(2019高考题2019模拟题)2020高考数学基础巩固练(五)课件理
2020高考数学讲练试题基础巩固练五文含2019高考+模拟题
（刷题1+1）2020高考数学讲练试题 基础巩固练（五）文（含2019高考+模拟题）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·大同一中二模)已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x 2－x －2＜0}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |x ＞－1}答案 D解析 由题意得，B ＝{x |－1＜x ＜2}，∴A ∪B ＝{x |x ＞－1}．故选D.2．(2019·杭州二中一模)在复平面内，复数z ＝－2＋i i 3(i 为虚数单位)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 复数z ＝－2＋ii 3＝－1－2i ，则z 在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．故选C.3．(2019·绍兴一中三模)一个几何体的三视图如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，则这个几何体的体积为( )A ．32 B.643 C.323 D ．8答案 B解析 几何体的直观图如图所示，棱锥的顶点，在底面上的射影是底面一边的中点，易知这个几何体的体积为13×4×4×4＝643.故选B.4．(2019·长春市二模)设直线y ＝2x 的倾斜角为α，则cos2α的值为( ) A ．－55B ．－255C ．－35D ．－45答案 C解析 由题意可知tan α＝2，则cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35，故选C.5．(2019·洛阳一高三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x答案 B解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，所以可得p 2＝12，得p ＝1，所以抛物线的标准方程为y 2＝2x .故选B.6．(2019·濮阳二模)如图所示，等边△ABC 的边长为2，AM ∥BC ，且AM ＝6.若N 为线段CM 的中点，则AN →·BM →＝( )A ．18B ．22C ．23D ．24 答案 C解析 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1，3)．因为△ABC 为等边三角形，且AM ∥BC ，所以∠MAB ＝120°，所以M (－3,33)，因为N 是CM 的中点，所以N (－1,23)，所以AN →＝(－1，23)，BM →＝(－5,33)，所以AN →·BM →＝23.故选C.7．(2019·全国卷Ⅲ) 执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出ε的值等于( )εA ．2－124B ．2－125C ．2－126D ．2－127答案 C解析 ε＝0.01，x ＝1，s ＝0，s ＝0＋1＝1，x ＝12，x <ε不成立； s ＝1＋12，x ＝14，x <ε不成立；s ＝1＋12＋14，x ＝18，x <ε不成立； s ＝1＋12＋14＋18，x ＝116，x <ε不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116，x ＝132，x <ε不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132，x ＝164，x <ε不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132＋164，x ＝1128，x <ε成立， 此时输出s ＝2－126.故选C.8．(2019·南充高中一模)已知函数f (x )＝m 3x －1－52的图象关于(0,2)对称，则f (x )>11的解集为( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．(－1,0)∪(1，＋∞)答案 A解析 依题意，得f (－1)＋f (1)＝m 13－1－52＋m 3－1－52＝4，解得m ＝－9.所以f (x )>11即－93x －1－52>11，解得－1<x <0.故选A. 9．(2019·湖南师大附中三模)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则f ′(x )的图象可能为( )答案 C解析 若f (x )为偶函数，则f ′(x )为奇函数，故排除B ，D.又f (x )在(0,1)上存在极大值，则f ′(x )在(0,1)上应先大于0，再小于0，故选C.10．(2019·温州中学一模)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝4，O 为底面ABCD 两条对角线的交点，A 1O 与平面CDD 1C 1所成的角为30°，则该长方体的表面积为( )A ．1211＋16B ．811C ．1211D ．122＋16答案 A解析 因为平面CDD 1C 1∥平面ABB 1A 1，所以A 1O 与平面CDD 1C 1所成的角等于A 1O 与平面ABB 1A 1所成的角，均为30°.如图，过底面ABCD 的对角线交点O 作OE ⊥AB 交AB 于点E ，则OE ＝12BC ，又因为OE ⊂平面ABCD ，平面ABB 1A 1∩平面ABCD ＝AB ，所以OE ⊥平面ABB 1A 1.连接A 1E ，则∠OA 1E ＝30°.在Rt △A 1EO 中，OE ＝2，∠OA 1E ＝30°，所以A 1E ＝2 3.在Rt △A 1AE 中，AE ＝1，所以A 1A ＝11，故长方体的表面积为1211＋16.故选A.11．(2019·扬州中学二模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝1－－xx，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．3x ＋y －4＝0B ．3x ＋y ＋4＝0C ．3x －y －2＝0D ．3x －y －4＝0 答案 A解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，当x ＜0时，f (x )＝1－－xx，不妨设x ＞0，则－x ＜0，故f (x )＝－f (－x )＝－1－2ln x－x，∴当x＞0时，f (x )＝1－2ln xx ，f ′(x )＝－2x ·x －－2ln xx2＝2ln x －3x2，故f (1)＝1，f ′(1)＝－3，故切线方程是y －1＝－3(x －1)，整理得3x ＋y －4＝0，即曲线y ＝f (x )在点(1，f(1))处的切线方程为3x ＋y －4＝0.故选A.12．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 A解析 令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，∴ca ＝2，即离心率e ＝ 2.故选A.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·烟台二中一模)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案内随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是________．答案916解析 由图可知黑色部分由9个小三角形组成，该图案一共由16个小三角形组成，这些小三角形都是全等的，设“向该图案内随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A ，由几何概型的概率计算公式可得P (A )＝9S 小三角形16S 小三角形＝916.14．(2019·贵州联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3x ＋2y ≤7，4x －y ≤2，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．答案 4解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3x ＋2y ≤7，4x －y ≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝7，4x －y ＝2解得A (1,2)，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，截距取得最大值，即z 取得最大．此时x ＝1，y ＝2，z ＝2x ＋y 有最大值2×1＋2＝4.15．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．答案 －4解析 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令t＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴f (x )＝－2t 2－3t ＋1.又函数f (x )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t ＝1时，f (x )有最小值－4.16．(2019·云南省曲靖市质量监测)已知f (x )＝1－|lg x |，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数为________．答案 3解析 根据题意，函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1，令y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0，解得f (x )＝1或12，若f (x )＝1，即1－|lg x |＝1，即lg x ＝0，解得x ＝1，若f (x )＝12，即1－|lg x |＝12，即lg x ＝±12，解得x ＝10或1010，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1有3个零点．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·济南二模)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 在线段AC 上，且AE ＝2EC ，BE ＝433.(1)求AC 的长；(2)若∠ADC ＝60°，AD ＝3，求∠ACD 的大小．解 (1)设AC ＝3z ，在△ABE 中，由余弦定理可得cos ∠BEA ＝163＋z2－42×433×2z .在△CBE 中，由余弦定理可得cos ∠BEC ＝163＋z 2－92×433×z.由于∠BEA ＋∠BEC ＝180°， 所以cos ∠BEA ＝－cos ∠BEC . 所以163＋z2－42×433×2z ＝－163＋z 2－92×433×z.整理并解得z ＝1(负值舍去)．所以AC ＝3.(2)在△ADC 中，由正弦定理可得ACsin ∠ADC ＝AD sin ∠ACD ，所以332＝3sin ∠ACD，所以sin∠ACD ＝12.因为AD ＜AC ，所以∠ACD ＜60°，所以∠ACD ＝30°.18．(本小题满分12分)(2019·株洲一模)经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品．为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分布在区间[200,500]内(单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,450)的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽取2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：A ．所有黄桃均以20元/千克收购；B ．低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购．请你通过计算为该村选择收益最好的方案．(参考数据：225×0.05＋275×0.16＋325×0.24＋375×0.3＋425×0.2＋475×0.05＝354.5)解 (1)由题得，黄桃质量在[350,400)和[400,450)的比例为3∶2， ∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的黄桃中各抽取3个和2个．记抽取质量在[350,400)的黄桃为A 1，A 2，A 3，质量在[400,450)的黄桃为B 1，B 2， 则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，A 1B 1，A 2B 1，A 3B 1，A 1B 2，A 2B 2，A 3B 2，B 1B 2，其中质量至少有一个不小于400克的有7种情况，故所求概率为710. (2)方案B 好，理由如下：由频率分布直方图可知，黄桃质量在[200,250)的频率为50×0.001＝0.05.同理，黄桃质量在[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500]的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若按方案B 收购：∵黄桃质量低于350克的个数为(0.05＋0.16＋0.24)×100000＝45000个， 黄桃质量不低于350克的个数为55000个， ∴收益为45000×5＋55000×9＝720000元． 若按方案A 收购：根据题意，各段黄桃个数依次为5000,16000,24000,30000,20000,5000，于是总收益为(225×5000＋275×16000＋325×24000＋375×30000＋425×20000＋475×5000)×20÷1000＝709000(元)．∴方案B 的收益比方案A 的收益高，应该选择方案B .19．(本小题满分12分)(2019·韶关一模)如图，在几何体ABCDEF 中，DE ＝2，DE ∥BF ，DE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8.(1)求证：AC ⊥EF ；(2)求点B 到平面ADE 的距离．解 (1)证明：∵DE ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴DE ⊥AC .在菱形ABCD 中，BD ⊥AC ， 又∵DE ∩BD ＝D ， ∴AC ⊥平面BDEF .又∵EF ⊂平面BDEF ，∴AC ⊥EF .(2)设点B 到平面ADE 的距离为d ，连接BE .在菱形ABCD 中，设AC ∩BD ＝O .AC ⊥BD ，AB ＝5，AC ＝8.∴BD ＝2OB ＝2AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22 ＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝6.∵DE ⊥底面ABCD ，∴V E －ABD ＝13S △ABD ×DE ＝13×12×BD ×AO ×DE ＝13×12×6×4×2＝8.∵DE ⊥底面ABCD ，AD ⊂底面ABCD ，∴DE ⊥AD .∴V B －ADE ＝13×S △ADE ×d ＝13×12×AD ×DE ×d ＝16×5×2d ＝53d .∵V E －ABD ＝V B －ADE ，即d ＝245.所以，点B 到平面ADE 的距离为245.20．(本小题满分12分)(2019·四川绵阳二诊)已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点．O 为坐标原点．(1)若直线l 过点F 1，且|AB |＝823，求k 的值；(2)若以AB 为直径的圆过原点O ，试探究点O 到直线AB 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由椭圆C ：x 28＋y 24＝1，得a 2＝8，b 2＝4，则c ＝a 2－b 2＝2.因为直线l 过点F 1(－2,0)，所以m ＝2k ，即直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 28＋y24＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－8＝0.∴x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－81＋2k 2.由弦长公式|AB |＝＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝823，代入整理得1＋k 21＋2k 2＝23，解得k 2＝1.∴k ＝±1.(2)设直线l 方程y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y24＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.∴x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1.以AB 为直径的圆过原点O ，即OA →·OB →＝0.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.将y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m 代入，整理得 (1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 将x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1代入，整理得3m 2＝8k 2＋8.设点O 到直线AB 的距离为d ， 于是d 2＝m 2k 2＋1＝83， 故点O 到直线AB 的距离是定值，该定值为d ＝263.21．(本小题满分12分)(2019·江西联考)已知函数f (x )＝3x －1x＋b ln x .(1)当b ＝－4时，求函数f (x )的极小值；(2)若∃x ∈[1，e]，使得4x －1x －f (x )＜－1＋bx成立，求b 的取值范围．解 (1)当b ＝－4时，f ′(x )＝－4x ＋1x2＋3＝x －x －x2.令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值为f (1)＝2.(2)由∃x ∈[1，e]，使得4x －1x －f (x )＜－1＋b x ⇒4x －1x －f (x )＋1＋b x ＜0⇒4x －1x－3x ＋1x －b ln x ＋1＋b x ＜0，即x －b ln x ＋1＋b x＜0.设h (x )＝x －b ln x ＋1＋b x ，则只需要函数h (x )＝x －b ln x ＋1＋bx在[1，e]上的最小值小于零．又h ′(x )＝1－b x －1＋b x 2＝x 2－bx －＋b x2＝x ＋[x －＋b ]x2，令h ′(x )＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝1＋b .①当1＋b ≥e，即b ≥e－1时，h (x )在[1，e]上单调递减，故h (x )在[1，e]上的最小值为h (e)，由h (e)＝e ＋1＋b e －b ＜0，可得b ＞e 2＋1e －1.因为e 2＋1e －1＞e －1，所以b ＞e 2＋1e －1.②当1＋b ≤1，即b ≤0时，h (x )在[1，e]上单调递增，故h (x )在[1，e]上的最小值为h (1)，由h (1)＝1＋1＋b ＜0，可得b ＜－2(满足b ≤0)． ③当1＜1＋b ＜e ，即0＜b ＜e －1时，h (x )在(1,1＋b )上单调递减，在(1＋b ，e)上单调递增，故h (x )在[1，e]上的最小值为h (1＋b )＝2＋b －b ln (1＋b )．因为0＜ln (1＋b )＜1，所以0＜b ln (1＋b )＜b ，所以2＋b －b ln (1＋b )＞2，即h (1＋b )＞2，不满足题意，舍去． 综上可得，b ＜－2或b ＞e 2＋1e －1，所以实数b 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·宝鸡二模)点P 是曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90°得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝π2(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，设定点M (2,0)，求△MAB 的面积．解 (1)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.设Q (ρ，θ)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝4sin θ. 所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)把θ＝π2代入C 1得ρ1＝0，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，把θ＝π2代入C 2得ρ2＝4，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2. ∴△MAB 是直角三角形，直角边长为4,2，S △MAB ＝12×4×2＝4.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·宝鸡二模)设函数f (x )＝x 2－x －1. (1)解不等式：|f (x )|＜1；(2)若|x －a |＜1，求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)． 解 (1)由|f (x )|＜1得－1＜f (x )＜1，即－1＜x 2－x －1＜1，所以原不等式的解集为(－1,0)∪(1,2)．(2)证明：因为|x－a|＜1，所以|f (x)－f (a)|＝|x2－a2＋a－x|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a||x＋a－1|<|x＋a －1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1＜|2a|＋2＝2(|a|＋1)．。
(高考题 模拟题)高考数学 基础巩固练(二)理(含解析)-人教版高三全册数学试题
基础巩固练(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·高考)已知复数z＝2＋i，则z·z＝( )A. 3B. 5 C．3 D．5答案 D解析解法一：∵z＝2＋i，∴z＝2－i，∴z·z＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.解法二：∵z＝2＋i，∴z·z＝|z|2＝5.故选D.2．(2019·某某高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0，1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B＝( )A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}答案 A解析∵U＝{－1,0,1,2,3}，A＝{0,1,2}，∴∁U A＝{－1，3}．又∵B＝{－1,0,1}，∴(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.3．(2019·某某二模)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 B解析由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．4．(2019·某某呼和浩特市高三3月第一次质量普查)在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为 ( )A ．9B ．27C ．54D ．81 答案 B解析 根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若2a 2为3a 1和a 3的等差中项，则有2×2a 2＝3a 1＋a 3，变形可得4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3；又a 2－a 1＝2，即a 1(q －1)＝2，则q ＝3，a 1＝1，则a n ＝3n －1，则有a 4＝33＝27.故选B.5．(2019·某某市适应性试卷)函数f (x )＝(x 3－x )ln |x |的图象是( )答案 C解析 因为函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝－(x 3－x )ln |x |＝－f (x )，∴函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，函数的定义域为{x |x ≠0}，由f (x )＝0，得(x 3－x )ln |x |＝0，即(x 2－1)ln |x |＝0，即x ＝±1，即函数f (x )有两个零点，排除D ，f (2)＝6ln 2>0，排除A.故选C.6．(2019·某某省内江二模)如果执行下面的程序框图，输出的S ＝110，则判断框处为( )A ．k <10?B ．k ≥11? C．k ≤10? D．k >11? 答案 C解析 由程序框图可知，该程序是计算S ＝2＋4＋…＋2k ＝k (2＋2k )2＝k (k ＋1)，由S ＝k (k ＋1)＝110，得k ＝10，则当k ＝10时，k ＝k ＋1＝10＋1＝11不满足条件，所以条件为“k ≤10？”．故选C.7．(2019·某某二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )A.2π－332(π－3)B.32(π－3)C.32(π＋3)D.2π－332(π＋3)答案 B解析 如题图，设BC ＝2，以B 为圆心的扇形的面积为π×226＝2π3，又∵△ABC 的面积为12×32×2×2＝3，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为2π3×3－23＝2π－23，故在勒洛三角形中随机取一点，此点取自等边三角形的概率为32π－23＝32(π－3)，故选B.8．(2019·某某一模)已知M (－4,0)，N (0,4)，点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，则MP →·NP →的最小值为( )A.25B.425 C ．－19625 D ．－ 5 答案 C解析 由点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，3x －4y ＋12≥0，作出可行域如图中阴影部分，则MP →·NP →＝(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为点A (－2,2)到直线3x －4y ＋12＝0的距离的平方再减8，由d ＝|3×(－2)－4×2＋12|5＝25，可得(x ＋2)2＋(y －2)2－8的最小值为－19625.故选C.9．(2019·某某一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，则b ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D. 5 答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理得asin A＝bsin B，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∴a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝cos B cos π6－sin B sin π6＝32cos B －12sin B ，∴tan B ＝33，又B ∈(0，π)，∴B ＝π6.∵在△ABC 中，a ＝3，c ＝23，由余弦定理得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋12－2×3×23×32＝ 3.故选C. 10．(2019·某某某某高三3月模拟)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( )A.23B.34C.43D.32 答案 A解析 ∵0≤x ≤π，∴－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，而f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，发现f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，∴π2≤ωπ－π6≤7π6，整理得23≤ω≤43.则ω的最小值为23.故选A.11．(2019·某某模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线右支上一点，线段AF 1交左支于点B ，若AF 2⊥BF 2，且|BF 1|＝13|AF 2|，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.655C.355D ．3 答案 B解析 因|BF 1|＝13|AF 2|，设|AF 2|＝3t ，则|BF 1|＝t ，t >0，由双曲线的定义可得|BF 2|＝|BF 1|＋2a ＝t ＋2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋2a ＝3t ＋2a ， 则|AB |＝|AF 1|－|BF 1|＝2t ＋2a ，由AF 2⊥BF 2，可得(2a ＋2t )2＝(3t )2＋(t ＋2a )2，解得t ＝23a ，则在直角三角形ABF 2中，cos A ＝3t 2t ＋2a ＝2a 103a ＝35，在△AF 1F 2中，可得cos A ＝(3t )2＋(3t ＋2a )2－(2c )22·3t ·(3t ＋2a )＝4a 2＋16a 2－4c 216a 2＝35，化为c 2＝135a 2，则e ＝c a＝135＝655.故选B. 12．(2019·高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③ 答案 C解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，D (1,1)，E (－1,0)，F (－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y 22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE 面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·某某一模)已知(a －x )(2＋x )5的展开式中x 3的系数为40，则实数a 的值为________．答案 3解析 ∵(a －x )(2＋x )5＝(a －x )(32＋80x ＋80x 2＋40x 3＋10x 4＋x 5)的展开式中x 3的系数为40a －80＝40，∴a ＝3.14．(2019·揭阳一模)在曲线f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的所有切线中，斜率为1的切线方程为________．答案 x －y －1＝0解析 由f (x )＝sin x －cos x ，得f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，∴x ＋π4＝π4，即x ＝0.∴切点为(0，－1)，切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0.15．(2019·某某一模)在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AC ＝2，且AD ⊥CD ，该四面体外接球的表面积为________．答案 2π解析 如图，∵AB ＝BC ＝1，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AD ⊥CD ，∴AC 的中点即为外接球的球心，外接球的半径为22，∴S 球＝4π×12＝2π.16．(2019·某某省十所名校高三尖子生第二次联考)若函数y ＝f (x )的图象存在经过原点的对称轴，则称y ＝f (x )为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有________．(填写所有正确结论的序号)①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ；③y ＝ln (e3x＋1)．答案 ①②解析 对于①，y ＝e x(x ≤0)的反函数为y ＝ln x (0<x ≤1)，所以函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x(x ≤0)，ln x (0<x ≤1)关于直线y ＝x 对称，故①是“旋转对称函数”．对于②，令y ＝f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ，则f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1－x 1＋x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 1＋x 1－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ＝f (x )，所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x 是偶函数，它的图象关于y 轴对称，故②是“旋转对称函数”．对于③，y ＝ln (e 3x＋1)>ln e 3x＝3x ，当x →＋∞时，y →3x ，则函数y ＝ln(e3x＋1)的图象只可能关于直线y ＝3x 对称，又y ＝ln (e3x＋1)>ln 1＝0，当x →－∞时，y →0，这与函数y ＝ln (e 3x＋1)的图象关于直线y ＝3x 对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·某某某某高三第二次统考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n－a n －1＝2n －1(n ∈N *，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝14a n －1，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解 (1)当n ≥2时，由于a n －a n －1＝2n －1，a 1＝1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2， 又a 1＝1满足上式，故a n ＝n 2(n ∈N *)． (2)b n ＝14a n －1＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 18．(本小题满分12分)(2019·某某质量检测)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面ABB 1A 1为菱形，A 1C ＝BC .(1)求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)若∠ABB 1＝60°，∠CBA ＝∠CBB 1，AC ⊥B 1C ，求二面角B －AC －A 1的余弦值． 解 (1)证明：因为侧面ABB 1A 1为菱形， 所以A 1B ⊥AB 1，记A 1B ∩AB 1＝O ，连接CO ， 因为A 1C ＝BC ，BO ＝A 1O ， 所以A 1B ⊥CO ，又AB 1∩CO ＝O ， 所以A 1B ⊥平面AB 1C .(2)解法一：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ，所以△CBA ≌△CBB 1，所以AC ＝B 1C . 又O 是AB 1的中点，所以CO ⊥AB 1， 又A 1B ⊥CO ，A 1B ∩AB 1＝O ， 所以CO ⊥平面ABB 1A 1.令BB 1＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，AC ⊥B 1C ，O 为AB 1的中点， 所以CO ＝1.如图，以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴，OB 1所在的直线为y 轴，OC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系．则O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,0,1)，A 1(－3，0,0)， 所以AB →＝(3，1,0)，AC →＝(0,1,1)，AA 1→＝(－3，1,0)，A 1C →＝(3，0,1)． 设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1，则n 1＝(1，－3，3)，同理可得平面A 1AC 的一个法向量为n 2＝(1，3，－3)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－57，由图知二面角B －AC －A 1为钝角， 所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.解法二：因为∠CBA ＝∠CBB 1，AB ＝BB 1，BC ＝BC ， 所以△CBA ≌△CBB 1， 所以AC ＝B 1C .设AB ＝2，因为∠ABB 1＝60°，侧面ABB 1A 1为菱形，所以AA 1＝AB 1＝2，OA ＝OB 1＝1，OB ＝OA 1＝ 3.又AC ⊥B 1C ，所以CO ＝1，AB ＝B 1C ＝2，又A 1C ＝BC ，O 为A 1B 的中点，所以BC ＝A 1C ＝2，所以△ABC 为等腰三角形，△A 1AC 为等腰三角形．如图，取AC 的中点M ，连接BM ，A 1M ，则∠BMA 1为二面角B －AC －A 1的平面角．在△BMA 1中，可得BM ＝A 1M ＝142，A 1B ＝23， 所以cos ∠BMA 1＝BM 2＋A 1M 2－A 1B 22BM ·A 1M ＝－57，所以二面角B －AC －A 1的余弦值为－57.19．(本小题满分12分)(2019·某某一模)已知F 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，交直线x ＝4于点M .证明：直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列．解 (1)因为点P (2，2)在C 上，且PF ⊥x 轴，所以c ＝2，设椭圆C 的左焦点为E ，连接EP ，则|EF |＝2c ＝4，|PF |＝2，在Rt △EFP 中，|PE |2＝|PF |2＋|EF |2＝18，所以|PE |＝3 2.所以2a ＝|PE |＋|PF |＝42，a ＝22， 又b 2＝a 2－c 2＝4，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)， 令x ＝4，得M 的坐标为(4,2k )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝k (x －2)得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8(k 2－1)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8(k 2－1)2k 2＋1. ①记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 从而k 1＝y 1－2x 1－2，k 2＝y 2－2x 2－2，k 3＝2k －24－2＝k －22. 因为直线l 的方程为y ＝k (x －2)，所以y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)， 所以k 1＋k 2＝y 1－2x 1－2＋y 2－2x 2－2＝y1x1－2＋y2x2－2－2⎝⎛⎭⎪⎫1x1－2＋1x2－2＝2k－2·x1＋x2－4x1x2－2(x1＋x2)＋4. ②①代入②，得k1＋k2＝2k－2·8k22k2＋1－48(k2－1)2k2＋1－16k22k2＋1＋4＝2k－2，又k3＝k－22，所以k1＋k2＝2k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．20．(本小题满分12分)(2019·某某一模)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：(ⅰ)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？(ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9973.解 (1)x ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40.(2)由题意，X ～N (17.40,6.92)．(ⅰ)∵P (x ＞μ－σ)＝12＋0.68272≈0.8414，∴μ－σ＝17.40－2.63＝14.77时，满足题意， 即最低年收入大约为14.77千元．(ⅱ)由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)＝0.5＋0.95452≈0.9773，得每个农民年收入不少于12.14千元的概率为0.9773，记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (1000，p )，其中p ＝0.9773.于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的概率是P (ξ＝k )＝C k1000p k(1－p )1000－k，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1001－k )×pk (1－p )＞1，得k ＜1001p ，而1001p ＝978.233，∴当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)＜P (ξ＝k )， 当979≤k ≤1000时，P (ξ＝k －1)＞P (ξ＝k )．由此可知，在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978. 21．(本小题满分12分)(2019·某某三模)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x＋a ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若x ＝2是f (x )的极值点，且曲线y ＝f (x )在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))(x 1<x 2<6)处切线平行，在y 轴上的截距分别为b 1，b 2，求b 1－b 2的取值X 围．解 (1)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x2，①当a ≤0时，f ′(x )<0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减；②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 时，f ′(x )<0，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增．(2)∵x ＝2是f (x )的极值点， ∴由(1)可知2a＝2，∴a ＝1.设在P (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋ln x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 21＋1x 1(x －x 1)，在Q (x 2，f (x 2))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋ln x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 22＋1x 2(x －x 2)，∵这两条切线互相平行， ∴－2x 21＋1x 1＝－2x 22＋1x 2，∴1x 1＋1x 2＝12. ∵1x 2＝12－1x 1，且0<x 1<x 2<6， ∴16<12－1x 1<1x 1，∴14<1x 1<13，∴x 1∈(3,4)． 令x ＝0，则b 1＝4x 1＋ln x 1－1，同理，b 2＝4x 2＋ln x 2－1.解法一：∵1x 2＝12－1x 1，∴b 1－b 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫2x 1－12－ln 1x 1＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫12－1x1.设g (x )＝8x －2－ln x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13，∴g ′(x )＝8－1x －112－x ＝16x 2－8x ＋12x 2－x ＝(4x －1)22x 2－x<0， ∴g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递减， ∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， 即b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法二：∵x 2＝2x 1x 1－2， ∴b 1－b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＋ln x 1－ln x 2＝8x 1－2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12－1. 令g (x )＝8x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－2，其中x ∈(3,4)，∴g ′(x )＝－8x 2＋1x －2＝x 2－8x ＋16x 2(x －2)＝(x －4)2x 2(x －2)>0，∴函数g (x )在区间(3,4)上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， ∴b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.解法三：∵x 1x 2＝2(x 1＋x 2)，∴b 1－b 2＝4x 1－4x 2＋ln x 1－ln x 2＝4(x 2－x 1)x 1x 2＋ln x 1x 2＝2(x 2－x 1)x 1＋x 2＋ln x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1x 21＋x 1x 2＋ln x 1x 2.设g (x )＝2(1－x )1＋x ＋ln x ，则g ′(x )＝－4(1＋x )2＋1x ＝(1－x )2x (1＋x )2.∵x 1x 2＝x 12－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴g ′(x )>0， ∴函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，∴g (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0， ∴b 1－b 2的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－ln 2，0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] (2019·某某模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．(1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； (2)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．解 (1)将曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θsin 2θ化为ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，得到曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故曲线C 是顶点为O (0,0)，焦点为F (1,0)的抛物线．(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π)．若直线l 经过点(1,0)，则α＝3π4，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 3π4＝－22t ，y ＝1＋t sin 3π4＝1＋22t (t 为参数)．将其代入y 2＝4x ，得t 2＋62t ＋2＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－62，t 1t 2＝2.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－62)2－4×2＝8.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·某某模拟)已知函数f (x )＝ |x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R . (1)某某数m 的取值X 围；(2)若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足23a ＋b ＋1a ＋2b ＝n 时，求7a ＋4b 的最小值．解 (1)∵函数的定义域为R ， ∴|x ＋1|＋|x －3|－m ≥0恒成立，设函数g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g (x )的最小值， 又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， 即函数g (x )的最小值为4，∴m ≤4. (2)由(1)知n ＝4，∴7a ＋4b ＝14(6a ＋2b ＋a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋b ＋1a ＋2b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2(3a ＋b )a ＋2b ＋2(a ＋2b )3a ＋b ≥ 14⎝⎛⎭⎪⎫5＋2×23a ＋b a ＋2b ·a ＋2b 3a ＋b ＝94， 当且仅当a ＋2b ＝3a ＋b ，即b ＝2a ＝310时取等号．∴7a ＋4b 的最小值为94.。
2020高考数学讲练试题基础巩固练六文含2019高考+模拟题
（刷题1+1）2020高考数学讲练试题基础巩固练（六）文（含2019高考+模拟题）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·新乡二模)已知集合A＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合B＝{x∈N|2≤x＜6}，则A∩B ＝( )A．{1,2,3,5,6,7} B．{2,3,4,5}C．{2,3,5} D．{2,3}答案 B解析集合B＝{x∈N|2≤x＜6}＝{2,3,4,5}，集合A＝{1,2,3,4,5,6,7}，则A∩B＝{2,3,4,5}．故选B.2．(2019·芜湖一中二模)复数＋＋i等于( )A．7＋i B．7－i C．7＋7i D．－7＋7i 答案 A解析＋＋i＝－1＋7ii＝－1＋i2＝7＋i，故选A.3．(2019·陕西联考)如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是( )A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最髙B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 答案 D解析 由图可知，选项A ，B ，C 都正确．对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京，所以错误．故选D.4．(2019·宝鸡中学二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f (x )＝sin x ；②f (x )＝cos x ；③f (x )＝1x；④f (x )＝x 2.则输出的函数是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x 2答案 A解析 此程序框图的功能是筛选既是奇函数、又存在零点的函数．故选A.5．(2019·拉萨中学模拟)如图所示，△ABC 中，BD →＝2DC →，点E 是线段AD 的中点，则AC →＝( )A.34AD →＋12BE →B.34AD →＋BE →C.54AD →＋12BE →D.54AD →＋BE → 答案 C解析 AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12BD →＝AD →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫BE →＋12AD →＝54AD →＋12BE →，故选C.6．(2019·北京西城二模)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等．如图所示是一种榫卯的三视图，则该空间几何体的表面积为( )A．192 B．186C．180 D．198答案 A解析由三视图还原几何体，可知该几何体为组合体，上部分为长方体，棱长分别为2,6,3，下部分为长方体，棱长分别为6,6,3，其表面积为S＝6×6×3＋2×6×6＋2×2×3＝192，故选A.7．(2019·潍坊一模)函数y＝4cos x－e|x|的图象可能是( )答案 D解析显然y＝4cos x－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，当x＞0时，y′＝－4sin x－e x ＝－(4sin x ＋e x )，显然当x ∈(0，π]时，y ′＜0，当x ∈(π，＋∞)时，e x ＞e π＞e 3＞4，而4sin x ≥－4，∴y ′＝－(4sin x ＋e x )＜0，∴y ′＝－(4sin x ＋e x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，∴y ＝4cos x －e |x |在(0，＋∞)上单调递减．故选D.8．(2019·全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x－1，则当x <0时，f(x )＝( )A ．e －x－1 B ．e －x＋1 C ．－e －x －1 D ．－e －x＋1答案 D解析 当x <0时，－x >0，∵当x ≥0时，f (x )＝e x －1，∴f (－x )＝e －x－1.又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－e －x＋1.故选D.9．(2019·宜宾市二诊)已知直线l 1：3x ＋y －6＝0与圆心为M (0,1)，半径为5的圆相交于A ，B 两点，另一直线l 2：2kx ＋2y －3k －3＝0与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为( )A ．5 2B ．10 2C ．5(2＋1)D ．5(2－1)答案 A解析 以M (0,1)为圆心，半径为5的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y －2＝5，解得A (2,0)，B (1,3)，∴AB 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.而直线l 2：2kx ＋2y －3k－3＝0恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，∴|AB |＝－2＋－2＝10.当CD 为圆的直径，且CD⊥AB 时，四边形ACBD 面积最大，∴四边形ACBD 面积的最大值为S ＝12×10×25＝5 2.故选A.10．(2019·安徽省皖江名校联盟第二次联考)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12答案 D解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则F (c,0)，B (0，b )，直线FB ：bx＋cy －bc ＝0与渐近线y ＝b a x 垂直，所以－b c ·b a＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，即e2－e －1＝0，所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．故选D.11．(2019·南康中学二模)在四面体SABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝3，SA ＝SC ＝32，平面SAC ⊥平面BAC ，则该四面体外接球的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．16πD ．24π答案 D解析 取AC 的中点D ，连接SD ，BD ，∵AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝3，∴△ABC 为等腰直角三角形，则BD ⊥AC ，AC ＝32，则△SAC 为等边三角形，∵D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC ，AD ＝DC ＝322，取△SAC 的外心O ，则O 在SD上，连接AO ，BO ，CO ，可知O 点即为四面体SABC 外接球的球心．则有AO ＝BO ＝CO ＝SO ＝23×32×32＝ 6.则外接球的表面积为4π×6＝24π.故选D.12．(2019·湖南省永州一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1，log 2x ，x ＞1，g (x )＝f (x )＋2x ＋a .若g (x )存在两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．(2,4]C ．[－4，＋∞)D ．[－4，－2)答案 D解析 由题意可得f (x )＝－2x －a 有两个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－2x －a 有两个交点，作出y ＝f (x )的图象和直线y ＝－2x －a ，如图所示．当直线经过点(1,0)时，可得－2－a ＝0，即a ＝－2；当直线经过点(1,2)时，可得－2－a ＝2，即a ＝－4；可得，当－4≤a ＜－2时，直线y ＝－2x －a 和函数f (x )的图象有两个交点，即g (x )存在两个零点，故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________．答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9.14．(2019·福州一模)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球体积为32π3，且AA 1＝BC ＝2，则直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成的角为________．答案π4解析 设长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球半径为R ，因为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球体积为43πR 3＝323π，所以R ＝2，即A 1C ＝AA 21＋BC 2＋AB 2＝2R ＝4，因为AA 1＝BC ＝2，所以AB ＝2 2.因为A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成的角为∠A 1CB 1，因为AA 1＝BC ＝2，所以B 1C ＝22＝A 1B 1， 所以在Rt △A 1CB 1中，∠A 1CB 1＝π4.15．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．答案 (3，15)解析 设F 1为椭圆的左焦点，分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．16．(2019·镇江一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A，则cos C 的最小值为________．答案 78解析 ∵4(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A ＝sin A ＋sin Bcos A cos B ，∴4⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A ＋sin B cos A cos B，则4(sin A cos B ＋cos A sin B )＝sin A ＋sin B ， 即4sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ， 又∵A ＋B ＝π－C ， ∴4sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得，4c ＝a ＋b .由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.∴cos C ＝15a 2＋15b 2－2ab 32ab ≥30ab －2ab 32ab ＝78，∴cos C 的最小值为78.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·山西晋城一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 3＝9，S 4＝a 1＋39.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若{a n }为递增数列，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 3a 2n ·log 3a 2n ＋2的前n 项和． 解 (1)依题意，a 2＋a 3＋a 4＝39， 即9q＋9＋9q ＝39，故3q 2－10q ＋3＝0，即(3q －1)(q －3)＝0， 解得q ＝3或q ＝13，又a n ＝a 3qn －3，故a n ＝3n －1或a n ＝35－n.(2)依题意，得a n ＝3n －1，则1log 3a 2n ·log 3a 2n ＋2＝1log 332n －1·log 332n ＋1＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 3a 2n ·log 3a 2n ＋2的前n 项和为T n ，则T n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 18．(本小题满分12分)(2019·攀枝花三模)某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量(单位：毫克)，质量值落在(175,225]的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．(1)根据乙流水线样本的频率分布直方图，求乙流水线样本质量的中位数(结果保留整数)；(2)从甲流水线样本中质量在(165,185]的产品中任取两件产品，求两件产品中恰有一件合格品的概率；(3)由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？，其中n＝a＋b＋c＋d.参考公式：K2＝a ＋b c＋d a＋c b＋d解(1)因为前三组的频率之和为10×(0.002＋0.009＋0.020)＝0.31＜0.5，前四组的频率之和为10×(0.002＋0.009＋0.020＋0.034)＝0.65＞0.5.所以中位数在第四组，设为x，由(x－195)×0.034＋0.31＝0.5，解得x≈201.(2)甲流水线样本中质量在(165,185]的产品共有5件，其中合格品有2件，设为A，B；不合格品3件，设为a ，b ，c ，从中任取2件的所有取法有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，恰有一件合格品的取法有(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，共6种，所以两件产品中恰有一件合格品的概率为P ＝610＝35.(3)由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为100×(1－0.04)＝96，所以，2×2列联表如下所示，所以K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝2100×100×188×12≈1.418＜2.072，故在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关．19．(本小题满分12分)(2019·广州二模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，∠APD ＝90°，且PA ＝PD ，AD ＝PB .(1)求证：AD ⊥PB ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．解 (1)证明：取AD 的中点O ，连接OP ，OB ，BD ， ∵底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°， ∴AD ＝AB ＝BD .∵O 为AD 的中点，∴BO ⊥AD .在△PAD 中，PA ＝PD ，O 为AD 的中点， ∴PO ⊥AD .∵BO ∩PO ＝O ，∴AD ⊥平面POB . ∵PB ⊂平面POB ，∴AD ⊥PB .(2)解法一：在Rt △PAD 中，AD ＝2，∴PO ＝1. ∵底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，在△PBO 中，PO ＝1，BO ＝3，PB ＝AD ＝2， ∵PO 2＋BO 2＝PB 2，∴PO ⊥BO .由(1)有PO ⊥AD ，且AD ∩BO ＝O ，AD ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD .在△PBC 中，由(1)证得AD ⊥PB ，且BC ∥AD ， ∴BC ⊥PB .∵PB ＝AD ＝BC ＝2，∴S △PBC ＝2.连接AC ，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin∠ABC ＝ 3.设点A 到平面PBC 的距离为h ， ∵V A －PBC ＝V P －ABC ， 即13S △PBC ·h ＝13S △ABC ·PO . ∴h ＝S △ABC ·PO S △PBC ＝3×12＝32. ∴点A 到平面PBC 的距离为32.解法二：∵AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ， ∴AD ∥平面PBC .∴点A 到平面PBC 的距离等于点O 到平面PBC 的距离． 过点O 作OH ⊥PB 于点H .由(1)证得AD ⊥平面POB ，且AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面POB .∵OH ⊂平面POB ，∴BC ⊥OH .∵PB ∩BC ＝B ，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴OH ⊥平面PBC .在Rt △PAD 中，AD ＝2，∴PO ＝1.∵底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，在△PBO 中，PO ＝1，BO ＝3，PB ＝AD ＝2， ∵PO 2＋BO 2＝PB 2，∴PO ⊥BO .在△PBO 中，根据等面积关系得PB ·OH ＝PO ·OB . ∴OH ＝PO ·OB PB ＝1×32＝32. ∴点A 到平面PBC 的距离为32. 20．(本小题满分12分)(2019·惠州三模)已知抛物线C ：x 2＝8y 与直线l ：y ＝kx ＋1交于A ，B 不同两点，分别过点A ，B 作抛物线C 的切线，所得的两条切线相交于点P .(1)求证：OA →·OB →为定值；(2)求△ABP 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解 (1)证明：设A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8y ，y ＝kx ＋1消y 得，x 2－8kx －8＝0，方程的两个根为x 1，x 2，∴Δ＝64k 2＋32＞0恒成立，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8， ∵A ，B 在抛物线C 上， ∴y 1＝x 218，y 2＝x 228，∴y 1y 2＝x 1x 2264＝1，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－8＋1＝－7为定值． (2)由x 2＝8y ，得y ＝18x 2，∴y ′＝14x ，∴k AP ＝14x 1，k BP ＝14x 2，∴直线AP 的方程为y －x 218＝14x 1(x －x 1)，即y ＝14x 1x －18x 21， ①同理直线BP 的方程为y ＝14x 2x －18x 22， ②由①②得2x (x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)， 而x 1≠x 2， 故有x ＝x 1＋x 22＝4k ，y ＝－1，即点P (4k ，－1)，∴|AB |＝1＋k2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k2·64k 2＋32＝42·＋k2k 2＋，点P (4k ，－1)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离d ＝|4k 2＋2|1＋k 2， ∴S △ABP ＝12|AB |·d ＝42(2k 2＋1)32，∵k 2≥0，∴当k 2＝0即k ＝0时，S △ABP 有最小值为42，此时直线方程l 为y ＝1.21．(本小题满分12分)(2019·深圳二模)已知函数f (x )＝a e x＋2x －1(其中常数e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：对任意的a ≥1，当x ＞0时，f (x )≥(x ＋a e)x . 解 (1)由f (x )＝a e x＋2x －1，得f ′(x )＝a e x＋2. ①当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在R 上单调递增；②当a ＜0时，由f ′(x )＞0，解得x ＜ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，由f ′(x )＜0，解得x ＞ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，＋∞上单调递减．综上所述，当a ≥0时，函数f (x )在R 上单调递增；当a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，＋∞上单调递减．(2)证明：当a ≥1，x >0时，f (x )≥(x ＋a e)x ⇔e xx －x a －1ax ＋2a－e≥0.令g (x )＝e xx －x a －1ax ＋2a －e ，则g ′(x )＝x －a e x －x －ax 2.当a ≥1时，a e x－x －1≥e x－x －1.令h (x )＝e x－x －1，则当x ＞0时，h ′(x )＝e x－1＞0.h (x )单调递增，h (x )＞h (0)＝0.∴当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0；当x ＝1时，g ′(x )＝0；当x ＞1时，g ′(x )＞0. ∴g (x )≥g (1)＝0. 即exx－x a －1ax ＋2a－e≥0，故f (x )≥(x ＋a e)x . (二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] (2019·大庆三模)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－3t ，y ＝3＋t(t 为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，射线l 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)． (1)求直线l 1的倾斜角及极坐标方程；(2)若射线l 2与l 1交于点M ，与圆C 交于点N (异于原点)，求|OM |·|ON |. 解 (1)直线l 1的普通方程为x ＋3y －4＝0. 设直线l 1的倾斜角为α，则tan α＝k ＝－33， ∵0≤α＜π，∴α＝5π6.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得，直线l 1的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ＝4.(2)把θ＝π6代入l 1的极坐标方程中，得|OM |＝ρ1＝43，把θ＝π6代入圆的极坐标方程中，得|ON |＝ρ2＝23，∴|OM |·|ON |＝ρ1ρ2＝8.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·广州三模)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1.设1a ＋ab的最小值为m .(1)求m 的值；(2)解不等式|x ＋1|－|x －3|＜m . 解 (1)1a ＋a b ＝a ＋b a ＋a b ＝1＋b a ＋ab.∵a >0，b >0，∴b a >0，ab>0，∴b a ＋a b ≥2b a ×ab＝2， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝a b，a ＋b ＝1，即a ＝b ＝12时取等号，∴b a ＋ab的最小值为2，∴m ＝3.(2)由(1)知|x ＋1|－|x －3|＜3.当x ≤－1时，原不等式化为－(x ＋1)＋(x －3)＜3，解得x ≤－1； 当－1＜x ≤3时，原不等式化为x ＋1＋x －3＜3，解得－1＜x ＜52；当x ＞3时，原不等式化为x ＋1－(x －3)＜3，无解．综上，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜52.。
2019-2020年高三4月巩固性训练 文科数学 含答案
2019-2020年高三4月巩固性训练 文科数学 含答案本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：1.锥体的体积公式： ，其中是锥体的底面积，是锥体的高;2. 统计中的公式：，其中，，，，.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 复数A. B. 1 C. D. 2. 设集合，则集合M ，N 的关系为 A. B. C. D.3. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 A.5 B.6 C.7 D.84. 已知圆上两点M 、N 关于直线2x +y =0对称，则圆的半径为 A ．9 B ．3 C ．2 D ．25. 一空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图为6. 设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z =x +2y 的最大值为A.1B.4C.5D.67. 在等比数列中，，，则A ．64B ．32C ．16D ．128 8. 为了解疾病A 是否与性别有关，在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患疾病A 不患疾病A 合计男 20 5 25 女101525第3题图第5题图合计 30 2050下面的临界值表供参考：0.05 0.010 0.005 0.0013.8416.6357.87910.828A. B. C. D. 9. 函数是A ．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 10. 设是空间两条直线，,是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是 A ．当时，“”是“”的必要不充分条件B ．当时，“”是“”的充分不必要条件C ．当时，“”是“∥”成立的充要条件D ．当时，“”是“”的充分不必要条件 11. 函数的图象大致为A. B. C. D.12. 已知函数，若函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13. 若向量，， ，则实数 .14. 已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，点为坐标原点，则此双曲线的离心率为 . 15. 在中，，，，则 .16. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17. (本小题满分12分)设函数()sin()sin()3cos 33f x x x x ππωωω=++-+ (其中＞0)，且函数f (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为.（1）求ω的值；（2）将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间的最大值和最小值.18. (本小题满分12分)为了宣传今年10月在济南市举行的“第十届中国艺术节”， “十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n 人，回答问题统计结果如下图表所示：（1）分别求出a ，x 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19. (本小题满分12分)如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面是菱形，，E 、F 分别是、AB的中点． 求证：（1）；（2）求三棱锥的体积.20. (本小题满分12分)已知数列的前项和为，且，数列满足，且.（1）求数列,的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 21．(本小题满分13分)已知函数的图象如右图所示． （1）求函数的解析式；（2）若在其定义域内为增函数，求实数的取值范围．22. (本小题满分13分)已知点F 1和F 2是椭圆M :的两个焦点，且椭圆M 经过点. （1）求椭圆M 的方程； （2）过点P (0,2)的直线l 和椭圆M 交于A 、B 两点，且,求直线l 的方程；（3）过点P (0,2)的直线和椭圆M 交于A 、B 两点，点A 关于y 轴的对称点C ，求证：直线CB 必过y 轴上的定点，并求出此定点坐标.第21题图 A B FCC 1 E A 1 B 1第19题图xx 年4月济南市高三巩固性训练文科数学参考答案1.D2.D3.C4.B5.A6.D7.A8. C9.B 10. A 11.B 12.C 13. 14.2 15. 1或 16.9 17.解：（1）=. ………………………………3分 ∵函数f (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为，∴. ………………………………5分∴. ………………………………6分 （2）由（1）得，∴. ………………………………8分 由x 可得， ……………………………10分 ∴当，即x =时，取得最大值;当，即x =时，取得最小值. …………12分 18. 解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为， 再结合频率分布直方图可知. ………………………………2分 ∴a =100×0.020×10×0.9=18， ………………………………4分 , ………………………………6分 （2）第2，3，4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人，第3组：人，第4组：人． ………………………………8分 设第2组的2人为、，第3组的3人为、、B 3，第4组的1人为，则从6人中抽2人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件， ………………………………10分 其中第2组至少有1人被抽中的有，，，，，，，，这9个基本事件．∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为. ………………………………12分 19. 证明：（1） 在平面内，作，O 为垂足． 因为，所以，即O 为AC 的中点，所以.……3分 因而．因为侧面⊥底面ABC ，交线为AC ，，所以底面ABC ．所以底面ABC . ……6分 （2）F 到平面的距离等于B 点到平面距离BO 的一半，而BO =. ……8分 所以111111113113133232324A EFC F A EC A EC V V S BO A E EC --=====. ……12分20.解：（1）当，； …………………………1分当时， ，∴ . ……………2分∴是等比数列，公比为2，首项， ∴. ………3分 由，得是等差数列，公差为2. ……………………4分又首项，∴ . ………………………………6分 （2） ……………………8分3212222[37(41)]n n T n -=+++-+++- ……………10分． ……………………………12分21.解：（1）∵， …………………………………………2分由图可知函数的图象过点，且.得 , 即. ………………………………………………4分 ∴. ………………………………………………5分 （2）∵, ………………………………6分∴ . …………………………………………8分∵ 函数的定义域为, …………………………………………9分 ∴若函数在其定义域内为单调增函数，则函数在上恒成立，即在区间上恒成立. ……………………………10分 即在区间上恒成立. 令，，则（当且仅当时取等号）. …………………12分∴ . …………………………………………………………………………13分 22.解：（1）由条件得：c =，设椭圆的方程，将代入得 ，解得，所以椭圆方程为. --------4分（2）斜率不存在时，不适合条件；----------------------5分 设直线l 的方程，点B (x 1,y 1), 点A (x 2,y 2), 代入椭圆M 的方程并整理得：.0)34(16)41(48)16(222>-=+-=∆k k k ，得.且. -------------------7分 因为,即，所以.代入上式得，解得，所以所求直线l 的方程：. --------------------9分 （3）设过点P (0,2)的直线AB 方程为：，点B (x 1,y 1), 点 A (x 2,y 2), C (-x 2,y 2). 将直线AB 方程代入椭圆M : ，并整理得： ，0)34(16)41(48)16(222>-=+-=∆k k k ，得.且.设直线CB 的方程为：， 令x =0得：2221212121122112222++=++=+--=x x x kx x x y x y x x x y x x y y y .----------11分将代入上式得：.所以直线CB必过y轴上的定点，且此定点坐标为. ---------12分当直线斜率不存在时，也满足过定点的条件。
2020高考数学(文)冲刺刷题首先练辑：第三部分 2020高考仿真模拟卷(五) Word版含解析
2020高考仿真模拟卷(五)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |(2x －1)(x －3)<0}，B ＝{x |(x －1)(x －4)≤0}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．[1,3)B ．(－∞，1)∪[3，＋∞)C ．[3,4]D ．(－∞，3)∪(4，＋∞) 答案 C 解析 因为集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <3，B ＝{x |1≤x ≤4}， 所以∁U A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥3，所以(∁U A )∩B ＝{x |3≤x ≤4}． 2．在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z －在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 因为z ＝4－7i 2＋3i ＝(4－7i )(2－3i )13＝－13－26i13＝－1－2i ，所以z 的共轭复数z －＝－1＋2i 在复平面内对应的点(－1,2)位于第二象限．3．在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD→＝12DA →，设CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 答案 B解析 因为BD→＝12DA →，CB →＝a ，CA →＝b ，故CD →＝a ＋BD →＝a ＋13BA →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .4．(2019·济南模拟)在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线x 24－y 23＝1有相同的渐近线，且位于x 轴上的焦点到渐近线的距离为3的双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 24＝1B.x 28－y 29＝1 C.x 212－y 29＝1 D.x 216－y 212＝1 答案 C解析 与双曲线x 24－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 23＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点在x 轴上，故λ>0.又焦点(7λ，0)到渐近线y ＝32x 的距离为3，所以21λ7＝3，解得λ＝3.所以所求双曲线的标准方程为x 212－y 29＝1.5．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－16 2 C ．2 D ．162 答案 D解析 因为a n a n ＋1＝22n(n ∈N *)，所以a n ＋1a n ＋2＝22n ＋2(n ∈N *)，两式作比可得a n ＋2an＝4(n ∈N *)，即q 2＝4，又a n >0，所以q ＝2，因为a 1a 2＝22＝4，所以2a 21＝4，所以a 1＝2，a 2＝22，所以a 6－a 5＝(a 2－a 1)q 4＝16 2.6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．4 3 B.1033 C ．2 3 D.833 答案 B解析 由三视图还原几何体如图所示，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H －EFG ，三角形ABC 的面积S ＝12×2×22－12＝ 3.∴该几何体的体积V ＝3×4－13×3×2＝1033.7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是59，则判断框中可填入的条件是( )A ．i <10?B ．i <9?C ．i >8?D ．i <8? 答案 B解析 由程序框图的功能可得S ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×…×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(i ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1i ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1i ＋1＝12×32×23×43×…×ii ＋1×i ＋2i ＋1＝i ＋22i ＋2＝59，所以i ＝8，i ＋1＝9，故判断框中可填入i <9？.8．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为( )A.16B.13C.56D.23 答案 C解析 设白球为A ，蓝球为B ，红球为C ，则不同的排列情况为ABCC ，ACBC ，ACCB ，BACC ，BCAC ，BCCA ，CABC ，CACB ，CBCA ，CBAC ，CCAB ，CCBA 共12种情况，其中红球都在中间的有ACCB ，BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为212＝16，故中间两个小球不都是红球的概率为1－16＝56.9．(2019·东北三省三校一模)圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[－1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对(x ，y )，其中满足不等式y ＞ 1－x 2的数对(x ，y )共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为( )A.7825B.7225C.257D.227 答案 A解析 在平面直角坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，则符合条件的数对表示的点在x 轴上方、正方形内且在圆外的区域，区域面积为2－π2，由几何概型概率公式可得2－π22×2≈11100，解得π≈7825.故选A.10．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.55C.56D.22 答案 B解析 解法一：(平行线法)如图1，取DB 1的中点O 和AB 的中点M ，连接OM ，DM ，则MO ∥AD 1，∠DOM 为异面直线AD 1与DB 1所成的角．依题意得DM 2＝DA 2＋AM 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝54.OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DB 12＝14×(1＋1＋3)＝54，OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD 12＝14×(1＋3)＝1.∴cos ∠DOM ＝OD 2＋OM 2－DM 22·OD ·OM ＝54＋1－542×52×1＝15＝55.解法二：(割补法)如图2，在原长方体后面补一个全等的长方体CDEF －C 1D 1E 1F 1，连接DE 1，B 1E 1.∵DE 1∥AD 1，∴∠B 1DE 1就是异面直线AD 1与DB 1所成的角．DE 21＝AD 21＝4，DB 21＝12＋12＋(3)2＝5. B 1E 21＝A 1B 21＋A 1E 21＝1＋4＝5.∴在△B 1DE 1中，由余弦定理得cos ∠B 1DE 1＝DE 21＋DB 21－B 1E 212·DE 1·DB 1＝4＋5－52×2×5＝445＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.11．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4，其左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 与椭圆C切于点P ，且|PF 1|＝1，过点P 且与直线l 垂直的直线l ′与椭圆长轴交于点M ，则|F 1M |∶|F 2M |＝()A.2∶ 3 B ．1∶ 2 C ．1∶3 D ．1∶3 答案 C解析 由椭圆的光学性质可知，直线l ′平分∠F 1PF 2， 因为S △PF 1M S △PF 2M ＝|F 1M ||F 2M |，又S △PF 1M S △PF 2M ＝12|PF 1||PM |sin ∠F 1PM 12|PF 2||PM |sin ∠F 2PM ＝|PF 1||PF 2|，故|F 1M ||F 2M |＝|PF 1||PF 2|.由|PF 1|＝1，|PF 1|＋|PF 2|＝4，得|PF 2|＝3，故|F 1M |∶|F 2M |＝1∶3.12．设x 1，x 2分别是函数f (x )＝x －a －x 和g (x )＝x log a x －1的零点(其中a >1)，则x 1＋4x 2的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞) 答案 D解析 令f (x )＝x －a －x ＝0，则1x ＝a x ，所以x 1是指数函数y ＝a x (a >1)的图象与y ＝1x 的图象的交点A 的横坐标，且0<x 1<1，同理可知x 2是对数函数y ＝log a x (a >1)的图象与y ＝1x 的图象的交点B 的横坐标．由于y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，从而有x 1＝1x 2，所以x 1＋4x 2＝x 1＋4x 1.由y ＝x ＋4x 在(0,1)上单调递减，可知x 1＋4x 2>1＋41＝5，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设某总体是由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619...第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238 (2)答案 19解析 由题意，从随机数表第1行的第3列数字1开始，从左到右依次选取两个数字的结果为：18,07,17,16,09,19，…，故选出来的第6个个体编号为19.14．(2019·湖南师范大学附中模拟三)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ＞0,0＜φ＜π)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案3解析 由题意得2πω＝π，∴ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，∵0＜φ＜π，∴φ＝π6，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝ 3.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－2，点P 为抛物线上的一点，则点P 到直线y ＝x ＋3的距离的最小值为________．答案 22解析 由题设得抛物线方程为y 2＝8x ， 设P 点坐标为P (x ，y )， 则点P 到直线y ＝x ＋3的距离为 d ＝|x －y ＋3|2＝|8x －8y ＋24|82＝|y 2－8y ＋24|82＝|(y －4)2＋8|82≥22，当且仅当y ＝4时取最小值22.16．(2019·南宁摸底考试)在数列{a n }中，a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________，数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________．答案3n －13n －4－13 解析 由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，即b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)．又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，∴b n ＝n －43，即1a n －1＝n －43，∴a n ＝3n －13n －4.又b 1＝－13＜0，b 2＝23＞0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ≠π2，且3sin A cos B ＋12b sin2A ＝3sin C .(1)求a 的值；(2)若A ＝2π3，求△ABC 周长的最大值．解 (1)由3sin A cos B ＋12b sin2A ＝3sin C ，得3sin A cos B ＋b sin A cos A ＝3sin C ，由正弦定理，得3a cos B ＋ab cos A ＝3c ，由余弦定理，得3a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3c ，整理得(b 2＋c 2－a 2)(a －3)＝0，因为A ≠π2，所以b 2＋c 2－a 2≠0，所以a ＝3.(另解：由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B 代入条件变形即可)6分 (2)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3，由余弦定理得，9＝b 2＋c 2＋bc ，因为b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ≥(b ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝34(b ＋c )2，所以34(b ＋c )2≤9，即(b ＋c )2≤12，所以b ＋c ≤23，当且仅当b ＝c ＝3时，等号成立．故当b ＝c ＝3时，△ABC 周长的最大值为3＋2 3.12分18．(2019·黑龙江齐齐哈尔市二模)(本小题满分12分)某县共有户籍人口60万，经统计，该县60岁及以上、百岁以下的人口占比为13.8%，百岁及以上老人15人．现从该县60岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取230人，得到如下频数分布表：解他们的生活状况，则80岁及以上老人应抽多少人？(2)从(1)中所抽取的80岁及以上老人中，再随机抽取2人，求抽到90岁及以上老人的概率；(3)该县按省委办公厅、省人民政府办公厅《关于加强新时期老年人优待服务工作的意见》精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款：①本县户籍60岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取55元基本养老金；②本县户籍80岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴． (a)百岁及以上老年人，每人每月发放345元的生活补贴；(b)90岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放200元的生活补贴； (c)80岁及以上、90岁以下老年人，每人每月发放100元的生活补贴． 试估计政府执行此项补贴措施的年度预算．解 (1)样本中70岁及以上老人共105人，其中80岁及以上老人30人，所以应抽取的21人中，80岁及以上老人应抽30×21105＝6人.3分(2)在(1)中所抽取的80岁及以上的6位老人中，90岁及以上老人1人，记为A ，其余5人分别记为B ，C ，D ，E ，F ，从中任取2人，基本事件共15个：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，这15个基本事件发生的可能性相等.6分记“抽到90岁及以上老人”为事件M ，则M 包含5个基本事件， 所以P (M )＝515＝13.8分(3)样本中230人的月预算为230×55＋25×100＋5×200＝16150(元)，10分 用样本估计总体，年预算为⎝ ⎛⎭⎪⎫16150×6×105×13.8%230＋400×15×12＝6984×104(元)．所以政府执行此项补贴措施的年度预算为6984万元.12分19．(2019·湖南长沙长郡中学一模)(本小题满分12分)如图，在多边形ABPCD 中(图1)，四边形ABCD 为长方形，△BPC 为正三角形，AB ＝3，BC ＝32，现以BC 为折痕将△BPC 折起，使点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上(图2)．(1)证明：PD ⊥平面P AB ；(2)若点E 在线段PB 上，且PE ＝13PB ，当点Q 在线段AD 上运动时，求三棱锥Q －EBC 的体积．解 (1)证明：过点P 作PO ⊥AD ，垂足为O . 由于点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥AB ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ，又AD ∩PO ＝O ，∴AB ⊥平面P AD ，2分∴AB ⊥PD ，AB ⊥P A ，又由AB ＝3，PB ＝32，可得P A ＝3，同理PD ＝3，又AD ＝32，∴P A 2＋PD 2＝AD 2， ∴P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ， ∴PD ⊥平面P AB .5分(2)设点E 到底面QBC 的距离为h ，则V Q －EBC ＝V E －QBC ＝13S △QBC ×h ，由PE ＝13PB ，可知BE BP ＝23，7分∴h PO ＝23，∵P A ⊥PD ，且P A ＝PD ＝3， ∴PO ＝P A ·PD AD ＝322，∴h ＝23×322＝2，9分 又S △QBC ＝12×BC ×AB ＝12×32×3＝922， ∴V Q －EBC ＝13S △QBC ×h ＝13×922×2＝3.12分20．(本小题满分12分)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若点T (－1,0)，且直线AT ，BT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值； (2)设A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P ，Q ，线段PQ 的中点为R ，求证：AR ∥FQ .证明 (1)设直线AB ：my ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ⎩⎨⎧ my ＝x －1，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，3分 k 1＋k 2＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝y 1x 2＋y 2x 1＋(y 1＋y 2)(x 1＋1)(x 2＋1)＝y 1(my 2＋1)＋y 2(my 1＋1)＋(y 1＋y 2)(my 1＋1＋1)(my 2＋1＋1)＝2my 1y 2＋2(y 1＋y 2)(my 1＋2)(my 2＋2)＝2m (－4)＋2×4m(my 1＋2)(my 2＋2)＝0.6分(2)A (x 1，y 1)，P (－1，y 1)，Q (－1，y 2)，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y 1＋y 22，F (1,0)， k AR ＝y 1＋y 22－y 1－1－x 1＝y 1－y 221＋x 1＝y 1－y 22(1＋x 1)，k QF ＝y 2－0－1－1＝－y 22，8分k AR －k QF ＝y 1－y 22(1＋x 1)＋y 22＝y 1－y 2＋y 2(1＋x 1)2(1＋x 1)＝y 1－y 2＋y 2(my 1＋2)2(1＋x 1)＝(y 1＋y 2)＋my 1y 22(1＋x 1)＝4m ＋m ×(－4)2(1＋x 1)＝0，即k AR ＝k QF ，所以直线AR 与直线FQ 平行.12分21．(2019·山东潍坊一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x －(a ＋1)x ，g (x )＝f (x )－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －1，a ∈R .(1)当x ＞1时，求f (x )的单调区间；(2)设F (x )＝e x ＋x 3＋x ，若x 1，x 2为函数g (x )的两个不同极值点，证明：F (x 1x 22)＞F (e 2)．解 (1)f ′(x )＝1＋ln x －a －1＝ln x －a ，若a ≤0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 若a ＞0，由ln x －a ＝0，解得x ＝e a ，2分 且x ∈(1，e a )，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， x ∈(e a ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为()e a，＋∞，单调递减区间为(1，e a ).5分 (2)证明：F ′(x )＝e x ＋3x 2＋1＞0，故F (x )在R 上单调递增，即证x 1x 22＞e 2，也即证ln x 1＋2ln x 2＞2，又g (x )＝x ln x －ax －x －a 2x 2＋ax ＋a ＝x ln x －a2x 2－x ＋a ，g ′(x )＝1＋ln x －ax －1＝ln x －ax ，所以x 1，x 2为方程ln x ＝ax 的两根，即⎩⎨⎧ln x 1＝ax 1， ①ln x 2＝ax 2， ②即证ax 1＋2ax 2＞2，即a (x 1＋2x 2)＞2， 而①－②得a ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，8分即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2·(x 1＋2x 2)＞2，则证ln x 1x 2·x 1＋2x 2x 1－x 2＞2，变形得ln x 1x 2·x 1x 2＋2x 1x 2－1＞2，不妨设x 1＞x 2，t ＝x 1x 2＞1，即证ln t ·t ＋2t －1＞2，整理得ln t －2(t －1)t ＋2＞0，设h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋2，则h ′(t )＝1t －6(t ＋2)2＝t 2－2t ＋4t (t ＋2)2＝(t －1)2＋3t (t ＋2)2＞0，∴h (t )在(1，＋∞)上单调递增，h (t )＞h (1)＝0，即结论成立.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为x 22＋y 2＝1，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，曲线C 3的方程为y ＝x tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，x >0，曲线C 3与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程； (2)求|OP |2·|OQ |2的取值范围．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的极坐标方程为 ρ2cos 2θ2＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝21＋sin 2θ，2分由⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，消去φ， 即得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入化简， 可得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.5分 (2)曲线C 3的极坐标方程为θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0，0<α<π2.6分由(1)得|OP |2＝21＋sin 2α，|OQ |2＝4sin 2α， 即|OP |2·|OQ |2＝8sin 2α1＋sin 2α＝81sin 2α＋1，8分因为0<α<π2，所以0<sin α<1， 所以|OP |2·|OQ |2∈(0,4).10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －5|－|x ＋3|. (1)解关于x 的不等式f (x )≥x ＋1；(2)记函数f (x )的最大值为m ，若a >0，b >0，e a ·e 4b ＝e 2ab －m ，求ab 的最小值． 解 (1)当x ≤－3时，由5－x ＋x ＋3≥x ＋1，得x ≤7，所以x ≤－3；当－3<x <5时，由5－x －x －3≥x ＋1，得x ≤13，所以－3<x ≤13；当x ≥5时，由x －5－x －3≥x ＋1，得x ≤－9，无解.4分综上可知，x ≤13，即不等式f (x )≥x ＋1的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13.5分(2)因为|x －5|－|x ＋3|≤|x －5－x －3|＝8，所以函数f (x )的最大值m ＝8.6分 因为e a ·e 4b ＝e 2ab －8，所以a ＋4b ＝2ab －8.又a >0，b >0，所以a ＋4b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当a ＝4b 时，等号成立，7分所以2ab －8－4ab ≥0，即ab －4－2ab ≥0. 所以有(ab －1)2≥5.8分又ab >0，所以ab ≥1＋5或ab ≤1－5(舍去)，ab≥6＋25，即ab的最小值为6＋2 5.10分。
2020高考数学讲练试题基础巩固练(四)理(含2019高考+模拟题)
（刷题1+1）2020高考数学讲练试题 基础巩固练（四）理（含2019高考+模拟题)本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·河北武邑中学二次调研)设i 是虚数单位，若复数z ＝错误!，则错误!＝( ）A.12－12i B ．1＋错误!i C ．1－错误!iD.错误!＋错误!i 答案 A解析 由z ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i ，得错误!＝错误!－错误!i.故选A 。
2．（2019·浙江百校联考)已知集合A ＝｛x |2x ≥1｝,B ＝｛x |y ＝ln （1－x ）}，则A ∩B 等于（ )A ．｛x |x ≥0}B ．｛x |x ＜1}C ．｛x ｜0≤x ＜1｝D ．{x |0＜x ＜1}答案 C解析集合A＝｛x｜2x≥1｝＝{x｜x≥0}，B＝｛x|x〈1｝,所以A∩B＝{x｜0≤x＜1｝，故选C.3．(2019·石家庄二模)某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中正确的是（)A．支出最高值与支出最低值的比是8∶1B．4至6月份的平均收入为50万元C．利润最高的月份是2月份D．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同答案D解析由题图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是6∶1,故A错误;由题图可知,4至6月份的平均收入为错误!×(50＋30＋40)＝40万元，故B错误；由题图可知，利润最高的月份为3月份和10月份,故C错误；由题图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故D正确．故选D。
4．(2019·赤峰市高三二模)已知正项等比数列｛a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S8＝17S4，则a5＝( ）A．8 B．－8 C．±16 D．16答案D解析设等比数列｛a n}的公比为q。
高考理科数学基础知识巩固强化练习试题5版含解析
∞， 0)．
故选 D.
二、非选择题
9．已知函数 f(x)是 R 上的奇函数，且满足 f(x＋2)＝－ f(x)，当 x∈(0,1]时，f(x)＝2x－1，则方程 f(x)＝log7|x－2|解的个数是 ________．
答案： 7
解析：由于函数 f(x)是 R 上的奇函数，∴f(0)＝0.由 f(x＋2)＝－ f(x)，
∴在对称轴处取得最小值，且离对称轴越远，函数值越大． ∵函 数 f(x)＝x2＋bx＋c 的图象的对称轴为 x＝2，
∴ f(2)<f(1)<f(4)，故选 A.
2．[2019 ·昆明模拟 ] 已知函数 f(x)＝ mx2＋ mx＋1的定义域是实数
集 R，则实数 m 的取值范围是 ( )
A ．(0,4) B．[0,4]
即 x≤－1 时， f(x＋1)＜f(2x)
2x≤ 0，
即为 2－ (x＋ 1)＜2－2x，即－ (x＋ 1)＜－ 2x，解得 x＜ 1.
因此不等式的解集为 (－∞，－ 1]．
x＋ 1≤ 0，
②当
时，不等式组无解．
2x＞ 0
x＋ 1＞ 0， ③当
即－ 1＜x≤0 时， f(x＋1)＜f(2x)即 1＜2－2x，解
5 基本初等函数
⑤
小题基础练提分快
一、选择题 1．[2019 ·杭州模拟 ]若函数 f(x)＝x2＋bx＋ c 的图象的对称轴为 x
＝2，则 ( )
A ．f(2)<f(1)<f(4)
B． f(1)< f(2)< f(4)
C． f(2)< f(4)< f(1)
D ． f(4)< f(2)< f(1)
答案： A 解析： ∵二次函数 f(x)＝x2＋bx＋c 的图象开口向上，
2020高考数学讲练试题基础巩固练(二)理(含2019高考+模拟题)
（刷题1+1）2020高考数学讲练试题基础巩固练（二）理(含2019高考+模拟题）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019·北京高考）已知复数z＝2＋i，则z·错误!＝( )A。
错误!B。
错误!C．3 D．5答案D解析解法一：∵z＝2＋i，∴错误!＝2－i,∴z·z＝(2＋i）(2－i)＝5.故选D。
解法二：∵z＝2＋i，∴z·错误!＝|z|2＝5.故选D。
2．（2019·浙江高考)已知全集U＝｛－1,0,1，2，3}，集合A＝｛0，1,2}，B＝{－1,0，1｝，则（∁U A）∩B＝( )A．{－1｝B．｛0，1}C．{－1，2,3｝D．｛－1，0，1,3}答案A解析∵U＝｛－1，0，1,2,3｝，A＝｛0，1,2｝，∴∁U A＝｛－1，3｝．又∵B＝｛－1，0,1}，∴（∁U A）∩B＝｛－1}．故选A。
3．(2019·湛江二模）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案B解析由正视图排除A，C；由侧视图排除D,故B正确．4．（2019·内蒙古呼和浩特市高三3月第一次质量普查)在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为( ）A．9 B．27 C．54 D．81答案B解析根据题意,设等比数列{a n}的公比为q，若2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2＝3a1＋a3，变形可得4a1q＝3a1＋a1q2，即q2－4q＋3＝0，解得q＝1或3；又a2－a1＝2，即a1（q－1）＝2，则q ＝3，a1＝1,则a n＝3n－1，则有a4＝33＝27。
故选B.5．（2019·绍兴市适应性试卷）函数f(x）＝(x3－x)ln |x|的图象是（）答案C解析因为函数f（x)的定义域关于原点对称，且f（－x）＝－(x3－x）ln |x|＝－f(x)，∴函数是奇函数,图象关于原点对称，排除B，函数的定义域为{x|x≠0}，由f（x)＝0，得（x3－x)ln |x｜＝0,即(x2－1）ln ｜x|＝0，即x＝±1，即函数f(x)有两个零点，排除D，f（2）＝6ln 2〉0,排除A.故选C。
（2019高考题2019模拟题）2020高考数学基础巩固练（一）理（含解析）
（2019⾼考题2019模拟题）2020⾼考数学基础巩固练（⼀）理（含解析）基础巩固练(⼀)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．(2019·江西九校⾼三联考)已知集合A ＝{|x 1－x x≥0}，B ＝{x |y ＝lg (2x －1)}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1]B ．[0,1]C.? ????12，1D.? ??12，＋∞ 答案 C解析∵集合A ＝{|x 1－x x ≥0}＝{x |012}，∴A ∩B ＝{|x 1212，1.故选C.2．(2019·南昌⼀模)已知复数z ＝a ＋i2i(a ∈R )的实部等于虚部，则a ＝( )A ．－12 B.12 C ．－1 D ．1答案 C 解析∵z ＝a ＋i 2i＝－i a ＋i－2i2＝12－a 2i 的实部等于虚部，∴12＝－a3．(2019·陕西宝鸡中学期中)设a ＝20.1，b ＝ln 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的⼤⼩关系是( )A ．b >c >aB ．a >c >bC ．b >a >cD ．a >b >c 答案 D解析因为a ＝20.1>20＝1,0＝ln 1b >c .故选D.4．(2019·安庆⾼三上学期期末)函数f (x )＝x ＋sin x|x |＋1的部分图象⼤致是( )答案 B解析∵函数f (x )的定义域是R ，关于原点对称，且f (－x )＝－x －sin x |－x |＋1＝－x ＋sin x|x |＋1＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，当x ≥0时，f (x )＝x ＋sin xx ＋1＝x ＋1＋sin x －1x ＋1＝1＋sin x －1x ＋1≤1，排除A ，故选B.5．(2019·厦门科技中学⾼三开学考试)古希腊数学家阿基⽶德⽤穷竭法建⽴了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的⼸形，其⾯积都是其同底同⾼的三⾓形⾯积的三分之四．”如图，已知直线x ＝2交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，点A ，B 在y 轴上的射影分别为D ，C ，从长⽅形ABCD 中任取⼀点，则根据阿基⽶德这⼀理论，该点位于阴影部分的概率为( )A.12B.13C.23＝4x 中，取x ＝2，可得y ＝±22，∴S 矩形ABCD ＝82，由阿基⽶德理论可得⼸形⾯积为43×12×42×2＝1623，则阴影部分的⾯积为S ＝82－1623＝823.由⼏何概型的概率计算公式可得，点位于阴影部分的概率为82382＝13.故选B.6．(2019·北京⾼考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹⾓为锐⾓”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析因为点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三⾓形法则，可知BC →＝AC →－AB →，所以|AB →＋AC →|>|BC →|等价于|AB →＋AC →|>|AC →－AB →|，因模为正，故不等号两边平⽅得AB →2＋AC →2＋2|AB →||AC→|cos θ>AC →2＋AB →2－2|AC →|·|AB →|cos θ(θ为AB →与AC →的夹⾓)，整理得4|AB →||AC →|·cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐⾓．⼜以上推理过程可逆，所以“AB →与AC →的夹⾓为锐⾓”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C.7．(2019·北京北⼤附中⼀模)已知平⾯区域Ω：3x ＋4y －18≤0，x ≥2，y ≥0夹在两条斜率为－34的平⾏直线之间，且这两条平⾏直线间的最短距离为m .若点P (x ，y )∈Ω，则z ＝mx －y 的最⼩值为( )A.95 B ．3 C.245 D ．6 答案 A解析由约束条件作出可⾏域如图阴影部分，4的平⾏直线之间，且两条平⾏直线间的最短距离为m ，则m ＝|3×2－18|5＝125.令z ＝mx －y ＝125x －y ，则y ＝125x －z ，由图可知，当直线y ＝125x －z过B (2,3)时，直线在y 轴上的截距最⼤，z 有最⼩值为245－3＝95.故选A.8．(2019·济南市⼀模)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A ．80B ．48C ．32D ．16 答案 B解析根据三视图可知原⼏何体为四棱锥P －ABCD ，AB ＝BC ＝4，PC ＝3，其表⾯积为4×4＋12×3×4＋12×3×4＋12×4×5＋12×4×5＝48.故选B.9．(2019·绍兴市适应性试卷)袋中有m 个红球，n 个⽩球，p 个⿊球(5≥n >m ≥1，p ≥4)，从中任取1个球(每个球取到的机会均等)，设ξ1表⽰取出红球个数，ξ2表⽰取出⽩球个数，则( )A ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)B ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)C ．E (ξ1)D (ξ1)>D (ξ2) D ．E (ξ1)解析设袋中有1个红球，5个⽩球，4个⿊球，从中任取1个球(每个球取到的机会均等)，设ξ1表⽰取出红球个数，ξ2表⽰取出⽩球个数，则ξ1的可能取值为0或1，P (ξ1＝0)＝0.9，P (ξ1＝1)＝0.1，∴E (ξ1)＝0×0.9＋1×0.1＝0.1，D (ξ1)＝(0－0.1)2×0.9＋(1－0.1)2×0.1＝0.09，ξ2的可能取值为0或1，P (ξ2＝0)＝0.5，P (ξ2＝1)＝0.5，∴E (ξ2)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D (ξ1)＝(0－0.5)2×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25，∴E (ξ1)2sin x处的切线，则直线l 的倾斜⾓的范围是 ( )A.0，π4B.π4，π3C.π4，π2D.? ????π2，3π4答案 C解析∵y ＝2sin xsin x ＋cos x，∴y ′＝2cos x sin x ＋cos x －2sin x cos x －sin xsin x ＋cos x 2＝2cos 2x ＋2sin 2x 1＋2sin x cos x ＝21＋sin2x. ∵－11＋sin2x≥1.∴直线l斜率的范围是[1，＋∞)．则直线l 的倾斜⾓的范围是π4，π2.故选C.11．(2019·贵阳⼀模)双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的⼀个焦点F 与抛物线C 2：y2＝2px (p >0)的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离⼼率为( )A. 2B. 3C.2＋1 D ．2 答案 C解析抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点为? ??p 2，0，由题意可得c ＝p2，即p ＝2c ，由直线AB 过点F ，结合对称性可得AB 垂直于x 轴，令x ＝c ，代⼊双曲线的⽅程，可得y ＝±b 2aa ＝2p ＝4c ，由b 2＝c 2－a 2，可得c 2－2ac －a 2＝0，由e ＝c a，可得e 2－2e －1＝0，解得e ＝1＋2(负值舍去)，故选C.12．(2019·四川省泸州市⼆诊)已知函数f (x )＝(e x－a )·(x ＋a 2)(a ∈R )，则满⾜f (x )≥0恒成⽴的a 的取值个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 f (x )＝(e x －a )(x ＋a 2)≥0，当a ＝0时，f (x )＝(e x －a )(x ＋a 2)≥0化为e x·x ≥0，则x ≥0，与x ∈R ⽭盾；当a ＜0时，e x－a ＞0，则x ＋a 2≥0，得x ≥－a 2，与x ∈R ⽭盾；当a ＞0时，令f (x )＝0，得x ＝ln a 或x ＝－a 2，要使f (x )≥0恒成⽴，则－a 2＝ln a ，作出函数g (a )＝－a 2与h (a )＝ln a 的图象如图，由图可知，a 的取值个数为1个．故选B.第Ⅱ卷 (⾮选择题，共90分)⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．13．(2019·济南市3⽉模拟)已知平⾯向量a ，b 满⾜a ＝(1，3)，|b |＝3，a ⊥(a －b )，则a 与b 夹⾓的余弦值为________．答案 23解析∵a ＝(1，3)，∴|a |＝12＋∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0，即a 2－a ·b ＝0. 设a ，b 之间的夹⾓为θ，则|a |2－|a ||b |cos θ＝0， 4－2×3×cos θ＝0，∴cos θ＝23.14．(2019·⼴东省百校联盟联考)在?x ＋1x－16的⼆项展开式中含x 4项的系数为________．答案 21解析∵?x ＋1x－16＝C 06·? ????x ＋1x 6－C 16·? ????x ＋1x 5＋C 26·? ??x ＋1x 4－…，故该⼆项展开式中含x 4项的系数为C 06·C 16＋C 26·C 04＝21.15．(2019·辽宁省辽南协作体⼀模)△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的⾯积为b 2 3sin B，若6cos A cos C ＝1，b ＝3，则∠ABC ＝________.答案π3解析∵△ABC 的⾯积为b 23sin B ＝12ac sin B ，∴b 2＝32ac sin 2B ，∴由正弦定理可得，sin 2B ＝32sin A sin C sin 2B ，∵6cos A cos C ＝1，可得cos A cos C ＝16，∴cos ∠ABC ＝cos[π－(A ＋C )]＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A cos C ＝23－16＝12.∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝π3.16．(2019·昆明⾼三质量检测)经过抛物线E ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线交于点C .若点A 位于第⼀象限，且B 是AC 的中点，则直线l 的斜率等于________．答案 2 2解析解法⼀：如图，分别过A ，B 作准线的垂线，垂⾜分别为P ，D ，过B 作AP 的垂线，垂⾜为M ，根据抛物线的定义及题中条件知|AM |＝|PM |＝|BD |.设|BD |＝m ，则|AP |＝|AF |＝2m ，|BF |＝m ，|AM |＝m ，所以在Rt △ABM 中，|AB |＝|AF |＋|BF |＝3m ，所以cos ∠BAM ＝13，所以k l ＝tan ∠BAM ＝2 2.解法⼆：如图，分别过A ，B 作准线的垂线，垂⾜分别为P ，D ，过B 作AP 的垂线，垂⾜为M ，根据抛物线的定义及题中条件知|AM |＝|PM |＝|BD |.根据抛物线中焦点弦的性质知，1|AF |＋1|BF |＝2p ＝1?1|AF |＋1|BF |＝1|AP |＋1|BD |＝12|BD |＋1|BD |＝32|BD |＝1?|BD |＝32，所以|AF |＝|AP |＝2|BD |＝3，|AB |＝32＋3＝92，|BM |＝922－? ??322＝32，所以k l ＝tan ∠BAM ＝3232＝2 2.三、解答题：共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答．第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答．(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin ? ????B ＋π2的值．解 (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，即23＝3c 2＋c 2－222×3c ×c ，解得c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sin A a ＝cos B 2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb，所以cos B ＝2sin B .从⽽cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从⽽cos B ＝25 5.因此sin ?定．某选⼿参与⽐赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7,8)，[8,9)，[9,10]分组，绘成频率分布直⽅图如下：专家 ABCDE评分9.69.59.68.99.7(1)求a 的概率；(2)从5名专家中随机选取3⼈，X 表⽰评分不⼩于9分的⼈数；从场外观众中随机选取3⼈，⽤频率估计概率，Y 表⽰评分不⼩于9分的⼈数，试求E (X )与E (Y )的值；(3)考虑以下两种⽅案来确定该选⼿的最终得分：⽅案⼀：⽤所有专家与观众的评分的平均数x 作为该选⼿的最终得分．⽅案⼆：分别计算专家评分的平均数x 1和观众评分的平均数x 2，⽤x 1＋x22作为该选⼿最终得分．请直接写出x 与x 1＋x22的⼤⼩关系．解 (1)由题图知a ＝0.3，某场外观众评分不⼩于9的概率是12.(2)X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝C 24C 11C 35＝35，P (X ＝3)＝C 3所以X 的分布列为X 2 3 P3525所以E (X )＝2×35＋3×25＝125.由题意可知，Y ～B ? ??3，12，所以E (Y )＝np ＝32. (3)x <x 1＋x22.19．(本⼩题满分12分)(2019·唐⼭市第⼀中学⼀模)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底⾯ABC ，AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若⼆⾯⾓A －PB －C 的⼤⼩为45°，求三棱锥P －ABC 的体积．解 (1)证明：在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝4＋16－2×2×4×cos120°＝28，则BC ＝27.因为D 为BC 的中点，则BD ＝CD ＝7. 因为AD →＝12(AB →＋AC →)，则|AD →|2＝14(AC →＋AB →)2，所以AD ＝ 3.因为AB 2＋AD 2＝4＋3＝7＝BD 2，则AB ⊥AD .因为PA ⊥底⾯ABC ，则PA ⊥AD ，所以AD ⊥平⾯PAB ，从⽽AD ⊥PB . (2)解法⼀：因为AD ⊥平⾯PAB ，过点A 作AE ⊥PB ，垂⾜为E ，连接DE .则DE ⊥PB ，所以∠AED 为⼆⾯⾓A －PB －C 的平⾯⾓．在Rt △DAE 中，由已知，得∠AED ＝45°，则AE ＝AD ＝3.在Rt △PAB 中，设PA ＝a ，则PB ＝AB 2＋PA 2＝4＋a 2. 因为AB ×AP ＝PB ×AE ，则2a ＝4＋a 2×3，即 4a 2＝3(4＋a 2)，解得a 2＝12，所以PA ＝a ＝2 3.所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×PA ＝13×12×2×4×sin120°×23＝4.解法⼆：如图，分别以直线AB ，AD ，AP 为x 轴、y 轴、z 轴建⽴空间直⾓坐标系．设PA ＝a ，则点B (2,0,0)，D (0，3，0)，P (0,0，a )．所以BD →＝(－2，3，0)，BP →＝(－2,0，a )．设平⾯PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则－2x ＋3y ＝0，－2x ＋az ＝0.取x ＝3，则y ＝2，z ＝23a，所以m ＝? ?3，2，23a .因为n ＝(0,1,0)为平⾯PAB 的法向量，则|cos 〈m ，n 〉|＝cos45°＝22，即|m·n ||m ||n |＝22. 所以27＋12a2＝22，解得a 2＝12，所以PA ＝a ＝2 3. 所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×PA ＝13×12×2×4×sin120°×23＝4.20．(本⼩题满分12分)(2019·⽢肃省⽢⾕第⼀中学⾼三第七次检测)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离⼼率是53，过点P (0，1)作斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y 轴时|AB |＝3 3.(1)求椭圆E 的⽅程；(2)当k 变化时，在x 轴上是否存在点M (m,0)，使得△AMB 是以AB 为底的等腰三⾓形，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知椭圆过点? ??332，1，可得274a 2＋1b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，c a ＝53，解得a 2＝9，b 2＝4，所以椭圆E 的⽅程为x 29＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点C (x 0，y 0)，由y ＝kx ＋1，x 29＋y24＝1，消去y 得(4＋9k 2)x 2＋18kx －27＝0，显然Δ>0，且x 1＋x 2＝－18k 4＋9k2，所以x 0＝x 1＋x 22＝－9k 4＋9k 2，y 0＝kx 0＋1＝44＋9k2. 当k ≠0时，设过点C 且与l 垂直的直线⽅程为y ＝－1k ? ????x ＋9k 4＋9k 2＋44＋9k 2，将M (m,0)代⼊，得m ＝－54k＋9k.若k >0，则4k ＋9k ≥24k×9k ＝12，若k <0，则4k＋9k ＝－－4k＋－9k ≤－2－4k×－9k ＝－12，所以－512≤m <0或012.当k ＝0时，m ＝0，综上所述，存在点M 满⾜条件，m 的取值范围是－512≤m ≤512.21．(本⼩题满分12分)(2019·西藏拉萨⼆模)已知函数f (x )＝ax －b e x，且函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线斜率为a －1.(1)求b 的值；(2)求函数f (x )的最值；(3)当a ∈[1,1＋e]时，求证：f (x )≤x . 解 (1)由题意，得f ′(x )＝a －b e x，⼜∵f ′(0)＝a －b ＝a －1，∴b ＝1. (2)f ′(x )＝a －e x.当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在R 上单调递减，f (x )没有最值；当a >0时，令f ′(x )<0，得x >ln a ，令f ′(x )>0，得x∴f (x )在区间(－∞，ln a )上单调递增，在区间(ln a ，＋∞)上单调递减，∴f (x )在x ＝ln a 处取得唯⼀的极⼤值，即为最⼤值，且f (x )max ＝f (ln a )＝a ln a －a . 综上所述，当a ≤0时，f (x )没有最值；当a >0时，f (x )的最⼤值为a ln a －a ，⽆最⼩值． (3)证明：要证f (x )≤x ，即证(a －1)x ≤e x，令F (x )＝e x－(a －1)x ，当a ＝1时，F (x )＝e x >0，∴(a －1)x ≤e x成⽴；当1－(a －1)＝e x－eln (a －1)，当x ln (a －1)时，F ′(x )>0，∴F (x )在区间(－∞，ln (a －1))上单调递减，在区间(ln (a －1)，＋∞)上单调递增，∴F (x )≥F (ln (a －1))＝e ln (a －1)－(a －1)ln (a －1)＝(a －1)[1－ln (a －1)]．∵1∴a －1>0,1－ln (a －1)≥1－ln [(1＋e)－1]＝0，∴F (x )≥0，即(a －1)x ≤e x 成⽴，故原不等式成⽴．(⼆)选考题：10分．请考⽣在第22、23题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题计分．22．(本⼩题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数⽅程](2019·福建漳州第⼆次质量监测)在直⾓坐标系xOy 中，曲线C 1的参数⽅程为x ＝2＋2cos α，y ＝4＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C 2的极坐标⽅程为ρ＝4sin θ.(1)把C 1的参数⽅程化为极坐标⽅程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解 (1)曲线C 1的参数⽅程为?x ＝2＋2cos α，y ＝4＋2sin α(α为参数)，转换为直⾓坐标⽅程为(x －2)2＋(y －4)2＝4，转换为极坐标⽅程为ρ2－4ρcos θ－8ρsin θ＋16＝0. (2)曲线C 2的极坐标⽅程为ρ＝4sin θ. 转换为直⾓坐标⽅程为x 2＋y 2－4y ＝0，所以x －22＋y －42＝4，x 2＋y 2－4y ＝0，整理出公共弦的直线⽅程为x ＋y －4＝0，故x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋y －4＝0，解得?x ＝2，y ＝2或?x ＝0，y ＝4，所以C 1与C 2交点的极坐标为? ????22，π4，? ????4，π2.23．(本⼩题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·福建漳州第⼆次质量监测)已知f (x )＝|x ＋a |(a ∈R )． (1)若f (x )≥|2x －1|的解集为[0,2]，求a 的值；(2)若对任意x ∈R ，不等式f (x )＋|x －a |≥3a －2恒成⽴，求实数a 的取值范围．解 (1)不等式f (x )≥|2x －1|，即|x ＋a |≥|2x －1|，两边平⽅整理，得3x 2－(2a ＋4)x ＋1－a 2≤0，由题意知0和2是⽅程3x 2－(2a ＋4)x ＋1－a 2＝0的两个实数根，即0＋2＝2a ＋43，0×2＝1－a23，解得a ＝1.(2)因为f (x )＋|x －a |＝|x ＋a |＋|x －a |≥|(x ＋a )－(x －a )|＝2|a |，所以要使不等式f (x )＋|x －a |≥3a －2恒成⽴，只需2|a |≥3a －2，当a ≥0时，不等式化为2a ≥3a －2，得0≤a ≤2；当a <0时，不等式化为－2a ≥3a －2，得a <0. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，2]．。
高考数学巩固练习题及参考答案-最新教育文档
2019年高考数学巩固练习题及参考答案2019年高考数学巩固练习题及参考答案1.在一个2×2列联表中,由其数据计算得χ2的观测值k=13.097,则其两个变量间有关系的可能性为( )A.99%B.95%C.90%D.无关系2.对于独立性检验,下列说法中错误的是( )A.χ2的值越大,说明两事件相关程度越大B.χ2的值越小,说明两事件相关程度越小C.χ2≤3.841时,有95%的把握说事件A与B无关D.χ2≥6.635时,有99%的把握说事件A与B有关3.某化工厂为预测产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系,现取8对观测值,计算,得xi=52,yi=228,=478,xiyi=1849,则其线性回归方程为( )A.=11.47+2.62xB.=-11.47+2.62xC.=2.62+11.47xD.=11.47-2.62x4.为了研究人的胖、瘦与家庭富裕水平(贫、富)之间是否相关,调查了50000人,其中胖人5000人,下列独立性检验的方案中,较为合理有效的方案是( )A.随机抽取100名胖人和100名瘦人B.随机抽取0.08%的胖人和瘦人C.随机抽取900名瘦人和100名胖人D.随机抽取0.1%的瘦人和1%的胖人5.工人月工资y(元)随劳动生产率x(千元)变化的回归直线方程为=60+90x,下列判断正确的是( )A.劳动生产率为1000元时,工资为150元B.劳动生产率提高1000元时,工资提高150元C.劳动生产率提高1000元时,工资提高90元D.劳动生产率为1000元时,工资为90元6.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是( )A.若χ2的观测值为6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99个患有肺病B.由独立性检验知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患肺病C.若统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误D.以上三种说法都不正确7.若两个分类变量X和Y的2×2列联表如下:y1 y2 合计 x1 5 15 20 x2 40 10 50 合计 45 25 70 则X与Y之间有关系的概率约为.8.某单位为了了解用电量y千瓦时与气温x 之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:气温/ 18 13 10 -1 用电量/千瓦时 24 34 38 64由表中数据得回归直线方程x+=-2,预测当气温为-4时,用电量的度数约为.9.某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,随机抽取了189名员工进行调查,所得数据如下表所示:积极支持改革不太赞成改革合计工作积极 54 40 94 工作一般 32 63 95 合计 86 103 189对于人力资源部的研究项目,根据上述数据,你能得出什么结论?10.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据:房屋面积/m2 115 110 80 135 105 销售价格/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22(1)求回归直线方程;(2)根据(1)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格.11.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是( )A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心()C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重为58.79kg12.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关的可能性最大的变量是( )A.成绩B.视力C.智商D.阅读量13.某市居民2019~2019年家庭年平均收入x(单位:万元)与年平均支出Y(单位:万元)的统计资料如下表所示: 年份/年 2019 2019 2019 2019 2019 收入x/万元 11.5 12.1 13 13.3 15 支出Y/万元 6.8 8.8 9.8 10 12根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是,家庭年平均收入与年平均支出有线性相关关系.14.(2019安徽,文17改编)某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法.收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2, 4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率;(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附χ2=P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.010 0.005 k 2.706 3.841 6.635 7.879参考答案：1.A2.C3.A 解析:利用回归系数公式计算可得≈11.47,≈2.62,故=11.47+2.62x.4.C 解析:样本的合理程度直接影响独立性检验的结果,所以选取样本要合理,易知总体中有5000名胖人,45000名瘦人,抽取样本时应该按比例抽取.5.C 解析:由表示回归直线=60+90x的斜率,得C正确.6.C 解析:独立性检验只表明两个分类变量的相关程度,而不是事件是否发生的概率估计.7.0.99 解析:χ2的观测值k=≈18.822>6.635,所以有99%的把握认为X与Y之间有关系,即X与Y之间有关系的概率约为99%.8.68 解析:=10,=40,回归直线方程过点(),40=-2×10+.∴=60.∴=-2x+60.令x=-4,得=(-2)×(-4)+60=68.9.解:根据列联表中的数据,得到k=≈10.76,因为10.76>7.879,所以有99.5%的把握说:“员工工作积极”与“积极支持企业改革”是有关的,可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的.10.解:(1)×(115+110+80+135+105)=109,×(24.8+21.6+18.4+29.2+22)=23.2,设所求回归直线方程为x+则≈0.1962,=23.2-109×≈1.8166.∴所求回归直线方程为=0.1962x+1.8166.(2)由(1)可知,当x=150m2时,销售价格的估计值为=0.1962×150+1.8166=31.2466(万元).11.D 解析:由回归方程为=0.85x-85.71知y随x的增大而增大,所以y与x具有正的线性相关关系;由最小二乘法建立的回归方程的过程知回归直线过样本点的中心(),利用回归方程可以预测估计总体,所以D不正确.12.D 解析:根据χ2=代入题中数据计算得D选项χ2最大.故选D.13.13 正解析:根据中位数的定义,居民家庭年平均收入的中位数是13,家庭年平均收入与年平均支出有正线性相关关系.14.解:(1)300×=90,所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225 总计 210 90 300结合列联表可算得k=≈4.762>3.841.所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.。
2020高考数学讲练试题基础巩固练(五)理(含2019高考+模拟题)
（刷题1+1）2020高考数学讲练试题基础巩固练（五）理（含2019高考+模拟题) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·濮阳市二模）已知集合A＝{x|x＞0},B＝{x｜log2(3x －1）＜2},则( )A．A∪B＝（0,＋∞） B．A∩B＝错误!C．A∪B＝R D．A∩B＝错误!答案A解析依题意，得B＝｛x｜log2(3x－1）＜2｝＝{x|0＜3x－1＜4｝＝错误!，所以A∩B＝错误!，A∪B＝(0，＋∞）．故选A.2．（2019·重庆一中模拟）若复数z满足(1－i)z＝2＋3i，则复数z的实部与虚部之和为( ）A．－2 B．2 C．－4 D．4答案B解析由（1－i)z＝2＋3i,得z＝错误!＝－错误!＋错误!i。
则复数z的实部与虚部之和为－错误!＋错误!＝2。
故选B。
3．(2019·武汉市模拟)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有:A结伴步行，B自行乘车，C家人接送，D其他方式,并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，求本次抽查的学生中A类人数是（）A．30 B．40 C．42 D．48答案A解析根据选择D方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为错误!＝120人，故选择A方式的人数为120－42－30－18＝30.故选A。
4．（2019·兰州一中模拟)在等差数列｛a n｝中，a10＜0，a11＞0，且a11＞｜a10｜,则使{a n}的前n项和S n＜0成立的最大的自然数n为( ）A．11 B．10 C．19 D．20答案C解析∵数列{a n｝为等差数列，a10＜0,a11＞0，∴d＞0，又∵a11＞|a10｜，∴a11＞－a10,即a10＋a11＞0，由S20＝错误!×20＝10(a10＋a11）＞0，S19＝错误!×19＝19a10＜0，故可得使｛a n｝的前n项和S n＜0成立的最大的自然数为19,故选C。
2020高考数学讲练试题基础巩固练(六)文(含2019高考+模拟题)
（刷题1+1）2020高考数学讲练试题基础巩固练（六）文（含2019高考+模拟题）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·新乡二模）已知集合A＝｛1，2,3,4，5,6，7｝，集合B＝｛x∈N｜2≤x＜6｝，则A∩B＝( ）A．｛1,2,3,5,6,7｝B．｛2，3,4,5}C．｛2,3，5} D．｛2，3｝答案B解析集合B＝｛x∈N|2≤x＜6｝＝｛2,3，4,5},集合A＝{1,2,3,4,5，6,7},则A∩B＝｛2,3,4，5}．故选B.2．（2019·芜湖一中二模)复数错误!等于（)A．7＋i B．7－iC．7＋7i D．－7＋7i答案A解析错误!＝错误!＝错误!＝7＋i，故选A。
3．（2019·陕西联考）如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（)A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最髙B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门答案D解析由图可知，选项A,B,C都正确．对于D,因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京，所以错误．故选D。
4．(2019·宝鸡中学二模）执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f （x）＝sin x;②f （x）＝cos x;③f (x)＝错误!；④f (x)＝x2.则输出的函数是( ）A．f (x)＝sin x B．f (x）＝cos xC．f (x)＝错误!D．f （x）＝x2答案A解析此程序框图的功能是筛选既是奇函数、又存在零点的函数．故选A.5．（2019·拉萨中学模拟）如图所示,△ABC中，错误!＝2错误!，点E是线段AD的中点，则错误!＝( ）A。
2019-2020学年新指导同步高中数学必修1(课件 课后巩固 测评卷) (5)
y=sin
x
在每一个区间
2������π-
π 2
,2������π
+
π 2
(k∈Z)上是增
加的,在每一个区间
2������π
+
π 2
,2������π
+
3π 2
(k∈Z)上是减少的;余弦函数
y=cos x在每一个区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在每一个区间
[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的.
+
π 2
,2������π
+
3π 2
(k∈Z)
2������π-
(2)R -1 -3 [2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z)
一二三
二、特殊角的终边的对称关系
1.角-α的终边与角α的终边关于x轴对称;
2.角α±π的终边与角α的终边关于原点对称;
3.角π-α的终边与角α的终边关于y轴对称.
=
=
cos10°+ 1-sin210°
2cos10°
=2scions8100°°
=
cos10° 2cos10°
=
12.
探究一
探究二
探究三
探究四
(3)(方法一)当 n=2k,k∈Z 时,
原式=ssinin((���������+���+22���������π���π))+csoisn((���������-���-22���������π���π)) = co2s������. 当 n=2k+1,k∈Z 时,
,
2π 3
上是减少的,且
2019-2020学年新指导同步高中数学必修1(课件 课后巩固 测评卷) (6)
3
−
1 2-
3=-2
3.
答案:-2 3
一二三四
【做一做 5】 已知函数 f(x)= 小正周期为π2.
3sin ωxcos ωx+cos2ωx-12(ω>0),其最
(1)求f(x)的表达式;
(2)将函数 f(x)的图像向右平移π8个单位,再将图像上各点的横坐标 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 y=g(x)的图像,若关于 x 的
所以 sin x-cos x≥0,即 sin x≥cos x.又 0≤x<2π,所以π4≤x≤54π. 答案:C
一二三四
【做一做2】 下列函数中,最小正周期为π的奇函数是 ( )
A.y=sin
2������
+
π 2
B.y=cos
2������
+
π 2
C.y=sin 2x+cos 2x
D.y=sin x+cos x
1.“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细 观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差 为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.
2.“给值求值”,即给出某些角的三角函数的值,求另外一些三角函 数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、 配角.当然在这个过程中要注意角的范围.
一二三四
二、二倍角公式 1.S2α:sin 2α=2sin αcos α . 2.C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 3.T2α:tan 2α=12-ttaann2������������.
一二三四
三、半角公式
1.S���2���:sin���2���=± 1-c2os������.
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)基础巩固练(2)(教师版)
基础巩固练(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·晋鲁豫联考)若i 为虚数单位，则1＋2i2i ＝( ) A ．1＋12i B ．1－12i C ．－1＋12i D ．－1－12i答案 B解析 1＋2i 2i ＝(1＋2i )i 2i 2＝－2＋i －2＝1－12i.故选B.2．(2019·九江市一模)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2<0，集合B ＝{x |e x >1}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |x >－1}D ．{x |0<x <2} 答案 D解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >0}． ∴A ∩B ＝{x |0<x <2}．故选D.3．(2019·泰安市一模)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( )A.BD →＝12AC →－AB →B.BD →＝AC →－12AB →C.BD→＝32AC →－AB → D.BD →＝AC →－32AB → 答案 D解析 BC →＝AC →－AB →，CD →＝－12AB →，∴BD→＝BC →＋CD →＝AC →－AB →－12AB →＝AC →－32AB →.故选D.4．(2019·江西新余一模)函数f (x )＝xx 2＋a的图象可能是( )A ．(1)(3)B ．(1)(2)(4)C ．(2)(3)(4)D ．(1)(2)(3)(4)答案 C解析 f (x )＝x x 2＋a ，可取a ＝0，f (x )＝x x 2＝1x ，故(4)正确；∵f ′(x )＝a －x 2(x 2＋a )2，当a <0时，函数f ′(x )<0恒成立，x 2＋a ＝0，解得x ＝±－a ，故函数f (x )在(－∞，－－a )，(－－a ，－a )，(－a ，＋∞)上单调递减，故(3)正确；取a >0，若f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，当f ′(x )>0，即x ∈(－a ，a )时，函数单调递增，当f ′(x )<0，即x ∈(－∞，－a )，(a ，＋∞)时，函数单调递减，故(2)正确．所以函数f (x )＝xx 2＋a的图象可能是(2)，(3)，(4)，故选C. 5．(2019·吉林市一模)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，α为第二象限角，则tan α＝( )A ．－43 B.43 C ．－34 D.34 答案 A解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35，∵α为第二象限角，∴sin α＝1－cos 2α＝45.则tan α＝sin αcos α＝－43.故选A.6．(2019·新疆一模)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长之比为3∶4∶5.则双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±4xC ．y ＝±25xD ．y ＝±26x 答案 D解析 ∵△F 1PF 2的三条边长之比为3∶4∶5.不妨设点P 在双曲线的右支上，设|PF 1|＝4k ，|PF 2|＝3k ，|F 1F 2|＝5k (k >0)．则|PF 1|－|PF 2|＝k ＝2a ，|F 1F 2|＝5k ＝2c ，∴b ＝c 2－a 2＝6k .∴双曲线的渐近线方程是y ＝±6kk 2x ＝±26x .故选D.7．(2019·泸州市二模)某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作a i (i ＝1,2,3，…，50)，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是( )A ．求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B ．求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C ．求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D ．求该班学生数学科学业水平考试的合格率 答案 D解析 执行程序框图，可知其功能为输入50个学生的成绩a i ，k 表示该班学生数学科成绩合格的人数，i 表示全班总人数，输出的ki 为该班学生数学科学业水平考试的合格率，故选D.8．(2019·江西九校联考)将函数f (x )＝(1－2sin 2x )cos φ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin φ的图象向右平移π3个单位后，所得图象关于y 轴对称，则φ的取值可能为( )A ．－π3B ．－π6 C.π3 D.5π6 答案 A解析 将函数 f (x )＝(1－2sin 2x )cos φ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2·sin φ化简，得到f (x )＝cos(2x ＋φ)，向右平移π3个单位后得到函数表达式为g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3，因为g (x )函数的图象关于y 轴对称，故得到φ＝k π＋2π3，k ∈Z ，当k ＝－1时，得到φ值为－π3.故选A.9．(2019·福州二模)如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2.在圆O 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段NM 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动….点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为( )A ．4π－6 3B ．1－332π C ．π－332 D.332π答案 B解析 依题意得阴影部分的面积S ＝6×⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(π×22)－12×2×2×32＝4π－63，设“在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内”为事件A ，由几何概型中的面积型可得P (A )＝S S 圆＝4π－634π＝1－332π，故选B. 10．(2019·合肥质检)如图，棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1木块，平面α过点D 且平行于平面ACD 1，则木块在平面α内的正投影面积是( )A. 3B.332 C. 2 D ．1答案 A解析 棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1木块的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形(如图所示)，可以看成两个边长为2的等边三角形，所以木块在平面α内的正投影面积S ＝2×12×2×2×32＝ 3.故选A.11．(2019·浙江名校联考)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，且满足|AF 1|＝2|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则该椭圆的离心率是( )A.12B.33C.32D.53 答案 B解析 由题意可得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AB |＝|BF 2|，可得|AF 1|＝a ，|AF 2|＝a ，|AB |＝32a ，|F 1F 2|＝2c ，cos ∠BAF 2＝94a 2＋a 2－94a 22·32a ·a ＝13，sin ∠BAO 2＝c a ，可得13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2，可得e ＝c a ＝33.故选B.12．(2019·西安周至县一模)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的实数x 都有f (1－x )＝f (x ＋1)，且f (－1)＝2，f (2)＝－1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2019)的值为( )A ．2020B ．2019C ．1011D ．1008 答案 C解析 根据题意，函数f (x )满足f (1－x )＝f (x ＋1)，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，则有f (－x )＝f (x ＋2)，又由函数f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是周期为2的周期函数，又由f (－1)＝2，则f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2019)＝2，f (2)＝－1，则f (4)＝f (6)＝f (8)＝…＝f (2018)＝－1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2019)＝1010×2＋(－1)×1009＝1011.故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．答案 (e,1)解析 设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m (x －m )． 又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e)． 再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e,1)．14．(2019·内江一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，x ≤3，则z ＝2x ＋y 的最小值为________．答案 4解析作出x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，x ≤3对应的平面区域，如图所示，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线的截距最小，此时z 最小， 由⎩⎨⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，解得A (1,2)，此时z ＝2×1＋2＝4. 15．(2019·泉州质检)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos2θ＝________.答案429解析 解法一：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π4<π4－θ<π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝223.所以cos2θ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2×13×223＝429.解法二：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22cos θ－22sin θ＝13，所以cos θ－sin θ＝23.所以(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－sin2θ＝29，则sin2θ＝79.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝13>0，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos2θ＝1－sin 22θ＝429.解法三：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π4<π4－θ<π4，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝223.所以sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ－22·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝23－26， 故cos2θ＝1－2sin 2θ＝429.16．(2019·淮南二模)在四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝13，BC ＝DA ＝5，CA ＝BD ＝10，则此四面体ABCD 外接球的表面积是________．答案 14π解析 将该几何体补成如图所示的长方体，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝10，a 2＋c 2＝5，b 2＋c 2＝13，所以a 2＋b 2＋c 2＝14，所以长方体的外接球(即四面体ABCD 的外接球)的直径为14，其表面积为14π.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·泉州质检)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 3＝6，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .解 (1)根据题意，得⎩⎨⎧a 1a 4＝a 22，a 3＝6，即⎩⎨⎧ a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋d )2，a 1＋2d ＝6，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝6，d ＝0(不符合题意，舍去)，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)得b n ＝2an ＝22n ＝4n ，所以数列{b n }是首项为4，公比为4的等比数列． 所以S n ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )＝n (2＋2n )2＋(41＋42＋43＋…＋4n )＝n 2＋n ＋4n ＋1－43.18．(本小题满分12分)(2019·商洛一模)近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示．(1)直方图；(2)组委会决定在5名(其中第3组2名，第4组2名，第5组1名)选手中随机抽取2名选手接受A 考官的面试，求第4组至少有1名选手被考官A 面试的概率．解 (1)第1组的频数为100×0.100＝10， ∴①处应填的数为100－(10＋20＋20＋10)＝40， 从而第2组的频率为40100＝0.400，∴②处应填的数为1－(0.1＋0.4＋0.2＋0.1)＝0.200. 频率分布直方图如图所示：(2)组委会决定在5名(其中第3组2名，第4组2名，第5组1名)选手中随机抽取2名选手接受A 考官的面试，设第3组的2名选手为A 1，A 2，第4组的2名选手为B 1，B 2，第5组的1名选手为C ，则从这5名选手中抽取2名选手的所有情况有10种，分别为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C )，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C )，(B 1，B 2)，(B 1，C )，(B 2，C )；其中，第4组2名选手中至少有1名选手入选的情况有7种，分别为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C )，(B 2，C )，∴第4组至少有1名选手被考官A 面试的概率p ＝710.19．(本小题满分12分)(2019·湖北十二地级市第二次质量测评)如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AD ＝1，点M是SD 的中点，AN ⊥SC ，交SC 于点N .(1)求证：SC ⊥AM ； (2)求△AMN 的面积．解 (1)证明：∵SA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴SA ⊥CD .∵CD ⊥AD ，AD ∩SA ＝A ，∴CD ⊥平面SAD . ∵AM ⊂平面SAD ，∴CD ⊥AM .又SA ＝AD ＝1，且M 是SD 的中点，∴AM ⊥SD . ∵SD ∩CD ＝D ，∴AM ⊥平面SDC ， ∵SC ⊂平面SDC ，∴AM ⊥SC . (2)∵M 是SD 的中点， ∴V S －ACM ＝V D －ACM ＝V M －DAC .∴V S －ACM ＝13S △ACD ·12SA ＝13×12×12＝112. ∵AN ⊥SC ，AN ∩AM ＝A ，∴SC ⊥平面AMN . ∴V S －ACM ＝13S △AMN ·SC .∵SC ＝3，∴S △AMN ＝3V S －ACM SC ＝312.20．(本小题满分12分)(2019·江西九校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1，将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63代入方程，可得m ＝12，n ＝1.故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)>0⇒2k 2＋1－m 2>0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2. ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 21＋2k2·8(2k 2＋1－m 2). ∵原点到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2，∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝2|m |1＋2k 22k 2＋1－m 2＝21＋2k 2m 2(2k 2＋1－m 2). 由Δ>0得2k 2＋1－m 2>0，又m ≠0，由基本不等式，得S △AOB ≤21＋2k 2·m 2＋2k 2＋1－m 22＝22. 当且仅当m 2＝2k 2＋12时，不等式取“＝”号．21．(本小题满分12分)(2019·黄山市第一次质量检测)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋e 2＋1e －ln xx (e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程； (2)证明：当a ≤e 时，不等式x 3－2ax 2≥ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e x 成立．解 (1)由题意知，当a ＝e 时，f (x )＝x 2－2e x ＋e 2＋1e －ln xx ， 解得f (e)＝0，又f ′(x )＝2x －2e －1－ln x x 2，k ＝f ′(e)＝0，得曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝0. (2)证明：当a ≤e 时，得－2ax 2≥－2e x 2，要证明不等式x 3－2ax 2≥ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e x 成立，即证x 3－2e x 2≥ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e x成立，即证x 2－2e x ≥ln x x －⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e 成立，即证x 2－2e x ＋e 2＋1e ≥ln xx 成立，令g (x )＝x 2－2e x ＋e 2＋1e ，h (x )＝ln x x (x >0)，易知g (x )≥g (e)＝1e .由h ′(x )＝1－ln xx 2，知h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，h (x )≤h (e)＝1e ，所以g (x )≥h (x )成立，即原不等式成立．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·哈三中二模)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)，P是曲线C 1上的任一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，线段PQ 的中点的轨迹为C 2.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l ：sin θ－cos θ＝1ρ交曲线C 2于M ，N 两点，求|MN |.解 (1)利用cos 2α＋sin 2α＝1消去α可得(x －3)2＋(y －1)2＝4，设PQ 的中点坐标为(x ，y )，则P 点坐标为(2x ，y )，则PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋(y －1)2＝4.(2)∵直线的直角坐标方程为y －x ＝1，∴联立⎩⎨⎧y －x ＝1，(2x －3)2＋(y －1)2＝4，得x ＝6±115，∴|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝2225.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1. 解 (1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立． 所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43. (2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥(2＋a )23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为(2＋a )23.由题设知(2＋a )23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。
2019-2020年高考数学新增分大一轮新高考专用课件：第七章 阶段强化练
第七章 不等式
阶段强化练(五)
一、选择题 1.(2019·淄博期中)下列说法正确的是 A.若a>b，c>d，则a－c>b－d B.若ac>bc，则a>b
√C.若 a>b>0，则 a＋b1>b＋1a
a＋b D.若 a，b∈R，则 2 ≥ab
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240－3x，0<x≤20， 每万台的销售收入为G(x)万美元，G(x)＝80＋3x＋0010－x6x0＋001，x>20. (1)写出年利润S(万美元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润＝销售收入－成本)
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2.(2019·内蒙古包头四中期中)不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集是x－12<x<13
，则
a＋b 等于
A.14
√B.－14
C.－10
D.10
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3.已知 a>0，b>0，若不等式3a＋1b≥a＋m3b恒成立，则 m 的最大值为
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三、解答题 17.(2019·浏阳六校联考)已知定义域为 R 的单调函数 f(x)是奇函数，当 x>0 时， f(x)＝3x－2x. (1)求f(x)的解析式；
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答案
解析
4．(2019·兰州一中模拟)在等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，且 a11＞|a10|， 则使{an}的前 n 项和 Sn＜0 成立的最大的自然数 n 为( )
A．A∪B＝(0，＋∞)
C．A∪B＝R
答案 A
B．A∩B＝0，13 D．A∩B＝0，53
解 析 依 题 意 ， 得 B ＝ {x|log2(3x － 1) ＜ 2} ＝ {x|0 ＜ 3x － 1 ＜ 4} ＝
x13＜x＜53
，所以
A∩B＝13，35，A∪B＝(0，＋∞)．故选
答案 A
Hale Waihona Puke 答案解析 设 AB＝2，则 BC＝CD＝DE＝EF＝1. ∴S△BCI＝12× 22× 22＝14， S▱EFGH＝2S△BCI＝2×14＝12， ∴所求的概率为 P＝214＋ ×221＝136，故选 A.
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
答案 A
答案
解析 设 a＝(1,0)，b＝(0,1)，则O→Q＝( 2， 2)，O→P＝(cosx，sinx)，区 域 Ω 表示的是平面上的点到点 Q( 2， 2)的距离在 r 到 R 之间(包含边界)， 如图中的阴影部分圆环，要使 C∩Ω 为两段分离的曲线，则 1＜r＜R＜3，故 选 A.
解析
6．(2019·邯郸市模拟)某班有 50 名学生，一次数学考试的成绩 ξ 服从正 态分布 N(105,102)，已知 P(95≤ξ≤105)＝0.32，估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
答案 B
答案
解析 ∵数学考试的成绩 ξ 服从正态分布 N(105,102)， ∴数学考试的成绩 ξ 关于 ξ＝105 对称， ∵P(95≤ξ≤105)＝0.32， ∴P(ξ≥115)＝12(1－0.64)＝0.18， ∴该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为 0.18×50＝9.故选 B.
解析
8．(2019·武汉二中一模)已知二项式2x－
1xn(n∈N*)的展开式中第
2
项
与第 3 项的二项式系数之比是 2∶5，则 x3 的系数为( )
A．14 B．－14 C．240 D．－240
答案 C
解析
由题意可得
C 1n ∶ C 2n ＝ 2 ∶ 5 ， 解 得
n
＝
6
，
Tr
＋
A.
答案
解析
2．(2019·重庆一中模拟)若复数 z 满足(1－i)z＝2＋3i，则复数 z 的实部 与虚部之和为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
答案 B 解析 由(1－i)z＝2＋3i，得 z＝21＋－3ii＝－12＋52i. 则复数 z 的实部与虚部之和为－12＋52＝2.故选 B.
答案
解析
7．(2019·安徽宣城第二次调研)如图，网格纸上小正方形的边长为 2， 粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( )
16 32 64 128 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
答案 C
答案
解析 由三视图可得其直观图为三棱锥 E－ABD，所以该几何体的体积 为 V＝13×12×4×8×4＝634.
解析
3．(2019·武汉市模拟)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范 围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A 结伴步行，B 自行乘车， C 家人接送，D 其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统 计图．请根据图中信息，求本次抽查的学生中 A 类人数是( )
A．30 B．40 C．42 D．48
A．11 B．10 C．19 D．20
答案 C
解析 ∵数列{an}为等差数列，a10＜0，a11＞0，∴d＞0，又∵a11＞|a10|，
∴a11＞－a10，即 a10＋a11＞0，由 S20＝a1＋2 a20×20＝10(a10＋a11)＞0，S19＝
a1＋2 a19×19＝19a10＜0，故可得使{an}的前 n 项和 Sn＜0 成立的最大的自然数
为 19，故选 C.
答案
解析
5．(2019·湖南师大附中模拟)已知函数 f(x)＝coesxx，则函数 f(x)的图象在 点(0，f(0))处的切线方程为( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
答案 B
答案
解析 ∵f(x)＝coesxx，∴f′(x)＝－sinxe－x cosx， ∴f′(0)＝－1，f(0)＝1， 即函数 f(x)的图象在点(0,1)处的切线的斜率为－1， ∴函数 f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝－x＋1，即 x＋y－1 ＝0.故选 B.
解析
10．(2019·包头市一模)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔 板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和 两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个 用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的 概率是( )
A.136 B.38 C.14 D.18
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分，考 试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·濮阳市二模)已知集合 A＝{x|x＞0}，B＝{x|log2(3x－1)＜2}， 则( )
1
＝
C
r 6
(2x)6
－
r·(－
1)r(x－12 )r＝(－1)r26－rC6r·x6－23r ，由 6－32r＝3，得 r＝2，所以 x3 的系数为(－
1)2×24×C26＝240.故选 C.
答案
解析
9．(2019·宜春三模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a，b，|a|＝|b| ＝1，a·b＝0，点 Q 满足O→Q＝ 2(a＋b)．曲线 C＝{P|O→P＝acosθ＋bsinθ， 0≤θ≤2π}，区域 Ω＝{P|0＜r≤|P→Q|≤R，r＜R}．若 C∩Ω 为两段分离的曲 线，则( )