复合函数的求导法则(导案)
4复合函数的求导法则
求w , 2w . x xz 解: 令 u x y z , v x y z , 则
w , f1 , f2
uv
wf(u,v)
w x
f11f2yz
x y zx y z
f 1 ( x y z ,x y z ) y z f 2 ( x y z ,x y z )
z
uv
t 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
t
有增量△u ,△v ,
zzuzv o ( ) ( (u)2(v)2)
u v
zzuzv o ( ) ( (u)2(v)2)
t ut vt t
令t 0, 有 u 0 , v 0 ,
u
x r
r
ux
(2)
2u x2
(( uu ))cos
rx xx
(
u x
)
sin r
r(urcos usinr)cos
r
x yx y
注意利用 已有公式
(urcos
usin)sin
z ,
z .
x y
解:
z z u z v x u x v x
eusinv y eucovs1
z
e x y [y six n y ) (co x y s )( ]u v
z z u z v y u y v y
二、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具有一阶连续偏导
为 x2简w z便 起f f1 1 见1 1, y 1 引( fx 入1 2 记z x) 号yf 1 f y1x 2 f2y 2 ufz y ,f z2 [ f1f 221y 2 1f u2 2fvf2,2 xy]
2_1_3 复合函数的导数 高等数学 微积分 考研数学
th x sh x ch x
a x ex ln a
Page 4
例2. 设 y ln cos(ex ) , 求 dy . dx
解:
dy dx
1 cos(ex
)
(sin(ex )) ex
ex tan(ex )
思考: 若 f (u) 存在 , 如何求 f (ln cos(ex )) 的导数?
u0 u
y f (u)u u （当 u 0 时 0 )
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f (u)
dy dx
lim y x0 x
lxim0
f
(u) u x
பைடு நூலகம்
u x
f
(u ) g ( x)
Page 2
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如, y f (u) , u (v) , v (x)
d f f ( ln cos(ex ) ) (ln cos(ex )) dx
这两个记号含义不同
f (u) uln cos(ex )
Page 5
例3. 设 y cot x tan 2 , 求 y.
2
x
解： y csc2 x 1 1 sec2 2 2( 1 1 )
2 22 x
x
2 x3
1 csc2 x 1 sec2 2
4x
2
x3
x
2 . 设 y f ( f ( f (x))), 其中 f (x) 可导, 求 y.
解: y f ( f ( f (x))) f ( f (x) ) f (x)
Page 6
§2.1.3 复合函数的求导法则
3复合函数的求导法则,反函数的求导法则
例5
y
1
x
3
,
求 y.
1 x
河海大学理学院《高等数学》
例7 求函 y数 ln3xx2 21(x2)的导 . 数
解 y1ln x2(1 )1ln x (2),
2
3
y1 2x2112x3(x12)
x2x13(x12)
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且
dy f(u)(x) 或
dx
dy dy du dx du dx
f[(x )] f[(x ) ] (x )
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推广 设 y f ( u )u ,( v )v ,( x ),
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
f[g(x) ]2ln x
f[g (x )]f[g (x ) ]g (x ) 2 ln x x
g[f(x)]x12
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例11 设 f (x) 可导,且 yf(s2ixn )f(c2o x),s
求
dy d cos 2 x
解 令 u c2 o x ， sy f则 ( 1 u ) f( u )
dy
dy
d cos 2 x du
f(1u)f(u)
f(s2x i)n f(c2x o ) s
把 cos2 x 整体看作一个自变量
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二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x(y)在某区间 I y 上
单调、可导且 (y)0,则它的反函数 yf(x)
siyn coy s0
因此，在对应区间 Ix 1 , 1 内有
arcxsi nsi1n y
1
大学数学_8_4 复合函数的求导法则
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(
第四节 复合函数的求导法则
,
z
y
x
y zu x2 y2 zv x2 y2 ,
于是
(x
y) z x
(x
y) z y
zu
zv
即方程变为 zu zv 0.
☆ 二、多元复合函数的高阶偏导数
例 1 设z f ( x y, x2 y),其中 f C(2),求 z , z , 2z .
u
z df u , x du x
z y
df du
u . y
xy
或写为 zx f (u) ux , zy f (u) uy .
注意 f '(u) 与 fu 意义不同.
例1
设z sin u,
u
x y
可微,
求zx
,
zy.
例 2 设z f ( y ), f 可微, 证明： x z y z 0.
ux yzf1 2 xf2, uy xzf1 2 yf2, uz xyf1 2zf2.
(3) 若 w=f (u,v,) , 且 u= (x,y) 、v = (x,y)、w =(x,y),
则有: zx fuux fvvx fwwx , zy fuuy fvvy fwwy .
zx e x2 y[sin( xy) y cos( xy)] , z y e x2 y[2sin( xy) x cos( xy)] .
例 2 设 z ( x2 y2 )sin( x3 y), 求 z x 和 z y .
解 令 u x2 y2 , v sin( x 3 y) , 则 z uv ,
[法一] 按链式法则:
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
复 合 函 数 的 求 导 法 则
练习 求下列函数的导数
y = e3x (A)1.
3x 3x 3x 解：y ′ = ( e ) ′ = e ( 3 x ) ′ = 3 e
y = cos( x 3 ) (A)2.
2 3 3 3 3 解：y ′ = (cos x ) ′ = − sin x ( x ) ′ = − 3 x sin x
(B)3. y = e 解： y ′ = e
2x ′ 1 所以 yx = yu ⋅ ux = ⋅ (−2x) = 2 u x −1
′
′
(A) 例3 求函数 y = cos 2 x 的导 数 2 解：设 y = u 则 u = cos x
因为 所以
′ ′ yu = 2u, ux = −sinx
′ ′ ′ yx = yu ⋅ ux = 2u(−sin x) = −2cosx sin x = −sin2x
′ y u = 5u 4 , u ′ = 3, x
′ x y′ = yu ⋅ u′ = 5u4 ×3 = 5(3x + 2)4 ×3 =15(3x + 2)4 所以 x
2 (B) 例2 求函数 y = ln(1 − x ) 的导数
解：设 因为
y = ln u
则
u = 1− x2
′ 1 ′ yu = , u x = −2 x, u
x π (B) 例5 求 y = ln tan( + ) 的导数。 的导数。 2 4
x π 解： 设 y = ln u , u = tan v, v = + 2 4
由
y ′ = f ′ ( u ) ⋅ φ ′( v ) ⋅ ϕ ′( x ) 得
x π ′ = (lnu)′ ⋅ (tanv)′ ⋅ ( + )′ y 2 4
3.2(求导法则 复合函数求导)1
f
x
2 x
x2 1
, 0 x1 , 1 x2
f
1
lim
h0
1
h
2
h
1
2
2h h2 lim
h h0
2
f
1
lim
h0
21
h
h
2
2h lim 2
h h0
f 1
f
1
2
2 , 0 x1
f
x
2
,
x1
2x , 1 x 2
f
x
2, 2x,
0 1
x1 x2
求y=loga｜x｜的导数.
x)
5. f ( x ) 3 x2 , 5x 5
3
f ( 0 ) ______2_5___.
6.曲线 y sin x 在 x 0 处的切线 与 x 轴 2
正向的夹角为____4_____.
三、复合函数的求导法则 derivation rule of compoun
function
定理3 若函数 u=g(x) 在点x处可导，而 y=f(u) 在
3u2 1 2v cos x 3 x sin2 x 2 1 2sin xcos x
例6 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
2
2
a
(a 0)
解 y ( x a 2 x 2 ) (a 2 arcsin x)
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
3. 复合函数求导法则
设u=(x)在x点可导, y=f(u)在相应u点可导,则
dy dy du dx du dx
4. 反函数求导法则
复合函数的求导法
f (u)( x).
证毕
6
推广 设 y f (u), u (v), v ( x), 则复合函数
y f {[ ( x)]}的导数为 dy dy du dv .
dx du dv dx
注意：可推广到有限次复合.
如 y sin2x， 由 y sinu 与 u 2x 复合而成.
(sin2x) (sin u)u (2x) 2cosu 2cos2x
x 复合而成，
2
2
因而
dy dx
dy du dv du dv dx
(ln
u)u
(tanv
)v
(
1 2
x)x
1 sec2 v 1 csc x.
u
2
8
例4
已知 y
x sin x
( x 0)，求 dy .
dx
解 y xsin x esin xln x 由 y eu，u sin x ln x
dy dy du eu e ln x
dx du dx
x
x
x x1. 证毕
x
例6 求y=f(x2)的导数(其中f(x)可导).
解 可分解为 y f (u), u x2 ,
y dy du f (u)(2x) 2 xf ( x 2 ). du dx
10
复合函数的求导法则有三个步骤： （1）分解复合函数，分解到基本初等函数或
lim
t 0
u t
,
函数 x
f (t) 对t可导，xt
dx dt
lim
t 0
x t
,
函数x
f ( y)对y可导，xy
dx dy
lim
y0
x y
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式1.链式法则：链式法则是用于求解复合函数导数的基本法则。
设y=f(u)，u=g(x)为两个可导函数，且y=f(u)和u=g(x)均是一对一函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则求得。
链式法则的公式为：dy/dx=dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。
例如，设y=sin(x^2)，我们需要求解dy/dx。
首先，令u=x^2，y=sin(u)，则dy/du=cos(u)=cos(x^2)。
其次，求解du/dx=2x。
最后，根据链式法则，dy/dx=dy/du * du/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)。
2.乘积法则：乘积法则用于求解两个函数乘积的导数。
设y=u*v为两个可导函数的乘积，则乘积函数y=u*v的导数可以通过乘积法则求得。
乘积法则的公式为：dy/dx = u * dv/dx + v * du/dx例如，设y=x*sin(x)，我们需要求解dy/dx。
根据乘积法则，将u=x，v=sin(x)代入上述公式，dy/dx = x * cos(x) + sin(x)。
3.商规则：商规则用于求解两个函数的商的导数。
设y=u/v为两个可导函数的商，则商函数y=u/v的导数可以通过商规则求得。
商规则的公式为：dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2例如，设y=(x^2+1) / x，我们需要求解dy/dx。
根据商规则，将u=x^2+1，v=x代入上述公式，dy/dx = ((x) * (2x) - (x^2+1) * (1)) / (x^2)^2 = (x^2 - 1) / x^4小结：复合函数求导法则包括链式法则、乘积法则和商规则。
链式法则适用于求解复合函数的导数，乘积法则适用于求解两个函数乘积的导数，商规则适用于求解两个函数的商的导数。
高等数学《复合函数的求导法则》
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复 杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些 是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏 导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数， 有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏 导数的关系问题.
——全导数公式
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t
3-2.2复合函数求导法则
1 1 1 1 ′′ = = (arcsin x) = (arcsinx ) . = 2 2 (sin y )′ cos y 1 − sin y 1− x
同理可得
(arccos x)′ = −
1 1− x
2
.
1 (arctan x)′ = ; 2 1+ x
1 ( arccot x)′ = − . 2 1+ x
= f ′(u )ϕ ′( x)
推广 设 y = f ( u), u = ϕ ( v ), v = ψ ( x ),
则复合函数 y = f {ϕ [ψ ( x )]}的导数为 dy dy du dv = ⋅ ⋅ . dx du dv dx
例1 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
Q y = ln u, u = sin x .
(7) (sec x)′ = sec x tan x (9)
(a )′ = a ln a
x x
′ = ex (e )
x
1 (11) (log a x)′ = x ln a 1 (13) (arcsin x)′ = 1 − x2 (15) (arctan x)′ = 1 1 + x2
1 (ln x)′ = x
1 特别地 (ln x )′ = . x
dy 例8 设y = arshx( x ∈ R ), 求 . dx 解 y = arshx是双曲正弦x = shy的反函数，
由反函数求导定理得 1 1 1 1 (arshx)′ = = = = 2 2 ( shy )′ chy 1 + sh y 1+ x
所以
f [ g ( x )] =| sin x | 在 x = 0 处不可导，(1) × 处不可导，
复合函数求导法则与隐函数的求导
1 2 x
.
例11 设 y sin 3 (2 x 1)，求y'. 解
y' (sin (2 x 1))'
3
3 sin 2 (2 x 1) (sin3 (2 x 1))' 3 sin 2 (2 x 1) cos( 2 x 1) (2 x 1)' 3 sin (2 x 1) cos( 2 x 1) 2
f' (u ) g' ( x).
复合函数的求导法则一般称为链式法则，它也适 用于多层复合的情况.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，则 只要满足相应的条件，复合函数y=f(g(h(x)))就可导， 且有
dy dy du dv f' (u ) g' (v)h' ( x). dx du dv dx
1 ( sin x) cos x tan x .
例10 设 y e
tan x
，求y' .
y e u , u tan v，v x .则 解 令
dy dy du dv dx du dv dx
e sec v
u 2
1 2 x
2
e
tan x
sec
x
1 x
若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在
对初等函数求导时，就可以“一步到位”. 例14 计算 [ln( x 2 1 x)]' . 解 [ln( x 2 1 x)]'
1
x2 1 x 2 x2 1
(
1
2 x 1)
1 x ( 2 1) 2 x 1 x x 1 1 x 1
复合函数的求导法则公式
复合函数的求导法则公式
在微积分学中，借助表达式，如复合函数的求导法则公式，可以推导出函数的导数，从而研究函数变化的规律。
复合函数的求导法则公式指的是：设有函数f(x)和g(x)，其中f为g的复合函数，g(x)的导数为g'(x)，f(x)的导数为f'(x)，则f(x)的导数的表达式为
f'(x)=g'(x)f′(g(x)).这一公式也可以被称作链式法则。
具体来讲，复合函数求导时，首先要确定函数f(x)和g(x)，然后将f(x)表示为g(x)的复合函数，将其根据链式法则表示为f′(x)=g′(x)f′(g(x))。
由于这里共有两个变量，因此当可以充分解释复合函数的求导公式时，就可以使用链式法则将其求导表达式化简为一个，最终求得函数f(x)的导数。
在使用链式法则求解复合函数求导公式时，要注意一个问题，就是对导函数的理解。
只有彻底理解了导函数的内容和作用，才能正确解释复合函数求导公式。
此外，由于这个公式既涉及函数f(x)的求导，也涉及函数g(x)的求导，因此要求读者在实际计算中，具有足够的推导过程和数学计算能力，才能给出正确的求解思路，最终得到准确的解决方案。
总而言之，复合函数求导法则公式是一种有效的链式求导方法，在研究函数变化规律时，它有着重要的作用。
但同时，由于复合函数的复杂程度也很大，因此读者在实际应用时，要加强对复合函数和链式法则的认识，以保证最终的正确求解。
复合函数求导数的四步
复合函数求导数的四步
复合函数求导法则如下：
一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·u ⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
比如说：求ln(x+2)的导函数
[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x'】×1【注：1即为(x+2)的导数】
复合函数求导的步骤:
1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。
2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。
3、相乘：把上述求导的结果相乘。
4、变量回代：把中间变量回代。
主要方法：
先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
例如，复合函数求导。
求复合函数的导数注意:
1、分解的函数通常为基本初等函数。
2、求导时分清是对哪个变量求导。
3、计算结果尽量简单。
4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。
5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。
1.4.1 复合函数的求导法则
u v x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导 逐层求导. 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
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4
例1 设 解
求
1 x x = − e x tan(e x ). ⋅( − sin(e )) ⋅ e = x cos(e )
思考: 思考: 若
3
由多元复合函数的求导法则,得 多元复合函数的求导法则,
dz ∂z dx ∂z dy = ⋅ + ⋅ dt ∂x dt ∂y dt
=e
x−2 y
⋅ cos t + e
x−2 y
⋅ ( −2) ⋅ 3t
2
=e =e
sin t − 2 t 3 sin t − 2 t 3
⋅ cos t + e
sin t − 2 t 3 2
d z ∂z d u ∂z d v . = + d t ∂u d t ∂v d t
证 设 t 获得增量 ∆t，则
∆u = φ ( t + ∆t ) − φ ( t ), ∆v = ψ ( t + ∆t ) − ψ ( t );
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由于函数 z = f ( u , v ) 在点( u , v ) 有连续偏导数
∂z ∂z ∆z = ∆u + ∆v + o( ρ ), ∂u ∂v
ρ = ( ∆u)2 + ( ∆v )2，
当 ∆u → 0 ， ∆v → 0 时， ρ → 0.
∆ z ∂ z ∆ u ∂ z ∆ v o( ρ ) . = ⋅ + ⋅ + ∆t ∂u ∆ t ∂v ∆t ∆t
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当堂检测
1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）4
x x y =
； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+⋅；
（4）sin cos cos sin x x x y x x x
-=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4
x x x x x x x x x x x x x y ⋅-⋅⋅-⋅-====， '1ln 44x
x y -=。
（2）''''221
1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln )
x x y x x x x x x -==-+==⋅=+++++ '2
2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+⋅+-+⋅
22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-⋅+-+⋅=--⋅，
'2(24)x y x x e =--⋅。
（4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x
-=+ ''
2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin )
x x x x x x x x x x x x x x x -⋅+--⋅+=+ 2
(cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+⋅+--⋅-++=
+ 2
sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ⋅+--⋅=+ 2
2
(cos sin )x x x x =+。
2
'
2(cos sin )x y x x x =+
2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；
（y ＝－12 x ＋8）
§1.2.3复合函数的求导法则(导案)
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
一．创设情景
（一）基本初等函数的导数公式表
（2）推论：[]''()()cf x cf x =
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
二．新课讲授
复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y
可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦
三．典例分析
例1（课本例4）求下列函数的导数：
（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；
（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．
解：（1）函数2(23)y x =+可以看作函数2
y u =和23u x =+的复合函数。
根据复合函数求导法则有
x u x y y u '''=⋅=2''()(23)4812u x u x +==+。
（2）函数0.051x y e
-+=可以看作函数u
y e =和0.051u x =-+的复合函数。
根据复合函数求导法则有 x u x y y u '''=⋅=''0.051()(0.051)0.0050.005u u x e x e e -+-+=-=-。
（3）函数sin()y x πϕ=+可以看作函数sin y u =和u x πϕ=+的复合函数。
根据复合函数求导法则有
x u x y y u '''=⋅=''
(sin )()s s()u x co u co x πϕπππϕ+==+。
例2求2
sin(tan )y x =的导数．
解：'2'222[sin(tan )]cos(tan )sec ()2y x x x x ==⋅⋅ 2222cos(tan )sec ()x x x =⋅
'2222cos(tan )sec ()y x x x =⋅
【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
例3求
y =的导数．
解：'y=
2
22
(2)
a
x ax
==-
-
，
'y=
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
例4求y＝sin4x＋cos 4x的导数．
【解法一】y＝sin 4x＋cos 4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－
2
1
sin22 x
＝1－
4
1
（1－cos 4 x）＝
4
3
＋
4
1
cos 4 x．y′＝－sin 4 x．
【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4 sin3x(sin x)′＋4 cos3x (cos x)′＝4 sin3x cos x＋4 cos3x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin2x－cos2x)
＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x
【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
四．回顾总结
五．教后反思：。