电磁理论中的基本物理量和实验定律

E ▽2E－με ———
2
t2
2
Jc + — 1 ▽ρ = μ—— t ε
·+ ▽ρ/ ·ε ▽2 Ė +μεω2 Ė= jωμJ c · · · ▽2H+μεω2H = － ▽×J c
H ▽2H－με ——— 2 t
= － ▽×Jc
；
4、坡印廷矢量的复数形式
p = E×H
· · · - ﹡ p = E×H = p +jQ
真空中电磁波的相位速度为光速。 2、波长λ：指电磁波在一个周 期内传播的距离。即两个相邻 的相同等相位面间的距离。
Ex
t1
t2 t1
2π
z
2 2 1 = VpT k f
0
π
λ
3π
3、波阻抗η：电场和磁场幅度比称媒质本征阻抗又称波阻抗。
＝
E H


=常数
本教材采用有效值。
2、麦克斯韦方程组的复数形式
▽×H= J+D/ t ▽×E = - B/ t ▽· B= 0， ▽· H= 0 ▽· D= ρv
· · · ▽×H =J + jωD
▽×Ė= -jωB
·
· ·= 0 ▽· B = 0， ▽ · H · · ▽· D= ρ v
3、亥姆霍兹方程(即波动方程)的复数形式
对于时谐场，其E和H都是以一定的随t按正弦规律变化。 可表示为： E(r,t)=√2Eo (r) cos(ωt+φo(r) ) 其中相位： φ(r,t)= ωt+φo(r) 若令：φ(r,to)=常数，即φo(r) =常数
由该方程构成的轨迹称等相位面又称波阵面
平面波：φo(r) =kxx+kyy+kzz=C 指波阵面在 波类型 空间的形态 柱面波：φo(r) = kρρ= C φo(r) =k· r 球面波：φo(r) = krr=C K —— 波矢量：它的方向为波传播的方向。 平面波：k = ex kx+ ey ky+ ez kz 柱面波：k = eρ kρ 球面波：k = er kr
Ėz ez =—— ez =0
z
将上式代入到⑼中，得：Ėz(z)=0
7、式⑺、⑻均为复数形式的二阶常系数微分方程， 其特征根为：λ1，2 = ±jk 其解为： · exp(jkz) · exp(-jkz) +B · exp(jkz) Ėy(z)=A · exp(-jkz) +B Ėx(z)=A
表示向-z方向传播的均匀平面波；
为讨论的方便，将沿+z方向和沿-z方向的场强分别表示 8、设:A1 =E1 e
jφ1
A2 = E2 e
jφ
jφ2
则沿Z轴正向的电场为：
jφ
Ė(z) = [exE1 e 1 + eyE2e 2 ] exp(-jkz)
E(z,t) =√2 [exE1 cos (ωt - kz+φ1) + eyE2 cos (ωt - kz+φ2) ] 9、∵ ▽×Ė(z) =- jμωH(z)
磁场能量密度：
实数表达形式
1 we E 2 2
wm
we wm 电磁波的能量密度： w we wm E 2 H 2
1 H 2 1 ( E )2 1 E 2 2 2 2
理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。
11、 场量 E、H 的关系
⑹
5、∵上式中各分量⊥即独立∴上式若成立只有各分量为零： 2Ėz 2Ėy 2Ėx 2Ėz(z)=0 ⑼ 2 2Ėx(z)=0 ⑺ + k —— + k Ė y(z)=0 ⑻ —— —— + k 2 2 z2
z
z Ėx Ėy Ėz 6、∵无源∴ ▽· Ė(z ) =—— ex + —— ey+ —— x y z
可见理想介质中的波阻抗是一纯阻抗，大小只与材料有关。 特殊地：真空（自由空间）的本振阻抗为：
0
0 0
4 107 120 377() 1 109 36
自由空间中传播的电磁波，电场与磁场幅度之比为377欧。 4、横波: 指场A在传播方向上无分量（即：A· K=0）。 ∵由解中：E· K=0 ; H· K=0
求： E(r,t) =？ 求： E(r,t) =？
解： E(r,t) = ex√2Eo cos(ωt- k· z -φ)
④ 已知： Ė(r)= exEosin(kx) 解： E(r,t)= ex√2Eosin(kx) cos(ωt) sin φ= cos(φ-π/2) ; j= ejπ/2
二、时谐场的波类型、波均匀
5· 1· 1 场方程与解 一、场方程： · ▽×H = jωεĖ
▽· H= 0
▽×Ė= -jωμH
·
·
▽· Ė=0
二、波方程：
▽2 Ė +μεω2 Ė= 0 ▽2 Ė +k2 Ė= 0 ⑴
▽2H+μεω2H
·
·
=0
▽2H+k2H
·
·
=0
⑵
K——是波矢量的模，称相位常数。 k2 = μεω2
三、解波方程：
应用坐标旋转即可得解：
jφ1 jφ2
z
x
z
x
x
O
y
y
O
Ė(x) = [eyE1 e + ezE2e ] exp(-jkx)
jφ1 jφ2 · H(x) = k[ezE1e - eyE2e ]exp(-jkx)/μω
沿y 轴正向的电、磁场解：
应用坐标旋转即可得解：
jφ jφ
z
y
x
O
y y x z
O
Ė(y) = [ezE1 e 1 + exE2e 2 ] exp(-jky)
动态场
电磁波
随时间变化的电磁场可场生场，因而产生电磁波。
若产生场的激励源为正弦源， 那么其场量也会随时间按正弦规律变化， 这样的电磁场称时谐场，又称正弦电磁场 正弦电磁波在工程上应用广泛，有如下特点： 1、易于激励； 2、由傅立叶级数可知：在线性媒质中， 正弦电磁波可以合成其他形式的电磁波。 本教材仅讨论时谐场即正弦电磁波。 对于时谐场可采用复数运算以简化动态场的复杂性。
5、练习
z ① 已知：Ė(r)= exEosin(kx)sin(ky)e-jk· ，求： E(r,t) =？
解： E(r,t)=ex√2Eosin(kx)sin(ky) cos(ωt-k· z) ② 已知：E(r,t)=ex Eocos(ωt-kz)+ey2Eosin(ωt-kz ) 求 :Ė、Ė﹡
∴
jφ1 jφ2 · H(z)=j▽×Ė(z)/μω=k[eyE1e - exE2e ]exp(-jkz)/μω
H(z,t) =√2 k [eyE1 cos (ωt - kz+φ1) - exE2 cos (ωt - kz+φ2) ] /μω z
10、沿其它方向传播的均匀平面波 沿x 轴正向的电、磁场解：
理想介质中平面电磁波是一横波(TEM)。
5、 ∵由解中：E· K=0 ; H· K=0; H· E=0 ∴ E⊥K⊥H 平面电磁波中E、K、H三者相互垂直，且满足右手螺旋关系。 6、 ∵由解中： φE= φH = ωt ± kz+φo 平面电磁波中E和H在时间上保持同相。
E
H
k
7、 ∵由解中： 振幅= Eo =常数 ；振幅= Ho =常数 理想介质中的平面电磁波在传播时无损耗。 8、 ∵由解中：φ2(z) = ωt - kz2+φo ∴ φ1(z) = ωt – kz1+φo φ2(z)- φ1(z) = kz1 - kz2 ＜0
jφ1 jφ2 · H (y) = k[exE1e - ezE2e ]exp(-jky)/μω
沿任意方向的电场为：∵平面波φo(r) =kxx+kyy+kzz ∴ Ė(z) = [exE1 ejφ1 + eyE2ejφ2 + ezE3ejφ3 ] exp(-jko· r) = Ėoexp(-jko· r)
在实际应用中，纯粹的均匀平面波并不存在。但某些实际存在的波型，在远 离波源的一小部分波阵面，仍可近似看作均匀平面波。
解：∵是均匀平面波
∴E 只是z的函数E(z),故可有： 1、 设： Ė( z)=Ėx( z)ex+Ėy(z )ey+Ėz( z)ez ⑶ 2、对式⑶进行▽2运算 (
2 2 2 ▽2 = —— + —— + —— ) x2 y2 z2 2Ė(z) 2Ė(z) 2Ė(z) 2Ė(z) 2Ėx 2Ėy 2 Ėz ▽2Ė(z ) = —— + —— + —— =—— =—— ex + —— ey+ —— ez ⑷ x2 y2 z2 z2 z2 z2 z2
1 1 2 2
分析：对exp(-jkz)考察，
exp(-jkz) → cos (ωt - kz) 由cos (ωt - kz)得右图 ：
t 0
t

4
2π
t

2
3π kz
0
π
（不同时刻的波形）
从图可知，随时间t增加，波形向+z方向平移。 故： 同理：
e e jkz
jkz
表示向+z方向传播的均匀平面波；
一、时谐场的复数表示
1、一般表示 由复变函数，知： cos(wt ) Re(e jwt ) ，则： 电路: i(t) =√2 I cos(ωt-φ)=√2 I Re(ej(ωt-φ)) İ = I e-jφ r+φ) r+φ) 场: E(r,t)=√2Eocos(ωt-k· r+φ)=√2EoRe(ej(ωt-k· ) Ė(r)=Eoej(-k· E(r,t) =√2Eocoskz cos(ωt-φ) Ė(r)=Eocoskze-jφ E(r,t)=Ex(r,t)ex +Ey(r,t)ey+Ez(r,t)ez Ė(r)=Ėx(r)ex+Ėy(r)ey+Ėz(r)ez A = A eA 由复变函数，知： Ż=x+jy=r∠φ= rejφ = r(cosφ+jsin φ ) Ż 的共轭： Ż﹡=x-jy 其中：r=√x2+y2 x,y 必须为标量 ∂/∂t jω ∂2/∂t2 (jω)2 =-ω2 r+φ) r-φ) 则： Ė(r)=Eoej(-k· Ė﹡(r)=Eoej(k· · ▽×E = - B/ t ▽×Ė= -jωB 复数表示时其模可用峰值Em也可用有效值E (Em=√2 E)