第二章 函数、导数及其应用 质量检测
导数及其应用测试题(有详细答案)
《导数及其应用》一、选择题1。
0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。
B. C 。
D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ）4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b在点(0，b ）处的切线方程是x －y ＋1＝0，则（ ）A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1 5．函数f (x ）＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ）在x ＝－3时取得极值,则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56。
设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 （ )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。
直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18。
若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示， 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 （ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为（ ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11。
人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测(答案解析)
一、选择题1．已知函数[](),1,2,xae f x x x =∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞ 2．设函数21()9ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,2B ．(]0,3C ．[)4,+∞D ．(],2-∞3．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（ ）A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为1654．设ln 2ln 3ln ,,23a b c ππ===则下列判断中正确的是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>5．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x ≠”的否命题是“若21x =，则1x =”B ．命题“0x R ∃∈，2000x x -＜”的否定是“x R ∀∈，20x x -＞”C ．“()y f x =在0x 处有极值”是“0()0f x '=”的充要条件D ．命题“若函数2()1f x x ax =-+有零点，则“2a ≥或2a ≤-”的逆否命题为真命题6．已知函数()21,20ln ,0x x f x x x e⎧--≤≤=⎨<≤⎩，方程()f x a =恰有两个不同的实数根1x 、()212x x x <，则212x x +的最小值与最大值的和（ ）A ．2e +B ．2C ．36e -+D ．34e -+7．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π4a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<8．设函数()f x =若曲线sin y x =上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,2e +B ．13,1e -⎡⎤-⎣⎦C ．[]1,1e +D ．13,1e e --⎡⎤+⎣⎦9．已知函数()[]1sin ,0,3f x x x x π=-∈且[]001cos ,0,3x x π=∈那么下列命题中真命题的序号是（ ）①()f x 的最大值为()0f x ； ②()f x 的最小值为()0f x ； ③()f x 在上[]0,π是减函数； ④()f x 在上[]0,x π上是减函数. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()-∞⋃+∞ B ．()-∞⋃+∞C ．⎡⎣D ．(11．已知函数()cos ln f x x x =-+，则()1f '的值为（ ）A ．sin11-B ．1sin1-C ．1sin1+D ．1sin1--12．已知()f x 的定义域为(0,)+∞，fx 为()f x 的导函数，且满足()()'f x xf x <-，则不等式(1)(1)f x x +>-()21f x -的解集是（ ）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,二、填空题13．已知函数32()245f x ax x x =+-+，当23x =时，函数()f x 有极值，则函数()f x 在[]3,1-上的最大值为_________.14．如图，C 、D 是两所学校所在地，C 、D 到一条公路的垂直距离分别为8,27CA km DB km ==.为了缓解上下学的交通压力，决定在AB 上找一点P ，分别向C 、D修建两条互相垂直的公路PC 和PD ，设02APC πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则当PC PD +最小时，AP =_______km .15．曲线()1xf x e x=-在点()()1,1f 处的切线的方程为_______. 16．函数f （x ）=lnx+x 的图象在x=1处的切线方程为___．17．已知函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是_____________．18．已知实数x ，y 满足12x >，12y >，且2445ln 521x x y y x -++-=-，则x y +=________.19．设函数f （x ）在（0，+∞）可导，其导函数为f′（x ），若f （lnx ）=x 2﹣1nx ，则f′（1）=_____20．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．三、解答题21．已知函数()(1)ln f x x x ax a =++-.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若[1,)x ∈+∞时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 22．设函数()()2()ln 10f x x a x a =-+>.（1）当2a =时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有2个零点，求实数a 的取值范围.23．已知函数()()()3222232121f x x a a x a a x =--++-+，a R ∈，讨论()f x 的单调性.24．已知函数32()21f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a 的所有值；若不存在，说明理由. 25．已知函数()221xf x xe x x =---.（1）求函数()f x 在[1,1]-上的最大值； （2）证明：当0x >时，()1f x x >--.26．已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a R ∈.（1）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据条件变形可知()()F x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，转化()0F x '≤恒成立，即可求解. 【详解】 不妨设()()121212,1,f x f x x x x x -<<-可得()()1122.f x x f x x ->-令()(),F x f x x =-则()F x 在区间[]1,2上单调递减， 所以()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，()()2110,x ae x F x x--≤'=当1x =时，,a R ∈当(]1,2x ∈时，()()21xx a g x e x ≤=-， 而()()()222201x x x x g x e x -'-+=<-，所以()g x 在区间[]1,2上单调递减，则()()2min 42g x g e==， 所以24,a e ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题中[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，可转化为函数()()F x f x x =-递减是解题的关键，突破此点后，利用导数()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，分离参数就可求解.2．A解析：A 【分析】利用()f x 的导函数()'f x ，结合()f x 在区间[1,1]a a -+上的单调性列不等式组求得a的取值范围. 【详解】由()219ln ,(0)2f x x x x =->，则()299,(0)x f x x x x x'-=-=>，当(0,3)x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减； 当(3,)x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增，又函数()f x 在区间[1,1]a a -+上单调递减，所以101311a a a a ->⎧⎪+≤⎨⎪+>-⎩，解得12a <≤，故选：A. 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求解参数的取值范围问题，其中导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下两个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．3．D解析：D 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线22260x y ln +--=上，则221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出d 的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M 的最小值，并可求出此时对应的2x 从而得解． 【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线24220x y ln +--=上，221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方．由2y lnx x =-+，得11y x'=-，与直线22260x y ln +--=平行的直线的斜率为12k =-．令1112x -=-，得2x =，则切点坐标为(2,2)ln ，切点(2,2)ln 到直线22260x y ln +--=的距离d == 即221212()()M x x y y =-+-的最小值为165． 又过(2,2)ln 且与22260x y ln +--=垂直的直线为22(2)y ln x -=-，即2420x y ln --+=，联立222602420x y ln x y ln +--=⎧⎨--+=⎩，解得145x =，即当M 最小时，2145x =． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．4．B解析：B 【分析】 构造函数()ln xf x x=，利用导数分析()f x 的单调性，从而判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】 设()ln x f x x =，所以()21ln xf x x-'=，令()0f x '=，所以x e =， 所以()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(),x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，因为()ln 22ln 2ln 44244f ===，且()()()34f f f π>>，所以b c a >>， 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用构造函数思想比较大小的方法：（1）先分析所构造函数的导函数，由此分析出函数的单调性； （2）先比较处于同一单调区间的函数值大小；（3）再通过一定方法（函数性质、取中间值等）将非同一单调区间的函数值转化到同一单调区间，即可完成比较大小.5．D解析：D 【分析】选项A ，否命题，条件否定，结论也要否定；选项B ，命题的否定，只对结论否定；选项C ，()y f x =在0x 处有极值，既要满足0()0f x '=，也要满足函数在0x 两边的单调性要相反；选项D ，若函数2()1f x x ax =-+有零点，等价于0∆≥，原命题与逆否命题同真假． 【详解】选项A ，命题“若21x =，则1x ≠”的否命题是“若21x ≠，则1x =”，错误；选项B ，命题“0x R ∃∈，2000x x -＜”的否定是“x R ∀∈，20x x -≥”，错误；选项C ，0()0f x '=不能得到()y f x =在0x 处有极值，例如3()f x x =在0x =时，导数为0，但0x =不是函数极值点，错误；选项D ，若函数2()1f x x ax =-+有零点，即方程210x ax -+=有解，所以0∆≥，解得2a ≥或2a ≤-，所以原命题为真命题，又因为原命题与逆否命题同真假，所以逆否命题也是真命题，正确．2a ≥或2a ≤- 【点睛】本题主要考查命题真假性的判断，涉及到四个命题、充要条件以及特称命题的否定．6．C解析：C 【分析】作出函数()y f x =的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围，将21x 、2x 用a 表示，可将212x x +表示为以a 为自变量的函数，利用导数可求得212x x +的最大值和最小值，进而可求得结果. 【详解】作出函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，当31a -≤≤时，直线y a =与函数()y f x =的图象有两个交点()1,x a 、()2,x a ，12x x <，则2121ln x a x a ⎧-=⎨=⎩，可得2121ax a x e⎧=-⎨=⎩，则2121ax x e a +=-+， 构造函数()1xx g x e =-+，其中31x -≤≤，则()1xg x e '=-.当-<3≤0x 时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减； 当01x <≤时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增. 所以，()()min 02g x g ==，()334g e --=+，()1g e =，显然()()31g g ->，()()3max 34g x g e -∴=-=+.因此，212x x +的最大值和最小值之和为33426e e --++=+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求解代数式的最值，解题的关键就是将212x x +表示为以a 为自变量的函数，考查计算能力，属于中等题.7．D解析：D 【分析】 首先设函数()()sin f x g x x=，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小. 【详解】 设()()sin f x g x x=， ()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数， 并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin 4f ag ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即a b c >>. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型.8．A解析：A 【分析】由题意可得存在0[0y ∈，1]，使00()f y y =成立，即()f x x =在[0，1]上有解，即23x a e x x =+-，[0x ∈，1]．利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得a 的范围．【详解】由题意可得00sin [1y x =∈-，1]，0()f y 曲线sin y x =上存在点0(x ，0)y 使得00(())f f y y =，∴存在0[0y ∈，1]，使00()f y y =成立．函数()f x = 下面证明00()f y y =．假设00()f y c y =>，则0(())f f y f =（c ）00()f y c y >=>，不满足00(())f f y y =． 同理假设00()f y c y =<，则不满足00(())f f y y =． 综上可得：00()f y y =．则问题等价于方程()f x x =，[0,1]x ∈有解，即23x x e x a =+-在[0,1]x ∈有解，分离参数可得23x a e x x =+-，令2()3xg x e x x =+-，∵()320,[0,1]x g x e x x '=+->∈，所以函数()g x 在[0,1]上单调递增， 所以1(0)()(1)2g g x g e =≤≤=+，所以12a e ≤≤+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．9．B解析：B【解析】本题考查导数及函数的最值、单调性 由()1sin 3f x x x =-得()/1cos 3f x x =- 令()/1cos 03fx x =-=有1cos 3x =；因为01cos 3x =，则0x 为函数()1sin 3f x x x =-的一个极值点.当[]0,x π∈时，函数cos y x =递减，所以当()00,x x ∈时()/0f x >，函数递增，则③错误，；当()0,x x π∈时()/0fx <，函数递减，④正确．故0x 是函数的一个极大值点且唯一，故此点也是最大值点，①正确，②错误. 故正确答案为①④ 所以本题选B10．C解析：C 【分析】求得函数的导数2()321f x x ax '=-+-，根据函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调函数，利用0∆≤，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数32()1f x x ax x =-+--，则2()321f x x ax '=-+-， 因为函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调函数，所以22(2)4(3)(1)4120a a ∆=-⨯-⨯-=-≤，即23a ≤，解得a ≤≤即实数a 的取值范围是⎡⎣，故选C ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性求解参数问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11．C解析：C 【分析】根据导数的运算法则先求出函数的导数()f x '的解析式，再把1x =代入()f x '的解析式运算求得结果． 【详解】∵函数()cos ln f x x x =-+，∴()1sin f x x x'=+， ∴()1sin11f ='+，故选C. 【点睛】本题主要考查求函数的导数，导数的加减法则的应用，属于基础题．12．B解析：B 【分析】构造函数()()F x xf x =，再根据单调性解不等式，即得结果. 【详解】令()()F x xf x =，则()()()0F x f x xf x ''=+<，所以()F x 在(0,)+∞上单调递减(1)(1)f x x +>-()21f x -，2(1)(1)(1)x f x x ∴++>-()21f x -，2(1)(1)F x F x ∴+>-， 2011,2x x x ∴<+<-∴>，故选：B 【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题13．13【分析】由题可得在的导数值等于0可求得再根据导数讨论函数的单调性即可求出最值【详解】当时函数有极值解得当时单调递增当时单调递减当时单调递增在处取得极大值且在上的最大值为13故答案为：13【点睛】解析：13 【分析】由题可得()f x 在23x =的导数值等于0，可求得1a =，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值. 【详解】()2344f x ax x '=+-，当23x =时，函数()f x 有极值， 2440333f a ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，解得1a =，()()()2344322f x x x x x '∴=+-=-+，当()3,2x ∈--时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当22,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当2,13x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x ∴在2x =-处取得极大值()213f -=，且()38f -=，()14f =，∴()f x 在[]3,1-上的最大值为13.故答案为：13. 【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法： （1）先求出函数的导数；（2）根据导数的正负判断函数的单调性； （3）求出极值，端点值，即可判断出最值.14．12【分析】由题意得：再利用导数求函数的最小值即可；【详解】由题意得：当时当得：当得：当时取得最小值故答案为：12【点睛】利用导数求函数的最值注意不一定要把的值求出直接利用复合函数的性质可简化计算量解析：12 【分析】 由题意得：827sin sin cos sin()2AC DB y PC PD πθθθθ=+=+=+-，再利用导数求函数的最小值即可； 【详解】 由题意得：827sin sin cos sin()2AC DB y PC PD πθθθθ=+=+=+-，33'228cos 27sin sin cos y θθθθ-=-，当'0y =时，2tan 3θ=， 当'0y >得：2tan 3θ>，当'0y <得：2tan 3θ<， ∴当2tan 3θ=时，y 取得最小值， ∴8122tan 3AC AP θ===， 故答案为：12. 【点睛】 利用导数求函数的最值，注意不一定要把θ的值求出，直接利用复合函数的性质，可简化计算量.15．【分析】求得函数的导数得到结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由题意函数可得所以即所求切线的斜率为又由所以所求切线的方程为可得即所以所求切线的方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义 解析：20ex x y +--=【分析】求得函数的导数()21'xf x e x=+，得到()'11f e =+，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()1xf x e x =-，可得()21'xf x e x=+，所以()'11f e =+， 即所求切线的斜率为1k e =+，又由()11f e =-，所以所求切线的方程为()()1'1y f k x f -=-⎡⎤⎣⎦， 可得()()()111y e e x --=+-，即()()()111y e e x e --=+-+. 所以所求切线的方程为20ex x y +--=. 故答案为：20ex x y +--=. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及曲线在某点处的切线方程的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．2x ﹣y ﹣1=0【分析】求出f （x ）的导数可得切线的斜率和切点即可得到所求切线的方程【详解】函数f （x ）=lnx+x 的导数为可得函数f （x ）的图象在x=1处的切线斜率为k=2切点为（11）可得切线的解析：2x ﹣y ﹣1=0 【分析】求出f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程. 【详解】函数f （x ）=lnx +x 的导数为()11f x x'=+， 可得函数f （x ）的图象在x =1处的切线斜率为k =2， 切点为（1，1），可得切线的方程为y ﹣1=2（x ﹣1）；即2x ﹣y ﹣1=0． 故答案为2x ﹣y ﹣1=0． 【点睛】本题考查利用导数求切线的方程，是基本题．17．【分析】根据题意将问题转化为以在区间上恒成立再分类讨论即可得答案【详解】解：因为函数在上单调递增所以在区间上恒成立当时显然在区间上恒成立当时因为在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以 解析：()[),01,-∞+∞【分析】根据题意将问题转化为以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立，再分类讨论即可得答案. 【详解】解：因为函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增， 所以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 当0a <时，显然()22211'10ax f x ax ax -=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 当0a >时，因为()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 所以210ax -≥在区间(),1-∞-上恒成立， 所以21≥a x 在区间(),1-∞-上恒成立， 所以2max11a x ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭ 综上实数a 的取值范围是()[),01,-∞+∞故答案为：()[),01,-∞+∞【点睛】本题考查根据函数在区间上单调求参数范围问题，考查化归转化思想与数学运算能力，是中档题.18．【分析】利用基本不等式及利用导数研究函数的单调性及最值从而得解；【详解】解：因为所以当且仅当即时取等号；当时令则令解得令解得即函数在上单调递增在上单调递减故所以恒成立即当且仅当时取等号即当且仅当时取解析：52【分析】利用基本不等式及利用导数研究函数的单调性及最值，从而得解； 【详解】 解：因为12x >， 所以()()222144454214212121x x x x x x x -+-+==-+≥=---，当且仅当()42121x x -=-即32x =时取等号； 当0x >时，令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=，令()0g x '>，解得01x <<，令()0g x '<，解得1x >，即函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()()max 10g x g ==，所以()0g x ≤恒成立，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时取等号，即ln 1y y ≤-，当且仅当1y =时取等号，所以2445ln 521x x y y x -++-≥-，当且仅当32x =，1y =时取等号，所以1y =，32x =所以52x y += 故答案为：52【点睛】本题考查基本不等式及导数的应用，属于中档题.19．【分析】先利用换元法求出函数f （x ）的解析式再求导代值计算即可【详解】设lnx=t 则x=et ∵f （lnx ）=x2-1nx ∴f （t ）=e2t-t ∴f （x ）=e2x-x ∴f′（x ）=2e2x-1∴f′（ 解析：221e -【分析】先利用换元法求出函数f （x ）的解析式，再求导，代值计算即可． 【详解】 设lnx=t ，则x=e t ， ∵f （lnx ）=x 2-1nx ， ∴f （t ）=e 2t -t ， ∴f （x ）=e 2x -x ， ∴f′（x ）=2e 2x -1， ∴f′（1）=2e 2-1， 故答案为2e 2-1． 【点睛】本题考查了函数解析式的求法和导数的运算，属于基础题．20．【分析】先求导数再根据导数几何意义得切线斜率最后根据点斜式求切线方程【详解】【点睛】求曲线的切线要注意过点P 的切线与在点P 处的切线的差异过点P 的切线中点P 不一定是切点点P 也不一定在已知曲线上而在点P 解析：2y x =【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】2222101y k y x x =∴==∴=+'+ 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.三、解答题21．（1）440x y --=；（2）2a ≥-. 【分析】（1）先写出当2a =时，()f x 解析式，再求导，根据导数的几何意义可得4k =切，再由点斜式写出切线的方程．（2）先求出()f x '，在求出()f x ''，通过分两种情况2a -，2a <-，讨论()f x ''的正负，进而得()f x '的增减性，推出()f x '最小值的范围，进而判断()0f x 是否恒成立，即可得出答案． 【详解】解（1）当2a =时，()(1)ln 22f x x x x =++-，1()ln 2x f x x x+'=++，(1)4f '=，所以切线斜率4k =，又(1)0f =，所以切线方程为4(1)y x =-，即440x y --=. （2）11()ln ln 1x f x x a x a x x +'=++=+++，22111()x f x x x x-''=-=. 当[1,)x ∈+∞时，()0f x ''≥，所以()'f x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)2f x f a ''≥=+.①当20a +≥即2a ≥-时，()0f x '≥，所以()f x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f ≥=，满足题意.②当20a +<即2a <-时，必存在0(1,),x ∈+∞当0[1,),()0x x f x '∈<，0(,),()0x x f x '∈+∞>，所以()f x 在0[1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以min 0()()(1)0f x f x f =<=，所以()0f x ≥不恒成立，所以2a <-不满足题意.综上，a 的取值范围为2a ≥-. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 22．（1）极小值为1-；（2）2a e>. 【分析】（1）当2a =时，()()2()ln 10f x x a x a =-+>，对()f x 求导判断单调性、即可求得极值；（2）对()f x 求导，利用导函数得符号判断出()f x 的单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间是0,2⎛ ⎝⎭，然后对参数a 进行分类讨论，考虑函数得最小值，从而判断函数零点的个数，找到函数()f x 有2个零点时实数a 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的定义域是()0,∞+，当2a =时，()2()2ln 1f x x x =-+，2222()2x f x x xx -'=-=. 令'()0f x =，得1x =或1x =-（舍）.所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 即()f x 在1x =处取得极小值，极小值为()11f =-.无极大值 （2）函数的定义域为()0,∞+，令22'()20a x a f x x x x -=-==，则x =所以当x ⎛∈ ⎝⎭时，'()0f x <；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，'()0f x >，所以()f x 的单调递增区间是2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭，单调递减区间是0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.①令02f ⎛= ⎝⎭，得2a e =， 当2ae =，22()(ln 1)ef x x x =-+的最小值为0f =， 即22()(ln 1)ef x x x =-+有唯一的零点x =；②当20a e<<时，()2()ln 1f x x a x =-+的最小值为ln 122a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎝⎭，且ln 10222a a f ⎛⎛⎫=-+> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即()2()ln 1f x x a x =-+不存在零点；③当2a e>时，()f x 的最小值ln 10222a a f ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1e <2110e e f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上有唯一的零点，又当2a e >时，2a >，2()(ln 1)(ln 1)f a a a a a a a =-+=--， 令()ln 1g x x x =--，则11()10x g x x x-'=-==，解得1x =， 可知()g x 在2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,+∞上递增，所以()()10g a g ≥=，所以()0f a ≥，所以函数()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上有唯一的零点， 所以当2a e>时，()f x 有2个不同的零点， 综上所述：实数a 的取值范围是2a e>.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 23．答案见解析 【分析】先求得()f x 的导函数()'fx ，然后对a 分成2a =或1a =-、1a <-或2a >、1a 2-<<等情况进行分类讨论，由此判断()f x 的单调性.【详解】()()()()()'22226621262f x x a a x a a x x a a =--++-=--+，由'0fx，得2x a a =-或2x =，由22a a -=，得1a =-或2a =，当2a =或1a =-时，()()2'620f x x =-≥；当1a <-或2a >时，2>2a a -，()f x 在区间(),2-∞和()2,a a -+∞上，()'0fx >；()22,x a a ∈-，()'0f x <.当1a 2-<<时，22a a -<，()f x 在区间()2,a a -∞-和()2,+∞上，()'0fx >；()2,2x a a ∈-，()'0f x <.综上所述：当2a =或1a =-时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当1a <-或2a >时，()f x 在(),2-∞，()2,a a -+∞上单调递增，在()22,a a -上单调递减；当1a 2-<<时，()f x 在()2,a a -∞-，()2,+∞上单调递增，在()2,2a a -上单调递减.【点睛】含参数分类讨论函数的单调性，关键是制定分类标准，可根据导函数零点的分布来制定分类标准.24．（1）答案见解析；（2）存在，4a =. 【分析】（1）对函数进行求导，求出导函数的零点，分为0a =，0a >和0a <三种情形进行讨论，可得函数单调性；（2）分为0a ≤，3a ≥和0<<3a 三种情形，得出函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，结合最值得结果. 【详解】（1）()26263a f x x ax x x ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭． 令()603a f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭′，解得0x =或3a ．当0a =时，()260f x x =≥′恒成立，函数()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，令()0f x '>得3a x >或0x <，令()0f x '<得03ax <<， 即函数()f x 在(),0-∞和,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，令()0f x '>得0x >或3a x <，令()0f x '<得03ax <<， 即函数()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 综上所述：当0a =时，函数()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，函数()f x 在(),0-∞和,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，函数()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （2）存在，理由如下：由（1）可得：当0a ≤时，函数()f x 在[0,1]上单调递增． 则最小值为()01f =，不合题意；当0a >时，函数()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,3a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增；当13a≥，即3a ≥时，函数()f x 在[]0,1上单调递减， ()f x 的最大值为()01f =，最小值为()1211f a =-+=-，解得4a =，满足题意；当0<<3a 时，函数函数()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,13a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，()f x 的最小值为32211333a a a f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为3227a -=-，解得3a =>，不合题意；综上可得：a 的值为4. 【点睛】 关键点点睛：（1）按照导函数的零点大小比较进行讨论；（2）按照导函数零点与所给区间端点的关系进行讨论. 25．（1）1e-；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用导数得到()f x 单调性，确定()()(){}max max 1,1f x f f =-，进而可得结果； （2）将所证不等式转化为证明10x e x -->，构造函数()1xg x e x =--，利用导数可证得()0g x >，从而得到结论. 【详解】（1）()()()2212xxxf x e xe x x e '=+--=+-，当()1,ln 2x ∈-时，()0f x '<；当()ln 2,1x ∈时，()0f x '>，()f x ∴在[)1,ln 2-上单调递减，在(]ln 2,1上单调递增，()()(){}max max 1,1f x f f ∴=-，又()111121f e e-=--+-=-，()11214f e e =---=-，()()max 11f x f e∴=-=-.（2）要证()1f x x >--，只需证()210xf x x xe x x ++=-->，0x ，∴只需证：10x e x -->.令()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x >时，e 1x >，()0g x '∴>在()0,∞+上恒成立，()g x ∴在()0,∞+上单调递增，()0010g x e ∴>--=，即当0x >时，10x e x -->恒成立，则原命题得证， ∴当0x >时，()1f x x >--.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，解题关键是能够通过分析法将所证不等式进行等价转化，从而构造新函数，利用导数求得新函数的最值使得结论得证.26．（1）{|,x x ∈R 且1}x；函数()f x 有极小值(0)1f =;（2）函数()g x 存在两个零点.【分析】若0a =，求函数()f x 的定义域和极值，把0a =代入得函数e ()1x f x x =+，故可求得函数()f x 的定义域，求它的极值，对函数求导，求出导数等于零点，及两边导数的符号，从而确定极值点；（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，即求函数2e ()11xg x x x =-++的零点个数，首先确定定义域，在定义域内，考虑函数的单调性，由单调性与根的存在性定理，来判断零点的个数．【详解】（1）函数e ()1xf x x =+的定义域为{|x x R ∈，且1}x .22e (1)e e ()(1)(1)x x xx x f x x x +-==++'. 令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()'f x 的变化情况如下：故的单调减区间为，；单调增区间为)．所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =.（2）结论：函数()g x 存在两个零点.证明过程如下：由题意，函数2e ()11xg x x x =-++，因为 22131()024x x x ++=++>， 所以函数()g x 的定义域为R . 求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-'+-==++++， 令()0g x '=，得10x =，21x =，当x 变化时，()g x 和()'g x 的变化情况如下：故函数的单调减区间为；单调增区间为，)． 当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =；当1x =时，函数()g x 有极小值e (1)13g =-. 因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =，所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠.因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =，所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠. 因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e (1)103g =-<，2e (2)107g =->， 所以函数()g x 在(1,)+∞上仅存在一个0x ，使得函数0()0g x =， 故函数()g x 存在两个零点（即0和0x ）.。
高考数学考点练习第二章函数导数及其应用7函数的奇偶性与周期性试题理
考点测试7 函数的奇偶性与周期性一、基础小题1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析 f (x )＝1x－x 是奇函数，所以图象关于原点对称．2．下列函数中，在其定义域内是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x答案 C解析 f (x )＝x 2和f (x )＝2|x |是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝log 21|x |是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，故选C. 3．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为( )A ．－14B ．14C ．12D ．－12答案 B解析 解法一：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.4．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案 A解析 由题意知f (x ＋2)＝1fx ＋1＝f (x )，所以f (x )的周期为2，又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数，故选A.5．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D ．2log 213答案 A解析 由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2. 6．已知f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋a ＋lg⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a ＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝lg 1＋x 1－x ，由f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，得0<1＋x 1－x <1，解得－1<x <0，故选A.7．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案 A解析 由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )为偶函数，则由f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，得－13<2x －1<13，解得13<x <23.故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 8．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )f (y )，且f (0)≠0，则f (x )( ) A ．为奇函数 B ．为偶函数 C ．为非奇非偶函数 D ．奇偶性不能确定答案 B解析 令x ＝y ＝0，则2f (0)＝2f 2(0)，又f (0)≠0，所以f (0)＝1.令x ＝0，则f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )，即f (－y )＝f (y )，所以函数f (x )是偶函数．9．函数f (x )＝π2－sin x3＋|x |的最大值是M ，最小值是m ，则f (M ＋m )的值等于( )A ．0B ．2πC ．πD ．π2答案 D解析 设h (x )＝sin x3＋|x |，则h (－x )＝－h (x )，所以h (x )是一个奇函数，所以函数h (x )的最大值和最小值的和是0，所以M ＋m ＝π，所以f (M ＋m )＝π2.10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋ax ，x <0为偶函数，则y ＝log a (x 2－4x －5)的单调递增区间为( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(5，＋∞)答案 D解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋ax ，x <0为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，即1－a ＝1－2，所以a ＝2，则y ＝log 2(x 2－4x －5)，令t ＝x 2－4x －5，其对称轴为x ＝2，由x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.由复合函数的单调性知，y ＝log a (x 2－4x －5)的单调递增区间为(5，＋∞)．11．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞) 答案 C解析 依题意，如图所示，实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，gx ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g x ≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．12．已知a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3.若函数f (x ＋a )为偶函数，则a ＝________，f (f (a ))＝________.答案 2 8解析 由函数f (x ＋a )为偶函数，得f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，解得a ＝2，所以f (f (a ))＝f (f (2))＝f (－1)＝8.二、高考小题13．[2015·广东高考]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析 选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．14．[2014·全国卷Ⅰ]设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 C解析 由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )·g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|·g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.15．[2016·山东高考]已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2答案 D解析 当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D.16．[2015·全国卷Ⅰ]若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln (a ＋x 2－x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)，则ln (x ＋a ＋x 2)＋ln (a ＋x 2－x )＝0，∴ln [(a ＋x 2)2－x 2]＝0，得ln a ＝0， ∴a ＝1.17．[2016·四川高考]已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )．又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1， 得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 18．[2016·江苏高考]设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是____________． 答案 －25解析 ∵f (x )是周期为2的函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即－12＋a ＝110，解得a ＝35，则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.三、模拟小题19．[2017·大连测试]下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1答案 C解析 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．20．[2016·陕西一检]若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0⇒/f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.21．[2017·山东青岛模拟]奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 答案 A解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0， ∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.22．[2017·江西三校联考]定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 答案 A解析 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.23．[2017·贵州适应考试]已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f xf x，若g (2)＝3，则g (－2)＝________.答案 －1解析 ∵g (2)＝2＋f 2f 2＝3，∴f (2)＝1.又f (－x )＝－f (x )，∴f (－2)＝－1，∴g (－2)＝2＋f －2f －2＝2－1－1＝－1.24．[2017·湖北名校联考]已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－1)＝2，则f (2017)＝________.答案 2解析 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，∴f (x )是周期T ＝8的偶函数，∴f (2017)＝f (1＋252×8)＝f (1)＝f (－1)＝2.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．[2017·河南联考]设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.2．[2017·安徽合肥质检]已知函数f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．3．[2016·福州一中月考]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解 (1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故有f (－x )＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x )． 从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]， f (x )＝－f (－x )＝－－x ，故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，f (x )＝－－x －4.4．[2017·湖南师大附中月考]已知函数f (x )的定义域是满足x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.求证：(1)f (x )是偶函数；(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明 (1)令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. 令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝2f (－1)，∴f (－1)＝0， 令x 1＝－1，x 2＝x ，得f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x1.∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。
函数、导数及其应用综合测评试题(含答案)
高中数学阶段综合测评试题测试范围：函数、导数及其应用 (时间：120分钟 满分：150分)温馨提示：1.第Ⅰ卷答案写在答题卡上，第Ⅱ卷书写在试卷上；交卷前请核对班级、姓名、考号.2.本场考试时间为120分钟，注意把握好答题时间.3.认真审题，仔细作答，永远不要以粗心为借口原谅自己．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·浙江杭州七校联考)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,32．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n＝P 0(1＋k )n (k >－1)，其中P n 为预测人口数，P 0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1<k <0，那么这期间人口数( )A ．呈上升趋势B ．呈下降趋势C ．摆动变化D ．不变3．(2013·云南第一次统检)已知f (x )的定义域为(－2,2)，且f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3＋ln 2－x 2＋x，－2<x ≤1－4x 2－5x ＋23，1<x <2，如果f [x (x ＋1)]<23，那么x 的取值范围是( )A ．－2<x <－1或0<x <1B ．x <－1或x >0C ．－2<x <－54 D ．－1<x <04．(2013·大连双基测)已知f (x )是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.如果函数g (x )＝f (x )－(x ＋m )有两个零点，则实数m 的值为( )A ．2k (k ∈Z )B ．2k 或2k ＋14(k ∈Z ) C ．0D ．2k 或2k －14(k ∈Z )5．函数y ＝log 2|x |x 的大致图象是()6．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤0，18B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，14 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 7．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94πD.92π8．(2013·安徽联谊中学联考)设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (－2)与f (2)B ．f (－1)与f (1)C ．f (2)与f (－2)D ．f (1)与f (－1)9．(2013·东北三校第一次联考)已知f (x )＝ln x1＋x －ln x ，f (x )在x ＝x 0处取最大值，以下各式正确的序号为( )①f (x 0)<x 0 ②f (x 0)＝x 0 ③f (x 0)>x 0 ④f (x 0)<12 ⑤f (x 0)>12A ．①④B ．②④C ．②⑤D ．③⑤10．(2013·石家庄一模)已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，若a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝ln 12f (ln 2)，则下列关于a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．b >a >c11．(2013·陕西省咸阳市高三模拟)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝2x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c12．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1、x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1]，log 81x ，x ∈(1，＋∞).则满足f (x )＝14的x 值为________．14．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m －2,2m )内有定义且不是单调函数的充要条件是________．15．(2013·云南第一次统检)已知f (x )＝x 3－mx 2＋43mx ＋2 013在(1,3)上只有一个极值点，则实数m 的取值范围为________．16．(2013·山东济宁高三一模)已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sinπx ，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝12|x |＋2. (1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值．18．(12分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时，总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求实数m 的取值范围． 19．(12分)如图所示，四边形ABCD 表示一正方形空地，边长为30 m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 距离分别为9 m,3 m ．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ∶NE ＝16∶9.线段MN 必须过点P ，端点M ，N 分别在边AD ，AB 上，设AN ＝x (m)，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S (m 2)．(1)用x 的代数式表示AM ；(2)求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域； (3)当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？20．(12分)(2013·东北三校第一次联考)已知函数f (x )＝ax sin x ＋cos x ，且f (x )在x ＝π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值，并讨论f (x )在[－π，π]上的单调性；(2)设函数g (x )＝ln(mx ＋1)＋1－x1＋x ，x ≥0，其中m >0，若对任意的x 1∈[0，＋∞)总存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使得g (x 1)≥f (x 2)成立，求m 的取值范围． 21．(12分)(2013·石家庄一模)设函数f (x )＝x 2＋a ln(x ＋1)．(1)若函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数y ＝f (x )有两个极值点x 1、x 2，且x 1<x 2，求证：0<f (x 2)x 1<－12＋ln 2.22．(12分)(2013·石家庄质量监测)设函数f (x )＝x －1e x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(1)设函数f (x )在[m ，m ＋1](m >0)上的最小值；(2)设函数g (x )＝⎩⎨⎧0，(x ＝0)，1f (x ).(x ≠0)，如果x 1≠x 2，且g (x 1)＝g (x 2)，证明：x 1＋x 2>2.阶段综合测评 详解答案1．A 由幂函数的性质可知α＝1或3.2．B 由于－1<k <0，所以0<1＋k <1，因此P n 为关于n 的递减函数．故选B.3．A 依题意得，函数y ＝2x ＋3＋ln 2－x 2＋x ＝2x ＋3＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋42＋x 在(－2,1]上是减函数(注：函数y ＝2x ＋3、y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋42＋x 在(－2,1]上均是减函数)；函数y ＝－4x 2－5x ＋23在(1,2)上是减函数，且21＋3＋ln 2－12＋1＝12－ln 3>－4×12－5×1＋23，因此函数f (x )在(－2,2)上是减函数，且f (0)＝23，于是不等式f [x (x ＋1)]<23＝f (0)等价于0<x (x ＋1)<2，由此解得－2<x <－1或0＜x ＜1，选A.4．D 令g (x )＝0得f (x )＝x ＋m .(1)先考虑f (x )在0≤x ≤1时的函数图象，因为两个端点为(0,0)，(1,1)，所以过这两点的直线方程为y ＝x ＋0；(2)考虑直线y ＝x ＋m 与0≤x ≤1时的f (x )＝x 2的图象相切，与1＜x ≤2时的函数图象相交也是两个交点，仍然有两个零点．可求得此时切线方程为y ＝x －14.综上根据周期为2，得m ＝2k 或m ＝2k －14(k ∈Z )．5．D y ＝log 2|x |x 为奇函数，其图象关于(0,0)对称，排除A ，B ；当x ＝2时，y ＝12>0，排除C ，故选D.6．C 因为f (x )在定义域内为单调递增函数，而在4个选项中，只有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， 所以零点所在区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12.7．C 由定积分的几何意义知⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C.8．A 由图可知：x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0； x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0； x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (－2)是f (x )的极大值，f (2)是f (x )的极小值．9．B f ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(ln x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x －1′＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x －1－ln x(1＋x )2＝－ln x ＋x ＋1(1＋x )2，由题意可知f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋x 0＋1＝0，ln x 0＝－(x 0＋1)， 故f (x 0)＝ln x 01＋x 0－ln x 0＝－x 0ln x 01＋x 0＝x 0(1＋x 0)1＋x 0＝x 0.令函数g (x )＝ln x ＋x ＋1(x >0), 则g ′(x )＝1x ＋1>0，故函数g (x )为增函数，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32>32－ln e ＝12>0＝g (x 0)． ∴x 0<12，即f (x 0)<12.故选B.10．D f ′(x )＋f (x )x ＝xf ′(x )＋f (x )x >0，即x >0时，x ·f ′(x )＋f (x )>0，即x >0时[xf (x )]′>0，x ·f (x )为增函数，又f (x )为奇函数，故0·f (0)＝0得：x ≥0时，xf (x )≥0，且为增函数；a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)＝2f (2)，c ＝－ln 2f (ln 2)<0，故b >a >c ，选D.11．B ∵g (x )＝2x ，∴g ′(x )＝2. 令2a ＝2，∴a ＝1；h (x )＝ln x ，h ′(x )＝1x . 令ln b ＝1b ，设M (x )＝1x －ln x ， 则M (1)>0，M (e)<0，∴1<b <e ； 由φ(x )＝x 3(x ≠0)，φ′(x )＝3x 2. 令3c 2＝c 3，∴c ＝3，∴a <b <c .故选B.12．A 由于f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝k >2恒成立，所以f ′(x )≥2恒成立．又f ′(x )＝a x ＋x ，故ax ＋x ≥2即a ≥－x 2＋2x ，而g (x )＝－x 2＋2x 在(0，＋∞)上的最大值为1，所以a ≥1，故选A.13．3解析：当x ≤1时，由f (x )＝2－x＝14得x ＝2，不合题意；当x >1时，由f (x )＝log 81x ＝14得x ＝3，故满足f (x )＝14的x 值为3.14．2≤m <3解析：由题知，只需1∈(m －2,2m )，且m －2≥0即可． 于是0≤m －2<1，且2m >1， 于是2≤m <3. 15.92≤m <8114解析：依题意得f ′(x )＝3x 2－2mx ＋43m ＝0有两个不等的实根，且恰有一个根属于区间(1,3)，于是有①f ′(1)·f ′(3)<0，或②⎩⎨⎧f ′(1)＝0f ′(3)>0m 3>1，或③⎩⎨⎧f ′(1)>0f ′(3)＝0m 3>1.解①得92＜m <8114；解②得m ＝92；解③得，该不等式组的解集是空集．综上所述，满足题意的实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，8114.16．9 解析：由f (x )是定义域为R 的奇函数，可知f (0)＝0.因为f (x ＋3)＝f (x )，所以f (3)＝0.令x ＝－32，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0.又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sinπx ，所以f (1)＝0，f (2)＝f (3－1)＝f (－1)＝－f (1)＝0，则在区间[0,3]上的零点有5个．由周期性可知，在区间(3,6]上有4个零点，故在区间[0,6]上的零点个数是9.17．解：(1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋2，因为|x |≥0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0得2x－12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程， 当x >0时，由2x－12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2， 故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x ＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．18．解：(1)设P 点坐标为(x ，y )，则Q 点坐标为(－x ，－y )． ∵Q (－x ，－y )在函数y ＝log a (x ＋1)的图象上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝－log a (1－x )．这就是说，g (x )＝－log a (1－x )． (2)当x ∈[0,1)时，令F (x )＝f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x ) ＝log a 1＋x 1－x(a >1)．由题意知，只要m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log a1＋x 1－x min 即可， ∵F (x )＝log a 1＋x1－x ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－x 在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0.故m ∈(－∞，0]即为所求．19．解：(1)因为点P 到边AD ，AB 距离分别为9 m,3 m ，所以由平面几何知识得AM －3AM ＝9x ，解得AM ＝3xx －9(10≤x ≤30)．(2)由勾股定理，得MN 2＝AN 2＋AM 2＝x 2＋9x2(x －9)2.因为MN ∶NE ＝16∶9，所以NE ＝916MN .所以S ＝MN ·NE ＝916MN 2＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋9x 2(x －9)2，定义域为[10,30]．(3)S ′＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋18x (x －9)2－9x 2(2x －18)(x －9)4＝98·x [(x －9)3－81](x －9)3，令S ′＝0，得x 1＝0(舍)，x 2＝9＋333. 当10≤x <9＋333时，S ′<0，S 为减函数； 当9＋333<x ≤30时，S ′>0，S 为增函数． 所以当x ＝9＋333时，S 取得最小值．20．解：(1)∵f ′(x )＝a sin x ＋ax cos x －sin x ＝(a －1)sin x ＋ax cos x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(a －1)·22＋π4·a ·22＝2π8， ∴a ＝1，f ′(x )＝x cos x .当f ′(x )>0时，－π<x <－π2或0<x <π2； 当f ′(x )<0时，－π2<x <0或π2<x <π，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0，⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝1，则只需g (x )≥1在x ∈[0，＋∞)上恒成立即可．g ′(x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋m －2m (mx ＋1)(x ＋1)2(x ≥0，m >0)，①当m ≥2时，m －2m ≥0，∴g ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，即g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，∴g (x )≥1在x ∈[0，＋∞)上恒成立，故m ≥2时成立．②当0<m <2时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－m m 时，g ′(x )<0，此时g (x )单调递减，∴g (x )<g (0)＝1，故0<m <2时不成立．综上m ≥2.21．解：(1)f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上恒成立， a ≥－4.经检验，当a ＝－4时，f ′(x )＝2x 2＋2x －4x ＋1＝2(x ＋2)(x －1)x ＋1，x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以满足题意的a 的取值范围为[－4，＋∞)．(2)证明：函数的定义域(－1，＋∞)，f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1＝0，依题意方程2x 2＋2x ＋a ＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不等的实根，记g (x )＝2x 2＋2x ＋a ，则有⎩⎨⎧Δ>0g (－1)>0－12>－1，得0<a <12.下面有两种证法：证法一：∵x 1＋x 2＝－1,2x 22＋2x 2＋a ＝0，x 2＝－12＋1－2a 2，－12<x 2<0，f (x 2)x 1＝x 22－()2x 22＋2x 2ln (x 2＋1)－1－x 2，令k (x )＝x 2－(2x 2＋2x )ln (x ＋1)－1－x，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 k (x )＝－x 2x ＋1＋2x ln(x ＋1)，k ′(x )＝x 2(x ＋1)2＋2ln(x ＋1)，k ″(x )＝2x 2＋6x ＋2(x ＋1)3，因为k ″⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－12，k ″(0)＝2，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，使得k ″(x 0)＝0，k ′(0)＝0，k ′⎝ ⎭⎪⎫－12＝1－2ln 2<0，∴k ′(x )<0，所以函数k (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0为减函数，k (0)<k (x )<k ⎝⎛⎭⎪⎫－12即0＜f (x 2)x 1<－12＋ln 2证法二：x 2为方程2x 2＋2x ＋a ＝0的解，所以a ＝－2x 22－2x 2，∵0<a <12，x 1<x 2<0，x 2＝－12＋1－2a 2，∴－12<x 2<0， 先证f (x 2)x 1>0，即证f (x 2)<0(x 1<x 2<0)，在区间(x 1，x 2)内，f ′(x )<0，(x 2,0)内f ′(x )>0，所以f (x 2)为极小值，f (x 2)<f (0)＝0，即f (x 2)<0，∴f (x 2)x 1>0成立；再证f (x 2)x 1<－12＋ln 2，即证f (x 2)>⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋ln 2(－1－x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 2(x 2＋1)，x 22－(2x 22＋2x 2)ln(x 2＋1)－⎝⎛⎭⎪⎫12－ln 2x 2>12－ln 2，令g (x )＝x 2－(2x 2＋2x )ln(x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0g ′(x )＝2x －(4x ＋2)ln(x ＋1)－2x (x ＋1)x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 2， ＝－2(2x ＋1)ln(x ＋1)－⎝⎛⎭⎪⎫12－ln 2，ln(x ＋1)<0,2x ＋1>0，12－ln 2<0，∴g ′(x )>0，g (x ) 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0为增函数． g (x )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×14－1ln 12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 2 ＝14＋12ln 12＋14－12ln 2＝12－ln 2. 综上可得0<f (x 2)x 1<－12＋ln 2成立．22．解：(1)f ′(x )＝x e x －e xx 2，则x >1时，f ′(x )>0；0<x <1时，f ′(x )<0. 知函数f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．当m ≥1时，函数f (x )在[m ，m ＋1]上是增函数，此时f (x )min ＝f (m )＝e mm . 当0<m <1时，函数f (x )在[m,1]上是减函数，在[1，m ＋1]上是增函数， 此时f (x )min ＝f (1)＝e.(2)证明：可得g (x )＝x e －x (x ∈R )，g ′(x )＝(1－x )e －x .所以g (x )在(－∞，1)内是增函数，在(1，＋∞)内是减函数．① 考查函数F (x )＝g (x )－g (2－x )，即F (x )＝x e －x ＋(x －2)e x －2， 于是F ′(x )＝(x －1)(e 2x －2－1)e －x . 当x >1时，2x －2>0，从而e 2x －2－1>0，又e －x >0，所以F ′(x )>0，从而函数F (x )在[1，＋∞)是增函数． 又F (1)＝e －1－e －1＝0，所以x >1时，有F (x )>F (1)＝0，即g (x )>g (2－x )．② 由①及g (x 1)＝g (x 2)，则x 1与x 2只能在1的两侧． 不妨设0<x 1<1，x 2>1，由结论②可知，g (x 2)>g (2－x 2)，所以g (x 1)＝g (x 2)>g (2－x 2)． 因为x 2>1，所以2－x 2<1，又由结论①可知函数g(x)在(－∞，1)内是增函数，所以x1>2－x2，即x1＋x2>2.。
高三数学一轮复习单元评估检测(2) 第2章 函数、导数及其应用 理 新人教A版
单元评估检测（二）（第二章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列图形中可以表示以M ＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N ＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )2.(2012·韶关模拟)已知函数f(x)＝ax 3＋bx －3，若f(－2)＝7，则f(2) ＝( )(A)13 (B)－13 (C)7 (D)－73.(2011·广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )(A)f(x)＋|g(x)|是偶函数 (B)f(x)－|g(x)|是奇函数 (C)|f(x)|＋g(x)是偶函数 (D)|f(x)|－g(x)是奇函数4.已知函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)是定义在R 上的单调递减函数，则函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象大致是( )5.设函数f(x)＝13x －lnx(x ＞0)，则y ＝f(x)( )(A)在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点(B)在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点(C)在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点(D)在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点6.(2012·珠海模拟)函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )(A)y ＝a x(B)y ＝log a x (C)y ＝xe x (D)y ＝xlnx7.(易错题)设函数f(x)＝x·sinx，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)＞f(x 2)，则下列不等式恒成立的是( )(A)x 1＞x 2 (B)x 1＜x 2 (C)x 1＋x 2＞0 (D)x 12＞x 228.(2011·湖南高考)已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x 2＋4x －3.若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为( )(A)[ 2－2，2＋2] (B)(2－2，2＋2) (C)[1,3] (D)(1,3)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2011·四川高考)计算(lg 14－lg25)÷10012 ＝ .10.定积分∫0ln2e xdx 的值为 .11.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a)相切，则a 的值为 .12.当x∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 13.函数f(x)＝(x ＋a)3对任意t∈R，总有f(1＋t)＝－f(1－t)，则f(2)＋ f(－2)等于 .14.(2011·四川高考)函数f(x)的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f(x 1)＝f(x 2)时总有x 1＝x 2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)＝2x ＋1(x∈R)是单函数.下列命题：①函数f(x)＝x 2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f(x 1)≠f(x 2)；③若f ：A→B 为单函数，则对于任意b∈B，A 中至多有一个元素与之对应； ④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(2012·广州模拟)设函数f(x)＝lg(2x ＋1－1)的定义域为集合A ，函数g(x)＝1－a 2－2ax －x 2的定义域为集合B.(1)求证：函数f(x)的图象关于原点成中心对称；(2)a≥2是A∩B＝ 的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)，并证明你的结论.16.(13分)两个二次函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 与g(x)＝－x 2＋2x ＋d 的图象有唯一的公共点P(1，－2).(1)求b ，c ，d 的值；(2)设F(x)＝(f(x)＋m)·g′(x)，若F(x)在R 上是单调函数，求m 的取值范围，并指出F(x)是单调递增函数，还是单调递减函数.17.(13分)(2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x －k)2e x k. (1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k 的取值范围.18.(14分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元). (1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 19.(14分)已知幂函数f(x)＝2m 2m 3x －＋＋(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝14f(x)＋ax 3＋92x 2－b(x∈R)，其中a ，b∈R.若函数g(x)仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.20.(14分)(预测题)已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝12x 2－x ＋a.(1)当a ＝2时，求函数y ＝g(x)在[0,3]上的值域； (2)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>g′(x)＋1e x－2e 成立.答案解析1. 【解析】选C.由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.2.【解析】选B.∵f(－2)＝－a ·23－2b －3＝－(a ·23＋2b)－3＝7， ∴a ·23＋2b ＝－10，∴f(2)＝a ·23＋2b －3＝－10－3＝－13.3. 【解析】选A.∵g(x)是奇函数，其图象关于原点对称， ∴|g(x)|的图象关于y 轴对称，是偶函数， 又f(x)为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数. 【方法技巧】函数奇偶性与函数图象的关系(1)函数的奇偶性，揭示了函数图象的对称性.已知函数的奇偶性可得函数图象的对称性；反之，已知函数图象的对称性可得函数的奇偶性.(2)从图象判断函数的奇偶性是很有效的方法.利用图象变换，可以很容易地画出形如|f(x)|或f(|x|)的函数图象，进而可判断函数的奇偶性.4. 【解题指南】由指数函数的单调性可得a 的取值范围，再判断函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象.【解析】选D.由题可知0<a<1，函数g(x)的图象由函数y ＝log a x 的图象向左平移一个单位得到，故选D.5. 【解析】选D.∵f ′(x)＝13－1x ，∴x ∈(3，＋∞)时，y ＝f(x)单调递增； x ∈(0,3)时，y ＝f(x)单调递减. 而0＜1e＜1＜e ＜3，又f(1e )＝13e ＋1＞0，f(1)＝13＞0，f(e)＝e3－1＜0，∴在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点.【一题多解】选D.令g(x)＝13x ，h(x)＝lnx ，如图，作出g(x)与h(x)在x>0的图象，可知g(x)与h(x)的图象在(1e，1)内无交点，在(1，e)内有1个交点，故选D.【变式备选】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1x 2－4x ＋3，x ＞1，则关于x 的方程f(x)＝log 2x 解的个数为( )(A)4 (B)3 (C) 2 (D)1【解析】选B.在同一直角坐标系中画出y ＝f(x)与y ＝log 2x 的图象，从图象中可以看出两函数图象有3个交点，故其解有3个.6.【解析】选D.由图知，导函数的定义域为(0，＋∞)， ∵(a x)′＝a xlna ，(xe x)′＝e x＋xe x，导函数的定义域为R ， ∴排除选项A ，C.由图象知导函数的值是先负后正，又(log a x)′＝1xlna ，导函数的符号与参数a 有关，排除B ，故选D.7.【解析】选D.显然f(x)为偶函数， 当x ∈(0，π2]时，f ′(x)＝sinx ＋xcosx ＞0，∴f(x)在(0，π2]上单调递增.又f(x 1)＞f(x 2)⇔f(|x 1|)＞f(|x 2|)⇔|x 1|＞|x 2|⇔x 12＞x 22.8.【解析】选B.∵f(a)>－1，∴g(b)>－1， ∴－b 2＋4b －3>－1，∴b 2－4b ＋2<0， ∴2－2<b<2＋ 2.故选B. 9.【解析】(lg 14－lg25)÷12100-＝lg 1425÷1100＝lg 1100÷110＝10×lg10－2＝－20. 答案：－2010.【解析】∫0ln2e xdx ＝e x|0ln2＝e ln2－e 0＝2－1＝1. 答案：111.【解析】y ′＝1x ＋a (x ＋a)′＝1x ＋a，设切点为(x 0，x 0＋1)，则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1x 0＋1＝ln(x 0＋a)，解得a ＝2. 答案：212.【解析】设y 1＝(x －1)2，则y 1的图象如图所示：设y 2＝log a x ，则当x ∈(1,2)时，y 2的图象应在y 1的图象上方， ∴a ＞1且log a 2≥(2－1)2＝1， ∴a ≤2，∴1＜a ≤2. 答案：{a|1＜a ≤2}13.【解析】令t ＝1，则f(2)＝－f(0). ∴(2＋a)3＝－a 3， ∴a ＝－1，∴f(2)＋f(－2)＝(2－1)3＋(－2－1)3＝－26. 答案：－26 14.【解析】答案：②③15.【解析】(1)A ＝{x|2x ＋1－1>0}，2x ＋1－1>0⇒x －1x ＋1<0⇒(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x<1.∴A ＝(－1,1)，故f(x)的定义域关于原点对称. 又f(x)＝lg 1－x x ＋1，则f(－x)＝lg 1＋x －x ＋1＝lg(1－x x ＋1)－1＝－lg 1－xx ＋1，∴f(x)是奇函数.即函数f(x)的图象关于原点成中心对称. (2)B ＝{x|x 2＋2ax －1＋a 2≤0}，得－1－a ≤x ≤1－a ，即B ＝[－1－a,1－a]， 当a ≥2时，－1－a ≤－3,1－a ≤－1，由A ＝(－1,1)，B ＝[－1－a,1－a]，有A ∩B ＝∅. 反之，若A ∩B ＝∅，可取－a －1＝2，则a ＝－3，a 小于2. 所以，a ≥2是A ∩B ＝∅的充分不必要条件.16.【解题指南】(1)把点P 的坐标代入两函数解析式，结合x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d 有唯一解，可求得b ，c ，d ，(2)若F(x)在R 上是单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≥0或F ′(x)≤0.【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝－2－1＋2＋d ＝－2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝－3d ＝－3，且x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d ，即2x 2＋(b －2)x ＋c －d ＝0有唯一解， 所以Δ＝(b －2)2－8(c －d)＝0，即b 2－4b －8c －20＝0， 消去c 得b 2＋4b ＋4＝0，解得b ＝－2，c ＝－1，d ＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x 2－2x －1，g(x)＝－x 2＋2x －3， 故g ′(x)＝－2x ＋2， F(x)＝(f(x)＋m)·g ′(x) ＝(x 2－2x －1＋m)·(－2x ＋2)＝－2x 3＋6x 2－(2＋2m)x ＋2m －2， F ′(x)＝－6x 2＋12x －2－2m.若F(x)在R 上为单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≤0或F ′(x)≥0成立. 因为F ′(x)的图象是开口向下的抛物线， 所以F ′(x)≤0在R 上恒成立，所以Δ＝122＋24(－2－2m)≤0，解得m ≥2， 即m ≥2时，F(x)在R 上为单调递减函数.17.【解析】(1)f ′(x)＝1k (x 2－k 2)e xk ，令f ′(x)＝0，得x ＝±k.当k ＞0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k ，＋∞)；单调递减区间是(－k ，k). 当k ＜0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k ，＋∞)；单调递增区间是(k ， －k).(2)当k ＞0时，因为f(k ＋1)＝ek 1k+＞1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e. 当k ＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e .所以∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e ，等价于f(－k)＝4k 2e ≤1e ，解得－12≤k ＜0.故对∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 时，k 的取值范围是[－12，0).18.【解析】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件，则月平均利润y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y 与x 的函数关系式为 y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1).(2)y ′＝5a(4－2x －12x 2)，令y ′＝0得x 1＝12，x 2＝－23(舍)，当0<x<12时y ′>0；12<x<1时y ′<0，∴函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为20(1＋12)＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【变式备选】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m 米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 【解析】(1)设需要新建n 个桥墩，(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1，所以y ＝f(x)＝256n ＋(n ＋1)(2＋x)x ＝256(m x －1)＋mx (2＋x)x＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x)＝－256m x 2＋1212mx －＝m2x2(x 32－512).令f ′(x)＝0，得x 32＝512，所以x ＝64，当0<x<64时，f ′(x)<0，f(x)在区间(0,64)上为减函数； 当64<x<640时，f ′(x)>0，f(x)在区间(64,640)上为增函数， 所以f(x)在x ＝64处取得最小值，此时， n ＝m x －1＝64064－1＝9， 故需新建9个桥墩才能使y 最小.19.【解题指南】(1)由函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，可得－m 2＋2m ＋3>0，再由f(x)为偶函数得m 的值.(2)g(x)仅在x ＝0处有极值，则意味着g ′(x)＝0有唯一一个变号零点是0.【解析】(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0即m 2－2m －3<0，∴－1<m<3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f(x)＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f(x)＝x 4是偶函数， ∴f(x)＝x 4.(2)g(x)＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ， g ′(x)＝x(x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根.为使g(x)仅在x ＝0处有极值，则有x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式，得a ∈[－2,2].这时，g(0)＝－b 是唯一极值，∴a ∈[－2,2].20.【解析】(1)∵g(x)＝12(x －1)2＋32，x ∈[0,3]， 当x ＝1时，g(x)min ＝g(1)＝32； 当x ＝3时，g(x)max ＝g(3)＝72， 故g(x)在[0,3]上的值域为[32，72]. (2)f ′(x)＝lnx ＋1，当x ∈(0，1e)，f ′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(1e，＋∞)，f ′(x)>0，f(x)单调递增. ①0<t<t ＋2<1e，t 无解； ②0<t<1e <t ＋2，即0<t<1e 时，f(x)min ＝f(1e) ＝－1e； ③1e ≤t<t ＋2，即t ≥1e时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增，f(x)min ＝f(t)＝tlnt ； 所以f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1e ，0<t<1e tlnt ，t ≥1e .(3)g ′(x)＋1＝x ，所以问题等价于证明xlnx>x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，由(2)可知f(x)＝xlnx(x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到； 设m(x)＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))， 则m ′(x)＝1－x e x ， 易得m(x)max ＝m(1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有xlnx>g ′(x)＋1e x －2e成立.。
第二章 函数、导数及其应用测试题
高三级第一次考试 文科数学(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.) 1.函数y =( )(A)(]0,8 (B)(-2,8] (C)(2,8] (D)[8,+∞) 2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上是增加的函数是( )(A)y=x 3 (B)y=|x|+1 (C)y=-x 2+1 (D)y=2-|x| 3.已知实数a=log 45,b=(12)0,c=log 30.4,则a,b,c 的大小关系为( )(A)b<c<a (B)b<a<c (C)c<a<b (D)c<b<a 4.若已知函数2log ,0()91,0xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则f(f(1))+f(log 312)的值是( )(A)7 (B)2 (C)5 (D)35.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增加的,则满足f(2x-1)<f(13)的x 的取值范围是( )(A)12(,)33(B) 12[,)33(C) 12(,)23(D) 12[,)236.函数f(x)=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增加的( )(A) 3(,)22ππ(B)(π,2π) (C) 35(,)22ππ (D)(2π,3π)7.已知函数(3)5,1,()2,1,a x x f x ax x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(,)-∞+∞上的减函数,则a 的取值范围是( ) (A)(0,3) (B)(0,3] (C)(0,2) (D)(0,2]8.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,对任意x ∈R,都有f(x+4)=f(x)+2f(2),且f(-1)=2,则f(2015)等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)49.若0<a<1,-1<b<0,则函数y=b+1x a+的图象为()10.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)< 12,则f(x)<122x+的解集为( )(A){x|-1<x<1} (B){x|x<-1} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x>1}11.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c=++（a、b、c是常数），下图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A3.50分钟B3.75分钟C4.00分钟D4.25分钟12. 已知函数log()(,ay x c a c=+为常数，其中0,1)a a>≠的图象如右图，则下列结论成立的是（）A.1,1a c>> B1,01a c><<C01,1a c<<> D01,01a c<<<<二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2+2)<f(3x),则实数x的取值范围是.14.若方程lnx+2x-10=0的解为x0,则不小于x0的最小整数是.15. 函数2()lg f x x =的单调递减区间是________ 16. 已知42a =，lg x a =，则x =________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知二次函数f (x )的图像过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．18.（12分）已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．19.(12分) 若方程lg (－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在x ∈(0,3)内有唯一零点，求实数m 的取值范围．20.(12分)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1， (1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值．21.(12分)函数f(x)=log 2(4x)·log 2(2x),14≤x ≤4. (1)若t=log 2x,求t 的取值范围.(2)求f(x)的最值,并给出取最值时对应的x 的值.22.(12分) 已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12. (1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．答案解析1.【解析】选B.由⇒⇒-2<x≤8.2.【解析】选B.对于A:y=x3是奇函数,不合题意;对于C,D:y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+≦)上是减少的,不合题意;对于B:y=|x|+1的图像如图所示,知y=|x|+1符合题意,故选B.3.【解析】选D.由题知,a=log45>1,b=()0=1,c=log30.4<0,故c<b<a.4.【解析】选A.f(1)=log21=0,所以f(f(1))=f(0)=2.因为log3<0,所以f(log3)=+1=+1=+1=+1=4+1=5,所以f(f(1))+f(log3)=2+5=7,故选A.[来源:]5.【解析】选A.f(x)是偶函数,其图像关于y轴对称,又f(x)在[0,+≦)上是增加的,≨f(2x-1)<f()⇔f(|2x-1|)<f(),则|2x-1|<,解得<x<.6.【解析】选B.f′(x)=(xcosx-sinx)′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,由函数是增加的,则f′(x)≥0,又各选项均为正实数区间,所以sinx≤0,故选B.7.【解析】选D.≧f(x)为(-≦,+≦)上的减函数,≨解得0<a≤2.8.【解析】选B.在f(x+4)=f(x)+2f(2)中,令x=-2得f(2)=f(-2)+2f(2),即f(2)=f(2)+2f(2),故f(2)=0.因此f(x+4)=f(x),即f(x)是以4为周期的函数.又2013=4×503+1,所以f(2013)=f(1)=f(-1)=2.9.【解析】选C.从定义域看,x≠-a,-1<-a<0,排除A,D;从值域看,y≠b,-1<b<0,排除B.10.【思路点拨】令g(x)=f(x)--,根据g(x)的单调性解不等式.【解析】选D.令g(x)=f(x)--, ≨g ′(x)=f ′(x)-<0,≨g(x)为减函数,g(1)=f(1)-1=0, ≨g(x)=f(x)--<0的解集为{x|x>1}. 11. 【答案】B【解析】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上，所以930.7,1640.8,2550.5,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得0.2a =- ， 1.5b =，2c =-，所以20.2 1.52p t t =-+- 215130.2()416t =--+，当153.754t ==时，p 取最大值，故此时的 3.75t =分钟为最佳加工时间 12. 【答案】D【解析】因为函数是减函数，所以01a << ，排除选项A 、B ；因为函数log ()(,a y x c a c =+为常数，其中0,1)a a >≠的图象是由log a y x = 得图像向左平移不到1个单位而得到，所以01c <<13.【解析】由f(x)=lnx+2x⇒f ′(x)=+2xln 2>0(x ∈(0,+≦)),所以f(x)在(0, +≦)上是增加的,又f(x 2+2)<f(3x)⇒0<x 2+2<3x ⇒x ∈(1,2). 答案:(1,2)14.【解析】令f(x)=lnx+2x-10, 则f(5)=ln 5>0,f(4)=ln 4-2<0, ≨4<x 0<5,≨不小于x 0的最小整数是5. 答案:515. 【答案】(,0)-∞【解析1】因为2()g x x = 在区间(,0)-∞上递减，()lg h x x =在区间(0,)+∞ 上递增，所以复合函数2()(())lg f x h g x x == 在区间(,0)-∞上递减【解析2】因为2()lg f x x =，所以222()ln10ln10x f x x x '==令()0f x '<，得0x <16.【解析】因为42a=，所以12a =由lg x a =，得x = 17. 解析：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)， 将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，∴a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8当x ∈[0,3]时，由二次函数图像知f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0.(3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥3}． 18. 解析 (1)证明：方法一：设x 2>x 1>0， 则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．方法二：∵f (x )＝1a －1x，∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x′＝1x2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，∴a ＝25.19. 解析：原方程可化为－(x －2)2＋1＝m (0<x <3)，设y 1＝－(x －2)2＋1(0<x <3)，y 2＝m ， 在同一坐标系中画出它们的图像(如图所示)．由原方程在(0,3)内有唯一解，知y 1与y 2的图像只有一个公共点， 可见m 的取值范围是－3<m ≤0或m ＝1.20. 解析 (1)证明 函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，函数f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．(2) 当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，又f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )＝f (2－x )＝22－x－1，x ∈[1,2]．(3) ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1又f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013) ＝f (2 012)＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.21.【解析】(1)≧t=log 2x,≤x ≤4,≨log 2≤t ≤log 24即-2≤t ≤2. (2)f(x)=(log 2x)2+3log 2x+2,≨令t=log 2x, 则y=t 2+3t+2=(t+)2-, 当t=-,即log 2x=-,x=时,f(x)min =-.当t=2,即x=4时,f(x)max =12.22. 解析 (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋b x.又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝0，f 1＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝x ＋1x －1x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数y ＝f (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．。
导数及其应用章末检测试题(理)
导数及其应用测试题一:选择题1．设函数0()f x x 在可导，则000()(3)limt f x t f x t t→+--=（ ）A ．'0()f xB ．'02()f x - C ．'04()f x D ．不能确定 2．（2007年浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）3．下列说法正确的是 ( )A ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极大值B ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极小值C ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极值D ．当f(x 0)为函数f(x)的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 4．已知函数x x f =)(，在0=x 处函数极值的情况是（ ）A ．没有极值B ．有极大值C ．有极小值D ．极值情况不能确定5．曲线321x y =在点⎪⎭⎫⎝⎛41,8R 的切线方程是（ ）A ．02048=-+y xB ．48200x y ++=C ．48200x y -+=D ．4200x y --=6．已知曲线)1000)(100(534002≤≤-++=x x x y 在点M 处有水平切线，则点M 的坐标是（ ）．A ．（-15，76）B ．（15，67）C ．（15，76）D ．（15，-76） 7．已知函数x x x f ln )(=，则（ ）A ．在),0(+∞上递增B ．在),0(+∞上递减C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递增 D ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递减8．（2007年福建卷）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，9．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．2π5B ．43 C.32 D ．π210．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）y x O y xO yx O yxO A ． B ． C ． D ．1- yxO11A ．14 B ．15 C ．16 D ．17二、填空题11．函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是_____________．12．若一物体运动方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=)2( )3()3(329)1( )30(2322t t t t s则此物体在1=t 和3=t 时的瞬时速度是________．13．求由曲线1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积为___________．14．（2006年湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)’＝2πr ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
高考数学刷题首选卷 单元质量测试(二)函数、导数及其应用 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
单元质量测试(二)=时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2018·某某某某一模)函数f (x )＝11－x＋lg (1＋x )的定义域为( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案 C解析 由题意知1＋x >0且x ≠1．故选C ．2．(2018·某某某某一模)若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 f (x )是定义在R 上的奇函数可以推出f (0)＝0，但f (0)＝0不能推出函数f (x )为奇函数，例如f (x )＝x 2．故选B ．3．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－13答案 C解析 设f (x )＝x n，则f (4)f (2)＝4n 2n＝2n＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝12n ＝13，故选C ． 4．(2018·某某测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1 答案 C解析 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．5．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16答案 D解析 因为f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16．6．(2018·某某某某一中月考)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y ＝3000＋20x －0．1x 2(0<x<240，x ∈N *)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不少于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 答案 C解析 设利润为S (万元)，则S ＝25x －(3000＋20x －0．1x 2)＝0．1x 2＋5x －3000．令S ≥0，解得x ≥150．故选C ．7．已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案 B解析 解法一：由y ＝f (x )的图象知，f (x )＝当x ∈[0，2]时，2－x ∈[0，2]，所以f (2－x )＝故y ＝－f (2－x )＝图象应为B ．解法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1．观察各选项，可知应选B ．8．(2018·某某二模)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1B ．45C ．－1D ．－45答案 C解析 函数f (x )是奇函数，且周期为4，4<log 220<5，则f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f log 245＝－2log245＋15＝－1，故选C ．9．已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( ) A ．0＜f ′(2)＜f ′(3)＜f (3)－f (2) B ．0＜f ′(3)＜f ′(2)＜f (3)－f (2) C ．0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2) D ．0＜f (3)－f (2)＜f ′(2)＜f ′(3) 答案 C解析 观察图象可知，该函数在(2，3)上为连续可导的增函数，且增长的速度越来越慢．所以各点处的导数在(2，3)上处处为正，且导数的值逐渐减小，所以f ′(2)>f ′(3)，而f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，表示连接点(2，f (2))与点(3，f (3))割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在(2，3)之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则必有0<f ′(3)<f (3)－f (2)3－2<f ′(2)．故选C ．10．(2018·某某某某一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2e)＝－f (x )(其中e ＝2．7182…)，且在区间[e ，2e]上是减函数，令a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系(用不等号连接)为( )A ．f (b )>f (a )>f (c )B ．f (b )>f (c )>f (a )C ．f (a )>f (b )>f (c )D ．f (a )>f (c )>f (b ) 答案 A解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，满足f (x ＋2e)＝－f (x )，∴f (x ＋2e)＝f (－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝e 对称，∵f (x )在区间[e ，2e]上为减函数，∴f (x )在区间[0，e]上为增函数，又易知0<c <a <b <e ，∴f (c )<f (a )<f (b )，故选A ．11．(2018·某某某某模拟)已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对x ∈[1，2]，y ∈[2，3]恒成立，则实数a 的取值X 围是( )A ．[－1，＋∞) B．(－∞，1] C ．(0，2] D ．[－1，2] 答案 A解析 不等式xy ≤ax 2＋2y 2对x ∈[1，2]，y ∈[2，3]恒成立，即a ≥y x －2y x2对x ∈[1，2]，y ∈[2，3]恒成立，令t ＝y x，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1，3]上恒成立，设y ＝－2t 2＋t ＝－2t －142＋18(t ∈[1，3])，∴y max ＝－1，∴a ≥－1．故选A ．12．(2018·某某某某一模)已知函数f (x )＝(e 为自然对数的底数)，则函数F (x )＝f [f (x )]－1e 2f (x )－1的零点个数为( )A ．8B ．6C ．4D ．3 答案 B解析 令f (x )＝t ，则由F (x )＝0得f (t )＝1e2t ＋1．作出y ＝f (x )的函数图象如图所示：设直线y ＝k 1x ＋1与曲线y ＝e x相切，切点为(x 0，y 0)，则解得x 0＝0，k 1＝1．设直线y ＝k 2x ＋1与曲线y ＝ln x 相切，切点为(x 1，y 1)，则解得x 1＝e 2，k 2＝1e2．∴直线y ＝1e 2t ＋1与f (t )的图象有4个交点，不妨设4个交点横坐标为t 1，t 2，t 3，t 4，且t 1<t 2<t 3<t 4，由图象可知t 1<0，t 2＝0，0<t 3<1，t 4＝e 2．由f (x )的函数图象可知f (x )＝t 1无解，f (x )＝t 2有一个解，f (x )＝t 3有三个解，f (x )＝t 4有两个解．∴F (x )有6个零点．故选B ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2018·某某市诊测)⎠⎛01(1－x 2＋x ＋x 3)d x ＝________．答案π＋34解析 因为⎠⎛01(1－x 2＋x ＋x 3)d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛01(x ＋x 3)d x ，由几何意义知⎠⎛011－x 2d x ＝π4，又⎠⎛01(x ＋x 3)d x ＝12x 2＋14x 410＝34，所以⎠⎛01(1－x 2＋x ＋x 3)d x ＝π＋34．14．若函数y ＝f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f(x ＋1)－f(x －1)的定义域为________．答案 {1}解析 由条件可得解得x ＝1，所以g(x)的定义域为{1}．15．(2018·江淮十校联考)已知f(x)＝若f(x)有最大值，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，3]∪(4，＋∞)解析 当x≤2时，y ＝x 3－3x ，y′＝3(x ＋1)(x －1)，所以y ＝x 3－3x 在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，在(1，2)上单调递增，又f(－1)＝f(2)＝2，所以f(x)在(－∞，2]上的最大值为2；当a 2>2，即a>4时，f(x)在(2，＋∞)上的最大值为f a2，所以f(x)的最大值为max f(2)，f a 2，故最大值一定存在；当a2≤2时，f(x)在(2，＋∞)上单调递减，若f(x)有最大值，则即a≤3，综上可得实数a 的取值X 围是(－∞，3]∪(4，＋∞)．16．(2018·某某七校二模)设x ，y ∈R ，定义x ⊗y ＝x (a －y )(a ∈R ，且a 为常数)，若f (x )＝e x ，g (x )＝e －x ＋2x 2，F (x )＝f (x )⊗g (x )．①g (x )不存在极值；②若f (x )的反函数为h (x )，且函数y ＝kx 与函数y ＝|h (x )|有两个交点，则k ＝1e ；③若F (x )在R 上是减函数，则实数a 的取值X 围是(－∞，－2]； ④若a ＝－3，在F (x )的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直． 其中真命题的序号有________(把所有真命题的序号都写上)． 答案 ②③解析 由题意可得F (x )＝f (x )⊗g (x )＝e x(a －e －x－2x 2)，则F ′(x )＝－e x (2x 2＋4x －a )．g ′(x )＝－e －x ＋4x ，当g ′(x )＝0，即4x ＝1e x时，由函数y ＝4x ，y ＝1ex 的图象可知g ′(x )＝0有一解x 0，且x <x 0时，g ′(x )<0，x >x 0时，g ′(x )>0，则g (x )存在极小值g (x 0)，①错误；函数f (x )＝e x的反函数为h (x )＝ln x ，若函数y ＝kx 与y ＝|ln x |有两个交点，则y ＝kx 与y ＝ln x (x >1)相切，设切点(x 0，ln x 0)，则1x 0＝ln x 0x 0，解得x 0＝e ，即切线斜率k＝1e，②正确；若F (x )在R 上是减函数，则F ′(x )＝－e x (2x 2＋4x －a )≤0在R 上恒成立，即2x 2＋4x －a ≥0在R 上恒成立，则Δ＝16＋8a ≤0，a ≤－2，③正确；当a ＝－3时，F ′(x )＝－e x(2x 2＋4x ＋3)＝－e x [2(x ＋1)2＋1]<0，即F (x )的曲线上任意点的切线斜率都是负数，所以不存在两点的切线斜率乘积为－1，④错误．综上所述，真命题序号是②③．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m ，求a ，m 的值． 解 (1)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫1a －1x2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2>0，∴f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．(2)由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调递增函数，∵函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝m ，即1a －2＝12，且1a －12＝m ，解得a ＝25，m ＝2．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3． (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间为(－2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1， 因此12a －164a＝－1，解得a ＝1．(3)由指数函数的性质知，要使函数f(x)的值域是(0，＋∞)，则需函数h(x)＝ax2－4x ＋3的值域为R，因为二次函数的值域不可能为R，所以a＝0．19．(2018·某某某某一中月考)(本小题满分12分)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1．(1)当x∈[1，2]时，求f(x)的解析式；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)的值．解(1)当x∈[1，2]时，2－x∈[0，1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1，2]．(2)已知函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，又f(x)是以4为周期的周期函数．所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝504×(0＋1＋0－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝1．20．(2018·某某某某一中月考)(本小题满分12分)据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的函数图象如图所示．过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即时间t内沙尘暴所经过的路程s(单位：km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解(1)由题中给出的函数图象可知，当t＝4时，v＝3×4＝12(km/h)，∴s ＝12×4×12＝24(km)．(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550．综上可知，s ＝(3)∵t ∈[0，10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10，20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20，35]时，令－t 2＋70t －550＝650， 解得t ＝30．故沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．21．(2018·某某二模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－12x 2－ax 有两个极值点x 1，x 2(e 为自然对数的底数)．(1)某某数a 的取值X 围； (2)求证：f (x 1)＋f (x 2)>2．解 (1)∵f (x )＝e x －12x 2－ax ，∴f ′(x )＝e x－x －a ．设g (x )＝e x－x －a ，则g ′(x )＝e x－1． 令g ′(x )＝e x －1＝0，解得x ＝0．∴当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增． ∴g (x )min ＝g (0)＝1－a ．当a ≤1时，f ′(x )＝g (x )≥0，函数f (x )单调递增，无极值点； 当a >1时，g (0)＝1－a <0，且当x →＋∞时，g (x )→＋∞；当x →－∞时，g (x )→＋∞．∴当a >1时，f ′(x )＝g (x )＝e x－x －a 有两个零点x 1，x 2． 不妨设x 1<x 2，则x 1<0<x 2．∴函数f (x )有两个极值点时，实数a 的取值X 围是(1，＋∞)． (2)证明：由(1)知，x 1，x 2为g (x )＝0的两个实数根，x 1<0<x 2，且g (x )在(－∞，0)上单调递减．下面先证x 1<－x 2<0，只需证g (－x 2)<0． ∵g (x 2)＝e x 2－x 2－a ＝0，得a ＝e x 2－x 2， ∴g (－x 2)＝e －x 2＋x 2－a ＝e －x 2－e x 2＋2x 2． 设h (x )＝e －x－e x＋2x (x >0)， 则h ′(x )＝－1e x －e x＋2<0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h (x )<h (0)＝0，∴g (－x 2)<0，即x 1<－x 2<0． ∵函数f (x )在(x 1，0)上单调递减， ∴f (x 1)>f (－x 2)， ∴要证f (x 1)＋f (x 2)>2， 只需证f (－x 2)＋f (x 2)>2， 即证e x 2＋e －x 2－x 22－2>0． 设函数k (x )＝e x ＋e －x －x 2－2(x >0)， 则k ′(x )＝e x －e －x－2x ． 设φ(x )＝k ′(x )＝e x－e －x－2x ，φ′(x )＝e x ＋e －x －2>0，∴φ(x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )>φ(0)＝0，即k ′(x )>0，∴k (x )在(0，＋∞)上单调递增，k (x )>k (0)＝0， ∴当x ∈(0，＋∞)时，e x ＋e －x －x 2－2>0， 则e x 2＋e －x 2－x 22－2>0，∴f (－x 2)＋f (x 2)>2，∴f (x 1)＋f (x 2)>2．22．(2018·某某五中模拟)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a e x，g (x )＝ln (ax )＋52，a >0．(1)若y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线过点(3，3)，求a 的值并讨论h (x )＝xf (x )＋m (x 2＋2x －1)(m ∈R )在(0，＋∞)上的单调递增区间；(2)定义：若直线l ：y ＝kx ＋b 与曲线C 1：f 1(x ，y )＝0，C 2：f 2(x ，y )＝0都相切，则我们称直线l 为曲线C 1，C 2的公切线．若曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )存在公切线，试某某数a 的取值X 围．解 (1)由f (x )＝a e x ，得f ′(x )＝a e x ．又f (1)＝a e ，故f (x )在x ＝1处的切线方程为y －a e ＝a e(x －1)．将点(3，3)代入切线方程，得a ＝1e． 所以f (x )＝e x －1．从而h (x )＝x e x －1＋m (x 2＋2x －1)(m ∈R )， h ′(x )＝(x ＋1)(e x －1＋2m )．①当m ≥0时，h ′(x )>0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，故h (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；②当1＋ln (－2m )≤0，即－12e≤m <0时，h ′(x )≥0，x ∈(0，＋∞)，故h (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；③当1＋ln (－2m )>0，即m <－12e时， 由h ′(x )>0得x >1＋ln (－2m )，故h (x )的单调递增区间为(1＋ln (－2m )，＋∞)．综上，当m ≥－12e时，h (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当m <－12e时，h (x )的单调递增区间为(1＋ln (－2m )，＋∞)． (2)设f (x )＝a e x 的切点横坐标为x ＝x 1，f ′(x )＝a e x，则f (x )在x ＝x 1处的切线方程为 y －a e x 1＝a e x 1(x －x 1)．①设g (x )＝ln (ax )＋52的切点横坐标为x ＝x 2，g ′(x )＝1x， 则g (x )在x ＝x 2处的切线方程为y －ln (ax 2)－52＝1x 2(x －x 2)．② 联立①②，得消去x 2得a ＝1e x 1·x 1－32x 1－1(x 1≠1)． 考虑函数φ(x )＝1e x ·x －32x －1， φ′(x )＝－1e x ·(2x －1)(x －2)2(x －1)2． 令φ′(x )＝0，得x ＝12或2． 当x <12或x >2时，φ′(x )<0，函数y ＝φ(x )在－∞，12，(2，＋∞)上单调递减；当12<x <2且x ≠1时，φ′(x )>0，函数y ＝φ(x )在12，1，(1，2)上单调递增． 而φ12＝2e，φ(2)＝12e 2， 故当a ∈0，12e 2∪2e ，＋∞时，方程a ＝1e x 1·x 1－32x 1－1有解， 从而，若函数f (x )＝a e x 与g (x )＝ln (ax )＋52存在公切线，则a 的取值X 围为0，12e2∪2e ，＋∞．。
(常考题)人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测题(答案解析)
一、选择题1．已知函数222,0()11,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2⎡⎤-⎣⎦B ．(],1-∞C ．()2-D ．2⎡⎤-⎣⎦2．已知1x ，2x 是函数()3211232x b f ax x c x =+++（a ，b ，c ∈R ）的两个极值点，()12,0x ∈-，()20,2x ∈，则2a b +的取值范围为（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,4-C ．()2,-+∞D ．()4,4-3．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b 的取值范围为（ ）A ．1b <且0b ≠B ．1b >C ．2b <且0b ≠D ．2b >4．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（ ）A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为1655．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()()()g x x f x '=+在[0,]x π∈内的单调递增区间是（ ）A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x xf'x 0->（x 0>），则（ ）A ．()((6f 13f 2f ->>B ．((()2f 3f 6f 1>>-C ．()((6f 12f 3f ->>D ．((()3f 2f 6f 1>>-7．已知函数f (x )(x ∈R )满足(1)1f =，且()f x 的导数f ′(x )>12，则不等式1()22x f x <+的解集（ ） A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－1，1)8．若函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ） A ．51[,)8+∞ B ．(],3-∞C ．51,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[)3,+∞9．如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是29y x =-+，则()()44f f '+的值为（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．210．函数()22xx f x e-=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．11．设函数f (x )＝24x －a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－212．若函数()33=-f x x x 在区间()5,21a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,4-B ．()1,4-C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 二、填空题13．如图，C 、D 是两所学校所在地，C 、D 到一条公路的垂直距离分别为8,27CA km DB km ==.为了缓解上下学的交通压力，决定在AB 上找一点P ，分别向C 、D修建两条互相垂直的公路PC 和PD ，设02APC πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则当PC PD +最小时，AP =_______km .14．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为________. 15．函数32()22=-f x x x 在区间[1,2]-上的最大值是___________.16．设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若仅存在两个整数n 使得()0f n <，则实数a 的取值范围是__________.17．已知函数(a ≤0)，函数，若不存在，使，则实数的取值范围为___．18．已知函数()f x sinx cosx =+，()'f x 是()f x 的导函数，若()()00'2f x f x =，则2020012sin x cos x sin x +=-______．19．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)=f ________20．已知函数f(x)＝x 3－2x 2＋x ＋a ，g(x)＝－2x ＋9x，若对任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[2,4]，使得f(x 1)＝g(x 2)，则实数a 的取值范围是________．三、解答题21．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.22．已知函数()()21ln 12f x x a x =+-. （1）当2a =-时，求()f x 的单调区间；（2）设()()21g x f x x -=+，证明：当1a ≥时，()g x 有两个极值点1x ，2x ，并求2212x x +的取值范围.23．已知函数()ln f x x x =，()2()g x x ax a R =+∈.（1）设()f x 图象在点()1,0处的切线与()g x 的图象相切，求a 的值； （2）若函数2()()()f x F x g x x =+存在两个极值点1x ，2x ，且1232x x -≤，求()()12F x F x -的最大值.24．已知函数21()ln 2f x x x =+． （1）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值及最小值；（2）对x D ∈，如果函数()f x 的图象在函数()G x 的图象的下方，则称函数()f x 在区间D 上被函数()G x 覆盖．求证：函数()f x 在区间(1,)+∞上被函数32()3g x x =覆盖． 25．设函数()ln f x x x =． （1）设()()f xg x x'=，求()g x 的极值点； （2）若210x x >>时，总有()()()2221212m x x f x f x ->-恒成立，求实数m 的取值范围．26．已知函数()x a f x x e=+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）当1a =-时，求函数() f x 在区间[0,)+∞的零点个数；（2）若()2xe f x <对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】作出函数()f x 的图象，利用数形结合的思想判断a 的范围，找出临界点即相切时a 的取值，进而得出a 的范围． 【详解】作出()f x 的图象，如图，由图象可知： 要使()f x ax 恒成立，只需函数()g x ax =的图象恒在图象()f x 的下方， 可得1a ，设()g x ax =与函数2()22(0)f x x x x =++相切于点(),(0)P m n m <， 由()f x 的导数为22x +，可得切线的斜率为22m +， 即有22a m =+，222am m m =++， 解得2m =-，222a =- 由图象可得222a -，综上可得a 的范围是[222-，1]． 故选：A 【点睛】解决此类问题的关键是作出函数图象，根据数形结合的思想处理问题，本题关键找出相切时刻这一临界位置，利用直线与抛物线相切即可求解.2．D解析：D 【分析】求()f x 的导函数，导函数根的分布建立不等关系，再由线性规划得解. 【详解】()22f x x ax b '=++为二次函数开口向上，∵1x 和2x 是()f x 的极值点，∴1x 和2x 是()f x '的两个零点 ∵()12,0x ∈-，()20,2x ∈，∴()()()200020f f f ⎧->⎪<⎨⎪>⎩，即20020a b b a b -+>⎧⎪<⎨⎪++>⎩ 如图为线性区域，令2t a b =+，则2b t a =-， 画出2b a =-平移至点A ，此时t 最小min 4t =- 平移至点C ，此时t 最大，则4t =， ∴2a b +的范围是()4,4-． 故选D ． 【点睛】关键点睛：利用二次函数根的分布，建立关于,a b 的不等关系，再利用线性规划求最值.3．B解析：B 【分析】由x b =既是()f x 的极小值点，又是零点，且()f x 的最高次项系数为1，因此可设2()()()f x x b x m =-+，这样可求得1m =-，然后求出()'f x ，求得()'f x 的两个零点，一个零点是b ，另一个零点2x 必是极大值点，由2b x >可得b 的范围． 【详解】因为()0f b =，x b =是函数()f x 的极小值点，结合三次函数的图象可设2()()()f x x b x m =-+，又2()()()f x x b x ax b =-++，令0x =得22b m b =-，1m =-，即2()(1)()f x x x b =--，22()3(42)2f x x b x b b '=-+++()(32)x b x b =---，由()0f x '=得1x b =，223b x +=， x b =是极小值点，则23b +是极大值点，23b b +>，所以1b >． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．4．D解析：D 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线22260x y ln +--=上，则221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出d 的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M 的最小值，并可求出此时对应的2x 从而得解． 【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线24220x y ln +--=上，221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方．由2y lnx x =-+，得11y x'=-，与直线22260x y ln +--=平行的直线的斜率为12k =-．令1112x -=-，得2x =，则切点坐标为(2,2)ln ，切点(2,2)ln 到直线22260x y ln +--=的距离d == 即221212()()M x x y y =-+-的最小值为165． 又过(2,2)ln 且与22260x y ln +--=垂直的直线为22(2)y ln x -=-，即2420x y ln --+=，联立222602420x y ln x y ln +--=⎧⎨--+=⎩，解得145x =，即当M 最小时，2145x =． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．5．C解析：C 【分析】先对函数()f x 求导，再利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间. 【详解】()cos2f x x =， ()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，令2222232k x k πππππ-+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C . 【点睛】本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解，以及复合函数的导数的求法，熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键，是中档题.6．B解析：B 【分析】根据条件的结构特点构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可． 【详解】设g （x ）=()2x f x ，定义在R 上的奇函数f （x ），所以g （x ）是奇函数，x ＞0时，g′（x ）=()()()()22'x f x xf x f x -，因为函数f （x ）满足2f （x ）﹣xf'（x ）＞0（x ＞0），所以g′（x ）＞0，所以g （x ）是增函数，g (g =()11f -，可得：((()2361f f f -＞＞． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中构造新函数()()2x g x f x =，利用导数得到函数()g x 的单调性，利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7．A解析：A 【分析】 根据f ′(x )>12，构造函数 ()()122x g x f x =-- ，又()()1111022=--=g f ，然后将不等式1()22x f x <+，转化为1()022--<x f x ，利用单调性的定义求解. 【详解】 因为f ′(x )>12， 所以()102f x '-> 所以()()()()()110222x g x f x g x f x g x =--⇒=->⇒'' 在R 上递增， 又()()1111022=--=g f ， 所以不等式1()22x f x <+，即为1()022--<x f x ， 即为：()()1g x g <， 所以1x <， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了构造转化求解问题的能力，属于中档题.8．A解析：A 【分析】由函数()f x 在区间[]1,4上单调递减，得到不等式'()0f x ≤在[]1,4x ∈恒成立，再根据二次函数根的分布，求实数t 的取值范围. 【详解】因为函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，所以'2()3230f x x tx =-+≤在[]1,4x ∈恒成立，所以(1)0,(4)0,f f '≤'≤⎧⎨⎩即40,5180,t t -≤⎧⎨-≤⎩解得：518t ≥. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题.9．C解析：C 【分析】由切线方程可得切点坐标和切线斜率，进而可得结果.【详解】切线方程为：29y x =-+，当4,1x y ==，()4-2'=f 则()41=f ，()(4)4-1'+=f f 故选：C 【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.10．D解析：D 【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性确定正确选项. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()22x x f x f x e--==，所以()f x 为偶函数，排除AB 选项.当0x >时，()22xx f x e -=， ()2'22xx x f x e-++=，令'0f x 解得31x =+，所以()f x 在()0,31+递增，在()31,++∞上递减.所以C 选项不符合，D 选项符合. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数研究函数的单调性.11．B解析：B 【解析】f ′(x )＝－，故f ′(2)＝－＝3，因此a ＝－4.12．C解析：C 【分析】对函数()f x 进行求导，可得函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，可得()f x 的图像，由函数在区间()5,21a a -+上有最小值，数形结合可得关于a的不等式，计算可得答案. 【详解】解：由3()3f x x x =-，可得()2333(1)(1)f x x x x '=-+=--+，当11x -<<，()0f x '>，当1x <-或1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，则()f x 的图像如图所示，因为函数在区间()5,21a a -+上有最小值，故51212a a -<-<+， 解得：112a -<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题，体现了数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.二、填空题13．12【分析】由题意得：再利用导数求函数的最小值即可；【详解】由题意得：当时当得：当得：当时取得最小值故答案为：12【点睛】利用导数求函数的最值注意不一定要把的值求出直接利用复合函数的性质可简化计算量解析：12 【分析】 由题意得：827sin sin cos sin()2AC DB y PC PD πθθθθ=+=+=+-，再利用导数求函数的最小值即可； 【详解】 由题意得：827sin sin cos sin()2AC DB y PC PD πθθθθ=+=+=+-，33'228cos 27sin sin cos y θθθθ-=-，当'0y =时，2tan 3θ=，当'0y >得：2tan 3θ>，当'0y <得：2tan 3θ<， ∴当2tan 3θ=时，y 取得最小值， ∴8122tan 3AC AP θ===， 故答案为：12. 【点睛】 利用导数求函数的最值，注意不一定要把θ的值求出，直接利用复合函数的性质，可简化计算量.14．【分析】先求导根据单调性求函数最大值即可【详解】因为当时函数递增当时函数递减所以故答案为：【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较取其最小或最大不确定时要分类讨论解析：2π 【分析】 先求导，根据单调性求函数最大值即可. 【详解】因为()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=， 当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，函数()f x 递增， 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f x '<，函数()f x 递减， 所以max ()sin cos 22222f x f πππππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2π． 【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论.15．8【分析】对函数求导由导数确定单调区间由单调性确定极值再比较极值与函数端点值即可确定函数最值【详解】f′(x)=6x2-4x=2x(3x-2）已知x ∈-12当2≥x>或-1≤x<0时f′(x)>0f解析：8 【分析】对函数求导，由导数确定单调区间，由单调性确定极值，再比较极值与函数端点值，即可确定函数最值.【详解】f ′(x )=6x 2-4x = 2x (3x -2）， 已知x ∈[-1，2]，当2 ≥ x >23或-1 ≤ x <0时， f ′(x )>0， f （x ）单调递增区间是2[1,0),(,2]3-， 当0<x <23时，f ′(x )<0， f （x ）单调递减区间是2(0,)3，故函数在0x =处取极大值，f （0）=0，又f (2)=8，故 f （x ）的最大值是8. 故答案为：8 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了计算能力，属于基础题目.16．【分析】设则存在两个整数使得利用导数分析函数的单调性与极值作出函数的图象可得出关于的不等式组进而可求得实数的取值范围【详解】设由题意可知存在两个整数使得当时；当时函数的最小值为而直线恒过定点如下图所解析：253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】设()()21xg x e x =-，y ax a =-，则存在两个整数1x 、2x ，使得()()1122g x ax a g x ax a ⎧<-⎪⎨<-⎪⎩，利用导数分析函数()y g x =的单调性与极值，作出函数()y g x =的图象，可得出关于a 的不等式组，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】 设()()21xg x ex =-，y ax a =-，由题意可知，存在两个整数1x 、2x 使得()()1122g x ax ag x ax a ⎧<-⎪⎨<-⎪⎩，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.∴函数()y g x =的最小值为()min 12g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()01g =-，()10g e =>，而直线y ax a =-恒过定点()1,0，如下图所示：则满足不等式()0f x <的两个整数解应分别为11x =-，20x =，所以()()1223g a g a ⎧-<-⎪⎨-≥-⎪⎩，即23253a ea e ⎧->-⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩，解得25332a e e ≤<. 因此，实数a 的取值范围是253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究函数不等式的整数解问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.17．-10【解析】【分析】先求导分别求出导函数的最值再根据不存在x1x2∈R 使得f′（x1）＝g′（x2）得到关于a 的不等式解得即可【详解】∵函数f （x ）＝ex ﹣ax 函数g （x ）＝﹣x3﹣ax2∴f′（ 解析：【解析】 【分析】先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′（x 1）＝g ′（x 2），得到关于a 的不等式解得即可． 【详解】∵函数f （x ）＝e x ﹣ax ，函数g （x ）＝﹣x 3﹣ax 2， ∴f ′（x ）＝e x ﹣a ＞﹣a ，g ′（x ）＝﹣x 2﹣2ax ＝﹣（x ）2，∵不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′（x 1）＝g ′（x 2）， ∴，解得-1≤a ≤0， 故答案为．【点睛】本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题．18．【分析】求出导函数后由可得再结合可得又化简可得代入求值可得即为所求【详解】∵∴由得∴∵由得又∴把代入得：∴故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系式解题时注意公式的灵活应用和变形同时注意整体代换在解 解析：1115【分析】求出导函数后由()()00'2f x f x =可得003cosx sinx =-，再结合22001sin x cos x +=可得20110sin x =．又化简可得22002200011215sin x sin x cos x sin x sin x ++=-+，代入求值可得20201111515sin x sin x +=+，即为所求．【详解】∵()f x sinx cosx =+， ∴()'f x cosx sinx =-，由()()00'2f x f x =，得000022cosx sinx sinx cosx -=+， ∴003cosx sinx =-， ∵()2222000022220000000001111.21212315sin x sin x sin x sin x cos x sin x sin x sinx cosx sin x sinx sinx sin x ++++===---⋅---+①由003cosx sinx =-，得22009cos x sin x =， 又22001sin x cos x +=，∴201.10sin x =② 把②代入①得：20201111515sin x sin x +=+． ∴20200111215sin x cos x sin x +=-．故答案为1115． 【点睛】本题考查同角三角函数关系式，解题时注意公式的灵活应用和变形，同时注意整体代换在解题中的作用，属于基础题．19．-1【解析】【分析】首先对函数求导然后利用方程思想求解的值即可【详解】由函数的解析式可得：令可得：则【点睛】本题主要考查导数的运算法则基本初等函数的导数公式方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力解析：-1 【解析】 【分析】首先对函数求导，然后利用方程思想求解()'1f 的值即可. 【详解】由函数的解析式可得：()()1'2'1f x f x=+， 令1x =可得：()()1'12'11f f =+，则()'11f =-. 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【解析】【分析】分别求出g （x ）f （x ）的最大值和最小值得到不等式组解出即可【详解】问题等价于f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集显然g （x ）单调递减∴g （x ）max=g （2）=g （x ）min=g （解析：73,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】分别求出g （x ），f （x ）的最大值和最小值，得到不等式组，解出即可． 【详解】问题等价于f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集， 显然，g （x ）单调递减，∴g （x ）max =g （2）=12，g （x ）min =g （4）=﹣234； 对于f （x ），f′（x ）=3x 2﹣4x+1，令f′（x ）=0，解得：x=13或x=1， x ，f′（x ），f （x ）的变化列表如下：max min ∴1222344a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩，∴a ∈[﹣74，﹣32]， 故答案为：[﹣74，﹣32]． 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．三、解答题21．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性；（2）构造函数2()ln x x e x ϕ-=-，利用导数可得()x ϕ'在(0,)+∞上有唯一实数根0x ，且012x <<，则可得()0()0x x ϕϕ≥>，即得证.【详解】 （1）11()(0)ax f x a x x x-'=-=>， 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=， 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）设函数2()ln x x e x ϕ-=-，则21()x x exϕ-'=-，可知()x ϕ'在(0,)+∞上单调递增. 又由(1)0ϕ'<，(2)0ϕ'>知，()x ϕ'在(0,)+∞上有唯一实数根0x ，且012x <<，则()020010x x e x ϕ-'=-=，即0201x e x -=.当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减； 当()0x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增； 所以()0200()ln x x x ex ϕϕ-≥=-，结合021x e x -=，知002ln x x -=-， 所以()()22000000001211()20x x x x x x x x x ϕϕ--+≥=+-==>，则2()ln 0x x e x ϕ-=->， 即不等式2()x e ax f x --≥恒成立.【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明2()ln x x e x ϕ-=-的最小值大于0.22．（1）()f x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析，(]1,7. 【分析】（1）求出()()2122121x x f x x x x-++'=--=，然后可求出答案；（2）首先得出()()221ax a x g x x-++'=，设()()221h x ax a x =-++，设()0h x =的两个根为12,x x ，可得1220a x x a ++=>，1210x x a⋅=>，即可证明()g x 有两个极值点1x ，2x ，然后利用()222212121222242211x x x x x x a a a a⎛⎫+=+-=+-=++ ⎪⎝⎭可求出其范围.【详解】（1）当2a =-时，()()()2ln 10f x x x x =-->，()()2122121x x f x x x x-++'=--=. 令()0f x '=，即22210x x -++=，解得12x =（负值舍去）.当0x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上，()f x 的单调递增区间为12⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）由（1）得()()()2121ln 1212g x f x x x a x x =-+=+--+， ()()()221112ax a x g x a x x x-++'=+--=. 设()()221h x ax a x =-++，因为()222440a a a =+-=+>△，且1220a x x a ++=>，1210x x a⋅=>， 所以()0h x =在()0,∞+上有两个不等实根1x ，()2120x x x <<， 且当()10,x x ∈，()2,x +∞时，()0h x >，()0g x '>； 当()12,x x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. 故1x ，2x 是()g x 的两个极值点. 由12221a x x a a++==+，121=x x a .得()222212121222242211x x x x x x a a a a ⎛⎫+=+-=+-=++ ⎪⎝⎭.又因为1a ≥，所以101a<≤， 解得221217x x <+≤.即2212x x +的取值范围是(]1,7.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟悉导数的运算，准确的算出函数的导数，然后要将2212x x +转化为()212122x x x x +-进行求解. 23．（1）3a =或1-；（2）154ln 24-. 【分析】（1）利用导数的几何意义求出()f x 图象在点()1,0处的切线方程，再根据判别式可求得a 的值；（2）利用12,x x 是()0F x '=，即2220x ax ++=的两个正实根，可得12x x +，12x x ，不妨设1201x x <<<，根据单调性可得12()()F x F x >，将()()12F x F x -表示为关于2x 的函数，利用导数可求得最大值. 【详解】（1）()ln f x x x =，1()ln 1ln f x x x x x'=+⋅=+， 所以()f x 图象在点()1,0处的切线的斜率为(1)1f '=， 所以()f x 图象在点()1,0处的切线方程为1y x =-， 联立21y x y x ax=-⎧⎨=+⎩，消去y 并整理得2(1)10x a x +-+=， 依题意可得2(1)40a ∆=--=，解得3a =或1-. （2）2()()()f x F x g x x=+22ln x x ax =++(0)x >，2222()2x ax F x x a x x++'=++=(0)x >， 依题意可得12,x x 是()0F x '=，即2220x ax ++=的两个正实根，所以122ax x +=-，121=x x ， 不妨设1201x x <<<，则当12x x x <<时，2220x ax ++<，则()F x '0<，()F x 在12(,)x x 上单调递减，则12()()F x F x >，所以1212()()()()F x F x F x F x -=-221112222ln 2ln x x ax x x ax =++---22112122()2lnx x x a x x x =-+-+ 222222222211112()()2ln x x x x x x x =--+-+ 22222212ln x x x =--， 令22t x =，则1t >，又1232x x -≤，所以22132x x -≤，即2222320x x --≤，解得212x <≤，所以14t <≤，设1()2ln h t t t t =--(14)t <≤，则22212(1)()10t h t t t t-'=+-=≥， 所以()h t 在(1,4]上单调递增，所以当4t =时，()h t 取得最大值115()42ln 44ln 244h t =--=-， 即()()12F x F x -的最大值为154ln 24-. 【点睛】关键点点睛：设1201x x <<<，将()()12F x F x -表示为关于2x 的函数，利用导数求最大值是解题关键.24．（1）()2max12e f x =+；()min 12f x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用导数，判断函数的单调区间，再求函数的最值；（2）利用导数证明函数3221()()()ln 032h x g x f x x x x =-=-->恒成立，即证明()min 0h x >. 【详解】 （1）1()f x x x'=+ 当[1,e]x ∈时，()0f x '>，∴() f x 在[1,]e 递增()2max ()12e f x f e ==+ ()min 1(1)2f x f == （2）令3221()()()ln 32h xg x f x x x x =-=-- 21()2h x x x x'=-- ()()323232111x x x x x x x--==-+- ()21(1)21x x x x=-++ ∵1x >，∴()0h x '>∴()h x '在(1,)+∞上递增()min 211(1)0326h x h ==-=> ∴()g x 的图像在()f x 的上方，∴()f x 在区间(1,)+∞上被函数()g x 覆盖．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等主要方法有两个，比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.25．（1）1x =是函数的极大值点，无极小值点；（2）[)1,+∞．【分析】（1）求得()g x ，进而得到()g x '，判断()g x '与0的关系即可得出函数()g x 的单调区间，得极值点；（2）引入新函数()()22m m x f x x =-，依题意可得函数()m x 在()0,∞+上单调递减，求导可知1ln x m x+≥在()0,∞+上恒成立，结合函数()g x 的单调性，求得()g x 在()0,∞+上的最大值，即可得到实数m 的取值范围．【详解】解：（1）()1ln f x x '=+，()1ln x g x x +=， ()2ln x g x x ∴'=-， 显然，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，∴函数()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故1x =是函数的极大值点；（2）对于()()()2221212m x x f x f x ->-可化为()()22112222m m f x x f x x ->-， 令()()22m m x f x x =-， 210x x >>，()m x ∴在()0,∞+上单调递减，()1ln 0m x x mx ∴'=+-≤在()0,∞+上恒成立，即1ln x m x +≥， 又()1ln x g x x+=在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ()g x ∴的最大值为()11g =，1m ∴≥，即实数m 的取值范围为[)1,+∞．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立求参数的取值范围，解题关键是引入新函数()()22m m x f x x =-，已知不等式说明了此函数的单调性，由导数根据此函数单调性可求得参数范围． 26．（1）1个；（2）2122e e a --+<.【分析】（1）求导得到函数的单调性，再利用零点存在性定理得解（2）分离参变量，不等式恒成立转化为求函数的最值得解【详解】（1）()x f x x e -=-，0x ≥，()10x f x e '-=+>故()f x 在[0,)+∞递增，又(0)1f =-，1(1)10f e -=->(0)(1)0f f <，故()f x 在(0,1)上存在唯一零点因此()f x 在区间[0,)+∞的零点个数是1个；（2）1x ∀≥-，2x x e x ae -+<恒成立，即1x ∀≥-，2e 2xx a xe <-恒成立 令2()2xx e g x xe =-，1x ≥-，则min ()a g x < ()()1x x g x e x e '=--，令()1x h x e x =--，1x ≥-()1x h x e '=-，[1,0)x ∈-时，()0h x '<，0x >时，()0h x '> 故()h x 在[1,0)-递减，(0,)+∞递增，因此()(0)0h x h ≥=所以，()0g x '≥，故 ()g x 在[1,)-+∞递增 故21min2()(1)2e e g x g --+=-=，因此2122e e a --+<. 【点睛】不等式恒成立问题解决思路：一般参变分离、转化为最值问题.。
2022届《龙门亮剑》高三数学一轮复习 阶段质量检测课时精练 （理）新人教AB通用
阶段质量检测二函数、导数及其应用本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．2022年上海模拟函数f＝错误!与函数g＝og错误!||在区间－∞，0上的单调性为A．都是增函数B．都是减函数C．f是增函数，g是减函数D．f是减函数，g是增函数【解析】f＝错误!在∈－∞，0上为减函数，g＝og错误!－在－∞，0上为增函数．【答案】 D2．已知函数f＝错误!，则f错误!的值是A．9C．－9 D．－错误!【解析】f错误!＝f错误!＝f－2＝3－2＝错误!【答案】 B3．设a＝，b＝，c＝og2＋>1，则a，b，c的大小关系是A．a20＝1，∴11，∴c＝og2＋>og2＝2，∴c>a>b【答案】 B4．已知函数f1＝a，f2＝a，f3＝og a其中a>0，且a≠1在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是【解析】从选项A可看出两图象应为f1＝a与f2＝a，由f1的图象知a>1，由f2的图象知a1，由f3图象知a>1，可能正确．对于选项C，表示f1＝a与f3＝og a的图象，由f1知a>1，由f3知01，由f1的图象知01，函数＝|og a|的定义域为[m，n]m27时′>0，∴＝27时，取最小值，最小值为36 450元，故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36 450元．20．12分2022年上海模拟已知函数f＝a＋错误!≠0，常数a∈R．1讨论函数f的奇偶性，并说明理由；2若函数f在∈[3，＋∞上为增函数，求a的取值范围．【解析】1定义域－∞，0∪0，＋∞，关于原点对称；当a＝0时，f＝错误!，满足对定义域上任意，f－＝f，∴a＝0时f是偶函数；当a≠0时，f1＝a＋1，f－1＝1－a，若f为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾，若f为奇函数，则1－a＝－a＋1,1＝－1矛盾，∴当a≠0时，f是非奇非偶函数．2任取1>2≥3，f1－f2＝a1＋错误!－a2－错误!＝a1－2＋错误!＝1－2错误!，∵1－2>0，f在[3，＋∞上为增函数，∴a>错误!，即a>错误!＋错误!在[3，＋∞上恒成立，∵错误!＋错误!＝f，＝g有公共点，且在公共点处的切线相同．1若a＝1，求b的值；2用a表示b，并求b的最大值．【解析】1设＝f与＝g>0在公共点0，0处的切线相同．f′＝＋2，g′＝错误!，由题意知f0＝g0，f′0＝g′0，∴错误!，由0＋2＝错误!得0＝1或0＝－3舍去，即有b＝错误!2设＝f与＝g>0在公共点0，0处的切线相同．f′＝＋2a，g′＝错误!，由题意f0＝g0，f′0＝g′0，即错误!由0＋2a＝错误!得0＝a或0＝－3a舍去，即有b＝错误!a2＋2a2－3a2n a＝错误!a2－3a2n a令ht＝错误!t2－3t2n tt>0，则h′t＝2t1－3n t．于是当t1－3n t>0，即00；当t1－3n te错误!时，h′t0，且f1＋f3＝－21求a的值；2试研究函数f的单调性，并比较ft与2错误!错误!0，所以a＝22由1知函数f＝错误!，其定义域为－∞，2∪2，＋∞．设1、2∈－∞，2且1f错误!＝错误!，ht2错误!当t∈错误!时，fth错误!＝错误!，2ht>2错误!>23＝8，所以ft2错误!；当t∈错误!时，ft0且错误!≠错误!，所以m＝－2错误!2＋错误!∈－∞，0∪0，错误!]．所以实数m的取值范围是－∞，0∪0，错误!]．。
(常考题)人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测题(包含答案解析)(4)
一、选择题1．若函数()321233f x x x =+-在 区间(),5a a +内存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)5,0-B ．()5,0-C ．[)3,0-D ．()3,0-2．函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的图象如图所示，给出下列命题：①-3是函数y =f (x )的极值点； ②y =f (x )在区间(-3，1)上单调递增； ③-1是函数y =f (x )的最小值点； ④y =f (x )在x =0处切线的斜率小于零. 以上正确命题的序号是（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．设()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数，()f x '为其导函数，已知()()1221f x f x -=-，()20f -=，当0x >时，()()xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．()(),20,2-∞-D ．()()0,22,+∞4．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π24a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<5．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，则使得()()240x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()2,00,2-⋃B ．()(),22,-∞-⋃+∞C ．()()2,02,-⋃+∞D ．()(),20,2-∞-⋃6．若函数()()22co 102s x f x x f x '=++，则6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．0B ．6πC ．3π D ．π7．函数()3sin cos 2xxf x x x =+在[]2,2ππ-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)16f =，且()f x 的导函数'()41f x x <-，则不等式2()21f x x x <-+的解集为（ ） A ．{}|33x x -<< B ．{}|3x x >- C ．{}|3x x >D ．{|3x x <-或3x9．已知函数()[]1sin ,0,3f x x x x π=-∈且[]001cos ,0,3x x π=∈那么下列命题中真命题的序号是（ ）①()f x 的最大值为()0f x ； ②()f x 的最小值为()0f x ； ③()f x 在上[]0,π是减函数； ④()f x 在上[]0,x π上是减函数. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．已知函数()xe f x ax x =-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],e -∞B ．(),e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11．α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ>B ．0αβ+>C ．αβ<D ．22αβ>12．已知函数f x =x+cosx （），则f'=6π⎛⎫⎪⎝⎭（ ） A ．12B ．32C ．31-D ．3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知()f x '是函数()()322113f x mx m x n x =-+-+的导函数，若函数()x y f f '=⎡⎤⎣⎦在区间[],1m m +上单调递减，则实数m 的范围是______.14．若点P 是函数2()ln f x x x =-上任意一点，则点P 到直线x ﹣y ﹣2=0的最小距离为_____.15．设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若仅存在两个整数n 使得()0f n <，则实数a 的取值范围是__________.16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，且对任意0x >都有()()0x f x f x '⋅->成立，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是______.17．已知函数()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈的最小值为2，则实数m 的值为____________． 18．在二维空间中，正方形的一维测度（周长）（为正方形的边长），二维测度（面积）；在三维空间中，正方体的二维测度（表面积）（为正方形的边长），三维测度（体积）；应用合情推理，在四维空间中，“超立方”的三维测度，则其四维测度__________．19．已知()()'1ln f f x x x x=+，则()'1f =__________．20．已知()5234501234532x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++的值为______三、解答题21．若函数()32143f x x ax bx =+-+在2x =-和1x =处取得极值. （1）求函数()f x 的解析式； （2）讨论方程()f x k =实数解的个数.22．已知函数311()ln 62f x x x x x =+-. （1）求曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程；（2）若()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，求a 的最小值.23．已知函数()3233f x x x bx c =-++在0x =处取得极大值1.（1）求函数()y f x =的图象在1x =处切线的方程； （2）若函数()f x 在[],2t t +上不单调，求实数t 的取值范围. 24．已知函数2()(2)x x f x ae a e x =-++ （1）若0a >，求()f x 的单调递增区间；（2）若存在正实数0x ，使得0()f x e =-，求实数a 的取值范围. 25．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值． （1）求a ，b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[]1,2x ∈，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围．26．若函数24()2ln 3f x ax x x =+-在1x =处取得极值． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间及极值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用导数求出函数()f x 的极小值为()203f =-，由题意可知()0,5a a ∈+，再由()()0f x f =求得x 的值，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】解：由题意，()()222f x x x x x '=+=+，当2x <-或0x >时，()0f x '>；当20x -<<时，()0f x '<. 故()f x 在(),2-∞-，()0,∞+上是增函数，在()2,0-上是减函数， 所以，函数()f x 的极小值为()203f =-. 作其图象如图，令32122333x x +-=-得3230x x +=，解得0x =或3x =-， 结合图象可知3050a a -≤<⎧⎨+>⎩，解得，[)3,0a ∈-.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数在区间上存在最值求参数，解本题的关键就是弄清楚函数()f x 的极小值点在区间(),5a a +内，通过求得()()30f f -=，数形结合得出实数a 所满足的不等式组，综合性较强.2．A解析：A 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】根据导函数图象可知：当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，在()3,1x ∈-时，()0f x '≥∴函数()y f x =在(),3-∞-上单调递减，在()3,1-上单调递增，故②正确；则3-是函数()y f x =的极小值点，故①正确；∵在()3,1-上单调递增，1∴-不是函数()y f x =的最小值点，故③不正确； ∵函数()y f x =在0x =处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故④不正确.故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查导函数图象在函数单调性和极值中的应用，考查导数的几何意义，其中利用导函数判断单调性的步骤为： 先求出原函数的定义域； 对原函数求导；令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．3．B解析：B 【分析】由已知条件得函数()f x 为偶函数，引入()()g x xf x =，利用导数可得(0,)+∞上()g x 为增函数，结合(2)0=g 可解不等式()0>g x ，从而得()0f x >在(0,)+∞上的解，再由偶函数得出结论． 【详解】由()()1221f x f x -=-，可知()f x 为偶函数，构造新函数()()g x xf x =，则()()()g x xf x f x ''=+，当0x >时()0g x '>. 所以()()g x xf x =在()0,∞+上单调递增，又()20f =，即()20g =. 所以由()()0g x xf x =>可得2x >，此时()0f x >.又()f x 为偶函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为()(),22,-∞-+∞.故选：B ． 【点睛】本题考查的奇偶性与单调性，考查由导数确定函数的单调性，具有奇偶性的函数的不等式求解时，如果是偶函数，可利用单调性求出(0,)+∞上的解，然后再利用奇偶性得出{|0}x x ≠上的解集，如果是奇函数可由奇函数定义得出函数在R 上的单调性，然后由单调性解不等式．4．D解析：D 【分析】 首先设函数()()sin f x g x x=，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小. 【详解】 设()()sin f x g x x=，()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数， 并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin 4f ag ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即a b c >>. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型.5．D解析：D 【分析】构造函数()ln (),g x xf x = 根据()g x '的符号判断函数单调性，结合函数单调性的特点，得当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,再解不等式即可. 【详解】构造函数()ln (),g x xf x =则()()()()ln ()ln f x f x x xf x g x xf x xx+''=+'=，已知当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，所以在x>0时，()g x '<0，即g （x ）在（0，+∞）上是减函数，因为y=lnx 在（0，+∞）上是增函数，所以f （x ）在（0，+∞）上是减函数 已知()()f x x R ∈是奇函数，所以f （x ）在（-∞，0）上也是减函数，f （0）=0， 故当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,由()()240x f x ->得224040()0()0x x f x f x ⎧⎧->-<⎨⎨><⎩⎩或 ，解得x<-2或0<x<2 故选D. 【点睛】本题考查了函数的导数与函数的单调性的关系，考查了奇函数，以及不等式的解法，关键是构造函数，根据函数单调性分析f （x ）＞0与f （x ）＜0的解集.6．B解析：B 【分析】先对函数()f x 求导，采用赋值的方式计算出()0f '的结果，由此计算出6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值. 【详解】因为()()20sin 1f x x f x ''=-+，所以令0x =，则()01f '=，所以()2sin 1f x x x '=-+，则66f ππ⎛⎫'= ⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查导数中的计算，采用赋值法求解出函数解析中的未知量是解答的关键，难度一般.7．C解析：C 【分析】 利用()()'2,0f f π确定正确选项.【详解】()23sin 222cos 2202f ππππππ=+⋅=>，由此排除BD 选项. 当0x ≥时，()3sin cos 2xxf x x x =+， ()'3cos 3ln 2sin cos sin 2xx xf x x x x -⋅=+-，()'031040f =+-=>，由此排除A 选项.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象识别，考查导数的运用.8．C解析：C 【分析】根据题意，设2()()21g x f x x x =-+-，求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 在R 上为减函数，则原不等式可以转化为()()3g x g <，结合函数的单调性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，设2()()21g x f x x x =-+-，其导数()()41g x f x x '='-+， 又由()41f x x '<-，即()410f x x '-+<， 则()0g x '<，即函数()g x 在R 上为减函数，又由f （3）16=，则g （3）f =（3）18310-+-=， ()()22()21()2103f x x x f x x x g x g <-+⇒-+-<⇒<，又由函数()g x 为减函数，则有3x >，则不等式2()21f x x x <-+的解集为{|3}x x >； 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．9．B解析：B 【解析】本题考查导数及函数的最值、单调性 由()1sin 3f x x x =-得()/1cos 3f x x =- 令()/1cos 03fx x =-=有1cos 3x =；因为01cos 3x =，则0x 为函数()1sin 3f x x x =-的一个极值点.当[]0,x π∈时，函数cos y x =递减，所以当()00,x x ∈时()/0f x >，函数递增，则③错误，；当()0,x x π∈时()/0fx <，函数递减，④正确．故0x 是函数的一个极大值点且唯一，故此点也是最大值点，①正确，②错误. 故正确答案为①④ 所以本题选B10．D解析：D 【分析】由题意得出()()1122x f x x f x <，构造函数()2xg x e ax =-，可知函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增，可得出()20x g x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，利用参变量分离法可得出2x e a x ≤，利用导数求得函数()2xe h x x=在区间()0,∞+上的最小值，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】函数()xe f x ax x=-的定义域为()0,∞+，当21x x >时，()()1221f x f x x x <恒成立， 即()()1122x f x x f x <，构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，则()()12g x g x <，所以，函数()2xg x e ax =-在区间()0,∞+上为增函数，则()20xg x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，2xea x∴≤，令()2xe h x x=，其中0x >，则()min a h x ≤.()()212x e x h x x-'=，当01x <<时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减； 当1x >时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增. 所以，函数()y h x =的最小值为()()min 12e h x h ==，2e a ∴≤.因此，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．D解析：D 【分析】构造函数()sin f x x x =，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项. 【详解】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又 ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D. 【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.12．A解析：A 【分析】求导，将6x π=代入即可求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭'.. 【详解】已知函数f x =x+cosx,'x =1-sinx,f ∴（）（） 则 11sin .662f ππ⎛⎫=-'= ⎪⎝⎭故选A. 【点睛】本题考查函数在一点处的导数的求法，属基础题.二、填空题13．【分析】求出函数的导函数利用导函数研究原函数的单调区间再二次求导得从而得到的单调区间由导函数在区间上单调递增求出其值域将函数的单调性把问题转化为即可列出不等式即可求出的范围【详解】解：由函数得由得或 解析：[]1,0-【分析】求出函数()f x 的导函数，利用导函数研究原函数的单调区间，再二次求导得()22f x x m ''=-，从而得到()f x '的单调区间，由导函数在区间[m ，1]m +上单调递增求出其值域[]1,0-，将函数的单调性把问题转化为[][]1,01,1m m -⊆-+，即可列出不等式即可求出m 的范围. 【详解】解：由函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+，得222()21()1f x x mx m x m '=-+-=--， 由2()10x m -->，得1x m <-或1x m >+，∴函数()f x 的增区间为(,1)m -∞-，(1,)m ++∞，由2(1)0x m --<，得11m x m -<<+，∴函数()f x 单调减区间为[]1,1m m -+，由()22f x x m ''=-，则()0f x ''>时，x m >；()0f x ''<时，x m <，得()'f x 的单调增区间为[),m +∞，单调减区间为(],m -∞，函数()f x '在[],1m m +上单调递增，∴函数()f x '在[],1m m +上的值域为[]1,0-， 又函数[()]y f f x '=在区间[],1m m +上单调递减， 也就是函数()y f x =在区间[]1,0-上单调递减，因此要满足条件[][]1,01,1m m -⊆-+，即1110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得：10m -≤≤， ∴实数m 的范围是[]1,0-.故答案为：[]1,0-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据复合函数的单调性求参数取值范围，考查转化思想和运算能力，属中档题.14．【分析】结合图象可得P 为与直线x ﹣y ﹣2=0平行且与函数f （x ）相切的切线的切点根据导数几何意义求得点P 坐标最后根据点到直线距离公式得结果【详解】设x ﹣y+m=0与函数的图象相切于点P （x0y0）所【分析】结合图象可得P 为与直线x ﹣y ﹣2=0平行且与函数f （x ）相切的切线的切点，根据导数几何意义求得点P 坐标，最后根据点到直线距离公式得结果. 【详解】设x ﹣y +m =0与函数2()ln f x x x =-的图象相切于点P （x 0，y 0）.1()2f x x x '=-所以0121x x -=，x 0>0，解得x 0=1.∴y 0=1， ∴点P （1，1）到直线x ﹣y ﹣2=0的距离为最小距离d ==. 【点睛】本题考查导数几何意义以及点到直线距离公式，考查基本分析求解能力，属中档题.15．【分析】设则存在两个整数使得利用导数分析函数的单调性与极值作出函数的图象可得出关于的不等式组进而可求得实数的取值范围【详解】设由题意可知存在两个整数使得当时；当时函数的最小值为而直线恒过定点如下图所解析：253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】设()()21xg x e x =-，y ax a =-，则存在两个整数1x 、2x ，使得()()1122g x ax a g x ax a ⎧<-⎪⎨<-⎪⎩，利用导数分析函数()y g x =的单调性与极值，作出函数()y g x =的图象，可得出关于a 的不等式组，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】 设()()21xg x ex =-，y ax a =-，由题意可知，存在两个整数1x 、2x 使得()()1122g x ax a g x ax a ⎧<-⎪⎨<-⎪⎩，()()21x g x e x '=+，当21x<-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.∴函数()y g x =的最小值为()min 12g x g e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()01g =-，()10g e =>，而直线y ax a =-恒过定点()1,0，如下图所示：则满足不等式()0f x <的两个整数解应分别为11x =-，20x =，所以()()1223g a g a ⎧-<-⎪⎨-≥-⎪⎩，即23253a ea e ⎧->-⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩，解得25332a e e ≤<. 因此，实数a 的取值范围是253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究函数不等式的整数解问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.16．【分析】令可证为偶函数且为上的增函数考虑当时的解及当时的解它们的并是所求不等式的解集【详解】等价于令则当时有故为上的增函数而故当时的解为故当时的解为因故为偶函数当时等价于因为偶函数故当时的解为即当时 解析：(1,0)(1,)【分析】令()()f xg x x=，可证()g x 为偶函数且为()0,∞+上的增函数，考虑当0x >时，()0g x >的解及当0x <时，()0g x <的解，它们的并是所求不等式的解集.【详解】2()0x f x ⋅>等价于0()0x f x ≠⎧⎨>⎩， 令()()f x g x x =，则()()()2''xf x f x g x x-=， 当0x >时，有()'0g x >，故()g x 为()0,∞+上的增函数，而()10g =， 故当0x >时，()0g x >的解为()1,+∞， 故当0x >时，()0f x >的解为()1,+∞， 因()()()()f x f x g x g x x x--===-，故()g x 为偶函数， 当0x >时，()0f x >等价于()0g x <，因()g x 为偶函数，故当0x <时，()0g x <的解为()1,0-即当0x <时，()0f x >的解为()1,0-，综上，2()0x f x ⋅>的解集是(1,0)(1,)，填(1,0)(1,).【点睛】如果题设中有关于函数()f x 及其导数()'f x 的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.17．【分析】求出分三种讨论函数的单调性可得函数的最小值从而得到的值【详解】当时为减函数故解得舍；当时为减函数故舍；当时若故在上为减函数；若故在上为增函数；所以故符合；综上故填【点睛】求函数的最值应结合函 解析：e【分析】 求出'()f x ，分0m ≤，10m e <≤，1m e>三种讨论函数的单调性可得函数的最小值，从而得到m 的值. 【详解】()1'(),0,mx f x x e x-=∈， 当0m ≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，故 ()min 12f x me =-=，解得3m e=，舍；当10m e<≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数， ()()min 12f x f e me ==-=，故3m e=，舍；当1m e >时，若10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，'()0f x <，故()f x 在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数； 若1,x m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，'()0f x >，故()f x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数； 所以min 11()ln 2f x m m m=⨯-=，故m e =，符合； 综上，m e =，故填e . 【点睛】求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，如果导数的符号还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．18．12a4【解析】【分析】依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度）从而得到W=2a3从而得到W=12a4【详解】在二维空间中二维测度S=a2与一维测度（周 解析：【解析】 【分析】依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度），从而得到，从而得到．【详解】在二维空间中，二维测度与一维测度（周长）的关系是；在三维空间中，三维测度与二维测度的关系是，故在四维空间中，若“超立方”的三维测度，则其四维测度满足，所以，故（为常数），类比各个维度测度的解析式的形式可得，故，填．【点睛】本题考查类比推理，属于基础题．19．【解析】【分析】首先求得导函数利用赋值法令求解即可【详解】由函数的解析式可得利用赋值法令得解得【点睛】本题主要考查导数的运算法则方程思想的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：12【解析】 【分析】首先求得导函数，利用赋值法，令1x =求解()'1f 即可. 【详解】由函数的解析式可得()()2'11ln f f x x x'=+-，利用赋值法，令1x =，得()()11'1f f ='-，解得()1'12f =． 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．233【解析】分析：根据题意在（3﹣2x ）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中令x=0可得a0=243设y=（3﹣2x ）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5解析：233 【解析】分析：根据题意，在（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5中，令x=0可得a 0=243，设y=（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，求出其导数，分析可得y '=﹣104(32)x -=a 1+2a 2x+3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4，令x=1可得a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，将其值相加即可得答案．详解：根据题意，（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5中， 令x=0可得：35=a 0，即a 0=243，设y=（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5， 其导数y′=﹣10（3﹣2x ）4=a 1+2a 2x+3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x=1可得：﹣10=a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5， 则a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5=243﹣10=233； 故答案为：233点睛：（1）本题主要考查二项式定理的应用和导数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力基本的计算能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是想到赋值法，令x=0可得a 0=243，令x=1可得﹣10=a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5.其二是要看到0123452345a a a a a a +++++要想到求导.三、解答题21．（1）()32112432f x x x x =+-+；（2）答案见解析.（1）先对函数求导，根据函数的极值点，列出方程求解，得出,a b ，即可得出解析式； （2）由（1）的结果，利用导数的方法判定函数单调性，求出函数极值，即可得出结果. 【详解】 （1）由()32143f x x ax bx =+-+得()22f x x ax b =+-'， 因为函数()32143f x x ax bx =+-+在2x =-和1x =处取得极值， 所以()()2010f f ⎧-=⎪⎨=''⎪⎩，即440120a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a =，2b =， 所以()32112432f x x x x =+-+； （2）由（1）知，()32112432f x x x x =+-+，则()22f x x x '=+-； 令()0f x '=，解得2x =-或1x =， 随x 变化，()f x '与()f x 的变化情况如下：()f x ∴在2x =-处取得极大值，为()23f -=；在1x =处取得极小值，为()1716f =. ∴当176k <或223k >时，方程()f x k =有一解； 当176k =或223k =时，方程()f x k =有两解； 当172263k <<时，方程()f x k =有三解. 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法判定方程根的个数，或由方程根（函数零点）的个数求参数时，通常需要对函数求导，用导数的方法判定函数单调性，求出极值，再利用分类讨论的思想，即可求解；有时也需要利用数形结合的方法求解. 22．（1）23y =；（2）31162e e -.（1）求导211'()ln 22f x x x =--，再分别求得(1)f ，'(1)f ，用点斜式写出切线方程. （2）根据()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，则()max a f x >，再利用导数求解()max f x 即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞. 由已知得211'()ln 22f x x x =--，且2(1)3f =. 所以'(1)0f =.所以曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程为23y =. （2）设()'()g x f x =，（1x e e<<） 则211'()x g x x x x-=-=. 令'()0g x =得1x =.当x 变化时，'()g x 符号变化如下表：x 1(,1)e1 (1,)e '()g x-+()g x极小则，即，当且仅当时，.所以()f x 在1(,)e e上单调递增. 又311()62f e e e =-， 因为()f x a <对1(,)x e e∈恒成立， 所以31162a e e ≥-， 所以a 的最小值为为31162e e -. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<； 23．（1）320x y +-=；（2）20t -<<或02t <<. 【分析】（1）先对函数求导，利用题意列出方程组()()0001f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，从而求得函数解析式，之后利用导数的几何意义，结合直线方程点斜式求得切线方程；（2）先令导数等于零，求得函数的极值点，函数在给定区间上不单调的等价结果是零点在区间上，得到参数的范围. 【详解】（1）因为()2363f x x x b '=-+，由题意可得()()00,01,f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩解得0b =，1c =， 所以()3231f x x x =-+；经检验，适合题意， 又()11f =-，()13f '=-，所以函数()y f x =图象在1x =处切线的方程为()()131y x --=--， 即320x y +-=.（2）因为()236f x x x '=-，令2360x x -=，得0x =或2x =.当0x <时，()0f x '>，函数()f x 为增函数， 当02x <<时，()0f x '<，函数()f x 为减函数， 当2x >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数. 因为函数()f x 在[],2t t +上不单调， 所以02t t <<+或22t t <<+， 所以20t -<<或02t <<. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，解决该题的思路如下： （1）对函数求导，利用题意，列出方程组，求得函数解析式；（2）利用导数的几何意义，结合直线方程点斜式求得切线方程； （3）函数在给定区间上不单调等价结果是极值点在区间内.24．（1）当2a =时，单调增区间为(,)-∞+∞，当02a <<时，单调增区间为1(,ln )2-∞和1(ln ,)a +∞，当2a >时，单调增区间为1(,ln )a-∞和1(ln ,)2+∞（2）1a e≤. 【分析】（1）求()f x '()()211xxe ae =--，()0f x '=可以解得：11ln2x =，21ln x a =，讨论1a 和12的大小关系即可； （2）当0a ≤，()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)2f x f <=-所以存在；讨论当10a e <≤，11a e<<，1a ≥时()f x 的单调性，利用()f x 的最值即可判断. 【详解】 解：（1）()()2221xx f x aea e '=-++()()211x x e ae =--令()0f x '=，解得：11ln 2x =，21ln x a =，当112a =，即2a =时，()()2210x f x e '=-≥，此时()f x 在R 上单调递增； 单调增区间为(,)-∞+∞当112a >，即02a <<时，令()0f x '>得：1x e a >或12x e <，即1ln 2x <或1ln x a>，此时单调增区间为1(,ln )2-∞和1(ln ,)a+∞ 当112a <，即2a >时，令()0f x '>得：12x e >或1x e a <，解得：1ln 2x >或1ln x a<此时单调增区间为1(,ln )a -∞和1(ln,)2+∞ （2）()(21)(1)xxf x e ae '=--，0x >①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴()(0)2f x f <=-，又x →+∞时，()f x →-∞， ∴ 00x ∃>，使得0()f x e =-，②当0a >时，11()2()()2xxf x a e e a'=-- 若11a≤，即1a ≥时，()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()(0)2f x f e >=->-不满足， 若11a >，即01a <<时 ()f x 在1(0,ln )a 是单减，在1(ln ,)a+∞上单增 ∴min 11211()(ln )ln 1ln a f x f a a a a a a +==-+=--- 令1()1ln g a a a=---(01)a << 22111()0a g a a a a-'=-=>， ∴()g a 在(0,1)上单增，且1()11g e e e=--+=- ∴10a e <≤时，1()()g a g e e ≤=-，此时00x ∃>，使得0()f x e =-， 当11a e <<时，1()()g a g e e>=-不满足题意 综上所述：1a e ≤【点睛】本题主要考查了求函数的单调区间，考查了利用方程有解，求参数的范围，属于中档题.25．（1）122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，()f x 的递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞，递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1c <-或2c <．【分析】（1）求出()f x 的导数，由题可知23x =-与1x =是()0f x '=的两个根，即可求出,a b ，再利用导数即可求出单调区间；（2）根据（1）中的单调性，求出()f x 在[]1,2x ∈的最大值，令()2max f x c <，即可求出c 的范围.【详解】（1）()232f x x ax b =++'， ∴()212403931320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩，解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴()()()332321f x x x x x '=--=+-，令()0f x '>，解得23x <-或1x >；令()0f x '<，解得213x -<<，所以函数()f x 的递增区间是2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()1,+∞，递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）因为()32122f x x x x c =--+，[]1,2x ∈， 根据（1）函数()f x 的单调性，得()f x 在21,3⎛⎫--⎪⎝⎭上递增，在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在()1,2上递增， 所以当23x =-时，()2227f x c =+为极大值，而()222227f c c =+>+，所以()22f c =+为最大值． 要使()2f x c <对[]1,2x ∈-恒成立，须且只需()222c f c >=+，解得1c <-或2c <．【点睛】本题考查已知极值点求参数，考查利用导数求单调性，考查不等式的恒成立，属于中档题. 26．（1）13-（2）单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1),(2,)+∞，极小值为5(1)3f =，极大值为84(2)ln 233f =-． 【详解】 试题分析：（1）求出原函数的导函数，由函数在x=1时的导数为0列式求得a 的值；（2）把（1）中求出的a 值代入24()a 2ln 3f x x x x =+-，求其导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用导函数在不同区间段内的符号求单调期间，进一步求得极值点，代入原函数求得极值．试题（1）4()223f x ax x +-'=，由2(1)203f a ='+=，得13a =-． （2）214()2ln (0)33f x x x x x =-+->，242(1)(2)()2333x x f x x x x----'=-+=． 由()0f x '=，得1x =或2x =．当()0f x '>时12x <<；②当()0f x '<时01x <<或2x >．当x 变化时()'f x ，()f x 的变化情况如下表：因此，的单调递增区间是，单调递减区间是(0,1),(2,)+∞．函数的极小值为5(1)3f=，极大值为84(2)ln233f=-．考点：利用导数求过曲线上某点处的切线方程；利用导数研究函数的单调性。
人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数(),0,,0.lnx x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若0x R ∃∈使得()()00 f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞B ．1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2．已知奇函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且()11f =-，则“1x >-”是“()1xf x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件.3．已知函数2()85f x x x =---，()x e exg x ex+=，实数m ，n 满足0m n <<，若1x ∀∈[],m n ，2x ∃∈()0,∞+，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．D ．4．已知函数()2ln f x ax x x -=-有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．()0,1C ．21,e e +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．210,e e +⎛⎫⎪⎝⎭5．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b 的取值范围为（ ）A ．1b <且0b ≠B ．1b >C ．2b <且0b ≠D ．2b >6．设()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数，()f x '为其导函数，已知()()1221f x f x -=-，()20f -=，当0x >时，()()xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞C ．()(),20,2-∞-D ．()()0,22,+∞7．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π4a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<8．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=+⋅的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()3f -和极小值()2fB ．函数()f x 有极大值()1f -和极小值()2fC ．函数()f x 在()3,2x ∈--单调递增D ．函数()f x 在()1,2x ∈单调递增9．若函数()33=-f x x x 在区间()5,21a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,4- B ．()1,4- C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭10．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7B ．4C ．0D ．﹣411．已知()f x 的定义域为(0,)+∞，fx 为()f x 的导函数，且满足()()'f x xf x <-，则不等式(1)(1)f x x +>-()21f x -的解集是（ ）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,12．已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()()0,1,4,+∞C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,4)二、填空题13．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间t 的关系为()c f t =，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如下图所示．给出下列四个结论：① 在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；② 在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；③ 在23[,]t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； ④ 在12[,]t t ,23[,]t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同. 其中所有正确结论的序号是_____．14．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数.若()()()2202020202f m m f ->-，则实数m 的取值范围为______.15．已知()f x '是函数()()322113f x mx m x n x =-+-+的导函数，若函数()x y f f '=⎡⎤⎣⎦在区间[],1m m +上单调递减，则实数m 的范围是______.16．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+=⎨>⎩的图象上任意两点，且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最小值为______． 17．已知函数()ln 2f x x x =-+，存在(]00,4x ∈，使得()0f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是________． 18．若()()21ln 22f x x b x =-++在()1,-+∞上是减函数，则b 的取值范围是________． 19．已知函数(a ≤0)，函数，若不存在，使，则实数的取值范围为___．20．已知函数()()221f x x xf '=+，则()1f 的值为__________．三、解答题21．已知函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++， （1）当2a =时，求函数()f x 的极值； （2）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（3）若对a ∀∈(-3，-2)，12,x x ∈[1，3] ，不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数()2()2xx f x xe a x a R ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调性.23．已知函数32()f x x ax bx c =+++在0x 处取得极小值32-，其导函数为()'f x ．当x 变化时，()'f x 变化情况如下表：（1）求0x 的值； （2）求,,a b c 的值．24．设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值； （2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值； （3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围. 25．已知函数()(0)x xf x x e=>． （1）求函数()f x 的最大值；（2）若函数()()g x f x m =-有两个零点，求实数m 的取值范围；（3）若不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解，求实数a 的取值范围．26．已知函数211()ln (,0)22f x x a x a R a =--∈≠. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由已知建立方程，反解出k ，将问题转化为求函数值域问题，然后利用函数的性质求出最值即可求解. 【详解】由题意可得：存在实数00x ≠，使得()()00 f x f x -=成立，假设00x >，则00x -<， 所以有00ln kx x -=， 则0ln x k x =-， 令()ln xh x x=-， 则()2ln 1x h x x -'=， 令()0h x '>，即ln 1x >， 解得x e >，令()0h x '<，即ln 1x <， 解得0x e <<，则()h x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增， 所以()()()ln 1min e h x h x h e e e≥==-=-， 所以1k e≥-， 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查了分段函数的存在性问题，构造函数，利用导函数求最值是解决本题的关键.2．B解析：B 【分析】根据奇函数的定义和单调性可确定()f x 和()f x '的符号，由奇偶性定义可知()g x 为偶函数，利用导数可确定()g x 单调性；根据()()111g g =-=，利用单调性可求得()1xf x <的解集，根据推出关系可确定结论. 【详解】()f x 为(),-∞+∞上的奇函数，∴()00f =，又()f x 单调递减，∴当0x <时，()0f x >；当0x >时，()0f x <，且()0f x '≤， 令()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，()g x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()0xf x ≤；当0x <时，()0xf x <；()()g x xf x ∴=-，()()()()()g x f x xf x f x xf x '''∴=--=-+⎡⎤⎣⎦当0x ≥时，()0f x ≤，()0g x '∴≥，()g x ∴在[)0,+∞上单调递增， 由偶函数对称性知：()g x 在(],0-∞上单调递减；()()()1111g g f =-=-=，∴由()()1g x xf x =<得：11x -<<，()()1,11,≠-⊂-+∞，∴“1x >-”是“()1xf x <”的必要不充分条件.故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查充分条件与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件， 则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．3．B解析：B 【分析】先用导数法研究()y g x =，然后的同一坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =的图象，根据[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立求解. 【详解】因为()x e exg x ex+=，所以()()211x x e x e g x ex ex '-⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭， 当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()10g '=， 所以()g x 在1x =处取得极小值，且为定义域内唯一极值，()()min 12g x g ∴==.()22185()4111f x x x x -==---++≤，作函数()y f x =与()y g x =的图象， 如图所示：当()2f x =时，方程两根分别为7-和1-， 则n m -的最大值为：()176---=. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用导数和二次函数的性质，作出图像，利用数形结合进行求解，考查了转化化归的的思想、运算求解，以及数形结合的能力，属于中档题.4．B解析：B 【分析】函数()2()ln 0f x ax x x x =-->有两个零点，即方程2ln x xa x +=有两个根，设()2ln x xg x x+=，求出()g x '，研究出函数()g x 的单调性，由()g x 的图象与y a =有两个交点，得出a 参数的范围，即得结果. 【详解】 函数()2()ln 0f x ax x x x =-->有两个零点，由题意得方程2ln x x a x +=有两个根，设()2ln x xg x x+=，则y a =与()y g x =有两个不同的交点，又()2431(1)(ln (2)12ln ）x x x x x x x g x x x +-+--'==， 设()12ln h x x x =--，则()210h x x'=--<所以()12ln h x x x =--在()0,∞+上单调递减，又(1)0h = 当()()(0,1),0,0x h x g x '∈>>，所以()g x 在(0,1)上单调递增，当()()(1,),0,0x h x g x '∈+∞<<，所以()g x 在(1,)+∞上单调递减，又(1)1g =，22111()01e g e e e e -==-<⎛⎫ ⎪⎝⎭，当(1,)x ∈+∞时，ln 0x x +>，则()0g x >，即()g x 在(1,)+∞上单调递减，但恒正. 作出函数()y g x =的大致图象如下：要使()y g x =的图象与y a =有两个交点， 所以实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5．B解析：B 【分析】由x b =既是()f x 的极小值点，又是零点，且()f x 的最高次项系数为1，因此可设2()()()f x x b x m =-+，这样可求得1m =-，然后求出()'f x ，求得()'f x 的两个零点，一个零点是b ，另一个零点2x 必是极大值点，由2b x >可得b 的范围． 【详解】因为()0f b =，x b =是函数()f x 的极小值点，结合三次函数的图象可设2()()()f x x b x m =-+，又2()()()f x x b x ax b =-++，令0x =得22b m b =-，1m =-，即2()(1)()f x x x b =--，22()3(42)2f x x b x b b '=-+++()(32)x b x b =---，由()0f x '=得1x b =，223b x +=， x b =是极小值点，则23b +是极大值点，23b b +>，所以1b >． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．6．B解析：B 【分析】由已知条件得函数()f x 为偶函数，引入()()g x xf x =，利用导数可得(0,)+∞上()g x 为增函数，结合(2)0=g 可解不等式()0>g x ，从而得()0f x >在(0,)+∞上的解，再由偶函数得出结论． 【详解】由()()1221f x f x -=-，可知()f x 为偶函数，构造新函数()()g x xf x =，则()()()g x xf x f x ''=+，当0x >时()0g x '>. 所以()()g x xf x =在()0,∞+上单调递增，又()20f =，即()20g =. 所以由()()0g x xf x =>可得2x >，此时()0f x >.又()f x 为偶函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为()(),22,-∞-+∞.故选：B ． 【点睛】本题考查的奇偶性与单调性，考查由导数确定函数的单调性，具有奇偶性的函数的不等式求解时，如果是偶函数，可利用单调性求出(0,)+∞上的解，然后再利用奇偶性得出{|0}x x ≠上的解集，如果是奇函数可由奇函数定义得出函数在R 上的单调性，然后由单调性解不等式．7．D解析：D 【分析】 首先设函数()()sin f x g x x=，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小. 【详解】 设()()sin f x g x x=，()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数， 并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin 4f ag ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即a b c >>. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型.8．A解析：A 【分析】根据图象判断出导函数()f x '的符号，由此求得()f x 的单调区间、极大值、极小值. 【详解】当3x <-时，()()()10010x f x f x x ⎧+<⇒>⎨+<'⎩'，()f x 递增； 当31x -<<-时，()()()10010x f x f x x ⎧+>⇒<⎨+<'⎩'，()f x 递减； 当12x -<<时，()()()10010x f x f x x ⎧+<⇒<⎨+>'⎩'；当2x >时()()()10010x f x f x x ⎧+>⇒>⎨+>'⎩'，()f x 递增；综上：函数()f x 有极大值()3f -和极小值()2f . 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用图象判断函数的单调性和极值，属于中档题.9．C解析：C 【分析】对函数()f x 进行求导，可得函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，可得()f x 的图像，由函数在区间()5,21a a -+上有最小值，数形结合可得关于a的不等式，计算可得答案. 【详解】解：由3()3f x x x =-，可得()2333(1)(1)f x x x x '=-+=--+，当11x -<<，()0f x '>，当1x <-或1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，则()f x 的图像如图所示，因为函数在区间()5,21a a -+上有最小值，故51212a a -<-<+， 解得：112a -<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题，体现了数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.10．A解析：A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ． 11．B解析：B 【分析】构造函数()()F x xf x =，再根据单调性解不等式，即得结果. 【详解】令()()F x xf x =，则()()()0F x f x xf x ''=+<，所以()F x 在(0,)+∞上单调递减(1)(1)f x x +>-()21f x -，2(1)(1)(1)x f x x ∴++>-()21f x -，2(1)(1)F x F x ∴+>-， 2011,2x x x ∴<+<-∴>，故选：B 【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.12．B解析：B 【分析】结合函数图象比较()f x 与()f x '的大小，求出()()0f x f x -<′成立的x 的范围，求出()g x 的导数，判断其与0的关系即可.【详解】结合图象：()01x ∈，和()4x ∈+∞，时，()()f x f x '<，即()()0f x f x -<′， 而()()()0xf x f xg x e -=<′′，故()g x 在()0,1，()4,+∞递减，故选B ． 【点睛】本题主要考查了数形结合思想，考查函数的单调性与导数的关系，判断()f x 与()f x '的大小是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．①③④【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义结合图象判断选项【详解】①在时刻为两图象的交点即此时甲乙两人血管中的药物浓度相同故①正确；②甲乙两人在时刻的切线的斜率不相等即两人的不相同所以甲乙两人血解析：①③④ 【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项. 【详解】①在1t 时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在2t 时刻的切线的斜率不相等，即两人的()2f t '不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是()()3232f t f t t t --，故③正确；④在[]12,t t 时间段，甲的平均变化率是()()2121f t f t t t --，在[]23,t t 时间段，甲的平均变化率是()()3232f t f t t t --，显然不相等，故④正确.故答案为：①③④ 【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是()()f t t f t t+-.14．【分析】令求得函数的导数根据函数的单调性把题设中的不等式转化为即可求解【详解】令则因为所以所以函数在为单调递减函数又由所以即所以即所以解得综上可得实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了利用 解析：()2020,2022【分析】令()(),(0,)f x h x x x=∈+∞，求得函数的导数，根据函数的单调性，把题设中的不等式转化为(2020)(2)h m h ->，即可求解.【详解】令()(),(0,)f x h x x x =∈+∞，则()()2()xf x f x h x x '-=， 因为()()0xf x f x '-<，所以()0h x '<，所以函数()h x 在(0,)+∞为单调递减函数， 又由()()()2202020202f m m f ->-， 所以20200m ->，即2020m >，所以()()2020220202f m f m ->-， 即(2020)(2)h m h ->，所以20202m -<，解得2022m <， 综上可得，实数m 的取值范围为()2020,2022.故答案为：()2020,2022. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，以及函数的单调性的应用，着重考查了构造、转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.15．【分析】求出函数的导函数利用导函数研究原函数的单调区间再二次求导得从而得到的单调区间由导函数在区间上单调递增求出其值域将函数的单调性把问题转化为即可列出不等式即可求出的范围【详解】解：由函数得由得或 解析：[]1,0-【分析】求出函数()f x 的导函数，利用导函数研究原函数的单调区间，再二次求导得()22f x x m ''=-，从而得到()f x '的单调区间，由导函数在区间[m ，1]m +上单调递增求出其值域[]1,0-，将函数的单调性把问题转化为[][]1,01,1m m -⊆-+，即可列出不等式即可求出m 的范围. 【详解】解：由函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+，得222()21()1f x x mx m x m '=-+-=--， 由2()10x m -->，得1x m <-或1x m >+，∴函数()f x 的增区间为(,1)m -∞-，(1,)m ++∞，由2(1)0x m --<，得11m x m -<<+，∴函数()f x 单调减区间为[]1,1m m -+，由()22f x x m ''=-，则()0f x ''>时，x m >；()0f x ''<时，x m <，得()'f x 的单调增区间为[),m +∞，单调减区间为(],m -∞，函数()f x '在[],1m m +上单调递增，∴函数()f x '在[],1m m +上的值域为[]1,0-， 又函数[()]y f f x '=在区间[],1m m +上单调递减， 也就是函数()y f x =在区间[]1,0-上单调递减，因此要满足条件[][]1,01,1m m -⊆-+，即1110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得：10m -≤≤， ∴实数m 的范围是[]1,0-.故答案为：[]1,0-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据复合函数的单调性求参数取值范围，考查转化思想和运算能力，属中档题.16．【分析】先判定再根据切线相互垂直可得的关系利用该关系式把转化为一元函数利用导数可求其最小值【详解】当时当时因为故所以即其中又令则当时；当时故故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值解析：1e-【分析】先判定()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，再根据切线相互垂直可得12,x x 的关系，利用该关系式把12x x 转化为一元函数，利用导数可求其最小值.【详解】当1x <时，()0xf x e '=-<，当1x >时，()10f x x'=>， 因为()()121f x f x ''=-，故()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，所以1211x e x -⨯=-即12x x e =，其中11<x . 又1121xx x x e =，令(),1tg t te t =<，则()()1,1tg t t e t '=+<，当1t <-时，()0g t '<；当11t -<<时，()0g t '>， 故()()min 11g t g e=-=-， 故答案为：1e-. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理.17．【分析】由题意可得利用导数求出函数在区间上的最大值即可得出实数的取值范围【详解】存在使得成立等价为令得当时函数是增函数；当时函数是减函数当时函数在处取得最大值所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛解析：1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】由题意可得()max m f x ≤，利用导数求出函数()y f x =在区间(]0,4上的最大值，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】()ln 2f x x x =-+，存在(]00,4x ∈，使得()0f x m ≥成立等价为()max f x m ≥．()ln 1f x x '=--，令()0f x '=，得1x e=. 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()ln 2f x x x =-+是增函数；当1,4x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，函数()ln 2f x x x =-+是减函数，当(]0,4x ∈时，函数()ln 2f x x x =-+在1x e =处取得最大值12e +，所以12m e≤+． 因此，实数m 的取值范围是1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦. 故答案为：1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式能成立问题，结合题意转化为与函数最值相等的不等式问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】由题意得出对任意的恒成立利用参变量分离法得出求出二次函数在区间上的值域即可得出实数的取值范围【详解】由于函数在上是减函数则对任意的恒成立即得二次函数在区间上为增函数则因此实数的取值范围是故答 解析：(],1-∞-【分析】由题意得出()0f x '≤对任意的()1,x ∈-+∞恒成立，利用参变量分离法得出22b x x ≤+，求出二次函数22y x x =+在区间()1,-+∞上的值域，即可得出实数b 的取值范围.【详解】()()21ln 22f x x b x =-++，()2bf x x x '∴=-++，由于函数()()21ln 22f x x b x =-++在()1,-+∞上是减函数， 则()0f x '≤对任意的()1,x ∈-+∞恒成立，即2bx x ≤+，得()222b x x x x ≤+=+， 二次函数22y x x =+在区间()1,-+∞上为增函数，则()()21211y >-+⨯-=-，1b ∴≤-.因此，实数b 的取值范围是(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，利用参变量分离法求解是一种常用的方法，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.19．-10【解析】【分析】先求导分别求出导函数的最值再根据不存在x1x2∈R使得f′（x1）＝g′（x2）得到关于a 的不等式解得即可【详解】∵函数f （x ）＝ex ﹣ax 函数g （x ）＝﹣x3﹣ax2∴f′（ 解析：【解析】 【分析】先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′（x 1）＝g ′（x 2），得到关于a 的不等式解得即可． 【详解】∵函数f （x ）＝e x ﹣ax ，函数g （x ）＝﹣x 3﹣ax 2， ∴f ′（x ）＝e x ﹣a ＞﹣a ，g ′（x ）＝﹣x 2﹣2ax ＝﹣（x ）2，∵不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′（x 1）＝g ′（x 2）， ∴，解得-1≤a ≤0，故答案为．【点睛】本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题．20．-3【解析】由函数则令所以解得即所以解析：-3 【解析】由函数()()221f x x xf =+'，则()()221f x x f +''=，令1x =，所以()()1221f f =+''，解得()12f '=-，即()24f x x x =-，所以()211413f =-⨯=-.三、解答题21．（1）极小值为4，无极大值（2）答案见解析（3）133m ≤- 【分析】（1）利用导数可求得结果； （2）求导后，令()0f x '=得1x a =-或12x =，对1a -与12的大小分类讨论可求得结果；（3）转化为12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-，根据（2）中的单调性求出1max ()f x 和2min ()f x 代入后得2(4)03m a +->对a ∀∈(-3，-2)恒成立，列式23(4)0322(4)03m m ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩可解得结果. 【详解】（1）当2a =时，1()4f x x x =+(0)x >，222141()4x f x x x-'=-=， 当102x <<时，()0f x '<，当12x >时，()0f x '>，所以()f x 在1(0,)2上递减，在1(,)2+∞上递增， 所以()f x 在12x =处取得极小值1()42f =，无极大值.（2）当0a <时，1()(2)ln 2f x a x ax x=-++，定义域为(0,)+∞， 221()2a f x a x x -=-+'222(2)1ax a x x +--=2(1)(21)ax x x +-=，令()0f x '=得1x a =-或12x =， 当112a ->，即20a -<<时，由()0f x '<得102x <<或1x a >-，由()0f x '>得112x a<<-， 所以()f x 在1(0,)2和1(,)a -+∞上单调递减，在11(,)2a-上单调递增， 当112a -=，即2a =-时，22(21)()x f x x--'=0≤，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 当112a -<，即2a <-时，由()0f x '<得10x a<<-或12x >，由()0f x '>得112x a -<<， 所以()f x 在1(0,)a -和1(,)2+∞上单调递减，在11(,)2a -上单调递增， （3）由（2）可知对a ∀∈(-3，-2)，()f x 在[1,3]上单调递减， 因为不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，等价于12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-， 而1max ()(1)12f x f a ==+，2min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++，所以1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----， 即2(4)03m a +->对a ∀∈(-3，-2)恒成立， 所以23(4)0322(4)03m m ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩，解得133m ≤-.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ． 22．（1）极大值112e-，极小值0；（2）答案见解析. 【分析】（1）当1a =时，2()2xx f x xe x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求导，令()0f x '=可得极值点和极值； （2）()()(1)xf x x e a '=+-，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出． 【详解】（1）当1a =时，2()2xx f x xe x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()(1)(1)1x x x f x e xe x e x '=+-+=+-， 令()0f x '=，得1x =-或0x =.∴1x =-时，()f x 有极大值()12f e-=-， 0x =时，()f x 有极小值()00f =；（2）()()(1)(1)xxxf x a e e xe x x a '=+-+=+-，当0a ≤时，0x e a ->，由()0f x '>得1x >-， 即函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，由()0f x '<得1x <-，即函数()f x 在(),1-∞-上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=得1x =-或ln x a =.①当ln 1a =-，即1a e -=时，无论1x >-或1x <-，均有()0f x '>， 又()10f '-=，即在R 上()0f x '≥，从而函数()f x 在R 上单调递增； ②当ln 1a <-，即10ae 时，由()()(1)01xe f x x a x '=+->⇒>-或ln x a <时， 函数()f x 在()1,-+∞和(),ln a -∞上单调递增；由()()(1)0ln 1xf x x a a e x '=+-<⇒<<-时，函数()f x 在()ln ,1a -上单调递减； ③当ln 1a >-，即1a e ->时，由()()(1)0ln xf x x e a x a '=+->⇒>或1x <-时， 函数()f x 在()ln ,a +∞和(),1-∞-上单调递增； 由()()(1)01ln xf x x a x a e '=+-<⇒-<<时， 函数()f x 在()1,ln a -上单调递减.综上，当0a ≤时， ()f x 单调递增区间是()1,-+∞上， 单调递减区间是(),1-∞-上； 当10ae 时，()f x 单调递增区间是(),ln a -∞,()1,-+∞，单调递减区间是()ln ,1a -；当1a e -=时，()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；当1a e ->时，()f x 单调递增区间是(),1-∞-,()ln ,a +∞， 单调递减区间是()1,ln a -. 【点睛】关键点点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)在研究函数单调性的过程中，要准确判断导数的符号，当()f x '含参时，要依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 23．（1）01x =；（2）1,2,02a b c =-=-=. 【分析】（1）由表可得出1x =是极小值点；（2）由题可得()01f '=，3(1)2f =-，2()03f '-=，由此可求出. 【详解】解：（1）由题意可知，2()32f x x ax b '=++ 当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以()f x 在区间2(,1)3-上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增. 故1x =时，函数()f x 有极小值，所以01x =.（2）由（1）知1x =为函数()f x 的极小值点，得()01f '=，即320a b ++=.①因为函数()f x 的极小值为32-，所以3(1)2f =-， 即312a b c +++=-，整理得：52a b c ++=-.② 由题可知23x =-为函数()f x 的极大值点，所以2()03f '-=， 即44033a b -+=.③ 联立①②③得：1,2,02a b c =-=-=.【点睛】关键点睛：本题考查函数的导数与极值的关系，解题得关键是知道函数在极值点处的函数值为0.24．（1）0a =，4b =-；（2）3a =；（3）[0,)a ∈+∞.【分析】（1）利用导数的几何意义，可得(1)12f '-=，(1)9f -=-，计算整理，即可求得a ，b 的值；（2）令'(3)0f =，即可求得a 的值，检验可得3x =为极值点，即可得答案；（3）令'()0f x =，解得1x a =，21x =，分别求得1a <和1a ≥时，()f x 的单调区间，结合题意，分析推理，即可得答案.【详解】（1）因为32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，所以2()66(1)6f x x a x a '=-++，由题设可得(1)121212f a '-=+=，(1)959f a b -=-+-=-，解得0a =，4b =-.（2）因为()f x 在3x =取得极值，所以(3)12360f a '=-+=，解得3a =.当3a =时，'2()624186(1)(3)f x x x x x =-+=--，令'()0f x =，解得x=1或3，所以3x =为()f x 的极值点，故3a =满足题意.（3）令()6()(1)0f x x a x '=--=，得1x a =，21x =.当1a <时，若(,)(1,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞和(1,)+∞上为增函数，故当01a ≤<时，()f x 在(,0)-∞上为增函数恒成立.当0a <时，()f x 在(,)a -∞上为增函数，不符合题意，当1a ≥时，若(,1)(,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞和(,)a +∞上为增函数，从而()f x 在(,0)-∞上也为增函数，满足题意.综上所述，当[0,)a ∈+∞时，()f x 在(,0)-∞上为增函数.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间和极值点问题，考查计算求值，分类讨论的能力，属中档题.25．(1)1e ；(2)10m e <<；(3)221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【分析】(1)求导，利用导数可得函数的单调性，进而求得函数的最值；(2)函数()()g x f x m =-有两个零点，转化为函数()(0)x x f x x e =>的图象与直线y m =有两个交点．结合（1）中结论即可求得m 的取值范围；(3)由()0f x >，可得()f x a >只有一个整数解，由()f x 的极大值为()11f e =，012<<， ()222f e=，可得a 的取值范围． 【详解】(1)函数()(0)x x f x x e =>， 则1()x x f x e-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值为()11f e=．(2)函数()()g x f x m =-有两个零点，相当于函数()(0)x x f x x e =>的图象与直线y m =有两个交点．当0x =时，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →，结合（1）中结论，可得10m e<<． (3)因为()0f x >，所以不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解， 即()f x a >只有一个整数解，因为()f x 的极大值为()11f e =，012<<，()222f e =， 所以当221,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x a >只有一个整数解1x =， 即当221,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解1x =． 所以实数a 的取值范围是221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想，属于中档题． 26．（1）10x y +-=；（2）答案见解析；（3）()(],00,1-∞. 【分析】（1）当2a =时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线()y f x =在点()1,()f x 处的切线方程；（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数()f x 的单调区间； （3）根据函数的单调性求出函数的最小值即可实数a 的取值范围．【详解】解：（1）2a =时，211()2ln 22f x x x =--，(1)0f =， 2'()f x x x=- ，'(1)1f =- 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程10x y +-=（2）2'()(0)a x a f x x x x x -=-=>①当0a <时，2'()0x a f x x-=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+②当0a >时，令'()0f x =，解得x =x =所以函数()f x 的递增区间为+∞，递减区间为 （3）对任意的[1,)x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[1,)x ∈+∞，min ()0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥而11(1)ln1022f a =--= 所以0a <满足题意；②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥ 而11(1)ln1022f a =--= 所以01a <≤满足题意；③当1a >1>，()f x 在上是减函数，)+∞上是增函数，所以只需0f ≥即可 而(1)0f f <= 从而1a >不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为()(],00,1-∞.【点睛】 本题主要考查函数切线的求解，以及函数单调性和函数最值的求解，综合考查函数的导数的应用，属于中档题．。
2021高考数学一轮复习考点通关练第二章函数、导数及其应用考点测试9指数与指数函数(含解析)苏教版
考点测试9 指数与指数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中等难度 考纲研读1.了解指数函数模型的实际背景2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4．体会指数函数是一类重要的函数模型一、基础小题 1．设2x＝8y ＋1,9y＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．27答案 D 解析 因为2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，所以x ＝3y ＋3，因为9y ＝3x －9＝32y，所以x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27.2．化简(a >0，b >0)的结果是( )A.b aB ．abC ．a 2b D ．a b答案 D 解析 原式＝＝ab －1＝ab .故选D.3．若f (x )＝(2a －3)a x为指数函数，则f (x )在定义域内( ) A ．为增函数 B ．为减函数 C ．先增后减 D ．先减后增答案 A解析 由指数函数的定义知2a －3＝1，解得a ＝2，所以f (x )＝2x，所以f (x )在定义域内为增函数．故选A.4．已知，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A 解析 a ＝，由2<3得a <c ，由23>25，得a >b ，故c >a >b .故选A.5．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2B ．－1<a <1C ．a >2或a <－ 2D ．－2<a < 2答案 C解析 ∵x >0时，f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，∴a 2－1>1，即a 2>2.∴a >2或a <－ 2.故选C.6．下列函数中，在(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝22－xB ．y ＝x －11＋xC ．D ．y ＝－x 2＋2x ＋a答案 A解析 根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝22－x＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在(0，＋∞)内单调递减，符合题意；对于B ，y ＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1，在(0，＋∞)内单调递增，不符合题意；对于C ，y ＝＝log 2x ，在(0，＋∞)内单调递增，不符合题意；对于D ，y ＝－x 2＋2x ＋a ＝－(x －1)2＋a ＋1，在(0,1)内单调递增，不符合题意．故选A.7．已知函数f (x )满足对一切x ∈R ，f (x ＋2)＝－1f x都成立，且当x ∈(1,3]时，f (x )＝2－x，则f (2019)＝( )A.14 B ．18 C ．116 D ．132答案 B解析 由已知条件f (x ＋2)＝－1f x可得f (x )＝－1fx －2，故f (x ＋2)＝f (x －2)，易得f (x )是周期为4的周期函数，∴f (2019)＝f (3＋504×4)＝f (3)，∵当x ∈(1,3]时，f (x )＝2－x ，∴f (3)＝2－3＝18，即f (2019)＝18.故选B.8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x )＝2x＋31＋2x ＋1，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 B ．(0,2] C ．{0,1,2} D ．{0,1,2,3}答案 C解析 因为f (x )＝2x＋31＋2x ＋1＝121＋2x ＋1＋521＋2x ＋1＝12＋521＋2x ＋1，2x ＋1>0，所以0<11＋2x ＋1<1，所以12<12＋521＋2x ＋1<3，即12<f (x )<3，所以y ＝[f (x )]的值域为{0,1,2}，故选C. 9．下列说法中，正确的是( ) ①任取x ∈R 都有3x >2x；②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x； ③y ＝(3)－x是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x的图象关于y 轴对称． A ．①②④ B ．④⑤ C ．②③④ D ．①⑤答案 B解析 ①中令x ＝－1，则3－1<2－1，故①错误；②中当x <0时，a x <a －x，故②错误；③中y ＝(3)－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫33x ，∵0<33<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x为减函数，故③错误；④中x ＝0时，y 取最小值1，故④正确；⑤由函数图象变换，可知y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称，故⑤正确．故选B.10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x－1，则在(1,3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 D ．[2,3)答案 C解析 ∵0≤x ≤1时，f (x )＝4x－1，∴f (x )在区间[0,1]上是增函数，又f (x )是奇函数，∴f (x )在区间[－1,1]上是增函数．∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1，∴在区间(1,3)上不等式f (x )≤1的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3，故选C.11．求值：＝________.答案14380解析 原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝104－1＋116＋18＋110＝14380.12．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．答案 e解析 由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e |x |，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e |x |＝e x≥e(当x ＝1时，取等号)；当x <1时，f (x )＝e|x －2|＝e2－x>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．b <c <a答案 B解析 因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1,0<c ＝0.20.3<1，所以a <c <b .故选B. 14．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z答案 D解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z，∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t 2lg 3－3lg 2lg 2×lg 3＝lg t lg 9－lg 8lg 2×lg 3＞0，∴2x ＞3y .又2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t 2lg 5－5lg 2lg 2×lg 5＝lg t lg 25－lg 32lg 2×lg 5＜0，∴2x＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z .故选D.15．(2018·上海高考)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q＝36pq ，则a ＝________.答案 6解析 由已知条件知f (p )＝65，f (q )＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧2p2p＋ap ＝65， ①2q 2q＋aq ＝－15， ②①＋②，得2p2q ＋aq ＋2q2p＋ap2p ＋ap 2q＋aq＝1， 整理得2p ＋q＝a 2pq ，又2p ＋q＝36pq ，∴36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，∴a 2＝36，∴a ＝6或a ＝－6，又a >0，∴a ＝6. 16．(2015·江苏高考)不等式<4的解集为________．答案 {x |－1<x <2} 解析 不等式<4可转化为<22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．17．(2015·福建高考)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．答案 1解析 因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示．因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.三、模拟小题18．(2020·河北张家口摸底)化简的结果为( )A ．－4aB ．4aC ．11aD ．4ab答案 B 解析 原式＝＝4ab 0＝4a ，故选B.19．(2019·湖北八校联考)若，则函数y ＝2x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18 D ．[2，＋∞)答案 B 解析 因为＝24－2x，则x 2＋1≤4－2x 即x 2＋2x －3≤0，所以－3≤x ≤1.所以18≤y ≤2.20．(2019·沧州模拟)已知函数f (x )＝e x －1－e－x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是1B ．函数f (x )是单调递减函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1轴对称D ．函数f (x )的图象关于(1,0)中心对称 答案 D解析 函数f (x )＝ex －1－e－x ＋1，即f (x )＝ex －1－1e x －1，可令t ＝e x －1，即有y ＝t －1t，由y ＝t －1t在t ＞0时单调递增，t ＝e x －1在R 上单调递增，可得f (x )在R 上为增函数，则A ，B 均错误；由f (2－x )＝e1－x－ex －1，可得f (x )＋f (2－x )＝0，即有f (x )的图象关于点(1,0)对称，则C 错误，D 正确．故选D.21．(2020·湖南衡阳高三摸底考试)设函数f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≤K ，K ，f x >K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1答案 D解析 根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1时恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.22．(2019·江苏省镇江市期末)已知函数f (x )＝12x －2x ，则满足f (x 2－5x )＋f (6)>0的实数x 的取值范围是________．答案 (2,3)解析 根据题意，函数f (x )＝12x －2x ，f (－x )＝12－x －2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2x ＝－f (x )，即f (x )为奇函数，又由y ＝12x 在R 上为减函数，y ＝－2x在R 上为减函数，则f (x )在R 上为减函数，则f (x 2－5x )＋f (6)>0⇒f (x 2－5x )>－f (6)⇒f (x 2－5x )>f (－6)⇒x 2－5x <－6，解得2<x <3，即x 的取值范围为(2,3)．23．(2019·浦东新区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x4x 2＋16，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |，x <2，若对任意的x 1∈[2，＋∞)，都存在唯一的x 2∈(－∞，2)，满足f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围为________．答案 [－2,6)解析 当x 1∈[2，＋∞)时， x 14x 21＋16＝14x 1＋16x 1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，116.当x 2∈(－∞，2)时，(1)若a ≥2，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －x 在(－∞，2)上是单调递增函数，所以f (x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2.若满足题目要求，则⎝ ⎛⎦⎥⎤0，116⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2>116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124，∴a －2<4，a <6.又a ≥2，所以a ∈[2,6)．(2)若a <2，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －x，x <a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －a，a ≤x ＜2.如果f (x )在(－∞，a )上是单调递增函数， 此时f (x 2)∈(0,1)；如果f (x )在[a,2)上是单调递减函数，此时f (x 2)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－a ，1. 若满足题目要求，则116≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－a，∴a ≥－2，又a <2，所以a ∈[－2,2)． 综上，a ∈[－2,6)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2019·兰州模拟)已知函数.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求实数a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝－1时，，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，实数a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使的值域为(0，＋∞)，则应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.2．(2020·河南洛阳高三阶段考试)已知函数f (x )＝a|x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )．(1)若f (x )为偶函数，求实数b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求实数a ，b 应满足的条件． 解 (1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )， 即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得实数b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，实数a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2. 3．(2019·渭南模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求实数a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得实数b ＝1，所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得实数a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数， 所以由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13. 4．(2020·山东枣庄高三摸底考试)已知函数f (x )＝e x ＋a ·e －x，x ∈R . (1)当a ＝1时，证明：f (x )为偶函数；(2)若f (x )在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a ＝1，求实数m 的取值范围，使m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1在R 上恒成立． 解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝e x＋e －x，定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，而f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为x 1<x 2，函数y ＝e x为增函数，所以，则，又因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x 1)－f (x 2)<0， 所以对任意的0≤x 1<x 2恒成立，所以a ≤1.故实数a 的取值范围为(－∞，1]．(3)由(1)(2)知函数f (x )＝e x ＋e －x在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以其最小值f (0)＝2，且f (2x )＝e 2x＋e－2x＝(e x ＋e －x )2－2，设t ＝e x ＋e －x，则t ∈[2，＋∞)，1t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则不等式m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1恒成立， 等价于m ·t 2≥t ＋1，即m ≥t ＋1t 2恒成立， 而t ＋1t 2＝1t 2＋1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122－14， 当且仅当1t ＝12，即t ＝2时t ＋1t 2取得最大值34，故m ≥34.因此实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。
第二章 函数、导数及其应用 阶段质量检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．函数y ＝log 0.5(2x －1)的定义域是 ( )A ．[1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，1] 解析：要使原式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0log 0.5(2x －1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12x ≤1，∴12<x ≤1.答案：B2．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0.则函数f (x )的零点个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：当x ＜0时，由x (x ＋4)＝0⇒x ＝－4；当x ≥0时，由x (x －4)＝0⇒x ＝4或x ＝0. 答案：C3．函数f (x )＝ln(1－x 2)的图象只可能是 ( )解析：函数f (x )＝ln(1－x 2)的定义域为(－1,1)，且f (x )为偶函数，当x ∈(0,1)时，函数f (x )＝ln(1－x 2)为单调递减函数；当x ∈(－1,0)时，函数f (x )为单调递增函数，且函数值都小于零，所以其图象为A. 答案：A4．已知P (x ，y )是函数y ＝e x ＋x 图象上的点，则点P 到直线2x －y －3＝0的最小距离为( ) A.55 B.255C.355D.455解析：将直线2x －y －3＝0平移到与函数y ＝e x ＋x 的图象相切时，切点到直线2x －y －3＝0的距离最短，故关键是求出切点的坐标．由y ′＝e x ＋1＝2解得x ＝0，代入函数y ＝e x ＋x 易得y ＝1，点(0,1)到直线2x －y －3＝0的距离为|0－1－3|5＝455.答案：D5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log ax ， x ≥1.是R 上的减函数，那么a 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(0，13)C ．[17，13)D ．[17，1)解析：依题意有0<a <1且3a －1＜0，得0<a <13，考虑端点x ＝1，则(3a －1)＋4a ≥0得a ≥17.答案：C6．定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有 ( ) A ．f (2a －x 1)>f (x 2) B ．f (2a －x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)<f (2a －x 2) D ．f (x 1)<f (x 2－2a ) 解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数， ∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称， ∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称． 又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数， ∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数． 当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时， 有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2， ∴f (2a －x 1)>f (x 2)． 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2x (x ＞0)1－x 2(x ≤0)，则不等式f (x )＞0的解集为________． 解析：当x ＞0时，－log 2x ＞0，即log 2x ＜0，∴0＜x ＜1， 当x ≤0时，1－x 2＞0，即x 2＜1，∴－1＜x ≤0，综上所述：f (x )＞0的解集为(－1,1)． 答案：(－1,1)8．(文)已知曲线C ：y ＝ln x －4x 与直线x ＝1交于一点P ，那么曲线C 在点P 处的切线方程是________________．解析：由已知得y ′＝1x －4，所以当x ＝1时有y ′＝－3，即过点P 的切线的斜率k＝－3，又y ＝ln1－4＝－4，故切点P (1，－4)，所以点P 处的切线方程为y ＋4＝－3(x －1)，即3x ＋y ＋1＝0. 答案：3x ＋y ＋1＝09．对于函数f (x )＝lg(x 2＋ax －a －1)(a ∈R)，给出下列命题：①f (x )有最小值；②当a ＝0时，f (x )的值域为R ； ③当a ＝1时，f (x )的定义域为(－1,0)；④若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是[－4，＋∞)．上述命题中正确的是________(填上所有正确命题的序号)． 解析：f (x )＝lg(x 2＋ax －a －1)＝lg[(x ＋a 2)2－a 24－a －1]＝lg[(x ＋a 2)2－(a2＋1)2]①∵(x ＋a 2)2－(a2＋1)2需大于0，无法取到最小值，∴f (x )无最小值，①错误． ②当a ＝0时，f (x )＝lg(x 2－1)，当x >1或x <－1时，x 2－1可取所有正数， 故f (x )的值域为R ，②正确． ③当a ＝1时，f (x )＝lg(x 2＋x －2) 令x 2＋x －2>0，∴x <－2或x >1， 故③错误．④∵f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，∴g (x )＝x 2＋ax －a －1在[2，＋∞)上为增函数且函数恒正． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤24＋2a －a －1>0，解得：a >－3.故④错误． 答案：②三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点．若存在，求出范围，若不存在，说明理由．解：∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝(3a －83)2＋89>0，∴f (x )与x 轴有两个交点．若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0.所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0.得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a ＜－15或a ＞1.11．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a ，(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求函数f (x )在该区间上的最小值． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9，令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜3，所以函数f (x )的单调递增区间为(－1,3)． (2)因为f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， 所以f (2)＞f (－2)．因为在区间(－1,3)上，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1,2)上单调递增． 又由于f (x )在(－2，－1)上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2，故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7，即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7.12．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax ＋ax－3ln x .(1)当a ＝2时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )在[1，e]上为单调函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x ＋2x －3ln x ，f ′(x )＝2－2x 2－3x ＝2x 2－3x －2x 2，令f ′(x )＝0得x ＝2或－12(∵x ＞0，舍去负值)，∴当a ＝2时，函数f (x )的最小值为5－3ln2. (2)∵f ′(x )＝ax 2－3x －ax 2，令h (x )＝ax 2－3x －a ＝a (x －32a )2－9＋4a 24a，要使f (x )在[1，e]上为单调函数，只需f ′(x )在(1，e)内满足：f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，且等号只在孤立点取得． ∵h (1)＝－3＜0，∴h (e)＝a e 2－3e －a ≤0.∴a ≤3ee 2－1. ①当0≤a ≤3ee 2－1时，f ′(x )≤0恒成立． ②当a ＜0时，x ＝32a∉[1，e]， ∴h (x )＜0(x ∈[1，e])．∴f ′(x )＜0，符合题意． 综上可知，当a ≤3ee 2－1时，f (x )在[1，e]上为单调函数．。
深圳宝安区新城学校选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．已知1x ，2x 是函数()3211232x b f ax x c x =+++（a ，b ，c ∈R ）的两个极值点，()12,0x ∈-，()20,2x ∈，则2a b +的取值范围为（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,4-C ．()2,-+∞D ．()4,4-2．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞3．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞4．函数()f x x =，2()=g x x 在[0,1]的平均变化率分别记为12,m m ，则下面结论正确的是 A ．12m m = B ．12m m C ．21m m D ．12m m ，的大小无法确定5．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则12a b+的最小值是（ ） A ．42B ．22C ．342+D ．322+6．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=+⋅的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()3f -和极小值()2fB ．函数()f x 有极大值()1f -和极小值()2fC ．函数()f x 在()3,2x ∈--单调递增D ．函数()f x 在()1,2x ∈单调递增 7．函数()3sin cos 2xxf x x x =+在[]2,2ππ-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．函数()262xf x x x e =-+的极值点所在的区间为（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,1--9．已知函数()[]1sin ,0,3f x x x x π=-∈且[]001cos ,0,3x x π=∈那么下列命题中真命题的序号是（ ）①()f x 的最大值为()0f x ； ②()f x 的最小值为()0f x ； ③()f x 在上[]0,π是减函数； ④()f x 在上[]0,x π上是减函数. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．已知函数()2sin 3f x xf x π'⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ） A ．12π- B ．12π+C ．12π-- D ．12π-+11．若1x =是函数()ln f x ax x =+的极值点，则（ ）A ．()f x 有极大值1-B ．()f x 有极小值1-C ．()f x 有极大值0D ．()f x 有极小值012．已知定义在[),e +∞上的函数()f x 满足()()ln 0f x xf x x '+<且()40f =，其中fx 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．[),4eB ．[)4,+∞C ．(),e +∞D ．[),e +∞二、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若对任意的正实数，()()()()220,xf x f x g x x f x '+<=，则不等式()()122x g g ->-的解集为______ 14．若函数()ln af x x x=+（a 为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a 的取值范围是________.15．函数()2()cos 12f x xf x π'=-+的图象在点()()0,0f 处的切线方程为______.16．已知函数(a ≤0)，函数，若不存在，使，则实数的取值范围为___．17．已知101098109810()(21)f x x a x a x a x a x a =-=+++++，则222223344C a C a C a ++21010C a ++= _________.18．已知函数()cos xf x x=，则()f x '=___________. 19．已知函数2()41f x x x =-+，若()f x 在区间[a ，2a+1]上的最大值为1，则a 的取值范围为_________．20．已知()5234501234532x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++的值为______三、解答题21．已知函数321()12f x x x ax =-++． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求函数()f x 在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．22．已知函数()(ln )xe f x a x x x=--，a R ∈．（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性：（2）当1a =-时，函数1()()xg x f x x e mx x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有()1g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．23．已知函数2()ln f x x ax bx =++，其中,a b 为常数且0a ≠，在1x =处取得极值. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在[1,]e 上的最大值为1，求a 的值. 24．已知函数()(0)x xf x x e=>． （1）求函数()f x 的最大值；（2）若函数()()g x f x m =-有两个零点，求实数m 的取值范围；（3）若不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解，求实数a 的取值范围．25．设函数()()2ln 23f x x x =++.（1）讨论()f x 的单调性； （2）求()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 26．已知函数()()ln f x x x ax =+，()()g x f x '=.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行，求实数a 的值；（2）当13a =-时，求()g x 在[]1,2上的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求()f x 的导函数，导函数根的分布建立不等关系，再由线性规划得解. 【详解】()22f x x ax b '=++为二次函数开口向上，∵1x 和2x 是()f x 的极值点，∴1x 和2x 是()f x '的两个零点 ∵()12,0x ∈-，()20,2x ∈，∴()()()200020f f f ⎧->⎪<⎨⎪>⎩，即20020a b b a b -+>⎧⎪<⎨⎪++>⎩ 如图为线性区域，令2t a b =+，则2b t a =-， 画出2b a =-平移至点A ，此时t 最小min 4t =- 平移至点C ，此时t 最大，则4t =， ∴2a b +的范围是()4,4-． 故选D ． 【点睛】关键点睛：利用二次函数根的分布，建立关于,a b 的不等关系，再利用线性规划求最值.2．D解析：D 【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间.【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()x f x g x e =，所以，()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''--'==， 解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.3．B解析：B 【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案.【详解】 ∵()()2x f x e f x -=，∴()()()x x xf xe f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数， 当0x <时()()0f x f x +'>，∴()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∴()()211211a a ef a e f a +++≥+，∴()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+， 解得，203a -≤≤， 故选：B . 【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e --==-，根据左右相同的形式，构造函数()()xg x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211a e f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.4．A解析：A 【解析】因为1m =1,21010m -=-=1,所以12m m =，选A. 5．D解析：D由导数的几何意义转化条件得1a b +=，进而可得1223b a a b a b+=++，由基本不等式即可得解. 【详解】因为函数ln()y x b =+的导数1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 所以11x b=+即切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-得10b a --=，即1a b +=， 又a 、b 为正实数， 所以()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =，2b =.所以12a b +的最小值是3+. 故选：D. 【点睛】本题考查了导数几何意义及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.6．A解析：A 【分析】根据图象判断出导函数()f x '的符号，由此求得()f x 的单调区间、极大值、极小值. 【详解】当3x <-时，()()()10010x f x f x x ⎧+<⇒>⎨+<'⎩'，()f x 递增； 当31x -<<-时，()()()10010x f x f x x ⎧+>⇒<⎨+<'⎩'，()f x 递减； 当12x -<<时，()()()10010x f x f x x ⎧+<⇒<⎨+>'⎩'；当2x >时()()()10010x f x f x x ⎧+>⇒>⎨+>'⎩'，()f x 递增； 综上：函数()f x 有极大值()3f -和极小值()2f . 故选：A本小题主要考查利用图象判断函数的单调性和极值，属于中档题.7．C解析：C 【分析】 利用()()'2,0f f π确定正确选项.【详解】()23sin 222cos 2202f ππππππ=+⋅=>，由此排除BD 选项. 当0x ≥时，()3sin cos 2xxf x x x =+， ()'3cos 3ln 2sin cos sin 2xx xf x x x x -⋅=+-，()'031040f =+-=>，由此排除A 选项.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象识别，考查导数的运用.8．B解析：B 【分析】求出函数的导数，根据函数的零点判定定理求出函数的极值点的区间即可. 【详解】()262x f x x e '=-+，且()f x '为单调函数，∴()12620f e '=-+>，()0620f '=-+<， 由()()010f f ''<，故()f x 的极值点所在的区间为()0,1， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的应用，函数的极值点的意义，考查转化思想，属于中档题.9．B解析：B 【解析】本题考查导数及函数的最值、单调性 由()1sin 3f x x x =-得()/1cos 3f x x =- 令()/1cos 03fx x =-=有1cos 3x =；因为01cos 3x =，则0x 为函数()1sin 3f x x x =-的一个极值点.当[]0,x π∈时，函数cos y x =递减，所以当()00,x x ∈时()/0f x >，函数递增，则③错误，；当()0,x x π∈时()/0fx <，函数递减，④正确．故0x 是函数的一个极大值点且唯一，故此点也是最大值点，①正确，②错误. 故正确答案为①④ 所以本题选B10．D解析：D 【分析】求得函数的导数()2cos 3f x f x π⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，得到1()32f π'=，得到()sin f x x x =-，再结合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数()2sin 3f x xf x π'⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()2cos 3f x f x π⎛⎫''=- ⎪⎝⎭， 令3x π=，可得()2cos 333f f πππ'⎛⎫'=-⎪⎝⎭，解得1()32f π'=， 即()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 单调递增，当2x π=-，函数取得最小值，最小值为()sin()1222f x πππ=---=-+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数的导数的运算及应用，其中解答中熟记导数的运算公式，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．A解析：A 【分析】先根据极值定义得a,再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定极值. 【详解】因为1x =是函数()ln f x ax x =+的极值点，所以1(1)0011f a a =∴+=∴=-' ，1()101,f x x x∴=-+=⇒=' 当1x >时，()0,f x '<当01x <<时，()0,f x '>因此()f x 有极大值1-，选A. 【点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求()'f x →求方程()0f x '=的根→列表检验()'f x 在()0f x '=的根的附近两侧的符号→下结论.(3)已知极值求参数.若函数()f x 在点00(,)x y 处取得极值，则0()0f x '=，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.12．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()()g x f x lnx =，求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式()0f x >等价为()()4g x g >，进行求解即可．【详解】 解：x e ，1lnx ∴，则不等式()()0f x xf x lnx '+<等价为()()0f x f x lnx x'+<， 设()()g x f x lnx =， 则()()()0f x g x f x lnx x'='+<， 即()g x 在[e ，)+∞上为减函数，f （4）0=，g ∴（4）f =（4）40ln =，则不等式()0f x >等价为()0lnxf x >， 即()()04g x g >=，()g x 在[e ，)+∞上为减函数，4e x ∴<，即不等式()0f x >的解集为[e ，4)， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查不等式 的求解，根据条件构造函数，通过导数研究函数的单调性是解决本题的关键．属于中档题．二、填空题13．【分析】根据条件可得函数为偶函数且在单调递减从而可得不等式【详解】当时且为偶函数在单调递减解得：故答案为：【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数再利用导数研究函数的单调性进而将不等式进行等价转化解析：1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件可得函数()g x 为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，从而可得不等式. 【详解】当0x >时，()''(()2())0g x x xf x f x =+<，且()g x 为偶函数，∴()g x 在(0,)+∞单调递减，∴()(()111122222x x x g g g g--->⇔>⇔<112x ⇔-<， 解得：1322x <<， 故答案为：1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数，再利用导数研究函数的单调性，进而将不等式进行等价转化.14．【分析】首先设切点坐标利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率从而可得将问题转化为与存在两个不同的交点通过导数研究的图象从而得到的取值范围【详解】由题意得的定义域为且设切点坐标为则过原点解析：102⎛⎫⎪⎝⎭，【分析】首先设切点坐标000,ln a x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率，从而可得0002ln a x x x =-，将问题转化为2y a =与ln y x x x =- 存在两个不同的交点，通过导数研究()g x 的图象，从而得到a 的取值范围. 【详解】由题意得()f x 的定义域为()0+∞，，且()21af x x x '=-，设切点坐标为0000,ln ,0a x x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则过原点的切线斜率002000ln 1a x x a k x x x +==-，整理得0002ln ,a x x x =-存在两条过原点的切线，∴0002ln a x x x =-存在两个不同的解.设()ln g x x x x =-，则问题等价于2y a =于()y g x =存在两个不同的交点，又()1ln 1ln ,g x x x =--=-'∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当()1,x ∈+∞ 时，()0g x '<，()g x 单调递减，()()max 11g x g ∴==.又当0x →时，()0g x →；当x →+∞时，()-g x →∞，若2y a =于()y g x =存在两个不同的交点，则021a <<.解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：一般涉及方程根的个数，或零点个数求参数的取值范围，可通过一些方法求解：直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围；分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解；数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻求找“临界”情况，特别注意边界值的取舍；15．【分析】求得函数的导数得到进而求得切点坐标为和即可求得切线的方程【详解】由题意函数可得则解得所以可得切点坐标为又由可得即切线的斜率为所以切线的方程为即故答案为：【点睛】求曲线过点的切线方程的方法：当 解析：20x y +=【分析】求得函数的导数()2()sin 2f x f x π''=+，得到2()1f π'=-，进而求得切点坐标为()0,0和()02f '=-，即可求得切线的方程. 【详解】由题意，函数()2()cos 12f x xf x π'=-+，可得()2()sin 2f x f x π''=+，则()2()sin222f f πππ''=+，解得2()1f π'=-，所以()2cos 1f x x x =--+，可得()020cos010f =-⨯-+=，切点坐标为()0,0， 又由()2sin f x x '=-+，可得()02sin02f '=-+=-，即切线的斜率为2k =-， 所以切线的方程为2y x =-，即20x y +=. 故答案为：20x y +=. 【点睛】求曲线过点P 的切线方程的方法：当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为00()y y k x x -=-； 当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过点11(,())P x f x '的切线方程为111()()()y f x f x x x '-=-； 第三步：经点00(,)P x y 代入切线方程，求出1x 的值；第四步：将1x 的值代入111()()()y f x f x x x '-=-可得过点00(,)P x y 的切线方程.16．-10【解析】【分析】先求导分别求出导函数的最值再根据不存在x1x2∈R使得f′（x1）＝g′（x2）得到关于a 的不等式解得即可【详解】∵函数f （x ）＝ex ﹣ax 函数g （x ）＝﹣x3﹣ax2∴f′（ 解析：【解析】 【分析】先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′（x 1）＝g ′（x 2），得到关于a 的不等式解得即可． 【详解】∵函数f （x ）＝e x ﹣ax ，函数g （x ）＝﹣x 3﹣ax 2， ∴f ′（x ）＝e x ﹣a ＞﹣a ，g ′（x ）＝﹣x 2﹣2ax ＝﹣（x ）2，∵不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′（x 1）＝g ′（x 2）， ∴，解得-1≤a ≤0，故答案为．【点睛】本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题．17．【解析】【分析】根据f （x ）的展开式结合求导出现所求的式子再令x=1则可得到结果【详解】∵∴=20两边再同时进行求导可得：180令x=1则有180∴a2a3a4a10＝180【点睛】本题考查了二项式 解析：180【解析】 【分析】根据f （x ）的展开式，结合求导出现所求的式子，再令x=1，则可得到结果. 【详解】∵()()10109810981021f x x a x a x a x a x a =-=+++++，∴()f x '=20()998710981211098x a x a x a x a ，-=++++ 两边再同时进行求导可得：180()88761098222110998872x a x a x a x a ⨯-=⨯+⨯+⨯++，令x=1,则有18010982210998872a a a a ⨯=⨯+⨯+⨯++∴22C a 223C +a 324C +a 4210C ++a 10()109821109988722a a a a =⨯+⨯+⨯++＝180．【点睛】 本题考查了二项式展开式的应用问题，考查了导数法及赋值法的应用，考查了计算能力，属于中档题．18．【分析】根据导数的运算法则求导即可【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了导数的运算法则掌握法则和常用导数公式是关键属于基础题解析：2sin cos x x x x-- 【分析】根据导数的运算法则，求导即可． 【详解】()22cos x xsinx cosx xsinx cosx f x x x x ''--+⎛⎫===- ⎪⎝⎭． 故答案为2sin cos x x x x --．【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，掌握法则和常用导数公式是关键，属于基础题19．【分析】先作函数图象结合图象分类确定最大值为1所满足的条件解得结果【详解】因为作函数图象：由图象得【点睛】在研究函数性质特别是单调性最值零点时要注意用好其与图象的关系结合图象研究解析：13[,0]22⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭【分析】先作函数图象，结合图象分类确定最大值为1所满足的条件，解得结果. 【详解】因为211a a a <+∴>-，作函数()f x 图象：由图象得10013{0421021422a a a a a a -<≤>⎧∴-≤≤=⎨≥+≥+=⎩或或 【点睛】在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.20．233【解析】分析：根据题意在（3﹣2x ）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中令x=0可得a0=243设y=（3﹣2x ）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5解析：233 【解析】分析：根据题意，在（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5中，令x=0可得a 0=243，设y=（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，求出其导数，分析可得y '=﹣104(32)x -=a 1+2a 2x+3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4，令x=1可得a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，将其值相加即可得答案．详解：根据题意，（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5中， 令x=0可得：35=a 0，即a 0=243，设y=（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5， 其导数y′=﹣10（3﹣2x ）4=a 1+2a 2x+3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x=1可得：﹣10=a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5， 则a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5=243﹣10=233； 故答案为：233点睛：（1）本题主要考查二项式定理的应用和导数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力基本的计算能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是想到赋值法，令x=0可得a 0=243，令x=1可得﹣10=a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5.其二是要看到0123452345a a a a a a +++++要想到求导.三、解答题21．（1）210x y -+=；（2）4927． 【分析】（1）当2a =时，求得函数的导数2()32f x x x '=-+，得到(0)2f '=，即可求解曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）由函数在1x =处有极小值，求得2a =-，得到2()32f x x x '=--，根据导数的符号，求得函数的单调性，进而求得函数的最大值，得到答案. 【详解】（1）当2a =时，函数321()212f x x x x =-++， 可得2()32f x x x '=-+，可得(0)2f '=又由()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程12(0)y x -=-，即210x y -+=.（2）由321()12f x x x ax =-++，可得2()3f x x x a '=-+， 因为函数在1x =处有极小值，可得(1)20f a '=+=，解得2a =-，此时321()212f x x x x =--+，且2()32f x x x '=--， 令()0f x '=，即2320x x --=，解得23x =-或1x =， 当23x <-或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当213x -<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以函数()f x 在23(2,),(1,)32--上单调递增，在区间2(,1)3-上单调递减， 所以()11,(2)52f f =--=-， 因为24931(),()32724f f -==， 所以函数()f x 的最大值为249()327f -=. 【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 22．（1）函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）[2,)-+∞. 【分析】（1）先对函数求导，令()0f x '=求出1x =，根据导数的方法，即可得到函数单调性；（2）先由1a =-，得到()ln (1)xg x xe x m x =-++，由分离参数法方法，将原不等式化为1ln 1x x m e x +≥--，构造函数1ln ()1xx h x e x+=--，利用导数的方法求出其最大值，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，()22(1)()x x x ax e x a xe e f x a x x x+--'=--= ∵0a >，0x >，0x ax e ∴+>，令()0f x '=，得1x =，所以01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （2）当1a =-时，1()()ln (1)x xg x f x x e mx xe x m x x ⎛⎫=+++=-++ ⎪⎝⎭由()1g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，得1ln 1xx m e x+≥--， 设1ln ()1x x h x e x +=--，则222ln ln ()x x x x e xh x e x x-+'=-=-， 设2()ln x x x e x ϕ=+，则0x >时，()21()20xx x x e xϕ'=++>， 所以()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0e ϕ=>，1ln 2024ϕ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以函数()ϕx 在(0,)+∞上有唯一的零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当00x x <<时，()0x ϕ<，()0h x '>，()h x 单调递增; 当0x x >时，()0x ϕ>，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以0x >时，()00max 001ln ()1x x h x h x e x +==-- 所以001ln 1x x m e x +≥--， ()02000ln 0xx x e x ϕ=+=，000011ln x x e x x ∴=，即000011ln ln ln ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为ln y x x =+是增函数，所以0001lnln x x x ==-， 000000001ln 11122x x x x x x m e e e e x x +-∴≥--=--=--=-， 即m 的取值范围为[2,)-+∞. 【点睛】 思路点睛：导数的方法研究由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.23．（1）增区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞；减区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）12a e =-或2a =-【分析】（1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据1x =是()f x 的一个极值点()10f '=，可构造关于a ，b 的方程，根据1a =求出b 值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x 的范围，可得函数()f x 的单调区间；（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x 的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a 的方程求得结果. 【详解】（1）因为2()ln f x x ax bx =++，所以()12xf x ax b '=++， 因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值，()1120f a b '=++=，当1a =时，3b =-，()2231x x f x x-+'=，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间为0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1+∞，；单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭ （2）因为()()()211ax x f x x --'=，令()0f x '=，11x =，212x a=， 因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠=， 当 120a<时，()f x 在()01，上单调递增，在(]1,e 上单调递减；所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为()1f ， 令()11f =，解得2a =-， 当0a >，2102x a=>； 当 112a <时，()f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()1,e 上单调递增， 所以最大值1可能在12x a=或x e =处取得， 而()2111111ln 21ln 0222224f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()2ln 211f e e ae a e =+-+=，解得12a e =-； 当112e a ≤<时，()f x 在区间()01，上单调递增，11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，1,2e a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以最大值1可能在1x =或x e =处取得，而()()1ln1210f a a =+-+<， 所以()()2ln 211f e e ae a e =+-+=，解得12a e =-，与2112x e a <=<矛盾 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间()01，上单调递增，在()1,e 单调递减，所以最大值1可能在1x =处取得，而()()1ln1210f a a =+-+<，矛盾 综上所述，12a e =-或2a =-. 【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，属于中档题 24．(1)1e ；(2)10m e <<；(3)221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【分析】(1)求导，利用导数可得函数的单调性，进而求得函数的最值； (2)函数()()g x f x m =-有两个零点，转化为函数()(0)x xf x x e=>的图象与直线y m =有两个交点．结合（1）中结论即可求得m 的取值范围；(3)由()0f x >，可得()f x a >只有一个整数解，由()f x 的极大值为()11f e=，012<<， ()222f e=，可得a 的取值范围． 【详解】 (1)函数()(0)xxf x x e =>， 则1()x xf x e-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值为()11f e=．(2)函数()()g x f x m =-有两个零点，相当于函数()(0)x xf x x e=>的图象与直线y m =有两个交点．当0x =时，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →， 结合（1）中结论，可得10m e<<． (3)因为()0f x >，所以不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解， 即()f x a >只有一个整数解，因为()f x 的极大值为()11f e =，012<<，()222f e=， 所以当221,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x a >只有一个整数解1x =， 即当221,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解1x =． 所以实数a 的取值范围是221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想，属于中档题． 25．（1）单调递增区间为31,1,,22⎛⎤⎡⎫---+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；单调递减区间为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+. 【分析】（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令()0f x '=求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；（2）根据（1）知()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭求出得到函数的最小值，又因为31044f f ⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为14f ⎛⎫⎪⎝⎭求出得到函数的最大值. 【详解】解:（1）由题意得()()141232223232x x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=+=>- ⎪++⎝⎭. 令()0f x '≥，解得21x ≥-或312x -<≤-；令()0f x '<，解得112x -<<-. 所以函数()f x 单调递增区间为31,1,,22⎛⎤⎡⎫---+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；单调递减区间为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（2）由（1）可得：函数()f x 在区间31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦内单调递减，在11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增.所以当12x =-时，函数()f x 取得最小值11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭. 又393ln 4162f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 而319317131ln ln ln ln 044162162272f f ⎛⎫⎛⎫--=+--=+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当14x =时，函数()f x 取得最大值为：17ln 162+. 即()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+. 【点睛】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值,属于中档题.26．（1）52a =-；（2）()max 3ln 2=g x . 【分析】（1）求出函数的导数，求得()1f '的值，由题意可得124a +=-，从而可求出a 的值； （2）先求出()2ln 13g x x x =-+，然后对函数求导，通过列表判断函数的极值，得到函数只有极大值，从而可得其最大值【详解】 解：（1）由()()ln f x x x ax =+，得()ln 21f x x ax '=++，所以()112f a '=+， 因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行，所以()14f '=-得124a +=-，解得52a =-. （2）()2ln 13g x x x =-+，()123g x x '=-， ∵12x ≤≤，∴1112x≤≤∴()max 33ln 22g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭. 【点睛】此题考查了导数的几何意义的应用，考查利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于基础题。
函数与导数
《金版新学案》高三一轮总复习[B 师大]数学文科高效测评卷(二)第二章 函数、导数及其应用——————————————————————————————————— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共60分)只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝x (x －1)＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1或x ＝0}D ．{x |0≤x ≤1}2．给出下列三个函数：①f (x )＝x ＋1，②f (x )＝1x ，③f (x )＝x 2，其中在区间(0，＋∞)上递增的函数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)4．已知函数f (x )＝x e x ，则f ′(2)等于( ) A ．e 2 B ．2e 2 C ．3e 2D ．2ln 25．已知f (x )＝lg(2x －b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则( ) A ．b ≤1 B ．b ＜1 C ．b ≥1D ．b ＝16．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13D.237．函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为( ) A ．[2,8] B ．[0,8] C ．[1,8]D ．[－1,8]8．设a ＝20.3，b ＝0.32，c ＝log x (x 2＋0.3)(x ＞1)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a9．函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)．定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为( )A ．0B ．2C ．1D ．410．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，18 B.⎣⎡⎦⎤18，14 C.⎣⎡⎦⎤14，12D.⎣⎡⎦⎤12，111．若lg a ＋lg b ＝0(a ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－b x 的图象关于( ) A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．直线y ＝x 对称D ．原点对称12．已知函数f (x )为(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则f (2 009)＋f (2 010)的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1第Ⅱ卷 (非选择题 共90分))13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.14．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0,2]上最大值为m ，最小值为n ，则m ＋n 等于________．15．偶函数f (x )是以4为周期的函数，f (x )在区间[－6，－4]上是减函数，则f (x )在[0,2]上的单调性是________．16．若函数f (x )＝|x 2－4x |－a 的零点个数为3，则a ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 的图象关于y 轴对称，它的定义域是[a －1,2a ](a ，b ∈R )，求f (x )的值域． 【解析方法代码108001028】18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－2ax 2－3x ，x ∈R . (1)当a ＝0时，求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥ax 恒成立，求a 的取值范围．19.(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )·x ＋ax ，且g (x )在区间[0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 【解析方法代码108001029】20．(12分)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )－m ＝0有解，求m 的取值范围． 【解析方法代码108001030】 21.(12分)某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )＝5x －x 22(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？22．(14分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2＋bx ＋c ，x <1a ln x ，x ≥1的图象过坐标原点O ，且在点(－1，f (－1))处的切线的斜率是－5.(1)求实数b 、c 的值；(2)求f (x )在区间[－1,2]上的最大值． 答案：卷(二)一、选择题1．C 由已知⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1或x ≤0x ≥0， 得x ≥1或x ＝0.∴定义域为{x |x ≥1或x ＝0}． 2．C3．C 设y ＝x α，则2α＝14，∴α＝－2，∴幂函数y ＝x －2，结合图象知选C.4．C ∵f (x )＝x e x ，∴f ′(x )＝e x ＋x e x . ∴f ′(2)＝e 2＋2e 2＝3e 2.故选C.5．A ∵x ≥1，∴2x ≥2,2x －b ≥2－b .又x ≥1时，f (x )≥0恒成立，即2－b ≥1恒成立，∴b ≤1.6．A y ′＝x 2＋1，曲线在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线斜率k ＝12＋1＝2，故曲线在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线方程为：y －43＝2(x －1)． 该切线与两坐标轴的交点分别是⎝⎛⎭⎫13，0，⎝⎛⎭⎫0，－23， 故所求三角形的面积是： S ＝12×13×23＝19. 7．B 当x ＝0时，y min ＝3|x |－1＝30－1＝0. 当x ＝2时，y max ＝3|x |－1＝32－1＝8， 故值域为[0,8]．8．B ∵a ＝20.3＜21＝2且a ＝20.3＞20＝1， ∴1＜a ＜2，又∵b ＝0.32＜0.30＝1， ∵x ＞1，∴c ＝log x (x 2＋0.3)＞log x x 2＝2， ∴c ＞a ＞b . 9．C 由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (0≤x ≤1)－x ＋3 (1＜x ≤3)，所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x ≤1)(－x ＋3)(x －1) (1＜x ≤3). 当x ∈[0,1]时，g (x )的最大值为g (0)＝g (1)＝0； 当x ∈(1,3]时，g (x )的最大值为g (2)＝1. 综上可知，函数g (x )的最大值为1.10．C 因为f (x )在定义域内为单调递增函数，而在4个选项中，只有f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12＜0，所以零点所在区间为⎣⎡⎦⎤14，12.11．D 由lg a ＋lg b ＝0⇒ab ＝1⇒b ＝1a ，所以g (x )＝－a －x ，故f (x )与g (x )关于原点对称．12．D 由f (x )为奇函数得f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )．又f (x )关于x ＝1对称，有f (－x )＝f (x ＋2)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )的周期为4.又f (1)＝21－1＝1，f (0)＝20－1＝0，所以f (2 009)＋f (2 010)＝f (1)＋f (0)＝1，故选D. 二、填空题13．解析： ∵f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ，∴4＋2a ＝4a ，∴a ＝2. 答案： 214．解析： ∵f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， ∴f (x )min ＝f (1)＝2， f (x )max ＝f (0)＝f (2)＝3， ∴m ＋n ＝3＋2＝5. 答案： 515．解析： ∵T ＝4，且在x ∈[－6，－4]上单调递减， ∴(x ＋4)在[－2,0]上也单调递减，又f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称， 由对称性知f (x )在[0,2]上单调递增． 答案： 递增16．解析： 函数y ＝|x 2－4x |与函数y ＝4的图象如图所示，它们恰有3个交点，而当y ≠4时，不可能有3个交点．答案： 4三、解答题17．解析： 由于f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )是一个偶函数，其定义域[a －1,2a ]应关于原点对称，∴a －1＋2a ＝0，得a ＝13.这时f (x )＝13x 2＋bx ＋1＋b ，又f (－x )＝13x 2－bx ＋1＋b .由f (x )＝f (－x )得b ＝0， ∴f (x )＝13x 2＋1.又定义域为⎣⎡⎦⎤－23，23，所以值域为⎣⎡⎦⎤1，3127. 18．解析： (1)当a ＝0时，f (x )＝x 3－3x ，故f ′(x )＝3x 2－3. 当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0. 故f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减． (2)由题意可知x 3－2ax 2－3x ≥ax 在(0，＋∞)上恒成立， 即x 2－2ax －(3＋a )≥0在(0，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝x 2－2ax －(3＋a )，因为Δ＝(－2a )2＋4(a ＋3)＝4⎝⎛⎭⎫a ＋122＋11＞0， 故x 2－2ax －(3＋a )≥0在(0，＋∞)上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，g (0)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－a －3≥0，解得a ≤－3， 即a 的取值范围是(－∞，－3]．19．解析： (1)∵f (x )的图象与h (x )关于A (0,1)对称，设f (x )图象上任意一点坐标为B (x ，y )，其关于A (0,1)对称点B ′(x ′，y ′)，则⎩⎨⎧x ′＋x 2＝0y ＋y ′2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x y ′＝2－y.∵B ′(x ′，y ′)在h (x )上， ∴y ′＝x ′＋1x ′＋2，∴2－y ＝－x －1x＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(2)g (x )＝x 2＋ax ＋1， ∵g (x )在[0,2]上为减函数， ∴－a2≥2，即a ≤－4，∴a 的取值范围为(－∞，－4]．20．解析： (1)由函数f (x )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )， ∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx ，即log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，log 44x ＝－2kx ，∴x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立． ∴k ＝－12.(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x ＋1)－12x ，得m ＝log 44x ＋12x ＝log 4(2x ＋12x )．∵2x ＋12x ≥2，∴m ≥12.故要使方程f (x )－m ＝0有解，m 的取值范围为m ≥12.21．解析： (1)当x ≤5时，产品能售出x 百台；当x >5时，只能售出500台，故利润函数为L (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫5x －x22－(0.5＋0.25x )(0≤x ≤5)，⎝⎛⎭⎫5×5－522－(0.5＋0.25x )(x >5)＝⎩⎪⎨⎪⎧4.75x －x 22－0.5(0≤x ≤5)，12－0.25x ，(x >5).(2)当0≤x ≤5时，L (x )＝4.75x －x 22－0.5，∴当x ＝4.75时，得L (x )max ＝10.781 25(万元)； 当x >5时，L (x )<12－1.25＝10.75(万元)． ∴生产475台时利润最大．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，4.75x －x 22－0.5≥0 或⎩⎪⎨⎪⎧x >5，12－0.25x ≥0 得0.11≤x ≤5或5＜x ≤48， 即0.11≤x ≤48.∴产品年产量在11台到4800台时，工厂不亏本．22．解析： (1)当x <1时，f (x )＝－x 3＋x 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋b .依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0f ′(－1)＝－5即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0－3－2＋b ＝－5， 解得b ＝c ＝0. (2)由(1)知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1a ln x ，x ≥1.①当－1≤x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－3x ⎝⎛⎭⎫x －23， 令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：又f (－1)＝2，f ⎝⎛⎭⎫23＝427，f (0)＝0， ∴f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤2时，f (x )＝a ln x . 当a ≤0时，f (x )≤0， ∴f (x )的最大值为0；当a >0时，f (x )在[1,2]上单调递增，∴f(x)在[1,2]上的最大值为a ln 2. 综上所述，当a ln 2≤2，即a≤2ln 2时，f(x)在[－1,2]上的最大值为2；当a ln 2>2，即a>2ln 2时，f(x)在[－1,2]上的最大值为a ln 2.。
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阶段质量检测(二) 函数、导数及其应用(时间120分钟，满分150分)第Ⅰ卷 (选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ＝{x |x ＜3}，B ＝{x |2x －1＞1}，则A ∩B ＝ ( )A.{x |x ＞1}B.{x |x ＜3}C.{x |1＜x ＜3}D.∅ 解析：集合B 中不等式2x －1＞1⇒2x －1＞20⇒x ＞1，所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}.答案：C2.函数f (x )＝ln x －1x 的零点所在的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1，e) C.(e,3) D.(3，＋∞)解析：代入验证可知，只有B 中：f (1)·f (e)＝(ln1－11)(lne －1e )＜0，又∵f ′(x )＝1x ＋1x 2＝x ＋1x 2＞0，故在(1，e)上函数f (x )存在零点. 答案：B3.设m ，n ∈R ，函数y ＝m ＋log n x 的图象如图所示，则有 ( ) A.m ＜0,0＜n ＜1 B.m ＞0，n ＞1 C.m ＞0,0＜n ＜1 D.m ＜0，n ＞1解析：由函数图象可知该函数为增函数，所以n ＞1，又图象与x 轴的交点在(0,1)之间，故该图象是由y ＝log n x 的图象向上平移得到的，所以m ＞0. 答案：B4.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x －2B.y ＝(12)xC.y ＝log 2xD.y ＝12(x 2－1)解析：直线是均匀的，故选项A 不是；指数函数y ＝(12)x 是单调递减的，也不符合要 求；对数函数y ＝log 2x 的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D 中，基本符合要求. 答案：D 5.已知f (x )＝(4),0,(4),x x x x x x +<⎧⎨+⎩≤0.则方程f (x )＝2的实数根的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3 解析：令31－x ＝2，∴1－x ＝log 32.∴x ＝1－log 32.又∵log 32<log 33＝1，∴x ＝1－log 32>0. ∴这个实根符合题意.令x 2＋4x ＋3＝2，则x 2＋4x ＋1＝0. 解得两根x 1＝－2－3，x 2＝－2＋3， x 1和x 2均小于0，符合题意. 答案：D6.曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为 ( ) A.112 B.16 C.13 D.12解析：由题可知，曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2，令y ＝0，得x ＝23，画出图形可知，所围成三角形的面积为S ＝12×(1－23)×1＝16.答案：B7.函数f (x )＝ln(1－x 2)的图象只可能是 ( )解析：函数f (x )＝ln (1－x 2)的定义域为(－1,1)，且f (x )为偶函数，当x ∈(0,1)时，函数f (x )＝ln(1－x 2)为单调递减函数；当x ∈(－1,0)时，函数f (x )为单调递增函数，且函数值都小于零，所以其图象为A. 答案：A8.已知π4<x <π2，设a ＝21－sin x ，b ＝2cos x ，c ＝2tan x ，则 ( )A.a <b <cB.b <a <cC.a <c <bD.b <c <a解析：因为π4<x <π2，所以0<cos x <sin x <1<tan x ，而sin x ＋cos x >1，cos x >1－sin x ，故a <b <c .14log x答案：A9.已知f (x )＝(31)4,1log , 1.aa x a x x x -+<⎧⎨⎩，≥是R 上的减函数，那么a 的取值范围是 ( )A.(0,1)B.(0，13)C.[17，13)D.[17，1)解析：依题意有0<a <1且3a －1＜0，得0<a <13，考虑端点x ＝1，则(3a －1)＋4a ≥0得a ≥17.答案：C10.定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12)＝0，则满足f (14log x )＜0的x 的集合为 ( ) A.(－∞，12)∪(2，＋∞)B.(12，1)∪(1,2) C.(12，1)∪(2，＋∞) D.(0，12)∪(2，＋∞)解析：∵函数f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，f (12)＝0，∴14log x ＞12或14log x ＜－12，∴0＜x ＜12或x ＞2.答案：D二、填空题(本大题共4小题，将答案填写在题中的横线上.)11.已知函数f (x )＝()()22log >010x x x x ⎧-⎪⎨-⎪⎩≤则不等式f (x )＞0的解集为 .解析：当x ＞0时，－log 2x ＞0，即log 2x ＜0 ∴0＜x ＜1，当x ≤0时，1－x 2＞0，即x 2＜1， ∴－1＜x ≤0，综上所述：f (x )＞0的解集为(－1,1). 答案：(－1,1)12.若x 1、x 2为方程2x ＝ 的两个实数解，则x 1＋x 2＝ .解析：∵2x ＝ ＝21x －1，∴x ＝1x －1，即x 2＋x －1＝0，∴x 1＋x 2＝－1. 答案：－114.已知P (x ，y )是函数y ＝e x ＋x 图象上的点，则点P 到直线2x －y －3＝0的最小距离为________．解析：将直线2x －y －3＝0平移到与函数y ＝e x ＋x 的图象相切时，切点到直线2x －y －3＝0的距离最短，故关键是求出切点的坐标．由y ′＝e x ＋1＝2解得x ＝0，代入函数y ＝e x ＋x 易得y ＝1，点(0,1)到直线2x －y －3＝0的距离为|0－1－3|5＝455.答案：45515.定义在R上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝3(.(12x x x x x x x ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤()[)12log 1,0,1,13,(1,),x x x x ⎧⎪+∈⎨⎪--∈+∞⎩则方程f (x )＝12的所有解之和为 . 解析：当x ＜0时，函数的解析式是f (x )＝()()2log 11,0131,(,1)x x x x ⎧-∈-⎪⎨-+-∈-∞-⎪⎩故函数f (x )在x ∈R 上的图象如图所示，方程f (x )＝12共有五个实根，最左边两根之和为－6，最右边两根之和为6，中间的一个根满足log 2(1－x )＝12，即x ＝11答案：1三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (2010·东北师大附中模拟)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝12|x |＋2. (1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值.解：(1)g (x )＝12|x |＋2＝(12)|x |＋2， 因为|x |≥0，所以0＜(12)|x |≤1，即2＜g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3].(2)由f (x )－g (x )＝0得2x －12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程，即只有x ＞0满足2x －12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2， 故2x ＝1±2，因为2x ＞0，所以2x ＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2). 17.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值与最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数. 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，当x ＝1时，f (x )取最小值为1，当x ＝－5时，f (x )取最大值为37，所以f (x )的最大值是37；最小值是1.(2)由于函数的对称轴是x ＝－a ，要使函数在区间[－5,5]上是单调函数，必须且只需满足|a |≥5，故所求的a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.18.是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点.若存在，求出范围，若不存在，说明理 由.解：若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可.f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0.所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0.得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a ＜－15或a ＞1.19.已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a ， (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求函数f (x )在该区间上的最小值.解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9，令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜3，所以函数f (x )的单调递增区间为(－1,3). (2)因为f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， 所以f (2)＞f (－2).因为在区间(－1,3)上，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1,2)上单调递增. 又由于f (x )在(－2，－1)上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值， 于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2， 故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7，即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7.20.已知向量a ＝(x 2－1，－1)，b ＝(x ，y )，当|x |＜2时，有a ⊥b ；当|x |≥ 2时，a ∥b . (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(3)若对|x |≥ 2，都有f (x )≤m ，求实数m 的最小值. 解：(1)当|x |＜2时，由 a ⊥b ，得a ·b ＝(x 2－1)x －y ＝0， 即y ＝x 3－x (|x |＜2)； 当|x |≥2时，由a ∥b ，得y ＝x1－x 2(|x |≥2). ∴f (x )＝32(.(1x x x xx x x ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤(2)当|x |＜2时，由y ′＝3x 2－1＜0，解得－33＜x ＜33， 当|x |≥2时，y ′＝(1－x 2)－x (－2x )(1－x 2)2＝1＋x 2(1－x 2)2＞0，∴函数f (x )的单调递减区间为(－33，33). (3)对∀x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，都有f (x )≤m ，即m ≥x1－x 2， 由(2)知当|x |≥2时，y ′＝1＋x 2(1－x 2)2＞0，∴函数f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都单调递增，f (－2)＝－21－2＝2，f (2)＝21－2＝－2， 当x ≤－2时，y ＝x1－x 2＞0，∴0＜f (x )≤f (－2)＝2， 同理可得，当x ≥2时，有－2≤f (x )＜0，综上所述，对∀x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，f (x )取得最大值2， ∴实数m 的最小值为 2.21. (2010·长郡模拟)已知函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b (x ∈R)，其中a ，b ∈R. (1)当a ＝－103时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )仅在x ＝0时处有极值，求a 的取值范围；(3)若对于任意的a ∈[－2,2]，不等式f (x )≤1在[－1,1]上恒成立，求b 的取值范围. 解：(1)f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4). 当a ＝－103时，f ′(x )＝x (4x 2－10x －4)＝2x (2x －1)(x －2).令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝12，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，2)内是减函数.(2)f ′(x )＝x (4x 3＋3ax ＋4)，显然x ＝0不是方程4x 3＋3ax ＋4＝0的根. 为使f (x )仅在x ＝0处有极值，必须4x 2＋3ax ＋4≥0，即有Δ＝9a 2－64≤0. 解此不等式，得－83≤a ≤83.这时，f (0)＝b 是唯一极值.因此满足条件的a 的取值范围是[－83，83].(3)由条件a ∈[－2,2]，可知Δ＝9a 2－64＜0，从而4x 2＋3ax ＋4＞0恒成立. 当x ＜0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0.因此函数f (x )在[－1,1]上的最大值是f (1)与f (－1)两者中的较大者.为使对任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,1]上恒成立，当且仅当1,()11),(1ff⎧⎨-⎩≤≤即2,2b aab---+⎧⎨⎩≤≤在a∈[－2,2]上恒成立.所以b≤－4，因此满足条件的b的取值范围是(－∞，－4].。