A(0，－2)，B(0,2)，点 P 在椭圆 → |－|BP → |＝2，则AP → ·BP → 为( 满足|AP A．－12 C．－9 解析：易知 A(0，－2)， B(0,2)为椭圆 ) B．12 D．9 x2 y2 → |＋|BP → |＝2×4＝8.又|AP → |－|BP →| ＋＝1 的两焦点， ∴|AP 12 16 x2 y2 ＋＝1 上，且 12 16
1 ＝ 2，即 a＝1，b＝ 2时取等号，故选 C. a 答案：C 9．(2018 届西宁模拟)已知点 P(2,1)，若抛物线 y2＝4x 的一条弦 AB 恰好是以 P 为中点，则弦 AB 所在直线方程是________．解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦 AB 所在直线方程为 y－1＝k(x－2)，即 y＝kx＋1－2k，联立 y＝kx＋1－2k， y2＝4x，
b b F2(c,0)，解析：取双曲线 C 的渐近线为 y＝ x.因为 F1(－c,0)，所以过 F2 作平行于渐近线 y＝ x a a b 的直线 PF2 的方程为 y＝ (x－c)． a
a 因为 PF1⊥PF2，所以直线 PF1 的方程为 y＝－ (x＋c)． b b y＝ x－c， a 联立方程组 a y＝－ x＋c， b b2－a2 2ab ，－得点 P 的坐标为 c c . 因为点 P 在双曲线 C 上， b2－a2 2ab － 2 b2－a22 4a2 c c 2 1 所以－＝，即－ 2 ＝1. c b2 a2 a2c2 因为 c2＝a2＋b2，所以 c2＝5a2. c 因为 e＝ >1，所以 e＝ 5.故选 D. a 答案：D 5．(2017 届皖南八校联考)设点 A 为圆(x－1)2＋y2＝1 上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|＝1， c2－2a22 4a2 － 2 ＝1，整理得 c a2c2

2019高三一轮总复习文科数学课时检测：8-8圆锥曲线的综合问题含解析

[课时跟踪检测]
[基础达标]
1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A ．有且只有一条
B ．有且只有两条
C ．有且只有三条
D ．有且只有四条
解析：设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p 2＋x B ＋p 2＝x A ＋
x B ＋1＝3>2p ＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．
答案：B
2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎭⎪⎫－153，153 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，0 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋2，
x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，
解得－153<k <－1.即k 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－153，－1. 答案：D
3．(2017届山东师大附中模拟)已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 2
16＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP
→为( ) A ．－12
B ．12
C ．－9
D ．9。

优化探究高考数学一轮复习88圆锥曲线的综合问题视情况选用课时作业文

【优化探究】2016高考数学一轮复习 8-8 圆锥曲线的综合问题(视情况选用)课时作业文一、选择题1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定解析：由于直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．答案：A2．(2015年郑州模拟)已知F 是抛物线y2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF|＝3|BF|，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( ) A.53 B.83 C.103D ．10解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1>0，x2>0，设过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y2＝4x 联立得y2－4my －4＝0，y1y2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧x1＋1＝＋，x1x2＝y214·y224＝16＝1，解得x1＝3，x2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x1＋x22＋1＝83，选B.答案：B3．(2015年武汉调研)椭圆C ：x24＋y23＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P 在C 上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，34 B.⎣⎡⎦⎤38，34 C.⎣⎡⎦⎤12，1 D.⎣⎡⎦⎤34，1 解析：椭圆的左顶点为A1(－2,0)、右顶点为A2(2,0)，设点P(x0，y0)，则x204＋y203＝1，得y20x20－4＝－34.而kPA2＝y0x0－2，kPA1＝y0x0＋2，所以kPA2·kPA1＝y20x20－4＝－34.又因为kPA2∈[－2，－1]，所以kPA1∈⎣⎡⎦⎤38，34. 答案：B4．已知抛物线y2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k(x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP|＋1|FQ|＝( ) A.12B ．1C ．2D ．4解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知， |PF|＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，则1|FP|＋1|FQ|＝1x1＋2＋1x2＋2＝x1＋x2＋4x1x2＋＋＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k2x2－(4k2＋8)x ＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故1|FP|＋1|FQ|＝x1＋x2＋4x1x2＋＋＋4＝x1＋x2＋4＋＋8＝12.故选A.答案：A5．(2014年高考福建卷)设P ，Q 分别为圆x2＋(y －6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2解析：设Q(10cos θ，sin θ)，圆心为M ，由已知得M(0,6)，则|MQ|＝10cos θ－＋－＝10cos2 θ＋sin2 θ－12sin θ＋36 ＝－9sin2 θ－12sin θ＋46 ＝－9⎝⎛⎭⎫sin θ＋232＋50 ≤52，⎝⎛⎭⎫当sin θ＝－23时取等号故|PQ|max ＝52＋2＝6 2.答案：D 二、填空题6．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________．解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．答案：3条7．(2015年辽宁五校联考)设点A1，A2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A1，A2的点P ，使得PO ⊥PA2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：由题设知∠OPA2＝90°，设P(x ，y)(x>0)，以OA2 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －a22＋y2＝a24，与椭圆方程联立，得⎝⎛⎭⎫1－b2a2x2－ax ＋b2＝0.易知，此方程有一实根a ，且由题设知，此方程在区间(0，a)上还有一实根，由此得0<b2a ⎝⎛⎭⎫1－b2a2<a ，化简得0<a2－c2c2<1，即0<1－e2e2<1，得e2>12，所以e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.答案：⎝⎛⎭⎫22，18．直线l ：x －y ＝0与椭圆x22＋y2＝1相交于A ，B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x22＋y2＝1，得3x2＝2，∴x ＝±63，∴A ⎝⎛⎭⎫63，63，B ⎝⎛⎭⎫－63，－63， ∴|AB|＝433. 设点C(2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离 d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·||－≤32， ∴S △ABC ＝12|AB|·d≤12×433×32＝ 2.答案： 2三、解答题9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为22，P 是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值等于2.(1)求椭圆的方程．(2)直线y ＝2上是否存在点Q ，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解析：(1)因为点P 在椭圆上，所以－b≤yP≤b.因此，当|yP|＝b 时，△PF1F2面积最大，且最大值为12|F1F2|·|yP|＝12·2c·b ＝bc ＝2.又离心率为22，即c a ＝22. 由⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝2，c a ＝22，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝c2＝2.所以椭圆的方程为x24＋y22＝1.(2)假设直线y ＝2上存在点Q 满足题意，设Q(m,2)．显然，当m ＝±2时，从Q 点所引的两条切线不垂直，当m≠±2时，设过点Q 向椭圆所引的切线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k(x －m)＋2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－＋2，x24＋y22＝1，消去y 整理得(1＋2k2)x2－4k(mk －2)x ＋2(mk －2)2－4＝0，因为Δ＝16k2(mk －2)2－4(1＋2k2)[2(mk －2)2－4]＝0，所以(m2－4)k2－4mk ＋2＝0.(*)设两切线的斜率分别为k1，k2，显然k1，k2是方程(*)的两根，故k1k2＝2m2－4＝－1，解得m ＝±2，点Q 坐标为(2，2)或(－2，2)，因此，直线y ＝2上存在两点(2，2)和(－2，2)满足题意． 10.(2015年兰州模拟)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，直线l ：x ＝a2交x 轴于点A ，且AF1→＝2AF2→.(1)试求椭圆的方程；(2)过F1，F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D ，E ，M ，N 四点(如图所示)，试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值．解析：(1)由题意，|F1F2→|＝2c ＝2，A(a2,0)， ∵AF1→＝2 AF2→，∴F2为AF1的中点， ∴a2＝3，b2＝2，即椭圆的方程为x23＋y22＝1.(2)当直线DE 与x 轴垂直时，|DE|＝2·b2a ＝43，此时|MN|＝2a ＝23，四边形DMEN 的面积S ＝|DE|·|MN|2＝4.同理，当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积S ＝|DE|·|MN|2＝4.当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE ：y ＝k(x ＋1)，代入椭圆方程消去y 得：(2＋3k2)x2＋6k2x ＋(3k2－6)＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝－6k22＋3k2，x1x2＝3k2－62＋3k2，∴|x1－x2|＝＋－4x1x2＝43·k2＋13k2＋2，∴|DE|＝k2＋1|x1－x2|＝43＋2＋3k2，同理|MN|＝43⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－1k 2＋12＋3⎝⎛⎭⎫－1k 2＝43⎝⎛⎭⎫1k2＋12＋3k2，∴四边形的面积S ＝|DE|·|MN|2＝12·43＋2＋3k2·43⎝⎛⎭⎫1k2＋12＋3k2＝24⎝⎛⎭⎫k2＋1k2＋26⎝⎛⎭⎫k2＋1k2＋13.令u ＝k2＋1k2，得S ＝＋13＋6u＝4－413＋6u，∵u ＝k2＋1k2≥2，当k ＝±1时，u ＝2，S ＝9625，且S 是以u 为自变量的增函数，∴9625≤S ＜4.综上可知，9625≤S≤4.故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625.B 组高考题型专练1．设过原点的直线l 与抛物线y2＝4(x －1)交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好过抛物线焦点F.求： (1)直线l 的方程； (2)|AB|的长．解析：(1)设直线l ：y ＝kx ，抛物线的焦点为F(2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y2＝－，y ＝kx⇒k2x2－4x ＋4＝0.Δ＝16－16k2＞0⇒－1＜k ＜1.①当k ＝0时，l 与x 轴重合，不合题意． ∴k≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k2，x1x2＝4k2，∵AF ⊥BF ，∴AF →·BF →＝0(或用kAF·kBF ＝－1)，又AF →＝(2－x1，－y1)，BF →＝(2－x2，－y2)，得k2x1x2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，代入得k ＝±22满足①，∴l ：y ＝±22x.(2)由(1)求解得x1＋x2＝8，x1x2＝8， |AB|＝＋＋－4x1x2]＝4 3.∴弦AB 的长为4 3.2．(2015年海淀模拟)已知椭圆G ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线m ：x ＝1与椭圆G 交于点M(点M 在第一象限)．(1)求椭圆G 的方程；(2)已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆G 相交于B ，C 两点，请判断直线MB ，MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．解析：(1)由题意得c ＝1，由c a ＝12可得a ＝2，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)由题意可得点A(－2,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，32，所以由题意可设直线l ：y ＝12x ＋n ，n≠1.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由⎩⎨⎧x24＋y23＝1，y ＝12x ＋n ，得x2＋nx ＋n2－3＝0.由题意可得Δ＝n2－4(n2－3)＝12－3n2＞0，即n ∈(－2,2)且n≠1.x1＋x2＝－n ，x1x2＝n2－3.因为kMB ＋kMC ＝y1－32x1－1＋y2－32x2－1＝12x1＋n －32x1－1＋12x2＋n －32x2－1＝1＋n －1x1－1＋n －1x2－1＝1＋－＋x2－x1x2－＋＋1＝1－－＋n2＋n －2＝0，所以直线MB ，MC 关于直线m 对称．3.(2015年南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点⎝⎛⎭⎫1，32的椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(1,0)，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)若点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，335，试求直线PA 的方程；(3)记M ，N 两点的纵坐标分别为yM ，yN ，试问yMyN 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解析：(1)由题意，得2a ＝－＋⎝⎛⎭⎫32－02＋＋＋⎝⎛⎭⎫32－02＝4，即a ＝2，又c ＝1，∴b2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x24＋y23＝1.(2)∵B ⎝⎛⎭⎫85，335，∴P ⎝⎛⎭⎫－85，－335，又F(1,0)，∴kAB ＝3，∴直线AB ：y ＝3(x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y23＝1，y ＝3－，解得A(0，－3)，∴直线PA ：y ＝－34x －3，即3x ＋4y ＋43＝0. (3)当kAB 不存在时，易得yMyN ＝－9，当kAB 存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(－x2，－y2)， ∴x214＋y213＝1，x224＋y223＝1，两式相减，得＋－4＝－＋－3，∴＋－＋－＝－34＝kPA·kAB ，令kAB ＝k ＝y2x2－1，则kPA ＝－34k ，∴直线PA ：y ＋y2＝－34k(x ＋x2)， ∴yM ＝－34k (x2＋4)－y2，∴yM ＝－＋－4y2－y2，∵直线PB ：y ＝y2x2·x ，∴yN ＝4y2x2，∴yMyN ＝－3×＋－x2－4y22x2，又∵x224＋y223＝1，∴4y22＝12－3x22，∴yMyN ＝－3×＋－＋4－x22x2＝－9，∴yMyN 为定值－9.4．(2014年高考四川卷)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.①证明：OT 平分线段PQ(其中O 为坐标原点)； ②当|TF||PQ|最小时，求点T 的坐标．解析：(1)由已知可得⎩⎨⎧a2＋b2＝2b ，2c ＝2a2－b2＝4，解得a2＝6，b2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x26＋y22＝1.(2)①由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m)．则直线TF 的斜率kTF ＝m －0－3－－＝－m.当m≠0时，直线PQ 的斜率kPQ ＝1m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x26＋y22＝1.消去x ，得(m2＋3)y2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0. 所以y1＋y2＝4mm2＋3，y1y2＝－2m2＋3， x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝－12m2＋3. 所以PQ 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－6m2＋3，2m m2＋3.所以直线OM 的斜率kOM ＝－m3，又直线OT 的斜率kOT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ. ②由①可得， |TF|＝m2＋1， |PQ|＝－＋－＝＋＋－4y1y2] ＝＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫4m m2＋32－4·－2m2＋3 ＝24＋m2＋3. 所以|TF||PQ|＝124·＋m2＋1＝124·⎝⎛⎭⎫m2＋1＋4m2＋1＋4≥ 124＋＝33. 当且仅当m2＋1＝4m2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF||PQ|取得最小值．所以当|TF||PQ|最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．。

2019年高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标54圆锥曲线的综合问题理

2019年高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标54圆锥曲线的综合问题理[解密考纲]圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是每年高考卷中的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的特点就是起点低、难度大，在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对学生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题．1．(2017·山西四校联考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．解析：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 24＋y23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2，又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得⎝⎛⎭⎪⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.2．已知拋物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m216m 2－32，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝± 3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且长轴长等于4. (1)求椭圆C 的方程；(2)F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，圆O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析：(1)由题意，椭圆的长轴长2a ＝4，解得a ＝2. 因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以14＋94b 2＝1，解得b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线l 与圆O 相切，得|m |1＋k2＝1，即m 2＝1＋k 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.由题意可知圆O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k2.y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1·x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2·4m 2－123＋4k 2＋km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 2＋m 2＝3m 2－12k23＋4k2.所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－123＋4k 2＋3m 2－12k 23＋4k 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2. 因为m 2＝1＋k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k23＋4k2.又因为OA →·OB →＝－32，所以－5－5k 23＋4k 2＝－32，解得k 2＝12，所以k ＝±22. 4．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝4x 上相异两点，且满足x 1＋x 2＝2. (1)若AB 的中垂线经过点P (0,2)，求直线AB 的方程；(2)若AB 的中垂线交x 轴于点M ，求△AMB 的面积的最大值及此时直线AB 的方程．解析：(1)根据题意，设AB 的中点为Q (1，t )，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2t . 由P ，Q 两点得线段AB 的中垂线的斜率k ＝t －2，由(t －2)·2t ＝－1，得t ＝43.∴直线AB 的方程为y ＝32x －16.(2)由(1)知直线AB 的方程为y －t ＝2t (x －1)，线段AB 的中垂线方程为y －t ＝－t2(x －1)，中垂线交x 轴于点M (3，0)，点M 到直线AB 的距离d ＝t 2＋4t 2＋4＝t 2＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝2t x －1，y 2＝4x ，得4x 2－8x ＋(t 2－2)2＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝t 2－224，∴|AB |＝1＋4t2·|x 1－x 2|＝t 2＋44－t 2，∴S ＝12|AB |·d ＝12t 2＋424－t2＝24t 2＋4t 2＋48－2t 2≤24×⎝ ⎛⎭⎪⎫1633＝1669.当t 2＝43时，S 有最大值1669，此时直线AB 的方程为3x ±3y －1＝0.5．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆M 交于A ，B 两点，直线y＝－1k x 与椭圆M 交于C ，D 两点，椭圆M 的离心率为22，若弦AC 的长的最小值为263，求椭圆M 的方程．解析：可将椭圆方程可化为x 2＋2y 2＝a 2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝a 2，y ＝kx ，可得x 2＝a 21＋2k 2，y 2＝k 2a 21＋2k2，设O 为坐标原点，则|OA |2＝a21＋k 21＋2k2，同理可得|OC |2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋2k 2.由已知条件可知直线y ＝kx 与y ＝－1kx 垂直，所以|AC |2＝|OA |2＋|OC |2＝a 21＋k21＋2k2＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋2k 2＝a 2·3k 4＋6k 2＋32k 4＋5k 2＋2＝a 2·32＋1k 2＋1k2＋2≥4a 23.当且仅当k ＝±1时取等号，所以4a 23＝83，即a 2＝2，所以椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22，右焦点为F 2.设A ，B是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求F 2P →·F 2Q →的取值范围．解析：(1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1. 因为椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，所以1a 2＋12b 2＝1，故a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)，又F 2(1,0)，得F 2P →·F 2Q →＝－1. 当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝2m .⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故k ＝14m，此时，直线PQ 斜率为k 1＝－4m ，PQ 的直线方程为y －m ＝－4m ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，即y ＝－4mx －m .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1，整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0.设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →· F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4 ＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1 ＝4m 2－1－16m 232m 2＋1＋1＋16m 22m 2－232m 2＋1＋m 2＋1 ＝19m 2－132m 2＋1. 由于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m 在椭圆的内部，故0<m 2<78.令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →· F 2Q →＝1932－5132t .又1<t <29，所以－1<F 2P →· F 2Q →<125232.综上，F 2P →· F 2Q →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，125232. 7．如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (1,2)作抛物线C 的弦AP ，AQ .若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标．证明：设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，点P ，Q 的坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0，由Δ>0，得m 2＋n >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4n .∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →＝0，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0. 又x 1＝y 214，x 2＝y 224，∴(y 1－2)(y 2－2)[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16]＝0. ∴(y 1－2)(y 2－2)＝0或(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0.∴n ＝－2m ＋1或n ＝2m ＋5，∵Δ>0恒成立，∴n ＝2m ＋5. ∴直线PQ 方程为x －5＝m (y ＋2)， ∴直线PQ 过定点(5，－2)．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为2(2＋3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点P (1,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，是否存在x 轴上的定点Q ，使QA →·QB →为定值？若存在，求出定点Q 的坐标和QA →·QB →的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵e ＝c a ＝32，∴c ＝32a ，又∵2a ＋2c ＝2(2＋3)，则a ＝2，c ＝3，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x 0,0)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将直线方程代入x 2＋4y 2－4＝0，整理得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(4k 2＋1)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.∵Q A →·Q B →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2) ＝(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋y 1y 2＝(x 1－x 0)·(x 2－x 0)＋k (x 1－1)·k (x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2＋x 0)(x 1＋x 2)＋k 2＋x 20 ＝(k 2＋1)4k 2－44k 2＋1－(k 2＋x 0)·8k 24k 2＋1＋k 2＋x 2＝4k 2⎝⎛⎭⎪⎫x 20－2x 0＋14＋x 20－44k 2＋1，要使Q A →·Q B →为定值，则x 20－2x 0＋14＝x 20－4，即x 0＝178，此时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，Q A →·Q B →为定值，且Q A →·Q B →＝3364.当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x ＝1，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，此时Q A →·Q B →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－178×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－178＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3364，符合题意，故存在定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，使Q A →·Q B →＝3364.。

【走向高考】高考数学一轮总复习 8-8圆锥曲线的综合问题课后强化作业新人教A版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-8圆锥曲线的综合问题课后强化作业新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．若点P 到直线y ＝－2的距离比它到点A (0,1)的距离大1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线[答案] D[解析] 由条件知，点P 到直线y ＝－1的距离与它到点A (0,1)的距离相等，∴P 点轨迹是以A 为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线．2．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线[答案] D[解析] 原方程化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0， ∴2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故选D.3．若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆x 22＋y 2＝1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．y 2－x 2＝1 C.x 24－y 2＝1 D.y 24－x 2＝1 [答案] B[解析] ∵椭圆x 22＋y 2＝1的短轴端点为(0，±1)，离心率e 1＝c a ＝22.∴双曲线的顶点(0，±1)，即焦点在y 轴上，且a ＝1，离心率e 2＝c ′a ＝2，∴c ′＝2，b ＝1，所求双曲线方程为y 2－x 2＝1.故选B.4．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线[答案] C[解析] 设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则 a 2＋b 2＝9，① 又AC →＝2CB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②把②代入①式整理可得：x 2＋14y 2＝1.故选C.5．(2012·天津模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1 [答案] D[解析] M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |.∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，(5>|AC |) ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.故选D.6．已知log 2x 、log 2y 、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( )[答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得 2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x (x >0，y >0)，故选A. 二、填空题7．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M的轨迹方程是________．[答案] x 2－4y 2＝1[解析] 设M (x ，y )，则P (2x,2y )，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1，即为所求． 8．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．[答案] x 24a 2＋y 24b2＝1[解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，Q (x ，y )，P (x 1，y 1)， ∴PF 1→＝(－c －x 1，－y 1)，PF 2→＝(c －x 1，－y 1)，OQ →＝(x ，y )，由OQ →＝PF 1→＋PF 2→得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x 1，y ＝－2y 1，∴⎩⎨⎧x 1＝－x 2，y 1＝－y2.代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中得，x 24a 2＋y 24b 2＝1.9．已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为________．[答案] x 29＋y 2＝1[解析] 设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.①∵A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点， ∴y 1＝33x 1和y 2＝－33x 2. 代入①中得，⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝23y ，y 1－y 2＝233x .② 又|AB →|＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12.∴12y 2＋43x 2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 29＋y 2＝1.三、解答题 10.如图所示，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16上的一动点，点B (1,0)，点M 是BN 的中点，点P 在线段AN 上，且MP →·BN →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)试判断以PB 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝4的位置关系，并说明理由．[解析] (1)∵点M 是BN 中点，又MP →·BN →＝0， ∴PM 垂直平分BN ，∴|PN |＝|PB |，又|P A |＋|PN |＝|AN |，∴|P A |＋|PB |＝4，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，由2a ＝4,2c ＝2可得，a 2＝4，b 2＝3. 可得动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设PB 中点为C ，则|OC |＝12|AP |＝12(|AN |－|PN |)＝12(4－|PB |)＝2－12|PB |. ∴两圆内切.能力拓展提升11.(2013·宁夏育才中学模拟)已知平面上一定点C (－1,0)和一定直线l ：x ＝－4，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，(PQ →＋2PC →)·(PQ →－2PC →)＝0.(1)问点P 在什么曲线上？并求出该曲线方程；(2)点O 是坐标原点，A 、B 两点在点P 的轨迹上，若OA →＋λOB →＝(1＋λ)OC →，求λ的取值范围．[解析] (1)由(PQ →＋2PC →)·(PQ →－2PC →)＝0，得PQ →2－4PC →2＝0.设P (x ，y )，则(x ＋4)2－4[(x ＋1)2＋y 2]＝0，化简得x 24＋y 23＝1，即点P 在椭圆上，其方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∵OA →＋λOB →＝(1＋λ)OC →，∴CA →＋λCB →＝0，∴(x 1＋1，y 1)＋λ(x 2＋1，y 2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2.因为x 214＋y 213＝1，所以(－1－λ－λx 2)24＋(－λy 2)23＝1，①又因为x 224＋y 223＝1，所以(λx 2)24＋(λy 2)23＝λ2，②由①－②得2λ(λ＋1)x 2＋(λ＋1)24＝1－λ2，化简得x 2＝3－5λ2λ.因为－2≤x 2≤2，所以－2≤3－5λ2λ≤2，解得13≤λ≤3，所以λ的取值范围为[13，3]．12．(2013·乌鲁木齐诊断)已知点F (1,0)，⊙F 与直线4x ＋3y ＋1＝0相切，动圆M 与⊙F 及y 轴都相切．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点F 任作直线l ，交曲线C 于A ，B 两点，由点A ，B 分别向⊙F 各引一条切线，切点分别为P ，Q ，记α＝∠P AF ，β＝∠QBF ，求证sin α＋sin β是定值．[解析] (1)⊙F 的半径为|4＋1|42＋32＝1，⊙F的方程为(x －1)2＋y 2＝1.由题意动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，分以下情况： ①动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，但切点不是原点的情况．作MH ⊥y 轴于H ，则|MF |－1＝|MH |，即|MF |＝|MH |＋1，则|MF |＝|MN |(N 是过M 作直线x ＝－1的垂线的垂足)，则点M 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线．∴点M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．②动圆M 与⊙F 及y 轴都相切且切于原点的情况．此时点M 的轨迹C 的方程为y ＝0(x ≠0,1)．(2)由于直线l 过点F 与C 交于A 、B 两点，且F 不尽在C 上，∴l 只能与y 2＝4x (x ≠0)交于两点．当l 不与x 轴垂直时，直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.∴sin α＋sin β＝1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋21＋x 2＋x 1＋1＝1.当l 与x 轴垂直时，也可得sin α＋sin β＝1. 综上，有sin α＋sin β＝1.13．(2013·株洲模拟)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点．[解析] (1)设抛物线C 的方程为y 2＝2mx ，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2mx ，消去x 得2y 2＋my －20m ＝0. ∵Δ>0，∴m >0或m <－160.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m 2，∴x 1＋x 2＝(5－y 14)＋(5－y 24)＝10＋m8.再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为F (m2，0)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 33＝m 2，y 1＋y 2＋y33＝0，解得⎩⎨⎧x 3＝11m8－10，y 3＝m2.∵点A 在抛物线上，∴(m 2)2＝2m (11m8－10)．∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2＝16x .(2)证明：当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∴x P x Q ＋y P y Q ＝0.将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2－16y ＋16b ＝0，∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2Q162＝b 2k2，∴b 2k 2＋16bk ＝0.∵k ≠0，b ≠0，整理得b ＝－16k . ∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)；当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，∴△POQ 为等腰三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，y 2＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)，∴直线PQ 恒过定点(16,0)． 14.(2014·鹤壁淇县检测)如图所示，已知C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)，P是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 所在直线上，且MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →.当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．[解析]圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心为C (－2，0)，半径r ＝2， ∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →，∴MQ ⊥AP ，点M 是AP 的中点，即QM 是AP 的中垂线，连接AQ ，则|AQ |＝|QP |，∴||QC |－|QA ||＝||QC |－|QP ||＝|CP |＝2，又|AC |＝22>2，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c ＝2，a ＝1，得b 2＝1，因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1.考纲要求了解曲线与方程的关系，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．补充说明 1．常见的轨迹(1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连结两定点的线段的垂直平分线． (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线．(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，以定长为半径的圆． (4)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线． (5)平面内到两定点F 1，F 2距离之和为定值2a (2a >|F 1F 2|)的点的轨迹是以两定点为焦点，2a 为长轴长的椭圆．(6)平面内到两定点F 1，F 2距离差的绝对值为定值2a (0<2a <|F 1F 2|)的点的轨迹是以两定点为焦点，实轴长为2a 的双曲线．(7)平面内到定点和定直线距离相等(定点不在定直线上)的点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线．2．求轨迹方程的其他方法(1)待定系数法：已知所求曲线的类型，可直接设出曲线的方程，再根据已知条件确定其系数．(2)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x 、y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．(3)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程．2．加强知识交汇的训练向量、三角函数、不等式与解析几何交汇，特别是向量进入解析几何已成为新的命题热点，应加强这种融合多处知识，而又比较浅显，考查对学科最基础知识和最基本方法的掌握的小题训练．3．在有关直线与圆锥曲线相交的问题中，要注意判别式的作用，不要因为忽视对判别式的讨论致误．[例] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [错解] (1)将A (1，－2)代入y 2＝2px ，得p ＝2，故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在直线l ，设l ：y ＝－2x ＋t ，由直线OA 与l 的距离d ＝55，得|t |5＝15，解得t ＝±1. 故符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0. 请自己订正．备选习题1．(2013·海口调研)已知双曲线x 2n －y 212－n ＝1的离心率是3，则n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] C[解析] 由题意可得n (12－n )>0，∴0<n <12， ∴a 2＝n ，b 2＝12－n ，c 2＝a 2＋b 2＝12， ∴双曲线的离心率e ＝c a ＝12n＝3，∴n ＝4.2．(2013·长春二调)若F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >2b >0)的两个焦点，分别过F 1，F 2作倾斜角为45°的两条直线与椭圆相交于四点，以该四点为顶点的四边形和以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积比等于223，则该椭圆的离心率为( )A.22B.255C.55D.31010[答案] B[解析] 由题可知，所作的四边形为平行四边形，可求得其面积为S 1＝42ab 2ca 2＋b 2；以椭圆顶点为顶点的四边形为菱形，其面积为S 2＝2ab ，从而S 1S 2＝22bc a 2＋b 2＝223，∴a 2＋b 2＝3bc ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴2b 2＋c 2＝3bc ，∴b ＝c 或b ＝c2.当b ＝c 时，a ＝2c ＝2b ，与条件a >2b 矛盾，不成立；当b ＝c 2时，a 2＝b 2＋c 2＝c 24＋c 2＝5c 24，则c 2a 2＝45，因此e ＝c a ＝255.3．(2013·贵州六校联考)设曲线x 2－y 2＝0与抛物线y 2＝－4x 的准线围成的三角形区域(包含边界)为D ，P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝x －2y ＋5的最大值为( )A ．4B ．5C ．8D ．12[答案] C[解析] 由x 2－y 2＝0得曲线为y ＝±x .抛物线的准线为x ＝1，所以它们围成的三角形区域为三角形BOC .由z ＝x －2y ＋5得y ＝12x ＋12(5－z )，作直线y ＝12x ，平移直线y ＝12x ，当平移到经过点C 时，直线y ＝12x ＋12(5－z )的截距最小，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－x 得x ＝1，y ＝－1，即C (1，－1)，代入z ＝x －2y ＋5得z ＝8.4．(2013·包头一中模拟)若双曲线x2a2－y2b2＝1与椭圆x2m2＋y2b2＝1(m>b>0)的离心率之积大于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形[答案] D[解析]双曲线的离心率e1＝a2＋b2a，椭圆的离心率e2＝m2－b2m，由题可知e1·e2>1，得b2(m2－a2－b2)>0，所以m2－a2－b2>0，即m2>a2＋b2，由余弦定理可知三角形为钝角三角形，选D.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019高考数学一轮复习 8-8 圆锥曲线的综合问题(视情况选用)课时作业文一、选择题1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定解析：由于直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．答案：A2．(2015年郑州模拟)已知F 是抛物线y2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF|＝3|BF|，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( ) A.53 B.83 C.103D ．10解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1>0，x2>0，设过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y2＝4x 联立得y2－4my －4＝0，y1y2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧x1＋1＝＋，x1x2＝y214·y224＝16＝1，解得x1＝3，x2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x1＋x22＋1＝83，选B.答案：B3．(2015年武汉调研)椭圆C ：x24＋y23＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P 在C 上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，34 B.⎣⎡⎦⎤38，34 C.⎣⎡⎦⎤12，1 D.⎣⎡⎦⎤34，1 解析：椭圆的左顶点为A1(－2,0)、右顶点为A2(2,0)，设点P(x0，y0)，则x204＋y203＝1，得y20x20－4＝－34.而kPA2＝y0x0－2，kPA1＝y0x0＋2，所以kPA2·kPA1＝y20x20－4＝－34.又因为kPA2∈[－2，－1]，所以kPA1∈⎣⎡⎦⎤38，34. 答案：B4．已知抛物线y2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k(x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP|＋1|FQ|＝( ) A.12B ．1C ．2D ．4解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知， |PF|＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，则1|FP|＋1|FQ|＝1x1＋2＋1x2＋2＝x1＋x2＋4x1x2＋＋＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k2x2－(4k2＋8)x ＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故1|FP|＋1|FQ|＝x1＋x2＋4x1x2＋＋＋4＝x1＋x2＋4＋＋8＝12.故选A.答案：A5．(2014年高考福建卷)设P ，Q 分别为圆x2＋(y －6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2解析：设Q(10cos θ，sin θ)，圆心为M ，由已知得M(0,6)，则|MQ|＝10cos θ－＋－＝10cos2 θ＋sin2 θ－12sin θ＋36 ＝－9sin2 θ－12sin θ＋46 ＝－9⎝⎛⎭⎫sin θ＋232＋50 ≤52，⎝⎛⎭⎫当sin θ＝－23时取等号故|PQ|max ＝52＋2＝6 2.答案：D 二、填空题6．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________．解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．答案：3条7．(2015年辽宁五校联考)设点A1，A2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A1，A2的点P ，使得PO ⊥PA2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：由题设知∠OPA2＝90°，设P(x ，y)(x>0)，以OA2 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －a22＋y2＝a24，与椭圆方程联立，得⎝⎛⎭⎫1－b2a2x2－ax ＋b2＝0.易知，此方程有一实根a ，且由题设知，此方程在区间(0，a)上还有一实根，由此得0<b2a ⎝⎛⎭⎫1－b2a2<a ，化简得0<a2－c2c2<1，即0<1－e2e2<1，得e2>12，所以e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.答案：⎝⎛⎭⎫22，18．直线l ：x －y ＝0与椭圆x22＋y2＝1相交于A ，B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x22＋y2＝1，得3x2＝2，∴x ＝±63，∴A ⎝⎛⎭⎫63，63，B ⎝⎛⎭⎫－63，－63， ∴|AB|＝433. 设点C(2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离 d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·||－≤32， ∴S △ABC ＝12|AB|·d≤12×433×32＝ 2.答案： 2三、解答题9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为22，P 是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值等于2.(1)求椭圆的方程．(2)直线y ＝2上是否存在点Q ，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解析：(1)因为点P 在椭圆上，所以－b≤yP≤b.因此，当|yP|＝b 时，△PF1F2面积最大，且最大值为12|F1F2|·|yP|＝12·2c·b ＝bc ＝2.又离心率为22，即c a ＝22. 由⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝2，c a ＝22，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝c2＝2.所以椭圆的方程为x24＋y22＝1.(2)假设直线y ＝2上存在点Q 满足题意，设Q(m,2)．显然，当m ＝±2时，从Q 点所引的两条切线不垂直，当m≠±2时，设过点Q 向椭圆所引的切线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k(x －m)＋2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－＋2，x24＋y22＝1，消去y 整理得(1＋2k2)x2－4k(mk －2)x ＋2(mk －2)2－4＝0，因为Δ＝16k2(mk －2)2－4(1＋2k2)[2(mk －2)2－4]＝0，所以(m2－4)k2－4mk ＋2＝0.(*)设两切线的斜率分别为k1，k2，显然k1，k2是方程(*)的两根，故k1k2＝2m2－4＝－1，解得m ＝±2，点Q 坐标为(2，2)或(－2，2)，因此，直线y ＝2上存在两点(2，2)和(－2，2)满足题意． 10.(2015年兰州模拟)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，直线l ：x ＝a2交x 轴于点A ，且AF1→＝2AF2→.(1)试求椭圆的方程；(2)过F1，F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D ，E ，M ，N 四点(如图所示)，试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值．解析：(1)由题意，|F1F2→|＝2c ＝2，A(a2,0)， ∵AF1→＝2 AF2→，∴F2为AF1的中点， ∴a2＝3，b2＝2，即椭圆的方程为x23＋y22＝1.(2)当直线DE 与x 轴垂直时，|DE|＝2·b2a ＝43，此时|MN|＝2a ＝23，四边形DMEN 的面积S ＝|DE|·|MN|2＝4.同理，当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积S ＝|DE|·|MN|2＝4.当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE ：y ＝k(x ＋1)，代入椭圆方程消去y 得：(2＋3k2)x2＋6k2x ＋(3k2－6)＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝－6k22＋3k2，x1x2＝3k2－62＋3k2，∴|x1－x2|＝＋－4x1x2＝43·k2＋13k2＋2，∴|DE|＝k2＋1|x1－x2|＝43＋2＋3k2，同理|MN|＝43⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－1k 2＋12＋3⎝⎛⎭⎫－1k 2＝43⎝⎛⎭⎫1k2＋12＋3k2，∴四边形的面积S ＝|DE|·|MN|2＝12·43＋2＋3k2·43⎝⎛⎭⎫1k2＋12＋3k2＝24⎝⎛⎭⎫k2＋1k2＋26⎝⎛⎭⎫k2＋1k2＋13.令u ＝k2＋1k2，得S ＝＋13＋6u＝4－413＋6u，∵u ＝k2＋1k2≥2，当k ＝±1时，u ＝2，S ＝9625，且S 是以u 为自变量的增函数，∴9625≤S ＜4.综上可知，9625≤S≤4.故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625.B 组高考题型专练1．设过原点的直线l 与抛物线y2＝4(x －1)交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好过抛物线焦点F.求： (1)直线l 的方程； (2)|AB|的长．解析：(1)设直线l ：y ＝kx ，抛物线的焦点为F(2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y2＝－，y ＝kx⇒k2x2－4x ＋4＝0.Δ＝16－16k2＞0⇒－1＜k ＜1.①当k ＝0时，l 与x 轴重合，不合题意． ∴k≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k2，x1x2＝4k2，∵AF ⊥BF ，∴AF →·BF →＝0(或用kAF·kBF ＝－1)，又AF →＝(2－x1，－y1)，BF →＝(2－x2，－y2)，得k2x1x2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，代入得k ＝±22满足①，∴l ：y ＝±22x.(2)由(1)求解得x1＋x2＝8，x1x2＝8， |AB|＝＋＋－4x1x2]＝4 3.∴弦AB 的长为4 3.2．(2015年海淀模拟)已知椭圆G ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线m ：x ＝1与椭圆G 交于点M(点M 在第一象限)．(1)求椭圆G 的方程；(2)已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆G 相交于B ，C 两点，请判断直线MB ，MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．解析：(1)由题意得c ＝1，由c a ＝12可得a ＝2，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)由题意可得点A(－2,0)，M ⎝⎛⎭⎫1，32，所以由题意可设直线l ：y ＝12x ＋n ，n≠1.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由⎩⎨⎧x24＋y23＝1，y ＝12x ＋n ，得x2＋nx ＋n2－3＝0.由题意可得Δ＝n2－4(n2－3)＝12－3n2＞0，即n ∈(－2,2)且n≠1.x1＋x2＝－n ，x1x2＝n2－3.因为kMB ＋kMC ＝y1－32x1－1＋y2－32x2－1＝12x1＋n －32x1－1＋12x2＋n －32x2－1＝1＋n －1x1－1＋n －1x2－1＝1＋－＋x2－x1x2－＋＋1＝1－－＋n2＋n －2＝0，所以直线MB ，MC 关于直线m 对称．3.(2015年南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点⎝⎛⎭⎫1，32的椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(1,0)，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)若点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，335，试求直线PA 的方程；(3)记M ，N 两点的纵坐标分别为yM ，yN ，试问yMyN 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解析：(1)由题意，得2a ＝－＋⎝⎛⎭⎫32－02＋＋＋⎝⎛⎭⎫32－02＝4，即a ＝2，又c ＝1，∴b2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x24＋y23＝1.(2)∵B ⎝⎛⎭⎫85，335，∴P ⎝⎛⎭⎫－85，－335，又F(1,0)，∴kAB ＝3，∴直线AB ：y ＝3(x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y23＝1，y ＝3－，解得A(0，－3)，∴直线PA ：y ＝－34x －3，即3x ＋4y ＋43＝0. (3)当kAB 不存在时，易得yMyN ＝－9，当kAB 存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(－x2，－y2)， ∴x214＋y213＝1，x224＋y223＝1，两式相减，得＋－4＝－＋－3，∴＋－＋－＝－34＝kPA·kAB ，令kAB ＝k ＝y2x2－1，则kPA ＝－34k ，∴直线PA ：y ＋y2＝－34k(x ＋x2)， ∴yM ＝－34k (x2＋4)－y2，∴yM ＝－＋－4y2－y2，∵直线PB ：y ＝y2x2·x ，∴yN ＝4y2x2，∴yMyN ＝－3×＋－x2－4y22x2，又∵x224＋y223＝1，∴4y22＝12－3x22，∴yMyN ＝－3×＋－＋4－x22x2＝－9，∴yMyN 为定值－9.4．(2014年高考四川卷)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.①证明：OT 平分线段PQ(其中O 为坐标原点)； ②当|TF||PQ|最小时，求点T 的坐标．解析：(1)由已知可得⎩⎨⎧a2＋b2＝2b ，2c ＝2a2－b2＝4，解得a2＝6，b2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x26＋y22＝1.(2)①由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m)．则直线TF 的斜率kTF ＝m －0－3－－＝－m.当m≠0时，直线PQ 的斜率kPQ ＝1m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x26＋y22＝1.消去x ，得(m2＋3)y2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0. 所以y1＋y2＝4mm2＋3，y1y2＝－2m2＋3， x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝－12m2＋3. 所以PQ 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－6m2＋3，2m m2＋3.所以直线OM 的斜率kOM ＝－m3，又直线OT 的斜率kOT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ. ②由①可得， |TF|＝m2＋1， |PQ|＝－＋－＝＋＋－4y1y2] ＝＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫4m m2＋32－4·－2m2＋3 ＝24＋m2＋3. 所以|TF||PQ|＝124·＋m2＋1＝124·⎝⎛⎭⎫m2＋1＋4m2＋1＋4≥ 124＋＝33. 当且仅当m2＋1＝4m2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF||PQ|取得最小值．所以当|TF||PQ|最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．。

2019高考数学一轮复习 8-8 圆锥曲线的综合问题(视情况选用)课时作业 文.doc

高三数学第一轮复习测试及详细解答(8)——圆锥曲线

2019届高考数学一轮复习第8单元解析几何第54讲圆锥曲线的综合问题课件理

2019届高考数学一轮复习第8单元解析几何第54讲圆锥曲线的综合问题课件理20180713489

高考数学复习-课时作业58圆锥曲线的综合问题

高中数学 一轮复习 圆锥曲线的综合问题 含答案

2019年高考数学一轮复习 8.9 圆锥曲线的综合问题课时作业 理(含解析)新人教A版

【三维设计】高考数学一轮复习 教师备选作业 第八章 第九节 圆锥曲线的综合问题 理

2019届高考数学一轮复习：《圆锥曲线的综合问题》教学案(含解析)

高三数学第一轮复习--圆锥曲线综合题

高考第一轮复习数学：8.7 圆锥曲线的综合问题 答案

高中数学 一轮复习 圆锥曲线的综合问题 含答案

2019高三一轮总复习文科数学课时检测：8-8圆锥曲线的综合问题含解析

2019高三一轮总复习文科数学课时检测：8-8圆锥曲线的综合问题含解析

优化探究高考数学一轮复习88圆锥曲线的综合问题视情况选用课时作业文

2019年高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标54圆锥曲线的综合问题理

【走向高考】高考数学一轮总复习 8-8圆锥曲线的综合问题课后强化作业 新人教A版

2019高考数学一轮复习 8-8 圆锥曲线的综合问题(视情况选用)课时作业文.doc

高中数学一轮复习圆锥曲线的综合问题含答案

2019年高考数学一轮复习 8.9 圆锥曲线的综合问题课时作业理(含解析)新人教A版

【三维设计】高考数学一轮复习教师备选作业第八章第九节圆锥曲线的综合问题理

高考第一轮复习数学：8.7 圆锥曲线的综合问题答案

高中数学一轮复习圆锥曲线的综合问题含答案

【走向高考】高考数学一轮总复习 8-8圆锥曲线的综合问题课后强化作业新人教A版