高中数学必修五 不等式的性质39页PPT
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人教高中数学不等式的基本性质PPT完美版
例题讲解 例1、比较两数(a+1)2与 a2－a+1值的大小。
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
•
6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
•
7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。
•
8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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谢谢
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•
1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
•
2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
•
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。
•
4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
•
6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
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7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。
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8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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•
1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
•
2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
•
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。
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4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
高中数学必修五：3.1不等关系与不等式课件(共18张PPT)
33
3
还有其它 解法吗?
两式相加得－1≤f(3) ≤20.
提示:整体构造 f (3) f (1) f (2) 利用对应系数相等
求的与 ,从而求其范围.
注意:本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割 断它们之间的联系
小结
不等式的性质
内
容
对称性
a b b a; a b b a
传递性 加法性质
所以 (a b) 0, 即b a 0, 所以b a.
性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性。
性质2：如果a>b，b>c，那么a>（c. 传递性）
证明：a b，b c a b 0，b c 0
(a b) (b c) 0
3.1.2
不等关系与不等式
1. 用不等式或不等式组表示不等关系.
2. a b a b 0 a bab0 a b a b 0
3.比较两个代数式的大小——作差比较法
作差 →变形→判断符号 →得出结论
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a， 那么a>b.
证明： 因为a b,所以a b 0，
b2
真
注:（1）运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件。
（2）一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格加以证 明，要判断一个命题为假命题，可举反例，或者由题中条 件推出与结论相反的结果。
例1.已知 a > b >0, c <0, 求证
c
c ＞.
ab
证明：因为a > b >0, 所以 ab >0, 1 >0.
得a+c>b+d.
新人教版必修五高中数学 3.1不等式的性质课件
推论：如果
a 且 b
，c d
那么 acb （ 相减d 法则）
证：∵ c ∴d cd
或证： ( a a cc ) b d ( b d a) c( a bb ) d ( c d )
a b cd
a b c d
=(a2-2a)+(b2+2b)+3
=(a-1)2+(b+1)2+1>0，
∴a2+b2+3>2(a-b)．
小结
作差后常进行配方，以便 于判断符号
例4、已知x>y且y≠0，比较x/y与1的大小。
解： ∵ x-1 =
y
x y y
∵x>y,∴x-y>0
当y<0时，
x y
<0，y 即
-1<0
x y
x
∴
y<1
当y>0时，
x>0y，y即
x
-1>0
∴
y
x
>1
y
b
2． 和
a
bm am
(a,b,mR)
练习： 1、比较(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小。
2、如果x>0，比较( -1)2与(x +1) 2的大x小。
3、已知a≠0，比较(a2+ a+1)(a2- a+1)与(a2+a+1)(a2-
它也表示b-a>0
A
B
实数的大小和运算性质之间的关系:
a>b a-b>0 a=b a-b=0 a<b a-b<0
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
人教版高中数学必修五课件：不等式的性质
(2) n 1 n n 2 n 1.
(3) x2 5x 6与2x2 5x 9. (3) (2x2 5x 9) (x2 5x 6) x2 3 0.
(4)当x 1时, x3 与 x2 x 1. (4) x3 ( x2 x 1) (x 1)(x2 1) 0.
人教版高中数学必修五课件：3.1不等 式的性 质(共1 7张PPT )
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不等式的基本性质
方法2:换底公式求商比较法
解 : 0 x 1,0 1 x 1,1 x 1, 0 1 x2 1,
log(1x) (1 x) 0 , N loga (1 x) 0 ,
M N
loga (1 x) loga (1 x)
拓展 : a b a2n1 b2n1(n N ). 推论3 : 开方法则 a b 0 n a n b 0(n N ).
可简单记为:5定3推1拓展共9条性质
不等式的基本性质
例1.比较下列各组中两个数或代数式的大小. (1) 2 3 7 与4.
(1) 2 3 7 4.
(2) n 1 n 与 n 2 n 1, n N .
必修5 第三章 不等式
§3.1 不等式的基本性质
不等式的基本性质
1.不等式的定义
用不等号___、 ___、 ___、 ___和 ___连接的
式子就叫做不等式.
2.实数比较大小的原理
a b __a__b___0__ ; a b __a___b___0_ ; a b __a___b___0_ .
3.求差比较法 作差→ 变形→判号
不等式的基本性质
4.求商比较法
当b 0时 a 1
a b ___b______ ; a 1
(3) x2 5x 6与2x2 5x 9. (3) (2x2 5x 9) (x2 5x 6) x2 3 0.
(4)当x 1时, x3 与 x2 x 1. (4) x3 ( x2 x 1) (x 1)(x2 1) 0.
人教版高中数学必修五课件：3.1不等 式的性 质(共1 7张PPT )
人教版高中数学必修五课件：3.1不等 式的性 质(共1 7张PPT )
不等式的基本性质
方法2:换底公式求商比较法
解 : 0 x 1,0 1 x 1,1 x 1, 0 1 x2 1,
log(1x) (1 x) 0 , N loga (1 x) 0 ,
M N
loga (1 x) loga (1 x)
拓展 : a b a2n1 b2n1(n N ). 推论3 : 开方法则 a b 0 n a n b 0(n N ).
可简单记为:5定3推1拓展共9条性质
不等式的基本性质
例1.比较下列各组中两个数或代数式的大小. (1) 2 3 7 与4.
(1) 2 3 7 4.
(2) n 1 n 与 n 2 n 1, n N .
必修5 第三章 不等式
§3.1 不等式的基本性质
不等式的基本性质
1.不等式的定义
用不等号___、 ___、 ___、 ___和 ___连接的
式子就叫做不等式.
2.实数比较大小的原理
a b __a__b___0__ ; a b __a___b___0_ ; a b __a___b___0_ .
3.求差比较法 作差→ 变形→判号
不等式的基本性质
4.求商比较法
当b 0时 a 1
a b ___b______ ; a 1
高中数学不等式的性质课件新人教必修
推论2：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
证明：因为a>b，所以a+c>b+c， 又因为c>d，所Ev以aluba+tcio>nbo+ndl，y.
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根据C不op等yri式gh的t 20传04递-2性01得1 Aas+pco>sbe+Pdt.y Ltd.
根据C性op质yri3g的ht 2推00论4-22，01得1 Aspose Pty Ltd.
a+(－c)>b+(－d)，即a－c>b－d.
（3）已知a>b>0，0<c<d，求证：ac
b d
证明：（3）因为0<c<d，根据（1）的结
Cre论at得又edC因1cwopi为tyhrd1aiAg>shbpt0>o2Es00ve，0a.4Slu所-l2iad0t以ei1os1nafAoorsn1cp.lNyo.EsbeT dP13t.y5
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc. 推论1：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
证明：因为a>Ebv，aluca>t0io，n o所nl以y. ac>bc，
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又因C为opcy>ridgh，t 2b0>004，-2所01以1 Abscp>obsde，Pty Ltd.
新课标人教A版数学必修5全部课件：不等式的性质
第1课时 不等式的性质及比较 法证明不等式
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通 过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式 命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质： 1.a＞b b＜a.(反身性) 2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性) 3.a＞b a+c＞b+c.(平移性) 4.a＞b，c＞0 => ac＞bc； a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性) 5.a＞b≥0 => n a n b ，n∈N，且n≥2.(乘方性) 6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性) 7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性) 8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性)
2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用 比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——定号.其中 的“变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数； 有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商——变形 ——与1比较大小.
返回
课前热身
1.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系为 a＜ab2＜ab ____________. 2.设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，则A，B的大小关系 为A____B. ＞
b2
【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)— —变形——判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、 因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的 积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比 较大小. (2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通 过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式 命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质： 1.a＞b b＜a.(反身性) 2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性) 3.a＞b a+c＞b+c.(平移性) 4.a＞b，c＞0 => ac＞bc； a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性) 5.a＞b≥0 => n a n b ，n∈N，且n≥2.(乘方性) 6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性) 7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性) 8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性)
2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用 比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——定号.其中 的“变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数； 有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商——变形 ——与1比较大小.
返回
课前热身
1.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系为 a＜ab2＜ab ____________. 2.设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，则A，B的大小关系 为A____B. ＞
b2
【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)— —变形——判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、 因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的 积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比 较大小. (2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：
高中数学人教版必修5：2.1等式与不等式性质(共29张PPT)
练习:
5. 若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式 成立的是 ( C )
A. 1 1 ab
C.
a c2
1
b c2
1
B. a2 b2 D.a c b c
练习:
5. 若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式 成立的是 ( C )
A. 1 1 ab
C.
a c2
1
b c2
1
B. a2 b2 D.a c b c
练习:
4. 有以下四个条件： (1) b＞0＞a； (2) 0＞a＞b； (3) a＞0＞b； (4) a＞b＞0.
其中能使 1 1 成立的有________个. ab
练习:
4. 有以下四个条件： (1) b＞0＞a； (2) 0＞a＞b； (3) a＞0＞b； (4) a＞b＞0.
其中能使 1 1 成立的有____3____个. ab
A. b b 1 a a1
C. a 1 b 1 ba
B. a 1 b 1 ab
D. 2a b a a 2b b
练习:
3. 若a＞b＞0 ，则下列不等式总成立的 是 (C)
A. b b 1 a a1
C. a 1 b 1 ba
B. a 1 b 1 ab
D. 2a b a a 2b b
(4) a b, c 0 ac bc ; (可乘性) a b, c 0 ac bc
讲授新课
常用的基本不等式的性质
(5) a b 0,c d 0 ac bd
(同向不等式的可乘性)
讲授新课
常用的基本不等式的性质
(5) a b 0,c d 0 ac bd
(同向不等式的可乘性)
2.1等式性质与 不等式性质
人教A版高中数学必修五课件：不等式性质.pptx
证明:
定理1:若a>b，则b<a;若b<a，则 a>b(对称性)即：a>b⇔b<a. 定理2:若a>b且b>c,则a>c．(传递 性) 即定：理a3>:若b,ab>>bc,a则>ac+. c>b+c．(可加 性)
证明:
结论：同向不等式相加，不等号不变.
定理1:若a>b，则b<a;若b<a，则 a>b(对称性)即：a>b⇔b<a. 定理2:若a>b且b>c,则a>c．(传递 性) 即定：理a3>:若b,ab>>bc,a则>ac+. c>b+c．(可加 性)
由16<x<32得
1/32<1/x<1/16
又4<y<8 所以有4/32<y/x<8/16
即1/8<y/x<1/2
练习:
1、π/4<x<y<π/2求y+x，y-x的取值范围
2、已知2<a≤5,3≤b<10求a-b，a/b的取值 范围。
四.小结:不等式的性质与法则
• 对称性: • 传递性 • 可加性 • 可乘性 • 移项法则
• 加法法则 • 乘法法则 • 乘方法则 • 开方法则
③定号;④结论
二.学习新课—不等式的性质 定理1:若a>b，则b<a;若b<a ，则a>b．(对称性)即： 证a明>b: ⇔b<a.
即：a>b⇔b<a
定理1:若a>b，则b<a;若b<a，则a>b( 对称性)即：a>b⇔b<a.
定理1:若a>b，则b<a;若b<a，则 a>b(对称性)即：a>b⇔b<a. 定理2:若a>b且b>c,则a>c．(传递 性) 即定：理a3>:若b,ab>>bc,a则>ac+. c>b+c．(可加 性)
证明:
结论：同向不等式相加，不等号不变.
定理1:若a>b，则b<a;若b<a，则 a>b(对称性)即：a>b⇔b<a. 定理2:若a>b且b>c,则a>c．(传递 性) 即定：理a3>:若b,ab>>bc,a则>ac+. c>b+c．(可加 性)
由16<x<32得
1/32<1/x<1/16
又4<y<8 所以有4/32<y/x<8/16
即1/8<y/x<1/2
练习:
1、π/4<x<y<π/2求y+x，y-x的取值范围
2、已知2<a≤5,3≤b<10求a-b，a/b的取值 范围。
四.小结:不等式的性质与法则
• 对称性: • 传递性 • 可加性 • 可乘性 • 移项法则
• 加法法则 • 乘法法则 • 乘方法则 • 开方法则
③定号;④结论
二.学习新课—不等式的性质 定理1:若a>b，则b<a;若b<a ，则a>b．(对称性)即： 证a明>b: ⇔b<a.
即：a>b⇔b<a
定理1:若a>b，则b<a;若b<a，则a>b( 对称性)即：a>b⇔b<a.
人教A版高中数学必修五课件3.1.2不等式的性质及应用.pptx
栏目链接
跟踪
训练
证法二：∵c<d，∴－c>－d.
又a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)．
即a－c>b－d.
(2)当a>b≥0时，
∵n∈N，且n>1，
栏目链接
∴an>bn， n
n a>
b.
当a>0>b时，
∵n为奇数，
跟踪
训练
∴an>0，bn<0，n a>0， n b<0.
∴an>bn， n
n a>
论．
栏目链接
自测 自评
栏目链接
1．已知a≥b，则下列不等式正确的是( B )
A.1a≥1b
B．ac2≥bc2
C.ca2＞cb2
D．(ac)2≥(bc)2
自测
自评
栏目链接
2．(2013·上海卷)如果a<b<0，那么下列
不等式成立的是( D )
11 A.a<b
B．ab<b2
C．－ab<－a2 D．－1a<－1b
跟踪
训练
1．对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( ) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则1a＞1b C．若a＜b＜0，则ba＞ab D．若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0
栏目链接
跟踪 训练
解析：解法一：∵c2≥0，∴c＝0时， 有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0⇒aab＞abb⇒1b＞1a， 故B为假命题；
1 2
>
1 2
；
(3)若 a＞b＞c，则有 a|c|＞b|c|.