2018高中数学初高中衔接专题5.2三角形的重心垂心外心和内心精讲深剖学案
三角形的五心讲义-重心、垂心、内心、外心、旁心
．O A BDC2016届高三数学讲义————三角形的“五心”————（Ⅰ）“五心”的概念及性质一、外心（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． （2）外心的位置锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． （3）性质垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等． 内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)R= 2sin c C(某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程如下:连接AO 并延长交圆O 于D,则AD 为圆直径,AD=2R ．又90ABD Ð=°(直径所对的圆周角是90°),AB=c, ADB CÐ=Ð(同弧AB 所对的圆周角相等),∴AD= sin AB ADB Ð,即2R sin c C =, R=2sin cC ． 延伸①:正弦定理由于R=2sin cC ,同理易证2sin 2sin 2sin cbaR C B A===,变形得到变形得到正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C===(每边除以它所对角的正弦为2R) 延伸②:余弦定理2222cos a b c bc A =+- （222cos 2b c a A bc+-=）ABC OA BCD证明过程如下：作CD ^AB 交其于D ，∴cos cos AD AC A b A ==，BD= cos c b A -，sin CD b A =，又222BC BD CD =+，即222(cos )(sin )a c b A b A =-+=22222222cos cos sin 2cos c bc A b A b A b c bc A -++=+-，其他边角也同求．二、内心（1）定义：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心．也是三角形内切圆的圆心． （2）性质角平分线的性质：到角两边距离相等．角平分线的性质：到角两边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．延伸①：内角平分线定理如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有(=)A B B D A C D C =上左下左上右下右证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,则E DAC Ð=Ð． ∵BAD DAC Ð=Ð,∴E BAD Ð=Ð,AB BE ==c ． 又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴BD=DCAB EB AC AC =,得证． 延伸②：外角平分线定理如图，AD 为△ABC 的外角平分线，交BC 延长线于D ，则有()AB BDAC DC=同上IK H EF D ABCMABDCEcb cAB CDEFcb cA FBDCE证明过程如下：作CE//AB 交AD 于E,则AEC EAF Ð=Ð．∵EAF EAC Ð=Ð,∴AEC EAC Ð=Ð,AC AE =． 又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴BD =DCAB AB ACCE=,得证．得证．延伸③：三角形内角平分线长公式如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有2bccos 2cos2211b+c +b c A AAD =（或）证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,BF ^AE 交其于F ．由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB,∴bcAD AC DE BE ==． 又+DE=AE AD ,即bb+cAD AE =．而△ABE 为等腰三角形, BF ^AE, ∴22sin =2csin 2AAE AF AB BAF ==Ð,∴2bccos 2cos 2211b+c +b cA AAD =（或）．延伸④：内心到三边距离r(三角形内切圆半径)设三角形面积为S ，则有，则有2r=a+b+cS（即面积的（即面积的22倍除以周长） 证明过程如下：连接OA,OB,OC ． ∵相切，∴OF AB ^，即S △AOB = 11cr 22AB OF ·=，同理，同理S △AOC = 1br 2，S △BOC = 1ar 2．又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S= 1(a+b+c)r 2,∴2r=a+b+cS．．O A F BDCE（1）定义：三角形三条中线的交点．三角形三条中线的交点． （2）性质中线性质:将三角形面积等分成两部分．将三角形面积等分成两部分． 重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF 为△ABC 三条中线，G 为其重心，则有:::2:1A G G CB G G EC G G F === 证明过程如下：作BH//FC 交AD 延长线于H,易证△GDC ≌ △HDB ，∴,2GD DH GH GD == 又∵BH//FG ，F 为AB 中点，∴G 也为AH 中点，即2AG GH GD ==， ∴:2:1AG GC =，其他同证．，其他同证． 延伸:三角形中线长公式如图,AD 为△ABC 的中线,则有则有221b +c +2bccos 2AD A =证明过程如下:作BE//AC 交AD 延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB ， ∴1,=2AD DE AD AE=即，∵BE//AC ，∴ABF A Ð=Ð．作AF ^EB 交其交其 延长线于F ．又AB=c ，∴BF=AB cos ABF Ð=cos c A ，AF=sin c A ， 故EF=cos c A b +．∴12AD AE ==222211(cos )(sin )b +c +2bccos 22c A b c A A ++=四、垂心（1）定义：三角形三条高的交点．：三角形三条高的交点． （2）性质斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂任何三个为顶点的三角形的垂 心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．AFBEDCBCD EFGAG FE CBD H（1）定义：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线的交点(旁切圆的圆心)．（2）性质每个三角形都有三个旁切圆．每个三角形都有三个旁切圆．三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有 一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等． （Ⅱ）三角形“四心”与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小．在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质．既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感．的数学美感．一、“重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC△的重心．如图⑴．的重心．如图⑴．A'GCAB【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC l =++，(0)l Î+¥，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心．的重心． 【解析】【解析】 由题意()AP AB AC l =+ ，当(0)l Î+¥，时，由于()AB AC l +表示BC 边ABCDEFI a图⑴图⑴图⑵图⑵MPCBAO二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ×=×=×，则P 是ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】由PA PB PB PC ×=× ，得()0PB PA PC ×-= ，即0PB CA ×=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶．的垂心．如图⑶．PABC【命题4】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C l æöç÷=++ç÷èø ，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C l æöç÷=+ç÷èø，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C æöç÷+×=ç÷èø， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C××+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷．的垂心，如图⑷．图⑶图⑶ 图⑷图⑷ H FEM ABCO P三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC++=，则I 是ABC △的内心．的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+ ，IC IA AC =+ ，则由题意得()0a b c IA bAB cAC++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB ACæöç÷+=×+×=××+ç÷èø， ∴bc AB AC AI a b c AB ACæöç÷=+ç÷++èø．∵AB AB与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单位向量，量，∴AI与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC Ð． 同理可证：BI 平分ABC Ð，CI 平分ACB Ð．从而I 是ABC △的内心，如图⑸．的内心，如图⑸．【命题6】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB ACOP OA AB ACl æö=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．的内心． 【解析】【解析】 由题意得AB AC AP AB AC l æöç÷=+ç÷èø，∴当(0)l Î+¥，时，AP 表示BAC Ð的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹．的内心，如图⑹．图⑸图⑸图⑹图⑹ABCOPbacIA CBOCAB四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC == ，则O 是ABC △的外心．外心．【解析】 若222OA OB OC == ，则222O A O B O C == ，∴OA OB OC == ，则O是ABC △的外心，如图⑺．的外心，如图⑺．【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC Cl æö+ç÷=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心．的外心．【解析】 由于2OB OC + 过BC 的中点，当(0)l Î+¥，时，cos cos AB AC AB B AC Cl æöç÷+ç÷èø表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、命题4解释．），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻．的外心，如图⑻．图⑺图⑺M OB CAP图⑻图⑻。
2018高中数学 初高中衔接读本 专题5.2 三角形的重心、垂心、外心和内心精讲深剖学案
第2讲三角形的重心、垂心、外心和内心三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。
三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。
初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。
如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。
在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。
【知识梳理】三角形的四心(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心．(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等．【典例解析】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知：D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.【解析】证明：连结DE，设AD、BE交于点G，Q D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且12DE AB=，GDE\V∽GABV，且相似比为1：2，2,2AG GD BG GE\==.2设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F ==则G 与'G 重合，\ AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.【解题反思】三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.【变式训练】求证重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
2019届高中数学初高中衔接读本专题5.2三角形的重心垂心外心和内心精讲深剖学案-最新资料
第2讲三角形的重心、垂心、外心和内心三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。
三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。
初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。
如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。
在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。
【知识梳理】三角形的四心(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心．(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等．【典例解析】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知：D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.【解析】证明：连结DE，设AD、BE交于点G，Q D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且12DE AB=，GDE\V∽GABV，且相似比为1：2，2,2AG GD BG GE \==.设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F ==则G 与'G 重合，\ AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.【解题反思】三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.【变式训练】求证重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
三角形外心内心重心垂心与向量性质
三角形外心内心重心垂心与向量性质第一篇：三角形外心内心重心垂心与向量性质三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
∆ABC的重心一般用字母O表示。
性质：1.外心到三顶点等距，即OA=OB=OC。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB.3.向量性质：若点O为∆ABC所在的平面内一点，满足(OA+OB)⋅BA=(OB+OC)⋅CB=(OC+OA)⋅AC，则点O为∆ABC 的外心。
二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
∆ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝1⨯三角形的周长⨯内切圆的半径．23.向量性质：设λ∈(0,+∞)，则向量AP=λ(点P的轨迹过∆ABC的内心。
AB|AB||AC|+AC)，则动三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。
∆ABC的重心一般用字母H表示。
性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB。
2.向量性质：结论1：若点O为∆ABC所在的平面内一点，满足OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则点O为∆ABC的垂心。
结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足OA+BC=OB+CA=OC+AB，则点O为∆ABC的垂心。
222222四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。
∆ABC的重心一般用字母G表示。
性质：1.顶点与重心G的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GA=2GD,GB=2GE,GC=2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即xG=xA+xB+xCy+yB+yC,yG=A.334.向量性质：（1）GA+GB+GC=0；（2）PG=1(PA+PB+PC)。
[配套K12]2018高中数学 初高中衔接读本 专题5.2 三角形的重心、垂心、外心和内心精讲深剖学案
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第2讲三角形的重心、垂心、外心和内心三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。
三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。
初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。
如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。
在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。
【知识梳理】三角形的四心(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心．(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等．【典例解析】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知：D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.【解析】证明：连结DE，设AD、BE交于点G，Q D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且12DE AB=，GDE\V∽GABV，且相似比为1：2，2,2AG GD BG GE\==.设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F ==则G 与'G 重合，\ AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.【解题反思】三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.【变式训练】求证重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
三角形重心垂心外心内心相关性质介绍资料讲解
三角形重心垂心外心内心相关性质介绍三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠οB CIA ∠+=∠2190ο，C AIB ∠+=∠2190ο。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2=== 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）=++； （2）)(31++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
三角形的“四心讲解”-初升高数学衔接(含解析)
三角形的“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”讲解【知识衔接】————初中知识回顾————1、重心：三角形的三条中线交点．2、外心：是三角形三边中垂线的交点．3、内心：是三角形的三内角平分线的交点．4、垂心：是三角形三条高的交点．————高中知识链接————1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部．2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．学-科网3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内．4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．【经典题型】初中经典题型例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．三边BC、CA、AB的中点，已知：D、E、F分别为ABC求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．证明：连结DE，设AD、BE交于点G，D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12DE AB ， GDE ∆∴∽GAB ∆，且相似比为1：2，GE BG GD AG 2,2==∴．设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合， ∴AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1．例2：已知ABC ∆的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF ． 证明：作ABC ∆的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，例3：已知：O 为ABC ∆的重心和内心，求证：ABC ∆为等边三角形．证明：如图，连AO 并延长交BC 于D ，O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ∠， DC BD AC AB =∴(角平分线性质定理) O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC ． 1=∴AC AB ，即AB AC ．同理可得，A B =BC ．ABC ∆∴为等边三角形．例4：已知：ABC ∆中，，于于E AC BE D BC AD ⊥⊥,AD 与BE 交于H 点．求证：AB CH ⊥．高中经典题型1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为 ，重心到垂心的距离为 ．【答案】6.5，3142、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径r ＝ ．【答案】23、在△ABC 中，∠A 是钝角，O 是垂心，AO ＝BC ，则cos(∠OBC+∠OCB)= ．【答案】22- 4、设G 为△ABC 的重心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则△ABC 的面积为 ．【答案】725、若︒<<︒900α，那么以αsin 、αcos 、ααcot tan ⋅为三边的△ABC 的内切圆，外接圆的半径之和为 ．A 、)cos (sin 21αα+B 、)cot (tan 21αα+ C 、ααcos sin 2D 、ααcos sin 1⋅ 【答案】A 【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( )A ． 三条中线的交点B ． 三条高线交点C ． 三个内角平分线交点D ． 三边垂直平分线交点【答案】C【解析】试题解析：如图，∵OG ⊥AB ，OF ⊥AC ，OG =OF ，∴O 在∠A 的平分线上，同理O 在∠B 的平分线上，O 在∠C 的平分线上，即O 是三条角平分线的交点，故选C ．2．已知等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，G 是△ABC 的重心，那么AG=_____．【答案】【解析】分析：如图延长AG 交BC 于H ．利用等腰三角形的三线合一，可知AH 是高，利用勾股定理求出AH ，根据重心的性质AG =AH 计算即可．详解：如图延长AG 交BC 于H ．∵G是重心，∴BH=CH=3．∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=．故答案为：．3．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC ＝6，那么线段GE的长为______．【答案】2【解析】分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2．故答案为：2．点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质．利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键．4．已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是________．【答案】4【解析】分析：根据三角形重心的性质进行求解．详解：如图，D是BC边的中点，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=8，即GD=4，故点G与边BC中点之间的距离是4．故答案为4．5．如图，等腰直角ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为42，则线段AG的长为_______．45【解析】∵F为AB中点，E为BC中点，∴中线AE、CF的交点G为ACB的重心，∴:2:1CG GF=，∵42AB=ACB，∴1222AF AB==1233GF CF==，CF AB⊥于F，∴Rt AGF中，22845 89AG AF GF=+=+=点睛：本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．6．．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8．故答案为：8．点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解．7．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高．小明的作法如下：(1)连接AD，BE，它们相交于点P；(2)连接CP并延长，交AB于点F．所以，线段AD ，BE ，CF 就是所求的△ABC 的三条高．请回答，小明的作图依据是________．【答案】半圆(或直径)所对的圆周角是直角，三角形三条高线相交于一点．【解析】∵AB 是直角，∴∠AEB ＝90°，∠ADB =90°，∴AD ,BE 是△ABC 的高．∵三角形三条高线相较于一点，∴CF 是△ABC 的高8．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于D ，如果3cm AC =，那么AE DE +等于_________cm ．【答案】3【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE DE =，从而得出AE DE AE CE +=+3cm AC ==．故填3． 9．ABC ∆中，点O 是ABC ∆内一点且到ABC ∆三边的距离相等， 40A ∠=︒，则BOC ∠=_________．【答案】110°【解析】试题解析：如图，∵O 到三角形三边距离相等，∴O 是内心，∴AO ，BO ，CO 都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=12∠ABC ，∠BCO=∠ACO=12∠AC B ， ∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°-70°=110°．10．两个城镇A B 、与一条公路CD ，一条河流CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A B 、的距离必须相等，到CD 和CE 的距离也必须相等，且在DCE ∠的内部，请画出该山庄的位置P ．(不要求写作法，保留作图痕迹．)【答案】作图见解析．试题解析：如下图，作线段AB 的中垂线与DCE ∠的平分线交于点P ,点P 即为所求．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、在锐角△ABC 中，内角为A 、B 、C 三边为a 、b 、c ，则内心到三边的距离之比为 ，重心到三边的距离为 ，外心到三边的距离之比为 ，垂心到三边的距离之比为 ．2、如图，锐角△ABC 的垂心为H ，三条高的垂足分别为D 、E 、F ，则H 是△DEF 的 ．3、如图，D 是△ABC 的边BC 上任一点，点E 、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心连结EF 交AD 于G 点，DG ：GA ＝ ．4、设△ABC 的重心为G ，GA ＝32，22=GB ，2=GC ，则ABC S ∆＝ ．5、若H 为△ABC 的重心，AH ＝BC ，则∠BAC 的度数是( )A 、45°B 、30°C 、30°或150°D 、45°或135°6、已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB ＝10，AC ＝9，DE ＝12，求平行四边形ABCD 的面积． B 组参考答案1、1：1：1；c b a 1:1:1； C B A cos :cos :cos ； C B A cos 1:cos 1:cos 1 2、内心3、21 4、265、D6、分析：设AC 交DE 于G ，可推出G 为△ABD 的重心，∠EGA ＝90°，故可求出EGA S ∆及S □ABCD 。
初高中数学衔接课程教案01-三角形的五心
初高中数学衔接课程教案01三角形的五心一、知识点梳理1、三角形的重心：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心． 性质：（1）三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． （2）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等．（3）三角形所在平面内的所有点中，三角形的重心到三个顶点的距离的平方和最小． 2、三角形的垂心：三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心．性质：（1）锐角三角形的垂心在三角形的内部；直角三角形的垂心在三角形的直角顶点处；钝角三角形的垂心在三角形的外部．（2）三角形的三个顶点、三个垂足和垂心这7个点可以得到6个共圆的四点组合． （3）斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．3、三角形的外心：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心． 过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形有且只有一个外接圆．性质：（1）三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．（2）锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．4、三角形的内心：三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．性质：（1）三角形的内心到三边的距离相等，都等于三角形内切圆半径． （2）若三角形的三条边长分别为a,b,c ，面积为s ，则其内切圆半径2sr a b c=++．（3）直角三角形的内心到各边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一． 拓展内容：①内角平分线定理：如图，AD 为△ABC 中BAC ∠的平分线，则有(=)AB BD AC DC =上左下左上右下右（证明：作BE//AC 交其延长线于E ，则E DAC ∠=∠.∵BAD DAC ∠=∠，∴E BAD ∠=∠，AB BE ==c.又∵BE//AC ，易证△ADC ∽△EDB ，∴BD=DCAB EB AC AC =，得证．） ②外角平分线定理：如图，AD 为△ABC 的外角平分ABDCEc b cABCDEF线，交BC 延长线于D ，则有AB BDAC DC=． （证明：作CE//AB 交AD 于E ，则AEC EAF ∠=∠.∵EAF EAC ∠=∠，∴AEC EAC ∠=∠，AC AE =.又∵CE//AB ，易证△ADB ∽△EDC ，∴BD=DCAB AB AC CE =，得证．）5、三角形的旁心：三角形的一条角一条角平分线与另外两个角的外角平分线交于一点，该点称为这个三角形的旁心．性质：（1）三角形有三个旁心．（2）三角形的旁心到三角形三边的距离相等． 二、典型例题例1、证明重心定理：三角形的三条中线交于一点。
三角形的垂心、重心、内心与外心
三角形的垂心、重心、内心与外心三角形是我们初中数学学习中的重要内容之一，它的性质和特点十分丰富有趣。
本文将介绍三角形的垂心、重心、内心和外心，探讨它们在三角形中的重要地位和作用。
一、三角形的垂心垂心是指三角形三条边上的垂线交于一点的点，它通常用H表示。
垂心与三角形的性质密切相关，具有以下几个重要特点：1.1 垂心与三角形的垂线垂心H到三角形三边的连线分别称为三角形的垂线，分别记为AH、BH和CH。
垂心到三角形三边的垂线具有以下性质：（1）垂心H到三角形三边的垂线长度相等；（2）垂心H到三角形三边的垂线互相垂直。
1.2 垂心与三角形的重要性质垂心H具有以下重要性质：（1）垂心H到三角形三个顶点的距离之和最小；（2）垂心H是三角形内心I和外心O的连线中点；（3）垂心H是三角形外接圆和九点圆（即三角形的三个中线的中点连成的圆）的圆心。
二、三角形的重心重心是指三角形三条中线交于一点的点，它通常用G表示。
重心与三角形的性质密切相关，具有以下几个重要特点：2.1 重心与三角形的中线重心G到三角形的三个顶点分别连接线段，则这三条连线称为三角形的中线，分别记为AD、BE和CF。
重心到三角形的三条中线具有以下性质：（1）重心G到三角形三条中线的长度成比例关系，即AG：GD = BG：GE = CG：GF = 2：1；（2）重心G到三角形三条中线的交点是重心G本身。
2.2 重心与三角形的重要性质重心G具有以下重要性质：（1）重心G到三角形三个顶点的距离之和最小；（2）重心G是三角形垂心H和外心O的连线中点；（3）重心G是三条中线的交点，同时也是三角形的质心（三个顶点的重心）。
三、三角形的内心内心是指三角形的三条角平分线交于一点的点，它通常用I表示。
内心与三角形的性质密切相关，具有以下几个重要特点：3.1 内心与三角形的角平分线内心I到三角形的三个顶点分别连接线段，则这三条连线称为三角形的角平分线，分别记为AI、BI和CI。
初中数学知识归纳三角形的垂心重心外心内心
初中数学知识归纳三角形的垂心重心外心内心三角形的垂心、重心、外心和内心是数学中重要的概念。
它们代表着三角形内部和外部的特殊点位，具有一些独特性质和应用。
本文将对初中数学中与三角形的垂心、重心、外心和内心相关的知识进行归纳和总结。
一、垂心垂心是指三角形的三条高线的交点，即三个顶点到对边的垂直线的交点。
垂心的特点是：垂心到三角形三边的距离相等，并且与三边成直角。
垂心在三角形中起到重要的作用，既可以用于解决几何问题，也可以用于计算几何图形的面积和各个线段的长度。
二、重心重心是指三角形三条中线的交点，即三个顶点到对边中点的连线的交点。
重心的特点是：重心到三个顶点的距离相等，并且它将三角形划分成的三个小三角形的面积相等。
重心是三角形的一个重要中心，在许多问题中具有重要的应用价值。
三、外心外心是指通过三角形三个顶点和垂直于三边的直线交于一点的圆心。
外接圆的圆心即为三角形的外心。
外心的特点是：三角形的三条边均为圆外接三角形的切线，外心到三个顶点的距离相等，并且它是三角形的外接圆的圆心。
外心在解决几何问题和计算几何图形的性质时经常被用到。
四、内心内心是指三角形三条角平分线的交点，即三个内角的平分线交于一点的点。
内心的特点是：内心到三角形三条边的距离相等，并且与三边成等角。
内心是三角形的内切圆的圆心，内切圆是唯一与三角形的三条边都相切的圆。
综上所述，垂心、重心、外心和内心是与三角形相关的特殊点位。
它们分别与三角形的高线、中线、角平分线和边都有密切的联系，具有独特的性质和应用场景。
掌握和理解这些概念对于深入理解和解决与三角形相关的问题至关重要。
同时，通过运用相关的定理和公式，可以更好地计算和利用垂心、重心、外心和内心的性质，解决实际问题和拓展数学知识的应用。
在学习三角形及其相关知识的过程中，我们应当注重理论和实践的结合，注重培养学生的动手能力和解决实际问题的能力，以提高对数学知识的理解和应用水平。
进一步认识三角形的外心、内心、重心和垂心——小班数学《认识三角形》教案
进一步认识三角形的外心、内心、重心和垂心——小班数学《认识三角形》教案。
三角形有四个特殊的点，分别是外心、内心、重心和垂心。
这些特殊的点在解题时会占有重要的地位。
我们来一起学习一下这些点的性质以及在解题中的运用。
一、外心外心指的是三角形的外接圆心。
我们先来看看“外接圆”的定义：如果一个圆与三角形的三条边各相交于一点，那么这个圆就叫做三角形的外接圆。
而这个圆的圆心就是三角形的外心。
有一个特点：外心到三角形的三个顶点距离相等。
在解题时，我们可以利用外心的性质求解三角形的某些问题，比如判断三角形是否为等腰/等边三角形、通过垂心求三边中线长度等。
二、内心内心是三角形的内切圆心，可以用来求解三角形三边的切线长。
在如何求解三角形内心时，有个简单的公式——海龙公式。
海龙公式是指以三边长为参数，直接求出三角形面积的公式。
通过海龙公式求解出三角形面积，利用钞票公式：$$S =\dfrac{1}{2}(a+b+c)R$$ 其中a、b、c是三角形三边的长度，R是三角形外接圆半径，S是三角形的面积。
从而求出内心到三边的距离。
内心可以帮助我们求解很多有关三角形的问题，比如判断一个三角形是否全等另一个三角形，判断一个三角形是否存在一点使得到三个顶点的距离的和最小（费马点问题），等等。
三、重心重心指的是三角形三个顶点与对边中线的交点的所构成的点。
具体的，就是三角形三边中线的交点所构成的点。
重心的一个性质是：对于三角形，三条中线重心是三条中线所在的线段的交点。
这也就是说，对于一个重心的三角形，三条中线的交点也是重点的坐标。
重心可以帮助我们解决很多跟面积、角度有关的问题，比如证明垂心造出的高两两垂直等。
四、垂心垂心是指从三角形三个顶点引出三条高所交于的一点，一般我们也称作高垂足。
垂心的一个重要性质是：垂心所造出的三条高与三角形三边相交于三个点，而且与三角形三个顶点所形成的线段垂直。
垂心除了在求解高问题，还可以帮助我们解决很多奇特的三角形问题，比如求证全等、相似等问题。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心定义及性质总
结
内心、外心、重心、垂心，听起来是不是有点抽象？其实它们就像是几颗星星，各自闪烁却又紧密相连。
首先，内心指的是一个三角形内部的重心，能够很好地代表这个三角形的“平均位置”。
想象一下，就像在一块蛋糕的中心，哪里最甜，在哪里就是内心。
再说外心，顾名思义，它就是三角形外部的一个点，能与三角形的三个顶点连成等边三角形，真是个神奇的概念。
外心的存在就像一位默默无闻的英雄，虽然不在三角形的内部，但却和三角形息息相关。
它总是与角度相关，能够让我们更好地理解三角形的对称性。
接着我们来聊聊重心。
重心是三角形的一个重要概念，大家知道吗？重心就像那颗能量源泉，位于三角形三个顶点连线的交点。
这个位置就是三角形的“心脏”，它的特性在于重心的存在让三角形在任何方向上的稳定性都达到了极致。
换句话说，重心让三角形不管怎样摆放都能保持平衡，简直是个天生的调和者。
最后，我们来看看垂心。
垂心是个有趣的角色，它是三角形各边延长线与对顶角的交点。
想象一下，如果三角形是个舞台，垂心就是那颗最闪亮的
明星。
它的作用在于能够通过高度来实现与三角形的某种关系，真的是个不可或缺的元素。
每当我们把这四个概念结合在一起，便能更深入地了解三角形的奥秘。
总结起来，内心、外心、重心、垂心，这四个概念就像一场精彩的表演，彼此辉映。
它们不仅仅是几何中的抽象符号，更是我们理解空间和形状的钥匙。
无论是学习数学，还是在日常生活中，掌握这些概念都能让我们更加从容自信。
就像一首动听的旋律，每一个音符都不可或缺，让我们一起在这片数学的天地中畅游吧！。
三角形的外心内心垂心重心讲课教案
二角形的外心内心垂心重心三角形的四心”所谓三角形的四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心•当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心•一、外心【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心• ABC的重心一般用字母0表示.【性质】1. 外心到三顶点等距，即OA OB 0C.2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即卩OD BC,OE AC, OF AB.1 1 13. A —B OC, B -AOC, C - AOB.2 2 2二、内心【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.ABC的内心一般用字母I表示.【性质】1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.2. 三角形的面积二丄三角形的周长内切圆的半径.23. AE AF, BF BD,CD CE ;AE BF CD三角形的周长的一半.1 1 14. BIC 90 — A, CIA 90 — B，AIB 90 — C.2 2 2二、垂心【定义】二角形二条咼的交点叫重心.ABC 的重心一般用字母H 表示. 【性质】1. 顶点与垂心连线必垂直对边, 即 AH BC, BH AC,CH AB . 24 ABH 的垂心为C ，△ BHC 的 垂心为A , △ ACH 的垂心为B . 四、重心【定义】三角形三条中线的交点叫重心 心一般用字母G 表示. 【性质】1.顶点与重心G 的连线必平分对边2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2倍.即 GA 2GD,GB 2GE,GC 2GF 3. 重心的坐标是三顶点坐标的平均值.4•向量性质：(1) GA GB GC 0 ;三角形四心”的向量形式：结论1:若点0为ABC 所在的平面内一点，满足OA OB OB OC OC 0A ,则点O 为ABC 的垂心.ABC 的重即X GX B X Cy y By c3(2) PG1(PA PB PC) , 5. S BGC 3S CGA S AGB-S ABC -B结论2:若点O为4ABC所在的平面内一点，满足——2 2 2 ——2 2 2OA BC OB CA OC AB ,则点0为ABC的垂心.结论3:若点G满足GA GB GC 0，则点G为ABC的重心.1 ---- ----- ------结论4:若点G为ABC所在的平面内一点，满足OG (OA OB 0C),3则点G为ABC的重心.结论5:若点I为ABC所在的平面内一点，并且满足a IA b IB c IC 0 (其中a,b,c为三角形的三边)，则点I ABC的内心.结论6:若点O为ABC所在的平面内一点，满足(OA OB) BA (OB OC) CB (OC OA) AC，则点O 为ABC 的外心.——AB AC结论7:设0, ，则向量AP (——r 一)，则动点P的轨迹过ABC|AB| |AC|的内心.向量和“心”、重心”的向量风采【命题11已知G是厶ABC所在平面上的一点，若△ ABC的重心.如图⑴.P 满足Op OA (AB AC)，图⑵A B, C是平面上不共线的三个点，动点(0，)，则P的轨迹一定通过△ ABC的重如图⑵.、垂心”的向量风采通过△ ABC 的垂心.【解析】由题意 A P (A B A C )，当(0,)时，由于BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心,【解析】由题意AP,由于【命题3】P 是△ ABC 所在平面上一点, 若 PA PB PB PC PC PA ，则P 是△ ABC 的垂心. 【解析】由PA PB PBPC , 得 PB (PA PC) PB 丄cA .同理可证PC 丄AB , PA 丄BC .C_____ ->P图⑶【命题4】 已知0是平面上一定点，A B, 定点 (0,)，则动点P 的轨迹一定0 ,即 0 ,所以B••• P 是厶ABC 的垂心.如图⑶.P 满足Op OAACI AC cosCA P 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过△ ABC 的垂心，如图 ⑷.二、内心”的向量风米 【命题5】 已知I ABC 所在平面上的一点，且 AB••• bAB cACA C AB A B AC TC I IA B向上的单位向量,••• Al 「与/ BAC 平分线共线，即AI 平分 BAC .同理可证：BI 平分 ABC ，Cl 平分 ACB .从而I 是厶ABC 的内心，如图（5）.B AB.cosB<BC0,即竽匹AB cosBcosC0所以c ， ACBC a .若 al0,则I 是厶ABC 的内心.则由题意得(a b c)iA bAB cAC 0，图⑹二Al分别为A B 和AC 方【命题6】已知0是平面上一定点,'定点A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足oP 0A（0，），则动点P的轨迹一定通过△ ABC的内心.【解析】由题意得AP，•••当（0, ）时，AP 表示BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过△ ABC的内心，如图⑹.四、外心”的向量风采【命题7】已知0是△ ABC所在平面上一点，若OA2 0^ 00^，则0 是△ ABC的外心.【解析】若徉0B2 0C2，则0A； l0Bl则0是厶ABC的外心，如图（7）.【命题7】已知0是平面上的一定点, A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足0p严轨迹一定通过△ ABC的外心.AB cosB一，（0，），则动点P的AC cosC练习:【解析】 由于2过BC 的中点,(0,)时,表示垂直于 的向量，所以P 在BC 垂直平分线上,定通过△ ABC 的外心，如图⑻.1.外心B .内心C . 重心D .垂心O 是平面上^定八、、,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点, ------ 2 ------ 2 ------2OA BCOB—2------ --2------ 2CA OCAB , 则0是 ABC 的（） \.外心B .内心C . 重心D .垂心) A 若 5. A1.已知 ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点 P ，满足PA PB PC 0，若实 数满足：AB AC AP ,则的值为（ A . 2 B. - C . 32D . 62•若 ABC 的外接圆的圆心为O ,半径为1, OA OB OC 0,贝 UOA OB ()1A . 1B . 0C . 12D .3. 点O 在 ABC 内部且满足OA 2OB 2OC则ABC 面积与凹四边形ABOC 面积之比是（）3A . 0B . —C .2D .4. ABC 的外接圆的圆心为 O , 若 OH OAOB OC ，贝U H 是ABC 的精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢116. ABC 的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,0H m(0A OB OC),则实数m =则厶ABC 为（）A .三边均不相等的三角形 B.直角三角形C .等腰非等边三角形 D.等边三角形——28 .已知 ABC 三个顶点 A 、B 、C ，若 AB AB AC AB CB BC CA ，则ABC 为（）A .等腰三角形 B.等腰直角三角形C .直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C7. （06陕西）已知非零向量AB 与AC 满足（ AB 十 AC |AB| |AC| )BC=0 且 AB • |ABI |AC|。
三角形的重心、垂心、外心和内心的认识(二)
三角形的重心、垂心、外心和内心的认识（二）引言：三角形是一种基本的几何图形，它具有独特的性质和特点。
在三角形中，重心、垂心、外心和内心是四个重要的点，它们分别具有不同的特性和作用。
在本文中，我们将进一步探讨三角形的重心、垂心、外心和内心的认识，帮助读者更好地理解和应用它们。
正文：一、重心（Center of Gravity）重心是三角形内部所有点的平均位置。
它具有以下性质：1. 重心所在的直线称为重心线，它经过三角形的顶点与对边的中点。
2. 重心将三角形分成三个面积相等的小三角形。
3. 如果一个三角形均匀分布质量，则它的重心就是质心。
二、垂心（Orthocenter）垂心是三角形三条高线的交点。
它具有以下性质：1. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。
2. 垂心到三角形三条边的距离乘积最小。
3. 如果一个三角形是锐角三角形，则垂心在三角形内部；如果是直角三角形，则垂心是直角的顶点；如果是钝角三角形，则垂心在三角形外部。
三、外心（Circumcenter）外心是三角形外接圆的圆心。
它具有以下性质：1. 外心到三角形三个顶点的距离相等。
2. 外心到三角形三条边的距离相等，且等于外接圆的半径。
3. 一个三角形的外心可以通过三条边的垂直平分线的交点确定。
四、内心（Incenter）内心是三角形内切圆的圆心。
它具有以下性质：1. 内心到三角形三条边的距离相等，且等于内切圆的半径。
2. 内心到三角形的三个顶点的距离之和等于三角形的周长。
3. 一个三角形的内心可以通过三条边的角平分线的交点确定。
总结：三角形的重心、垂心、外心和内心是三角形内部的特殊点，它们在三角形的性质和计算中扮演着重要的角色。
重心代表了平均位置，垂心代表了高线的交点，外心代表了外接圆的圆心，内心代表了内切圆的圆心。
通过深入理解和认识这些点的性质，我们可以更好地应用它们解决问题，进一步研究和探索三角形的奥秘。
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第2讲三角形的重心、垂心、外心和内心
三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。
三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。
初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。
如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。
在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。
【知识梳理】
三角形的四心
(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．
(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心．
(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．
(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的
距离相等．
【典例解析】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知：D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，
求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.
【解析】
证明：
连结DE，设AD、BE交于点G，
Q D、E分别为BC、AE的中点，
则DE//AB，且
1
2
DE AB
=，
GDE
\V∽GAB
V，且相似比为1：2，
2,2
AG GD BG GE
\==.
设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F == 则G 与'G 重合，
\ AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.
【解题反思】三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
【变式训练】求证重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
已知：G 为ABC V 的重心, 求证：ABG ACG ACG S S S V V V ==
1
B
A
C
【分析】可联系重心的性质，重心为中线的三等分点即；111
3
GB BB =,在运用 等底，高成比例完成证明；
【点评】将重心的性质借助相似比，推出了重心关于三角形面积的性质。
同时应当想到它还有其它性质。
【典例解析】已知ABC V 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为ABC V 的内心，且I 在ABC V 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、， 求证：2
b c a
AE AF +-==
.
【解析】证明：作ABC V 的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，
,AE AF Q 为圆的从同一点作的两条切线，AE AF \=，
同理，BD =BF ，CD =CE .
b c a AF BF AE CE BD CD \+-=+++--22AF AE AF AE =+==；
即2
b c a
AE AF +-==
. 【解题反思】三角形的三条角平分相交于一点，这个交点称为三角形的内心。
内心到三角形三边的距离相等。
【变式训练】1.若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知：O 为三角形ABC 的重心和内心. 求证：三角形ABC 为等边三角形. 【解析】证明：
如图，连AO 并延长交BC 于D .
Q O 为三角形的内心，故AD 平分BAC Ð，
AB BD
AC DC
\
=（角平分线性质定理） Q O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC .
1AB
AC
\
=，即AB AC =. 同理可得，AB =BC .
ABC \V 为等边三角形.
【点评】等边三角形具有四心合一的性质。
【变式训练】2.在三角形ABC 中，G 为重心，I 为内心，若AB=6， BC=5，CA=4，求的值．【分析】根据
三角形重心性质可得：3GI 2
=AI 2
+BI 2
+CI 2
﹣（AG 2
+BG 2
+CG 2
），求得GI 后代入求值即可．
【点评】本题考查了三角形的五心的知识，解题的关键是了解三角形重心性质：3GI 2
=AI 2
+BI 2
+CI 2
﹣（AG 2
+BG 2
+CG 2
）．
【典例解析】在ABC △中，H 为垂心，BC a =，CA b =，AB c =，R 为ABC △外接圆半径， 求证:222222AH a BH b CH c +=+=+．
注此性质的证明，或由勾股定理有
()()222222222222AH BC AE HE BE CE AE EB HE CE AB CH +=++++++=+=等，即可．
【解题反思】三角形的三条高线相交于一点为垂心，通过探究也具有丰富的性质。
【变式训练】设ABC △的外接圆半径为R ，则
求证：2cos AH R A =⋅，2cos BH R B =⋅，2cos CH R C =⋅ 【解析】证明当ABC △为锐角三角形时，如图，
显然有AHE ACB
∠=∠，从而sin sin AE
ACB AHE
AH
∠=∠=．在Rt ABE
△中，cos
AE AB BAC
=⋅∠，
故
cos2sin cos
2cos2cos sin sin
AB BAC R ACB BAC
AH R BAC R A ACB ACB
⋅∠⋅∠⋅∠
===⋅∠=⋅
∠∠
．
同理，2cos
BH R B
=⋅，2cos
CH R C
=⋅．
当ABC
△为钝角三角形时，不妨设A
∠为钝角．
此时，只需调换图中字母A与H，E与F的位置，图形不变，
即得2cos
AH R A
⋅
=，2cos
BH R B
=⋅，2cos
CH R C
=⋅．
当ABE
△为直角三角形时，不妨设A
∠为直角，此时，垂心H与A，E，F重舍．显然2cos
AH R A
=⋅，2cos
BH R B
=⋅，2cos
CH R C
=⋅．。