《复变函数讲义》主要内容浏览式复习

( 2 ) |z 1 z 2 | |z |1 | |z 2 || z 2
( 3 ) |z 1 z 2 | |z 1 | |z 2 | 0
( 4 ) |z 1 z 2 | |z |1 | |z 2 ||
( 5 ) |R z | |z e ||, Iz m | |z |
(6)| z|2zz
z2
z1 z2 z2
((a a 2 1 ii1 2 b b ))a 1 a a 2 2 2 b b 1 2 2 b 2 ia 2 a b 1 2 2 a b 1 2 b 22)
复平面: C R 2 :z x i y ( x ,y )
复平面:
模： |z| x2y2
(x, y)
非零复数的辐角：
主值argz=0，-<argz 一般Argz argz2k
=0 2k
会用arctg y表示argz(关键是记得两者的值域) x
复数的共轭： zxiy
复数的三角表示:
z |z|(cA o rs is gi A z n)rg
复数加、减法的几 何表示如下图：
z2
z2 0
z1 z2
z2 z1 z1
z1 z2 z2
基本不等式:
( 1 ) 、 |z 1 z 2 | |z 1 | |z 2 | z 2
注1、实初等函数在其有定义的地方连续。
注解：
1、四则运算：保持加、减乘除（分母不等 于零）；
2、复合运算；
3、关于实变连续的函数的基本性质也可以 推广过来：如一致连续性、闭区域上连续 函数的基本性质（一致连续性、有界性、 取到极大模和极小模等）。
4、同样我们也可以定义非正常极限。
复变函数极限与实值函数极限
设函数f (z) u(x, y)iv(x, y), Au0 iv0, z0 x0 iy0,则zlimz0 f (z) A 的充要条件是
lim
xx0,yy0
u(x,
y)
u0
lim
xx0,yy0
v(x,
y)
v0
注解：
1、几何意义：
2、与重极限的关系：
3、四则运算：保持加、减乘除（分母不等 于零）
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《复变函数》主要内容浏览式复习
第一章、复数与复变函数
1.1 复数
复数:
xRz,e yIm z
复数相等是指?虚数? 纯虚数?
复数的四则运算:
( a 1 i 1 ) b ( a 2 i 2 ) b ( a 1 a 2 ) i ( b 1 b 2 )
( a 1 i 1 ) a 2 b i ( 2 ) b ( a 1 a 2 b 1 b 2 ) i ( a 1 b 2 a 2 b 1 )
a a
a a ( a 0 )
a (a0);a0(a )
0
这些运算无意义： ,0 , / ,0 /0 .
第一章 复数与复变函数
1.2 复变函数
复变函数的定义:
注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数： 若记 z=x+iy， w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)， 则f(z)等价于两个二元实变函数u(x,y)和v(x,y) 。
表示幅角。
x
复数的乘幂：
zn |z|n(cn oA s risginn zA)r
zn | z|n [cos(nArg) z isin(nArg)]z
(c o iss i)n n cn o s isn in ,
复数的乘幂：
z1 nn|z|[c1 oAsr() g iszi1 nA(r)g ]
复球面与无穷大:
无穷远点:
对应于球极射影为N，我们引入一个新的非
正常复数无穷远点，
称 C{}为扩充复平面，记为 C 。
u N(0,0,1)
y A'(x',y',u')
x
A(x,y,0)
O
S(0,0,1)
无穷远点:
关于无穷远点，我们规定其实部、虚部 、辐角无意义，模等于：
||
它和有限复数的基本运算为：
复变函数连续性的定义
如果 limf(z) zz0
f
(z0)成立 , 则称
f(z)在z0处连续 如。 果 f(z)在区D域 中每
一点连续， f(z)则 在D称 内连续。
复变函数连续性 与实值函数连续性的关系
函数f (z) u(x, y) iv(x, y)
在z0 x0 iy0处连续的充要条件是实 变函数u(x, y)与v(x, y)在(x0, y0)处连 续.
例5、求所有值： 4 (1i)
解：由于
1i2(cosisin)
44
所以有
4 ( 1 i) 8 2 [c 1 (o 2 k s ) is1 i (n 2 k)
4 4
4 4
4( 1 i) 82 [c o ks ) i( sin k) (]
16 2 16 2
k0,1,2,3 有四个根。
三角表示的乘法：
|z1z2| |z1||z2|
A(z r 1 z2 g ) A1 r A gz 2 rgz
三角表示的乘法：
|z 1 /z 2| |z 1|/|z 2|
A(z r 1/z g 2 ) A1 r A g2 z r
欧拉公式；
指数表示式；
三种表示式的互化:关键是会用 arctg y
z1 z1
z1 z2
例1 试用复数表示圆的方程:
a (x 2 y 2 ) b x c y d 0
得 a z z ： z z d 0
其中 ， 1(bic).
2
例2 设 z 1 、 z 2 是两个复数，证明：
z 1 z 2 z 1 z 2 ,z 1 z 2 z 1 z 2
z1 z1
函数的几何意义:
函数f也称为从E到C上的一个映射或映照。
函数的几何意义:
单射，双射，一一对应，反函数。
复变函数极限的定义
如果存在一个复数A(A )，使得 0， 0 对满足0| z z0 |(0 )的一切z，都有
| f (ຫໍສະໝຸດ Baidu) A|，
则称 A 为函数 f ( z ) 当 z 趋于 z 0 时的极限。 记 z l z 0 if作 ( m z ) A 或 f(z ) A ( 当 z z 0 )
n
n
n |z |[c 1 a o z r 2 s g k ) ( is1 ia n z r ( 2 g k )
nn nn
可以看到，k=0,1,2,…,n-1时，可得n个不 同的值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角 相差一个常数，均匀分布于一个圆上。
这样，复数的乘幂可以推广到有理数的情形。