二次函数复习重点以及根的分布问题(完整资料).doc

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初三数学培优卷：二次函数考点分析
★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． ★★二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0） 一般式：y=ax 2+bx+c ，三个点
顶点式：y=a （x －h ）2+k ，顶点坐标对称轴
顶点坐标（－2b
a
，
244ac b a -）．
顶点坐标（h ，k ） ★★★a b c 作用分析
│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2b
a
<0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b•异号
时，对称轴x=－
2b
a
>0，即对称轴在y 轴右侧，
c•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y•轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． 交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2
2
1x x h +=
一元二次方程02
=++c bx ax 根的分布情况
设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为
()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图
象（0>a ）
得出的结论 ()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f
大致图
象（0<a ）
得出的结论 ()00200
b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f
综合结论（不讨论a ） ()0
0200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()0
0200
b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a
表二：（两根与k 的大小比较）
分布情况
两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即
k x k x >>21,
一个根小于k ，一个大
于k 即
21x k x <<
大致图
象（0>a ）
得出的结论 ()020
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
20
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f
大致图
象（0<a ）
得出的结论 ()0
20
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
20
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f
综
合结论
（不讨论） ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()0
20
b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a
k
k
k
表三：（根在区间上的分布） 分布情况
两根都在()n m ,内
两根有且仅有一根在()n m ,内 （图象有两种情况，只画了一种）
一根在()n m ,内，另一根
在()q p ,内，q p n m <<< 大致图
象（0>a ）
得出的结论
()()0002f m f n b m n
a ∆>⎧⎪
>⎪⎪
>⎨⎪⎪<-<⎪⎩
()()0<⋅n f m f
()()()()0
00f m f n f p f q ⎧>⎪
<⎪⎨
<⎪⎪>⎩或()()()()0
0f m f n f p f q <⎧⎪⎨
<⎪⎩
大致图
象（0<a ）
得
出的结论
()()0002f m f n b m n
a ∆>⎧⎪
<⎪⎪
<⎨⎪⎪<-<⎪⎩
()()0<⋅n f m f
()()()()0
00f m f n f p f q ⎧<⎪
>⎪⎨
>⎪⎪<⎩或()()()()0
f m f n f p f q <⎧⎪⎨
<⎪⎩ 综合结论（不讨论a ） ——————
()()0<⋅n f m f
()()()()⎪⎩⎪
⎨
⎧<<0
0q f p f n f m f n m ,，
即在区间两侧
12
,
x m x n
<>，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0
a>时，
()
()
f m
f n
<
⎧⎪
⎨
<
⎪⎩
；（2）0
a<时，
()
()
f m
f n
>
⎧⎪
⎨
>
⎪⎩
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：
（1）两根有且仅有一根在()n
m,内有以下特殊情况：
1︒若()0
f m=或()0
f n=，则此时()()0
f m f n<不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n
m,内，从而可以求出参数的值。

如方程()
2220
mx m x
-++=在区间()
1,3上有一根，因为()10
f=，所以()()()
22212
mx m x x mx
-++=--，另一根为2
m
，由2
13
m
<<得22
3
m
<<即为所求；
2︒方程有且只有一根，且这个根在区间()n
m,内，即0
∆=，此时由0
∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定
的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程24260
x mx m
-++=有且一根在区间()
3,0
-内，求m的取值范围。

分析：①由()()
300
f f
-<即()()
141530
m m
++<得出
15
3
14
m
-<<-；②由0
∆=即()
2
164260
m m
-+=得出1
m=-或3
2
m=，当1
m=-时，根()
23,0
x=-∈-，即1
m=-满足题意；当3
2
m=时，根()
33,0
x=∉-，故3
2
m=不满足题意；
综上分析，得出15
3
14
m
-<<-或1
m=-
例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

例3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

例4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

1.解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1
12
m -<<即为所求的范围。

2解：由
()()0102200m f ∆>⎧
⎪-+⎪->⎨
⎪>⎪⎩
⇒ ()2
18010
m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒ 3
30m m m ⎧<->+⎪
⎨>⎪⎩⇒ 03m <<-3m >+即为所求的范围。

3解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒
1
22
m -<<
即为所求的范围。

4解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ⇒ ()4310m +<
⇒ 1
3
m <-
即为所求范围。

（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0
∆=计算检验，均不复合题意，计算量稍大）。