(优辅资源)陕西省榆林市第二中学高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

2018年全国高考3+3分科综合卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数2i1iz =+，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合{}lg 1M x x =<，{}46N x x =-<<，则集合M N I 等于（ ） A ．{}46x x -<< B ．{}06x x << C ．{}410x x -<< D ．{}01x x <<3．某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，则该抽样方法为①：从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，则该抽样方法为②，那么①和②分别为（ ） A ．①系统抽样，②分层抽样 B ．①分层抽样，②系统抽样 C ．①系统抽样，②简单随机抽样 D ．①分层抽样，②简单随机抽样4．如图，已知平行四边形ABCD 中，2BC =，45BAD ∠=︒，E 为线段BC 的中点，BF CD ⊥，则AE BF ⋅=uu u r uu u r（ ）A ．．2 C D ．15．圆22420x y x y a ++-+=截直线30x y +-=所得弦长为2，则实数a 等于（ ） A ．2 B ．2- C ．4 D ．4-6．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且0x ≥时，()f x x =，则函数()1y f x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2018D ．20178．已知3log 5a =，3log 0.6b =， 1.20.2c =，则（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．a b c <<9．若函数()cos f x x x ωω=+的图象向右平移3π个单位后的图象关于直线4x π=对称，则实数ω的值可以是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．910．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，A 是双曲线的左顶点，2,p a P y c ⎛⎫- ⎪⎝⎭在双曲线的一条渐近线上，M 为线段1F P 的中点，且1F P AM ⊥，则该双曲线C 的渐近线为（ ）A ．y =B ．2y x =±C ．y =D ．y = 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ） A ．223 B ．203 C ．163D ．812．若函数()()2e ln 2e xxf x x a x =+-+存在正的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A．(-∞ B ．(),e -∞ C．)+∞ D ．e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．()()611x x +-展开式中，3x 的系数为 ．14．已知实数,x y 满足20,40,440,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则当53x y -取得最小值时，2735x y +=- ．15．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为 ．16．锐角ABC ∆的面积为2，且1cos cos BC A AC B+=，若()22AB BC AC m -->恒成立，则实数m 的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}n a 的首项与公差相同，且420S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式以及前n 项和为n S 的表达式； （Ⅱ）若11nn nb a S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．如图，在矩形ABCD 中，2CD =，1BC =，,E F 是平面ABCD 同一侧面点，EA FC ∥，AE AB ⊥，2EA =，DE =1FC =.（Ⅰ）证明：平面CDF ⊥平面ADE ； （Ⅱ）求二面角E BD F --的正弦值.19．某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：mm ）进行测量，得出这批钢管的直径X 服从正态分布()65,4.84N .（Ⅰ）如果钢管的直径X 满足60.6mm 69.4mm :为合格品，求该批钢管为合格品的概率（精确到0.01）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，现要从40根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y 的分布列和数学期望.（参考数据：若()2,X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=；()220.9544P X μσμσ-<≤+=；()330.9974P X μσμσ-<≤+=）20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F22:20x y Dx Ω+--=过椭圆C 的三个顶点.过点2F 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）证明：在x 轴上存在定点A ，使得2AP AP PQ +⋅uu u r uu u r uu u r为定值；并求出该定点的坐标.21．函数()()2ln af x ax x a x=--∈R . （Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在2x =处的切线方程； （Ⅱ）若22ee 1a >+，且,m n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为3,1x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线1:sin cos l θθρ-=交曲线C 于,M N 两点，求MN .23．选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x =-++.（Ⅰ）若存在x 使不等式()0a f x -≥成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若()40a f x a+-≥对任意正数a 恒成立，求x 的取值范围.2018年全国高考3+3分科综合卷（一）数学（理科）参考答案一、选择题1-5:ABCDD 6-10:BDACA 11、12：BB二、填空题13．5- 14．94 15．323π 16．8 三、解答题17．解：（Ⅰ）依题意，11,4620,a d a d =⎧⎨+=⎩解得12a d ==；∴()2212n a n n =+-=.()21222n n n S n n n -=+⨯=+. （Ⅱ）依题意，111221nn n n b S n n =+=+-+， 故()1212222n n n T b b b =+++=+++L L 1111112231n n ⎛⎫+-+-++- ⎪+⎝⎭L 11211n n +=--+. 18．解：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是矩形，∴CD AD ⊥. ∵AE AB ⊥，CD AB ∥，故CD AE ⊥. 又∵AD AE A =I ，∴CD ⊥平面ADE . 又∵CD ⊂平面CDF ，∴平面CDF ⊥平面ADE .（Ⅱ）∵1BC =，2EA =，DE =222DE AD AE =+，∴AE AD ⊥，又∵AE AB ⊥，AB AD A =I ，∴AE ⊥平面ABCD . 故以D 为坐标原点，过D 作与底面垂直的直线作为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,2,1F ，()1,0,2E .设平面BDF 的一个法向量(),,m x y z =u r ，()1,2,0DB =uu u r ，()0,2,1DF =uuu r，则00m DB m DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu u r u r uuu r，即2020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令2x =，得()2,1,2m =-u r . 同理可求得平面BDE 的一个法向量()2,1,1n =--r，∴cos ,6m n m n m n ⋅===u r ru r r u r r，所以二面角E BD F --的正弦值为6. 19．解：（Ⅰ）由题意可知钢管直径满足22X μσμσ-<≤+为合格品，所以该批钢管为合格品的概率约为0.95.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，40根钢管中合格品为38根，次品为2根，任意挑选3根， 则次品数Y 的可能取值为0,1,2，()3383401110130C P Y C ===，()21382340371260C C P Y C ===，()1238234012260C C P Y C ===. 次品数Y 的分布列为数学期望()111371301213026026020E Y =⨯+⨯+⨯=. 20．解：（Ⅰ）依题意，不妨设圆Ω过椭圆C 的上、下、右三个顶点，令0x =，解得y =b =，又c e a ==，解得椭圆C 的标准方程为22162x y +=. （Ⅱ）证明：联立()221,622,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩故()222213121260k x k x k +-+-=， 2AP AP PQ AP +⋅=⋅uu u r uu u r uu u r uu u r ()AP PQ AP AQ +=⋅uuu r uu u r uu u r uuu r设()11,P x y ，()22,Q x y ，则21221213k x x k +=+，212212613k x x k-=+， 假设(),0A m ，故()()1122,,AP AQ x m y x m y ⋅=-⋅-uu u r uuu r()()()()22221212124k x x k m x x k m =+-++++()()222231210613m m k m k-++-=+.要使其为定值，则()223121036m m m -+=-，解得73m =. 故定点A 的坐标为7,03⎛⎫⎪⎝⎭. 21．解：()22a f x a x x'=+-. （Ⅰ）若2a =则()222322222f '=+-=，()2412ln 232ln 2f =--=-，则曲线()f x 在2x =处的切线方程为()()332ln 222y x --=-，化简得324ln 20x y --=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()222ax x a f x x -+'=，令()0f x '=，得220ax x a -+=，则0∆>且22e e 1a <+，得22e1e 1a <<+.此时设()0f x '=的两根为()1212,x x x x <，所以()1m f x =，()2n f x =， 因为121x x =，所以121x x <<，由22e 1e 1a <<+，且21120ax x a -+=得111ex <<. 所以1112ln aS m n ax x x =-=--22122ln a ax x ax x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭111112ln 2ln a a x ax x x x ⎛⎫----+ ⎪⎝⎭11122ln aax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 由21120ax x a -+=得12121x a x =+，代入上式得，2112114ln 1x S x x ⎛⎫-=-=⎪+⎝⎭221121114ln 12x x x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. 令21x t =，所以211e t <<，()11ln 12x g x x x -=-+，则()4S g t =， ()()()221021x g x x x --'=<+，所以()g x 在211e x ≤≤上为减函数， 从而()()211e g g t g ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()220e 1g t <<+，所以280e 1S <<+. 22．解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为31x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）∴曲线C 的普通方程为()()223110x y -+-= 曲线C 表示以()3,1. 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得：6cos 2sin ρθθ=+即曲线C 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+. （Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为1y x -=；∴圆心C到直线的距离为2d =∴弦长为=23．解：（Ⅰ）()12f x x x =-++()123x x ≥--+=（当且仅当21x -≤≤时“=”成立）.若存在x 使不等式()0a f x -≥成立，则()min a f x ≥. 故3a ≥，所以3a ≥或3a ≤-，即(][),33,a ∈-∞-+∞U .（Ⅱ）由已知4120a x x a +---+≥，即412a x x a+≥--+对于任意正数a 恒成立，也就是min412x x a a ⎛⎫--+≤+⎪⎝⎭，又44a a +≥=（当且仅当2a =时“=”成立）， 所以124x x --+≤.即2522142x x x ≤-⎧⇒-≤≤-⎨--≤⎩或212134x x -<<⎧⇒-<<⎨≤⎩或1312142x x x ≥⎧⇒≤≤⎨+≤⎩.综上所述，53,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.。