平面向量的复习
高中数学平面向量专题复习(含例题练习)
平面向量专题复习一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如：2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||AB AB ± )；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如例1：（1）若a b = ，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC = ，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c == ，则a c = 。
（6）若//,//a b b c ，则//a c。
其中正确的是_______二、向量的表示1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
高考数学(文)《平面向量》专题复习
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可 以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
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考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以 判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向 量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自 由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反， 当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是 一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
平面向量复习
平面向量【重点知识】一、向量的运算（一）线性运算（换序平移转起点，相同系数一组算；减法法则转起点）例题1、若O 为三角形ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则三角形ABC 为例题2、在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A ,B ,C 三点满足OC =1OA 3+2OB 3.① 求证:A ,B ,C 三点共线②求|AC ||CB |的值（答案：2）（二）向量的内积（模模扣夹角；长度×投影；横横+纵纵；分解算点乘）和长度、夹角、垂直等方面的应用（夹角为锐角⇔点乘大于零且不共线）例题3、（点乘的四种算法）已知三角形OAB 中，OA=3，OAB=2π∠，求OB OA ⋅。
例题4、（向量问题的三种意识：基底意识、坐标意识、几何意识）、已知0a b c ++=，||=||1a b =，a 和b 的夹角为3π，求a 和c 的夹角。
例题5、已知,i j 为互相垂直的单位向量，2,a i j b i j λ=-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（三）向量运算小结：几何算法和代数算法---换位平移转起点，相同系数一组算，等号两边取平方（用点乘）遇到模转化成模方，遇到模方转化成向量方，遇到向量方转化成分解式方，遇到分解式方乘法公式展开；遇到垂直点乘得0，遇到钝角点乘为负不平行，遇到锐角点乘为正不平行；遇到夹角算余弦，余弦怎么算，上边点乘，下边模乘；遇到平行a b λ=，分解式下对应系数成比例，坐标下内项积等于外项积。
典型问题：（1）三点共线→终点共线起点同，分解系数和为1（具体分解方法—转起点，转圈分解理论；分系数的正负理论；系数和范围理论）（2）高←投影绝对值（3）角平分线问题←与()||||a ba b λ+共线 二、向量共线（一）代数算共线：a ∥b a b λ⇔=，()x AB y AC +∥()x ymAB nAC m n+⇔=（大题a b λ=，小题对应系数成比例）， ()x y ，∥()m n xn ym ⇔=，（坐标：内项积＝外项积）（二）几何用共线：,,A P B 三点共线(1)AP AB OP OA OB λλλ⇔=⇔=-+（可用转起点的减法法则在两个等价形式之间切换；结论→终点共线起点同，分解系数和为1）相关结论：中点、三等分点、若干等分点（终点共线起点同，分解系数和为1）、重心 例题6、（15年新课标1理科）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则 （A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =-例题7、ABC ∆中，CD 是角ACB 的平分线，,CB a CA b ==，||1,||2a b ==，则CD = a + b例题8、在三角形ABC 中，G 是该三角形的重心，DE 过G ，且,AD xAB AE y AC ==，求11x y+例题9、在△OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使|OM →|∶|OA →|＝1∶3，|ON →|∶|OB →|＝1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OP →.三、向量单位化：单位向量应用之①与a 同向/平行/垂直的单位向量②a 在b 上的投影③中线和角平分线方向的刻画 例题10、（15年福建理科）已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21例题11、ABC ∆中，()||||AB ACOP OA AB AC λ=++，则P 点轨迹必过三角形（重心，外心，垂心，内心）例题12、7117=(,),=(-,),=(2,k)2222a b c ，向量a ，b 分别与c 所成的角相等，求k 的值例题变式：=(3,4),=(8,6),=(2,k)a b c ，向量a ，b 分别与c 所成的角相等，则k 的值为四、向量运算中的基底意识、坐标意识、几何意识 例题13、||=2,|-|=2a a b ,,>=3a ab π<-，求||b例题14、（基底意识）ABC ∆中，AB=1，=60ABC ∠︒，1AC AB ⋅=-，若G 是ABC ∆的重心，则BG AC ⋅的值是（ ）A 、1B 、52C 、83D 、5例题15、（几何意识）若两个非零向量,a b 满足|+||-|2||a b a b a ==，求+-a b a b ，的夹角五、向量与三角形四心例题16、已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且222OA OB OC ==，0NA NB NC ++=， 且PA PB PB PC PC PA ∙=∙=∙，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（ ）（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心例题17、已知点O 是平面上一个定点，A 、B 、C 是平面内不共线三点，动点P 满足O P O A λ=++||c o s ||c o s A BA CA B B A C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,R λ∈，则动点P 一定通过ABC ∆的（ ）（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心【练习1】1、（15年安徽文科）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是 。
(完整版)中职数学平面向量复习
复习模块：平面向量一 、知识点（1）平面向量的概念及线性运算平面向量两要素：大小,方向。
零向量：记作0，手写时记做0，方向不确定。
单位向量：模为1的向量。
平行的向量（共线向量）：方向相同或相反的两个非零向量，记作a //b 。
规定：零向量与任何一个向量平行。
相等向量：模相等,方向相同，记作a = b 。
负向量:与非零向量a 的模相等,方向相反的向量，记作-a 。
规定：零向量的负向量仍为零向量。
向量加法的三角形法则：如图1,作AB =a ， BC =b ,则向量AC 记作a＋b ，即 ，和向量的起点是向量a 的起点，终点是向量b 的终点．向量加法的平行四边形法则：如图2，在平行四边形ABCD 中，AB ＋AD =AB ＋BC =AC , AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．平行四边形法则不适用于共线向量。
向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ; a ＋（−a ）= 0;（2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c )．向量的减法：起点相同的两个不共线向量a 、 b ，a 与b 的差运算的结果仍然是向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a 的终点．如图3。
a −b =a+(−b ），设a =OA ，b =OB ，向量的数乘运算:数与向量的乘法运算。
一般地,实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ,它的模为， 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a的方向相反．共线向量充要条件：对于非零向量a 、b ，当0λ≠一般地，有 0a = a Aa -b Bb O 图3 图1A CBa ba +b a b 图2 C B0, λ0 = 0 .线性组合：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ,b 线性表示．（2）平面向量的坐标表示设点1122(,)(,)A x y B x y ， ,则起点为11(,)A x y ，终点为22(,)B x y 的向量坐标为2121()=--AB x x y y ，． 设平面直角坐标系中,11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则由此得到，对非零向量a 、 b ,设1122(,),(,),a b ==xy x y当0≠λ时（3）平面向量的内积向量a 与向量b 的夹角，记作<a ，b>. []o o b a 180,0,>∈<内积的定义：两个向量a ，b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．记作a ·b ，结论：（1）cos<a ,b >＝||||⋅a b a b 。
平面向量复习
2、数乘向量的坐标运算：
λ a = λ（x，y）（λx，λy） =
当λ = 0时， λ a = 0
3、数乘向量的运算律： λ µ a = (λµ )a （λ + µ） = λa + µa a
( )
λ（a + b = λ a + λb ）
r r 向量 b与非零向量 a 共线 r r 实数 λ ，使得 b = λa 。
6.共线向量 : 方向相同或相反的非零向量,叫 6. 共线向量: 方向相同或相反的非零向量 叫 共 共线向量 线向量. 线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上 r 规定: 与任一向量共线. 规定 0 与任一向量共线
注:共线向量又称为平行向量. 共线向量又 向量 平行向量. 向量
7.相反向量 长度相等且方向相反的向量. 7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量 相反向量
−−→ −−→
uuu uuu uuu r r r OA + AB = OB
三角形法则
实数与 向量的 乘积
−−→
→
AB =λ a λ∈R
记 a =(x,y)
→
→
两个向 量的数 量积
则 λ a =(λx,λy) r r r r r r rr a⋅b= a ⋅ b cos ab 记 a = ( x1, y1 ), b = ( x2 , y2 ) , 则 a · b =x1x2+y1y2
7 − a ⋅b 2 =−1 cos θ = = 2 7⋅ 7 a⋅b
二、：AB + BC = AC 1、作图 、 平行四边形法则：
A C
a +b a
B
b
（ ，（ 2、坐标运算： 设a = x1，y1）b = x 2，y 2） 、坐标运算： 则 a + b =（ x1 + x 2， y 1 + y 2） D b a +b （二）向量的减法 A a 1、作图 平行四边形法则： 、
平面向量知识点复习
平面向量复习一、向量的基本概念1、既有_大小___又有_方向___的量叫做向量。
用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的_大小___，有向线段的箭头所指的方向表示向量的_方向___ 。
2、 长度为零的向量 叫零向量。
3、 长度等于1个单位长度的向量 叫做单位向量。
4、_方向相同或相反___的_非零___向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做_共线向量__ 。
注意：零向量与任一向量平行。
5、 长度相等 且 方向相同 的向量叫做相等向量。
长度相等方向相反的向量 叫做相反向量。
二、向量的表示方法几何表示法：用有向线段表示 字母表示法：印刷用粗体a ,书写用a ，或者AB坐标表示法：（y x ,）三、向量的模向量的模即向量的长度。
1、若A 的坐标为（y x ,），求OA 则OA =22y x +2、若A 的坐标为),(11y x ，B 的坐标为),(22y x ，求AB则AB =212212)()(y y x x -+-四、向量的线性运算1、向量的加法和减法（1）向量加法的三角形法则：两个向量的和，即它们首尾相连，连接第一个向量的起点到第二个向量的终点之间的有向线段，方向从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。
记忆口诀：首尾相连、连接首尾、指向终点。
（2）向量加法的平行四边形法则：已知两个从同一点A 出发的两个向量AD 、AB ，以AD 、A B 为邻边作平行四边形ACDB ，则以A 为起点的对角线AC 就是向量AD 、AB 的和。
实例：物理中两个力的合力的求法。
记忆口诀：共起点，对角连。
（3）向量的减法：两个向量的差，即它们起点相连，连接两个向量的终点的有向线段，方向为从减数指向被减数。
2、向量加法的运算法则对于零向量和任一向量a ：a a a =+=+00对于相反向量：0)()(=+-=-+a a a a 交换律：a b b a +=+结合律：)()(c b a c b a ++=++3、向量的数乘1）实数λ与向量a 的积也是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）a a λλ=（2）当λ>0时，a λ与a 方向相同；当λ<0时，a λ与a 方向相反；当a =0时，a λ=0；当λ=0，a λ=0。
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6、平移—典例分析-例13
知 识 回 忆 典 例11 例 例12 分 析 例13
例13 把y=2x 图象 c按a=(-1,2)平移 得c′则c′解析式___ x′=x-1 x=x′+1 ∴ y′=y+2 y=y′-2 y′-2=2x′+1 ∴y=2x+1+2
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八、线段的定比分点
点P（x，y）分有向线段P （ ），P （ 1P 2所成定比为 ，其中P 1 x1，y1 2 x2，y 2） PP2 即P 1P 中点坐标 定比分点P的坐标
x1 x2 x 1 y y1 y 2 1
x1 x2 x 2 当 1时， y y1 y2 2
学习目录
1、向量的概念 2、实数与向量的积 3、平面向量的坐标运算
知识结构
4、线段的定比分点 5、平面向量的数量积 6、平移 7、正余弦定理
一、向量的概念 向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、 相等向量、相反向量等. 二、向量的表示 1、字母表示：AB或a 2、坐标表示： A
y
B
a xi y j （x，y）
例题
例2 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b,A、B、D共线,求k的值.
例3 e1、e2不共线, a=e1+e2 b=3e1-3e2 a与b是否共线。
例题
例4 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分 别为DC、AB中点。AB=a AD=b M D 用a，b来标DC、BC、MN。
练习一
1、根据图示，在下列横 线上填上适当的向量 （ 1 ）AB — — — DB DC （ 2 ）AB — — — DC DA
平面向量专题复习
平面向量专题复习考点一、平面向量的概念，线性表示及共线定理题型一、平面向量的概念1．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3题型二、平面向量的线性表示1．(2014·新 课 标 全 国 卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )A ．AD B.12AD C ．BC D.12BC 2．(2013·江 苏 高 考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3．(2015·聊 城 二 模 )在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c 4．若典例2条件变为：若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.题型三、平面向量共线定理典题：设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，AF ＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．[变式1] 在本例条件下，试确定实数k ，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线．考点二、平面向量基本定理及其坐标表示题型一、平面向量基本定理及其应用1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2 D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .题型二、平面向量的坐标表示1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)2．(2015·昆 明一 中 摸 底 )已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．题型三、平面向量共线的坐标表示典题：平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[题点发散1] 在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d .[题点发散2] 在本例条件下，若m a ＋n b 与a －2b 共线，求m n 的值．[题点发散3] 若本例条件变为：已知A (3,2)，B (－1,2)，C (4,1)，判断A ，B ，C 三点能能否共线考点三、平面向量的数积、模长、夹角题型一、平面向量的数量积1．(2015·云 南 统 一检 测 )设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12 C.32 D.522.(2013·湖 北 高 考 )已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－31523．(2014·重 庆 高 考 )已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.4．(2015·东 北 三 校 联 考 )已知正方形ABCD 的边长为2，DE ＝2EC ，DF ＝12(DC＋DB )，则BE ·DF ＝________.题型二、平面向量的模长1．已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB ＝2a ＋2b ，AC ＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．82．(2014·北 京 高 考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.题型三：平面向量的夹角1．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π62．(2014·江 西 高 考 )已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.3．在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________________．4．(2014·重 庆 高 考 )已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152。
平面向量全章复习
平面向量全章复习推论及公式：● 设a =（x ，y ），则a 2=x 2+y 2，即|a |=x 2+y 2． ● 两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式为AB = ()()221212x x y y -+-．● a =(x 1,y 1)，b = (x 2,y 2)，它们的夹角为θ，则有121222221122cos x x y y x y x y θ+==+⋅+a b a b●0⊥⇔=a b a b 1212x x y y ⇔+=0．二．典型例题分析例1. 在四边形ABCD 中, 已知AD AB AC +=, 试判断四边形ABCD 是什么样的四边形?例2. 化简：（1）AB BC CD ++=______；（2）AB AD DC --=_____；（3）()()AB CD AC BD ---=_____． 例3. 若AB =3e 1,CD =－5e 1,且|AD |=|BC |，判断四边形ABCD 的形状． 例4. 若112()(3)032x a b c x b --+-+=，则x =__________．例5. 已知向量a 、b 不共线，实数x 、y 满足向量等式3x a +(10－y )b =2x b +(4y +4)a ,则x =_____________,y =_____________．例6. 向量(1,1)a =，且与b a 2+的方向相同，则b a⋅的取值范围是 ),1(+∞-． 例7. 已知OA =(-1，2)，OB =(3，m )，若OA ⊥OB ，则m 的值为__________．例8. 已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则mn等于__________. 例9. 已知向量),2,1(),1,3(-=-=b a 则b a 23--的坐标是_____．例10. 已知平面内三点AC BA x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为_______．例11. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标．例12. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直，求实数k 的值．例13. 已知|p |=22，|q |=3，p 、q 的夹角为45°，求以a =5p +2q ，b =p －3q 为邻边的平行四边形过a 、b 起点的对角线长．例14. 设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2=-⋅-+AC AB DA DC DB 试判断△ABC 的形状．例15. 已知|a |=3 ，|b |=4， (且a 与b 不共线)， 当且仅当k 为何值时， 向量a +k b 与a －k b 互相垂直?例16. 已知向量a 、b 满足b b a b a a 求，5,53=-=+=． 例17. 若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=________． 例18. △ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB ______（答：－9）例19. 已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12）； 例20. 已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______（答：4）；例21. 已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD 的坐标．例22. 已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角． 例23. 设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a =，，2(11)b a -=-，，则cos θ=_______．(31010)例24. 设向量(3,1),(1,2O A O B ==-，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求,OD OA OC OD +=时的坐标．例25. 已知13(3,1),(,),22a b =-=若存在不为零的实数k 和角α，使得()sin 3,sin c a b d ka b αα=+-=-+⋅，且c d ⊥，试求实数k 的取值范围．例26. 已知M ＝(1+cos2x ，1)，N ＝(1，3sin2x +a )(x ，a ∈R ，a 是常数)，且y =OM ·ON (O 是坐标原点)⑴求y 关于x 的函数关系式y =f (x )；⑵若x ∈[0，2π]，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图象可由y =2sin(x +6π)的图象经过怎样的变换而得到． 例27. 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2）。
平 面 向 量 复 习
三、平面向量的基本定理
如果e1 , e2 是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向 量 a ，有且只有一对实数1 , 2 ,使 a 1 e1 2 e2
1.若a 0， b 0，则a b 0
练习1：判断正误，并简述理由。
( ( (
× ×
） ） ）
2.若a b 0，则a 0或b 0 3.若a b a c，且a 0，则b c 4. a a a a 5. a b a b ，则a // b 6. a b a b ，则a b
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例1。一条河的两岸平行，河宽d 500m，一艘 船从A出发航行到河的正对岸B处。航行的速度 v1 10km / h，水流的速度 v2 2km / h， 问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
B
分析：如图，已知v v1 v2，
V
v1 10km / h, v2 2km / h， v v2，求t.
3)向量的表示 4)向量的模（长度）
二、向量的运算
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律
注 : AB a , AD b (1) a
b , 则四边形是什么图形?
(2) a b
a b , 则四边形是什么图形?
2)实数λ与向量 a 的积
平面向量复习
2.向量的减法运算 1）减法法则： OA－OB = BA 2）坐标运算: 若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
平面向量复习
１.共线问题 A, B, C共线 ⇔ OA = λ AB + (1 − λ )OC 2.平行问题、 2.平行问题、长度关系 平行问题 AB // CD ⇔ AB = λ CD ( A, B, C不共线) 3.垂直问题 3.垂直问题 AB ⊥ CD ⇔ AB • CD = 0 4.长度问题 4.长度问题 | AB |= AB 5.角度问题 5.角度问题 cos < a, b >=
2
向量的运用
坐 标 运 算
a •b | a || b |
6.范围、 6.范围、最值 − | a || b |≤ a • b ≤| a || b | 范围 7.距离 7.距离 a • e =| a | cos θ
范围、值域问题： 1.求函数y = a sin x + b cos x( x ∈ R)的值域。
两个重要定理
1.共 定 线 理
设 ≠ 0,与 量 共 的 量b， a 向 a 线 向 能 到 一 数 ， 得b = λa . 找 唯 实 λ 使
2.平 向 基 定 面 量 本 理
如 e1 、2 是 一 面 的 个 果 e 同 平 内 两 不 线 量， 么 于 一 共 向 那 对 这 平
面 的 一 量a ， 且 有 内 任 向 有 只 一 实 λ1 、2 ， 对 数 λ 使
平 向 （ 线 量 行 量: 共 向 ） 相 向 : 相 向 ： 反 量 等 量
向量之间的运算 1.向量的加法： 向量的加法
b
(a+b)
A
D
a
a
O
(a+b)
２.向量的减法： 向量的减法
b
B
A
a
O
(a−b)
b
B
平面向量系统复习
［平面向量］小结◆ 知识要点梳理1．向量的概念：0,,,0,,,AB a e AB a a b a =∥b ,0∥a ；2．向量的运算：(,)a xi y j x y =+=，1212(,)a b x x y y ±=±±，12(,)a x y λλλ=，()a b a b -=+-，()()a a λμλμ=，()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，2121(,)A B O B O A x x y y=-=--， a ∥b 12210x y x y ⇔-=， 1212cos a b a b x x y y θ⋅==+，[0,180]θ∈， c o s a b a bθ⋅=，22a a x ==+121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，,()()()a b b a a b a b a b λλλ⋅=⋅⋅=⋅=⋅，()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅.3．平面向量基本定理：若1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内任一向量a ，存在唯一一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+.4．向量共线的性质与判定：b ∥a （0a ≠）(0)b a a λ⇔=≠.◆ 平面向量习题（一）1.下列判断正确的有（ ）①若向量AB 与CD 共线，则,,,A B C D 在同一条直线上； ②若向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =； ④已知,R λμ∈，λμ≠，则()a λμ-与a 共线； ⑤ABC ∆中，必有0AB BC CA ++=.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：③④⑤正确，选C.2.若(2,3),(3,4)a b =-=-，则()a b -在()a b +上的投影等于（ ）A ．．．-．-解析：(1,1),(5,7)a b a b +=--=-=-3.在ABC ∆中，O 为中线AM 上的一个动点，若2AM =， 则()OA OB OC ⋅+的最小值是（ ）A ．．2 D ．2- 解析：2()2(2)2(1)2OA OB OC x x x ⋅+=-⋅-=--，选D.4.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r，若存在实数m 使得AB AC mAM+=u u u r u u u r u u u r 成立，则m =（ ）A ．2 B. 3 C. 4 D. 5解析：由0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u r r知，点M 为ABC ∆的重心，设点D 为底边BC 的中点，则2AM=AD=321(32⨯)AB AC +u uu r u u u r =1()3AB AC +uu u r uuu r ，3AB AC AM ∴+=u u u r u u u r u u u r ，故3m =.5.与向量(12,5)a =平行的单位向量为 .解析：12512513,(,)(,).13131313a =--或 6.已知(2,1),(,1)ab λ=--=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 . 解析：12102a b λλ⋅=--<⇒>-，又当,180a b <>=时不是钝角， 2.λ∴≠7.已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120，则α的取值范围是 .解析： 8.设两个非零向量a 与b 不共线，（1）若AB a b =+，28BC a b =+，3()CD a b =-，求证：,,B D A 三点共线； （2）试确定实数k ，使ka b +和a kb +共线.解析：（1）5BD BC CD AB BD =+=⇒与AB 共线，又有公共点B ，三点共线. （2）存在实数λ，使() 1.1k ka b a kb k k λλλ=⎧+=+⇒⇒=±⎨=⎩9. 在平面直角坐标系xoy 中，点(1,2)A --、(2,3)B 、(2,1).C -- （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t 满足()0AB tOC OC -⋅=，求t 的值. 解析：（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为。
平面向量知识点归纳
平面向量基础知识复习平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB 按向量(1,3)a =-平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB 共线的单位向量是||ABAB ±）； 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a∥b ，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.举例2 如下列命题：（1）若||||a b = ，则a b =.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若AB D C =，则ABCD 是平行四边形.（4）若ABCD 是平行四边形，则AB D C =.（5）若a b = ，b c = ，则a c =.（6）若//a b ，//b c则//a c .其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b ，c 等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j为基底，则平面内的任一向量a可表示为(,)a xi yj x y =+=，称(,)xy 为向量a 的坐标，(,)a x y = 叫做向量a的坐标表示. 结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理 设12,e e同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+ .（1）定理核心：1122a λe λe =+ ；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.（3）向量的正交分解：当12,e e 时，就说1122a λe λe =+ 为对向量a 的正交分解． 举例3 （1）若(1,1)a = ，(1,1)b =- ，(1,2)c =- ，则c =. 结果：1322a b -.（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e = ，2(1,2)e =- B.1(1,2)e =- ，2(5,7)e = C.1(3,5)e = ，2(6,10)e = D.1(2,3)e =- ，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）已知,A D B E分别是ABC△的边BC，AC 上的中线,且AD a =，BE b =,则BC可用向量,a b表示为 . 结果：2433a b + . （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB = ，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0.四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅；平面向量基础知识复习（2）方向：当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反，当0λ=时，0a λ= ，注意：0a λ≠. 五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a，b的夹角.当0θ=时，a，b同向；当θπ=时，a，b反向；当2πθ=时，a，b垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB = ，||4AC = ，||5BC = ，则AB BC ⋅=_________. 结果：9-. （2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛⎫=-⎪⎝⎭，c a kb =+ ，d a b =- ，c 与d的夹角为4π，则k = ____. 结果：1.（3）已知||2a = ，||5b = ，3a b ⋅=-，则||a b += ____. （4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==- ，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30.3.向量b 在向量a上的投影：||cos b θ ，它是一个实数，但不一定大于0.举例5 已知||3a = ，||5b =，且12a b ⋅= ，则向量a 在向量b上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅ 的几何意义：数量积a b ⋅ 等于a 的模||a与b 在a 上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b，其夹角为θ，则：（1）0a b a b ⊥⇔⋅=；（2）当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅ ，特别地，22||||a a a a a =⋅=⇔ ；||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅ ，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅> ，且a、b 不同向，0a b ⋅> 是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，0a b ⋅< ，且a、b 不反向；0a b ⋅< 是θ为钝角的必要不充分条件.（3）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=；④||||a b a b ⋅≤.举例6 （1）已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；（2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF F Q ⋅= ，若12S <，则OF ，FQ夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）已知(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足|||ka b a kb +-（其中0k >）.①用k 表示a b ⋅ ；②求a b ⋅ 的最小值，并求此时a与b的夹角θ的大小. 结果：①21(0)4k a b k k+⋅=>；②最小值为12，60θ= .六、向量的运算1.几何运算 （1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.平面向量基础知识复习运算形式：若AB a = ，BC b = ，则向量AC 叫做a 与b的和，即a b AB BC AC +=+= ；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a = ，AC b = ，则a b AB AC CA -=-=，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --=；③()()AB C D A C B D ---= . 结果：①AD ；②CB ；③0；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a = ，BC b = ，AC c = ，则||a b c ++=.结果：（3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA-=+-，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++= ，设||||AP PD λ=，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外心，且0O A O B CO ++=，则ABC △的内角C 为 . 结果：120 .2.坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y = ，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=--.举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12；（2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =，2(2,5)F =- ，3(3,1)F =，则合力123F F F F =++的终点坐标是 .结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==. （3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)A B x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13A CA B =，3AD AB =，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-.（4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+.举例10 已知向量(sin ,cos )a x x = ，(sin ,sin )b x x =，(1,0)c =-.（1）若3x π=，求向量a、c的夹角；（2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a bλ=⋅的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150 ；（2）12或1.（5）向量的模：2222||||a a x y a ==+⇔举例11 已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么|3|a b +=＝ .（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y，则||AB 举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠= ，平面上任一点P的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+ ，其中12,e e分别为与x 轴、y 位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+ ，()()a a λμλμ= ，a b b a ⋅=⋅ ；平面向量基础知识复习2.结合律：()a b c a b c ++=++ ，()a b c a b c --=-+ ，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅；3.分配律：()a a a λμλμ+=+ ，()a b a b λλλ+=+ ，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③ 222()||2||||||a b a a b b -=-+； ④ 若0a b ⋅= ，则a = 或b = ；⑤若a b c b⋅=⋅ 则a c= ；⑥22||a a = ；⑦2a b b a a⋅= ；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+.其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-= .举例14 (1)若向量(,1)a x =，(4,)b x =，当x =_____时，a 与b共线且方向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a = ，(4,)b x = ，2u a b =+ ，2v a b =+，且//u v ，则x = . 结果：4.（3）设(,12)PA k = ，(4,5)PB = ，(10,)PC k =，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11. 九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=.特别地||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 举例15 (1)已知(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若O A O B ⊥，则m = .结果：32m =；（2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b = 向量n m ⊥ ，且||||n m =，则m = 的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -. 十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P，即点P 在线段12PP 上0λ⇔>； （2）P 外分线段12P P 时，①点P 在线段12P P 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12P P 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12P P所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P所成的比为1λ.举例16 若点P 分AB所成的比为34，则A 分BP所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩.平面向量基础知识复习特别地，当1λ=时，就得到线段12P P 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--； （2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M，且2AM MB = ，则a =. 结果：２或4-.十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k = 平移至(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k = 平移得曲线(,)0f x h y k --=.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =________. 结果：(,1)4π-.十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+.（1）右边等号成立条件： a b 、同向或 a b 、中有0 ||||||a b a b ⇔+=+； （2）左边等号成立条件： a b 、反向或 a b 、中有0 ||||||a b a b ⇔-=+； （3）当 a b 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+. 3.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++. 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G ++=⇔ 为△ABC 的重心. （2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ 为△ABC 的内心；向量(0)||||AB AC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭所在直线过△ABC 的内心.6.点P 分有向线段12P P所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ+=+ ，特别地P 为有向线段12P P 的中点122MP MPMP +⇔=.平面向量基础知识复习7. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。
平面向量(复习)
平面向量中应注意的几点①一、注意向量的加（减）法的几何意义作用1. 向量的加法法则：① 三角形法则 ②平行四边形法则 -------向量的加法与路径无关即AD CDBC AB =++……向量的加法运算满足交换律和结合律注意：如图，M 是AB 的中点，则OM OBOA 2=+2．向量的减法（加法的律运算） ——指向被减数 二、注意共线向量（平行向量）的作用1. 实数与向量的积是一个向量，记作a λλ＞0与原向量的方向相同λ＜0与原向量的方向相反2、共线向量：b a ,共线⇔b a λ=作用：证明点共线和线线平行。
3、与a 方向一致的单位向量：aa 。
4、平面向量的基本定理若21e、e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么这个平面内任何一个向量a ，有且仅有一对实数21λλ、使：2211e e a λλ+=成立（这里：21e 、e 称为一组基底，即基向量）例1、设AB =()b a 522+、b a BC 82+-=、()b a CD -=3求证：A,B,D 三点共线。
例2、如图，在△ABC 中，OA OC 41=、OB OD 21=，AD 与BC 相交于M,, 设b OB 、a OA ==， ①用b 、a表示OM ； ②在已知线段AC 上取一点E ，连EM ，延长交OB 于F ，设OB q OF 、OA p OE ==，求证：17371=+qpOBMAOAMDCE F B课堂练习 1：1、 证明：起点相同的三个向量a 、b 、b a 23-的终点在同一直线上。
2、化简：（1）DA CD BC AB +++ （2）OA AB +（3）()OM BO BM AB ++- （4）MPMN QP NQ -++3、如图，PQ 过△OAB 的重心G ，b OB 、a OA ==，b n OQ 、a m OP ==，求证：311=+nm4、①已知P 是△ABC 内一点，且满足032=++PC PB PA 则S △ABP ：S △BCP ：S △ACP=___________②已知P 是△ABC 所在平面内一点，且AB PC PB PA =++则 P 点得位 置在_________三、平面向量的数量积：1.平面向量的数量积（内积）的定义θcos b a b a ⋅=⋅，（其中θ是向量b 、a 的夹角，θ∈［0，π］，b 、a 的夹角也记作〈b 、a 〉） 2、平面向量的数量积的几何意义：b a ⋅就是 在a 上b 的射影：a cos ＜a , b ＞与b 之积。
高中数学平面向量专题复习(知识要点+六大考试题型详解)
平面向量六大题型知识点：1．向量的有关概念（1）定义：即有大小，又有方向的量叫做向量． （2）表示：a AB(,)OA x y =2121(,)AB x x y y =--（3）向量的长度（模）：a 或AB 的模记作||a 或||AB ． （4）几种特殊向量： 定义备注0，方向任意||aa 即为单位向量记为ab ∥，规定0与任意向量共线a b =，相等一定平行，平行不一定相等a b =-，AB BA =-2．向量的运算 运算几何表示字母表示坐标表示加法a b AB BC AC +=+=三角形法则 类比“位移之和”首尾相连，首位连11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y +=++a b AB AD AC +=+= 平行四边形法则 类比“力的合成” 共起点，对角线减法a b AB AC CB -=-= 共起点，后指前11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y -=--数乘长度变为||λ倍0λ>，方向相同0λ<，方向相反 0λ=，0a λ=11(,)a x y =12(,)a x x λλλ=数量积||||cos a b a b θ⋅=11(,)a x y =，22(,)b x y =1212a b x x y y ⋅=+3．其他概念（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+，我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）投影：||cos (||cos )a b θθ叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．常用投影计算公式：||cos ||||||a b a a a b θ⋅==||a bb ⋅． （3）向量不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+（等号在向量a ，b 共线时取得）．4．重要结论ABC 中，的中点ABC 的重心(1)PC PA PB λλ=+-1()2AD AB AC =+GB GC ++5．常用性质设向量a 与b 夹角为θ，11(,)a x y =，22(,)b x y =．a b λ= ||||cos 0a b a b θ⋅==12a b x x ⋅=+2||a a = 21||a x y =+cos ||||a ba b θ⋅=122211cos x x x yθ+=+重要考试题型：题型一：向量概念1给出如下命题： ①若||||a b =，则a b =；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是||||a b =且a b ∥； ⑤若a b ∥，b c ∥，则a c ∥． 其中正确的命题的序号是______．解析：①两向量模相等，方向不一定相同，所以a b =不正确；②AB DC =说明AB 和DC 两条边即平行又相等，可以推出四边形为平行四边形，反之也成立，是充要条件，正确；③两个向量相等说明它们大小相等，方向相同，故满足此条件的都是相等向量，正确； ④两向量模相等，且平行，不能说明它们方向相同，故错误；⑤若0b =，根据0与任意向量平行的性质，则a b ∥且b c ∥，但a 与c 之间不一定平行，不排除0时，向量之间没有平行的传递性，故错误；主要考察向量定义，表示、以及特殊向量，属于基础题型，需要注意的是： （1）向量二要素（大小、方向）（2）加模后变为实数，去掉了方向的要素，可以比较大小 （3）0与任意向量共线（没有平行传递性） （4）共线向量方向相同或相反 （5）相反向量长度相等AD BC =；AB DC =且||||AB AD =．AD BC =说明AD 和BC 两条边相等且平行，所以为平行四边形；AB DC =说明AB 和DC 相等且平行，为平行四边形，|||AB AD =说明两临边相等，为菱形．答案：（1）平行四边形 （2给出如下命题：①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有公共起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；AB 与向量CD 是共线向量，则点其中正确的命题个数是（ B ．2 C ．3AB 和BA 长度相等，方向相反，正确；②当为零向量时，不满足条件，错误；③起点相同，长度和方向也相同，终点一定相同，正确；④终点相同，起点未必相同，不一定是共线向量，错误；⑤共线向量即平行向量，它们的起点和终点不一定在同一直线上，错误；答案：C题型二：向量四则运算1如图：正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ） A ．0 B ．BE C ．AD D ．CF解析：由于BA DE =，故BA CD EF CD DE EF CF ++=++=． 答案：D2根如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA =a ，BC =b ，试用a ，b 将向量OE ，BF ，BD ，FD 表示出来.解析：OE BO a b ==+；2BF BA AF BA BO a b =+=+=+；2BD BC CD BC BO a b =+=+=+；FD AC BC BA b a ==-=-．答案： a b +，2a b +，2a b +，b a -3AB AC BC --=（ ）A ．2BCB ．0C ．2BC -D ．2AC主要考察向量的加法、减法、数乘、数量积四种运算法则，包含纯字母运算、纯坐标运算、字母结合图形运算、坐标结合图形运算等形式，属于基础题型，需要注意： （1）向量没有位置概念，相等向量的有向线段等价 （2）熟练掌握加减法的口诀，可以直接计算的就不必画图 （3）注意数形结合思想的运用，加减法的对角线性质 （4）字母运算和坐标运算自成一体，也可相互转化AC AB BD CD --+=（ A ．0 B ．DA BC AB 0AC AB BD CD BC BD CD DC CD --+=-+=+=． A OA OC OB CO --+-=_____．解析：原式等于 ()()OB OA CO CO AB -+-=． AB如图，D ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ） A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+= C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=AD FE =，BE EC =，则0AD BE CF FE EC CF ++=++=，A 正确．A在ABCD 中，BC CD BA -+=（ ） A ．BC B ．AD C ．AB D ．AC在平行四边形中，BA 和CD 是相反向，则0CD BA -+=，故0BC BC +=．答案：A8若O 是ABC 所在平面内一点，且满足||2|OB OC OB OC OA -=+-，则的形状为_______．2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，ABC为直角三角(2,4)a=，(1,1)b=-，则a b-=（）B．(5,9)．(3,7)D(4,8)(1,1)(5,7)a b-=--=．已知四边形ABCD2BC AD=，则顶点D的坐标为（(,AD x=2(24)(4,3)BC AD x y==-=，即72y=．(1,3)a=-，(2,4)b=-，若表示向量a，32b a-，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（1)-．(1,1)-4,6)D．(4,6)-(,)c x y=，能构成三角432230a b a c a b c+-+=++=，即2,4)(,6)(6,12)(4,6)(0,0)x y x y-+-+--++=，即40x-+=，，解得4x=，(2,3)BA=(4,7)CA=BC=（2,4)-B．(3,4)C．(6,10)(4,7)AC=--，(2,3)(4,BC BA AC=+=+-ABC 中，|5BC =，|8CA =，BC CA ⋅．解析：设BC 和CA 的夹角为θ，则120θ=︒，因为||5BC =，|8CA =，则||||cos 58cos120BC CA BC CA θ⋅==⨯答案：20-14已知a ，b 为单位向量，其夹角为)a b b -⋅=（ ） A ．1- B D ．2 221)22||||cos60||2102a b b a b b a b b -⋅=⋅-=︒-=⨯-=．已知两个单位向量a ，b 夹角为60︒，(1)c ta t b =+-，若0b c ⋅=，则2(1)cos6010b c ta b t b t t ⋅=⋅+-=︒+-=，解得2t =． 2设(1,2)a =-，(3,4)b =-，(3,2)c =，则(2)a b c +⋅=（ ） A ．(15,12)- B ．0 C ． D ．11- 2(1,2)2(3,4)5,6)a b +=-+-=-，(2)(5,6)(3,2)a b c +⋅=-⋅C已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π，若向量1122b e e =-，21234b e e =+，则12b b ⋅=______．2212121211221(2)(34)32832862b b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=-⨯-=-． 6-题型三：平面向量基本定理1在ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，M 为BC 的中点，则MN =_____．解析：33()44AN AC a b ==+，1122AM AB BM AB AD a b =+=+=+， 所以1144MN AN AM a b =-=-+．答案：1144a b -+2如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM c =，AN d =，试用c ，d 表示AB ，AD ．解析：设AB a =，AD b =，则1212c AM AD DM b a d AN AB BN a b⎧==+=+⎪⎪⎨⎪==+=+⎪⎩，解得2(2)32(2)3a d c b c d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以4233AB d c =-，4233AD c d =-． 答案：4233AB d c =-，4233AD c d =-主要考察用两个不共线向量表示一个向量，即12a e e λμ=+，大部分是围绕求基底的系数出题，属简单题型，但考查方式较为灵活，需要注意：（1）有些目标向量用已知基底不太好构造，可以用相对熟悉的基底（例如平行四边形的临边）来表示已知基底，再用熟悉的基底来表示目标向量（2）有些题目会用到几何图形比例问题，注意观察图形中的三角形相似 （3）在求一些长度问题时，可能会用到解三角形内容在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB CD =，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=______．2AB AN NB AN CN AN CA AN AN CM MA =+=+=++=++=14AN AB AM --，所以8455AB AN AM =-，即45λ=-，85μ=，故λ+答案：454在ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ A ．2133b c + B ．5233c b - C ．13b c - D ．1233b c + 22221()()()33333AD AB BD AB BC AB AC AB c b c b c =+=+=+-=+-=+．答案：A在平行四边形ABCD 中，AC 与DB 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 延长线与CD 交于F ，若AC a =，BD b =，则AF =（ ） A ．1142a b + B ．2133a b +C ．1124a b + D ．1233a b +AD AB aAD AB b+=-=，解得1()2AD a b =+，1()2AB a b =-，EDFEBA ，DE 13=，故11121()()23233AF AD DF a b a b a b =+=++⨯-=+．B如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，OA 与OB 夹角为120︒，OA 与OC 夹角为30︒，且||||1OA OB ==，||23OC =，若OC OA OB λμ=+，则λμ+的值为_____．解析：作平行四边形ODCE ，则OC OD OE OA OB λμ=+=+，4cos30OCOD ==︒，2tan30OCOE ==︒，即4λ=，2μ=，6λμ+=． 答案：6(1,1)a =，(1,1)b =-，(4,2)c =，则c =（ ）a b + B ．3a b - C ．3a b + D ．3a b +(,)(,)(,)(4,2)c a b λμλλμμλμλμ=+=+-=-+=，所以4λμ-=，λ+3，1μ=-，则3c a b =-．如图：向量a b -=（ ） A ．1224e e -- B ．1242e e -- C ．123e e - D ．123e e -+解析：由图可知12()3a b a b e e -=+-=-+． 答案：D向量a b c ++可表示为（ ） A ．1232e e - B ．1233e e -- C ．1232e e + D ．1223e e +解析：a b c ++在图上画出来，可知1232a b c e e ++=+．答案：C10向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+，则λμ=______． 解析：如图所示建立平面直角坐标系，可得(1,1)a =--，(6,2)b =，(1,3)c =--，则(,)(6,2)c a b λμλλμμ=+=-+=(6,2)(1,3)μλλμ-+=--，解得2λ=-，12μ=-，则4λμ=． 答案：4题型四：共线、中点、重心问题1设1e ，2e 是不共线向量，若向量1235a e e =+与向量123b me e =-共线，则m 的值等于（ ）A ．95-B ．53-C ．35-D ．59-解析，a 与b 共线，则满足b a λ=，即12123(35)me e e e λ-=+，则335m λλ=⎧⎨-=⎩，解得95m =-．答案：A主要考察一些常用结论，即本学案知识点第4点的内容，属中下难度题型，再强调一下：（1）(0)a b a b b λ⇔=≠∥，1221x y x y =（2）(1),,PC PA PB A B C λλ=+-⇔三点共线，P A 和PB 系数和为0（3）D 为BC 中点，1()2AD AB AC =+，即平行四边形对角线的一半（4）G 为ABC 重心，0GA GB GC ++=a b λ+与(2)b a --共线((2))a b b a λμ+=--，即2a b a b λμμ+=-，12μλμ=⎧⎨=-⎩，解得λ答案：D3已知(1,0)a =，(2,1)b =，ka b -与2a b +共线；（23AB a b =+，BC a mb =+，且A 三点共线，求m 的值．1）(,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--2(1,0)(4,2)(5,2)a b +=+=，两者共线，2)(1)5=-⨯，解得12k =-．，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即23()a b a mb λ+=+，则23=⎧⎨=⎩32m = (2,2)，(,0)B a ，(0,)C b (0)ab ≠共线，则1a b(AB a =-(2,AC =-AB AC ∥，2)(2)=-⨯，化简得2ab a -，得1112a b +=BC ，已知点(A -AB DC =，设D (8,8)AB =(8DC =-0=，2y =-，故．答案：(0,6已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）363AD AB BC CD a b AB =++=+=，所以AD AB ∥，A ，AABC 中，12AM AC =，29AD mAB AC =+，则m =______．12(1)(1)29AD AB AM AB AC mAB AC λλλλ=+-=+-=+，则12，则59m λ==．59设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB ，的中点，则EB FC +=（ ）A ．ADB ．12ADC ．BC D ．12BC 11()()()22EB FC BE CF BA BC CA CB AB AC AD +=-+=-+++=+=.A已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）AO OD = 2AO OD = 3AO OD = D ．2AO OD =是中点，则有2OB OC OD +=，原式变为220OA OD +=，即OA OD =-，故AO OD =．答案：A10设M 是ABC 所在平面上的一点，且33022MB MA MC ++=，D 是AC 中点，则||||MD BM 的值为（ A ．13 B ．12D ．23)232MA MC MD MD BM +=⋅==，即MD 与BM 共线，则||13||MD BM =．ABC 和点Ｍ满足0MA MB MC ++=，若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m =_____．解析：由0MA MB MC ++=可知M 为ABC 的重心，则2211[()]()3323AM AD AB AC AB AC ==+=+，即3AB AC AM +=，则3m =． 答案：312如图，在ABC 中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为______．1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，因为，O ，N 三点共线，m n2n =． 2在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ ） ．23 3D ．23- 解析：因为A ，D ，13CD CA CB λ=+，则113λ+=，23λ=．三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，0pOA qOB rOC ++= ，0pOA qOB rOC ++=变形得q rOA OB OC p p=--，因，B ，C 三点共线，则有0=，化简得p q r ++=答案：015已知点G 是ABC 的重心，点P 是GBC 内一点，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的取值范围是（ ）A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．(1,2)解析：P 是GBC 内一点，则1λμ+<，当且仅当P 在线段BC 上时，λμ+最大等于1，当P 和G 重合时，λμ+最小，此时1()3AP AG AB AC ==+，即23λμ+=，故213λμ<+<． 答案：B 16在ABC 中，2AB =，3AC =，D 是边B C 的中点，则AD BC ⋅=______．解析：1()2AD AB AC =+，BC AC AB =-，则221()2AD BC AC AB ⋅=-15(94)22=-=．答案：52题型五：面积比问题1在ABC 所在平面内有一点P ，如果2PA PC AB PB +=-，那么PBC 与ABC 的面积之比是（ ） A ．34 B ．12 C ．13D ．23 主要考察用向量性质来研究三角形的关系，掌握了原理后较为简单，大体有3种形式：（1）高相同，底不同，向量线性计算得出底的比例关系（2）高不同，底相同，高的比转换为相似三角形的比，再转化为向量基底的长度比 （3）三角形店内一点与三个顶点的连线把三角形分成三个小三角，它们的面积比问题，把题目给出的向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比解析：2PA PC AB PB +=-化简可得3PC AP =，即P 在AC 上，两个三角形高相等，则34S PBC PC S ABC AC ==．答案：A如图，设P ，Q 为ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，2134AQ AB AC =+，则ABP 与ABQ 的面积之比为______．解析：如图作辅助线，EF ，GH 分别为两个三角形的高，15AE AC =，14AG AC =，则45S ABP EF AE S ABQ GH AG ===．答案：45已知O 是正三角形ABC 内部一点，230OA OB OC ++=，则OAC 与OAB 的面23 D ．13解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则OAC 与OAB 的面积比为2:3． 答案：BABC 内一点且满足320PA PB PC ++=，则PBC ，PAC ，PAB 的面积比为（ ）4:3:2 2:3:4 C ．1:1:1 D ．3:4:6 解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则面积比为4:3:2． 答案：A题型六：垂直、求模、求角、投影问题1已知向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且(23)a b c -⊥，则k =（ ） A ．92- B ．0 C ．3 D ．152解析：23(2,6)(3,12)(23,6)a b k k -=-=--，由题意知(23)0a b c -⋅=，则(23,6)(2,1)2(23)60k k --⋅=--=，解得3k =．答案：C2设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：由||10a b +=两边平方得22210a b a b ++⋅=，由||6a b -=两边平方得2226a b a b +-⋅=，两式相减得1a b ⋅=．答案：A 3已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为主要考察数量积的性质，即本学案知识点第5点的内容，利用数量积的字母公式或坐标公式进行带入计算，由于是本章最后一节，题目融合程度可以比较高，需要记住一些常见题型和结论，大量的练习，高考出题大部分是考察这里，题目难度较低，但也可以出一些中等难度题型，需要注意的是：（1）两个向量的夹角一定要看准，向量的夹角不是线段的夹角，是方向的夹角 （2）0a b a b ⊥⇔⋅=，此乃五星级考点（3）求模公式2||a a =和2211||a x y =+一定要熟练运用，给你带模的条件很多时候都需要平方后再使用（4）求角公式就是数量积公式反过来用 （5）投影有简化公式||a bb ⋅，考察方式比较多样，涉及数量积最值的投影问题，通常需要作图来看，数形结合22222)()21226a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-⨯+⋅=-，解1a b ⋅=，11cos 122||||a b a b ⋅==⨯，3πθ=．答案：3π4已知点1,1)-，(1,2)B AB 在CD 方向上的投影为(2,1)AB =(5,5)CD = ，||52CD =10510||||552AB CD AB CD ⋅+==⨯ ，投影为3103|cos 510AB θ⨯=322如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP =，则AP AC ⋅=_____．22||||cos AP AC AP AO AP AO ⋅=⋅=∠Rt APO 中，|cos ||AO PAC AP ∠=，所以22||218AP AC AP ⋅==⨯．答案：186在平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=为CD 的中点，1AC BE ⋅=，则AB 的长为_____．AB a =，AD b =，AC a b =+，12BE b a=-，222111111()()||||11222222AC BE a b b a a b a b a a ⋅=+⋅-=⋅-+=⨯-+=，解得||0()a =舍去或1||2=a ．答案：127已知1e ，2e 是夹角为2π的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+，若a ⋅则实数k 的值为______a ，b 不共线，且|||a b =，则下列结论中正确的是（a b +与a b -垂直 B ．a b +与a b -共线 a b +与a 垂直 D ．a b +与a 共线|||a b =可得22||||a b =，即2222||||()()0a b a b a b a b -=-=+⋅-=，A 项很明显都不正确．答案：A 设向量a ，b 满足||||1a b ==，12a b ⋅=-，则|2|a b +=（ ） B ．3 C ．5 D ．72222|(2)441423a b a b a b a b +=+=++⋅=+-=．B若(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=，则||AB =______解析：设||(,)OB x y =，由两个条件可知2221330x y x y ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩，解得(3,1)(3,OB =-或，则(2,4)2)AB OB OA =-=-或，22||=AB 答案：2511设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ）A ．B ．2C ．3D ．5解析：条件中两式分别平方得22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得4a b ⋅=，1a b ⋅=．答案：Aa b ∥ a b ⊥ |||a b = a b a b +=-解析：法一：根据向量加法和减法法则，||a b +和||a b -分别代表以a ，b 为临边的平行四边形的对角线长度，两对角线长度一样，说明四边形为矩形．故有a b ⊥；可得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即40a b ⋅=，则a b ⊥．(2,4)a =，(1,2)b =-，若()c a a b b =-⋅，则||c =_____． ()(2,4)(28)(1,2)(8,8)c a a b b =-⋅=--+-=-，22||8(8)82c =+-=．82(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-a c ⊥，b c ∥，则||a b +=（ A ．5 B ．10 ．25 D ．10a c ⊥，则240a c x ⋅=-=，得2x =，bc ∥，则42y -=，(2,1)(1,2)(3,1)a b +=+-=-，故|9110a b +=+=．答案：B15已知(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λA ．4- ．3- C ．2- D ．1-(2m n λ+=+(1,m n -=--()()(2m n m n λ+⋅-=-．B单位向量1e 与2e 的夹角为α，且13=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹，则cos β=_____1212(32)(3)8a b e e e e ⋅=-⋅-=，212|(32)3a e e =-=，212||(3)8b e e =-=，8||||38a b a b ⋅==2 已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，|1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为222)()2186a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=-，所以1a b ⋅=，故11122||||a b a b ⋅==⨯，60θ=︒． 60︒若向量(1,2)a =，(1,1)b =-，则a b +与a b -的夹角等于（A ．4π- B ．6π 4π D ．34π (3,3)a b +=，(0,3)a b -=，)()9a b a b +⋅-=，|2|32a b +=，922||||323a b a b ⋅===⨯，夹角为4π．设向量a ，b 夹角为θ(3,3)a =，(1,1)b a -=-(,)b x y =，2(23,23)(1,1)b a x y -=---，得(1,2)b =，9a b ⋅=，||32a =，|5b =，9310cos 10||||325a b a b θ⋅===⨯． 答案：31010已知i ，j 为互相垂直的单位向量，2a i j =+，i j +，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ5(,0)(0,)3-+∞ 3 C ．5[,0)(0,)3-+∞ D ．5(,0)3- 由题意知(1,2)a =，(1,1)b =，(1,2)a b λλλ+=++，夹角为锐角，即cos 0θ>|||||sin a b a b θ⨯=，a 与b 的夹角，若(3,a =--(1,3)b =|a b ⨯=（ ）A ．3B ．23C ．2D ．432||||a b a b ⋅-=⨯|||||sin a b a b θ⨯==已知点(1,1)A -(3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）D ．3152- (2,1)AB =(5,5)CD =15AB CD ⋅=，|5AB =，|52CD =151010||||552a b a b θ⋅===⨯，投影为2||cos AB θ=． A (,1)A a ，(2,B 为平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（．543a b -= D ．5414a b +=OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则有OA OC OB OC ⋅=⋅，带入坐标，则有85b =+，即45a b -=．A向量a 的模为1，且a ，b 满足||4a b -=，||2a b +=，则b 在a 方向上的投影等|4a b -=两22216a b a b +-⋅=，|2a b +=两2224a b a b ++⋅=，两式相减得3a b ⋅=-，则投影为3||a b a ⋅=-． 答案：3- 25 在矩形ABCD 中，2，1BC =，的中点，若界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为（2．4 C ．2解析：如图，建立坐标系，设AE 与AF 夹角为θ，则||||cos AE AF AE AF θ⋅==2212()||cos 2AF θ+，||cos AF θ为AF 在AE 方向上的投影，由投影定义可知，只有点F 取点C 时，投影有最大值，此时19(2,)(2,1)22AE AF ⋅=⋅=． 答案：C如图，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，22BC =，G 是ABC 的重心，P 是ABC 内的任意一点（含边界），则BG BP ⋅的最大值为_____．解析：如图所示，2222225||413333BG BD AB AD ==+=+=， 25||||cos ||cos 3BG BP BG BP BP θθ⋅==，则BG BP ⋅的最大值即||cos BP θ最大，由投影定义可知，当P 与C 重合时，有最大值，由余弦定理得222581310cos 2102522BD BC CD BD BC θ+-+-===⋅⨯，则最大值25310||||cos 224310BG BP BG BC θ⋅==⨯⨯=．数学浪子整理制作，侵权必究。
平面向量复习(含练习+答案)
向量知识清单一、向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:⑴字母表示法:如,,,a b c r r rL 等.⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB uuu r ,CD uuu r等.⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA u u u r的起点O 为在坐标原点,终点A 坐标为(),x y ,则(),x y 称为OA u u u r 的坐标,记为OA u u u r=(),x y .注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量ar与b r相等,记为a b =r r .注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0r与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 (一)运算定义①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。
研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.运 算 图形语言 符号语言 坐标语言加法与减法 OA --→+OB --→=OC --→ OB --→OA --→-=AB --→记OA --→=(x 1,y 1),OB --→=(x 1,y 2) 则OA OB +uu u r uuu r =(x 1+x 2,y 1+y 2)OB OA -uuu r uu u r=（x 2-x 1,y 2-y 1）OA --→+AB --→=OB --→实数与向量的乘积 AB --→=λa → λ∈R 记a →=(x ,y ) 则λa →=(λx ,λy )两个向量的数量积 cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r记1122(,),(,)a x y b x y ==r r 则a →·b →=x 1x 2+y 1y 2 加法：①a b b a +=+r r r r (交换律); ②()()a b c a b c ++=++r r r r r r(结合律)实数与向量的乘积：①()a b a b λλλ+=+r r r r ; ②()a a a λμλμ+=+r r r;③()()a a λμλμ=r r两个向量的数量积: ①a →·b →=b →·a →; ②(λa →)·b →=a →·(λb →)=λ(a →·b →);③(a →+b →)·c →=a →·c →+b →·c →注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算， 例如(a →±b →)2=222a a b b →→→→±⋅+ (三)运算性质及重要结论⑴平面向量基本定理:如果12,e e u r u u r是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a r ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+r u r u u r ，称1122e e λλ+u r u u r 为12,e e u r u u r的线性组合。
平面向量复习
平面向量复习李麦家制作一、向量的有关概念：1、向量——有大小又有方向的量，记为 ：a (字母表示法) ， AB (几何表示法)，a ＝(,)xi y j x y += （坐标表示法）2、向量的相等——模相等，方向相同的两向量，a b = ，1122(,)(,)x y x y =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 3、零向量——模为0，方向任意，记为 04、单位向量——模为1的向量。
a 的单位向量是 ||a a 5、向量的夹角[]0,θπ∈， c o s ||||a b a b θ= 6、平行向量（共线向量）——方向相同或相反的非零向量性质：//(0)(a b b a b λλ≠⇔= 是唯一）||b a b a a b λλλ⎧⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩⎨⎪=⎪⎩0,与同向方向---0,与反向长度--- 1221//(0)0a b b x y x y ≠⇔-= （其中 1122(,),(,)a x y b x y == ） 7、垂直向量——两向量的夹角为2πθ=性质：0a b a b ⊥⇔=12120a b x x y y ⊥⇔+=（其中 1122(,),(,)a x y b x y == ）二、向量的加法和减法：1、平行四边形法则：A C a b =+ （起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）DB a b =-2、三角形法则,---⎧⎨---⎩加法首尾相连减法终点相连方向指向被减数——加法法则的推广： 112n AB AB B B =++ ……1n n B B -+即n 个向量12,,a a ……n a 首尾相连成一个封闭图形，则有12a a ++ ……0n a +=3、坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212(,)a b x x y y ±=±± 4、常用结论： （1）若1()2AD AB AC =+ ，则D 是AB 的中点 （2）或G 是△ABC 的重心，则0GA GB GC ++=三、向量的模：1、定义：向量的大小，记为 |a | 或 |AB |2、模的求法：若 (,)a x y = ，则 |a |22x y =+若1122(,),(,)A x y B x y ， 则 |AB |222121()()x x y y =-+-3、性质：（1）22||a a = ； 22||(0)||a b b a b =≥⇒= （实数与向量的转化关系）（2）22||||a b a b =⇒= ，反之不然（3）三角不等式：||||||||||a b a b a b -≤±≤+（4）||||||a b a b ≤ （当且仅当,a b 共线时取“=”） 即当,a b 同向时 ，||||a b a b = ； 即当,a b 同反向时 ，||||a b a b =-（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即22222||2||||||a b a b a b +=++-四、平面向量的数量积1、已知两个非零向量,a b ，它们的夹角为θ，则（1）a b =||||cos a b θ（2）坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y == ，则1212a b x x y y =+2、运算律：（1）交换律：a b b a = ;（2）分配律：()a b c a c b c +=+（3）(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb );——①不满足结合律：即()()a b c a b c ≠②向量没有除法运算。
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从黄昏出发，沿着夕阳的方向，未知的旅程，有没有心动的模样？十月，翻山越岭的行藏，过了拉市海，过了石鼓镇，下一场，不知何方。总有莫名其妙的伤，堆积在身上，需要抖一抖，才觉得健康。 总有枯死的渴望，需要浇灌些荒找到那一枚印刻在心上的章，在哪个岩层埋葬。 当灯火迷茫，车在黑夜里穿肠，哪一座小镇，承载我的身影，匆匆忙忙，只需停留，无须安放。 到中兴的时候，星月并没有变得有光。送走顺路的姑娘，然后找个栖身的客房，明天去哪儿，无须商量，自由主张。 有些路，除非你自己用脚步去丈量，否则你永远也无法领略它平凡中那些无声的岁月表现出的细节，美好和伟大。 第二天一早，从中兴出来看一眼滚滚的金沙江，对那滔滔江水投去连绵不绝的目光，然后向着黎明出发，由于时间尚早，没有车往返两地，于是我便准备跋涉这听说二十多公里的路程。一如秋天的姿态， 一步步展开，从来都只是行程，没有彼岸。 一户人家，一树牡丹花，路从花下过，尘染芳华。一所培训的学校，它的清晨，丰满中带着骨感，现实从来都比想象令人肃然，并能给予更多的关照与亲近。 收割的田野，在河谷摊开，耕耘的土地，被秸秆掩埋，未来，丰收还在。而路旁是我见到的第一辆报废的车在路边被时光占据，后来，我见到了第二辆，第三辆，第四辆，它们都在路边就这样抛尸荒野, 成为残骸、遗骸，很有生化感。山脚下的村庄，在晨光朦胧的时候，披着一层从土里渗出的黄，一种沉淀下来的安静，像已收藏。我喜欢这种寻常，其实历史没有变化，技术变了，衣服变了，饮食变了， 这都是外壳，里面什么都没变化，还是几千年前那一套，转来转去，该犯的错误还是要犯，该杀的人还是要杀，岳飞会死，袁崇焕会死，再过一千年，还是会死。从游牧文明到农耕文明到商业文明，也 许后来还有星球文明，但是作为我自己，一直是在农耕文明中孕育起来的，我的根就在这里，在为温饱和生存而运行，不管时代怎样引领，这里，和几百年前一样劳作、起居。城还是城，村还是村。