直线与方程知识点总结
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补充：
1、直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
（2）．已知斜率k的范围，求倾斜角 的范围时，若k为正数，则 的范围为 的子集，且k=tan 为增函数；若k为负数，则 的范围为 的子集，且k=tan 为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。
①直线 到 的角（方向角）；直线 到 的角，是指直线 绕交点依逆时针方向旋转到与 重合时所转动的角 ，它的范围是 ，当 时 .
②两条相交直线 与 的夹角：两条相交直线 与 的夹角，是指由 与 相交所成的四个角中最小的正角 ，又称为 和 所成的角，它的取值范围是 ，当 ，则有 .
6.直线 上一动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：
2.几种距离
（1）两点间的距离
平面上的两点 间的距离公式
特别地，原点 与任一点 的距离
（2）点到直线的距离
点 到直线 的距离
（3）两条平行线间的距离
两条平行线 , 间的距离
（注意：
1求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）
（1）中心对称
①若点 及 关于 对称，则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用 ，由点斜式得到所求直线方程。
（2）轴对称
①点关于直线的对称
若两点 与 关于直线 对称，则线段 的中点在对称轴 上，而且连接 的直线垂直于对称轴 上，由方程组
令
从而该直线必过定点
8. 点到几种特殊直线的距离
（1）点 到x轴的距离 。
（2）点 Biblioteka Baiduy轴的距离 .
（3）点 到与x轴平行的直线y=a的距离 。
（4）点 到与y轴平行的直线x=b的距离 .
9. 与已知直线平行的直线系有：
（1）平行于直线
（2）平行于直线
10. 易错辨析：
（1） 讨论斜率的存在性：
解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：
(1)在直线 上求一点P，使 取得最小值，
1若点 位于直线 的同侧时，作点 （或点 ）关于 的对称点 或 ,
2若点 位于直线的异侧时，连接 交于 点 ，则 为所求点。
可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.
（2）在直线 上求一点 使 取得最大值，
可得到点 关于 对称的点 的坐标 （其中 ）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
注：①曲线、直线关于一直线 对称的解法： 换 ， 换 .例：曲线 关于直线 对称曲线方程是
②曲线 关于点 的对称曲线方程是
5. 两条直线的交角
①斜率为 且过定点 的直线系方程为 ；
②过两条直线 , 的交点的直线系方程为 （ 为参数），其中直线l2不在直线系中.
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是 , 两条直线的交点坐标就是方程组 的解，
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
1斜率不存在时，是否满足题意；
2斜率存在时，斜率会有怎样关系。
（2）注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；
（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）
（3） 直线到两定点距离相等，有两种情况：
1直线与两定点所在直线平行；
2直线过两定点的中点。
（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。）
二、直线的方程
1、直线方程的几种形式
名称
方程的形式
已知条件
局限性
点斜式
为直线上一定点， 为斜率
不包括垂直于x轴的直线
斜截式
为斜率， 是直线在y轴上的截距
不包括垂直于x轴的直线
两点式
是直线上两定点
不包括垂直于x轴和y轴的直线
截距式
是直线在x轴上的非零截距， 是直线在y轴上的非零截距
不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线
②经过两点 （ ）的直线的斜率公式是 （ ）
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线 ，其斜率分别为 ，则有 。
特别地，当直线 的斜率都不存在时， 的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线 斜率存在，设为 ，则
注：两条直线 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 互相垂直。
2、利用斜率证明三点共线的方法：
已知 若 ，则有A、B、C三点共线。
注：斜率变化分成两段， 是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
3.两条直线位置关系的判定：
已知 , ，则：
（1）
（2）
（3）
（4） 与 相交
如果 时，则：
(1)
(2) ；
(3) 与 重合
(4) 与 相交
4. 有关对称问题
常见的对称问题：
直线与方程知识点总结
一、直线基本知识
1、直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
1关于倾斜角的概念要抓住三点：
ⅰ.与x轴相交; ⅱ.x轴正向;ⅲ.直线向上方向.
2直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 .
3倾斜角 的范围 .
4 ；
（2）直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为 的直线斜率不存在。
（4）过点 ，平行于 轴的直线方程为
过点 ，平行于 轴的直线方程为
方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”
1若点 位于直线 的同侧时，连接 交于 点 ，则 为所求点。
2若点 位于直线的异侧时，作点 （或点 ）关于 的对称点 或 ,
(3) 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
7.直线过定点问题：
1含有一个未知参数，
（1）
令 ，
将 ，从而该直线过定点
2含有两个未知参数
一般式
， ， 为系数
无限制，可表示任何位置的直线
注：过两点 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若 ，直线垂直于x轴，方程为 ；
（2）若 ，直线垂直于y轴，方程为 ；
（3）（3）若 ，直线方程可用两点式表示）
2、线段的中点坐标公式
若两点 ，且线段 的中点 的坐标为 ，则
3. 过定点的直线系
1、直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
（2）．已知斜率k的范围，求倾斜角 的范围时，若k为正数，则 的范围为 的子集，且k=tan 为增函数；若k为负数，则 的范围为 的子集，且k=tan 为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。
①直线 到 的角（方向角）；直线 到 的角，是指直线 绕交点依逆时针方向旋转到与 重合时所转动的角 ，它的范围是 ，当 时 .
②两条相交直线 与 的夹角：两条相交直线 与 的夹角，是指由 与 相交所成的四个角中最小的正角 ，又称为 和 所成的角，它的取值范围是 ，当 ，则有 .
6.直线 上一动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：
2.几种距离
（1）两点间的距离
平面上的两点 间的距离公式
特别地，原点 与任一点 的距离
（2）点到直线的距离
点 到直线 的距离
（3）两条平行线间的距离
两条平行线 , 间的距离
（注意：
1求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）
（1）中心对称
①若点 及 关于 对称，则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用 ，由点斜式得到所求直线方程。
（2）轴对称
①点关于直线的对称
若两点 与 关于直线 对称，则线段 的中点在对称轴 上，而且连接 的直线垂直于对称轴 上，由方程组
令
从而该直线必过定点
8. 点到几种特殊直线的距离
（1）点 到x轴的距离 。
（2）点 Biblioteka Baiduy轴的距离 .
（3）点 到与x轴平行的直线y=a的距离 。
（4）点 到与y轴平行的直线x=b的距离 .
9. 与已知直线平行的直线系有：
（1）平行于直线
（2）平行于直线
10. 易错辨析：
（1） 讨论斜率的存在性：
解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：
(1)在直线 上求一点P，使 取得最小值，
1若点 位于直线 的同侧时，作点 （或点 ）关于 的对称点 或 ,
2若点 位于直线的异侧时，连接 交于 点 ，则 为所求点。
可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.
（2）在直线 上求一点 使 取得最大值，
可得到点 关于 对称的点 的坐标 （其中 ）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
注：①曲线、直线关于一直线 对称的解法： 换 ， 换 .例：曲线 关于直线 对称曲线方程是
②曲线 关于点 的对称曲线方程是
5. 两条直线的交角
①斜率为 且过定点 的直线系方程为 ；
②过两条直线 , 的交点的直线系方程为 （ 为参数），其中直线l2不在直线系中.
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是 , 两条直线的交点坐标就是方程组 的解，
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
1斜率不存在时，是否满足题意；
2斜率存在时，斜率会有怎样关系。
（2）注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；
（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）
（3） 直线到两定点距离相等，有两种情况：
1直线与两定点所在直线平行；
2直线过两定点的中点。
（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。）
二、直线的方程
1、直线方程的几种形式
名称
方程的形式
已知条件
局限性
点斜式
为直线上一定点， 为斜率
不包括垂直于x轴的直线
斜截式
为斜率， 是直线在y轴上的截距
不包括垂直于x轴的直线
两点式
是直线上两定点
不包括垂直于x轴和y轴的直线
截距式
是直线在x轴上的非零截距， 是直线在y轴上的非零截距
不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线
②经过两点 （ ）的直线的斜率公式是 （ ）
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线 ，其斜率分别为 ，则有 。
特别地，当直线 的斜率都不存在时， 的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线 斜率存在，设为 ，则
注：两条直线 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 互相垂直。
2、利用斜率证明三点共线的方法：
已知 若 ，则有A、B、C三点共线。
注：斜率变化分成两段， 是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
3.两条直线位置关系的判定：
已知 , ，则：
（1）
（2）
（3）
（4） 与 相交
如果 时，则：
(1)
(2) ；
(3) 与 重合
(4) 与 相交
4. 有关对称问题
常见的对称问题：
直线与方程知识点总结
一、直线基本知识
1、直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
1关于倾斜角的概念要抓住三点：
ⅰ.与x轴相交; ⅱ.x轴正向;ⅲ.直线向上方向.
2直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 .
3倾斜角 的范围 .
4 ；
（2）直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为 的直线斜率不存在。
（4）过点 ，平行于 轴的直线方程为
过点 ，平行于 轴的直线方程为
方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”
1若点 位于直线 的同侧时，连接 交于 点 ，则 为所求点。
2若点 位于直线的异侧时，作点 （或点 ）关于 的对称点 或 ,
(3) 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
7.直线过定点问题：
1含有一个未知参数，
（1）
令 ，
将 ，从而该直线过定点
2含有两个未知参数
一般式
， ， 为系数
无限制，可表示任何位置的直线
注：过两点 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若 ，直线垂直于x轴，方程为 ；
（2）若 ，直线垂直于y轴，方程为 ；
（3）（3）若 ，直线方程可用两点式表示）
2、线段的中点坐标公式
若两点 ，且线段 的中点 的坐标为 ，则
3. 过定点的直线系