备战2021年中考数学专题练——专题十一圆

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专题11 圆(第04期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)

专题11 圆一、选择题1. （2021贵州遵义第8题）已知圆锥的底面积为9πcm 2，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（） A ．18πcm 2 B ．27πcm 2 C ．18cm 2 D ．27cm 22. （2021湖南株洲第6题）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形3. （2021内蒙古通辽第9题）下列命题中，假命题有（）①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行；⑤若⊙O 的弦CD AB ,交于点P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅.A ．4个B ．3个 C. 2个 D ．1个4. （2021湖北咸宁第7题）如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OD OB ,,若BCD BOD ∠=∠，则⋂BD 的长为（）A ．πB ．π23 C. π2 D ．π3 5. （2021广西百色第11题）以坐标原点O 为圆心，作半径为2的圆，若直线y x b =-+与O 相交，则b的取值范围是（）A ．022b ≤<B ．2222b -≤≤ C.2323b -<< D ．2222b -<< 6. （2021哈尔滨第7题）如图，O ⊙中，弦AB ，CD 相交于点P ，42A ∠°，77APD ∠°，则B ∠的大小是( )A.43°B.35°C.34°D.44°7. （2021黑龙江齐齐哈尔第9题）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（）A ．120︒B ．180︒C ．240︒D ．300︒8. （2021内蒙古呼和浩特第7题）如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为M ，若12AB =，:5:8OM MD =，则O 的周长为（）A ．26πB ．13πC ．965πD ．39105π 9. （2021青海西宁第8题）如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，2,6AP BP ==，030APC ∠=.则CD 的长为（）A 15B ．25 C. 15 D ．810. （2021湖南张家界第3题）如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，连接OC ，若∠ACO =30°，则∠BOC 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°11. （2021海南第12题）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AC ∥OB ，∠BAO =25°，则∠BOC 的度数为（）A ．25°B ．50°C ．60°D ．80°12. （2021河池第8题）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦36,=∠CAB CD ，则BCD ∠的大小是（）A ． 18B ． 36 C. 54 D ．7213. （2021新疆乌鲁木齐第8题）如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（）A ．πB ．2π C.4π D ．5π二、填空题1. （2021贵州遵义第17题）如图，AB 是⊙O 的直径，AB =4，点M 是OA 的中点，过点M 的直线与⊙O 交于C ，D 两点．若∠CMA =45°，则弦CD 的长为．2. （2021湖南株洲第15题）如图，已知AM 为⊙O 的直径，直线BC 经过点M ，且AB =AC ，∠BAM =∠CAM ，线段AB 和AC 分别交⊙O 于点D 、E ，∠BMD =40°，则∠EOM = ．3. （2021郴州第14题）已知圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的侧面积为 2cm （结果保留π）．4. （2021哈尔滨第18题）已知扇形的弧长为4，半径为8，则此扇形的圆心角为. 5. （2021黑龙江齐齐哈尔第15题）如图，AC 是O 的切线，切点为C ，BC 是O 的直径，AB 交O 于点D ，连接OD ，若50A ∠=︒，则COD ∠的度数为．6. （2021黑龙江绥化第16题）一个扇形的半径为3cm ，弧长为2cm π，则此扇形的面积为2cm ．（用含π的式子表示）7. （2021黑龙江绥化第18题）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．8. （2021湖北孝感第15题）已知半径为2的O 中，弦2AC =，弦22AD =，则COD ∠的度数为．9. （2021青海西宁第16题）圆锥的主视图是边长为4cm 的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是 2cm .10. （2021青海西宁第17题）如图，四边形ABCD 内接于O ，点E 在BC 的延长线上，若0120BOD ∠=，则DCE ∠=______.11. （2021上海第17题）如图，已知Rt △ABC ，∠C =90°，AC =3，BC =4．分别以点A 、B 为圆心画圆．如果点C 在⊙A 内，点B 在⊙A 外，且⊙B 与⊙A 内切，那么⊙B 的半径长r 的取值范围是．12. （2021上海第18题）我们规定：一个正n 边形（n 为整数，n ≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为λn ，那么λ6= ．13. （2021辽宁大连第12题）如图，在⊙O 中，弦cm AB 8=，AB OC ⊥，垂足为C ，cm OC 3=，则⊙O 的半径为 cm ．14. （2021海南第18题）如图，AB 是⊙O 的弦，AB =5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB =45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是．15. （2021河池第17题）圆锥的底面半径长为5，将其侧面展开后得到一个半圆，则该半圆的半径长是．16. （2021新疆乌鲁木齐第14题）用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为．三、解答题1. （2021贵州遵义第24题）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，B C．（1）求证：四边形ACBP是菱形；（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．2. （2021湖南株洲第25题）如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．①求证：CE∥BF；②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：3，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．3. （2021内蒙古通辽第24题）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，连接OD 交弦AC 于点F .过点D 作AC DE //，交BA 的延长线于点E .（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接CD ，若4==AE OA ，求四边形ACDE 的面积.4. （2021郴州第23题）如图，AB 是O 的弦，BC 切O 于点,B AD BC ⊥垂足为,D OA 是O 的半径，且3OA =.（1）求证：AB 平分OAD ∠；（2）若点E 是优弧AEB 上一点，且060AEB ∠=，求扇形OAB 的面积（计算结果保留π）5. （2021湖北咸宁第21题）如图，在ABC ∆中，AC AB =，以AB 为直径的⊙O 与边AC BC ,分别交于E D ,两点，过点D 作AC DF ⊥，垂足为点F .⑴求证：DF 是⊙O 的切线； ⑵若52cos ,4==A AE ，求DF 的长6. （2021湖北咸宁第23题）定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.理解：⑴如图1，已知B A ,是⊙O 上两点，请在圆上找出满足条件的点C ，使ABC ∆为“智慧三角形”（画出点C 的位置，保留作图痕迹）；⑵如图2，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CD CF 41=，试判断AEF ∆是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：⑶如图3，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点Q 是直线3=y 上的一点，若在⊙O 上存在一点P ，使得OPQ ∆为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标.7. （2021湖南常德第22题）如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于C ，BE ∥CO ．（1）求证：BC 是∠ABE 的平分线；（2）若DC =8，⊙O 的半径OA =6，求CE 的长．8. （2021广西百色第25题）已知ABC 的内切圆O 与,,AB BC AC 分别相切于点,,D E F ，若EF DE =，如图1.(1)判断ABC 的形状，并证明你的结论；(2)设AE 与DF 相交于点M ，如图2，24,AF FC ==求AM 的长.9. （2021黑龙江绥化第26题）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，AE BC ⊥于E ，ADC ∠的平分线交AE 于点O ，以点O 为圆心， OA 为半径的圆经过点B ，交BC 于另一点F ．（1）求证：CD 与O 相切；（2）若24,5BF OE ==，求tan ABC ∠的值．10. （2021湖北孝感第23题）如图，O 的直径10,AB = 弦6,AC ACB =∠的平分线交O 于,D 过点D 作DE AB 交CA 延长线于点E ，连接,.AD BD（1）由AB ，BD ，AD 围成的曲边三角形的面积是；（2）求证：DE 是O 的切线；（3）求线段DE 的长.11. （2021内蒙古呼和浩特第24题）如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的O 上的四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 与BD 交于点E ．（1）求证：2DC CE AC =⋅；（2）若2AE =，1EC =，求证：AOD ∆是正三角形；（3）在（2）的条件下，过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点H ，求ACH ∆的面积．12. （2021青海西宁第26题）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作O 交BC 于点D ，过点D 作O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F .（1）求证：DE AC ⊥；（2）若10,8AB AE ==，求BF 的长.13. （2021上海第25题）如图，已知⊙O 的半径长为1，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB =AC ，BO 的延长线交AC 于点D ，联结OA 、O C ．（1）求证：△OAD ∽△ABD ；（2）当△OCD 是直角三角形时，求B 、C 两点的距离；（3）记△AOB 、△AOD 、△COD 的面积分别为S 1、S 2、S 3，如果S 2是S 1和S 3的比例中项，求OD 的长．14. （2021湖南张家界第21题）在等腰△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）分别延长CB ，FD ，相交于点G ，∠A =60°，⊙O 的半径为6，求阴影部分的面积．15. （2021辽宁大连第23题）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AD 平分CAB ∠，BD 是⊙O 的切线，AD 与BC 相交于点E .（1）求证：BE BD =；（2）若5,2==BD DE ，求CE 的长.16. （2021河池第25题）如图，AB 为⊙O 的直径，CD CB ,分别切⊙O 于点CD D B ,,交BA 的延长线于点E ，CO 的延长线交⊙O 于点OG EF G ⊥,于点F .⑴求证ECF FEB ∠=∠；⑵若46==DE BC ，，求EF 的长.17. （2021贵州六盘水第22题）如图，在边长为1的正方形网格中，ABC△的顶点均在格点上.(1)画出ABCA B C△各顶点的坐标.A B C△，并直接写出'''△关于原点成中心对称的'''(2)求点B旋转到点'B的路径(结果保留).18. （2021贵州六盘水第25题）如图，MN是O⊙的直径，4AMN∠°，B为⊙上，30MN，点A在OAN的中点，P是直径MN上一动点.(1)利用尺规作图，确定当PA PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).(2)求PA PB的最小值.19. （2021新疆乌鲁木齐第23题）如图，AB是O的直径，CD与O相切于点C，与AB的延长线交于D.（1）求证：ADC CDB∆∆；（2）若32,2AC AB CD==，求O半径.。

2021中考数学压轴题满分训练 – 圆的专题含答案解析

2021中考数学压轴题满分训练–圆的专题1．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．（1）连接BC，求证：BC＝OB；（2）E是中点，连接CE，BE，若BE＝4，求CE的长．2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB于E．（1）求证：DE⊥AB；（2）如果tan B＝，⊙O的直径是5，求AE的长．4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为E，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．∵∠D＝∠N，∴∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA•ID＝IM•IN，①如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°．∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IFA．∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），∴△AIF∽△EDB，∴＝．∴IA•BD＝DE•IF②任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝（用含R，d的代数式表示）；（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．5．【发现】如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数（填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB ＝°．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？【研究】为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．【应用】（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为．（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE ＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．①∠BPE＝°，∠BPA＝°；②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为．6．如图，BE为⊙O的直径，C为线段BE延长线上一点，CA为⊙O的切线，A为切点，连接AB，AE，AO．∠C＝30°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：BO＝CE；（3）已知⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）7．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长；（3）求证：CE2＝CD•CA．8．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝1.5，求EF的长．9．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×4网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的“好点”；（2）△ABC中，BC＝14，tan B＝，tan C＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．①求证：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r＝3OH，求的值．10．如图，DE是△DBC的外角∠FDC的平分线，交BC的延长线于点E，DE的延长线与△DBC的外接圆交于点A．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠DCB＝90°，sin E＝，AD＝4，求BD的长．11．已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D．（1）如图1，求证：BD＝ED．（2）如图2，AD为⊙O的直径．若BC＝12，sin∠BAC＝，求OE的长．12．如图，AB是大半圆O的直径．OA是小半圆O1的直径，点C是大半圆O上的一个动点（不与点A、B重合），AC交小半圆O1于点D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD＝DC；（2）求证：DE是半圆O1的切线；（3）如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．13．已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径．点D是⊙O外一点，连接AD 和OD，OD与AC相交于点E，且OD⊥AC．（1）如图1，若AD是⊙O的切线，tan∠BAC＝，证明：AD＝AB；（2）如图2，延长DO交⊙O于点F，连接CD，CF，AF．当四边形ADCF为菱形，且∠BAC＝30°，BC＝1时，求DF的长．14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）求证：AB2﹣BE2＝BE•EC；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝64，求BG的长．15．已知：△ABC内接于⊙O，连接CO并延长交AB于点E，交⊙O于点D，满足∠BEC ＝3∠ACD．（1）如图1，求证：AB＝AC；（2）如图2，连接BD，点F为弧BD上一点，连接CF，弧CF＝弧BD，过点A作AG⊥CD，垂足为点G，求证：CF+DG＝CG；（3）如图3，在（2）的条件下，点H为AC上一点，分别连接DH，OH，OH⊥DH，过点C作CP⊥AC，交⊙O于点P，OH：CP＝1：，CF＝12，连接PF，求PF的长．参考答案1．解：（1）如图，连接OC，AE，过点A作AM⊥CE，垂足为M，∵PC是⊙O的切线，∴∠CAB＝∠DCB，又∵CA＝CD，∴∠CAB＝∠CDB，∴∠DCB＝∠CDB，∴BC＝BD，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵∠CBA＝2∠CDB＝2∠CAB，∴∠CBA＝90°×＝60°，∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形，∴BC＝OB；（2）连接AE，过点A作AM⊥CE，垂足为M，∵E是中点，∴AE＝BE＝4，∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝×90°＝45°，在Rt△AEM中，AE＝4，∠AEM＝∠CBA＝60°，∴EM＝AE＝2，AM＝AE＝2，在Rt△ACM中，AM＝2，∠ACM＝45°，∴CM＝AM＝2，∴CE＝EM+CM＝2+2，答：CE的长为2+2．2．（1）证明：连接OC，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴AE∥OC，∵AO＝BO，∴EC＝BC，∴OC＝AE，∵OC＝OA＝OB＝AB，∴AE＝AB；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＝90°，AC⊥BE，∵由（1）知：AB＝AE，∴EC＝BC，∵BC＝16，∴EC＝16，在RtACB中，由勾股定理得：AC＝＝＝12，在Rt△ACE中，S△ACE＝＝，∵AE＝AB＝20，∴＝CD，解得：CD＝9.6．3．（1）证明：连接AD，OD，∵AC为⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BAD＝∠ODA，∴AB∥OD，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥AB；（2）解：∵tan B＝＝，∴设AD＝k，BD＝2k，∴AB＝＝k，∵AB＝AC＝5，∴k＝，∴AD＝，BD＝2，∵S△ABD＝AB•DE＝AD•BD，∴DE＝＝2，∴AE＝＝＝1．4．解：（1）∵O、I、N三点共线∴OI+IN＝ON∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d故答案为：R﹣d．（2）BD＝ID．理由如下：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI ∠DBI＝∠DBC+∠CBI∴∠BID＝∠DBI∴BD＝ID．（3）由（2）知BD＝ID∴式子②可改写为IA•ID＝DE•IF又∵IA•ID＝IM•IN∴DE•IF＝IM•IN∴2R•r＝（R+d）（R﹣d）∴R2﹣d2＝2Rr∴d2＝R2﹣2Rr．（4）∵d2＝R2﹣2Rr＝62﹣2×6×2＝12∴d＝2．故答案为：2．5．解：【发现】根据圆周角性质，∠ACB的度数不变，∵∠AOB＝150°，∴∠ACB＝∠AOB＝75°，故答案为：不变，75°；【研究】补全图形如图1所示，【应用】（1）如图2，记△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA，OB，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝30°，过点O作OH⊥AB于H，∴AH＝AB＝，在Rt△AHO中，设⊙O的半径为2r，则OH＝r，根据勾股定理得，（2r）2﹣r2＝3，∴r＝1（舍去负数），∴OA＝2，OH＝1，∵点C到AB的最大距离h为r+OH＝2+1＝3，∴S△ABC最大＝AB•h＝×2×3＝3，故答案为：3；（2）①∵EF⊥AB，∴∠EFB＝90°，∴∠BEF+∠EBF＝90°，∵点P是△BEF的内心，∴PE，PB分别是∠BEF和∠EBF的角平分线，∴∠BEP＝∠BEF，∠EBP＝∠ABP＝∠ABE，∴∠BPE＝180°﹣（∠BEP+∠EBP）＝180°﹣（∠BEF+∠EBF）＝180°﹣×90°＝135°；在△BPE和△BPA中，，∴△BPE≌△BPA（SAS）．∴∠BPA＝∠BPE＝135°，故答案为：135°，135°；②如图3，作△ABP的外接圆，圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，则四边形APBQ是⊙O的圆内接四边形，∴∠AQB＝180°∠BPA＝45°，∴∠AOB＝2∠AQB＝90°，∴OA＝OB＝AB＝，连接OC，与⊙O相交于点P'此时，CP'是CP的最小值，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CB，交CB的延长线于N，则四边形OMBN是正方形，∴ON＝BN＝BM＝AB＝1，∴CN＝BC+BN＝3，在Rt△ONC中，OC＝＝，∴CP 的最小值＝CP'＝OC﹣OP'＝﹣，故答案为：﹣．6．（1）解：∵CA为⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠C＝60°，由圆周角定理得，∠ABC＝∠AOC＝30°；（2）证明：在Rt△AOC中，∠C＝30°，∴OA＝OC，∵OA＝OB＝OE，∴OB＝CE；（3）解：在Rt△AOC中，AC＝＝6，∴图中阴影部分的面积＝×6×6﹣＝18﹣6π．7．（1）证明：连接OB、OE，如图所示：在△ABO和△EBO中，，∴△ABO≌△EBO（SSS），∴∠BAO＝∠BEO，∵⊙O与边BC切于点E，∴OE⊥BC，∴∠BEO＝∠BAO＝90°，即AB⊥AD，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵BE＝3，BC＝7，∴AB＝BE＝3，CE＝4，∵AB⊥AD，∴AC＝＝＝2，∵OE⊥BC，∴∠OEC＝∠BAC＝90°，∠ECO＝∠ACB，∴△CEO∽△CAB，∴，即，解得：OE＝，∴⊙O的半径长为．（3）证明：连接AE，DE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∵BA是⊙O的切线，∴∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∴∠DEC＝∠EAD，∴△EDC∽△AEC，∴，∴CE2＝CD•CA．8．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAD，∵＝，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴＝，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴，∴ED2＝EG•EA；（3）解：连接OE，∵点E是劣弧BD的中点，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴，∵BO＝BF＝OA，DE＝，∴，∴EF＝3．9．解：（1）如图：D即为△ABC边AB上的“好点”；（2）如答图1：过A作AH⊥BC于H，∵tan B＝，tan C＝1，∴，＝1，设AH＝3k，则BH＝4k，CH＝3k，∵BC＝14，∴3k+4k＝14，解得k＝2，∴BH＝8，AH＝CH＝6，设BD＝x，则CD＝14﹣x，DH＝8﹣x，Rt△ADH中，AD2＝AH2+DH2＝62+（8﹣x）2，而点D是BC边上的“好点”，有AD2＝BD•CD＝x•（14﹣x），∴62+（8﹣x）2＝x•（14﹣x），解得x＝5或x＝10，∴BD＝5或BD＝10；（3）①∵∠CAH＝∠HDB，∠AHC＝∠BHD，∴△ACH∽△DBH，∴，∴AH•BH＝CH•DH，∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，∴BH2＝CH•DH，∴AH＝BH，∴OH⊥AB；②如答图2：连接AD，∵OH⊥AB，OH∥BD，∴AB⊥BD，∴AD是直径，∵r＝3OH，设OH＝m，则OA＝3m，BD＝2m，Rt△AOH中，AH＝＝2m，∴BH＝2m，Rt△BHD中，HD＝＝2m，∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，∴BH2＝CH•DH，∴CH＝＝m，∴＝＝．10．（1）证明：∵DE是△DBC的外角∠FDC的平分线，∴∠FDE＝∠CDE，∵∠ADB＝∠ACB＝∠FDE，∠ABC＝∠CDE，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：∵∠DCB＝90°，∴∠DCE＝∠BAD＝90°，∴∠E+∠CDE＝∠ABD+∠ADB＝90°，∵∠ADB＝∠FDE＝∠CDE，∴∠ABD＝∠E，∵sin E＝，∴sin∠ABD＝＝，∵AD＝4，∴BD＝4．11．（1）证明：如图1，连接BE．∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD，∵∠DBC＝∠CAD．∴∠DBC＝∠BAD，∵∠BED＝∠BAD+∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB，∴BD＝ED；（2）如图2 所示；连接OB．∵AD是直径，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，且BF＝FC＝6，∵，∴OB＝10．在Rt△BOF中，BF＝6，OB＝10，∴，∴DF＝2，在Rt△BDF中，BF2+DF2＝BD2，∴，∴，∴．12．证明：（1）连接OD，∵AO为圆O1的直径，则∠ADO＝90°．∵AC为⊙O的弦，OD为弦心距，∴AD＝DC．（2）证明：∵D为AC的中点，O1为AO的中点，∴O1D∥OC．又DE⊥OC，∴DE⊥O1D∴DE与⊙O1相切．（3）如果OE＝EC，又D为AC的中点，∴DE∥O1O，又O1D∥OE，∴四边形O1OED为平行四边形．又∠DEO＝90°，O1O＝O1D，∴四边形O1OED为正方形．13．解：（1）证明：∵OD⊥AC，∴AE＝EC＝AC，∠DEA＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠BAC＝＝，∴BC＝AC，∴AE＝BC，∵AD是⊙O的切线，∴DA⊥AB，∴∠DAO＝∠ACB＝90°，∴∠DAE+∠CAB＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠DAE＝∠ABC，在△DAE和△ABC中，，∴△DAE≌△ABC（ASA），∴AD＝AB；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝2，AC＝，∵∠ABC＝∠AFC＝60°，∵四边形ADCF为菱形，∴AC＝FC＝，∴△AFC是等边三角形，∴∠DFC＝AFC＝30°，∴CE＝FC＝，∴EF＝CE＝，∴DF＝2EF＝3．14．解：（1）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∴＝，∠ACB＝∠B，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B，∴∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；（2）∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∠B＝∠B，∴△ABE∽△CBA，∴，∴AB2＝BC•BE＝BE（BE+CE）＝BE2+BE•CE，∴AB2﹣BE2＝BE•EC；（3）由（2）知：AB2＝BC•BE，∵BC•BE＝64，∴AB＝8，如图2，连接AG，∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG＝∠GAC，又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，∠BAD＝∠ACB，∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝8．15．（1）证明：如图1中，连接AD．设∠BEC＝3α，∠ACD＝α．∵∠BEC＝∠BAC+∠ACD，∴∠BAC＝2α，∵CD是直径，∴∠DAC＝90°，∴∠D＝90°﹣α，∴∠B＝∠D＝90°﹣α，∵∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α．∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．（2）证明：如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ＝BD．∵＝，∴DB＝CF，∵∠DBA＝∠DCA，CZ＝BD，AB＝AC，∴△ADB≌△AZC（SAS），∴AD＝AZ，∵AG⊥DZ，∴DG＝GZ，∴CG＝CZ+GZ＝BD+DG＝CF+DG．（3）解：连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．∵CP⊥AC，∴∠ACP＝90°，∴PA是直径，∵OR⊥PC，OK⊥AC，∴PR＝RC，∠ORC＝∠OKC＝∠ACP＝90°，∴四边形OKCR是矩形，∴RC＝OK，∵OH：PC＝1：，∴可以假设OH＝a，PC＝2a，∴PR＝RC＝a，∴RC＝OK＝a，sin∠OHK＝＝，∴∠OHK＝45°，∵OH⊥DH，∴∠DHO＝90°，∴∠DHA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵CD是直径，∴∠DAC＝90°，∴∠ADH＝90°﹣45°＝45°，∴∠DHA＝∠ADH，∴AD＝AH，∵∠COP＝∠AOD，∴AD＝PC，∴AH＝AD＝PC＝2a，∴AK＝AH+HK＝2a+a＝3a，在Rt△AOK中，tan∠OAK＝＝，OA＝＝＝a，∴sin∠OAK＝＝，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠ACD+∠ADG＝90°，∴∠DAG＝∠ACD，∵AO＝CO，∴∠OAK＝∠ACO，∴∠DAG＝∠ACO＝∠OAK，∴tan∠ACD＝tan∠DAG＝tan∠OAK＝，∴AG＝3DG，CG＝3AG，∴CG＝9DG，由（2）可知，CG＝DG+CF，∴DG+12＝9DG，∴DG＝，AG＝3DG＝3×＝，∴AD＝＝＝，∴PC＝AD＝，∵sin∠F＝sin∠OAK，∴sin∠F＝＝，∴CT＝×FC＝×12＝，FT＝＝＝，PT＝＝＝，∴PF＝FT﹣PT＝﹣＝．。

2021中考数学专题训练——圆 (解析版)

2021中考数学专题训练——圆考点一圆的有关概念及性质 1.(2018衢州,10,3分)如图,AC 是☉O 的直径,弦BD ⊥AO 于E,连接BC,过点O 作OF ⊥BC 于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF 的长度是 ( )A.3 cmB.6cmC. 2.5cmD.5cm答案 D ∵AC ⊥BD,∴BE=DE=21BD=4 cm. 设☉O 的半径为r cm.连接OB,则在Rt △BOE 中,r 2=42+(r-2)2,解得r=5.∴CE=8 cm.∴BC=54 cm.又∵OF ⊥BC,∴CF=21BC=52 cm, ∵OC=5 cm,∴OF=5 cm.故选D.2.(2016杭州,8,3分)如图,已知AC 是☉O 的直径,点B 在圆周上(不与A,C 重合),点D 在AC 的延长线上,连接BD 交☉O 于点E.若∠AOB=3∠ADB,则 ( )A.DE=EBB. DE=2EBC.3DE=DOD.DE=OB答案 D 连接OE,∠AOB=∠ADB+∠B=3∠ADB,∴∠B=2∠ADB,∵OE=OB,∴∠OEB=∠B=2∠ADB=∠ADB+∠EOC,∴∠ADB=∠EOC,∴DE=EO,∴DE=OB.故选D.3. (2019台州,14,5分)如图,AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线,点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上,连接AE,若∠ABC=64°,则∠BAE 的度数为_______ .答案 52°解析由题意得∠D=180°-∠ABC=116°,∵点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上,∴∠D=∠AEC=116°,∴∠BAE=116°-64°=52°.4.(2018杭州,14,4分)如图,AB 是☉O 的直径,点C 是半径OA 的中点,过点C 作DE ⊥AB,交☉O于D,E 两点,过点D 作直径DF,连接AF,则∠DFA=________ . 答案 30°解析 ∵点C 是半径OA 的中点,∴OC=21OA=21OD, 又∵DE ⊥AB,∴∠CDO=30°,∴∠DOA=60°,∴∠DFA=21∠DOA=30°.5.(2018嘉兴、舟山,14,4分)如图,量角器的0度刻度线为AB,将一矩形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边与量角器相切于点C,直尺另一边交量角器于点A,D,量得AD=10 cm,点D 在量角器上的读数为60°,则该直尺的宽度为________cm.答案 335 解析连接OC,OD,∵C 是☉O 的切点,∴CO ⊥CE 且CO ⊥AD,设CO 交AD 于H,则AH=HD=21AD=5 cm, ∵∠DOB=60°,∴∠AOD=120°,∴∠AOC=60°,∴AO=CO=3310 cm,OH=335 cm, ∴CH=335cm,即直尺的宽度为335 cm.6.(2017湖州,12,4分)如图,已知在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径作半圆O,交BC 于点D.若∠BAC=40°,则弧AD 的度数是_____度.答案 140解析 ∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠B=∠C=70°,∴ 的度数为2×70°=140°7.(2019杭州,23,12分)如图,已知锐角三角形ABC 内接于☉O,OD ⊥BC 于点D,连接OA.(1)若∠BAC=60°,①求证:OD=12OA;②当OA=1时,求△ABC 面积的最大值; (2)点E 在线段OA 上,OE=OD.连接DE,设∠ABC=m ∠OED,∠ACB=n ∠OED(m,n 是正数).若∠ABC<∠ACB,求证:m-n+2=0.解析 (1)①证明:连接OB,OC.因为OB=OC,OD ⊥BC,所以∠BOD=12∠BOC=12×2∠BAC=60°, 所以∠OBD=30°,所以OD=12OB=12OA. ②作AF ⊥BC,垂足为点F, 所以AF ≤AD ≤AO+OD=23,等号当点A,O,D 在同一直线上时取到. 由①知,BC=2BD=3, 所以△ABC 的面积=12BC ·AF ≤12×3×23=343, 即△ABC 面积的最大值是343. (2)证明:设∠OED=∠ODE=α,∠COD=∠BOD=β.因为△ABC 是锐角三角形,所以∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,即(m+n)α+β=180°.(*)又因为∠ABC<∠ACB,所以∠EOD=∠AOC+∠DOC=2m α+β.因为∠OED+∠ODE+∠EOD=180°,所以2(m+1)α+β=180°.(**)由(*) (**),得m+n=2(m+1),即m-n+2=0.8.(2018温州,22,10分)如图,D 是△ABC 的BC 边上一点,连接AD,作△ABD 的外接圆,将△ADC 沿直线AD 折叠,点C 的对应点E 落在弧BD 上.(1)求证:AE=AB;(2)若∠CAB=90°,cos ∠ADB=13,BE=2,求BC 的长. 解析 (1)证明:由折叠的性质可知,△ADE ≌△ADC,∴∠AED=∠ACD,AE=AC,∵∠ABD=∠AED,∴∠ABD=∠ACD,∴AB=AC,∴AE=AB.(2)如图,过A 作AH ⊥BE 于点H,∵AB=AE,BE=2,∴BH=EH=1,∠ABE=∠AEB.∵∠AEB=∠ADB,cos ∠ADB=13, ∴cos ∠ABE=cos ∠ADB=13,∴AB BH =13,∴AB=3. ∵∠CAB=90°,AC=AB,∴BC=22AC AB =23.考点二与圆有关的位置关系1.(2019杭州,3,3分)如图,P 为☉O 外一点,PA,PB 分别切☉O 于A,B 两点,若PA=3,则PB= ( )A.2B.3C.4D.5答案 B 连接OA,OB,OP . ∵PA,PB 分别切☉O 于A,B 两点,∴OA ⊥AP ,OB ⊥BP .∵OA=OB,OP=OP ,∴△OAP ≌△OBP(HL),∴PB=PA=3.故选B.2.(2019台州,7,4分)如图,等边三角形ABC 的边长为8,以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB,AC 相切,则☉O 的半径为 ( )A.2 B.3C.4D.4-3答案 A 设☉O 与AC 的切点为E,连接AO,OE,∵等边三角形ABC 的边长为8,∴AC=8,∠C=∠BAC=60°,∵☉O 分别与边AB,AC 相切,∴∠BAO=∠CAO=21∠BAC=30°, ∴∠AOC=90°,∴OC=21AC=4, ∵OE ⊥AC,∴OE=23OC=32, ∴☉O 的半径为32,故选A.3.(2019温州,14,5分)如图,☉O 分别切∠BAC 的两边AB,AC 于点E,F,点P 在优弧(EDF)上.若∠BAC=66°,则∠EPF 等于______ 度.答案 57解析连接OE,OF,则四边形OEAF 中,∠OFA=∠OEA=90°,∠A=66°(已知),∴∠FOE=180°-66°=114°,∵P 在☉O 上,∴∠EPF=2FOE ∠=57°. 4.(2019宁波,17,4分)如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=12,点D 在边BC 上,CD=5,BD=13.点P 是线段AD 上一动点,当半径为6的☉P 与△ABC 的一边相切时,AP 的长为_______ .答案 6.5或313解析 ∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=12,CB=BD+CD=18,∴AB=221812+=613.在Rt △ADC 中,∠C=90°,AC=12,CD=5,∴AD=22CD AD +=13.①当☉P 与BC 相切时,点P 到BC 的距离为6.过P 作PH ⊥BC 于H,则PH=6. ∵∠C=90°,∴AC ⊥BC,∴PH ∥AC.∴△DPH ∽△DAC,∴DA PD =AC PH ,∴13PD =12PH ,∴PD=6.5, ∴AP=6.5.②当☉P 与AB 相切时,点P 到AB 的距离为6.过P 作PG ⊥AB 于G,则PG=6.∵AD=BD=13,∴∠PAG=∠B,又∠AGP=∠C=90°,∴△AGP ∽△BCA,∴AB AP =ACPG . ∴136AP =126, ∴AP=133.③∵CD=5<6,∴半径为6的☉P 不能与△ABC 的AC 边相切.综上所述,AP=6.5或133.5.(2019温州,22,10分)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,点E 在BC 边上,且CA=CE,过A,C,E 三点的☉O 交AB 于另一点F,作直径AD,连接DE 并延长交AB 于点G,连接CD,CF.(1)求证:四边形DCFG 是平行四边形;(2)当BE=4,CD= AB 时,求☉O 的直径长. 解析 (1)证明:连接AE,∵∠BAC=90°,∴CF 为☉O 的直径,∵AC=EC,∴CF ⊥AE.∵AD 为☉O 的直径,∴∠AED=90°,即GD ⊥AE,∴CF ∥DG.∵AD 为☉O 的直径,∴∠ACD=90°,∴∠ACD+∠BAC=180°,∴AB ∥CD,∴四边形DCFG 为平行四边形.(2)由CD=83AB,可设CD=3x,AB=8x,∴FG=CD=3x. ∵∠AOF=∠COD,∴AF=CD=3x,∴BG=8x-3x-3x=2x.∵GE ∥CF,∴EC BE =GF BG =32. 又∵BE=4,∴CE=6,∴BC=6+4=10,AC=6,∴AB=22610 =8=8x,∴x=1.在Rt △ACF 中,AF=3,AC=6, ∴CF=2263+=3 ,即☉O 的直径长为53.6.(2019衢州,21,8分)如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,以AC 为直径作☉O 交BC 于点D,过点D 作DE ⊥AB,垂足为E.(1)求证:DE 是☉O 的切线;(2)若DE=3,∠C=30°,求弧AD 的长. 解析 (1)证明:连接OD.∵OD=OC,∴∠C=∠ODC,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠ODC,∴OD ∥AB,∴∠ODE=∠DEB.∵DE ⊥AB,∴∠DEB=90°,∴∠ODE=90°,即DE ⊥OD,∴DE 是☉O 的切线.(2)连接AD,∵AC 是直径,∴∠ADC=90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,BD=CD,∴∠OAD=60°,∵OA=OD,∴△AOD 是等边三角形,∴∠AOD=60°,∵DE=3,∠B=30°,∠BED=90°,∴CD=BD=2DE=23,∴OD=AD=tan 30°·CD=33×23=2, ∴AD ︵的长为18026•π=32π.7.(2018金华,21,8分)如图,在Rt △ABC 中,点O 在斜边AB 上,以O 为圆心,OB 为半径作圆,分别与BC,AB 相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B.(1)求证:AD 是☉O 的切线;(2)若BC=8,tan B= ,求☉O 的半径. 解析 (1)证明:连接OD,∵OB=OD,∴∠3=∠B.∵∠B=∠1,∴∠3=∠1.在Rt △ACD 中,∠1+∠2=90°,∴∠3+∠2=90°,∴∠4=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°,∴OD ⊥AD,∴AD 是☉O 的切线.(2)设☉O 的半径为r.在Rt △ABC 中,AC=BC ·tan B=8×21=4, ∴AB=22AC AB +=2284+=45,∴OA=45-r.在Rt △ACD 中,tan ∠1=tan B=21, ∴CD=AC ·tan ∠1=4×21=2, ∴AD 2=AC 2+CD 2=42+22=20.在Rt △ADO 中,OA 2=OD 2+AD 2,∴(45-r)2=r 2+20,解得r=523. 11.(2018衢州,22,10分)如图,已知AB 为☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,连接BC 交☉O 于点F,取弧BF 的中点D,连接AD 交BC 于点E,过点E 作EH ⊥AB 于H.(1)求证:△HBE ∽△ABC;(2)若CF=4,BF=5,求AC 和EH 的长.解析 (1)证明:∵AC 是☉O 的切线,AB 为☉O 的直径,∴AC ⊥AB,∠CAB=90°.∵HE ⊥AB,∴∠EHB=90°.又∠HBE=∠ABC,∴△HBE ∽△ABC.(2)连接AF,∵AB 是☉O 的直径,∴∠AFB=90°,∴∠CFA=∠CAB.∵∠C=∠C,∴△CAF ∽△CBA,∴CF CA =CACB . ∵CF=4,BC=CF+BF=4+5=9,∴4CA =CA9,∴AC=6. ∵D 为弧BF 的中点,∴∠FAD=∠BAD, ∵EH ⊥AB,EF ⊥AF,∴EF=EH.设EH=x,则EF=x,BE=5-x,∵△HBE ∽△ABC,∴AC HE =BC BE ,∴6x =95x -,∴x=2,即EH=2.巩固练习1.(2019湖北黄冈,7,3分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(AB),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m,点C是弧AB的中点,点D是AB的中点,且CD=10 m.则这段弯路所在圆的半径为 ()A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m2.(2019吉林,5,2分)如图,在☉O中,弧AB所对的圆周角∠ACB=50°,若P为弧AB上一点,∠AOP=55°,则∠POB的度数为 () A.30°B.45°C.55°D.60°3.(2018北京,12,2分)如图,点A,B,C,D在☉O上,弧CB=弧CD,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=________ °.4.(2019天津,21,10分)已知PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠APB=80°,C为☉O上一点.(1)如图①,求∠ACB的大小;(2)如图②,AE为☉O的直径,AE与BC相交于点D,若AB=AD,求∠EAC的大小.5.(2018江西,20,8分)如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.(1)求证:AB为☉O的切线;(2)若BC=6,tan∠ABC=43,求AD的长.。

备战2021年九年级中考数学考点训练——几何专题：《圆的综合》(二)

备战2021年九年级中考数学考点训练——几何专题：《圆的综合》（二）1．定义：当点P在射线OA上时，把的的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA 上的射影值均为＝．（1）在△OAB中，①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．其中真命题有．A．①②B．①③C．②③D．①②③（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O 上任意点．①如图2，若点B在射线OA上的射影值为．求证：直线BC是⊙O的切线；②如图3，已知D 为线段BC 的中点，设点D 在射线OA 上的射影值为x ，点D 在射线OB 上的射影值为y ，直接写出y 与x 之间的函数关系式为．2．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1（x 1，x 2）与P 2（x 2，y 2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1﹣x 2|≥|y 1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1﹣x 2|；若|x 1﹣x 2|＜|y 1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1﹣y 2|．例如：点P 1（1，2），点P 2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）．（1）已知点A （﹣，0），B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；（2）已知C 是直线y ＝x +3上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．3．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点B，点C是⊙O上一点，连接CB并延长交直线l于点D，使AC＝AD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD＝2，OA＝4，求线段BC的长．4．如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，）．（1）求⊙M的半径r；（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC＝，求的值；（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．5．如图，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，AF为⊙O的直径，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝45°，AF＝2，求阴影部分的面积．6．如图，在⊙O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧BC 上一点，连接BD ，AD ，OC ，∠ADB ＝30°．（1）求∠AOC 的度数；（2）若弦BC ＝8cm ，求图中劣弧BC 的长．7．对于平面内的点P 和图形M ，给出如下定义：以点P 为圆心，以r 为半径作⊙P ，使得图形M 上的所有点都在⊙P 的内部（或边上），当r 最小时，称⊙P 为图形M 的P 点控制圆，此时，⊙P 的半径称为图形M 的P 点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的位置如图所示，其中点B （2，2）．（1）已知点D （1，0），正方形OABC 的D 点控制半径为r 1，正方形OABC 的A 点控制半径为r 2，请比较大小：r 1 r 2；（2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l：y＝x+b；若存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，求b的取值范围．8．已知⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图1，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC和BD的长；（2）如图2，若∠CAB＝60°，过圆心O作OE⊥BD于点E，求OE的长．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O的半径的长．10．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的⊙O交对角线AC于H，AH＝2，如图，点K为下半圆上一点．（1）求∠HAB的度数；（2）求CH的长；（3）求图中阴影部分的面积；（4）若圆上到直线AK距离等于3的点有且只有一个，请直接写出线段AK的长．参考答案1．解：（1）①错误．点B在射线OA上的射影值小于1时，∠OBA可以是钝角，故△OAB 不一定是锐角三角形；②正确．点B在射线OA上的射影值等于1时，AB⊥OA，∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形；③正确．点B在射线OA上的射影值大于1时，∠OAB是钝角，故△OAB是钝角三角形；故答案为：C．（2）①如图2，作BH⊥OC于点H，∵点B在射线OA上的射影值为，∴＝，＝，CA＝OA＝OB＝1，∴＝，又∵∠BOH＝∠COB，∴△BOH∽△COB，∴∠BHO＝∠CBO＝90°，∴BC⊥OB，∴直线BC是⊙O的切线；②图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．过点D作DM⊥OC，作DN⊥OB，当∠DOB＜90°时，设DM＝h，∵D为线段BC的中点，∴S△OBD ＝S△ODC，∴OB×DN＝OC×DM，∴DN＝2h，∵在Rt△DON和Rt△DOM中，OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2，∴4h2+y2＝h2+x2，∴3h2＝x2﹣y2①，∵BD2＝CD2，∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②，①②消去h得：y＝2x﹣．如图，当∠BOD＝90°时，过点D作DM⊥OC于点M，∵D为线段BC的中点，∴S△OBD ＝S△ODC，∴OB×DO＝OC×DM，∵CA＝OA＝OB＝1，∴OD＝2DM，∴sin∠DOM＝，∴∠DOM＝30°，设DM＝h，则OD＝2h，OM＝h，∴h2+＝1+4h2，∴h＝，∴OM＝，当点B在OC上时，OD＝，综上所述，当≤x≤时，y＝0；当＜x≤时，y＝2x﹣．故答案为：y＝0（≤x≤）或y＝2x﹣（＜x≤）．2．解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（0，y）．∵|﹣﹣0|＝≠2，∴|0﹣y|＝2，解得y＝2或y＝﹣2；∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；故答案是：（0，2）或（0，﹣2）；②点A与点B的“非常距离”的最小值为．故答案是：．（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知：|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．即AC＝AD ，∵C 是直线y ＝x +3上的一个动点，点D 的坐标是（0，1），∴设点C 的坐标为（x 0，x 0+3），∴﹣x 0＝x 0+2，此时，x 0＝﹣，∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：|x 0|＝，此时C （﹣，）；②当点E 在过原点且与直线y ＝x +3垂直的直线上时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设E （x ，y ）（点E 位于第二象限）．则，解得，故E （﹣，）．﹣﹣x 0＝x 0+3﹣，解得x 0＝﹣，则点C 的坐标为（﹣，），最小值为1．3．（1）证明：连接OC，如图，∵OB＝OC，AC＝AD∴∠OBC＝∠OCB，∠ACD＝∠ADC，∵OA⊥l，∴∠ADC+∠ABD＝90°，而∠ABD＝∠OBC，∴∠OCB+∠ACD＝90°，∴∠ACO＝90°∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：如图1，作直径BE，连接CE，设⊙O半径为r，则AB＝OA﹣OB＝4﹣r，在Rt△ABD中，∵AD2＝BD2﹣AB2＝12﹣（4﹣r）2，在Rt△AOC中，∵AC2＝AO2﹣OC2＝16﹣r2，而AC＝AD，∴12﹣（4﹣r）2＝16﹣r2，解得r＝，学∵BE为⊙O直径，∴∠BCE＝90°，又∵∠ABD＝∠EBC，∴Rt△ABD∽Rt△CBE，∴，即，∴BC＝．4．解：（1）如图1，连接MH，∵E（﹣5，0），F（0，﹣），M（﹣1，0），∴OE＝5，OF＝，EM＝4，∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，∴∠OEF＝30°，∵EF是⊙M的切线，∴∠EHM＝90°，∴sin∠MEH＝sin30°＝，∴MH＝ME＝2，即r＝2；（2）如图2，连接DQ、CQ，MH．∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，∴△PCH∽△PQD，∴，由（1）可知，∠HEM＝30°，∴∠EMH＝60°，∵MC＝MH＝2，∴△CMH为等边三角形，∴CH＝2，∵CD是⊙M的直径，∴∠CQD＝90°，CD＝4，∴在Rt△CDQ中，cos∠QHC＝cos∠QDC＝，∴QD＝CD＝3，∴；（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP＝2，G（﹣2，0），∴MG＝CM＝1，∴，又∵∠PMG＝∠EMP，∴△MPG∽△MEP，∴，∴PG＝PE，∴PF+PE＝PF+PG，当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值＝FG，在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，∴FG＝＝＝．∴PF+PE的最小值为．5．解：（1）∵AB＝AC，∴＝，∵AF为⊙O的直径，∴AF⊥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠AD⊥AF，∴AD是⊙O的切线；（2）连接OC，OB，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵AF＝2，∴OB＝OC＝1，∴BC＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝，连接OE，∵AB∥BD，∴∠ACE＝∠BAC＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∵OA＝OE＝1，∴阴影部分的面积＝S梯形AOED ﹣S扇形AOE＝（1+）×1﹣＝﹣．6．解：（1）连接OB，∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOC＝∠AOB，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，∴∠AOC＝∠AOB＝60°；（2）∵OA⊥BC，∴BE＝BC＝4，在Rt△BOE中，∠AOB＝60°，∴OB＝＝，∴劣弧BC的长＝＝π（cm）．7．解：（1）由题意得：r1＝BD＝CD＝＝，r2＝AC＝＝2，∴r1＜r2，故答案为：＜．（2）如图所示：⊙O和⊙B的半径均等于OB，当直线l：y＝x+b与⊙O相切于点M时，连接OM，则OM⊥l，则直线OM的解析式为：y＝﹣x，设M（x，﹣x），∵OM＝OB，∴OM＝＝，∴x2+＝8，解得：x＝﹣或x＝（舍），∴﹣x＝，∴M（﹣，），将M（﹣，）代入y＝x+b得：＝×（﹣）+b，解得：b＝4．当直线l：y＝x+b与⊙B相切于点N时，连接BN，则BN⊥l，同理，设直线BN的解析式为：y＝﹣x+n，将B（2，2）代入得：2＝﹣×2+n，∴n＝2+，∴直线BN的解析式为：y＝﹣x+2+，设N（m，﹣m+2+），∵BN＝OB，∴＝，∴4﹣4m+m2+﹣+＝8∴m2﹣4m+2＝0，∴m＝2﹣（舍）或m＝2+，∴﹣m+2+＝﹣（2+）+2+＝2﹣，∴N（2+，2﹣），∴将N（2+，2﹣）代入y＝x+b得：2﹣＝（2+）+b，解得：b＝，∴存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，此时b的取值范围为：＜b＜．8．解：（1）如图1，∵BC为⊙O的直径，∴BC＝10，且∠BAC＝∠BDC＝90°，则在Rt△ABC中，BC＝10，AB＝6，∴，又∵AD是∠CAB的平分线∴∠CAD＝∠BAD，∴，∴CD＝BD，∴△BDC是等腰直角三角形，∵BC＝10∴；（2）如图2，连接BO，DO，∵AD是∠CAB的平分线，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，又∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，又∵OE⊥BD，∴∠BOE＝30°，BE＝BD，又∵OB＝5，∴，∴．9．解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝2，∠AHC＝90°，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝4，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝4，AB＝2BC，∴BC＝4，AB＝8，∴OA＝4，即⊙O的半径长是4．10．解：（1）连接OH，∵AB为⊙O的直径，∴∠AHB＝90°，∵AB＝4，AH＝2，∴OA＝OH＝AH，∴∠HAB＝60°；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，又∠BAH＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝8，∴CH＝AC﹣AH＝6；（3）过H作HE⊥AO于E，∵∠HAB＝60°，AH＝2，∴HE＝AH＝，∵AC＝8，CD＝AB＝4，∴AD＝＝4，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC ﹣（S扇形HAO﹣S△AOH）＝×4﹣（﹣）＝9﹣π；（4）过O作MN⊥AK于N．交⊙O于M，由题意可知MN＝3，∵OM＝OA＝2，∴ON＝1，∴AN＝＝，学∴AK＝2AN＝2．。

中考数学试题分项版解析汇编(第05期)专题11 圆(含解析)(2021学年)

２017年中考数学试题分项版解析汇编(第０５期）专题１1 圆（含解析) 编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2０17年中考数学试题分项版解析汇编（第05期)专题1１圆（含解析))的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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专题1１圆一、选择题1.（20１7年贵州省毕节地区第12题)如图,ＡB是⊙O的直径，ＣD是⊙O的弦,∠ＡCＤ=30°，则∠ＢAＤ为( )A.3０°B.5０°ﻩC.６０° D．70°【答案】Ｃ。

考点:圆周角定理2.（2017年贵州省黔东南州第５题)如图,⊙O的直径AB垂直于弦CＤ,垂足为Ｅ,∠A=1５°,半径为２，则弦ＣD的长为（）A．2ﻩB.﹣1 Ｃ.ﻩD.４【答案】A【解析】试题分析:根据垂径定理得到ＣE=ＤE ，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠C ＯＥ=30°，根据直角三角形的性质得到ＣE ＝12OC=1,最后由垂径定理得出C Ｄ=2ＯＥ=2．故选A.考点：1、圆周角定理；2、勾股定理；３、垂径定理３. (20１7年湖北省宜昌市第11题）如图，四边形ABCD 内接O ,AC 平分BAD ∠，则下列结论正确的是( ）A.AB AD = B ．BC CD = C 。

AB AD = D ．BCA DCA ∠=∠【答案】BC 、∵∠ＡCB 与∠A ＣＤ的大小关系不确定,∴AB 与AD 不一定相等,故本选项错误；D 、∠ＢＣＡ与∠DCA 的大小关系不确定，故本选项错误．故选:Ｂ.考点：圆心角、弧、弦的关系４．(2０17年山东省东营市第8题)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ )Ａ．6０° B.90°ﻩＣ．１２0°D．18０°【答案】Ｃ考点：有关扇形和圆锥的相关计算5. （2０17年山东省泰安市第1２题）如图,ABC∆内接于O，若Aα∠=,则OBC∠等于（）A.1802α- B.2αC。

初三数学中考复习十一圆_15

数学学科初三（下）试卷初三中考复习11——圆B (第2题)数学学科初三（下）试卷初三中考复习11——圆重点、难点：本单元的重点是对基本图形的掌握，能在复杂的图形中分解出基本图形，或通过添加适当的辅助线，构造或分解基本图形，学会将较复杂问题转化为易解决问题；本单元的难点是圆的综合性问题，渗透了转化、方程化、由特殊到一般、分类讨论等思想方法以及运动变化的观点，以及圆中一些隐含条件的挖掘．一、选择题（每题5分，共100分）1．当两圆无公共点时，这两圆的位置关系一定是 ··········· （）A ．外离B ．内含C ．同心圆D ．外离或内含答案：D ．解析：本题为容易题，考查了圆与圆的位置关系．根据两圆的位置关系，当两圆外离或内含时，两圆没有公共点，因此本题选D ．2．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B ＝50°，则∠A 等于 ··················· ( ) A ．80° B ．60°C ．50°D ．40°答案：D ．解析：本题为容易题，考查了直径所对圆周角的特征．直径所对的圆周角是直角，故∠A 与∠B 互余，因此本题选D ．3．如图，圆周角∠ACB 的度数为48°，则圆心角∠AOB 的度数为······················· （） A ．48° B ．24° C ．96°D ．90°答案：C ．解析：本题为容易题，考查了圆周角与圆心角的关系．同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此本题选C ．4．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值 ··············· ( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B ．A(第3题)O CBA BMO(第4题)解析：本题为容易题，考查了垂径定理及其推论．当OM ⊥AB 时OM 最短，由垂径定理得AM ＝BM ＝4，根据勾股定理解得OM ＝3，因此本题选B ．5．两圆半径分别为2 cm 和6 cm ，若两圆相切，则圆心距为 ······ ( )A ．4 cmB ．8 cmC ．10 cm 或2 cmD ．8 cm 或4 cm答案：D ．解析：本题为容易题，考查了圆与圆的位置关系．两圆相切分为外切与内切，当两圆外切时，圆心距d ＝R ＋r ，当两圆内切时，圆心距d ＝R －r ，因此本题选D ．6．如图，P 为正△ABC 外接圆上一点，则∠APB 为 ··· ( )A ．150°B ．135°C ．115°D ．120°答案：D ．解析：本题为容易题，考查了圆周角与圆心角的关系．由圆内接四边形的性质得∠P ＋∠C ＝180°，因此本题选D ．7．一个扇形的圆心角是120°，它的面积为3π cm 2，那么这个扇形的半径是 ( )AB ．3 cmC ．6 cmD ．9 cm答案：B ．解析：本题为容易题，考查了计算扇形的面积．扇形面积公式为S ＝2360n r ，因此本题选B ．8．已知两圆的圆心距是3，两圆半径分别是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是 ······················ ( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切答案：B ．解析：本题为容易题，考查了圆与圆的位置关系．方程的两个根为1和2，由d ＝R ＋r 得两圆外切，因此本题选B ．9．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BOD ＝120°，则∠BCD的度数为 ····················( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°BDCOA(第9题)AB C P(第6题)答案：A ．解析：本题为容易题，考查了圆周角与圆心角的关系．由题意得∠A ＝60°，又根据圆内接四边形的性质得∠A ＋∠C ＝180°，因此本题选A ．10.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°答案：B ．解析：本题为容易题，考查了圆周角与圆心角的关系．该弦与两半径围成一个正三角形，因此圆心角为60°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得30°，再根据圆内接四边形性质得优弧所对的圆周角为150°，因此本题选B ．11.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，AC ＝5 cm ，若以C 为圆心，4 cm 为直径的⊙C 与AB 的关系是 ·························· ( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定答案：A ．解析：本题为中档题，考查了直线与圆的位置关系．通过计算可得BC ＝从而点C 到AB2，因此本题选A ．12.如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ，AB 为直径，DO 平分∠ADC ，则∠DAO 的度数是 ················ ( )A ．90°B ．80°C ．70°D ．60°答案：D ．解析：本题为中档题，考查了圆的有关概念和平行的性质．由条件可得△AOD 为正三角形，因此本题选D ．13.过⊙O 内一点M 的最长弦长为10 cm ，最短弦长为8 cm ，那么OM 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmCD ．9 cm答案：A ．解析：本题为中档题，考查了垂径定理及其推论．最长弦为直径，故半径为5 cm ，最短弦为垂直于直径的弦，由垂径定理构造直角三角形后由勾股定理得OM ＝3，因此本题选A ．14.若圆锥的母线长为4 cm ，底面半径为3 cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是 ( )A ．6π cm 2B ．12π cm 2C ．18π cm 2D ．24π cm 2答案：B ．解析：本题为中档题，考查了计算圆锥的侧面积．ABODC(第12题)圆锥的底面周长为6π，即为扇形的弧长，由扇形面积公式S ＝12lR ，因此本题选B ．15.如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，以AB 为直径的圆与AC 相切，与边BC 交于点D ，则AD 的长为 ··········· ( )ABCD答案：A ．解析：本题为中档题，考查了切线与过切线的半径之间的关系和直径所对圆周角的性质．由切线的概念得△ABC 为Rt △，可得BC，又由直径所对圆周角是90°，用面积法可解出AD ，因此本题选A ．16.两圆相交，圆心距为5 cm ，两圆半径分别为3 cm 和4 cm ，则公共弦长为 ( )A ．2.4 cmB ．4.8 cmC ．1.8 cmD ．3.6 cm答案：B ．解析：本题为稍难题，考查了圆与圆的位置关系和解直角三角形．由条件可得，圆心和一个交点围成一个直角三角形，且斜边上的高为2.4 cm ，因此本题选B ．17. 已知Rt △ABC 的两条直角边长为6和8，则它的内切圆与外接圆的圆心距为 ( )ABC ．3 D答案：D ．解析：本题为稍难题，考查了切线长定理和三角形的内心、外心．外心是三条边垂直平分线的交点，在斜边中点。

【中考数学专题】11 连锁轨迹—动点在直线(线段)上产生的动点轨迹类问题探究-

专题十一：连锁轨迹——动点在直线（线段）上产生的动点轨迹类问题探究专题导例已知，如图Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，M是DE上一动点，点M从点D开始沿DE向终点E运动，在运动过程中AM的中点移动的路径长为．【分析】取AD的中点P，AE的中点Q，连接PQ，根据勾股定理得到AB＝5，根据三角形中位线定理计算即可．如果：①动点的初始位置②动点的中途位置③动点的终止位置三点在一条直线上，那么可以初步判断动点的运动路径是．导例答案解：取AD的中点P，AE的中点Q，连接PQ，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE＝AB＝，∵P、Q分别是AD、AE的中点，∴PQ＝DE＝，∴AM的中点移动的路径长为，故答案为：．典例剖析类型一：动点产生的路径与最值问题例1．如图，△AB C中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D为BC边上一动点，点O是正方形ADEF的中心，当点D沿BC边从点B运动到点C时，点O运动的路径长为．【分析】以点B为原点建立如图所示坐标系，作EG⊥x轴，证△ABD≌△DGE得AB＝DG＝4、BD ＝EG＝a，从而得E（4+a，a），根据线段的中点坐标知O（，），从而知点O在直线y＝x 上，由0≤a≤4知点O的横坐标2≤x≤4、纵坐标满足2≤y≤4，根据两点间的距离公式可得答案．类型二：动点产生的路径长问题例2．如图，在Rt△AB C中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB边上的动点，过点D作DE⊥AB 交边AC于点E，过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF．（1）当AD＝4时，求EF的长度；（2）求△DEF的面积的最大值；（3）设O为DF的中点，随着点D的运动，则点O的运动路径的长度为．【分析】（1）由勾股定理可求AB＝10，通过证明△AED∽△ABC，可得＝，可求AE＝5，CE ＝3，通过△CEF∽△ACB，可得＝，即可求EF的长度；（2）设AD＝x，由相似三角形的性质可可得DE＝•BC＝x，EF＝•AB＝10﹣x，由三角形的面积公式可得S△DEF＝DE•EF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+6，由二次函数的性质可求△DEF的面积的最大值；（3）以点A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，设AD＝t，则点D坐标（t，0），点E（t，t），点F（10﹣t，t），由中点坐标公式可求点O坐标，由t的取值范围可求点O的运动路径的长度．专题突破1．如图，在△AB C中，∠B＝45°，∠C＝60°，且AB＝，M是边BC上的一个动点，连接AM，P 为AM的中点，当M点从点B运动到点C的过程中，P点的运动路线长为（）A．1+B．1﹣πC．+D．2. 如图，在矩形ABC D中，已知AB＝2cm，BC＝4cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为（）A．（8﹣π）cm2B．4cm2C．（3+π）cm2D．8cm23.已知线段AB＝12，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为4.如图，等腰直角△AB C中，AC＝BC＝3，P为斜边AB上一动点，D为BC延长线上一点，以点D为直角顶点作直角△PQD，并且使∠DPQ＝30°，则当点P从点A运动到点B时，点Q运动的路径长为．5.如图，矩形ABC D中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE：ED＝1：2．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为．6．如图，在△AB C中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）x为何值时，PQ∥BC；（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；7.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．8．如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．9．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．过点E （1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，P是直线EF上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．（1）直线AB的表达式为；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）当S△ABP＝2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，请直接写出点C的坐标．10．如图，在矩形ABC D中，AB＝2，BC＝4，M是AD的中点，动点E在线段AB上，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交BC于点G，连接EG、FG．（1）求证：△AME≌△DMF；（2）在点E的运动过程中，探究：①△EGF的形状是否发生变化？若不变，请判断△EGF的形状，并说明理由；②线段MG的中点H运动的路程最长为多少？（直接写出结果）（3）设AE＝x，△EGF的面积为S．①当S＝6时，求x的值；②直接写出点E的运动过程中S的变化范围．11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．（1）如图1，当E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF＝AD，求证：CE平分∠BCF．（2）如图2，若点Q是AD的中点，连接EQ并延长交射线CD于点G，过Q作EG的垂线交射线BC于点P，连接PE、PG．①设AE＝x时，△PEG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．②若点M是PQ的中点，请直接写出点M的运动的路线的长．12．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线l∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝Rt∠，直线AQ交y轴于点C．（1）当a＝时，求点Q的坐标．（2）当P A+PO最小时，求a．专题十一答案：轨迹之点在直线（线段）上运动问题探究例1．解：如图，以点B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，过点E作EG⊥x轴于点G，连接AE，根据题意知，点A（0，4）、C（4，0），∵∠ABD＝∠ADE＝∠DGE＝90°，∴∠ADB+∠EDG＝∠ADB+∠DAB＝90°，∴∠DAB＝∠EDG，在△ABD和△DGE中，∵，∴△ABD≌△DGE（AAS），∴AB＝DG＝4，BD＝EG，设BD＝EG＝a，则BG＝BD+DG＝4+a，∴点E（4+a，a），∵点O为正方形ADEF的中心，即点O为AE的中点，∴点O（，），即O（，），则无论a为任意实数，点O的横纵坐标相等，即点O在直线y＝x上，∵0≤a≤4，∴2≤≤4，即点O的横坐标2≤x≤4、纵坐标满足2≤y≤4，则点O的运动路径长为＝2，故答案为：2．例2．解：（1）∵在Rt△AB C中，∠C＝90°，∴AB＝＝10．∵DE⊥AB，∴∠EDA＝90°．∵∠A＝∠A，∠EDA＝∠C＝90°，∴△AED∽△ABC，∴＝．∴AE＝•AB＝5．∴CE＝AC﹣AE＝8﹣5＝3．∵DE⊥AB，∴∠DEF＝90°．∵∠EDA＝∠DEF＝90°，∴EF∥A B．∴△CEF∽△ACB，∴＝．∴EF＝•AB＝．（2）设AD＝x．∵△AED∽△ABC，∴＝＝．∴DE＝•BC＝x，AE＝•AB＝x．∴CE＝AC﹣AE＝8﹣x．∵△CEF∽△ACB，∴＝．∴EF＝•AB＝10﹣x．∴S△DEF＝DE•EF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+6．∴当x＝时，S△DEF取最大值为6．因此，△DEF的面积的最大值为6．（3）如图，以点A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，设AD＝t，则点D坐标（t，0），点E（t，t），点F（10﹣t，t）∵点O是DF的中点，∴点O（5+t，t）∴点O在直线y＝上运动，∵过点D作DE⊥AB交边AC于点E，∴0≤t≤∴当t＝0时，点O坐标为（5，0）当t＝时，点O坐标为（，）∴点O的运动路径的长度＝＝故答案为：专题突破答案1.解：如图作AH⊥BC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝，∠B＝45°，∴AH＝BH＝1，在Rt△ACH中，∵AH＝1，∠C＝60°，∴CH＝＝，∴BC＝1+当点M与B重合时，点P与A B中点E重合，当点M与C重合时，点P与F重合，∴点P的运动轨迹是△ABC的中位线EF，∴EF＝BC＝+．故选：C．2. 解：如图，∵P是EF的中点，∴BP＝EF＝×2＝1（cm），∵AB＝2，∴点P在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，：又∵四个扇形的面积正好等于一个相同半径的圆的面积，∴4×2﹣π•12＝8﹣π（cm2）．故选：A．3.解：如图，分别延长AE、BF交于点M，∵∠A＝∠DPF＝60°，∴AM∥PF，∵∠B＝∠EP A＝60°，∴BM∥PE，∴四边形PEMF为平行四边形，∴EF与MP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PM的中点，即在P的运动过程中，G始终为PM的中点，∴G的运行轨迹为△MCD的中位线H I，∵H I＝CD＝×（12﹣2﹣2）＝4，∴G点移动的路径长度为4．故答案为：44.解：如图，过点D作DK⊥AD，使得∠DAK＝30°，连接AK，KQ．∵∠ADK＝90°，∠DAK＝30°，∴＝，∵∠PDQ＝90°，∠DPQ＝30°，∴＝，∴＝，∵∠ADK＝∠PDQ＝90°，∴∠ADP＝∠KDQ，∴△ADP∽△KDQ，∴＝＝，∠DAP＝∠DKQ，∴当则当点P从点A运动到点B时，点Q运动的轨迹是线段KQ，∵点P的运动路径是3，∴点Q的运动路径是3÷＝．故答案为．5.解：如图，当P与A重合时，点F与K重合，此时点M在H处，当点P与B重合时，点F与G重合，点M 在N处，点M的运动轨迹是线段HN．在Rt△AE B中，AE＝2，AB＝4，∴BE＝＝2，∵△AEB∽△EBG，∴＝，∴BG＝＝10，∵BK＝AE＝2，∴KG＝BG﹣BK＝8，∴HN＝KG＝4，∴点M的运动路径的长为4．故答案为4．6．解：(1)∵PQ∥BC，∴∠AQP＝∠C.又∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝.即当x＝时，PQ∥B C.(2)能相似．∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴△APQ和△CQB相似可能有以下两种情况：①△APQ∽△CQB，可得＝，即＝，解得x＝.经检验，x＝是上述方程的解．∴当AP＝4x＝cm时，△APQ∽△CQB；②△APQ∽△CBQ，可得＝，即＝，解得x＝5或x＝－10(舍去)．经检验，x＝5是上述方程的解．∴当AP＝4x＝20 cm时，△APQ∽△CBQ.综上所述，当AP的长为cm或20 cm时，△APQ与△CQB相似．7.（1）解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，∴∠AEP＝∠BPC，∴△APE∽△BCP∴，即，解得：AE＝；故答案为：；（2）①证明：如图3，取PE的中点Q，连接AQ，OQ，∵∠POE＝90°，∴OQ＝PE，∵△APE是直角三角形，∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，∴AQ＝PE，∴OQ＝AQ，∴点O一定在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上）②解：连接OA、AC，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP＝∠OEP＝45°，∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA＝AC＝2，即点O经过的路径长为2；（3）解：设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：则MN∥AE，∵ME＝MP，∴AN＝PN，∴MN＝AE，设AP＝x，则BP＝4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE＝x﹣x2＝﹣（x﹣2）2+1，∴x＝2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大＝×1＝，即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为．8．（1）证明：∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝90°，∵∠DCB＝90°，∴∠DCG+∠DCB＝180°，∴点G在直线BC上；（2）解：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，如图1所示：则AC∥EK∥AD，∴∠HEK＝∠EHB，∠DEK＝∠EDA，∵∠EHB+∠BEH＝90°，∠EDA+∠AED＝90°，∠HEK+∠DEK＝90°，∴∠EDA＝∠BEH，∠AED＝∠EHB，∴△ADE∽△BEH，∴＝，即＝，∴BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积＝2×2﹣×2×x﹣×（2﹣x）×＝；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝×2×（4﹣x）＝4﹣x；（3）解：由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；∵BD＝＝＝2，∴BF+FG＝2BD＝4，∴点F运动的路径长为4．9．解：（1）∵y＝﹣x+b经过A（0，1），∴b＝1，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+1；故答案为：y＝﹣x+1；（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM＝1，∵x＝1时，y＝﹣x+1＝，P在点D的上方，∴PD＝n﹣，S PD•AM＝，由点B（3，0），可知点B到直线x＝1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2，∴S△BPD＝PD×2＝n﹣，∴S△P AB＝S△APD+S△BPD＝n﹣+n﹣＝n﹣1；（3）当S△ABP＝2时，n﹣1＝2，解得n＝2，∴点P（1，2）．∵E（1，0），∴PE＝BE＝2，∴∠EPB＝∠EBP＝45°．第1种情况，如图1，∠CPB＝90°，BP＝PC，过点C作CN⊥直线x＝1于点N．∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°，∴∠NPC＝∠EPB＝45°，在△CNP与△BEP中，，∴△CNP≌△BEP，∴PN＝NC＝EB＝PE＝2，∴NE＝NP+PE＝2+2＝4，∴C（3，4）．第2种情况，如图2∠PBC＝90°，BP＝BC，过点C作CF⊥x轴于点M．∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，∴∠CBM＝∠PBE＝45°，在△CBP与△PBE中，，∴△CBM≌△PBE．∴BF＝CF＝PE＝EB＝2，∴OF＝OB+BF＝3+2＝5，∴C（5，2）．第3种情况，如图3，∠PCB＝90°，CP＝EB，∴∠CPB＝∠EBP＝45°，在△PCB和△PE B中，，∴△PCB≌△PEB（SAS），∴PC＝CB＝PE＝EB＝2，∴C（3，2）．∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）．10．解：（1）在矩形ABC D中，AB∥CD，∴∠A＝∠FDM＝90°，∠AEM＝∠DFM，又∵M是AD的中点，∴AM＝DM，∴△AME≌△DMF（AAS）；（2）①△EGF的形状不发生变化，是等腰直角三角形，理由如下：如图1，过点M作MN⊥BC于点N，则∠NMD＝∠FMG＝90°，MN＝AB＝AD＝MD，∴∠NMD﹣∠MDG＝∠FMG﹣∠MDG，即∠FMD＝∠GMN，又∵∠MNG＝∠MDF＝90°，∴△MNG≌△MDF（ASA），∴MG＝MF，∴∠MGF＝45°，∵MG垂直平分EF，∴GF＝GE，∴∠EGM＝∠MGF＝45°，∴∠EGF＝90°，∴△EGF的形状不发生变化，是等腰直角三角形；②如图2，由题意知，MG的运动路线是从MN开始，至MC结束，∴点H的运动路程是如图所示的HO，∵H是MN的中点，O是MC的中点，∴HO＝NC＝1，∴线段MG的中点H运动的路程最长为1；（3）①由（1）和（2）知，△AME≌△DMF≌△NMG，∴AE＝NG＝x，BE＝2﹣x，∴EG2＝BE2+BG2＝（2﹣x）2+（2+x）2＝8+2x2，∴S△EGF＝EG2＝（8+2x2）＝x2+4，∴当S＝6时，x＝（取正值）；②由题意知，0≤x≤2，∴当x＝0时，S有最小值4；当x＝2时，S有最大值8，故S的取值范围为：4≤S≤8．11．解：（1）过点E作EG⊥CF于G，连接EF，∵AF＝AD，E是AB的中点，AB＝AD＝4，∴AF＝1，FD＝3，AE＝BE＝2，∴CF＝＝＝5，∵S△EFC＝4×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×3×4＝5，∴S△EFC＝×CF×EG＝5，∴EG＝2＝BE，且EG⊥CF，EB⊥BC，∴CE平分∠BCF；（2）设CP＝a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠GDQ＝∠BAQ＝90°，∵点Q是AD的中点，∴DQ＝AQ，∵∠DQG＝∠AQB，∴△GDQ≌△BAQ（ASA），∴DG＝AB＝4，∴CG＝CD+DG＝4+x，在Rt△BPE中，PE2＝BE2+BP2＝（4﹣x）2+（4+a）2，在Rt△GCP中，GP2＝CP2+CG2＝（4+x）2+a2，∵PE＝PG，∴a＝2x﹣2，PQ2＝PE2﹣QE2＝4x2+16，∴PQ＝，∴S＝y＝××＝2x2+8（其中0≤x≤4）（3）如图，MM′即为M点运动的距离；当点E与点A重合时，∵PQ⊥EQ，∠BAQ＝∠ABP＝90°，∴四边形ABPQ是矩形，∴BP＝AQ＝2，当点E与点B重合时，由（2）可得P'E'＝P'G，DG＝AB＝4，∴CG＝8，∵P'G2＝P'C2+CG2，∴P'E'2＝（P'E'﹣4）2+64，∴P'E'＝10，∴P'P＝8，∵点M，点M'分别是QP，QP'的中点，∴MM'＝PP'＝4，∴点M的运动的路线的长为4．12．解：（1）过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点Q作QF⊥BP，垂足为F，如图1．∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF＝∠PEO＝90°．∵∠APQ＝90°，∴∠EP A＝∠FPQ＝90°﹣∠APF．在△PEA和△PFQ中，∴△PEA≌△PFQ．∴PE＝PF，EA＝QF．∵a＝，∴P（，3）．∴OE＝BP＝，PE＝3．∵A（2，0），∴OA＝2，∴EA＝0.5．∴PF＝3，QF＝0.5．∴点Q的坐标为（4.5，3.5）．（2）如图2，作O点关于直线l的对称点O′，连接AO′，交直线l于点P，此时OP＝O′P，∴P A+PO＝P A+PO′，∴AO′是P A+PO的最小值，∵点B的坐标为（0，3）．∴点O′（0，6），．设直线AO′为y＝kx+6，代入A（2，0）得，0＝2k+6，解得k＝﹣3，∴直线AO′为y＝﹣3x+6，把y＝3代入得，3＝﹣3x+6，解得x＝1，∴P（1，3），∴当P A+PO最小时，a＝1．。

初三数学总复习-圆-专项训练习题(含解析)-最新模考专题

2021初中数学毕业考试复习专题训练专题11 《圆》一、单选题1．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸【答案】C【关键点拨】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题2．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（）A．25°B．35°C．15°D．20°【答案】A【关键点拨】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键．3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8【答案】A【解析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积-△ABD的面积=×4×2=4π-4，故选A．【关键点拨】本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．4．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°【答案】D【关键点拨】本题考查的知识点是圆周角定理与推论，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与推论.5．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】【关键点拨】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O 于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=,则AE2+BE2的值为（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【解析】∵∠EDC=135°，∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC =180°-135°=45°；∵∠ACB=90°，∴∠A=45°，∴∠ADE=∠A=45°，∴AE=AD，∠AED=90°；∵EF 为⊙O的直径，∴∠FCE=90°，∵∠ABC=∠EFC=45°，CF=，∴EF=4；连接BD，【关键点拨】本题考查了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质及勾股定理等知识点，会综合运用所学的知识点解决问题是解题的关键.7．如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为A．76°B．56°C．54°D．52°【答案】A【解析】∵MN是⊙O的切线，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：A.【关键点拨】考查了圆周角定理和切线的性质.关键是利用圆的切线垂直于经过切点的半径解题.8．某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，连接AD．故选：D．【关键点拨】考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.9．如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交AB于点D，以OC为半径的CE交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+18B．12π+36C．6π+18D．6π+36【答案】C∴S扇形BOD==24π，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形BOD﹣S△COD）==18+6π，故选C．【关键点拨】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=．10．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【关键点拨】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP．11．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A．B．C．34 D．10【答案】D【解析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．【关键点拨】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．12．如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（）A．2 B．C．D．【答案】B【解析】连接OD【关键点拨】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．二、填空题13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为_____．【答案】．【解析】如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，∴点D是AB中点，∴CD=BD=AB=5，连接DF，∴∠BFG+∠B=90°，∴FG⊥AB，∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，∴FG=，故答案为.【关键点拨】此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键．14．如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，AE DE的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为．【答案】a．【解析】如图，作DE的中垂线交CD于G，则G为DE的圆心，同理可得，H为AE的圆心，∴GE=FG=a，同理可得，EH=FH=a，∴四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，∴GO=BC=a，∴Rt△OEG中，OE=，∴EF=a，故答案为：a．【关键点拨】本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．15．如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO=15°，则∠ACB=_____．【答案】60°．∵∠BDO=15°，∴∠BDC=30°，∴∠A=30°，∴∠ACB=60°，故答案为：60°．【关键点拨】本题考查了圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的内容是解题的关键．16．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A,B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1,则该半圆的半径为_______________.【答案】4解得r=4，故答案为：4.【关键点拨】本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.17．如图，半圆的半径OC=2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为_______．【答案】∵AE=AO=2，∴AD=CO=1，在Rt△ABD中，BD=.【关键点拨】本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理等，综合性较强，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键.18．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为______cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为____cm．【答案】3010-10【解析】（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A=D1B1=30∴D1是的圆心，∵AD1⊥B1C1，∴B1H=C1H=30×sin60°=15，∴B1C1=30∴弓臂两端B1，C1的距离为30【关键点拨】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．19．如图，以AB为直径的⊙O与CE相切于点C，CE交AB的延长线于点E，直径AB＝18，∠A＝30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②扇形OBC的面积为π；③△OCF∽△OEC；④若点P为线段OA上一动点，则AP•OP有最大值20.25．【答案】①③④．【关键点拨】本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质以及相似三角形的判定与性质，结合图形以及已知条件，熟练掌握和灵活运算相关知识是解题的关键.20．如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到O M′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：①AD=CD；②∠ACD的大小随着α的变化而变化；③当α=30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD面积的最大值为a2；其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）．【答案】①③④∴∠ACD=∠E=60°，故②不正确；③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键.21．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为________cm．【答案】8.【解析】设两个正六边形的中心为O，连接OP,OB,过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：∴OP=7cm，设OB为x，∵OH⊥AB，且O是正六边形的中心，∴BH=X,OH=，∴PH=5-x，在Rt△PHO中，根据勾股定理得OP2=PH2+OH2,即;解得：x1=8,x2=-3（舍）故该圆的半径为8cm.故答案为:8.【关键点拨】本题以相机快门为背景，从中抽象出数学模型，综合考查了多边形、圆、三角形及解三角形等相关知识，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力.试题通过将快门的光圈变化这个动态的实际问题化为静态的数学问题，让每个学生都能参与到实际问题数学化的过程中，鼓励学生用数学的眼光观察世界；在运用数学知识解决问题的过程中，关注思想方法，侧重对问题的分析，将复杂的图形转化为三角形或四边形解决，引导学生用数学的语言表达世界，用数学的思维解决问题.22．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．【答案】2-2【解析】如图：取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，由以上作图可知，BG⊥EC于G，【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.23．如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为__．（结果保留【答案】π．【解析】如图所示，连接OE交BD于点F，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OD=2，OE⊥BC，∴OE=OD=2，在矩形中，∵∴四边形OECD为正方形，∴CE=OD=2，∴BE=BC-CE=2，∴BE=DO，∵AD//BC，∴∴△EFB≌△OFD，∴阴影部分的面积= .故答案为：π．【关键点拨】本题考查了切线的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式等知识.正确添加辅助线、仔细识图从中得到阴影部分面积的求法是解题的关键.24．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O 逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2．【答案】【关键点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，扇形面积，熟练掌握相关内容是解题的关键.三、解答题25．如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C、D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM．（1）求证：CM2=MN.MA；（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长．【答案】（1）见解析；（2）CM=2.（2）连接、，是的切线，，又，，设的半径为，，，解得：，又是直径，，，是等腰直角三角形，在中，由勾股定理得，即，则，．【关键点拨】本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点26．如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点．（1）证明：；（2）若，证明：与相切；（3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）连接OC.在△OAD和△OCD中，∵，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠ADO＝∠CDO，又AD＝CD，∴DE⊥AC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴OD∥BC；在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2a2，∴AO2+AD2＝OD2，∴∠OAD＝90°，∴DA与⊙O相切；（3）连接AF．∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD＝∠BAD＝90°．∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴，即DF•BD＝AD2①．又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴，即OD•DE＝AD2②，【关键点拨】本题主要考查圆的综合知识. 解题的关键是在圆中综合运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识进行推理证明．27．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【答案】（1）详见解析；（2）∠BDE=20°．（2）如图2，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥DC，∵BC∥DE，∴四边形DHBC是平行四边形，∴BC=DH=1，在Rt△ABC中，AB=，tan∠ACB=，∴∠ACB=60°，∴BC=AC=OD，∴DH=OD，在等腰△DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°，设DE交AC于N，∵BC∥DE，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°，∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠DOC=20°，∴∠CBD=∠OAD=20°，∵BC∥DE，∴∠BDE=∠CBD=20°．【关键点拨】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，解决第（2）问，作出辅助线，求得∠ODH=20°是解决本题的关键.28．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．（2）∵CG∥EB，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠BCG，∵∠CBG=∠ABC∴△ABC∽△CBG，∴，即=BG•BA=48，∴BC=，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴=BF•BD，∵DF=2BF，∴BF=4，在RT△BCF中，CF==，∴CG=CF+FG=，在RT△BFG中，BG==，∵BG•BA=48，∴BA=，即AG=，∴CG=AG，∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，∴∠CHF=∠CBF，∴CH=CB=，∵△ABC∽△CBG，∴，∴AC==，∴AH=AC﹣CH=．【关键点拨】证明切线常用方法为链接切点与圆心，通过角的代换或者全等，平行等来证明直角.并且构造直径所对的圆周角是常见找直角的方法.灵活运用圆周角定理找等角及相似三角形.29．如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，．求证：DC为的切线；线段DF分别交AC，BC于点E，F且，的半径为5，，求CF的长．【答案】证明见解析；．【解析】（1）如图，连接OC，为的直径，，，，，，，即，为的切线；，舍或，，，，设，，，，，∽，，，，．【关键点拨】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等，正确添加辅助线、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.30．如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接OD．【关键点拨】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．31．如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．（1）求∠OMP的度数；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．【答案】（1）∠PMO=135°；（2）内心M所经过的路径长为2πcm．【解析】（1）∵△OPE的内心为M，∴∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣（∠EOP+∠OPE），∵PE⊥OC，即∠PEO=90°，∴∠PMO=180°﹣（∠EOP+∠OPE）=180°﹣（180°﹣90°）=135°；【关键点拨】本题考查了弧长的计算公式、三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点I的运动轨迹．32．如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）（2）∵tan∠ABC==2，∴设BC=a、则AC=2a，∴AD=AB=，∵OE∥BC，且AO=BO，∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a，在△AED中，DE==2a，在△AOD中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2，OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2，∴AO2+AD2=OD2，∴∠OAD=90°，则DA与⊙O相切；（3）如图，连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD=∠BAD=90°，∵∠ADF=∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴，即DF•BD=AD2①，又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴，即OD•DE=AD2②，由①②可得DF•BD=OD•DE，即，又∵∠EDF=∠BDO，∴△EDF∽△BDO，∴，∵BC=1，∴AB=AD=、OD=、ED=2、BD=、OB=，∴，∴EF=.【关键点拨】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等，综合性较强，有一定的难度，准确添加辅助线构造图形是解题的关键.33．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．（2）∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴，∴BC2=CE•CP；∴BM=a，∴tan∠BCM=，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴BD的长=．【关键点拨】本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.34．已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．【答案】（1）AC=；（2）cot∠ABD=；（3）S△ACD=．【解析】（1）∵OD⊥AC，∴AD+CD，∠AFO=90°，又∵AC=BD，∴AC=BD，即AD+CD=CD+BC，∴AD=BC，∴AD=CD=BC，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，∵AB=2，∴AO=BO=1，∴AF=AOsin∠AOF=1×=，则AC=2AF=；（2）如图1，连接BC，∴OF是△ABC的中位线，设OF=t，则BC=DF=2t，∵DF=DO﹣OF=1﹣t，∴1﹣t=2t，解得：t=，则DF=BC=、AC==，∴EF=FC=AC=，∵OB=OD，∴∠ABD=∠D，则cot∠ABD=cot∠D=；（3）如图2，【关键点拨】本题考查了圆的综合题、解直角三角形的应用等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活应用垂径定理、正弦三角函数、余弦三角函数、余切三角函数、全等三角形的判定与性质、正多边形与圆等知识是解题的关键.35．已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF 与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF．（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK∥BN 交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK 的面积的差为，求线段BR的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）如图1，（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，∵EP⊥BN，∴∠BPE=∠EPL=90°，∴∠LEP+∠ELP=90°，∴∠BEP=∠ELP=∠DKH，∵HM⊥KD，∴∠KMH=∠BPE=90°，∴△BEP≌△HKM，∴BE=HK；（3）解：如图3，连接BD，∵3HF=2DF，BP=FH，∴设HF=2a，DF=3a，∴BP=FH=2a，∵∠ABF=∠ADF=∠ADE，∠DBF=45°-∠ABF，∠BDE=45°-∠ADE，∴∠DBF=∠BDE，∵∠BED=∠F，BD=BD，∴△BED≌△DFB，∴BE=FD=3a，过H作HS⊥BD，垂足为S，∵tan∠ABH=tan∠ADE=，∴设AB=3m，AH=2m，∴BD=AB=6m，DH=AD-AH=m，∵sin∠ADB=，∴HS=m，∴DS==m，∴BS=BD-DS=5m，∴tan∠BDE=tan∠DBF=，∵∠BDE=∠BRE，∴tan∠BRE=，∵BP=FH=2a，∴RP=10a，【关键点拨】此题属于圆综合题，涉及的知识有：正方形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．36．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P 与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围．【答案】（1）AP=；（2）＜AP＜或AP=5．（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，S▱ABCD=×6×8×2=10PG，PG=，①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A、C、D三点，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP=5，综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP=5．故答案为：＜AP＜或AP=5．【关键点拨】本题考查了切线的判定、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.。

专题11 圆(第01期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(解析版)

专题11 圆一、选择题1.（2021浙江衢州第10题）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB =10，CD =6，EF =8。

则图中阴影部分的面积是（）A. π225B. π10C. π424+D. π524+【答案】A.【解析】试题解析：作直径CG ，连接OD 、OE 、OF 、DG ．∵CG 是圆的直径，∴∠CDG =90°，则DG 2222106CG CD -=-=8，又∵EF =8，.∴DG =EF ，∴DG EF =，∴S 扇形ODG =S 扇形OEF ，∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD =S △ACD ，S △OEF =S △AEF ，∴S 阴影=S 扇形OCD +S 扇形OEF =S 扇形OCD +S 扇形ODG =S 半圆=12π×52=252π．考点：1.圆周角定理；2.扇形面积的计算.2.（2021浙江宁波第9题）如图，在Rt ABC △中，90A ∠°，22BC ，以BC 的中点O 为圆心分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，则DE 的长为( )A.4B.2C.D.2 【答案】B.【解析】试题解析：如图，连接OD ，OE∵AC ，AB 是圆O 的切线∴OE ⊥AC ，OD ⊥AB∵O 是BC 的中点∴点E ，点D 分别是AC ，AB 的中点∴OE =12AB ，OD = 12AC∵OE =OD∴AC =AB∵BC 2由勾股定理得AB =2∴OE =1DE 的弧长=901180π⨯⨯=2π.考点：1.三角形的中位线；2.弧长的计算.3.（2021重庆A 卷第9题）如图，矩形ABCD 的边AB =1，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E ，若点E 是AD 的中点，以点B 为圆心，BE 为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是（）A ．24π-B ．324π-C ．28π-D ．328π- 【答案】B.∴图中阴影部分的面积=S 矩形ABCD ﹣S △ABE ﹣S 扇形EBF=1×2﹣12×1×1﹣245（2）360π⨯ =324π-．故选B ．考点：1.矩形的性质；2.扇形的面积计算.4.（2021广西贵港第9题）如图，,,,A B C D 是O 上的四个点，B 是AC 的中点，M 是半径OD 上任意一点，若40BDC ∠= ，则AMB ∠的度数不可能是（）A．45B．60 C. 75D．85【答案】D【解析】试题解析：∵B是AC的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故选D．.考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．5.（2021贵州如故经9题）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD 的长为（）A．65B．85C．75D．235【答案】B【解析】试题解析：连接B D．∵AB是直径，∴∠ADB=90°．∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BO C．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC=25 OBOC，∴cos∠A=cos∠BOC=25．又∵cos∠A=ADAB，AB=4，∴AD=85．故选B．考点：解直角三角形；平行线的性质；圆周角定理．6.（2021湖北武汉第9题）已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（）A．32B．32C．3D．23【答案】C【解析】试题解析：如图，AB=7，BC=5，AC=8过A作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD＝5-x由勾腰定理得：72-x2=82-（5-x）2解得：x=1∴AD=43设ΔABC的内切圆的半径为r，则有：1 2（5r+7r+8r）=12×5×43解得：r=3故选C.考点：三角形的内切圆.7.（2021江苏无锡第9题）如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD 都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（）A ．5B ．6C ．25D ．32【答案】C.【解析】试题解析：如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB =20，面积为320，∴AB •DH =32O ，∴DH =16，在Rt △ADH 中，AH 22AD DH -，∴HB =AB ﹣AH =8，在Rt △BDH 中，BD 2285DH BH +=设⊙O 与AB 相切于F ，连接AF ．∵AD =AB ，OA 平分∠DAB ，∴AE ⊥BD ，∵∠OAF +∠ABE =90°，∠ABE +∠BDH =90°， ∴∠OAF =∠BDH ，∵∠AFO =∠DHB =90°，∴△AOF ∽△DBH ，∴OA OFBD BH =，10885OF=，∴OF 5．故选C ．考点：1.切线的性质；2.菱形的性质．8.（2021甘肃兰州第4题）如图，在O ⊙中，AB BC ，点D 在O ⊙上，25CDB ∠°，则AOB ∠()A.45°B.50°C.55°D.60°【答案】B考点：圆周角定理．9.（2021甘肃兰州第2题）如图，正方形ABCD 内接于半径为2的O ⊙，则图中阴影部分的面积为()A.1B.2C.1D.2【答案】D ．【解析】试题解析：连接AO ，DO ，∵ABCD 是正方形，∴∠AOD =90°，AD 2222OA OD +=圆内接正方形的边长为2=14[4π﹣（2）2]=（π﹣2）cm 2．故选D ．考点：1正多边形和圆；2.扇形面积的计算．10.（2021贵州黔东南州第5题）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2 B．﹣1 C．2D．4【答案】A．【解析】试题解析：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵OC=2，∴CE=12OC=1，∴CD=2OE=2，故选A．考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理．11. （2021贵州黔东南州第8题）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD 于O，则∠DOC的度数为（）A．60°B．67.5° C．75°D．54°【答案】A．【解析】试题解析：如图，连接DF 、BF ．∵FE ⊥AB ，AE =EB ，∴F A =FB ，∵AF =2AE ，∴AF =AB =FB ，∴△AFB 是等边三角形，∵AF =AD =AB ，∴点A 是△DBF 的外接圆的圆心，∴∠FDB =12∠F AB =30°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =BC ，∠DAB =∠ABC =90°，∠ADB =∠DBC =45°，∴∠F AD =∠FBC ，∴△F AD ≌△FBC ，∴∠ADF =∠FCB =15°，∴∠DOC =∠OBC +∠OCB =60°．故选A ．考点：正方形的性质．12.（2021山东烟台第9题）如图，□ABCD 中，070=∠B ，6=BC ，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则弧DE 的长为（）A ．π31B ．π32 C.π67 D ．π34 【答案】B ．∴DE 的长=40321803ππ⨯=. 故选：B ．考点：弧长的计算；平行四边形的性质；圆周角定理．13.（2021四川泸州第6题）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ．若AB =8，AE =1，则弦CD 的长是（）7 7 C ．6 D ．8【答案】B．考点：1.垂径定理；2.勾股定理．14.（2021四川自贡第10题）AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°【答案】B.【解析】试题解析：∵P A切⊙O于点A，∴∠P AB=90°，∵∠P=40°，∴∠POA=90°﹣40°=50°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO=25°，故选B．考点：切线的性质.15.（2021新疆建设兵团第9题）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O 于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（）A ．12B ．15C ．16D ．18【答案】A.【解析】考点：圆周角定理；垂径定理．16.（2021江苏徐州第6题）如图，点,,A B C ，在⊙O 上，72AOB ∠=，则ACB ∠=（）A ．28B ．54 C.18 D ．36【答案】D ．【解析】试题解析：根据圆周角定理可知，∠AOB =2∠ACB =72°，即∠ACB =36°，故选D ．考点：圆周角定理．二、填空题1.（2021浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为（-1，0），半径为1，点P 为直线343+-=x y 上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是__________【答案】22．【解析】试题解析：连接AP ，PQ ，当AP 最小时，PQ 最小，∴当AP ⊥直线y =﹣34x +3时，PQ 最小， ∵A 的坐标为（﹣1，0），y =﹣34x +3可化为3x +4y ﹣12=0，∴AP =22|3(1)4012|34⨯-+⨯-+=3，∴PQ =223-1=22．考点：1.切线的性质；2.一次函数的性质.2.（2021山东德州第17题）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交(,F G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m ，根据设计要求，若45EOF ∠= ，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面枳的比值）为．【答案】（+2）28π 【解析】试题解析：如图，过F 作FG ⊥OF ，连接OG ,OM ,ON△OFH 是等腰直角三角形，∴FH =OFsin 45°=22，AB =2，BC =2OF =2 ∴矩形ABCD 面积=22∴S 空白=2S 扇形FOM +2SΔAOG=290112+2113602π⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+12π ∴窗户的透光率=（+2）28π 考点：扇形的面积及概率3.（2021重庆A 卷第15题）如图，BC 是⊙O 的直径，点A 在圆上，连接AO ，AC ，∠AOB =64°，则∠ACB = ．【答案】32°．【解析】试题解析：∵AO =OC ，∴∠ACB =∠OAC ，∵∠AOB =64°，∴∠ACB +∠OAC =64°，∴∠ACB =64°÷2=32°．考点：圆周角定理.4.（2021甘肃庆阳第14题）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB =32°，则∠C = °．【答案】58°．【解析】试题解析：如图，连接OB ，∵OA =OB ，∴△AOB 是等腰三角形，∴∠OAB =∠OBA ，∵∠OAB =32°，∴∠OAB =∠OAB =32°，∴∠AOB =116°，∴∠C =58°．考点：圆周角定理．5. （2021甘肃庆阳第17题）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，AB =2，以点A 为圆心、AC 的长为半径画弧，交AB 边于点D ，则弧CD 的长等于．（结果保留π）【答案】3π. 【解析】考点：弧长的计算；含30度角的直角三角形．6.（2021广西贵港第17题）如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，,CD OA CD ⊥ 与AB 交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作CE 交OB 于点E ，若4,120OA AOB =∠=，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【答案】4233π+．【解析】试题解析：连接OD、AD，∵点C为OA的中点，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO为等边三角形，∴S扇形AOD=260483603ππ⨯=，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD）=221204120281(223) 36036032πππ⨯⨯---⨯⨯=164823 333πππ--+=4233π+．考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．7.（2021湖南怀化第14题）如图，O⊙的半径为2，点A，B在O⊙上，90AOB∠°，则阴影部分的面积为．【答案】π﹣2．考点：扇形面积的计算．8. （2021湖南怀化第16题）如图，在菱形ABCD中，120∠°，10cmAB，点P是这个菱形内部或ABC边上的一点，若以,,P B C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为cm.【答案】310（cm）.【解析】试题解析：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，P A最小，最小值P A=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为310；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC 为等腰三角形，当点P与点A重合时，P A最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PD的最小值为3﹣10（cm）..考点：菱形的性质；等腰三角形的性质．9.（2021江苏无锡第17题）如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD 的内部作半圆O1和半圆O2，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF=2（EF与AB在圆心O1和O2的同侧），则由AE，EF，FB，AB 所围成图形（图中阴影部分）的面积等于．【答案】534﹣6π．【解析】试题解析：连接O1O2，O1E，O2F，则四边形O1O2FE是等腰梯形，过E作EG⊥O1O2，过F⊥O1O2，∴四边形EGHF是矩形，∴GH=EF=2，∴O1G=12，∵O1E=1，∴GE3∴111 2O GO E=；∴∠O 1EG =30°，∴∠AO 1E =30°，同理∠BO 2F =30°，∴阴影部分的面积=S 矩形ABO 2O 1﹣2S 扇形AO 1E ﹣S 梯形EFO 2O 1=3×1﹣2×2301360π⨯⨯=12（2+3）×32=3﹣534﹣6π．考点：1.扇形面积的计算；2.矩形的性质．10.（2021江苏盐城第14题）如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AmB 上，点D 在AB 上，若∠ACB =70°，则∠ADB = °．【答案】110°【解析】试题解析：∵点C 在AmB 上，点D 在AB 上，若∠ACB =70°，∴∠ADB +∠ACB =180°，∴∠ADB =110°考点：圆周角定理.11.（2021山东烟台第18题）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB .已知6=OA ，取OA 的中点C ，过点C 作OA CD ⊥交弧AB 于点D ，点F 是弧AB 上一点，若将扇形BOD 沿OD 翻折，点B 恰好与点F 重合.用剪刀沿着线段FA DF BD ,,依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 .【答案】36π﹣108【解析】试题解析：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=12OA=12OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于点E，则DE=12OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=2306360π⨯﹣12×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108考点：扇形面积的计算12.（2021四川宜宾第15题）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是．【答案】5﹣1【解析】考点：正多边形和圆．13.（2021四川宜宾第17题）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=433，则AD=．【答案】4.【解析】试题解析：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°，∵BD是直径，∴∠BAD=90°，∠ABD=60°，∴∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°，∴∠ABC=∠CBD，∴AC CD AB==，∴CB AD=，∴AD=CB，∵∠BCD=90°，∴BC=CD•tan60°=433•3=4，∴AD=BC=4．考点：1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质；3.含30°角的直角三角形.14.（2021江苏徐州第15题）正六边形的每个内角等于．【答案】120°.【解析】试题解析：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为：7206︒=120°.考点：多边形的内角与外角.15. （2021江苏徐州第16题）如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为,2D AB BC==，则AOB∠=．【答案】60°．【解析】考点：切线的性质.ABm=︒，弓16.（2021浙江嘉兴第13题）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的O，90形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为．【答案】（32+48π）cm2【解析】试题解析：连接OA、OB，∵AB=90°，∴∠AOB=90°，∴S △AOB =12×8×8=32，扇形ACB （阴影部分）=22036078π⨯⨯=48π，则弓形ACB 胶皮面积为（32+48π）cm 2考点：1.垂径定理的应用；2.扇形面积的计算．三、解答题1.（2021浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。

专题11圆-2021版[中考15年]安徽省2003-2021年中考数学试题分项解析(解析版)

1. （2003安徽省4分）一种花边是由如图的弓形组成的，弧ACB 的半径为5，弦AB=8，则弓形的高CD 为【】A ：2B ：25C ：3D ：316 【答案】A 。

【考点】垂径定理，勾股定理。

【分析】如图所示，AB ⊥CD ，根据垂径定理，BD=12BD=12×8=4。

由于圆的半径为5，根据勾股定理，OD=2222OB BD ?543-=-=。

∴CD=5－3=2。

故选A 。

2. （2003安徽省4分）如图，⊙O 1与⊙O 2相交，P 是⊙O 1上的一点，过P 点作两圆的切线，则切线的条数可能是【】A ：1，2B ：1，3C ：1，2，3D ：1，2，3，4 【答案】C 。

当点P 在大圆的劣弧AB 上时，只可作出大圆的一条切线。

故选C 。

3. （2004安徽省4分）圆心都在x轴上的两圆有一个公共点(1，2)，那么这两圆的公切线有【】．(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条【答案】B。

4. （2005安徽省大纲4分）如图，⊙O的半径OA=3，以点A为圆心，OA的长为半径画弧交⊙O于B、C，则BC=【】A、32B、33C、322D、332【答案】B。

【考点】垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，连接AB，OB，则AB=BO=AO，即△ABC为等边三角形。

∴∠BOA=60°。

根据相交两圆的连心线垂直平分公共弦，则BP=PC=12 BC。

∵△ABC为等边三角形，∴BC是∠OBA的平分线，∠BOC=30°。

∴AP=12AB=12×3=32。

在Rt△ABP中，AB=3，AP=32，PB=2222333AB AP322⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，∴BC=2PB=2×33332=。

故选B。

5. （2005安徽省课标4分）如图所示，圆O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交圆O于B、C 点，则BC为【】A. 63B. 62C. 33D. 32【答案】A 。

2021中考数学热点题型专练圆含解析

热点13 圆【命题趋势】圆在中考数学中分值各个省市有所不同，大约占到8—12分左右，考查的重点在于圆周角定理、切线的判定与性质定理、垂径定理、圆锥和扇形以及弧长公式这几部分内容，虽然圆的内容考的不是太多但也是必考内容之一，难度一般不大。

【满分技巧】一、重点把握四个内容：1．圆周角定理；2．切线的判定与性质定理；3．垂径定理；4．圆锥的侧面积，扇形面积以及弧长公式；二、圆中的计算部分——垂径定理关于圆的计算题，一定离不开垂径定理，而把握好这一定理的关键在于用好一个特殊的三角形。

——由弦心距、半径、半条弦组成的特殊三角形，综合勾股定理或三角函数，从而能顺利地解决问题半径弦心距半条弦三、解决问题的秘诀:将问题转化成三角形问题平面几何的几乎所有问题，不论是四边形问题，还是圆的问题最终都要转化成三角形问题，在三角形中用勾股定理或三角函数结合方程的思想解决。

【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1.如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O 相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，⊥G是BC的中点，⊥AG=DG，⊥GH垂直平分AD，⊥点O在HG上，⊥AD⊥BC，⊥HG⊥BC，⊥BC与圆O相切；⊥OG=OG，⊥点O不是HG的中点，⊥圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊥O的内接矩形，⊥AF与DE的交点是圆O的圆心；⊥（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．2.⊥O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6AB =，1AE =，则CD 的长是()A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】过点O 作OF⊥CD 于点F ，OG⊥AB 于G ，连接OB 、0D ，如图所示：则DE=CF,AG=BG=12 AB=3⊥EG=AG -AE=2在Rt BOG ∆中，2OG ==， ⊥EG=OG ，EOG ∴∆是等腰直角三角形，45OEG ∴∠=︒，OE ==， 75DEB ∠=︒， 30OEF ∴∠=︒，12OF OE ∴==在Rt ODF ∆中，DF ==2CD DF ∴==故选：C ．3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40m ，点C 是的中点，且CD ＝10m ，则这段弯路所在圆的半径为（）A ．25mB ．24mC ．30mD ．60m【答案】A【解析】⊥OC ⊥AB ， ⊥AD ＝DB ＝20m ，在Rt⊥AOD 中，OA 2＝OD 2+AD 2，设半径为r 得：r 2＝（r ﹣10）2+202，解得：r ＝25m ， ⊥这段弯路的半径为25m 故选：A ．4.如图，P A 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是（）A．P A＝PB B．⊥BPD＝⊥APD C．AB⊥PD D．AB平分PD【答案】D【解析】⊥P A，PB是⊥O的切线，⊥P A＝PB，所以A成立；⊥BPD＝⊥APD，所以B成立；⊥AB⊥PD，所以C成立；⊥P A，PB是⊥O的切线，⊥AB⊥PD，且AC＝BC，只有当AD⊥PB，BD⊥P A时，AB平分PD，所以D不一定成立．故选：D．5.如图，AB为⊥O的直径，C，D为⊥O上两点，若⊥BCD＝40°，则⊥ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，⊥AB为⊥O的直径，⊥⊥ADB＝90°．⊥⊥BCD＝40°，⊥⊥A＝⊥BCD＝40°，⊥⊥ABD＝90°﹣40°＝50°．故选：B．6.如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果⊥A ＝70°，那么⊥DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°【答案】C【解析】连接CD，如图所示：⊥BC是半圆O的直径，⊥⊥BDC＝90°，⊥⊥ADC＝90°，⊥⊥ACD＝90°﹣⊥A＝20°，⊥⊥DOE＝2⊥ACD＝40°，故选：C．7.如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊥O的半径为（）A．2B．3C．4D．4﹣【答案】A【解析】设⊥O与AC的切点为E，连接AO，OE，⊥等边三角形ABC的边长为8，⊥AC＝8，⊥C＝⊥BAC＝60°，⊥圆分别与边AB，AC相切，⊥⊥BAO＝⊥CAO＝BAC＝30°，⊥⊥AOC＝90°，⊥OC＝AC＝4，⊥OE⊥AC，⊥OE＝OC＝2，⊥⊥O的半径为2，故选：A．8.如图，AB是⊥O的直径，AC是⊥O的切线，A为切点，BC与⊥O交于点D，连结OD．若⊥C＝50°，则⊥AOD 的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【答案】C【解析】⊥AC是⊥O的切线，⊥AB⊥AC，⊥⊥BAC＝90°，⊥⊥C＝50°，⊥⊥ABC＝40°，⊥OD＝OB，⊥⊥ODB＝⊥ABC＝40°，⊥⊥AOD＝⊥ODB+⊥ABC＝80°；故选：C．9.如图，AB，AC分别是⊥O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（）A．2B．4C．2D．4.8【答案】C【解析】⊥AB为直径，⊥⊥ACB＝90°，⊥BC＝＝＝3，⊥OD⊥AC，⊥CD＝AD＝AC＝4，在Rt⊥CBD中，BD＝＝2．故选：C．10.如图，AB是⊥O的弦，OC⊥AB交⊥O于点C，点D是⊥O上一点，⊥ADC＝30°，则⊥BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】D【解析】如图，⊥⊥ADC＝30°，⊥⊥AOC＝2⊥ADC＝60°．⊥AB是⊥O的弦，OC⊥AB交⊥O于点C，⊥＝．⊥⊥AOC＝⊥BOC＝60°．故选：D．二、填空题11.如图，已知⊥ABC的内切圆⊥O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若⊥ABC=40°，则⊥BOD的度数是．【答案】70°【解析】⊥⊥ABC的内切圆⊥O与BC边相切于点D，⊥OB平分⊥ABC，OD⊥BC，⊥⊥OBD=⊥ABC=×40°=20°，⊥⊥BOD=90°﹣⊥OBD=70°．故答案为70°．12.直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为．【答案】2【解析】直角三角形的斜边＝＝13，所以它的内切圆半径＝＝2．故答案为2．13.如图，五边形ABCDE是⊥O的内接正五边形，AF是⊥O的直径，则⊥BDF的度数是°．【答案】54【解析】连接AD，⊥AF是⊥O的直径，⊥⊥ADF＝90°，⊥五边形ABCDE是⊥O的内接正五边形，⊥⊥ABC＝⊥C＝108°，⊥⊥ABD＝72°，⊥⊥F＝⊥ABD＝72°，⊥⊥F AD＝18°，⊥⊥CDF＝⊥DAF＝18°，⊥⊥BDF＝36°+18°＝54°，故答案为：54．14.如图，⊥O的两条相交弦AC、BD，⊥ACB＝⊥CDB＝60°，AC＝2，则⊥O的面积是．【答案】16π【解析】⊥⊥A＝⊥BDC，而⊥ACB＝⊥CDB＝60°，⊥⊥A＝⊥ACB＝60°，⊥⊥ACB为等边三角形，⊥AC＝2，⊥圆的半径为4，⊥⊥O的面积是16π，故答案为：16π．15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，⊥ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【答案】2﹣π【解析】⊥四边形ABCD是菱形，⊥AC⊥BD，⊥ABO＝⊥ABC＝30°，⊥BAD＝⊥BCD＝120°，⊥AO＝AB＝1，由勾股定理得，OB＝＝，⊥AC＝2，BD＝2，⊥阴影部分的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣π，故答案为：2﹣π．三、解答题16.如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．⊥求证：DC是⊥O的切线．⊥若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积．⊥在⊥的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．【解析】⊥过点O作OG⊥CD，垂足为G，在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分⊥BCD，⊥OH⊥BC，OG⊥CD，⊥OH＝OG，⊥OH、OG都为圆的半径，即DC是⊥O的切线；⊥⊥AC＝4MC且AC＝8，⊥OC＝2MC＝4，MC＝OM＝2，⊥OH＝2，在直角三角形OHC中，HO＝CO，⊥⊥OCH＝30°，⊥COH＝60°，⊥HC＝，S阴影＝S⊥OCH﹣S扇形OHM＝CH•OH﹣OH2＝2﹣；⊥作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，⊥PM＝NP，⊥PH+PM＝PH+PN＝HN，此时PH+PM最小，⊥ON＝OM＝OH，⊥MOH＝60°，⊥⊥MNH＝30°，⊥⊥MNH＝⊥HCM，⊥HN＝HC＝2，即：PH+PM的最小值为2，在Rt⊥NPO中，OP＝ON tan30°＝，在Rt⊥COD中，OD＝OC tan30°＝，则PD＝OP+OD＝2．17.如图，AB为⊥O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．（1）求证：CE是⊥O的切线；（2）若⊥O的半径为2，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）证明：⊥点C、D为半圆O的三等分点，⊥，⊥⊥BOC＝⊥A，⊥OC⊥AD，⊥CE⊥AD，⊥CE⊥OC，⊥CE为⊥O的切线；（2）解：连接OD，OC，⊥，⊥⊥COD＝×180°＝60°，⊥CD⊥AB，⊥S⊥ACD＝S⊥COD，⊥图中阴影部分的面积＝S扇形COD＝＝．18.（1）如图1，有一个残缺圆，请作出残缺圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．（2）如图2，设AB是该残缺圆O的直径，C是圆上一点，CAB∠的角平分线AD交O于点D，过D作O的切线交AC的延长线于点E．⊥求证：AE DE⊥；⊥若3AC=，求残缺圆的半圆面积．DE=，2【解析】（1）解：如图1：点O即为所求．（2）⊥证明：如图2中，连接OD交BC于F．AD平分BAC∠，∴∠=∠，DAC DAB=，∴CD BD∴⊥，OD BCCFD∠=︒，CF BF∴=，90DE是切线，DE OD∴⊥，EDF∴∠=︒，90AB是直径，ACB BCE∴∠=∠=︒，90∴四边形DECF是矩形，∴∠=︒，90E∴⊥．AE DE⊥四边形DECF是矩形，DE CF BF∴===，3在Rt ACB∆中，AB==∴残缺圆的半圆面积21202ππ=••=．。

2021中考数学考点综合复习专题圆解答题专练含答案

2021中考数学考点综合复习专题【圆】解答题考点专项巩固复习（含解析）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC 交于点M、N．（1）过点N作NE⊥AB于点E，求证：NE是⊙O的切线；（2）连接MD，若MD＝5，BE＝4，求DE的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB 的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BD＝3，求BC的长．3．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA上的一点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若CD＝15，BE＝10，tan A＝，求⊙O的直径．4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是的中点，BD交AC于点E，F是AC延长线一点，且FE＝FB．（1）求证：FB是⊙O的切线；（2）已知AB＝2，AD＝2，求FB的长．5．如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O 的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．6．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若OF⊥AE，OF＝1，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）7．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．8．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作直线l交CA的延长线于点P，且∠ADP＝∠BCD，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）求证：PD是⊙O的切线；（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．9．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的半径．10．如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AD＝4，直径AB＝12，求线段BC的长．参考答案1．（1）证明：连接ON，如图1所示：则ON＝OC，∴∠OCN＝∠ONC，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝AB，∴∠OCN＝∠B，∴∠ONC＝∠B，∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴NE⊥ON，∴NE是⊙O的切线；（2）解：连接ND，如图2所示：∵CD为⊙O的直径，∴∠CND＝∠CMD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形MDNC为矩形，∴MD＝NC＝5，∵∠CD＝BD，∠CND＝90°，∴BN＝NC＝5，NE＝＝＝3，∵∠DNB＝∠NEB＝90°，∠B＝∠B，∴△DNB∽△NEB，∴＝，即＝，∴BD＝，∴DE＝BD﹣BE＝﹣4＝．2．解：（1）如图1，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．∵BD是△ABC的外角平分线，∴∠DBE＝∠OBD．∴∠DBE＝∠ODB，∴BE∥OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵DE∥AC，∴∠DEB＝90°，∴OD⊥DE且点D在⊙O上．∴直线DE与⊙O相切；（2）如图1，连接OC，∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形．∴∠OBC＝60°，∵BE∥OD，∴∠DOB＝60°，∴∠DOB＝∠BOC，∴BD＝BC＝3．3．解：（1）BD是⊙O的切线．理由如下：连接OB，∵OB＝OA，DE＝DB，∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，∴∠OBA+∠ABD＝90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线．（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，∵DE＝DB，∴EG＝BE＝5，∵∠ACE＝∠DGE＝90°，∠AEC＝∠GED，∴∠GDE＝∠A，∴△ACE∽△DGE，∴tan∠EDG＝tan A＝，即DG＝12，在Rt△EDG中，∵DG＝＝12，∴DE＝13，∵CD＝15，∴CE＝2，∵＝，∴AC＝，AE＝＝，∴AB＝BE+AE＝，∵OF⊥AB，∴AF＝FB＝，∵△ACE∽△AOF∴＝，∴＝，∴AO＝∴⊙O的直径为2OA＝．4．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠D＝90°，∵，∴∠ABD＝∠DAC，∵FB＝FE，∴∠FBE＝∠FEB，又∴∠FEB＝∠AED，∴∠FBE+∠ABD＝∠AED+∠ADC＝90°，∴FB⊥OB，∴FB是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝，∵∠ABD＝∠DAC，∠D＝∠D，∴△ADB∽△EDA，∴，∴，∴DE＝1，在Rt△AED中，由勾股定理得，AE＝＝，设FB＝FE＝x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：，解得：x＝．即FB的长为．5．解：（1）证明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠BAD＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴直线BD是⊙O的切线；（2）∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°，∴OD＝OB，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1；（3）∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝，∴BE＝＝，如图，连接DM，∵DE为⊙O的直径，∴∠DME＝90°，∴∠DMB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠DME，又∵∠DBM＝∠EBD，∴△BMD∽△BDE，∴＝，∴BM＝＝＝．∴线段BM的长为．6．（1）证明：连接OE，∵AC＝EC，OA＝OE，∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，∵AC⊥AB，∴∠CAD＝90°，∴∠CAE+∠EAO＝90°，∴∠CEA+∠AEO＝90°，即∠CEO＝90°，∴OE⊥CD，∴CE为⊙O的切线；（2）解：∵∠OAF＝30°，OF＝1∴AO＝2；∴AF＝即AE＝；∴；∵∠AOE＝120°，AO＝2；∴；＝．∴S阴影7．解：设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD＝BD＝AB＝×10＝5cm，∵最深地方的高度是3cm，∴OD＝r﹣3，在Rt△OBD中，OB2＝BD2+OD2，即r2＝52+（r﹣3）2，解得r＝（cm），∴输水管的半径为cm．8．（1）证明：∵∠ADP＝∠BCD，∠BCD＝∠BAD，∴∠ADP＝∠BAD，∴DP∥AB；（2）证明：连接OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∴△DAB是等腰直角三角形，∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∵DP∥AB，∴OD⊥PD，∴PD是⊙O的切线；（3）解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，∵△DAB为等腰直角三角形，∴AD＝AB＝5，∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形，∴AE＝CE＝AC＝3，在Rt△AED中，DE＝＝＝4，∴CD＝CE+DE＝3+4＝7，∵∠PDA＝∠PCD，∠P＝∠P，∴△PDA∽△PCD，∴＝＝＝＝，∴PA＝PD，PC＝PD，∵PC＝PA+AC，∴PD+6＝PD，解得：PD＝．9．证明：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠BCD与∠ACE互余，又∠ACE与∠CAE互余，∴∠BCD＝∠BAC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∴∠ACO＝∠BCD；（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，CE＝CD＝×24＝12cm，在Rt△CEO中，由勾股定理可得：OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣8）2+122，解得R＝13．答：⊙O的半径为13cm．10．（1）证明：连接OD，如图所示：∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∵AD∥CO，∴∠COD＝∠ODA，∠COB＝∠OAD．∴∠COD＝∠COB．∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC（SAS）．∴∠ODC＝∠OBC．∵CB是圆O的切线且OB为半径，∴∠CBO＝90°．∴∠CDO＝90°．∴OD⊥CD．又∵CD经过半径OD的外端点D，∴CD为圆O的切线．（2）解：连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．在直角△ADB中，BD＝＝＝8，∵∠ADB＝∠OBC＝90°，且∠COB＝∠BAD，∴△ADB∽△OBC．∴＝，即＝．∴BC＝12．。

备战2021年九年级考数学考点专题训练——专题十一：圆

备战2021中考数学考点专题训练——专题十一：圆1．阅读下列材料：如图1，圆的概念：在平面内，线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，圆心在P（a，b），半径为r的圆的方程可以写为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心在P（2，1），半径为5的圆方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝25．（1）填空：以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为．（2）根据以上材料解决下列问题：如图2，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝．①连接EC，证明EC是⊙B的切线；②在BE上是否存在一点P，使PB＝PC＝PE＝PO？若存在，求P点坐标，并写出以P为圆心，以PB为半径的⊙P的方程；若不存在，说明理由．2．如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D 作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．3．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．4．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，连接AD，BC，已知AE＝AD，∠BAD＝34°．（1）如图①，连接CO，求∠ADC和∠OCD的大小；（2）如图②，过点D作⊙O的切线与CB的延长线交于点F，连接BD，求∠BDF的大小．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝3CD，BF＝2，求⊙O的半径．6．已知在△ABC中，BC⊥AB．AB是⊙O的弦，AC交⊙O于点D，且D为AC的中点，延长CB 交⊙O于点E，连接AE．（I）如图①，若∠E＝50°，求∠EAC的大小；（1）如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．若CF＝2CD，求∠CAB的大小．7．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若AD是⊙O的切线，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，且OA＝1，求EF的长．8．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；（2）若直径AB的长为4．①当PE＝时，四边形BOPQ为正方形；②当PE＝时，四边形AEOP为菱形．9．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠CAD＝∠CAB；（2）若＝，AC＝2，求CD的长．10．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．11．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB 与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．12．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．13．已知：⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且O2在⊙O1上（如图）．（1）AD是⊙O2的直径，连接DB并延长交⊙O1于点C，求证：CO2⊥AD．（2）若AD是⊙O2的非直径的弦，直线DB交⊙O1于点C，则（1）中的结论是否成立，为什么？请加以证明．14．如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．连接PO交⊙O 于点D，交BC于点E，连接AC．（1）求证：OE＝AC；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求PB的长．15．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P 的大小；（Ⅱ）如图②，D为上一点，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，连接AD，若AD＝CD，∠P＝30°，求∠CAP的大小．16．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD 相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．17．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CDE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若cos B＝，CE＝2，求DE．备战2021中考数学考点专题训练——专题十一：圆参考答案1．阅读下列材料：如图1，圆的概念：在平面内，线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，圆心在P（a，b），半径为r的圆的方程可以写为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心在P（2，1），半径为5的圆方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝25．（1）填空：以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为．（2）根据以上材料解决下列问题：如图2，以B（﹣3，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝．①连接EC，证明EC是⊙B的切线；②在BE上是否存在一点P，使PB＝PC＝PE＝PO？若存在，求P点坐标，并写出以P为圆心，以PB为半径的⊙P的方程；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）以B（﹣1，﹣2）为圆心，为半径的圆的方程为：（x+1）2+（y+2）2＝2；故答案为：（x+1）2+（y+2）2＝2．（2）①证明：∵BD⊥OC，∴CD＝OD，∴BE垂直平分OC，∴EO＝EC，∴∠EOC＝∠ECO，∵BO＝BC，∴∠BOC＝∠BCO，∴∠EOC+∠BOC＝∠ECO+∠BCO，∴∠BOE＝∠BCE＝90°，∴BC⊥CE，∴EC是⊙B的切线；②存在，∵∠BOE＝∠BCE＝90°，∴点C和点O都在以BE为直径的圆上，∴当P点为BE的中点时，满足PB＝PC＝PE＝PO，∵B点坐标为（﹣3，0），∴OB＝3，∵∠AOC+∠DOE＝90°，∠DOE+∠BEO＝90°，∴∠BEO＝∠AOC，∴，在Rt△BOE中，，∴，∴BE＝5，∴，∴E点坐标为（0，4），∴线段AB的中点P的坐标为，∴以为圆心，以为半径的⊙P的方程为．2．如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D 作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．【答案】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ADO，∴AH∥OD，∴OD⊥DH，∴DH是半圆的切线；（2）解：连接BC交OD于E，∵AB是半圆AOB的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC＝2CE＝4，∵sin∠BAC＝＝，∴AB＝12，即半圆的直径为12．3．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：∴∠3＝∠2，∵AD平分∠CAM，∴∠2＝∠1，∴∠1＝∠3，∴MN∥OD，∵DE⊥MN，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接CD，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝3（cm），∵DE⊥MN，∴∠AED＝90°，∴∠ADC＝∠AED，又∵∠2＝∠1，∴△ADC∽△AED，∴＝，即＝，∴AC＝15（cm），∴OA＝AC＝cm，即⊙O的半径为cm．4．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，连接AD，BC，已知AE＝AD，∠BAD＝34°．（1）如图①，连接CO，求∠ADC和∠OCD的大小；（2）如图②，过点D作⊙O的切线与CB的延长线交于点F，连接BD，求∠BDF的大小．【答案】解：（1）连接OD，∵AE＝AD，∠BAD＝34°，∴∠ADC＝∠AED＝（180°﹣34°）＝73°，∵OA＝OD＝OC，∴∠ADO＝∠A＝34°，∴∠OCD＝∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝73°﹣34°＝39°；（2）连接OD，∵DF是⊙O的切线，∴∠ODF＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＝∠BDF，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠BDF＝∠BAD＝34°．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝3CD，BF＝2，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AC＝AB，∴CD＝BD，∵AC＝3CD，∴AB＝3BD，设BD＝x，则AB＝3x，∴AD＝2x，∵∠BDF+∠1＝∠ADO+∠1＝90°，∴∠BDF＝∠ADO，∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠BDF＝∠DAF，∵∠F＝∠F，∴△ADF∽△DBF，∴＝，∴＝＝，∴DF＝2，x＝2，∴AB＝6，∴⊙O的半径为3．6．已知在△ABC中，BC⊥AB．AB是⊙O的弦，AC交⊙O于点D，且D为AC的中点，延长CB 交⊙O于点E，连接AE．（I）如图①，若∠E＝50°，求∠EAC的大小；（1）如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．若CF＝2CD，求∠CAB的大小．【答案】解：（1）连接ED，如图1，∵△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°，∴AE是⊙O的直径，∴ED⊥AC，∵AD＝DC，∴AE＝CE，∴∠AED＝∠CED＝AEC＝＝25°，∴∠EAC＝90°﹣∠AED＝90°﹣25°＝65°；（2）连接ED，如图2，∵D为AC的中点，∴∠ABE＝90°，∴AE是直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF＝90°，∵D为AC的中点，∴AC＝2CD，∵CF＝2CD，∴AC＝CF，∴CE＝＝AC，由（1）得AE＝CE，∴AE＝CE＝AC，∴∠EAC＝60°，∵AB⊥EC，∴∠CAB＝＝30°7．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若AD是⊙O的切线，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，且OA＝1，求EF的长．【答案】解：（1）连接OC，∵AO＝CO，AD＝CD，OD＝OD，∴△ADO≌△CDO（SSS），∴∠AOD＝∠COD，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠COD，∴OD∥BC；（2）连接AF，过F作FM⊥EF交OD于M，∵AB＝AD，AD是圆的切线，∴△ABD为等腰直角三角形，∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，∠DAF＝∠45°，∵∠AED＝∠AFD＝90°，∴∠DAF＝∠DEF＝45°，∴AF＝DF，∴∠AFE＝∠DFM，∵∠EAF＝∠FDM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∵OA＝1，∴AE＝DM＝，DE＝，∴EM＝，∴EF＝．8．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；（2）若直径AB的长为4．①当PE＝时，四边形BOPQ为正方形；②当PE＝时，四边形AEOP为菱形．【答案】（1）证明：∵OQ∥AP，∴∠EOC＝∠OAP，∠POQ＝∠APO，又∵OP＝OA，∴∠APO＝∠OAP，又∵∠BOQ＝∠EOA＝∠OAP，∴∠POQ＝∠BOQ，在△BOQ与△POQ中，，∴△POQ≌△BOQ（SAS），∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°，∵点P在⊙O上，∴PQ是⊙O的切线；（2）解：①∵△POQ≌△BOQ，∴∠OBQ＝∠OPQ＝90°，当∠BOP＝90°，四边形OPQB为矩形，而OB＝OP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PE＝PO＝AB＝2；②∵PE⊥AB，∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，∵OC＝OA＝1，∴PC＝＝＝，∴PE＝2PC＝2．故答案为：2；2．9．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠CAD＝∠CAB；（2）若＝，AC＝2，求CD的长．【答案】（1）证明：如图1，连接OC，，∵CD是切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠1＝∠4．∵OA＝OC，∴∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴AC平分∠DAB；（2）解：如图2，连接BC，∵＝，∴设AD＝2x，AB＝3x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴＝，∴x＝2（负值舍去），∴AD＝4，∴CD＝＝2．10．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【答案】（1）证明：连接OA．∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述，∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则＝＝，∴＝＝，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，∴a2＝，∴BH＝，∴BC＝2BH＝．11．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB 与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．【答案】（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．（2）证明：∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，∵OD＝OM，∴∠DMO＝∠MDO，∴∠DOP＝∠POC，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP（SAS），∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+122＝9R2，∴R＝3，∴OD＝3，MC＝6，∵，∴，∴AP＝18，∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，∵O是MC的中点，∴，∴点P是BC的中点，∴PB＝CP＝DP＝6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，∴BM＝＝＝6，∵△BCM∽△CDM，∴，即，∴DM＝2．12．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．【答案】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD＝AOB＝90°，∵DH∥AB，∴∠ODH＝90°，∴OD⊥DH，∴直线DH是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵点D是半圆AB的中点，∴＝，∴AD＝DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB＝10，∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×＝5，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠DBH+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝∠DBH，由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，∴∠ACD＝45°，∵DH∥AB，∴∠BDH＝∠OBD＝45°，∴∠ACD＝∠BDH，∴△ACD∽△BDH，∴，∴＝，解得：BH＝．13．已知：⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且O2在⊙O1上（如图）．（1）AD是⊙O2的直径，连接DB并延长交⊙O1于点C，求证：CO2⊥AD．（2）若AD是⊙O2的非直径的弦，直线DB交⊙O1于点C，则（1）中的结论是否成立，为什么？请加以证明．【答案】（1）连结AB，如图1，∵AD是⊙O2的直径，∴∠ABD＝90°，得∠A+∠D＝90°．又∵∠C＝∠A，∴∠C+∠D＝90°，得∠CO2D＝90°，即CO2⊥AD；（2）（1）中的结论仍成立．证明如下：连结直径AO2交⊙O2于点D′，连D′B并延长交⊙O1于点C′，连O2C′，如图2，由（1）知C′O2⊥AD′，又∠A＝∠DBD′，∠DBD′＝∠CBC′，∠CBC′＝∠CO2C′，∴∠A＝∠CO2C′，∵C′O2⊥AD，∴∠AO2C+∠CO2C′＝90°，∴∠AO2C+∠A＝90°，∴CO2⊥AD．14．如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．连接PO交⊙O 于点D，交BC于点E，连接AC．（1）求证：OE＝AC；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求PB的长．【答案】证明：（1）∵PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C∴PB＝PC，∠BPO＝∠CPO．∴PO⊥BC，BE＝CE．∵OB＝OA，∴OE＝AC；（2）∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°．由（1）可得∠BEO＝90°，OE＝AC＝3．∴∠OBP＝∠BEO＝90°．∴tan∠BOE＝＝，在Rt△BEO中，OE＝3，OB＝5，∴BE＝4．∴PB＝．15．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P 的大小；（Ⅱ）如图②，D为上一点，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，连接AD，若AD＝CD，∠P＝30°，求∠CAP的大小．【答案】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△AOE中，∠P+∠COP＝90°，∴∠P＝90°﹣∠COP＝36°；（Ⅱ）连接OC，OD，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠COD，∵OA＝OD＝OC，∴∠OAD＝∠ADO＝∠ODC＝∠DCO，∵∠P＝30°，∴∠PAD+∠ADP＝150°，∴∠COP＝∠DCO﹣∠P＝20°，∵∠CAP＝COP，∴∠CAP＝10°．16．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD 相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△CBA与Rt△DAB中，，∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB．17．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CDE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若cos B＝，CE＝2，求DE．【答案】解：（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAD＝2∠BAD，∵∠BAC＝2∠CDE．∴∠CDE＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠ADO+∠ODC＝90°，∴∠ODC+∠CDE＝90°，∴∠ODE＝90°又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ACB＝∠B，∴cos∠ACB＝cos B，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD＝＝2x，∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴，即，解得：DE＝4．。

2021年九年级中考数学考点综合复习集锦【圆】相关知识点解答题专项训练(含解析)

【圆】相关知识点解答题专项训练（含解析）1．如图，以P（0，3）为圆心，6为半径的⊙P交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，连接BP并延长交⊙P于点E，连接DE交x轴于点F．（1）求∠CDE的度数；（2）求△BEF的面积．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．（1）求证：NE与⊙O相切；（2）求图中阴影部分的面积．3．如图，AD与⊙O相切于点D，点A在直径CB的延长线上．（1）求证：∠DCB＝∠ADB；（2）若∠DCB＝30°，AC＝3，求AD的长．4．已知，⊙O中，＝，D是⊙O上的点，OC⊥BD．（1）如图①，求证＝；（2）如图②，连接AB，BC，CD，DA，若∠A＝70°，求∠BCD，∠ADB的大小．5．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OB的长为半径的圆O与AB，BD分别交于点E，F，连接DE，且∠ADE＝∠BDC．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BC＝6，CD＝8，AE＝4.5，求⊙O的半径．6．已知AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点P为圆O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．（1）求证：PA为圆O的切线；（2）如果OP＝AB＝10，求AC的长．7．如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O于点D，连接CD、OC，且OC交DB于点E．若∠CDB＝30°，DB＝4cm．（1）求⊙O的半径长；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为1，∠BAC＝60°，则DE＝．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）当DG平分∠AGC，∠ADG＝45°，AF＝，求弦DC的长．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上的一点，以CD为直径的⊙O交AC于E，连接BE 交CD于P，交⊙O于F，连接DF，∠ABC＝∠EFD．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若AD＝2，BD＝3，则⊙O的直径＝；（3）若PC＝2PF，BF＝a，求CP（用a的代数式表示）．11．如图，AB为⊙O的直径，C、E在⊙O上，AC平分∠EAB，过点C作AE的垂线交AE的延长线于点D．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）连接CE，若CE＝6，AC＝8，求⊙O的直径的长．12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，AB＝8，BD平分∠ABC，交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：∠DBA＝∠CAD；（2）若的长度为2π，求∠AEB的度数．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．（1）若⊙O的半径为，AC＝10，求BN的长；（2）求证：NE与⊙O相切．参考答案1．解：（1）∵P（0，3），∴OP＝3，∵⊙P的半径是6，∴PB＝6，∴OP＝PB，∵x轴⊥y轴，∴∠POB＝90°，∴∠PBO＝30°，∴∠BPO＝90°﹣30°＝60°，∵PE＝PD，∠E+∠CDE＝∠BPO，∴∠CDE＝∠E＝60°＝30°；（2）过P作PM⊥DE于M，则∠PME＝90°，∵⊙P的半径是6，∴PE＝PD＝6，PM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠E＝30°，∴PM＝PE＝6＝3，由勾股定理得：DM＝EM＝＝3，∴DE＝EM+DM＝6，∴△BEF的面积是＝6×3＝9．2．（1）证明：如图，连接ON，∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵CO＝ON，∴∠BCD＝∠CNO，∴ON∥BD，∴∠ONE＝∠NEB＝90°，即ON⊥NE，∴NE与⊙O相切；（2）∵，∴∠B＝30°，∴∠CON＝120°，∴，，∴．3．（1）证明：如图，连接OD，∵AD与⊙O相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ODB+∠ADB＝90°，∵CB是直径，∴∠CDB＝90°，∴∠ODB+∠ODC＝90°，∴∠ODC＝∠ADB，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠C＝∠ADB；（2）解：∵∠DCB＝∠ADB，∠DAC＝∠CAD，∴△ADB∽△ACD，∴＝，∵CB是直径，∴∠CDB＝90°，∠DCB＝30°，∴tan∠DCB＝＝，∴＝，∵AC＝3，∴AD＝3．4．（1）证明：∵OC⊥BD，OC过O，∴＝，∵＝，∴＝；（2）解：∵四边形ABD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠A＝70°，∴∠BCD＝110°，∵＝，∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝35°，∵＝，∴∠ADB＝∠CDB＝35°．5．解：（1）直线DE与⊙O相切，证明：连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠EBD＝∠BDC，∵OB＝OE，∴∠EBD＝∠BEO，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠BEO＝∠EBD＝∠BDC＝∠ADE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠EOD+∠EDO＝∠EBD+∠BEO+∠EDO＝∠BDC+∠ADE+∠EDO＝∠ADC＝90°，∴∠OED＝180°﹣（∠EOD+∠EDO）＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥ED，∵OE为半径，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，在Rt△DCB中，∠C＝90°，∴BD＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，在Rt△ADE中，∠A＝90°，∴ED＝，设⊙O的半径为R，在Rt△DOE中，DO2＝DE2+OE2，，解得：R＝，即⊙O的半径是．（2）第二种方法：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，在Rt△DCB中，∠C＝90°，∴BD＝，∵AB＝CD＝8，AE＝4.5，∴BE＝8﹣4.5＝3.5，作OG⊥BE于G，则BG＝EG＝BE＝，∵OG∥AD，∴，即，∴OB＝，即⊙O的半径是．6．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，又∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠B，∴∠BAC+∠AOP＝90°，∵∠P＝∠BAC，∴∠P+∠AOP＝90°，∴∠PAO＝90°，∴PA⊥OA，又∵OA是的⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线；（2）解：由（1）得：∠PAO＝∠ACB＝90°，又∵∠P＝∠BAC，OP＝BA，∴△OAP≌△BCA（AAS），∴BC＝OA＝AB＝5，∴AC＝＝＝57．解：（1）∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°．∵BD∥AC，∴∠BEO＝∠ACO＝90°，∴DE＝EB＝BD＝＝2（cm）∵∠D＝30°，∴∠O ＝2∠D ＝60°，在Rt △BEO 中，sin60°＝，＝．∴OB ＝5，即⊙O 的半径长为5cm ．（2）由（1）可知，∠O ＝60°，∠BEO ＝90°，∴∠EBO ＝∠D ＝30°．在△CDE 与△OBE 中，．∴△CDE ≌△OBE （AAS ）．∴S 阴影＝S 扇OBC ＝π•42＝（cm 2），答：阴影部分的面积为cm 2．8．（1）证明：连接OD 、BD ，如图所示：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∵点E 为BC 的中点，∴BE ＝DE ，∴∠BDE ＝∠EBD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵∠OAD +∠OBD ＝90°，∠EBD +∠OBD ＝90°，∴∠OAD ＝∠EBD ，∴∠ODA ＝∠BDE ，∴∠ODE ＝∠BDE +∠ODB ＝∠ODA +∠ODB ＝90°，∴DE ⊥OD ，∵点D 在⊙O 上，∴DE 是圆⊙O 的切线；（2）解：由（1）知：∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∴DE＝BC，∵⊙O的半径为1，∴AB＝2，∵∠BAC＝60°，∴tan60°＝，∴BC＝AB•tan60°＝2×＝2，∴DE＝BC＝×2＝，故答案为：．9．（1）证明：如图1，连接AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵ADCG在⊙O上，∴∠CGF＝∠ADC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）解：如图2，连接BG，AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DE＝CE，∵DG平分∠AGC，∴∠AGD＝∠CGD，∵∠FGC＝∠AGD，∴∠AGD＝∠CGD＝∠FGC，∵∠AGD+∠CGD+∠FGC＝180°，∴∠CGF＝∠AGD＝60°，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∴△ADC是等边三角形，∵AB⊥CD，∴∠CAE＝∠DAE＝30°，∵∠ADG＝45°，∴∠CDG＝∠CAG＝60°﹣45°＝15°，∴∠EAF＝30°+15°＝45°，Rt△AEF中，AE＝EF，∵AF＝，∴AE＝EF＝，Rt△ADE中，∠DAE＝30°，∴DE＝1，∴DC＝2DE＝2．10．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠CEB+∠CBE＝90°，∵∠ABC＝∠EFD，∠EFD＝∠FDB+∠FBD，∴∠EBC＝∠FDB，∵∠CEB＝∠CDF，∴∠CDF+∠FDB＝90°，即∠CDB＝90°，∴CD⊥AB，∴AB与⊙O相切；（2）解：∵∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠ABC＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴CD2＝AD•BD＝2×3＝6，∴CD＝，∴⊙O的直径为，故答案为：．（3）解：∵CD为⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，∴∠DCF+∠CDF＝90°，又∵∠CDB＝90°，∴∠FDB+∠CDF＝90°，∴∠FDB＝∠DCF，∵∠EBC＝∠FDB，∴∠EBC＝∠DCF，∴△PCF∽△PBC，∴＝，∵PC＝2PF，∴＝＝∴PB＝2PC＝4PF，又PB＝PF+BF，∴4PF＝PF+BF，∴PF＝BF＝a，∵PC＝2PF．∴PC＝a．11．（1）证明：连接OC，CE，∵AC平分∠EAB，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，又∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：连接OC，CE，∵AC平分∠EAB，∴＝，∴BC＝CE＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2＝82+62＝100，∴AB＝10，即⊙O的直径为10．12．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DBA＝∠CAD；（2）解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB＝8，∴OB＝OC＝4，∵的长度为2π，设∠BOC＝n°，∴＝2π，∴n＝90，∴∠BOC＝90°，∴∠BAC＝45°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝ABC＝22.5°，∴∠AEB＝∠CBD+∠ACB＝112.5°．13．解：（1）如图1所示，设AC交⊙O于点M．连接DM、DN．∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，∴CD＝AD＝BD．∵CD是⊙O的直径，∴∠DMC＝∠DNC＝90°又∵∠ACB＝90°，∴四边形OMDN是矩形．∴CM＝DN．∵∠DMC＝90°，∴DM⊥AC．又∵CD＝AD，∴．∴DN＝5．∵⊙O的半径为，∴BD＝CD＝13．在Rt△BDN中，由勾股定理得．（2）如图2所示，连接ON、DN．由（1）知CD＝BD，∠CND＝90°．∴BN＝CN．又∵OC＝OD，∴ON∥BD．又∵NE⊥DB，∴NE⊥ON．∴NE与⊙O相切．。

{word试卷}2021年中考数学专题复习：圆(含答案)

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：2021年中考数学专题复习：圆一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，圆锥的底面半径r ＝6，高h ＝8，则圆锥的侧面积是( )A ．15πB ．30πC ．45πD ．60π2. (2019•广元)如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．5B ．4C ．13D ．4.83. 如图，在△MBC 中，∠MBC ＝90°，∠C ＝60°，MB ＝2 3，点A 在MB上，以AB 为直径作⊙O 与MC 相切于点D ，则CD 的长为( )A. 2B. 3C ．2D ．34.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC 与∠BOC互补，则弦BC的长为( )A. 33B. 43C. 53D. 635. 如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是()A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝23，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是( )A. 23－23πB. 43－23πC. 23－43πD.23π7. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm.若不计容器壁厚度，则球的半径为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．7 cmD ．8 cm8. 2019·宁波如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形BAF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为( )A ．3.5 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm9. 如图，C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在AB︵上的点D 处，且BD ︵l ∶AD ︵l ＝1∶3(BD ︵l 表示BD︵的长)．若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为( )A ．1∶3B ．1∶πC ．1∶4D ．2∶910. 2017·衢州运用图变化的方法研究下列问题：如图AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB ＝10，CD ＝6，EF ＝8，则图阴影部分的面积是( )图A.252πB ．10πC ．24＋4πD ．24＋5π二、填空题（本大题共7道小题）11. 如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C 为圆心的圆与y 轴相切．点A ，B 在x 轴上，且OA ＝OB.P 为⊙C 上的动点，∠APB ＝90°，则AB 长的最大值为________．12. 2019·随州如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，点C 在AMB ︵上．若∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为________．13. (2019•海南)如图，O 与正五边形ABCDE 的边AB 、DE 分别相切于点B 、D ，则劣弧BD 所对的圆心角BOD 的大小为__________度．14. 如图，AB ，CD是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是⊙O的直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA ＋PC 的最小值为________．15. 如图，⊙M 的圆心为M (－2，2)，半径为2，直线AB 过点A (0，－2)，B (2，0)，则⊙M 关于y 轴对称的⊙M ′与直线AB 的位置关系是________．16. 如图，已知A ，B ，C 为⊙O 上的三个点，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，点P 从点A 出发，沿AMB ︵向点B 运动，连接CP 与弦AB 相交于点D ，当△ACD 为直角三角形时，AMP ︵的长为________．17. 如图，AB ，AC 分别为⊙O 的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC 恰好是⊙O 内接正n 边形的一边，则n 等于________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 为BD ︵的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF. (1)求证：△BFG ≌△CDG ； (2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．19.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝60°，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 的延长线上一点，且AP＝AC.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若PD＝5，求⊙O的直径．20. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.求证：直线DM是⊙O的切线．21. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC.已知OA＝OB，CA＝CB.(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)求证：∠CDF＝∠EDC；(3)若DE ＝10，DF ＝8，求CD 的长．2021年中考数学专题复习：圆-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D[解析] 圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形，其中r ＝6，h＝8，所以母线长为10，所以圆锥的侧面积＝πrl ＝π×6×10＝60π.故选D.2. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴6BC ===， ∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，在Rt CBD △中，BD ==C ．3. 【答案】C[解析] 在Rt △BCM 中，∠MBC ＝90°，∠C ＝60°，∴∠BMC ＝30°，∴BC ＝12MC ，即MC ＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB ＝2 3，∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC ＝2.∵AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥BC ，∴BC 为⊙O的切线．又∵CD也为⊙O的切线，∴CD＝BC＝2.4. 【答案】B 【解析】如解图，延长CO交⊙O于点A′，连接A′B.设∠BAC＝α，则∠BOC＝2∠BAC＝2α，∵∠BAC＋∠BOC＝180°，∴α＋2α＝180°，∴α＝60°.∴∠BA′C＝∠BAC ＝60°，∵CA′为直径，∴∠A′BC＝90°，则在Rt△A′BC中，BC＝A′C·sin∠BA′C＝2×4×32＝43.5. 【答案】B6. 【答案】A【解析】设BC＝x，∵D为AB的中点，∴AB＝2BC＝2x,∴在Rt△ABC中，由勾股定理有(2x)2－x2＝(23)2，解得x＝2，又∵sin A＝BC AB＝12，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BCD＝12×2×23－60×π×22360＝23－23π.7. 【答案】A[解析] 作出该球轴截面的示意图如图所示．依题意，得BE＝2 cm，AE＝CE＝4 cm.设OE＝x cm，则OA＝(2＋x)cm.∵OA2＝AE2＋OE2，∴(2＋x)2＝42＋x2，解得x＝3，故该球的半径为5 cm.8. 【答案】B9. 【答案】D10. 【答案】A [解析] 如图作直径CG ，连接OD ，OE ，OF ，DG .∵CG 是⊙O 的直径，∴∠CDG ＝90°，则DG ＝CG2－CD2＝8.又∵EF ＝8，∴DG ＝EF ，∴DG ︵＝EF ︵，∴S 扇形ODG ＝S 扇形OEF .∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD ＝S △ACD ，S △OEF ＝S △AEF ，∴S 阴影＝S 扇形OCD ＋S 扇形OEF ＝S 扇形OCD ＋S 扇形ODG ＝S 半圆＝12π×52＝252π.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】1612. 【答案】40°13. 【答案】144【解析】五边形ABCDE 是正五边形，∴(52)1801085E A -⨯︒∠=∠==︒．∵AB 、DE 与O 相切，∴90OBA ODE ∠=∠=︒，∴(52)1809010810890144BOD ∠=-⨯----=︒︒︒︒︒︒，故答案为：144．14. 【答案】7 2 [解析] 如图，连接OB ，OC ，BC ，则BC 的长即为P A ＋PC 的最小值．过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则四边形EFCH 为矩形，∴CH ＝EF ，EH ＝CF .根据垂径定理，得BE ＝12AB ＝4，CF ＝12CD ＝3，∴OE ＝OB2－BE2＝52－42＝3，OF ＝OC2－CF2＝52－32＝4， ∴CH ＝EF ＝OE ＋OF ＝3＋4＝7，BH ＝BE ＋EH ＝BE ＋CF ＝4＋3＝7.在Rt △BCH 中，由勾股定理，得BC ＝7 2，则P A ＋PC 的最小值为7 2.15. 【答案】相交 [解析] ∵⊙M 的圆心为M (－2，2)，则⊙M 关于y 轴对称的⊙M ′的圆心为M ′(2，2)．因为M ′B ＝2>点M ′到直线AB 的距离，所以直线AB 与⊙M ′相交．16. 【答案】43π或2π [解析] 易得⊙O 的半径为2，∠A ＝30°.要使△ACD 为直角三角形，分两种情况：①当点P 位于AMB ︵的中点时，∠ADC ＝90°，△ACD 为直角三角形，此时∠ACP ＝60°，可得∠AOP ＝120°，所以AMP ︵的长为120π×2180＝43π；②当∠ACP ＝90°时，△ACD 为直角三角形，此时∠AOP ＝180°，所以AMP ︵的长为180π×2180＝2π.综上可得，AMP ︵的长为43π或2π.17. 【答案】12 [解析] 连接OA ，OB ，OC ，如图．∵AB ，AC 分别为⊙O 的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOB ＝90°，∠AOC ＝120°，∴∠BOC ＝∠AOC －∠AOB ＝30°，∴n ＝360°30°＝12，即BC 恰好是⊙O 内接正十二边形的一边．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)证明：∵C 为BD ︵的中点，∴CD ︵＝BC ︵.∵AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ，∴BC ︵＝BF ︵，∴CD ︵＝BF ︵，∴CD ＝BF.在△BFG 和△CDG 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠CDG ，∠FGB ＝∠DGC ，BF ＝CD ，∴△BFG ≌△CDG(AAS)．(2)解法一：如图①，连接OF.设⊙O 的半径为r.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.在Rt △ADB 中，BD2＝AB2－AD2，即BD2＝(2r)2－22.在Rt △OEF 中，OF2＝OE2＋EF2，即EF2＝r2－(r －2)2.由(1)知CD ︵＝BC ︵＝BF ︵，∴BD ︵＝CF ︵，∴BD ＝CF ，∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2，即(2r)2－22＝4[r2－(r －2)2]，解得r ＝1(不合题意，舍去)或r ＝3，∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12，∴BF ＝2 3.解法二：如图②，连接OC ，交BD 于点H.∵C 是BD ︵的中点，∴OC ⊥BD ，∴DH ＝BH.∵OA ＝OB ，∴OH ＝12AD ＝1.∵∠COE ＝∠BOH ，∠OEC ＝∠OHB ＝90°，OC ＝OB ， ∴△COE ≌△BOH(AAS)，∴OE ＝OH ＝1，∴OC ＝OB ＝OE ＋BE ＝3.∵CF ⊥AB ，∴CE ＝EF ＝OC2－OE2＝32－12＝2 2，∴BF ＝BE2＋EF2＝22＋（2 2）2＝2 3.19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OA .∵∠B ＝60°，∴∠AOC ＝2∠B ＝120°.又∵OA ＝OC ，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.又∵AP＝AC，∴∠P＝∠OCA＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥P A.又∵OA是⊙O的半径，∴P A是⊙O的切线．(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD＋PD.又∵OA＝OD，∴PD＝OD＝OA.∵PD＝5，∴2OA＝2PD＝2 5，∴⊙O的直径为2 5.20. 【答案】证明：如图，作直径DG，连接BG.∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠G＝∠BAD，∠BDM＝∠DAC，∴∠BDM＝∠G.∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°，∴∠BDM＋∠BDG＝90°，即∠MDG＝90°.又∵OD是⊙O的半径，∴直线DM是⊙O的切线．21. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB.又∵点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC.∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDF＝∠EDC.(3)如图，过点O作ON⊥DF于点N，延长DF交AB于点M.∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4.在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴ON＝OD2－DN2＝3.由(2)知OC∥DF，∴∠OCM＋∠CMN＝180°.由(1)知∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°＝∠OCM＝∠MNO，∴四边形OCMN是矩形，∴CM＝ON＝3，MN＝OC＝5.在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN＋MN＝9，∴CD＝DM2＋CM2＝92＋32＝310.。

专题11 圆（第03期）2021年的中考数学试题分项版解析汇编（原卷版）.doc

专题11 圆（第03期）-2021年的中考数学试题分项版解析汇编（原卷版）.doc1、一、选择题1．〔2021四川省南充市〕如图，在Rt△ABC中，AC=5cm，BC=12cm，∠ACB=90°，把Rt△ABC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为〔〕[来源:学科网]A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm22．〔2021四川省广安市〕如图，AB是⊙O 的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB=，BD=5，则OH的长度为〔〕A．B．C．D．3．〔2021四川省眉山市〕如图，在△ABC 中，∠A=2、66°，点I是内心，则∠BIC的大小为〔〕A．114°B．122°C．123°D．132°4．〔2021四川省绵阳市〕“赶陀螺”是一项深受人们宠爱的运动，如下图是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=3cm，则这个陀螺的外表积是〔〕[来源:Z+xx+]A．68πcm2B．74πcm2C．84πcm2 D．100πc m25．〔2021四川省达州市〕以半径为2的圆的内接正三角形、3、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是〔〕A．B．C．D．6．〔2021山东省枣庄市〕如图，在网格〔每个小正方形的边长均为1〕中选取9个格点〔格线的交点称为格点〕，假如以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为〔〕A．B．C．D．7．〔2021山东省济宁市〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将R t△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是〔4、〕A．B．C．D．8．〔2021广东省〕如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为〔〕A．130°B．100°C．65°D．50°9．〔2021广西四市〕如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧的长等于〔〕A．B．C．D．二、填空题10．〔2021四川省眉山市〕如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=cm．11．〔2021四川省达5、州市〕如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O 与AD相切于点P．若AB=6，BC=，则以下结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=CE；④．其中正确结论的序号是．12．〔2021山东省枣庄市〕如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则的长为．13．〔2021山东省济宁市〕如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个6、正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．[来源:学科网]14．〔2021四川省南充市〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．〔1〕求证：DE是⊙O的切线；〔2〕若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．15．〔2021四川省广安市〕如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E 在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．〔1〕求证：直线AE是⊙O的切线．〔2〕若7、∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=，CF=，求BF的长．16．〔2021四川省绵阳市〕如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD 于点N．〔1〕求证：CA=CN；〔2〕连接DF，若cos∠DFA=，AN=，求圆O的直径的长度．17．〔2021四川省达州市〕如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．〔1〕求证：PQ是⊙O的切线；〔2〕求证：BD28、=AC•BQ；[来源:]〔3〕若AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，且tan∠PCD=，求⊙O的半径．18．〔2021山东省枣庄市〕如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．〔1〕试推断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕若BD=，BF=2，求阴影部分的面积〔结果保存π〕．19．〔2021山东省济宁市〕如图，已知⊙O的直径AB=12，弦AC=10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于9、点E．〔1〕求证：DE是⊙O的切线；〔2〕求AE的长．20．〔2021广东省〕如图，AB是⊙O的直径，AB=，点E为线段OB上一点〔不与O，B重合〕，作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC 于点F，连接CB．〔1〕求证：CB是∠ECP的平分线；〔2〕求证：CF=CE；〔3〕当时，求劣弧的长度〔结果保存π〕21．〔2021江苏省盐城市〕如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．〔1〕如图①，当圆形纸片与两直角边10、AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；〔不写作法与证明，保存作图痕迹〕〔2〕如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．22．〔2021江苏省连云港市〕如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A〔﹣2，0〕的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D．C．〔1〕若OB=4，求直线AB的函数关系式；〔2〕连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．23．〔2021河北省〕如图，AB=16，O为A11、B中点，点C在线段OB上〔不与点O，B重合〕，将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．〔1〕求证：AP=BQ；〔2〕当BQ=时，求的长〔结果保存π〕；〔3〕若△APO 的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．24．〔2021河北省〕平面内，如图，在ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=．点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．〔1〕当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；〔2〕当tan∠AtanA=3：2时，12、求点Q与点B间的距离〔结果保存根号〕；〔3〕若点Q恰好落在ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积〔结果保存〕．25．〔2021浙江省丽水市〕如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．〔1〕求证：∠A=∠ADE；〔2〕若AD=16，DE=10，求BC 的长．26．〔2021浙江省台州市〕如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点〔不与B，C重合〕，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．〔1〕求证：△APE 是等腰直角三角形；〔2〕若⊙O的直径为2，求的值13、．[来源:学科网]27．〔2021湖北省襄阳市〕如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．〔1〕求证：EF是⊙O的切线；〔2〕若DE=1，BC=2，求劣弧的长l．。

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专题十一圆
一、单选题
1.（2019·高新模拟）如图，O为圆心，是直径，是半圆上的点，是上的点.若，则的大小为（）
A. B. C. D.
2.（2020·南通模拟）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，BD为直径，若∠A＝65°，则∠DBC的值是（）
A. 65°
B. 25°
C. 35°
D. 15°
3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )
A. B. 2 C. 6 D. 8
4.（2020九上·奉化期末）如图，在菱形ABCD中，已知AB=4，∠B=60°，以AC为直径的⊙O与菱形ABCD 相交，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
5.（2019九上·温州月考）如图，△ABC内接于⊙O中，AB=AC，=60°，则∠B=( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
6.（2020九上·中山期末）如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC=55°，则∠BAD等于（）
A. 50°
B. 55°
C. 65°
D. 70°
7.（2020九上·海曙期末）平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为(-4，-5)，半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是（）
A. 相交
B. 相离
C. 相切
D. 以上都不是
8.（2019九上·驻马店期末）如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（）
A. 3π
B.
C. 6π
D. 24π
9.（2020九上·北仑期末）下列四个结论，不正确的是（）
①过三点可以作一个圆；②圆内接四边形对角相等
③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等
A. ②③
B. ①③④
C. ①②④
D. ①②③④
10.（2020九上·诸暨期末）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接.若，则的度数为（）
A. 106°
B. 116°
C. 126°
D. 136°
11.（2019九上·武汉月考）如图，O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）
A. B. C. D.
12.如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D. 若⊙O的半径为
，AB=8，则BC的长是（）
A. B. C. D.
13.（2019九上·如皋期末）如图，▱ABCD中，，，，是边AB上的两点，半径为2的过点A，半径为1的过点、E、F分别是边CD，和上的动点则的最小值等于
A. B. 6 C. D. 9
14.（2019·武汉模拟）点G为△ABC的重心（△ABC三条中线的交点），以点G为圆心作⊙G与边AB，AC相切，与边BC相交于点H，K，若AB＝4，BC＝6，则HK的长为（）
A. B. C. D.
15.（2019·武汉模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD，CD分别与⊙O切于点E，F，点M、N
分别在线段DE，DF上，且MN与⊙O相切，若△MBN的面积为8，则⊙O的半径为（）
A. B. 2 C. D. 2
16.（2020·长兴模拟）如图，AB为☉O的直径，P为弦BC上的点，∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交☉O 于点D，过点D作DE∥AB交AB的延长线于点E.若点C恰好是的中点，BE=6，则PC的长是（）
A. -8
B. -3
C. 2
D. 12-
17.（2019九上·宜兴月考）在平面直角坐标系中，直线经过点A（－3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），与轴相切于点O，若将⊙P沿轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
18.（2019·海州模拟）如图，菱形ABCD的边AB=5，面积为20，∠BAD＜90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO=2，则⊙O的半径长等于（）
A. B. C. D.
19.（2019·高台模拟）如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为6cm，AB＝6 cm，则阴影部分的面积为（）
A. B. C. D.
20.（2019九下·深圳月考）如图，△ABC内接于圆O，∠BOC=120°，AD为圆O的直径．AD交BC于P 点且PB=1，PC=2，则AC的长为( )
A. B. C. 3 D. 2
二、填空题
21.（2019·嘉定模拟）如图，的半径长为5cm，内接于，圆心O在的内部，如果，cm，那么的面积为________cm
22.（2019九上·黄石期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°.求∠P的度数________.
23.（2020九上·东台期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为
________．
24.（2019·台江模拟）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是________．。