第二章 概率和概率分布
第2章概率
随机变量及其分布
§2.1 随机变量 离散型随机变量 §2.2 随机变量的分布函数 §2.3 连续型随机变量及其分布 §2.4 随机变量的函数的分布
1
§2.1 随机变量 量
2.1.1 随机变量的概念
离散型随机变
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1, 2, , 6 (2)电话总机在单位时间内接到的呼唤次数 Y 0，1，2，…… (3)某电子元件的使用寿命 T [0, ) (4) 将一枚硬币抛掷两次，观察正面出现的次数 Z
X ~ ( ),
e e
3e 2
2
P{ X 3} 1 P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2}
21 2 2 2 2 1 e 2 e e 1 5e 2 0.323 1! 2!
27
四、 超几何分布
定义4 称 X 服从参数为N, M, n (M≤N, n≤N)的 超几何分布 ( X ~ h(N, M, n)), 若 X 的分布律为
n k N M n N
C C P{ X k } C
k M
( k 0, 1, , r , r min{ M , n})
注 背景： 若N个元素分为A、B两类，A类中含有 M（M≤N）个元素．任取n个，则这n 个元素中 含有A类元素的个数 X ~ h( N, M, n).
28
§2.2 随机变量的分布函数
击, 每人射击一次，各人击中目标的概率依次为
0.7，0.6，0.5, 求目标被击中次数 X 的分布律.
解：设A, B, C分别表示甲、乙、丙击中目标，
X所有可能的取值为0, 1, 2, 3.
P{ X 0} P ( ABC ) 0.3 0.4 0.5 0.06
概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量及其概率分布
以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台 数”以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i人维护的20台中 ,
发生故障时不能及时维修”, 则知80台中发生故障
而不能及时维修的概率为
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 )
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
3、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习1 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用10ห้องสมุดไป่ตู้0小时已坏的灯泡数 . 把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} 视为事件A .每次试验, A )3+3(0.8)(0.2)2 =(0.2出现的概率为0.8
本例中，n=20，p=0.2, 所以，(n+1)p=4.2, 故k0=4。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习3 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其 一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同 维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法
第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
概率论与数理统计第二章
且
这样，我们就掌握了X这 个随机变量取值的概率 规律。
一、离散型随机变量概率分布的定义
1、定义 设离散型随机变量X的所有可能取值为xk （k=1, 2, …），称X取各个可能值的概率，即事件 ｛X=xk｝的概率， P｛X=xk｝=pk, （k=1, 2, …） 为X的分布律或概率分布（Probability distribution ）。也可以表示为 X x1 x2 … xk … pk p1 p2
② 进行5次试验，事件D={试验成功一次}，F={试 验至少成功一次}，G={至多成功3次} X：试验成功的次数
二、引入随机变量的意义
随机变量概念的引入是概率论走向成熟的一个标 志，它弥补了随机试验下的随机事件种类繁多， 不易一一总结它们取值规律的缺陷，因为如果知 道随机变量的分布， 随机试验下任一随机事件 的概率也随之可以得到；另外引入随机变量后， 可以使用高等数学的方法来研究随机试验。
0-1分布 b n, p) 二项分布 B （(n,p) p 泊松分布 P( ) ()
正态分布的概率计算
均匀分布 U(a,b) N (m ,2)2) 正态分布 N(a, ) 指数分布 EE(q) （
§2.1 随机变量
一、随机变量概念的产生
在实际问题中，有些随机试验的结果本身就是 数值（如班级的平均分数），而许多并不是数 值（掷硬币的结果）。我们对数值的处理比较 得心应手。因此，如果能用数值来表示样本空 间的样本点，就会非常方便。由此就产生了随 机变量的概念。
1, X (e ) 0,
e = H； e = T．
再如：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面和反
面的情况，则样本空间是S={HHH, HHT, HTH,
THH, HTT, THT, TTH, TTT}。令X表示三次投掷
概率论课件：第二章随机变量及其概率分布
π 3π ⎞ ⎛ π 0 ⎟ 22.设随机变量 X 的分布律为 ⎜ 2 2 ⎟ ，求 Y 的分布律： ⎜ ⎝ 0.3 0.2 0.4 0.1 ⎠
（1） Y = ( 2 X − π ) ;
2
（2） Y = cos( 2 X − π ). ⎧2 x , 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩0 , 其它
它意味着第 i 次（ i ≥ k ）成功，且 i − 1 次试验中成功 k − 1 次，设这两个事件分别为A1 ，A2，
则A = A 1 A 2 , 且P(A) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 )(A 1与A 2 独立 ), 而 P(A 1 ) = p,
1 k −1 1 k −1 i − k P( A2 ) = Cik−− ⋅ q i −1−( k −1) = Cik−− q . 1 p 1 ⋅ p
, ( 2,6),
, (6,1),
例如(6,1) , (6,6)} .这里，
8
5 36
9
4 36
10
3 36
11
2 36
12
1 36
PK
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
概率 P{X = k }, k = 0,1,2,3.
2、分析： 显然 X 服从离散型概率分布，而且 X 的可能取值为 0，1，2，3.问题归结为求
∴ X 的分布律为：
P{X = 0} = P ( A1 ) = 1 / 2; P{X = 1} = P ( A1 A2 ) = 1 / 2 2 ; P{X = 2} = P ( A1 A2 A3 ) = 1 / 2 3 ;
X Pi
概率分布和概率分布律
概率分布和概率分布律【原创版】目录一、概率分布的定义和意义二、概率分布律的概念和性质三、概率分布律的类型和应用四、总结正文一、概率分布的定义和意义概率分布是指用于表述随机变量取值的概率规律。
在概率论中，随机变量是描述随机现象的重要工具，而概率分布则是用来描述随机变量取值的可能性。
事件的概率表示了一次试验中某一个结果发生的可能性大小。
若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即随机试验的概率分布。
概率分布的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
在理论上，概率分布是概率论的一个重要研究对象，可以深入研究随机现象的内在规律；在实际应用中，概率分布可以用于风险评估、数据分析、可靠性分析等领域。
二、概率分布律的概念和性质概率分布律是指随机变量取某个值的概率。
具体来说，假设随机变量X 的概率分布为 F(x)，那么 F(x) 表示 X 取值小于等于 x 的概率。
概率分布律具有以下性质：1.0 ≤ F(x) ≤ 1，即概率分布律的取值范围在 0 到 1 之间。
2.F(-∞) = 0，即随机变量取负无穷大的概率为 0。
3.F(+∞) = 1，即随机变量取正无穷大的概率为 1。
4.F(x) 是单调递增的，即随着 x 的增加，F(x) 的值也递增。
5.F(x) 是右连续的，即对于任意一个 x，有 F(x+) = F(x)。
三、概率分布律的类型和应用概率分布律可以分为离散型和连续型两种。
离散型概率分布律是指随机变量取有限个或可数无限个值的概率分布律，如伯努利分布、二项分布等；连续型概率分布律是指随机变量取值在一个区间内的概率分布律，如正态分布、指数分布等。
概率分布律在实际应用中有广泛的应用，例如在风险评估中，可以通过概率分布律来估计某一风险发生的可能性；在数据分析中，可以通过概率分布律来分析数据的分布特征；在可靠性分析中，可以通过概率分布律来评估产品的寿命等。
四、总结概率分布是描述随机变量取值的概率规律，是概率论的一个重要研究对象。
概率论第二章知识点
第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度： 均匀分布的期望：()2a bE X +=均匀分布的方差：2()()12b a D X -=（2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩则称X 服从参数为λ的指数分布，记为 X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a ab x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a ab x f指数分布的期望：1()E X λ=指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X 的概率密度为22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==2222()()x t xx ex e dt ϕφ---∞=⎰标准正态分布表的使用： （1）0()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数：设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
概率分布和概率分布律
概率分布和概率分布律概率分布是概率论中的一个重要概念，它描述了随机变量的所有可能取值及其对应的概率。
概率分布可以用来描述随机事件发生的可能性大小，是统计分析和推断的基础。
概率分布可以分为离散型和连续型两种。
离散型概率分布是指随机变量只能取有限个或可列个取值的情况，其概率可以用概率分布律表示。
概率分布律是指在离散型概率分布中，每个取值对应的概率。
以掷骰子为例，假设一个骰子的每个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6。
如果我们想知道掷骰子后出现某个数字的概率，就可以使用概率分布律来描述。
在这个例子中，每个数字出现的概率都是1/6，因为骰子是均匀的，每个面出现的可能性是相等的。
所以，掷骰子的概率分布律可以表示为：P(1) = 1/6P(2) = 1/6P(3) = 1/6P(4) = 1/6P(5) = 1/6P(6) = 1/6这个概率分布律告诉我们，在掷骰子的过程中，每个数字出现的概率都是1/6。
除了离散型概率分布律，还有连续型概率分布。
连续型概率分布是指随机变量的取值可以是任意的实数，其概率可以用概率密度函数表示。
概率密度函数是描述连续型概率分布的函数，它的值并不表示概率，而是在某个取值附近的概率密度。
以正态分布为例，正态分布是一种常见的连续型概率分布，也被称为高斯分布。
它的概率密度函数可以用一个钟形曲线来表示，曲线的中心对应着平均值，曲线的宽度对应着标准差。
正态分布在自然界中广泛存在，例如身高、体重等。
正态分布的概率密度函数形式如下：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-((x - μ)^2) / (2σ^2))其中，μ表示平均值，σ表示标准差。
概率密度函数告诉我们，在正态分布中，随机变量取某个值的概率密度是多少。
概率分布和概率分布律在统计学中扮演着重要的角色。
它们可以帮助我们理解随机事件的分布情况，预测未来事件的可能性，进行统计推断和假设检验等。
在实际应用中，我们经常使用概率分布和概率分布律来描述和分析数据，以便更好地了解数据的特征和规律。
概率论 第二章 随机变量与概率分布
解 (1)X的分布函数为
0,
x 1
F
(
x)
1313,
1 2
5 6
,
1 x 1 1 x 2
1
1
1
1,
2 x
3 2 6
解 (2)P{0 X 2} F (2) F (0) 1 1 2 ,
33 P{0 X 2} P{0 X 2} P{X 2} 21 1.
a－b ab
2
0 1
x
2
解得：a=1/2 b=1/
X的密度为: f(x) = F(x) =
1 (1+ x2 )
(-<x<)
P{X2>1}=1－P{－1X 1}
＝1－{F(1)－F(－1)}＝1/ 2
例6. 设随机变量X的密度函数为：
ke－3x x>0
事件：{取到2白、1黑}＝{X=2}={Y=1}
4. 随机变量的分类 通常分为两类：
所有取值可以逐 个一一列举
离散型随机变量
随 机 变 量
全部可能取值不仅
如“取到次品的个数”，无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
“收到的呼叫数”等. 满一个或几个区间.
连续型随机变量 非离散型随机变量
非离散型非连续型
§4. 连续型随机变量的概率密度 1. 定义：对于随机变量X的分布函数F(x)， 如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F( x) x f (t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率 密度函数。简称概率密度。
概率密度的性质：
(1). f(x)0;
(2).
f
(
x)dx
概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件
表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32
概率与数理统计 第二章-2-离散型随机变量及其分布律
(0–1)分布的分布律也可以写成：
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1,0 p 1.
两点分布的模型为：
（1）Ω= {1, 2}， 只有两个基本事件。
P({1}) = p , P({2}) = 1-p =q.
令
X
()
1, 0,
1, 2,
（2） W A A ，有两个结果。
1
2
P 0.04 0.32 0.64
PX 0 0.2 0.2 0.04
PX 1 0.80.2 0.20.8 0.32
PX 2 0.8 0.8 0.64
(2) ∵是并联电路 ∴ P{线路接通} =P{只要一个继电器接通} =P{X≥1} =P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96
所以，X 的概率分布为
P{X k } C4k p k (1 p )4k ,
k 0, 1, 2, 3, 4 .
(1) 伯努利试验 若随机试验E只有两个可能的结果： 事件A发生与事件A不发生，则称这样的 试验为伯努利(Bermourlli)试验。记
P(A) p, P(A) 1 p q (0 p 1),
P{X=1}：o o o Co41 p1(1 p)41
P{X=2}：o o oo oo oo C42opo2(1oop)42
P{X=3}：ooo oo o o oo oooC43 p3(1 p)43 P{X=4}：oooo C44 p4(1 p )44 p4
其中“×”表示未中，“○”表示命中。
P(A) p, P(A) 1 p ；
③ 各次试验相互独立。
我们关心的问题是：
n次的独立伯努利试验中，事件A发生的次数 及A发生k次的概率。
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
第二章 随机变量及其函数的概率分布
第二章 随机变量及其函数的概率分布§2.1 随机变量与分布函数§2.2 离散型随机变量及其概率分布一、 填空题1. 某射手每次命中目标的概率为0.8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为k 的概率==)(k X P 3,2,1,0,)2.0()8.0(33=-k C k k k ；2. 设随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则==)4(X P 0.0902 ；3. 设X 服从参数为p 的两点分布，则X 的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=1 ,110 ,10,0)(x x p x x F ；4. 已知随机变量X 的概率分布：P(X =1)=0.2, P(X =2)=0.3, P(X =3)=0.5, 则其分布函数)(x F =0 10.2 120.5 231 3x x x x <⎧⎪≤<⎪⎨≤<⎪⎪≥⎩，，，，；5. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=3,131 ,8.011 ,4.01, 0)x x x x x F （, 则X 的概率分布为(1)0.4,(1)0.4,(3)0.2P X P X P X =-=====。
二、选择题设离散型随机变量X 的分布律为λ>=λ==则且,0),,2,1()(b k b k X P k 为（B ） (A) λ>0的任意实数; (B) ；11+=b λ (C) λ=b +1; (D) 11-=b λ. 三、 计算下列各题1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X 表示取出5个球的最大号码，试求X 的分布列。
解 X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(51041===-k C C k X P k所以X 的分布列为2. 一批元件的正品率为4，次品率为4，现对这批元件进行有放回的测试，设第X 次首次测到正品，试求X 的分布列。
概率论1-2章重点
随机事件：关系：A∪B=A+BA∩B=ABA∩B=∮，互斥A∩B=∮，A∪B=S，对立，互为逆事件运算：(A∪B)∪C= A∪(B∪C)，(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，(A∪B)’=A’∩B’=A’B’概率：注：P(AB)=0，AB=∮。
事件可并，概率得加。
不可能事件的概率为0，但反之不然。
两两互不相容的事件：P(A∪B∪C∪D)=P(A)+ P(B)+P(C)+P(D)P(A)’=1- P(A)P(A-B)= P(A)- P(AB)，若B属于A，则P(A-B)= P(A)- P(B)，P(A)≥P(B)P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)，若A,B互斥，则P(A∪B)= P(A)+P(B)古典概型：特征：随机试验只有有限个可能的结果；每一个结果发生的可能性大小相同。
从n个不同元素中任取k个的不同组合总数为：Cn k=n!/(n-k)!k!（有放回）从n个不同元素中任取k个的不同排列总数为：Pn k=n!/(n-k)!（不放回）条件概率：在事件A发生的条件下，时间B的条件概率：P(B︱A)=P(AB)/P(A)两两互不相容的事件：P(A∪B∪C︱D)=P(A︱D)+ P(B︱D)+P(C︱D)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B︱A)=P(B)P(A︱B)P(ABC)=P(A)P(B︱A) P(C︱AB)全概率公式：转化为在不同情况或不同原因下发生的简单时间的概率的求和问题。
设A1,A2,…,An为一个完备事件组，且P(Ai)大于0，则对任一事件B有：P(B)=P(A1)P(B︱A1)+ P(A2)P(B︱A2)+…+P(An)P(B︱An)贝叶斯公式：一事件已经发生，要考察引发该事件发生的各种原因或情况的可能性大小。
设A1,A2,…,An为一个完备事件组，则对任一事件B，P(B)大于0，有：P(Ai︱B)=P(AiB)/P(B)= P(Ai) P(B︱Ai)/∑P(Aj)P(B︱Aj)两个事件的独立性：若P(AB)=P(A)P(B)，则称A,B独立。
概率与概率分布
故乘客候车小于5min的概率为
1 P(0 5) dx 0.5 0 10
5
2、正态分布 一、 概念和公式的引出 正态分布 如果随机变量 的密度函数为
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
( x (,))
其中 , ( 0) 为参数，则称随机变量 服从参数为
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率 分布为
k P( k ) Cn p k (1 p) nk (k 1,2,, n)
则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球]
练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件 中一级品的只数为 ，求 的概率分布．
“出现正面”这一随机事件．
3.2.1 离散型随机变量及其分布
一、案例 二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
案例 [取球]
上面我们已经知道随机变量可以表示随机试验的
结果，有些随机试验的结果可用随机变量的取值按 一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用 取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出 离散型随机变量
k 10 k
的概率分布为
10 k
P( k ) C (0.2) (0.8)
(k 1,2, ...)
3．泊松分布 二、 概念和公式的引出 泊松分布 如果随机变量 的概率分布为
P( k )
k
k!
e
( 0, k 0,1,2,, n)
则称 服从参数为 的泊松分布，记作
概率统计各章节总结(1)
概率统计各章节总结(1)
概率统计各章节总结
概率统计是数学的一个分支，它研究随机事件的发生规律。
在实际生
活中，概率统计有着广泛的应用，如医学、金融、工程等领域。
以下
是对概率统计各章节的总结：
第一章：概率的基本概念
概率是描述随机事件发生的可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。
而随机事件是指在实验和观察中，不确定性因素所引起的事件。
第二章：概率分布函数
概率分布函数是指离散或连续型随机变量取某个值或某个区间的概率。
常用的概率分布有二项分布、正态分布等。
第三章：随机变量与概率密度函数
随机变量是指随机事件的数值表示，概率密度函数是连续型随机变量
的概率分布函数。
它对应的图像为概率密度曲线。
第四章：多维随机变量及其概率分布
多维随机变量是指两个或两个以上的随机变量组成的随机变量，它们
的取值可以是一个向量。
多维随机变量的概率分布可用联合概率分布
来表示。
第五章：大数定律和中心极限定理
大数定律指的是随着试验次数的增加，样本均值趋近于总体均值。
中心极限定理是指，样本均值的分布在n趋近于无穷大时逐渐趋近于正态分布。
第六章：参数估计
参数估计是利用样本数据来推断总体参数的方法。
它分为点估计和区间估计两种方法。
第七章：假设检验
假设检验是对总体参数是否符合我们提出的假设进行检验。
它分为单侧检验和双侧检验。
综上所述，概率统计的各章节涵盖面广，从概率的基本概念到假设检验，均有重要的理论和方法。
在实际生活和科学研究中，概率统计的应用和意义不可忽视。
概率论第二章
将 p = 0.5 代入，得
1 0 X ~ 0 .5 0.25 2 0.125 3 0 .0625 0 .0625 4
下面，重点介绍三种离散型随机变量的概率分 布。 （一）0-1分布 分布 若X 的分布律为 k 1− k P { X = k } = p (1 − p ) , k = 0 ,1 或者 0 1 X p pk 1− p 则称随机变量 X 服从参数为 的0-1分布 参数为p的 分布. 参数为 如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成 功的概率为p，则成功的次数 X 服从参数为p的0-1 分布。
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
= 1 − (0.99) − 20(0.01)(0.99) = 0.0169 设A为“四个人中至少有一个人来不及维修”这 一事件，则有
20 19
P( A) ≥ P{ X ≥ 2} = 0.0169
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
= 1 − (0.98)
400
− 400(0.02)(0.98)
399
直接计算上式比较麻烦，为此需要一个近似计算 公式。我们先引入一个重要的分布。
(三) 泊松分布 三 泊松分布(Poisson Distribution) 如果随机变量 X 的分布律为：
例6 社会上定期发行某种奖券,中奖率为p.某人 每次购买一张奖券,如果没有中奖则下次继续购买1 张,直至中奖为止.求该人购买次数的分布律. 解 设该人购买的次数为X ,则X的可能取值为
1, 2 , L .
{X = 1} 表示第一次购买就中奖,其概率为p.
概率论第二章
三。几种常用的离散型分布 （一）二项分布
B ( n, p )
在贝努里试验中，如果每次试验事件 发生的概率为 发生的概率为P， 在贝努里试验中，如果每次试验事件A发生的概率为 ，即
P ( A) = p,0 < p < 1, q = 1 − p
并设随机变量X表示在 次试验中事件 发生的次数 并设随机变量 表示在n次试验中事件 发生的次数, 表示在 次试验中事件A发生的次数 则称X服从二项分布，记作 则称 服从二项分布，记作X~ B ( n, 服从二项分布 其分布列为： p ) ，其分布列为： k k n−k 。 ） P{ X = k} = Cn p (1 − p) , k = 0,1,..., n （2。3） 特别， 特别，当n=1时，X~ B (1, 时
G ( p)
在贝努里试验中，如果每次试验事件 发生的概率为 发生的概率为P， 在贝努里试验中，如果每次试验事件A发生的概率为 ，即
P ( A) = p,0 < p < 1, q = 1 − p
并设随机变量X表示事件 首次发生的试验次数 则称X 并设随机变量 表示事件A首次发生的试验次数，则称 表示事件 首次发生的试验次数， 服从几何分布， 其分布列为： 服从几何分布， 几何分布 记作 X ~ G ( p ) ，其分布列为：
0 3 3 解：P ( X = 0) = C2 C3 / C5 = 1 / 10,
1 3 P( X = 1) = C2C32 / C5 = 6 / 10, 2 1 3 P( X = 2) = C2 C3 / C5 = 3 / 10,
通式为： 通式为：
2
k 3 3 P( X = k ) = C2 C3 − k / C5 , k = 0,1,2
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(5) 贝叶斯公式
Thomas Bayes (1702-1763)
设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且
P(Ai)>0，i=1,2,…,n；另有一事件B，它
总是与A1,A2,…,An 之一同时发生，则
第二章 概率和概率分布
主要内容
概率 概率分布 总体特征数
【引例】
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
解：
设两粒种子为甲和乙，
A={甲发芽}，B={乙发芽}，
由题意知 Ａ、B 相互独立，所求概率为：
P(AB)=P(A)P(B)=0.9×0.9=0.81
【例2】已知一批玉米种子的发芽率为0.9， 现每穴种两粒，求： 2. 至少有一粒种子发芽的概率
解：
设两粒种子为甲和乙，
A={甲发芽}，B={乙发芽}，
475
644 56 700
1 119
25
500
81
1 200
（2）在已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好 是次品的概率是_________ 解: 设A={产品为次品}，B={产品为甲厂生产}，概率为：
25 1 P( AB) 1 2 0 0 = = P( A B) = 5 0 0 20 P( B) 1200
【例2】某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，
活到25岁的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物活
到25岁的概率
解: 设A={活到20岁}，B={活到25岁}，则求
P( B | A) P( AB) [ ]. P( A)
A B，有AB=B，
0.4
由题意知 P(A)=0.8， P(B)=0.4， 由于 因此
解：设A={甲击中目标} B={乙击中目标} C={目标被击中} 由题意知，事件 A、B 相互独立，且 C=A∪B，
所以，P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=0.6+0.50.6×0.5=0.8
【例2】已知一批玉米种子的发芽率为0.9， 现每穴种两粒，求： 1. 两粒都能发芽的概率
(2) 条件概率
P ( AB ) P ( A | B) P ( B)
AB
Ω
A B
(2) 条件概率
P(A|B)以B发生为条件, 样本空间缩小为B
P(A|B)相当于把B看作新的样本空间，求 AB发生的概率
(2) 条件概率
概率 P(A|B)与P(AB)的区别与联系
联系：事件A、B同时发生 区别：样本空间不同
由题意知Ａ、B相互独立，所求概率为：
P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.9+0.9－0.81=0.99
【例2】已知一批玉米种子的发芽率为0.9， 现每穴种两粒，求： 3. 恰好有一粒种子发芽的概率
解：
设两粒种子为甲和乙，
A={甲发芽}，B={乙发芽}，
由题意知Ａ、B相互独立，所求概率为：
解： 由题意知，P(B|A1)＝0.07
P(B|A2)＝0.05
P(B|A3)＝0.04
【例2】甲、乙、丙三厂生产同一种产品， 甲厂的次品率为7%，乙厂为5%，丙厂 为4%。甲、乙、丙三厂所占的市场份额 分别是25%、25%、50%。现任意抽检 的一件产品是次品，该次品来自哪一工 厂的可能性最大？
分别由三名同学无放回的抽取，问： 如果已知第一位同学未抽中，那么第三位 同学抽中的概率是多少？
第三位同学抽中奖券的概率为1/2
条件的附加意味着样本空间的被压缩。
(2) 条件概率
定义
设A、B为随机试验E的两个事件, 且P(B)＞
0, 则称P(A|B)为在事件B已发生的条件下，事
件A发生的条件概率。
P ( AB ) P ( A | B) P ( B)
1 ( A B) P( A B) 1 P 3 3 P( B A) = =A) = P( B = = 2 2P( A ) 2 2 P( A )
(2) 条件概率
解法二：(公式法)
设 A＝{第一位同学中奖}，B＝{第三位同学
中奖}，则
1 2 = P( A ) = 1 P( A) = 1 3 3
1 1 P( A B) 3 P( B A) = = = 2 2 P( A ) 3
B
0.8
A
P(AB)= P(B)=0.4
于是所求概率为：
P ( AB ) 0.4 0.5 P ( A | B) P ( B) 0.8
【课堂练习】一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产 品结构如下表：
数量 厂别 甲厂 乙厂 合计 等级 合格品 次 合 品 计
475
644 56 700
1 119
其中，m为事件A中所包含的基本事件数，n为基本事件总数。
2.1.3 古典概型
求古典概型的概率的基本步骤：
算出所有基本事件的个数n
求出事件A包含的所有基本事件数m
代入公式P(A)=m/n，求出P(A)。
2.1.3 古典概型
【例】两个孩子的家庭中，有两个男孩的 概率是多少？ 解：
设A={两个男孩的事件} 基本事件：男男、男女、女男、女女 P(A)=m/n=1/4=0.25
P ( Ai | B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
P ( A ) P ( B｜A )
j 1 j j
n
【例1】医学研究表明肥胖者、标准体重者、低 体重者患高血压病的概率分别为0.2、0.1、 0.05。某地成年人肥胖者(A1)占0.1，标准体重 者 (A2)占0.82，低体重者 (A3)占0.08。若已知 某人患高血压病，他最可能属于哪种体型？ 解： 设B＝｛某人患高血压｝
解：带入贝叶斯公式，求得次品来自各厂的概率：
P(A1|B)=0.35
P(A2|B)=0.25
P(A3|B)=0.40
女婴被空坠水泥块砸残 小区89户业主共赔36万 2016-09-11 04:09:48 来源: 金羊网(广州)
据新华社电 备受社会关注的武汉市汉阳区高空抛物导致女婴小欣怡伤残索赔案，近日在 武汉市中级人民法院二审宣判。法院终审驳回上诉业主的诉求,维持业主共同补偿小欣怡 36万多元的一审原判。 2014年11月,出生40多天的女婴小欣怡在汉阳区世纪龙城小区11栋2号楼下晒太阳，被高 空抛掷的水泥块砸伤。小欣怡被送往医院救治，并被法医鉴定为七级残疾。小欣怡家人 未能找到肇事者，将该栋楼除一楼外的32层共128户业主起诉至法院。 汉阳区人民法院审理认为，世纪龙城小区11栋2单元2楼及以上1号、2号、3号房均有致 害的可能和部分控制风险的能力，一审判令其中89户房屋的业主共同补偿小欣怡36.3万 多元。 一审判决后，陈某某等47名业主向武汉市中院提起上诉,请求法院对涉案石块的抛物责任 楼层进行科学检测，改判业主不承担责任等。 武汉市中院审理认为，上诉人提出的通过科学技术检测或试验来确定涉案楼层的范围诉 求,因现场没有亲历者目击事故经过,无法再现过程,加上公安机关现场勘查、提取DNA均 未确定实际侵权人，所以无法通过现有的科学技术手段完全再现或还原客观事实。 法院终审判决认定，此案一审判决认定事实清楚,适用法律正确，判令驳回上诉，维持原 判。
25
500
81
1 200
（1）从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是
27 次品的概率是_________ 400
（2）在已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好 1 是次品的概率是_________ 20
【课堂练习】一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产 品结构如下表：
数量 厂别 甲厂 乙厂 合计 等级 合格品 次 合 品 计
解： 设B＝｛产品为次品｝
A1＝｛甲厂的产品｝，P(A1)＝0.25
A2＝｛乙厂的产品｝，P(A2)＝0.25
A3＝｛丙厂的产品｝，P(A3)＝0.50
【例2】甲、乙、丙三厂生产同一种产品， 甲厂的次品率为7%，乙厂为5%，丙厂 为4%。甲、乙、丙三厂所占的市场份额 分别是25%、25%、50%。现任意抽检 的一件产品是次品，该次品来自哪一工 厂的可能性最大？
事件A的概率和)
Ω
A
(2) 条件概率
【引例】三张奖券中只有一张能中奖，现
分别由三名同学无放回的抽取，问： 最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比 前两名同学小?
每位同学抽中奖券的概率相同，均为1/3
(2) 条件概率
【引例】三张奖券中只有一张能中奖，现
(4) 独立事件
即 P(B|A)＝ P(B)，
若事件 A 的发生并不影响事件 B 发生的概率，
则称 B 和 A 为相互独立事件。
乘法公式：P(AB) = P(A)P(B) 注意：在实际应用中，常常需要根据事件 的实际意义去判断事件是否具有独立性。
【例1】甲、乙两人各自同时向一目标射击。 已知甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标 的概率为0.5，求目标被击中的概率.
A1＝｛肥胖者｝，P(A1)＝0.1
A2＝｛标准体重者｝，P(A2)＝0.82
A3＝｛低体重者｝，P(A3)＝0.08
【例1】医学研究表明肥胖者、标准体重者、低 体重者患高血压病的概率分别为0.2、0.1、 0.05。某地成年人肥胖者(A1)占0.1，标准体重 者 (A2)占0.82，低体重者 (A3)占0.08。若已知 某人患高血压病，他最可能属于哪种体型？