2014~2015学年度 最新 2015届天津市高三预测金卷数学文科试卷含答案
2014年全国高考天津市数学(文)试卷及答案【精校版】
绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ 解：()()()()73472525134343425i i ii i i i i +-+-===-++-，选A .xED CBA （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 解：作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3，选B .（3）已知命题p ：0x ">，总有()11x x e +>，则p Ø为（ （A ）00x $£，使得()0011xx e £+ （B ）00x $>，使得0011xx e £+（C ）0x ">，总有()11x x e +£ （D ）0x "£，总有()11xx e +£解：依题意知p Ø为：00x $>，使得()0011xx e £+，选B .（4）设2log a p =，12log b p =，2c p-=，则（ ）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）c b a >> 解：因为1a >，0b <，01c <<，所以a c b >>，选C .（5）设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 解：依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-，选D . （6）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= 解：依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，选A . （7）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分C B F Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??.则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④解：由弦切角定理得FBD EAC BAE ???，又BFD AFB ??， 所以BFD D ∽AFB D ，所以BF BDAF AB=，即AF BD AB BF ??，排除A 、C .又FBDEAC DBC ???，排除B ，选D .（8）已知函数()cos f x x x w w =+()0w >，x R Î，在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3p，则()f x 的最小正周期为（ ） （A ）2p（B ）23p （C ）p （D ）2p解：因为()2sin 6f x x p w 骣÷ç=+÷ç÷ç桫，所以()1f x =得1sin 62x p w 骣÷ç+=÷ç÷ç桫， 所以266x k p p w p +=+或5266x k ppw p +=+，k Z Î. 因为相邻交点距离的最小值为3p，所以233p pw =，2w =，T p =，选C . 第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2015年高考试题文科数学(天津卷)含答案
（ ）求证：平面 平面 。
（ ）求直线 与平面 所成角的大小。
18.已知 是各项均为正数的等比数列， 是等差数列，且 ,
.
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ,求数列 的前n项和.
19.已知椭圆 的上顶点为B，左焦点为 ,离心率为 ，
(1)求直线BF的斜率；
(2)设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），故点B且垂直于BF的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与x轴交于点M， .
1)求 的值；
2)若 ，求椭圆的方程.
20.已知函数 其中 ，且 .
(1)求 的单调性；
(2)设曲线 与 轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为 ，求证：对于任意的正实数 ，都有 ;
(3)若方程 有两个正实数根 且 ，求证： .
(A) (B) 3 (C) (D)
7.已知定义在R上的函数 为偶函数，记 ，则 ,的大小关系为
(A) (B) (C) (D)
8.已知函数 ，函数 ，则函数 的零点的个数为
(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5
二：填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.i是虚数单位，计算 的结果为．
10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为．
15.（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛。
（ ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
（ ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为 ，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛。
（ ）用所给编号列出所有可能的结果；
2015年天津卷高考数学试卷（文科）
2014年全国高考天津市数学(文)试卷及答案【精校版】
绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ 解：()()()()73472525134343425i i ii i i i i +-+-===-++-，选A .xECBA （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 解：作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3，选B .（3）已知命题p ：0x ">，总有()11x x e +>，则p Ø为（ （A ）00x $£，使得()0011xx e £+ （B ）00x $>，使得0011xx e £+（C ）0x ">，总有()11x x e +£ （D ）0x "£，总有()11xx e +£解：依题意知p Ø为：00x $>，使得()0011xx e £+，选B .（4）设2log a p =，12log b p =，2c p-=，则（ ）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）c b a >> 解：因为1a >，0b <，01c <<，所以a c b >>，选C .（5）设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 解：依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-，选D . （6）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= 解：依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，选A . （7）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分C B F Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??.则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④解：由弦切角定理得FBD EAC BAE ???，又BFD AFB ??， 所以BFD D ∽AFB D ，所以BF BDAF AB=，即AF BD AB BF ??，排除A 、C .又FBDEAC DBC ???，排除B ，选D .（8）已知函数()cos f x x x w w =+()0w >，x R Î，在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3p，则()f x 的最小正周期为（ ） （A ）2p（B ）23p （C ）p （D ）2p解：因为()2sin 6f x x p w 骣÷ç=+÷ç÷ç桫，所以()1f x =得1sin 62x p w 骣÷ç+=÷ç÷ç桫， 所以266x k p p w p +=+或5266x k ppw p +=+，k Z Î. 因为相邻交点距离的最小值为3p，所以233p pw =，2w =，T p =，选C . 第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2015年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析word版本
2015年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，2．（5分）（2015•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最，解得，即3．（5分）（2015•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）5．（5分）（2015•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且22﹣=1 B﹣=1﹣y2=1=1a b==16．（5分）（2015•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）B．7．（5分）（2015•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，1=，8．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2015•天津）i是虚数单位，计算的结果为﹣i．==10．（5分）（2015•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．×π故答案为：π11．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为3．lnx+12．（5分）（2015•天津）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．==413．（5分）（2015•天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．==，=•（+++）（+）•+•+•+++××=故答案为：14．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．=）x+，ω≤x+，可x=，从而可求sin x+﹣，的单调递增区间为：[①②x+=k，可解得函数x=，可解得：．故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2015•天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．=，×=3××=2P==16．（13分）（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．2A+，，32A+=cos2Acos﹣sin2Asin=17．（13分）（2015•天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．BN==18．（13分）（2015•天津）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．，然后利用错位相减法求得数列由已知有，消去的通项公式为（Ⅱ）由（Ⅰ）有两式作差得：19．（14分）（2015•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．、﹣，计算即得结论；）通过=|PM||BP|=ca=k==2+﹣x+2c，，及=；）∵=，∴=，即|PQ|=|PM|，∴BQP=c|BP|=c=∴椭圆的方程为：+20．（14分）（2015•天津）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，．，可得由此可得。
天津市南开中学2015年高考数学模拟试卷(文科) 含解析
2015年天津市南开中学高考数学模拟试卷（文科)一、选择题:（本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上！)1．复数（其中i为虚数单位）的虚部等于（）A．﹣i B．﹣1 C．1 D．02．设集合A={x｜x＞2｝,若m=lne e(e为自然对数底)，则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m｝3．某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为(）A．7 B．6 C．5 D．44．在等差数列{a n｝中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a9+a10=（）A．9 B．10 C．11 D．125．“a＞3”是“函数f（x）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点"的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知向量=（3，﹣2)，=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8 D．247．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0)，(1，2,1）,（2，2，2），给出的编号为①，②，③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②8．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0)的左右焦点，如果双曲线上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上,则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．e＞B．1＜e＜C．e＞D．1＜e＜二．填空题:（本大题共6小题，每小题5分,共30分．请将答案填在答题纸上！）9．公共汽车在8:00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为．10．已知变量x,y满足约束条件，则z=2x•4y的最大值为．11．如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于m．12．如图,P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点．已知AB⊥AC，PA=2,PC=1，则圆O的面积为．13．已知，，点C在∠AOB内，∠AOC=45°，设,则=．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a 的取值范围为．三、解答题：(本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分,共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学,测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率．16．已知函数（其中ω＞0）的周期为π．(Ⅰ）求ω的值;（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）在上的单调区间．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB;(Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD;(ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．18．已知各项均为正数的数列｛a n｝满足a n+2+2=4a n+1﹣a n（n∈N＊）,且a1=1，a2=4．（Ⅰ)证明：数列{}是等差数列；(Ⅱ）设b n=的前项n和为S n,求证：S n＜1．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，｜AB｜+｜CD|=3．(Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ)求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．20．已知函数f（x）=lnx+，g（x)=x﹣2m,其中m∈R,e=2。
天津市五区县2014～2015学年度第一学期期末考试 高二数学文试卷参考答案及评分标准
天津市五区县2014～2015学年度第一学期期末考试高二数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．20x y --= 12．290x y ++= 13．30 14．9 15．12三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）解：（Ⅰ）圆C 的方程可化为22(1)(2)5x y m -+-=-令50m ->得5m < ……………………………………………………4分（Ⅱ）当4m =时，圆C 方程为22(1)(2)1x y -+-=圆心C (1,2)，半径1r = ………………………………………………6分圆心C (1,2)到直线:240l x y +-=的距离为5d ==……8分∴MN ==………………………………………12分 17．（12分）解： （Ⅰ）抛物线C 的准线为1x =-∴12p=，即2p = …………………………………………2分 ∴抛物线C 的方程为24y x =…………………………………………4分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，00( )M x y ， 由方程组24y x m y x=+⎧⎨=⎩消去y ，整理得22(24)0x m x m +-+=令16160m ∆=-+>，即1m <① ………………………………………6分求解可得1242x x m +=-，12y y +=1212()()()24x m x m x x m +++=++=……………………………8分∴(2 2)M m -，OM ==，解得2m =-或6m =② …………………10分由①②得，2m =-∴直线l 的方程为2y x =- ………………………………………………12分 18．（12分） 解：（Ⅰ）32()f x x ax bx c =+++，∴2()32f x x ax b '=++ ………………………………………………1分)(x f 在2x =-与23x =处都取得极值 ∴22(2)3(2)2(2)0222()3()20333f a b f a b '⎧-=⨯-+⨯-+=⎪⎨'=⨯+⨯+=⎪⎩………………………………3分 解得2,4a b ==- ……………………………………………………4分（Ⅱ） 当x 变化时，()x f '，)(x f 的变化情况如表由表可知，当2x =-时，()f x 取得极大值也是最大值 (2)f -=8c +…………………10分[3,1],x ∀∈-不等式()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<∴8c +0<解得8c <- …………………………………………………12分19．（12分）解：（Ⅰ）连接1A B 交1AB 于O ，连接OD 四边形11ABB A 为正方形 ∴O 为1A B 的中点，又D 是BC 中点∴1//OD AC …………………4分1AB D OD ⊂平面，11AC AB D ⊄平面 ∴11//AC AB D 平面 ………………………………6分 （Ⅱ）过D 作DE AB ⊥于E ，过E 作1EF AB ⊥于F ，连接DF11ABC ABB A ⊥平面平面 11ABC ABB A AB ⋂=平面平面∴11DE ABB A ⊥平面 ………………………………8分111AB ABB A ⊂平面∴1DE AB ⊥，又1EF AB ⊥，DEEF E =∴1AB DEF ⊥平面，DF DEF ⊂平面 ∴1AB DF ⊥∴DFE ∠为二面角1D AB B --的平面角………………………………10分AC 1B 1D C BA 1EOF在Rt ∆1ADB 中，11AD B D AB DF ⋅=⋅，∴DF=2在正三角形ABC中，∴在Rt ∆DEF 中，sin 5DEDFE DF∠=== ∴二面角1D AB B --…………………12分 20．（12分）解： (Ⅰ)抛物线2x =的焦点坐标为(0 ……………………………1分椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点与抛物线2x =的焦点重合∴ ……………………………2分又c a e =，∴221,3c a == ……………………………4分 ∴椭圆C 的方程为：22132x y += ……………………………5分(Ⅱ)设点1122(,),(,)A x y B x y ，由1(1,0)F -得直线AB 的方程为(1)y k x =+，…6分由方程组22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得222(23)6360k x k x k +++-= …7分求解可得2122623k x x k +=-+，21223623k x x k -⋅=+ …………………………8分221122121212(1,)(1,)1()AF BF x y x y x x x x y y ⋅=--⋅--=-++⋅+⋅=221(1)k k +++12x x ⋅+2(1)k -12()x x +＝228423k k -+ ………………………………10分因为22AF BF ⊥，所以2284023k k-=+解得2k =±…………………12分。
天津市和平区2014-2015学年高三上期末数学试题(文)含答案
和平区2014-2015学年度第一学期期末质量调查高三数学（文科）试卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B =P A +P B 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式1V 3Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、i=（ ）A．12- B．12+ C．1 D．1+2、设变量x ，y 满足约束条件26026020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z x y =+的最大值为（ ）A ．2 B ．4 C ．8 D ．12 3、已知命题:p 0x ∀<，都有20x >，则p ⌝为（ ）A ．00x ∃<，使得200x ≤B ．00x ∃≥，使得200x ≤C ．0x ∀<，都有20x ≤D ．0x ∀≥，都有20x ≤ 4、设20.3a =，0.32b =，0.3log 2c =，则（ ）A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b << 5、若{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =．等比数列{}n b 满足19b =，1212b b a a +=+，则3b 等于（ ）A ．9 B ．81 C ．63- D ．81- 6、若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线为y =，则双曲线的离心率为（ ）ABCD ．27、函数()26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，223x k ππ≠+（k ∈Z ）的最小正周期为（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π8、若0x >，0y >，且26x y xy ++=，则2x y +的最小值是（ ）A ．12 B ．14 C ．18 D ．20 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9、工厂对一批产品进行抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品重量（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产 品重量的范围是[]46,56，样本数据分组为[)46,48，[)48,50，[)50,52，[)52,54，[]54,56．若样本中产品重量小于50克的个数是36，则样本中重量不小于48克，并且小于54克的产 品的个数是 ．10、已知奇函数()f x 的图象关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()26f =⎡⎤⎣⎦ ．11、一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为 3cm ．12、在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若cos cos C c b ⋅B =⋅，且1cos 3A =，则sin B 的值为 ．13、在平行四边形CD AB 中，()C 1,2A =，()D 3,2B =-，则D C A ⋅A = ．14、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15、（本小题满分13分）袋中有大小、形状完全相同，并且标号分别为1和2的小球各一个，现有放回地随机摸取4次，每次摸取一个球，并依次用所得标号表示千位、百位、十位和个位数字，组成一个四位数． ()I 请列出所有可能组成的四位数；()II 求组成的四位数的各数字之和小于7的概率； ()III 求组成的四位数是3的倍数的概率．16、（本小题满分13分）已知函数()2sin cos f x x x x ωωω=+（0ω>）的最小正周期为π．()I 求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；()II 求()f x 在闭区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17、（本小题满分13分）如图，在直三棱柱111C C AB -A B 中，C 3A =，5AB =，3cos C 5∠BA =．()I 求证：1C C B ⊥A ；()II 若D 是AB 的中点，求证：1C //A 平面1CD B ．18、（本小题满分13分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若37S =，且1a ，21a +，31a +构成等差数列．()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 令21ln n n b a +=（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T ．19、（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）与直线10x y +-=相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在直线12y x =上．()I 求椭圆的离心率；()II 若椭圆的右焦点关于直线12y x =的对称点的横坐标为065x =，求椭圆的方程．20、（本小题满分14分）设函数()22ln 2f x x x ax a =+-+，R a ∈．()I 若0a =，求函数()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值； ()II 若函数()f x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，求a 的取值范围； ()III 当a >()f x 的极值点．和平区2014-2015学年度第一学期期末质量调查高三数学（文科）试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9. 9010.911．641213．314．12三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本题13分）16．（本题13分）17．（本题13分）18．（本题13分）19．（本题14分）20．（本题14分）。
2014-2015年天津市蓟县高三上学期数学期末试卷(文科)与解析
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2014-2015 学年天津市蓟县高三（上）期末数学试卷（文 科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1． （5 分）i 是虚数单位， A． + i =（ ）
B． ﹣ i C．﹣ + i D．﹣ ﹣ i = = ．
【解答】解： 故选：B．
16． （13 分） 在△ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 （Ⅰ）求 sinC 的值； （Ⅱ）求△ABC 的面积．
，
．
17． （13 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥面 ABCD，AB=BC=2，AD=CD= PA= ，∠ABC=120°，G 为线段 PC 上的点．
，
（Ⅰ）证明：BD⊥平面 PAC； （Ⅱ）若 G 是 PC 的中点，求 DG 与平面 PAC 所成的角的正切值； （Ⅲ）若 G 满足 PC⊥面 BGD，求 的值．
13． （5 分）已知{an}为等差数列，其公差为﹣2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，
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Sn 为{an}的前 n 项和，n∈N*，则 S10 的值为
．
14． （5 分）已知 f（x）是定义在[﹣3，3]上的偶函数，当 x∈[0，3）时，f（x） =|x2﹣2x+ |，若函数 y=f（x）﹣a 在区间[﹣3，3]上有 8 个零点（互不相同） ， 则实数 a 的取值范围是 ．
2014-2015 学年天津市蓟县高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共 8 小题，每小位， A． + i =（ ）
B． ﹣ i C．﹣ + i D．﹣ ﹣ i
2． （5 分）已知变量 x、y 满足约束条件
2015年6月7日天津市高考文科数学试题及参考答案详细解析
2015年天津市全国各地高考文科数学试题及详细解析一、选择题:每题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6},集合A ＝{2,3,5},集合B ＝{1,3,4,6},则集合A ∩∁U B ＝( )A.{3}B.{2,5}C.{1,4,6}D.{2,3,5}2.(5分)若实数x,y 满足条件,则z ＝3x ＋y 的最大值为( ) A.7 B.8 C.9 D.143.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为( )A.2B.3C.4D.54.(5分)设x ∈R,则“1＜x ＜2”是“|x ﹣2|＜1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)已知双曲线﹣＝1(a ＞0,b ＞0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x ﹣2)2＋y 2＝3相切,则双曲线的方程为( )A.﹣＝1B.﹣＝1C.﹣y 2＝1D.x 2﹣＝16.(5分)如图,在圆O 中,M 、N 是弦AB 的三等分点,弦CD,CE 分别经过点M,N,若CM ＝2,MD ＝4,CN ＝3,则线段NE 的长为( )A. B.3 C. D.7.(5分)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a＝f(log0.53),b＝f(log25),c＝f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.c＜b＜a8.(5分)已知函数f(x)＝,函数g(x)＝3﹣f(2﹣x),则函数y＝f(x)﹣g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)i是虚数单位,计算的结果为.10.(5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.11.(5分)已知函数f(x)＝axlnx,x∈(0,＋∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数,若f′(1)＝3,则a的值为.12.(5分)已知a＞0,b＞0,ab＝8,则当a的值为时,log2a•log2(2b)取得最大值.13.(5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB＝2,BC＝1,∠ABC＝60°,点E和F分别在线段BC和DC上,且＝,＝,则•的值为.14.(5分)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0),x∈R,若函数f(x)在区间(﹣ω,ω)内单调递增,且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称,则ω的值为.三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.(i)用所给编号列出所有可能的结果；(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.16.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b﹣c＝2,cosA＝﹣.(Ⅰ)求a和sinC的值；(Ⅱ)求cos(2A＋)的值.17.(13分)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB＝AC＝3,BC＝2,AA1＝,BB1＝2,点E和F分别为BC和A1C的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面A1B1BA；(Ⅱ)求证:平面AEA1⊥平面BCB1；(Ⅲ)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.18.(13分)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1＝b1＝1,b2＋b3＝2a3,a5﹣3b2＝7.(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设c n＝a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.19.(14分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.(Ⅰ)求直线BF的斜率.(Ⅱ)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|＝λ|MQ|.(i)求λ的值.(ii)若|PM|sin∠BQP＝,求椭圆的方程.20.(14分)已知函数f(x)＝4x﹣x4,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y＝g(x),求证:对于任意的实数x,都有f(x)≤g(x)；(Ⅲ)若方程f(x)＝a(a为实数)有两个实数根x1,x2,且x1＜x2,求证:x2﹣x1≤﹣＋4.2015年天津市全国各地高考文科数学试题及详细解析参考答案与试题解析一、选择题:每题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合A＝{2,3,5},集合B＝{1,3,4,6},则集合A∩∁U B＝()A.{3}B.{2,5}C.{1,4,6}D.{2,3,5}【考点】1H:交、并、补集的混合运算.【专题】5J:集合.【分析】求出集合B的补集,然后求解交集即可.【解析】解:全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合B＝{1,3,4,6},∁U B＝{2,5},又集合A＝{2,3,5},则集合A∩∁U B＝{2,5}.故选:B.【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算,基本知识的考查.2.(5分)若实数x,y满足条件,则z＝3x＋y的最大值为()A.7B.8C.9D.14【考点】7C:简单线性规划.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值.【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).由z＝3x＋y得y＝﹣3x＋z,平移直线y＝﹣3x＋z,由图象可知当直线y＝﹣3x＋z经过点A时,直线y＝﹣3x＋z的截距最大,此时z最大.由,解得,即A(2,3),代入目标函数z＝3x＋y得z＝3×2＋3＝9.即目标函数z＝3x＋y的最大值为9.故选:C.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.3.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为()A.2B.3C.4D.5【考点】E7:循环结构.【专题】27:图表型；5K:算法和程序框图.【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当S＝0时满足条件S≤1,退出循环,输出i的值为4.【解析】解:模拟执行程序框图,可得S＝10,i＝0i＝1,S＝9不满足条件S≤1,i＝2,S＝7不满足条件S≤1,i＝3,S＝4不满足条件S≤1,i＝4,S＝0满足条件S≤1,退出循环,输出i的值为4.故选:C.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的i,S的值是解题的关键,属于基础题.4.(5分)设x∈R,则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】5L:简易逻辑.【分析】求解:|x﹣2|＜1,得出“1＜x＜2”,根据充分必要条件的定义判断即可.【解析】解:∵|x﹣2|＜1,∴1＜x＜3,∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出:“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件.故选:A.【点评】本题考查了简单的不等式的求解,充分必要条件的定义,属于容易题.5.(5分)已知双曲线﹣＝1(a＞0,b＞0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x﹣2)2＋y2＝3相切,则双曲线的方程为()A.﹣＝1B.﹣＝1C.﹣y2＝1D.x2﹣＝1【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11:计算题；5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程,根据圆心到切线的距离等于半径得,求出a,b的关系,结合焦点为F(2,0),求出a,b的值,即可得到双曲线的方程.【解析】解:双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0,∵双曲线的渐近线与圆(x﹣2)2＋y2＝3相切,∴,∴b＝a,∵焦点为F(2,0),∴a2＋b2＝4,∴a＝1,b＝,∴双曲线的方程为x2﹣＝1.故选:D.【点评】本题考查点到直线的距离公式,双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出a,b的值,是解题的关键.6.(5分)如图,在圆O中,M、N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM＝2,MD＝4,CN＝3,则线段NE的长为()A. B.3 C. D.【考点】NC:与圆有关的比例线段.【专题】17:选作题；5M:推理和证明.【分析】由相交弦定理求出AM,再利用相交弦定理求NE即可.【解析】解:由相交弦定理可得CM•MD＝AM•MB,∴2×4＝AM•2AM,∴AM＝2,∴MN＝NB＝2,又CN•NE＝AN•NB,∴3×NE＝4×2,∴NE＝.故选:A.【点评】本题考查相交弦定理,考查学生的计算能力,比较基础.7.(5分)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a＝f(log0.53),b＝f(log25),c＝f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.c＜b＜a【考点】3N:奇偶性与单调性的综合.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】根据f(x)为偶函数便可求出m＝0,从而f(x)＝2|x|﹣1,这样便知道f(x)在[0,＋∞)上单调递增,根据f(x)为偶函数,便可将自变量的值变到区间[0,＋∞)上:a＝f(|log0.53|),b＝f(log25),c＝f(0),然后再比较自变量的值,根据f(x)在[0,＋∞)上的单调性即可比较出a,b,c的大小.【解析】解:∵f(x)为偶函数；∴f(﹣x)＝f(x)；∴2|﹣x﹣m|﹣1＝2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；(﹣x﹣m)2＝(x﹣m)2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f(x)＝2|x|﹣1；∴f(x)在[0,＋∞)上单调递增,并且a＝f(|log0.53|)＝f(log23),b＝f(log25),c＝f(0)；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b.故选:C.【点评】考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0,＋∞)上,根据单调性去比较函数值大小.对数的换底公式的应用,对数函数的单调性,函数单调性定义的运用.8.(5分)已知函数f(x)＝,函数g(x)＝3﹣f(2﹣x),则函数y＝f(x)﹣g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5【考点】53:函数的零点与方程根的关系.【专题】26:开放型；51:函数的性质及应用.【分析】求出函数y＝f(x)﹣g(x)的表达式,构造函数h(x)＝f(x)＋f(2﹣x),作出函数h(x)的图象,利用数形结合进行求解即可.【解析】解:∵g(x)＝3﹣f(2﹣x),∴y＝f(x)﹣g(x)＝f(x)﹣3＋f(2﹣x),由f(x)﹣3＋f(2﹣x)＝0,得f(x)＋f(2﹣x)＝3,设h(x)＝f(x)＋f(2﹣x),若x≤0,则﹣x≥0,2﹣x≥2,则h(x)＝f(x)＋f(2﹣x)＝2＋x＋x2,若0≤x≤2,则﹣2≤﹣x≤0,0≤2﹣x≤2,则h(x)＝f(x)＋f(2﹣x)＝2﹣x＋2﹣|2﹣x|＝2﹣x＋2﹣2＋x＝2,若x＞2,﹣x＜0,2﹣x＜0,则h(x)＝f(x)＋f(2﹣x)＝(x﹣2)2＋2﹣|2﹣x|＝x2﹣5x＋8.即h(x)＝,作出函数h(x)的图象如图:当y＝3时,两个函数有2个交点,故函数y＝f(x)﹣g(x)的零点个数为2个,故选:A.【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的关键.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)i是虚数单位,计算的结果为﹣i.【考点】A5:复数的运算.【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可.【解析】解:i是虚数单位,＝＝＝﹣i.故答案为:﹣i.【点评】本题考查复数的乘除运算,基本知识的考查.10.(5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】11:计算题；5F:空间位置关系与距离.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体,结合图中数据求出它的体积.【解析】解:根据几何体的三视图,得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体,且圆柱底面圆的半径为1,高为2,圆锥底面圆的半径为1,高为1；∴该几何体的体积为V几何体＝2×π•12×1＋π•12•2＝π.故答案为:π.【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目.11.(5分)已知函数f(x)＝axlnx,x∈(0,＋∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数,若f′(1)＝3,则a的值为3.【考点】65:导数的乘法与除法法则.【专题】53:导数的综合应用.【分析】由题意求出f'(x),利用f′(1)＝3,求a.【解析】解:因为f(x)＝axlnx,所以f′(x)＝alnx＋ax＝alnx＋a,又f′(1)＝3,所以a＝3；故答案为:3.【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键.12.(5分)已知a＞0,b＞0,ab＝8,则当a的值为4时,log2a•log2(2b)取得最大值.【考点】3G:复合函数的单调性.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】由条件可得a＞1,再利用基本不等式,求得当a＝4时,log2a•log2(2b)取得最大值,从而得出结论.【解析】解:由题意可得当log2a•log2(2b)最大时,log2a和log2(2b)都是正数,故有a＞1.再利用基本不等式可得log2a•log2(2b)≤＝＝＝4,当且仅当a＝2b＝4时,取等号,即当a＝4时,log2a•log2(2b)取得最大值,故答案为:4.【点评】本题主要考查基本不等式的应用,注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件,属于中档题.13.(5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB＝2,BC＝1,∠ABC＝60°,点E和F分别在线段BC和DC上,且＝,＝,则•的值为.【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】5A:平面向量及应用.【分析】根据向量数量积的公式和应用,进行运算求解即可.【解析】解:∵AB＝2,BC＝1,∠ABC＝60°,∴BG＝＝,CD＝2﹣1＝1,∠BCD＝120°,∵＝,＝,∴•＝(＋)•(＋)＝(＋)•(＋)＝•＋•＋•＋•＝2×1×cos60°＋×2×1×cos0°＋×1×1×cos60°＋××1×1×cos120°＝1＋＝,故答案为:【点评】本题主要考查向量数量积的应用,根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键.14.(5分)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0),x∈R,若函数f(x)在区间(﹣ω,ω)内单调递增,且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称,则ω的值为.【考点】HK:由y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式.【专题】26:开放型；57:三角函数的图像与性质.【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f(x)＝sin(ωx ＋),由2kπ﹣≤ωx ＋≤2kπ＋,k ∈Z 可解得函数f(x)的单调递增区间,结合已知可得:﹣ω≥①,ω≤②,k ∈Z,从而解得k ＝0,又由ωx ＋＝kπ＋,可解得函数f(x)的对称轴为:x ＝,k ∈Z,结合已知可得:ω2＝,从而可求ω的值.【解析】解:∵f(x)＝sinωx ＋cosωx ＝sin(ωx ＋),∵函数f(x)在区间(﹣ω,ω)内单调递增,ω＞0∴2kπ﹣≤ωx ＋≤2kπ＋,k ∈Z 可解得函数f(x)的单调递增区间为:[,],k ∈Z,∴可得:﹣ω≥①,ω≤②,k ∈Z,∴解得:0＜ω2≤且0＜ω2≤2k,k ∈Z,解得:﹣,k ∈Z,∴可解得:k ＝0,又∵由ωx ＋＝kπ＋,可解得函数f(x)的对称轴为:x ＝,k ∈Z,∴由函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝ω对称,可得:ω2＝,可解得:ω＝.故答案为:.【点评】本题主要考查了由y ＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象确定其解析式,考查了正弦函数的图象和性质,正确确定k 的值是解题的关键,属于中档题.三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.(i)用所给编号列出所有可能的结果；(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.【专题】5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)由题意可得抽取比例,可得相应的人数；(Ⅱ)(i)列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；(ii)事件A包含上述9个,由概率公式可得.【解析】解:(Ⅰ)由题意可得抽取比例为＝,27×＝3,9×＝1,18×＝2,∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；(Ⅱ)(i)从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共15种；(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,则事件A包含:(A1,A5),(A1,A6),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6)共9个基本事件,∴事件A发生的概率P＝＝【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及分层抽样,属基础题.16.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b﹣c＝2,cosA＝﹣.(Ⅰ)求a和sinC的值；(Ⅱ)求cos(2A＋)的值.【考点】HP:正弦定理；HR:余弦定理.【专题】58:解三角形.【分析】(Ⅰ)通过三角形的面积以及已知条件求出b,c,利用正弦定理求解sinC的值；(Ⅱ)利用两角和的余弦函数化简cos(2A＋),然后直接求解即可.【解析】解:(Ⅰ)在三角形ABC中,由cosA＝﹣,可得sinA＝,△ABC的面积为3,可得:,可得bc＝24,又b﹣c＝2,解得b＝6,c＝4,由a2＝b2＋c2﹣2bccosA,可得a＝8,,解得sinC＝；(Ⅱ)cos(2A＋)＝cos2Acos﹣sin2Asin＝＝.【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式,二倍角公式,余弦定理的应用,考查计算能力.17.(13分)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB＝AC＝3,BC＝2,AA1＝,BB1＝2,点E和F分别为BC和A1C的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面A1B1BA；(Ⅱ)求证:平面AEA1⊥平面BCB1；(Ⅲ)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.【考点】LS:直线与平面平行；LY:平面与平面垂直；MI:直线与平面所成的角.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】(Ⅰ)连接A1B,易证EF∥A1B,由线面平行的判定定理可得；(Ⅱ)易证AE⊥BC,BB1⊥AE,可证AE⊥平面BCB1,进而可得面面垂直；(Ⅲ)取BB1中点M和B1C中点N,连接A1M,A1N,NE,易证∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角,解三角形可得.【解析】(Ⅰ)证明:连接A1B,在△A1BC中,∵E和F分别是BC和A1C的中点,∴EF∥A1B,又∵A1B⊂平面A1B1BA,EF⊄平面A1B1BA,∴EF∥平面A1B1BA；(Ⅱ)证明:∵AB＝AC,E为BC中点,∴AE⊥BC,∵AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,∴BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AE,又∵BC∩BB1＝B,∴AE⊥平面BCB1,又∵AE⊂平面AEA1,∴平面AEA1⊥平面BCB1；(Ⅲ)取BB1中点M和B1C中点N,连接A1M,A1N,NE,∵N和E分别为B1C和BC的中点,∴NE平行且等于B1B,∴NE平行且等于A1A,∴四边形A1AEN是平行四边形,∴A1N平行且等于AE,又∵AE⊥平面BCB1,∴A1N⊥平面BCB1,∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角,在△ABC中,可得AE＝2,∴A1N＝AE＝2,∵BM∥AA1,BM＝AA1,∴A1M∥AB且A1M＝AB,又由AB⊥BB1,∴A1M⊥BB1,在RT△A1MB1中,A1B1＝＝4,在RT△A1NB1中,sin∠A1B1N＝＝,∴∠A1B1N＝30°,即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明,涉及直线与平面所成的角,属中档题.18.(13分)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1＝b1＝1,b2＋b3＝2a3,a5﹣3b2＝7.(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设c n＝a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)设出数列{a n}的公比和数列{b n}的公差,由题意列出关于q,d的方程组,求解方程组得到q,d的值,则等差数列和等比数列的通项公式可求；(Ⅱ)由题意得到,然后利用错位相减法求得数列{c n}的前n项和.【解析】解:(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q,数列{b n}的公差为d,由题意,q＞0,由已知有,消去d整理得:q4﹣2q2﹣8＝0.∵q＞0,解得q＝2,∴d＝2,∴数列{a n}的通项公式为,n∈N*；数列{b n}的通项公式为b n＝2n﹣1,n∈N*.(Ⅱ)由(Ⅰ)有,设{c n}的前n项和为S n,则,,两式作差得:＝2n＋1﹣3﹣(2n﹣1)×2n＝﹣(2n ﹣3)×2n﹣3.∴.【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和,考查数列求和的基本方法和运算求解能力,是中档题.19.(14分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.(Ⅰ)求直线BF的斜率.(Ⅱ)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|＝λ|MQ|.(i)求λ的值.(ii)若|PM|sin∠BQP＝,求椭圆的方程.【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】26:开放型；5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(Ⅰ)通过e＝、a2＝b2＋c2、B(0,b),计算即得结论；(Ⅱ)设点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M).(i)通过(I),联立直线BF与椭圆方程,利用韦达定理可得x P＝﹣,利用BQ⊥BP,联立直线BQ与椭圆方程,通过韦达定理得x Q＝,计算即得结论；(ii)通过＝可得|PQ|＝|PM|,利用|PM|sin∠BQP ＝,可得|BP|＝,通过y P＝2x P＋2c＝﹣c计算可得c＝1,进而可得结论.【解析】解:(Ⅰ)设左焦点F(﹣c,0),∵离心率e＝,a2＝b2＋c2,∴a＝c,b＝2c,又∵B(0,b),∴直线BF的斜率k＝＝＝2；(Ⅱ)设点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M).(i)由(I)知a＝c,b＝2c,k BF＝2,∴椭圆方程为＋＝1,直线BF方程为y＝2x＋2c,联立直线BF与椭圆方程,消去y并整理得:3x2＋5cx＝0,解得x P＝﹣,∵BQ⊥BP,∴直线BQ的方程为:y＝﹣x＋2c,联立直线BQ与椭圆方程,消去y并整理得:21x2﹣40cx＝0,解得x Q＝,又∵λ＝,及x M＝0,∴λ＝＝＝；(ii)∵＝,∴＝＝,即|PQ|＝|PM|,又∵|PM|sin∠BQP＝,∴|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝|PM|sin∠BQP＝,又∵y P＝2x P＋2c＝﹣c,∴|BP|＝＝c,因此＝c,即c＝1,∴椭圆的方程为:＋＝1.【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力,属于中档题.20.(14分)已知函数f(x)＝4x﹣x4,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y＝g(x),求证:对于任意的实数x,都有f(x)≤g(x)；(Ⅲ)若方程f(x)＝a(a为实数)有两个实数根x1,x2,且x1＜x2,求证:x2﹣x1≤﹣＋4.【考点】6E:利用导数研究函数的最值；6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】26:开放型；53:导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)求出原函数的导函数,得到导函数的零点,由零点对定义域分段,根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；(Ⅱ)设出点p的坐标,利用导数求出切线方程g(x)＝f′(x0)(x﹣x0),构造辅助函数F(x)＝f(x)﹣g(x),利用导数得到对于任意实数x,有F(x)≤F(x0)＝0,即对任意实数x,都有f(x)≤g(x)；(Ⅲ)由(Ⅱ)知,,求出方程g(x)＝a的根,由g(x)在(﹣∞,＋∞)上单调递减,得到x2≤x2′.同理得到x1′≤x1,则可证得.【解析】(Ⅰ)解:由f(x)＝4x﹣x4,可得f′(x)＝4﹣4x3.当f′(x)＞0,即x＜1时,函数f(x)单调递增；当f′(x)＜0,即x＞1时,函数f(x)单调递减.∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,1),单调递减区间为(1,＋∞).(Ⅱ)证明:设点p的坐标为(x0,0),则,f′(x0)＝﹣12,曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x﹣x0),即g(x)＝f′(x0)(x﹣x0),令函数F(x)＝f(x)﹣g(x),即F(x)＝f(x)﹣f′(x0)(x﹣x0),则F′(x)＝f′(x)﹣f′(x0).∵F′(x0)＝0,∴当x∈(﹣∞,x0)时,F′(x)＞0；当x∈(x0,＋∞)时,F′(x)＜0,∴F(x)在(﹣∞,x0)上单调递增,在(x0,＋∞)上单调递减,∴对于任意实数x,F(x)≤F(x0)＝0,即对任意实数x,都有f(x)≤g(x)；(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,,设方程g(x)＝a的根为x2′,可得.∵g(x)在(﹣∞,＋∞)上单调递减,又由(Ⅱ)知g(x2)≥f(x2)＝a＝g(x2′),因此x2≤x2′.类似地,设曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝h(x),可得h(x)＝4x,对于任意的x∈(﹣∞,＋∞),有f(x)﹣h(x)＝﹣x4≤0,即f(x)≤h(x).设方程h(x)＝a的根为x1′,可得,∵h(x)＝4x在(﹣∞,＋∞)上单调递增,且h(x1′)＝a＝f(x1)≤h(x1),因此x1′≤x1,由此可得.【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识.考查函数思想、化归思想,考查综合分析问题和解决问题的能力,是压轴题.。
2015年天津市高考数学试卷(文科)
2015年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3}B．{2，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}2．（5分）若实数x，y满足条件，则z=3x+y的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．143．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=16．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3 C．D．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i是虚数单位，计算的结果为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为．12．（5分）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为时，log2a•log2（2b）取得最大值．13．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．14．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编，编分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．17．（13分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．18．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．20．（14分）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．2015年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3}B．{2，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁U B={2，5}，又集合A={2，3，5}，则集合A∩∁U B={2，5}．故选：B．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）若实数x，y满足条件，则z=3x+y的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．14【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．即目标函数z=3x+y的最大值为9．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=10，i=0i=1，S=9不满足条件S≤1，i=2，S=7不满足条件S≤1，i=3，S=4不满足条件S≤1，i=4，S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，∴，∴b=a，∵焦点为F（2，0），∴a2+b2=4，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：D．【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．6．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3 C．D．【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．故选：A．【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f （0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=3﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x），由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当y=3时，两个函数有2个交点，故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，故选：A．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i是虚数单位，计算的结果为﹣i．【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：i是虚数单位，===﹣i．故答案为：﹣i．【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为V几何体=2×π•12×1+π•12•2=π．故答案为：π．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．11．（5分）已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为3．【分析】由题意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a．【解答】解：因为f（x）=a x lnx，所以f′（x）=f（x）=lna•a x lnx+a x，又f′（1）=3，所以a=3；故答案为：3．【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．12．（5分）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．【分析】由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．【解答】解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤===4，当且仅当a=2b=4时，取等，即当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．13．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵=，=，∴•=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．14．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω2=，从而可求ω的值．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，∴解得：0＜ω2≤且0＜ω2≤2k，k∈Z，解得：﹣，k∈Z，∴可解得：k=0，又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案为：．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编，编分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．【分析】（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（Ⅱ）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为=，27×=3，9×=1，18×=2，∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；（Ⅱ）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6），共15种；（ii）设A为事件“编为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）共9个基本事件，∴事件A发生的概率P==【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【分析】（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．17．（13分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．【分析】（Ⅰ）连接A1B，易证EF∥A1B，由线面平行的判定定理可得；（Ⅱ）易证AE⊥BC，BB1⊥AE，可证AE⊥平面BCB1，进而可得面面垂直；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，易证∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，解三角形可得．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1B，在△A1BC中，∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于B1B，∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，∴A1N平行且等于AE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1中，A1B1==4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．18．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）设出数列{a n}的公比和数列{b n}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，由题意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2，∴d=2，∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*；数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设{c n}的前n项和为S n，则，，两式作差得：=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n﹣3．∴．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）通过e=、a2=b2+c2、B（0，b），计算即得结论；（Ⅱ）设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），M（x M，y M）．（i）通过（I），联立直线BF与椭圆方程，利用韦达定理可得x P=﹣，利用BQ⊥BP，联立直线BQ与椭圆方程，通过韦达定理得x Q=，计算即得结论；（ii）通过=可得|PQ|=|PM|，利用|PM|sin∠BQP=，可得|BP|=，通过y P=2x P+2c=﹣c计算可得c=1，进而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设左焦点F（﹣c，0），∵离心率e=，a2=b2+c2，∴a=c，b=2c，又∵B（0，b），∴直线BF的斜率k===2；（Ⅱ）设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），M（x M，y M）．（i）由（I）知a=c，b=2c，k BF=2，∴椭圆方程为+=1，直线BF方程为y=2x+2c，联立直线BF与椭圆方程，消去y并整理得：3x2+5cx=0，解得x P=﹣，∵BQ⊥BP，∴直线BQ的方程为：y=﹣x+2c，联立直线BQ与椭圆方程，消去y并整理得：21x2﹣40cx=0，解得x Q=，又∵λ=，及x M=0，∴λ===；（ii）∵=，∴==，即|PQ|=|PM|，又∵|PM|sin∠BQP=，∴|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=，又∵y P=2x P+2c=﹣c，∴|BP|==c，因此=c，即c=1，∴椭圆的方程为：+=1．【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符得到原函数的单调性；（Ⅱ）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f′（x0）（x﹣x0），构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数得到对于任意实数x，有F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，求出方程g（x）=a的根，由g （x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，得到x2≤x2′．同理得到x1′≤x1，则可证得．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=4x﹣x4，可得f′（x）=4﹣4x3．当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减．∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：设点p的坐标为（x0，0），则，f′（x0）=﹣12，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），令函数F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．∵F′（x0）=0，∴当x∈（﹣∞，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，∴对于任意实数x，F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程g（x）=a的根为x2′，可得．∵g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（x2′），因此x2≤x2′．类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=4x，对于任意的x∈（﹣∞，+∞），有f（x）﹣h（x）=﹣x4≤0，即f（x）≤h（x）．设方程h（x）=a的根为x1′，可得，∵h（x）=4x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（x1′）=a=f（x1）≤h（x1），因此x1′≤x1，由此可得．【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．。
天津市耀华中学2015届高三下学期第二次校模拟考试数学(文)试卷
耀华中学2015届高三年级校第二次模拟 文科数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I 卷（选择题 共40分）一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．． 1．复数1ii+在复平面上对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2．在ABC ∆中，“6A π>”是“1sin 2A >”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．已知变量x 、y 满足条件230,330,10.x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是（A ）1(,)2+∞ （B ）1(,)2-∞ （C ）1(,)3+∞ （D ）1(,)3-∞ 4．为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（A ）向右平移6π个单位长度 （B ）向右平移3π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向左平移3π个单位长度5．数列{}n a 满足1211,,2a a ==并且1111()2(2)n n n n n a a a a a n -++-+=≥，则该数列的第2015项为 （A ）12014（B ）201412 （C ）12015 （D ）2015126．设直线:22,l y x =+若l 与椭圆2214y x +=的交点为A 与B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆1-的点P 的个数为 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）17．已知函数2222()2(2),()2(2)8()f x x a x a g x x a x a a R =-++=-+--+∈， 设{}{}12()max (),(),()min (),()H x f x g x H x f x g x ==（{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值），记1()H x 的最小值为A ，2()H x 的最大值为B ，则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16 （D ）16-8．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)()()222,0,1,22,1,0.x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩,且，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为 （A ）4- （B ）6- （C ）7- （D ）8-第II 卷（非选择题 共110分）二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在后面的答题卡上．．．．．．．．．．．．．． 9．为了了解某校高三男生的身体状况，抽查了部分男生的体重，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图（如下图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1﹕2﹕3，第2小组的频数为12，则被抽查的男生的人数是 ▲ ．（第9题图） （第10题图）10．如上图是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为 ▲ ．11．在△ABC 中，a 、b 、c 分别ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是 ▲ ．12．已知点(,)P x y 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 与PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，其中A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 ▲ ．13．若至少存在一个0x >，使得关于x 的不等式22||x x a <--成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．设O 是ABC ∆的外心，a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，且2220b b c -+=，则BC AO ⋅uu u r uuu r的取值范围是 ▲ ．三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()4sin cos()3f x x x π=++（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间[,]46ππ-上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．16．(本小题满分13分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1号，标号为2的小球n 个，已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12． （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）从袋子中不放回的随机抽取2个，记第一次取出的小球标号为,a 第二次取出的小球标号为b ；①记“2a b +=”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数,,x y 求事件“222()x y a b +>-恒成立”的概率.17．（本小题满分13分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面,1ABCD PA AD ==，2AB =，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．（Ⅰ）求证：//AF 平面PEC ；（Ⅱ）求PC 与平面ABCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角P EC D --的正切值．18．(本小题满分13分)已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,f n n a n N =∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）求使不等式12111(1)(1)(1)na a a +++≥n N *∈均成立的最大实数p的值．19．(本小题满分14分)已知中心在原点O ，焦点在x轴上的椭圆，离心率e =，且椭圆过点． (Ⅰ) 求该椭圆的方程；(Ⅱ) 设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P 、Q 两点，且直线OP 、PQ 、OQ 的斜 率依次成等比数列，求OPQ ∆面积的取值范围．20．(本小题满分14分)已知函数()x f x e =（其中e 为自然对数的底数，且 2.71828e =），()(,)2ng x x m m n R =+∈．（Ⅰ）若()()()T x f x g x =，12nm =-，求()T x 在[0,1]上的最大值()n ϕ的表达式； （Ⅱ）若4n =时方程()()f x g x =在[0,2]上恰有两个相异实根，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若152m =-，*n N ∈，求使()f x 的图象恒在()g x 图象上方的最大正整数n ．天津市耀华中学2015届高三第二次校模拟考试文科数学 参考答案二．填空题： 9．48； 10．2)π+； 11 12．2； 13．9(2,)4-； 14．1[,2)4-．三．解答题：15．解：（Ⅰ）()4sin (cos cossin sin )33f x x x x ππ=-+22sin cos x x x =-+sin 22x x =+2sin(2)3x π=+,∴22T ππ==； （Ⅱ）∵46x ππ-≤≤，∴22633x πππ-≤+≤, ∴1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()12f x -≤≤， 当236x ππ+=-，即4x π=-时，()min 1f x =-，当232x ππ+=，即12x π=时，()max 2f x =．16．解：（Ⅰ）依题意1,22n n =+得2n =； （Ⅱ）①记标号为0的小球为,s 标号为1的小球为,t 标号为2的小球为,,k h 则取出的两个小球有12种可能：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),s t s k s h t s t k t h k s k t k h h s h t h k其中，满足"2"a b +=的有4种：(,),(,),(,),(,),s k s h k s h s ∴所求的概率为41()123P A ==； ②记“222()x y a b +>-恒成立”为事件B ， 则事件B 等价于“224x y +>恒成立”，(,)x y 可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为： {(,)|02,02,,},x y x y x y R Ω=≤≤≤≤∈而事件B 构成的区域为22{(,)|4,(,)}.B x y x y x y =+>∈Ω ∴所求概率为()14P B π=-．17．（Ⅰ）证明：取PC 的中点为,O 连接,,OE OF则1//,,2OF DC OF DC =又E 是AB 的中点， ∴在矩形ABCD 中，//,AE DC 且1,2AE DC =∴//OF AE 且,OF AE = ∴四边形AEOF 是平行四边形，∴//AF OE ，又OE ⊂平面,PEC AF ⊄平面,PEC ∴//AF 面PEC ；（Ⅱ）连接,AC ∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PCA ∠是直线PC 与平面ABCD 所成的角，在RT PAC 中，sin PA PCA PC ==，即直线PC 与平面ABCD （Ⅲ）做AM CE ⊥交CE 的延长线于点,M 连接,PM 易知,PM CM ⊥ ∴PMA ∠是二面角P EC D --的平面角，由AMECBE 可得，AE CB AM CE ⋅==tan PAPMA AM∠==，即二面角P EC D --．18．解：（Ⅰ）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==-；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，212n nn b -=， 由错位相减法得：2332n nn T +=-；（Ⅲ）由题意得12111)(1)(1)np a a a≤+++对任意n ∈N *恒成立， 设12111())(1)(1)nF n a a a =+++， 则)(1)(1)())(1)a F n F n a ++=+1==>显然()0F n >，∴(1)()Fn F n +>，即()F n 随着n 的增大而增大，∴()F n 的最小值是(1)F =p ≤， ∴最大实数p 19．解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为 22221x y ab+= (a ＞b ＞0)，则22211,2c a a b =+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ， 故2,1.a b ==⎧⎨⎩，∴椭圆方程为2214x y +=；(Ⅱ) 解：由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为 y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由22,440,y kx m x y =++-=⎧⎨⎩ 消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64 k 2b 2－16(1＋4k 2b 2)(b 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且122814km x x k -+=+，21224(1)14m x x k -=+，可得21m ≠，故 y 1 y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， ∵直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， ∴1212y y x x ⋅＝22121212()k x x km x x m x x +++＝k 2，即222814k m k-+＋m 2＝0，又∵m ≠0，∴ k 2＝14，即 k ＝12±， 设d 为点O 到直线l 的距离， 则 S △OPQ ＝12| PQ | d ＝12| x 1－x 2 | | m |，由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得： 0＜m 2＜2 且 m 2≠1，∴S △OPQ 的取值范围为{}|01m m <<．20．解：（Ⅰ）12n m =-时， ()(1)()22x n nT x e x n R =+-∈，∴()(1)2x n T x e x '=+，①当0n =时，()0,xT x e '=>()T x 在[0,1]上为增函数，则此时()(1)n T e ϕ==；②当0n >时，2()(),2x n T x e x n '=⋅+()T x 在2(,)n-+∞上为增函数， 故()T x 在[0,1]上为增函数，此时()(1)n T e ϕ==；③当0n <时，2()()2x n T x e x n'=⋅+，()T x 在2(,)n -∞-上为增函数，在2(,)n -+∞上为减函数，若201,n <-<即2n <-时，故()T x 在2[0,]n -上为增函数，在2[,1]n-上为减函数，此时2222()()(1)nn n T e m e n nϕ--=-=-+=-⋅，若21,n-≥即20n -≤<时，()T x 在[0,1]上为增函数，则此时()(1)n T e ϕ==；∴综上所述：22,2,(), 2.ne n n n e n ϕ-⎧-<-⎪=⎨⎪≥-⎩；（Ⅱ）()()()2,x F x f x g x e x m =-=--()2,x F x e '=-∴()F x 在(0,ln 2)上单调递减；在(ln 2,)+∞上单调递增； ∴()2xF x e x m =--在[0,2]上恰有两个相异实根，2(0)10(ln 2)22ln 2022ln 21(2)40F m F m m F e m ⎧=-≥⎪⇔=--<⇔-<≤⎨⎪=--≥⎩， ∴实数m 的取值范围是{}|22ln 21m m -<≤； （Ⅲ）由题设：15,()()()022x n x R p x f x g x e x ∀∈=-=-+>， （*） ∵()2x n p x e '=-故()p x 在(,ln )2n -∞—上单调递减；在(ln ,)2n+∞上单调递增， ∴（*）min 151()(ln )ln (ln 15)02222222n n n n np x p n n ⇔==-+=-+>，设()ln 15(ln ln 2)152x h x x x x x x =-+=--+，则()1ln 1ln 22x xh x '=--=-，∴()h x 在(0,2)上单调递增；在(2,)+∞上单调递减，而22222(2)22ln 151520h e e e e e =-+=->，且215515(15)1515ln1515(2ln )15(ln ln )0222h e =-+=-=-<， 故存在20(2,15)x e ∈使0()0h x =，且0[2,)x x ∈时()0,h x >0(,)x x ∈+∞时()0,h x < 又∵1(1)16ln0,2h =->21572e <<，∴*n N ∈时使()f x 的图象恒在()g x 图象的上方的最大正整数14n =．。
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2015届高三预测金卷（天津卷）数学文一、 选择题：(每题5分，共40分)1.i 是虚数单位，复数534ii+-=（ ）A ．1-i B.-1+ i C.1+ i D.-1-i2.设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为( )A.-5 B.-4 C.-2 D.33.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A.8B.18C.26D.804.已知命题P:“1xy>”,命题q:“0x y >>”,则 p 是q 的( )（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.在下列区间中,函数()=+4-3x f x e x 的零点所在的区间为（ ）A ．(1-4,0)B ．(0,14) C ．(14,12) D ．(12,34) 6.将函数sin y x x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图像关于y 轴对称,则a 的最小值为( )A ．π6B ．π2C ．7π6D ．π37.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数,且在]0,(-∞上是增函数,设)2.0(),3(log )7(log 6.0214f c f b f a ===,则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ． c a b <<8.已知()()[]22,0,1,132,0x x f x f x ax x x x ⎧-≤=≥∈-⎨->⎩若在上恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][)10,-∞-⋃+∞B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．),1[]0,(+∞⋃-∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.若集合{}1≤=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=11x x A ,则B A ⋂=_____________.10.如图,PA 是圆O 的切线,切点为A ,2PA =,AC 是圆O 的直径,PC 与圆O 交于点B ,1PB =,则圆O 的半径R 等于________.11 ．某几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体积为 .12.已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>半焦距为c ，过焦点且斜率为1的直线与双曲线C 的左右两支各有一个交点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线C 截2(e 为双曲线C 的离心率），则e 的值为 13.函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则+m 1n2的最小值为 。
14.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线l 过点M 交边AB 于点P ,交边AC 于 点Q ,则BQ CP ⋅的最大值为 . 三.解答题：本大题共6小题，共80分。
15.编号为1216,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（Ⅱ）从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人， （i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii ）求这2人得分之和大于50的概率． 16.ABC ∆中角,,A B C 所对的边之长依次为,,a b c ,且cos 5A =,2225().a b c +-= (Ⅰ)求cos 2C 和角B 的值;(Ⅱ)若1,a c -求ABC ∆的面积.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，,1,2AD PD BC PC PD CD ⊥====（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； （II ）证明：平面PDC ⊥平面ABCD ；（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。
18.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且*2,2N n n n S n ∈+=,数列}{n b 满足3l o g 42+=n n b a ,*N n ∈. (1)求n n b a ,;(2)求数列}{n n b a ⋅的前n 项和n T .19.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。
点(,)P a b 满足212||||.PF F F = （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆22(1)(16x y ++=相交于M ，N 两点，且5||||8MN AB =，求椭圆的方程。
20.已知函数3211()32m f x x x +=-,1()3g x mx =-,m 是实数. (I)若()f x 在1x =处取得极大值,求m 的值;(II)若()f x 在区间(2,)+∞为增函数,求m 的取值范围;(III)在(II)的条件下,函数()()()h x f x g x =-有三个零点,求m 的取值范围.数学文科试卷答案一、1-4 C B C B 5-8 C A D B二、9. )0,1[- 10. 3 11.π3108+ 12. 3 13.8 14. 229-三、15 （Ⅰ）解：4，6，6（Ⅱ）（i ）解：得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种。
（ii ）解：“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有：454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种。
所以51().153P B == 16. 解:(I)由cosA =,0A π<<,得sin A =由2225()a b c +-=得cosC ∴=, 0C π<<,sinC ∴=24cos 22cos 15C C ∴=-=,∴()cos cos cos sin sin A C A C A C +=-=2=∴()cos cos B A C =-+=, ∴0B π<<,∴135B =︒(II)应用正弦定理sin sin a cA C=,得a =,由条件1,a c -得1a c == 111sin 1222S ac B === 17.【解析】（I ）//AD BC ⇒PAD ∠是PA 与BC 所成角 在ADP ∆中，,1,2AD PD AD BC PD ⊥=== tan 2PDPAD AD∠==异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2 （II ）,,AD PD AD DC PD DC D AD ⊥⊥=⇒⊥面PDCAD ⊂面ABCD ∴平面PDC ⊥平面ABCD （III ）过点P 作PE CD ⊥于点E ，连接BE平面PDC ⊥平面ABCD PE ⇒⊥面ABCD PBE ⇒∠是直线PB 与平面ABCD 所成角2,1201CD PD PC PDC PE DE ︒===∠=⇒=在Rt BCE ∆中，BE PB ==在Rt BPE ∆中，sin PE PBE PB∠=直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为1318. (1)n n S n n +=≥22,2 )1()1(221-+-=-n n S n 14-=n a n (*)1=n 时 311==a S 满足(*)14-=∴n a n 143log 42-=+=n b a n n 1log 2-=n b n 12-=∴n n b (2)12)14(--=⋅n n n n b a12102)14(2112723-⨯-++⨯+⨯+⨯=∴n n n T n n n n n T 2)14(2)54(27232121-+⨯-++⨯+⨯=- n n n n T 2)14(242424231210--⨯++⨯+⨯+⨯=-- n n n 2)14()222(43121--++++=-n n n 2)14(21)21(2431----⋅+=-n n n 2)14(8232---+=+52)45(--=n n 52)54(+-=∴n n n T19.（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，2c =，整理得2210,1c cc a aa ⎛⎫+-==- ⎪⎝⎭得（舍）或11,.22c e a ==所以（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,a c b ==，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直线FF 2的方程为).y x c =-A ，B 两点的坐标满足方程组2223412,().x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得2580x c x -=。
解得1280,5x x c ==，得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设85A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,)B，所以16||.5AB c ==于是5||||2.8M N A B c ==圆心(13-到直线PF 2的距离d ==因为222||42MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以223(2)16.4c c ++=整理得2712520c c +-=，得267c =-（舍），或 2.c =所以椭圆方程为221.1612x y +=20. (I)解:2()(1)f x x m x '=-+由()f x 在1x =处取得极大值,得(1)1(1)0f m '=-+=, 所以0m =(适合题意)(II)2()(1)f x x m x '=-+,因为()f x 在区间(2,)+∞为增函数,所以2(1)(1)0x m x x x m -+=--≥在区间(2,)+∞恒成立, 所以10x m --≥恒成立,即1m x ≤-恒成立 由于2x >,得1m ≤.m 的取值范围是1m ≤ (III)()()()h x f x g x =-321132m x x +=-13mx +-,故2()(1)(1)()0h x x m x m x x m '=-++=--=,得x m =或1x = 当1m =时,2()(1)0h x x '=-≥,()h x 在R 上是增函数,显然不合题意 当1m <时,()h x 、()h x '随x 的变化情况如下表:要使()f x g x -有三个零点,故需321110623102m m m ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩2(1)(22)01m m m m ⎧---<⇔⎨<⎩,解得1m <所以m 的取值范围是1m <。