2018年高考数学一轮复习 小题精练系列 专题05 线性规划(含解析)文

专题05 线性规划
1．若,x y 满足不等式组0
{2 22
x y x y x y -≤+≥--≥-，则34z x y =+的最小值是（ ）
A ． -7
B ． -6
C ． -11
D ． 14 【答案】A
【解析】先作可行域，则直线34z x y =+过点P(-1,-1)时z 取最小值-7，选A ．
2．设动点(),P x y 满足240250
{ 00
x y x y x y +≤+≤≥≥，则52z x y =+的最大值是( )
A ． 50
B ． 60
C ． 70
D ． 100 【答案】D
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABCO )．
由52z x y =+得y =−52x +
z 2，平移直线y =−52x +z 2
，
由图象可知当直线y =−52x +
z 2经过点C (20,0)时，直线y =−52x +z 2
的截距最大，此时z 最大． 代入目标函数52z x y =+得z =5×20=100． 即目标函数52z x y =+的最大值为100． 故选：D ．
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
3．已知函数()f x 的定义域为[
)2,-+∞，且()()421f f =-=， ()f x '为()f x 的导函
数，函数()y f x ='的图像如图所示，则平面区域()0
{
0 21
a b f a b ≥≥+<所围成的面积是（ ）
A ． 2
B ． 4
C ． 5
D ． 8 【答案】
B
∴0≤2a +b <4．由0{
0 024
a b a b ≥≥+<…，画出图象如图
∴阴影部分的面积1
2442
S =⨯⨯=． 故选C ．
4．若直线2y x =上存在点(),x y 满足约束条件30,
{230, ,
x y x y x m +-≤--≤≥则实数m 的最大值为
（ ）
（A ）1- （B ）1 （C ）3
2
（D ）2 【答案】B 【解析】如图，
点睛：直线2y x =上存在点(),x y 满足约束条件，即直线和可行域有公共区域．
5．若不等式组表示一个三角形内部的区域，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】
表示直线的右上方，若构成三角形，点A 在
的右上方即可．
又，所以
，即
．
故选C
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
6．设,x y 满足约束条件70
{310 350
x y x y x y +-≤-+≤--≥ ，则142y
x
z ⎛⎫
=⋅ ⎪⎝⎭
的最大值为( )
A ．1024
B ． 256
C ． 8
D ． 4 【答案】B
【解析】由21422y
x x y z -⎛⎫
=⋅= ⎪⎝⎭
，令u =2x −y ，
作出约束条件
70
{310
350
x y
x y
x y
+-≤
-+≤
--≥
,对应的平面区域如图(阴影部分
):
平移直线y=2x−u
点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．
7．若变量,x y满足约束条件
8
{24
x y
y x
x
y
+≤
-≤
≥
≥
，且5
z y x
=-的最大值为a，最小值为b，则
a b
-的值是（）
A．48 B．30 C．24 D．16【答案】C
【点睛】本题除了做约束条件的可行域再平移0l 求得正解这种常规解法之外，也可以采用构造法解题，这就要求考生要有较强的观察能力，或者采用设元求出构造所学的系数．
8．若0,0a b ≥≥，且当0
{0 1
x y x y ≥≥+≤时，恒有1ax by +≤，则以,a b 为坐标点(),P a b 所形
成的平面区域的面积等于（ ） A ．
12 B ． 1 C ． 4π D ． 2
π 【答案】B 【解析】
令z ax by =+，
1ax by +≤ 恒成立，即函数z ax by =+，
在可行域要求的条件下， 1max z ≤ 恒成立．
当直线0ax by z +-=过点10（，） 或点01（，） 时， 0101a b ≤≤≤≤，． 点P a b （，）
形成的图形是边长为1的正方形． ∴所求的面积2
11S ==． 故选B
9．直线l 过点()1,2A 且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围为（ ）
A ． []
0,2 B ． ()0,2 C ． 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 10,2
⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】A
【解析】∵直线l 过点12A （，） ，且不过第四象限， ∴作出图象，
当直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件，
由图可知，当直线过A 且平行于x 轴时，直线斜率取最小值0min k =； 当直线过1200A O （，），（，） 时，直线斜率取最大值2max k =． ∴直线l 的斜率的取值范围是[]
02，． 故选A
10．若不等式组20,
,02,x y y m x -+≥⎧⎪
≥⎨⎪≤≤⎩
表示的平面区域是一个三角形，则m 的取值范围是（ ）
A ．[2,4)
B ．[2,)+∞
C ．[2,4]
D ．(2,4]
【答案】
A
考点：简单线性规划．
【方法点睛】本题主要考查简单线性规划问题，属于基础题．处理此类问题时，首先应明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围等．本题考查方向为可行域的确定，通过对不等式中参数的可能取值而确认满足条件的可行域．
11．若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
0330
33y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．3-
D ．3
【答案】
D
考点：简单线性规划．
12．在平面直角坐标系中，已知点(2,1)A -和坐标满足11y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
的动点(,)M x y ，则目标
函数
z OA OM =∙的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】
试题分析：画出约束条件表示的可行域如图，可解得点()2,1A -，目标函数
2z OA OM x y =∙=-，化为2y x z =-，平移直线2y x z =-经过点()2,1A -时，z 有
最大值2215⨯+=，故选B ．
x
考点：1、可行域的画法最优解的求法；2、平面向量的数量积公式．
【方法点晴】本题主要考查可行域的画法最优解的求法、平面向量的数量积公式，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．。