图形的几何变换

注：只有前一个矩阵的列数等于后一矩阵的行数时才能相乘；
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矩阵运算
4）零矩阵的运算：矩阵中所有的元素均为零；
1 5）单位矩阵：主对角线各元素等于1,其余皆为0的矩阵。 I n阶单位矩阵通常记作：I n ，对于任意矩阵 Amn 1 Amn I n Amn
3）矢量长度： V1 (V1 V1 )1/ 2 - 单位矢量 V1 V2 cos - 矢量的夹角： V1 V2
4）矢量的叉积： i
V1 V2 0 V1 V2 V1 V1 0 V1 0
( x1 x1 y1 y1 z1 z1 )1/ 2
矢量运算 矩阵运算 齐次坐标
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矩阵运算
由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称m×n矩阵。其中，aij称为 矩阵A的第i行第j列元素; a11 a12 a1n 设一m行，n列矩阵A：
坐标变换：坐标系变换，对象不动－》汽车不动、场景动；
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数学投影：
投影问题:二维媒体表示三维对象或场景时遇到的困难和限制； 为什么要数学投影？
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勿庸置疑，三维的真实世界和它的计算机图形表示有根本区别；
主要内容：
图形变换的数学基础
窗口视图变换
图形的几何变换 形体的投影变换 三维线段裁剪
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图形变换的数学基础
矢量运算 矩阵运算 齐次坐标 其它数学基础
艺术家、工程师、设计师、绘图员、建筑师等等已经试着解决投影问题； 计算机图形系统的开发研究人员同样也面临这个挑战；
两种基本的投影：透视投影和平行投影
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分别用于解决基本的、彼此独立的图形表示问题： 透视投影：表示真实看到的物体；
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平行投影：表示真实大小和形状的物体；
三维观察和剪裁
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正方阵:m = n M = 1:行向量 N = 1:列向量 两个矩阵相等：行数、列数均相等，且对应元素也相等；
a21 a22 a2 n A am1 am 2 amn
1）矩阵加法：设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵;
a11 b11 a12 b12 a b a22 b22 21 21 A B am1 bm1 am 2 bm 2
j y1 y2
k z1 ( y1 z2 y2 z1 , z1 x2 z2 x1 , x1 y2 x2 y1 ) z2
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V1 V2 x1 x2
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图形变换的数学基础
第七章
图 形 变 换 （一）
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图形变换：
模拟操作空间对象：计算机图形系统的基本功能之一； 图形变换的作用：
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完成上述模拟过程；
图像合成处理等其他领域；
图形变换的两种表示：
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几何变换：坐标系不变，对象变换－》汽车动、场景不动；
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矢量运算
V1 ( x1 , y1 , z1 ), V2 ( x2 , y2 , z2 ) 矢量： 1）矢量和： V1 V2 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ) 2）矢量的点积： V1 V2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 - 性质： V1 V2 V2 V1
Amn 0mn Amn
6）逆矩阵：若矩阵A存在 A A1 A1 A I ，则称A-1为A的逆矩阵； 设A为一个n阶矩阵，如有n阶矩阵B存在，且： A B B A I 则说明A是一个非奇异矩阵，B是A的逆。如果上式不存在，则A是 一个奇异矩阵。 由于A、B处于对称地位，因此当A非奇异时，B也非奇异，而且A也 是B的逆，即A，B互为逆；如：
ka11 ka12 ka ka22 21 KA kam1 kam 2
3)矩阵的乘法运算：设 则：
ka1n ka2 n kamn
A (aij )32 , B (bij ) 23
b11 b12 a11 a12 a13 C A B b b 21 22 a a a 23 21 22 b31 b32 a11b11 a12b21 a13b31 a11b12 a12b22 a13b32 a b a b a b a b a b a b 21 11 22 21 23 31 21 11 22 21 23 31
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a1n b1n a2 n b2 n amn bmn
8 / Baidu Nhomakorabea5
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矩阵运算
2）数乘矩阵：用数k乘矩阵A的每个元素而得到的矩阵；记为：kA或Ak;