用向量讨论垂直与平行 课件(北师大版选修2-1)
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用向量讨论垂直与平行
一、引入新课
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
思考 1： 怎样用向量来表示点、 直线、 平面在空间中的位置？ 在空间中，我们取一定点 O 作为基点， 那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量
学习小结: 本节课主要是认识了直线的方向向量及 平面的法向量的概念,这两个向量是运用向 量工具解决平行、垂直、夹角等立体几何问 题必要的条件.
课外思考:已知不共线的三点坐标,如何求经过这 三点的平面的一个法向量? 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一 个法向量.
六、教后反思：
面面垂直
⊥ u ⊥ v u v 0.
画出图形意会
ab 两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos ； 2 a b au 直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), sin ； 2 a u uv 二面角 ─l ─ 的大小为 ( 0 ≤ ≤ ), cos . u v
完全确定的.
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m 是与平面平行或在平面 内，则有 n m 0
A
思考 2：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
练习 1.已知两点 A( ， 2，) B 2， 3 , 1 3 ,（ 1， ）, 求直线 AB 与坐标平面 yOz 的交点.
解:设直线 AB 与 yOz 平面的交点为 C (0, y1 , y2 ) 由OC （ t） tOB得 1 OA
(0, 1 , 1 )（ t） 2, 3) t (2,1, 3) y z 1 (1, 0, 1 , 1 (1 t， 2 3t， 6t） （ y z） 3 OC （0， 5， 9 ）
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
画出图形意会
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 l ⊥m a ⊥b ab 0； 线线垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 线面垂直
OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向 量. P
⑵直线
P
a
O 二、新知 A 探究
B
空间中任 意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定 方向确定.
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
P
a
练习 （， 3 ）,（ 1， ）,（，2 ） 2.已知两点 A 1 2， B 2，2 P 1 1， ,点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标. 解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ； 线面平行 l ∥ a u a u 0 ； 面面平行 ∥ u ∥ v u kv .
对于直线 l 上的任一点 P , 存在实数 t 使得
此方程称为直线的向量参数方程 OP OA ta 或 OP xOA yOB (x y 1 ）
A
⑶平面
O
b
P
wenku.baidu.com a
⑶平面
空间中平面 的位置可以由 内两条相 交直线来确定. n 对于平面 上的任一点 P , P b 存在有序实数对 ( x, y) ,使得 O a OP xa yb
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量. 给定一点A和一个向量 n,那么 l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
四、课堂小 结
课外思考:已知不共线的三点坐标,如何求经过这 三点的平面的一个法向量? 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一 个法向量.
五、作业 布置
作业:课本 P 练习 1,2
113
问题:如何求平面的法向量? ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z )
平行
垂直 夹角
因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向 向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的 平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的 方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关 系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向 量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及 它们二面角的大小吗？
练习 3:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， 求证： DB1 是平面 ACD1 的法向量 证：设正方体棱长为 1， 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底， 建立如图所示空间坐标系 D xyz DB1 (1,1,1) ， AC (1,1,0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0 ，所以 DB1 AC , 同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A 所 以 DB1 平 面 ACD , 从 而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 n a 0 组 n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
画出图形意会
以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.
三、课堂练 习
练习 1.已知两点 A( ， 2，) B 2， 3 求直线 AB 与坐 1 3 ,（ 1， ）, 标平面 yOz 的交点. 2.已知两点 A 1 2， B 2，2 P 1 1， ,点 Q 在 OP （， 3 ）,（ 1， ）,（，2 ） 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标. 3.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求证： DB1 是平 面 ACD1 的一个法向量.
一、引入新课
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
思考 1： 怎样用向量来表示点、 直线、 平面在空间中的位置？ 在空间中，我们取一定点 O 作为基点， 那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量
学习小结: 本节课主要是认识了直线的方向向量及 平面的法向量的概念,这两个向量是运用向 量工具解决平行、垂直、夹角等立体几何问 题必要的条件.
课外思考:已知不共线的三点坐标,如何求经过这 三点的平面的一个法向量? 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一 个法向量.
六、教后反思：
面面垂直
⊥ u ⊥ v u v 0.
画出图形意会
ab 两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos ； 2 a b au 直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), sin ； 2 a u uv 二面角 ─l ─ 的大小为 ( 0 ≤ ≤ ), cos . u v
完全确定的.
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m 是与平面平行或在平面 内，则有 n m 0
A
思考 2：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
练习 1.已知两点 A( ， 2，) B 2， 3 , 1 3 ,（ 1， ）, 求直线 AB 与坐标平面 yOz 的交点.
解:设直线 AB 与 yOz 平面的交点为 C (0, y1 , y2 ) 由OC （ t） tOB得 1 OA
(0, 1 , 1 )（ t） 2, 3) t (2,1, 3) y z 1 (1, 0, 1 , 1 (1 t， 2 3t， 6t） （ y z） 3 OC （0， 5， 9 ）
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
画出图形意会
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 l ⊥m a ⊥b ab 0； 线线垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 线面垂直
OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向 量. P
⑵直线
P
a
O 二、新知 A 探究
B
空间中任 意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定 方向确定.
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
P
a
练习 （， 3 ）,（ 1， ）,（，2 ） 2.已知两点 A 1 2， B 2，2 P 1 1， ,点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标. 解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ； 线面平行 l ∥ a u a u 0 ； 面面平行 ∥ u ∥ v u kv .
对于直线 l 上的任一点 P , 存在实数 t 使得
此方程称为直线的向量参数方程 OP OA ta 或 OP xOA yOB (x y 1 ）
A
⑶平面
O
b
P
wenku.baidu.com a
⑶平面
空间中平面 的位置可以由 内两条相 交直线来确定. n 对于平面 上的任一点 P , P b 存在有序实数对 ( x, y) ,使得 O a OP xa yb
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量. 给定一点A和一个向量 n,那么 l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
四、课堂小 结
课外思考:已知不共线的三点坐标,如何求经过这 三点的平面的一个法向量? 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一 个法向量.
五、作业 布置
作业:课本 P 练习 1,2
113
问题:如何求平面的法向量? ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z )
平行
垂直 夹角
因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向 向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的 平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的 方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关 系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向 量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及 它们二面角的大小吗？
练习 3:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， 求证： DB1 是平面 ACD1 的法向量 证：设正方体棱长为 1， 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底， 建立如图所示空间坐标系 D xyz DB1 (1,1,1) ， AC (1,1,0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0 ，所以 DB1 AC , 同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A 所 以 DB1 平 面 ACD , 从 而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 n a 0 组 n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
画出图形意会
以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.
三、课堂练 习
练习 1.已知两点 A( ， 2，) B 2， 3 求直线 AB 与坐 1 3 ,（ 1， ）, 标平面 yOz 的交点. 2.已知两点 A 1 2， B 2，2 P 1 1， ,点 Q 在 OP （， 3 ）,（ 1， ）,（，2 ） 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标. 3.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求证： DB1 是平 面 ACD1 的一个法向量.