极坐标与参数方程教案

极坐标与参数方程

【教学目标】

1、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程 （2）掌握参数方程与一般方程的转化

2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性．

3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法．

【教学重点】

1、极坐标的与一般坐标的转化

2、参数方程和一般方程的转化

3、几何证明的整体思路

【教学难点】

极坐标意义和直角坐标的转化 【考点分析】

坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比较容

易的题，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分．根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立．有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便．高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定．

【基本要点】

一、极坐标和参数方程：

1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ．有序数对)

,(θρ

叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点．极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.

3．极坐标与直角坐标的互化：

4．圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ； 在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是θρ2acos =； 在极坐标系中，以 )2

,

a (C π

(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =；

5．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个

变数t 的函数⎩

⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在

这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

6．圆2

2

2

r )b y ()a x (=-+-的参数方程可表示为)(.rsin b y ,

rcos a x 为参数θθθ⎩

⎨⎧+=+=.

椭圆1b y a x 22

22=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(.

bsin y ,acos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==.

抛物线2px y 2

=的参数方程可表示为)t (.

2pt y ,

2pt x 2为参数⎩⎨

⎧==. 经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.

tsin y y ,

tcos x x o o αα（t

为参数）．

【典型例题】

题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用 例1、（1）点M 的极坐标)3

2,

5(π

化为直角坐标为（ ）B A ．)235,25(--

B ．)235,25(-

C ．)235,

25(- D ．)2

35,25( （2）点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ）B A ．)65,

2(π B ．)67,2(π C ．)6

11,2(π

D ．)6,2(π 评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围．

变式1：（1）点()22-，

的极坐标为 ． （2）在极坐标系中，圆心在)4

A(1,π

，半径为1的圆的极坐标方程是___________ ．

评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系．

例2、（1）曲线的极坐标方程θρsin 4=化 成直角坐标方程为（ ）

A.x 2

+(y+2)2

=4 B.x 2

+(y-2)2

=4 C.(x-2)2

+y 2

=4 D.(x+2)2

+y 2

=4

【解析】将ρ=2

2

y x +，sin θ=22y

x y

+代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，

即x 2+(y-2)2

=4.∴应选B.

（2）⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ. 把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； 求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.

【解析】以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同

的长度单位.（1）x=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρ=4cos θ,得ρ2

=4ρcos θ.

所以x 2

+y 2

=4x.即x 2

+y 2

-4x=0为⊙O 1的直角坐标方程.同理x 2

+y 2

+4y=0为⊙O 2的直角坐标方程.

（2）由⎪⎩

⎪⎨⎧=++=-+,04,

042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==,0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点（0，0）和（2，-2）. 过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.

变式1：极坐标ρ=cos(

θπ

-4

)表示的曲线是（ ）

A.双曲线

B.椭圆

C.抛物线

D.圆

【解析】原极坐标方程化为ρ=

2

1(cosθ+sinθ)⇒

22ρ=ρcosθ+ρsinθ，

∴普通方程为2(x 2

+y 2

)=x+y ，表示圆.应选D.

变式2：在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）

A ．cos 2ρθ=

B ．sin 2ρθ=

C ．4sin()3π

ρθ=+

D ．4sin()3

π

ρθ=-

【解析】A 4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为

2x = 圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切．

例3、在极坐标系中，已知两点P （5，45π），Q )4

,1(π，求线段PQ 的长度；

变式1、在极坐标系中，直线ρsin(θ+π

4

)=2被圆ρ=4截得的弦长为 ．