南昌中考数学专题复习分类练习 圆的综合综合解答题

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x

=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x

=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

（3）设MBN

∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析

【解析】

试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；

（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．

试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，

∴OA旋转了45°．

∴OA在旋转过程中所扫过的面积为

2

452

3602ππ

⨯

=．

（2）∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．

∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．

又∵BA=BC，∴AM=CN．

又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．

∴∠AOM=∠CON=1

2（∠AOC-∠MON）=

1

2

（90°-45°）=22.5°．

∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

证明：延长BA交y轴于E点，

则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，

∴∠AOE=∠CON．

又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．

∴△OAE ≌△OCN ． ∴OE=ON ，AE=CN ．

又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM ， ∴△OME ≌△OMN ．∴MN=ME=AM+AE ． ∴MN=AM+CN ，

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4． ∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化． 考点：旋转的性质.

2．如图，在ABC 中，90ACB ∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作

DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O ．

()1求证：BC 是O 的切线；

()2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值．

【答案】（1）见解析；（2）1tan 2

EDB ∠=． 【解析】 【分析】

()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线

的判定定理得到结论；

()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设

O 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-，

再证明BDO ∽BCA ，利用相似比得到r ：()35r =-：5，解得15

r 8

=

，接着利用勾股定理计算5BD 2=

，则3CD 2=，利用正切定理得1

tan 12

∠=，然后证明1EDB ∠∠=，从而得到tan EDB ∠的值．

【详解】

()1证明：连接OD ，如图，

AD 平分BAC ∠， 12∴∠=∠，

OA OD =， 23∴∠=∠， 13∴∠=∠， //OD AC ∴， AC BC ⊥， OD BC ∴⊥，

BC ∴是O 的切线；

()2解：在Rt

ACB 中，22345AB =+=，

设

O 的半径为r ，则OA OD r ==，5OB r =-，

//OD AC ，

BDO ∴∽BCA ，

OD ∴：AC BO =：BA ，

即r ：()35r =-：5，解得158

r =

， 158OD ∴=

，258

OB =， 在Rt ODB 中，2

2

5

2

BD OB OD =-=

， 32

CD BC BD ∴=-=

， 在Rt ACD 中，

3

12tan 132

CD AC ∠===

， AE 为直径，

90ADE ∴∠=，

90EDB ADC ∴∠+∠=， 190ADC ∠+∠=，

1EDB ∴∠=∠，

1

tan 2

EDB ∴∠=．

【点睛】

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径

.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．

3．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D 作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．

（1）求证：DP∥AB；

（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．

【答案】详见解析

【解析】

【分析】

（1）连接OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由

∠ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB．

（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到

AD52

22

===△ACE为等腰直角三角形，得到

AE CE32

22

====，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=2，则

CD=2，易证得∴△PDA∽△PCD，得到PD PA AD52

PC PD CD72

===，所以PA=

5

7

PD，

PC=7

5

PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．

【详解】

解：（1）证明：如图，连接OD，