高中含参不等式的恒成立问题整理版

高中数学不等式的恒成立问题

一、用一元二次方程根的判别式

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。 基本结论总结

例1 对于x ∈R ，不等式

恒成立，求实数m 的取值范围。

例2：已知不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足：

（1）⎩⎨⎧<-+-<-0)2(16)2(4022

a a a 或 （2）⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=-=-0

40)2(20

2a a 解（1）得⎩⎨

⎧<<-<2

22

a a ，解（2）a ＝２

∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２．

练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

2.若对于x ∈R ，不等式

恒成立，求实数m 的取值范围。

3.若不等式

的解集是R ，求m 的范围。

4.x 取一切实数时，使

3

47

2

+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围．

例3．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 关键点拨：为了使

在

恒成立，构造一个新函数

是解题的

关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 解：m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

-≤--≥-≥∆1

220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。

解法1：数形结合

结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立⇔

25

a 0a 25)2(f 0a 2)1(f >⎩

⎨

⎧<-=<-=得。所以a 的取值范围是),2

5(+∞。

解法2：转化为最值研究

4

a 1)2a x ()x (f 2

2-

+-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 2

32

a 在时即≤≤上的最大值,2

5a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 2

5≤<所以。

2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2

32

a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。

综上：a 的取值范围是),2

5(+∞。

注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2.

I

x ,m )x (f ∈<恒成立

)

m (m )x (f max 为常数<⇔；

)m (m )x (f I x ,m )x (f min 为常数恒成立>⇔∈>

解法3：分离参数

]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+

>⇐∈<+-。设x

1x )x (g +=，

注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。

2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。

仿解法1：⇔∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0

)2(f 0)1(f ≥⎩⎨

⎧≤≤得即),25

[:a +∞的范围是

读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处2

5a =也合题。

例5. 已知：1ax x )x (f 2+-=求使]1,1[x 0)x (f -∈>对任意恒成立的a 的取值范围。 解法1：数形结合结合)x (f 的草图可得：

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧>--<≥-=∆<-=∆0)1(f 12a 04a 04a 22或或⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>>≥-=∆0)1(f 1

2a 0

4a 2得：)2,2(:a 2a 2-<<-的取值范围是即。 解法2：转化为最值研究

4

a 1)2a x ()x (f 2

2-

+-= 1. 2a 204

a 1)x (f ,2a 212a 12

min <<->-=≤≤-≤≤-得时即，所以2a 2<<-。

2. 若2a ,2a 0a 2)1(f )x (f ,2a 12

a min -<->>+=-=-<-<与得时即矛盾。

3. 若2a ,2a 0a 2)1(f )x (f ,2a 12

a min ><>-==>>与得则时即矛盾。综上：a 的取值范围是)2,2(-。

解法3：分离参数

1. 0x =时，不等式显然成立，即此时a 可为任意实数；

2. )0,1[x -∈时，x

1x a 01ax x 2+>⇔>+-。因为)0,1[x

1x )x (g -+=在上单调递减，所以

2)1(g )x (g a max -=-=>；

3. ]1,0(x ∈时，x

1x a 01ax x 2+<⇔>+-。因为x

1x )x (g +=在（0，1）上单调递减，所以

2)1(g )x (g a min ==<。综上：a

的范围是：)2,2(-。