复合函数的求导法则(导案)

当堂检测

1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）4

x x y =

； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+⋅；

（4）sin cos cos sin x x x y x x x

-=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4

x x x x x x x x x x x x x y ⋅-⋅⋅-⋅-====， '1ln 44x

x y -=。 （2）''''221

1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln )

x x y x x x x x x -==-+==⋅=+++++ '2

2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+⋅+-+⋅

22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-⋅+-+⋅=--⋅，

'2(24)x y x x e =--⋅。

（4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x

-=+ ''

2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin )

x x x x x x x x x x x x x x x -⋅+--⋅+=+ 2

(cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+⋅+--⋅-++=

+ 2

sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ⋅+--⋅=+ 2

2

(cos sin )x x x x =+。 2

'

2(cos sin )x y x x x =+

2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；

（y ＝－12 x ＋8）

§1.2.3复合函数的求导法则(导案)

教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．

教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．

教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．

一．创设情景

（一）基本初等函数的导数公式表

（2）推论：[]''()()cf x cf x =

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二．新课讲授

复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y

可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。

复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦

三．典例分析

例1（课本例4）求下列函数的导数：

（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；

（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．

解：（1）函数2(23)y x =+可以看作函数2

y u =和23u x =+的复合函数。根据复合函数求导法则有

x u x y y u '''=⋅=2''()(23)4812u x u x +==+。 （2）函数0.051x y e

-+=可以看作函数u

y e =和0.051u x =-+的复合函数。根据复合函数求导法则有 x u x y y u '''=⋅=''0.051()(0.051)0.0050.005u u x e x e e -+-+=-=-。

（3）函数sin()y x πϕ=+可以看作函数sin y u =和u x πϕ=+的复合函数。根据复合函数求导法则有

x u x y y u '''=⋅=''

(sin )()s s()u x co u co x πϕπππϕ+==+。 例2求2

sin(tan )y x =的导数．

解：'2'222[sin(tan )]cos(tan )sec ()2y x x x x ==⋅⋅ 2222cos(tan )sec ()x x x =⋅

'2222cos(tan )sec ()y x x x =⋅

【点评】

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．

例3求

y =的导数．

解：'y=

2

22

(2)

a

x ax

==-

-

，

'y=

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．

例4求y＝sin4x＋cos 4x的导数．

【解法一】y＝sin 4x＋cos 4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－

2

1

sin22 x

＝1－

4

1

（1－cos 4 x）＝

4

3

＋

4

1

cos 4 x．y′＝－sin 4 x．

【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4 sin3x(sin x)′＋4 cos3x (cos x)′＝4 sin3x cos x＋4 cos3x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin2x－cos2x)

＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．

四．回顾总结

五．教后反思：