湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学上册《二次函数》小结与复习题(无答案) 新人教版
(完整版)初三数学九上二次函数所有知识点总结和常考题型练习题,推荐文档
升高度 s(m)与抛出时间 t(s)满足： 运动过程中最高点距地面_________m.
(其中 g 是常数，通常取 10m/s2).若 v0=10m/s，则该物体在
17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线 x=2，且与 y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为
______________.
6. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则点 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
在第___象限( )
7. 如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点 P 的横坐标是 4，图象交 x 轴 于点 A(m，0)和点 B，且 m>4，那么 AB 的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx 的图象只可能 是( )
x 轴的上方，则 a 的值为（ ）
A. 1
B. －1
C. 2
D. －2
12. 已知二次函数
的图象如图所示，记
，
．则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．m、n 的大小关系不能确定
二、填空题
13. 二次函数 y=x2-2x+1 的对称轴方程是______________.
14.
如果将抛物线 y＝x2＋2x－1 向上平移，使它经过点 A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是
2a 时，y 随
(3)当 x h 时，
(3)当 x＜h 时，
x 的增大而减小；当
x 的增大而增大；当
y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 减小；当 x＞h 增大；当 x＞h
初中数学九年级二次函数复习与小结(1)
数学是最宝贵的研究精神之一。
——华罗庚
“引导学生读懂数学书” 课题研究成果配套课件
第25课时 二次函数 复习与小结（1） 中洲镇泰来学校 谭雪梅
一、基础知识
知识点一 二次函数概念
1.二次函数的概念 一般地，形如 y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠ 0 ）
C. D.
2.下列函yy数(xx中2，2)(0哪x 些√2)是 (二x 次1)2函数？
x （1） x x （2）y
x2
1 x
y x2 2x 3
一、基础知识
知识点二
二次函数 y ax2 bx c 的性质
a0
向上
1.当
时x ， 抛2ba物(线 开b 口, 4ac
的函数，叫做y 二 a次x2 函 b数x 。c
2. 二次函数
的结构特征：
⑴，bx等的号最左高边次是数函是数a2，．右常边数是项关于自变量x的二次式 ⑵ a,b,c 是常数， 是二次项系数，
是一次项系数，c是
．
练一练
1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变
量)y(=A1 x2)
A. 8 B.
A. y 2x2 1 B.
y 2x2 1
二、强化训练
3.已知二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的顶点坐标
（ 关-于1的，一-3元.2二）次及方部程分的图两象个(根如分图别),是由（图象D可）知
A．-1.3 B.-2.3 C. -0.3 D.-3.3
二、强化训练 y ax2 bx c
5. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四c象
2019-2020年九年级上册数学二次函数知识点分类总结及练习题(无答案).docx
A.4
个
B.3个
C.2个
D.1个
2
c
7.在同一坐标系中，函数
y= ax +c
与y=
x(a<c)图象可能是图所示的(
)
A
B
C
D
8.反比例函数
y=
k
x
的图象在一、三象限，则二次函数
22y＝kx-kx-1c
的图象大致为图中的
（）
A
B
C
D
9.反比例函数
y=
k
x
中，当
x> 0
时，y
随
x
的增大而增大，则二次函数
元即可获得最大利润？最大利润是多少元？
函数y=a(x－h)2的图象与性质
1．填表：
抛物线开口方向对称轴顶点坐标
y
3 x
2
y
1
3
x
2
2
2
2．已知函数y=2x2,y=2(x－4)2，和y=2(x+1)2。
（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。
（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x－4)2和y=2(x+1)2？
1
a=，OA＝OC，试求该抛物线的解
2
析式。
二次函数的增减性
1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而；当x<1时，y随x的增大
而；当x=1时，函数有最值是。
2.已知函数y=4x2－mx+5，当x>－2时,y随x的增大而增大；当x<－2时，y随x的增大
而减少；则x＝1
时,y的值为
。
九年级数学-《二次函数》小结与复习总结学案
九年级数学《二次函数》小结与复习教学目标：1、理解二次函数的概念，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k的图象；2、会用待定系数法求二次函数的解析式，能较熟练地利用函数的性质解决函数与方程、不等式以及几何图形等知识相结合的综合题；3、掌握二次函数模型的建立，能运用二次函数的知识解决实际问题。
教学难点和重点：重点：1、求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数图象的性质。
2、用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
3、利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。
难点：1、二次函数图象的平移。
2、会运用二次函数知识解决有关综合问题。
学习方法：在理解的基础上掌握二次函数的知识，多思考，灵活运用所学知识。
教学过程：二次函数复习提纲知识要点梳理知识点一：二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.知识点二：二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0)(轴) (0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则. 4.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.) (3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.(由此得根与系数的关系！)5．二次函数图象的平移规律任意抛物线y a x h k=-+()2可以由抛物线y ax=2经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学上册《二次函数》小结与复习题(无答案) 新人教版
湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学上册《二次函数》小结与复习新人教版一、填空题1．分别用定长为L 的线段围成矩形和圆,_________的面积大。
2．已知矩形的周长为36cm ，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽分别为_______时圆柱的侧面积最大。
3．在周长为定值p 的扇形中，半径是 时扇形的面积最大。
4．在菱形ABCD 中，∠A=30，若菱形边长xcm ，菱形面积ycm 2则y 与x 的关系是_________.二、解答题5. 某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y （万件）与销售单价x （元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z （万元）（不含进价）与年销售量y （万件）存在函数关系1042.5z y =+．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品年获利w （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式；（年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额）当销售单价x 为何值时，年获利最大？最大值是多少？（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？6．某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A B，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？7.光明公司生产某种产品,每件成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件.为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x( 万元)时,产品的年销售量是原销售量的y倍,且y=277101010xx-++. 如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费:(1)试写出年利润s(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大?最大年利润是多少万元?(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,, 问有几种符合要求的方式?写出每种投资方式所选的项目.8．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度20AB=米，顶点M距水面6米（即6MO=米），小孔顶点N距水面4.5米（即 4.5NC=米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．9．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s•的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．（1）设运动开始后第ts时，五边形APQCD的面积是Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？EMF NCBDOAyx正常水。
湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学上册《一元二次
湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学上册复习资料《一元二次方程》练习题新人教版一、填空题：1、（1）方程的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是____；（2）方程化为一般式是，二次项系数是_____________，一次项系数是_____________，常数项是_____________；2、若方程的一个根是1，则m=____________；3、方程，当a ________时是一元二次方程；4、若一个一元二次方程的两根为2，–3，则这个方程为________________；5、若方程的一个解是2，另一个解是方程的正数根，则a=________；6、若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______；7、如果和是一元二次方程的两个根，则这个一元二次方程是__________；8、若两个数之和为9，两数之积为8，则着两个数是____________________；9、已知方程的两根是，则a=______ ,c=______；10、若关于x的方程是一元二次方程，则m=____，方程根是_____；11、若一元二次方程4 有两个不等实数根，则k的取值范围是______；12、如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是_______________；13、；；14、一个三角形有两边的长分别是1和2，第三边的数值是的根，则这个三角形的周长为；15、用22米长的铁丝，折成一个面积为矩形，这个矩形的长是；16、方程的根是；17、一元二次方程和的公共解是；18、如果，则；19、某商品标价1375元，打8折售出，仍可获利10%，则该商品的进价是元；20、若一个三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为_______；21、某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程：_____________；22、若方程的两根是、，则代数式的值是；23、观察下列等式：，，，这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，试用关于n的等式表示出你所发现的规律________________________；24、观察下列一组图形，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为；25、观察下列等式：，用含自然数的等式表示这种规律为；26、甲、乙两人同解一个一元二次方程，甲看错常数项，解得两根为8和2，乙看错一次项系数，解得两根为-9和-1，则这个方程是；二、选择题：1、下列方程中，一元二次方程共有---------------------------------------------------------------（），，，A、4个B、3个C、2个D、1个2、方程化为形式后，a、b、c的值为---------------（）A、1，–2，–15B、1，–2，–15C、1，2，–15D、–1，2，–153、已知方程的两根为x1、、x2，下列根与系数关系的等式中，正确的是（）A、 B、C、 D、4、以和为根的一元二次方程是-----------------------------------------------（）A、 B、 C、 D、5、如果一元二次方程的两个根是x1，x2，那么二次三项式分解因式的结果是--------------------------------------------------------------------------------------（）A、 B、C、 D、6、方程的根是------------------------------------------------------------------（）A、 B、C、 D、7、已知直角三角形的两条直角边分别是方程的两个根，则斜边长为-（）A、 B、 C、5 D、8、在实数范围内，可以分解为-----------------------------------------------------（）A、 B、C、 D、9、若方程的一个根，则另一根及m的值分别是-------（）A、 B、 C、 D、10、已知方程的两个根是互为相反数，则m的值是-----------（）A、 B、 C、 D、11、方程的实数根的个数是------------------------------------------------------------------- ( )A、1个B、2 个C、0 个D、以上答案都不对12、关于x的方程有一根为零，那么的值等于--------------------（）A、0或2B、0或―2C、―2D、2或113、如果，则方程 (a≠0)必有一根是-------------------------（）A、 1B、C、±1D、 014、方程有实数根，那么k的取值范围是---------------------------------------（）A、 B、且 C、 D、15、方程的根是-----------------------------------------------------------------( )A、 B、 C、 D、16、等腰三角形的两边的长是方程的两个根，则此三角形的周长为-（）A、27B、33C、27和33D、以上都不对17、关于的方程是一元二次方程的条件是------------------（）A、 B、 C、且 D、或18、下列说法正确的是----------------------------------------------------------------------------------（）A、方程是关于的一元二次方程B、方程的常数项是4C、若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根D、当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解19、用配方法解下列方程时，配方错误的是---------------------------------------------------------（）A、化为B、化为C、化为D、化为20、如代数式的值为，则代数式的值是----------------------------（）A、3B、23C、3或23D、无法确定21、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番。
湖南省宁乡县三仙坳初级中学中考数学第一轮复习 专题一 二次函数基本性质(无答案)
专题一二次函数基本性质
函数形式开口对称轴顶点最值
与X轴
交点
与Y轴
交点
直线
直线
【能力训练】
1、抛物线y=（x—l）2 +2的对称轴是直线（）
A．x= －1 B． x=1 C．x=2 D． x=2
2、抛物线y=x2－2x＋3的对称轴是直线（）
A．x =2 B．x = －2 C．x = －1 D．x =1
3、抛物线y = x2－x的顶点坐标是（）
4、抛物线y=(x－1)2+3的顶点坐标是_______．
抛物线y=－（x+2）2＋l的顶点坐标是_____
5、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上。
＿＿＿＿＿＿。
6、如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，－3），则此二次函数有（）
A．最大值1 B．最小值－3 C．最大值－3 D．最小值1
7、二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为_________.
8、二次函数y=x2+2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（）
A．3 B．5 C．－3和5 D．3和－5
9、抛物线y=x2+4x —3，交x轴于A(x1,0) B(x2,0)两点，其中x l<x2．求点A、B；
10、如图，在某次投篮中球的运动路线是抛物线
的一部分，若命中篮圈中心，求他与篮底的距离。
1。
湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学上册《二次函数》练习(无答案) 新人教版
湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学上册《二次函数》练习 新人教版1. 把二次函数842+-=x x y 化成顶点式的形式是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ； 2. 若将二次函数y =x 2-2x +3化成顶点式的形式是 .3. 抛物线4412-+-=x x y 的对称轴是 . 4. 函数25+-=x y 与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ，与两坐标轴围成的三角形面积是 ； 5. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在第（ ）象限6. 二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是 。
7. 抛物线322--=x x y 与x 轴分别交A 、B 两点，则AB 的长为________． 8. 把函数22x y =的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是 ；9. 要得到二次函数222y x x =-+-图象，需将2y x =-图象 。
10. 抛物线的对称轴是2=x ，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式；11. 已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）和B （3，0）两点，且与y 轴交于点C （0，3）。
（1）求抛物线解析式；（2）抛物线对称轴方程和顶点M 坐标；（3）求四边形ABMC 的面积。
12. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图（4），求抛物线的解析式13. 抛物线2y x bx c =-++的图象如图614. 阅读材料，解答问题．例 用图象法解一元二次不等式：2230x x -->．x解：设223y x x =--，则y 是x 的二次函数．10a =>∴，抛物线开口向上．又当0y =时，2230x x --=，解得1213x x =-=，．∴由此得抛物线223y x x =--的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当1x <-或3x >时，0y >．∴2230x x -->的解集是：1x <-或3x >．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：2230x x --<的解集是____________； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：210x ->．15. 已知一个二次函数的图象经过A(-2,25)、B(0,23-)和C(1,-2)三点。
九年级数学《二次函数》小结与复习
《二次函数》小结与复习教学目标：会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。
重点难点：重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。
教学过程：一、例题精析，强化练习，剖析知识点用待定系数法确定二次函数解析式．例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。
(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。
(2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。
(3)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x＝1为对称轴。
(4)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－3/2x＋3的图象与x轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a(x－h)2＋k的形式。
学生活动：学生小组讨论，题目中的四个小题应选择什么样的函数解析式?并让学生阐述解题方法。
教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠0)(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k (a≠0) (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0)当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx ＋c形式。
当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。
当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)强化练习：已知二次函数的图象过点A(1，0)和B(2，1)，且与y轴交点纵坐标为m。
(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。
二、知识点串联，综合应用例：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点B、C。
九年级数学上册：22二次函数复习与小结2
学习目标:1、 利用二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与性质解决简单的实际问题。
2、 掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．学习重点：应用二次函数解决几何图形有关的最值问题。
学习难点：函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得。
学习过程：类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式为．【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标.类型二: 根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．已知一次函数y ax c =+与二次函数2+y ax bx c =+，它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）类型三: 数形结合3．如图所示是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式的解集是________．类型四: 函数与方程4．已知抛物线与x 轴没有交点． ①求c 的取值范围； ②试确定直线经过的象限，并说明理由．【变式1】无论x 为何实数，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．a ＞0 ⊿＞0B ．a ＜0 ⊿＜0C ．a ＜0 ⊿＞0D ．a ＞0 ⊿＜011,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭2y ax bx c =++20ax bx c ++>c x x y ++=2211+=cx y【变式2】对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2-mx+m-2(m为实数)的零点的个数是( )A．1 B．2 C．0 D．不能确定类型五: 分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数y=x2-2ax+b的图象上．(1)用含a的代数式表示b；(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．类型六: 二次函数与实际问题6．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足图1所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增大，但每台彩电的收益z(元)会相应降低且z与x之间也大致满足图2所示的一次函数关系．(1)在政府出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元?(2)在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；(3)要使该商场销售彩电的总收益ω(元)最大，政府应将每台补贴款额x定为多少?并求出总收益ω的最大值．四、谈一谈你今天的收获？方法与规律：______________________________________________________________；情感与体验：______________________________________________________________；反思与困惑：______________________________________________________________.附件1：律师事务所反盗版维权声明附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）学校名录参见：h ttp://w /wxt/list.aspx?ClassID=3060。
新人版九年级上二次函数知识点总结和练习
新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习知识点一：二次函数的定义1．二次函数的定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数． 其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．知识点二：二次函数的图象与性质⇒2. 二次函数()2y a x h k =-+的图象与性质（1）二次函数基本形式2y ax =的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小（2）2y ax c =+的图象与性质：上加下减（3）()2y a x h =-的图象与性质：左加右减（4）二次函数()2y a x h k =-+的图象与性质3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． （2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．4. 二次函数常见方法指导（1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移 平移步骤：① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 可以由抛物线2ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.③交点式：.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. （5）抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. ②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故 如果0=b 时，对称轴为y 轴；如果0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； 如果0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置当0=x 时，c y =，所以抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ），故 如果0=c ，抛物线经过原点； 如果0>c ,与y 轴交于正半轴； 如果0<c ,与y 轴交于负半轴.知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数c bx ax y ++=2，当0y =时，得到一元二次方程20ax bx c ++=，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,)c .（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121知识点四：利用二次函数解决实际问题7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.新人教版九年级上二次函数基础练习题1．与抛物线53212-+-=x x y 的形状大小相同，开口方向相反的抛物线是（ ） A ．2523412-+-=x x y B ．87212+--=x x yC ．106212++=x x y D ．532-+-=x x y2．二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）A ．x ＝4B ． x ＝3C ． x ＝－5D ． x ＝－1． 3．抛物线122+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0B ．1C ．－1D ．±14．已知抛物线2y ax x c =++与x 轴一个交点的横坐标是-1，那么a+c =（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．25．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（ ） A ．2)1(-=x yB ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2++=x yD ．2)1(2-+=x y6．直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）A ．(0，0)B ．(1，－2)C ．(0，－1)D ．(－2，1)7．函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根8．已知二次函数y=x 2+mx+m-5，则抛物线与x 轴交点个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．不能确定，与m 取何值有关9．函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．3<kB ．03≠<k k 且C ．3≤kD ．03≠≤k k 且10．二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图所示，则abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．已知正比例函数y kx =的图象在二、四象限，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）12．抛物线2y ax bx c =++和直线y ax b =+在同一坐标系的图象为（ ）13．二次函数245y x mx =-+，当2x <-时，y 随x 的增大而减小；当2x >-时，y 随x 的增大而增大；则当x =1时，y 的值为（ ） A ．7-B ．1C ．17D ．2514．已知函数y=x 2-2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ）A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥315．已知抛物线342++=x x y ，请回答以下问题：⑴ 它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ．⑵ 图象与x 轴的交点为 ，与y 轴的交点为 ．16．抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 0 (填“>”,“<”或“=”) ．17．抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位得到．18．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ． 19．对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－6）的抛物线的解析式为 ．20．抛物线1422++-=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ．21．抛物线()()4222-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则=m ．22．抛物线m x x y +--=22，若其顶点在x 轴上，则=m ．23．抛物线2y ax bx c =++如右图所示，其对称轴为12x =-，设抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B ，其中A 的横坐标为12，则B 的横坐标为 ；20ax bx c ++=的两个根为 ．24．二次函数c bx ax y ++=2的值永远为负值的条件是a 0，ac b 42- 0．25．一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线22y x =-相同，这个函数解析式为____________．26．二次函数22y x x =-, 当x _______ 时, y 随x 增大而增大，当x _________时, y 随x 增大而减小．27．如右图是2y ax bx c =++的图象，则(填“>”,“<”或“=”)a ______ 0 ,b ______ 0 ,c ______ 0 ,a+b+c ______ 0 , a-b+c _______0 , b 2-4ac ________ 0 , 2a+b _______028．已知2y ax bx c =++中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）, B （1-，0），则ax 2+bx+c>0的解集是____________; ax 2+bx+c<0的解集是____________．29．已知二次函数2y ax bx c =++如右图所示，则其对称轴是____________；如果点12(2,),(3,)A y B y -在抛物线上，则1y __________2y (填“>”,“<”或“=”)．30．已知二次函数2y x bx c =-++过四个点12(3,5),(5,5),(2,),(3,)A B C y D y ----，则1y __________2y (填“>”,“<”或“=”)．31．已知抛物线c x ax y ++=22与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M （c a ,）在第 象限．32． 已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则c = ．33．已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示,则当4x =时，y = ．34．如图已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过A （-1，-1），B （0，2），C （1，3）．（1） 求二次函数的表达式．（2）画出二次函数的草图．35．已知抛物线243y x x =-+-（1）试说明该抛物线与x 轴一定有两个交点．（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B(A 在B 的左边)，且它的顶点为P ，求A ，B ，P 三点的坐标以及△ABP 的面积．（3）将此抛物线向下平移一个单位，请写出平移后图象所对应的函数表达式．（4）在如图所示的直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线243y x x =-+-，并根据图象写出当x 取何值时，函数值大于零．36．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．37．在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成，若设花园靠墙的一边长为x(m)，花园的面积为y(m 2)．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）满足条件的花园面积能达到200m 2吗？若能，求出此时x 的值，若不能，说明理由．（3）根据(1)中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？38．已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：（1）它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ．（2）图象与x 轴的交点个数为 ，与y 轴的交点坐标为 ．（3）求出二次函数的表达式，画出二次函数的精确图（题目已给出列表）．（4）点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在函数的图象上，则当112,x <<234x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是（ ）A ．12y y >B ． 12y y <C ． 12y y ≥D ． 12y y ≤（5）当1y <时，x 的取值范围是 ．39．抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a +b +c ＜0；③c ﹣a =2；④方程ax 2+bx +c ﹣2=0有两个相等的实数根；⑤抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间．其中正确结论的序号是 ．40．如图，在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++的图象与两坐标轴分别交于A（－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数y mx n =+的图象与抛物线交于B 、C 两点．⑴一次函数、二次函数的解析式分别为 ．⑵当自变量x 时，两函数的函数值都随x 增大而增大．⑶当自变量 时，一次函数值大于二次函数值（即2ax bx c mx n ++<+）． ⑷方程20ax bx c mx n ++--=有_____个根．。
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一、填空题
1．分别用定长为L 的线段围成矩形和圆,_________的面积大。
2．已知矩形的周长为36cm ，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽分别为_______时圆柱的侧面积最大。
3．在周长为定值p 的扇形中，半径是 时扇形的面积最大。
4．在菱形ABCD 中，∠A=30，若菱形边长xcm ，菱形面积ycm 2则y 与x 的关系是_________.
二、解答题
5. 某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y （万件）与销售单价x （元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z （万元）（不含进价）与年销售量y （万件）存在函数关系1042.5z y =+．
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）试写出该公司销售该种产品年获利w （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式；（年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额）当销售单价x 为何值时，年获利最大？最大值是多少？
（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
6．某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．
信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在
二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元
时，可获利润3.2万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果企业同时对A
B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？
１
3 5 y （万
7.光明公司生产某种产品,每件成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件.为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x( 万元)时,产
品的年销售量是原销售量的y 倍,且y=277101010
x x -++. 如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费:
(1)试写出年利润s(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大?最大年利润是多少万元?
(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投资金额和预计年收益如下表:
项目 A B C D E F
每股(万元) 5 2 6 4 6 8
收益(万元) 0.55 0.4 0.6 0.5 0.9 1
如果每个项目只能投一股,且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元, 问有几种符合要求的方式?写出每种投资方式所选的项目.
8． 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度20AB =米，顶点M 距水面6米（即6MO =米），小孔顶点N 距水面4.5米（即 4.5NC =米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF ．
9．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/s•的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．
（1）设运动开始后第ts 时，五边形APQCD 的面积是Scm 2，写出S 与t 的函数关系式，
并指出自变量t 的取值范围；
（2）t 为何值时，S 最小？最小值是多少？
E M
F N
C B
D O A y x 正常水。