工程电磁场期末知识点总结

工程电磁场课程总结大作业

1. 静电场

本章研究的对象是静电场，静电场是相对于观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场，静电场中最主要的场量是电场强度E 和标量电位ϕ。首先是从库伦定律

1212

21204πq q R ε=

⋅e F

2112

=-F F

出发，注意此式适用条件：两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力; 且在真空中成立，真空中的介电常数

12

08.8510ε-=⨯F/m 。进而引入电场强度：

000

=lim

q f E q →

根据此式不难推出真空中单个点电荷引起的电场强度的一般表达式：

3

0()(')4π'

p q ε=

--E r r r r r

n 个点电荷产生的电场强度 ( 矢量叠加原理 )：

3

10()

1()4πN k k k k q ε='-='-∑r r E r r r 连续分布电荷产生的电场强度： 体电荷分布：

2

01

d 4πR V V R

ρε'

'

=

⎰

E e

面电荷分布：

2

01d 4πR

S S R

σε'

'

=

⎰

E e

线电荷分布：

2

1d

4πR

l l R τε'

'

=

⎰

E e

由上面公式可以看出，当电荷分布不具有规律时，此时求电场的分布是非常困难的，所以这个时候就要寻求一种新的求解电场的方法，根据亥姆霍兹定理可以知道，从旋度和散度的角度去求电场可以使得问题变得简单。

首先从静电场的环路定律，在静电场沿任何一条闭合路径做功为零，即：0

l

Edl =⎰这样由Stokes’定理，静电场在任一闭合环路的环量：

d ()d 0l

s

⋅=∇⨯⋅≡⎰⎰E l E S

0∇⨯=E

此式说明了静电场中电场强度的旋度等于0，即电场力作功与路径无关,静电场是保守场，是无旋场。又根据数学知识知，标量函数的梯度的旋度等于0，

φ=-∇E

因此可以用一个标量函数的负梯度来表示电场强度，即静电场的标量电位或简称电位,E 就是φ的最大减小率，负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。又由上面推导不难看出，φ与 E 的积分关系---电位差，设P0为电位参考点，即0

P φ=，则P 点电位

为：

d P P P

φ=⋅⎰E l

d d ()()Q

Q

P

P

E l P Q φφφ⋅=-=-⎰

⎰

由上式可以看出，P 、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P 点移至Q 点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。电位参考点是非常重要的，工程上一般取大地为参考点，理论上取无穷远为参考点。另外，也可以根据上面的计算可以得到点电荷周围的电位为：

0()4π'

q

C φε=

+-r r r

接下来是静电场中的高斯定律，真空中的高斯定律为：

1

1

d n

i S

i q ε=⋅=

∑⎰

E S

(')

()ρε∇⋅=

r E r 由于实际生活中，总存在某种介质，故为了计算当有介质存在时，对已有电场的影响，引入了电极化强度P 和D ，这样只需考虑电介质中的高斯定律即可：

p 0000

()f f f ρρρρερεεε+-∇⋅∇⋅=

==→∇⋅+=P E E P ρ∇⋅=D

d S

q ⋅=⎰

D S

这样就描述了静电场中散度，但D 和E 还需有一个关系，在各向同性介质中：

ε=D E 0r εεε=

通过上面高斯定律的公式可以看出高斯定律可以很容易求对称性的场。

通过上面两个定律可以看出静电场的散度和旋度都通过以上的公式表达出来，这样就可以求解场的问题，即构成了基本方程：

积分形式：

d 0l

⋅=⎰E l

d S

q ⋅=⎰

D S

微分形式： 0∇⨯=E

ρ∇⋅=D

构成方程：

ε=D E

静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源

除开基本方程外，必须描述一个区域内外界对其的影响，着就必须边界效应，边界上的效应可以等效外界对该区域的影响，各个衔接条件如下：

2n 1n D D σ-= D 的法向分量不连续

21t t E E = E 的切向分量连续

12φφ= 电位连续

121

2n n

φφ

εεσ∂∂-=∂∂ 电位的法向导数不连续 有上面的基本方程可以导出更加简单的方程：2ρ

φε

∇=-

泊松方程 当ρ=0时 20φ∇= 拉普拉斯方程

这样在根据边界条件、初始条件就可以求解整个场的问题。由于计算的复杂度，根据唯一性定理可以求解大部分电磁场问题，并衍生了一系列方法：分离变量法，有限差分法，镜像法和电轴法。

最后就是场的能量，场的能量是一个场的系统所具有的总的能量，若有 n 个点电

荷的系统，静电能量为：1

12n

i i i W q φ==∑ 单位：J （焦耳）

若是连续分布的电荷，1d ,2V W V ρφ=

⎰1d ,2S W S σφ=⎰1

d 2

l W l τφ=⎰ 2. 恒定电场

通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，它与静电场有相似之处。

实际生活中有三种电流：传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动。运动电流——带电

粒子在真空中的定向运动。位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。在恒定电场中主要考虑的是传导电流，由于电流通俗的定义没有描述具体某一点处电流强度到底多大，这不得不引入新的物理量来表示电流，即电流密度。电流面密度 J ，体电荷

ρ以速度 v 作匀速运动形成的电流。

2A m ρ=J v

d S

I =⋅⎰J S

电流线密度 K ，面电荷σ在曲面上以速度 v 运动形成的电流。（e n 是垂直于 d l ，且通过 d l 与曲面相切的单位矢量）

A m σ=K v

n () d l

I l =⋅⎰K e

元电流是元电荷以速度V 运动形成的电流：

d ()d d (d d (d V V S S I ρστ→→→体电流元面电流元）线电流元）νJ ν K νl l

当引入新的物理量时，不得不去重新考虑欧姆定律和焦耳定律，不难知道以前所表示的需要在一定的条件下才能满足，即线性同性。

欧姆定律的微分形式：γ=J E 欧姆定律 积分形式：U RI =

焦耳定律微分形式：p =⋅J E W/m 3

焦耳定律积分形式：2d V

P V UI I R =

⋅==⎰

J E W

不难推出，当在电流环内不包含电源时，取闭合环路并积分，可以知道

d 0l

⋅=⎰E l