5_微积分运算

2 在你所学的微积分教材中，选择两道有关泰勒公式计 算的习题，用mathematica数学软件命令来计算。
4.2.2 求多元函数偏导数与全微分 偏导数 对多元函数f(x1,x2,…xn)的求导数的命令有如下几 个： 命令形式1: D[f, x]或 D[f,{x,n}] 功能:求函数f对x的偏导数； 命令形式2: D[f, x1, x2, …] 功能:求函数f高阶混合偏导数； 命令形式3: D[f, x, NonConstants-{v1,v2,…}] 功能:求函数f对x的偏导数，其中v1,v2,…是关于x 的函数。
隐函数求导
由方程f(x, y) = 0所确定的函数y=y(x)的导数可用一个 自定义函数完成，这个函数为: impD[eqn_,y_,x_]:=Module[{s, r, t}, s=D[eqn, x, NonConstants->{y}]; r=Solve[s, D[y, x, NonConstants->{y}]]; t=D[y,x, NonConstants->{y}]/.r; Simplify[t] ]
例15:求 z x 2 y 2 的全导数，其中y是x的函数。 解:Mathematica命令 In[21]:=Dt[x^2+y^2,x] Out[21]=2 x + 2 y Dt[y, x]
例16:求
x 2 sinxy z 2 x


，其中y是与x无关的独立变量。
解:Mathematica命令 In[22]:=Dt[x^2+Sin[x y]+z^2, x, Constants->{y}] Out[22]=2 x + y Cos[x y] + 2 z Dt[z, x, Constants -> {y}]
例10: 求z=asin(xy)对y和 u e 解:Mathematica命令 In[15]:=D[a*Sin[x*y], y] Out[15]=axCos[x y] In[16]:=D[Exp[x+y+z^2], z] Out[16]= 2E x yz z
2
x y z 2
对z的偏导数.
• 说明不能得出正确结果。此时可以借助人工处理，如用一次 洛必达法则后再求极限: In[5]:=Limit[ArcTan[x]^2/(x/Sqrt[1+x^2]), x>Infinity]
Pi 2 Out[5]= 4

4.2 求导数与微分
4.2.1 求一元函数的导数与微分
● 显函数求导 命令形式1: D[f, x] 命令形式2: D[f, {x, n}] 功能:求函数f对x的导数。 功能:求函数f对x的n阶导数。
第五讲 微积分运算
4.1 求极限运算 Mathematica提供了计算函数极限的命令的一般形式为： Limit[函数, 极限过程] 具体命令形式为 命令形式1: Limit[f, x->x0] 功能:计算 , 其中f是x的函数。 命令形式2: Limit[f, x->x0, Direction->1] 功能:计算，即求左极限, 其中f是x的函数。 命令形式3: Limit[f, x->x0, Direction->-1] 功能:计算，即求右极限，其中f是x的函数。 注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在 时,Mathematica的默认状态为求右极限。
In[7]:=Simplify[%] Out[7]= 2xSqrt[1 x 4 ]
参数方程求导

对参数方程 和命令形式1，可用三个Mathematica命令实现对 参数方程的求导:
r=D[x, t]； s=D[y,t]； Simplify[s/r]
x x(t) y y(t) 所确定的函数y=f(x),根据公式
或用Mathematica自定义一个函数：
pD[x_, y_, t_]:=Module[{s=D[y,t], r=D[x,t]}, Simplify[s/r]]
来实现。
例7.求参数方程
解:Mathematica命令
x t (1 sin t ) y t cos t
的一阶导数
In[8]:=x=t*(1-Sin[t]);y=t*Cos[t]; s=D[y,t]; r=D[x,t]; Simplify[s/r] Cos[t] - t Sin[t] Out[8]= ----------------------1 - t Cos[t] - Sin[t]
例.
In[1]:=Dt[Sin[u]^6] Out[1]=6 Cos[u]Dt[u]Sin[u]5 In[2]:=Dt[x*Sin[2^x]] Out[2]=
练习.
1 一幢楼的后面是一个很大的花园，在花园中紧靠着楼 房有一个温室，温室深入花园宽2m，高3m，温室正 上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用 梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的 墙上。因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子 太短不行，现有一架7m长的梯子。问：它能达到要 求吗？通过mathematica计算至少需要多长？
例
例
全微分
多元函数f(x,y,z,…)的全微分命令同一元函数的微分，其命令为： 命令形式: Dt[f] 功能:求函数f的全微分。
z x 2 y2 例14:求
的全微分dz。 解:Mathematica命令 In[20]:=Dt[x^2+y^2] Out[20]=2 x Dt[x] + 2 y Dt[y] ●Mathematica有如下两个求全导数的命令： 命令形式1: Dt[f, x] 功能: 求函数f的全导数。 命令形式2: Dt[f, x, Constants->{c1,c2,…}] 功能: 求函数f的全导数，其中f中的变元与x无关。
x2

0 解：Mathematica 命令为 In[6]:=D[Integrate[Sqrt[1-t^2], {t,0,x^2}], x]
例6:变上限函数 f ( x)
1 t 2 dt
求导
2x 2x 5 4 Out[6]= Sqrt[1 x 4 ] Sqrt[1 x 4 ] 2xSqrt[1 x ]/2
1 x
Mathematica 命令为
In[3]:=Limit[Sin[x]/x, x->Infinity]Out[3]=2 Out[3]=0 例5求解：e1/x x->0-的极限 In[4]:= Limit[Exp[1/x], x->0, Direction->1] Out[4]=0 例6求解：1/(x*(lgx)2)-1/(x-1)2在x->1的极限 In[5]:= Limit[1/(x*Log[x]^2)-1/(x-1)^2, x->1] Out[5]=1/12
例8.
In[11]:= D[Tan[x+a],x] Out[11]= Sec[a + x] 2 In[12]:=D[2^(x/Log[x]),x] Out[12]= In[13]:=D[x*Tan[x]-Sqrt[x],x] Out[13]= In[14]:=D[Sin[x]^n*Cos[n*x],x] Out[14]= In[15]:=Plot[Evaluate[D[Sin[x^2],x]],{x,-2,2}] Out[15]=
或
In[9]:= pD[x_,y_,t_]:=Module[{s=D[y,t], r=D[x,t]}, Simplify[s/r]] In[10]:= pD[t*(1-Sin[t] ), t*Cos[t], t] Cos[t] - t Sin[t] Out[10]= ----------------------1 - t Cos[t] - Sin[t]
例3: 写出求函数 e 在x->0的三个极限命令 解：Mathematica 命令为 1.Limit[Exp[1/x], x->0] 2.Limit[Exp[1/x], x->0, Direction->1] 3.Limit[Exp[1/x], x->0, Direction->-1] 例4.求解：Sin[x]/x x->∞的极限
例11:对函数 z x y sin(xy) ,求
3 2
解:Mathematica命令
In[17]:=D[x^3 *y^2+Sin[x*y], x, y] Out[17]= 6x 2 y Cosx y x ySin[xy]
2z x y
例12: 对函数 z x
解:Mathematica命令
练习.
1 要对一个方程求导，应该怎么做？ 例如方程y5+2y-x-3x7=0 2 选择一道与求导有关的应用题，用mathematica数学 软件命令来计算。
微分
微分是函数增量的线性主部，函数y=f(x)的微分与导数的 关系为: dy = df =f (x)dx Mathematica命令为： 命令形式：Dt[f] 功能:对函数f(x)求微分df 例9. 求微分. 解: In[13]:=Dt[Sin[x^2]] Out[13]=2 x Cos[x2 ] Dt[x] In[14]:=Dt[Sin[v]] Out[14]=Cos[v] Dt[v]
• 4.3求不定积分
命令形式:Integrate[f, x] 功能:计算不定积分。 1 例17:计算 sin 2 xcos 2 xdx
解:Mathematica命令
In[23]:=Integrate[1/(Sin[x]^2 Cos[x]^2),x] Out[23]=-(Cos[2 x] Csc[x] Sec[x])
例1. 求极限解：
1 n 2 sin 2 lim n n
Mathematica 命令为 In[1]:=Limit[n^2*Sin[1/n^2],n->Infinity] Out[1]=1