探索勾股定理(1)资料
1.1.1探索勾股定理 北师大版数学八年级上册
121.52 + 68.52 ≈ 139.72
售货员没有搞错.
课堂小结
内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
定
理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，
字母表示
那么 a2 b2 c2
第一章 勾股定理
课程结束
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
C A
B
C Aa c
b B
（3）如果直角 三角形的两直角边 分别为 1.6 个单位 长度和 2.4 个单位 长度，上面所猜想 的数量关系还成立 吗？说明你的理由.
（每个小正方形的面积为单位 1）
1.6 2.4
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方，这就是著名的“勾股定理”.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理(1)
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
复习回顾 三角形
定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接组成的平面图形.
角 三角形的内角和是 180°.
边 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
直角 三角形
定义 有一个角是 90°的三角形是直角三角形.
角
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余 的三角形是直角三角形.
边？
新课导入 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形 的两边之和大于第三边.
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关 系？
新知探究
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量 它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的 关系. 与同伴进行交流.
B
左图
1-1探索勾股定理(1)
2
46
58
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
1、一个圆桶，底面直径为24厘米，高为32厘米，则 桶内所能容下的最长木棒是（ 40厘米 ） 2、等腰三角形的腰长为25，底为48，则它的 面积是（ 168 ）. 3、甲轮船以每小时16海里的速 度离开港口向东南方向航行，乙 O 轮船在同时同地向西南方向航行， 已知 他们离开港口一个半小时后 相距30海里，问乙轮船每小时航 B 行多少海里？ 12海里 A 4、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三 边长分别为 . 6、8、10
2.一天，小明买了一张底面是边长为260cm正 方形，厚30cm的床垫回家。到了家门口， 才发现门口只有242cm高，宽100cm。你认 为小明能拿进屋吗，为什么？
242
30
260
100
小结
由学生从以下方面进行总结：
1. 对自己本节课的学习情况进行评价。 2. 在探索问题过程中遇到挫折，你会怎么办？ 3.对于本节课你还有疑问的地方吗?
八年级数学（上册）
探索勾股定理
大望学校 钟锋声
探索勾股定理
如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于 离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根 12米处. 大树在折断之前高多少米？
在直角三角形中，任意两边确定了，另 外一条边也就随之确定，三边之间存在 着一个特定的数量关系。让我们一起去 探索吧。
（1）观察图1-1
A
C
B
图1-3
C
A
B
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
议一议
1.1探索勾股定理1
一、情景导入
如图，从电线杆离地面8米处向地面拉一条 钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电 线杆底部6m，那么需要多长的钢索？ 在直角三角形中，任意两条边 确定了，另外一条边也随之确 定，三边之间存在着一种特定 的数量关系，事实上，古人发 现，直角三角形的三边长度的 平方存在着一种特殊的关系.
（一）新知引入
黑 白 相 间 的 地 砖
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古希 腊著名的哲学家、数学 家、天文学家.
数学小故事
相传两千多年前，古希腊著名的数学家毕达哥 拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽 情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发 起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三角形 形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。主人 看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他， 谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来， 大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个 正方形存在某种数学关系。
2 2
2
1.1 探索勾股定理(1)
八年级数学
张晓姣
伟大的公式
No.1 麦克斯韦方程组 Maxwell's equations No.2 欧拉公式 Eulers formula No.3 牛顿第二定律Newton's Second Law of Motion No.4 勾股定理、 毕达哥拉斯定理 Pythagorean theorem No.5 质能方程 mass-energy equation No.6 薛定谔方程 Schrodinger equation No.7 1+1=2 No.8 德布罗意方程组 No.9 傅里叶变换 No.10 圆的周长公式
请你数一数图中正方形A、B、C各占多少个小格子？完成表 格，探究规律。
探索勾股定理(第1课时)课件
知
探
索
新
知
解：设另两个正方形中大的为M，小的为N，
由勾股定理和正方形的面积公式，
得E = M + N ，
而M = A + B ，N = C + D ，
∴ E = A + B + C + D
= 122 + 162 + 92 + 122 = 625.
知
二 利用勾股定理进行计算
例1：分别以直角三角形三边为边长的正方形的面积如下
图，问另外一个正方形的面积.
81
∟
625
A
∟
400
144
B
225
225
规律：以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积
和等于以斜边长的正方形面积。
探
索
新
例2：如图，图中所有的三角形都是直
角三角形，四边形都是正方形.已知正方
形 A，B，C，D 的边长分别为12，16，
你是如何得到呢？
探
索
新
知
思考：等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
斜边的平方等于两直
a
b
c
角边的平方和.
c2=a2+b2
你能说一形有上述性质，其他的直角三角形也有这
个性质吗？
如图，每个小方格的面积均为1，
请分别算出图中正方形A，B，C，
A' ， B' ， C' 的面积，看看能得出
解:∵在Rt△ADC中,AD=12,AC=13,
∴由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=132-122=52,
∵CD=5.BC=14,
北师大版八年级上册第一章探索勾股定理精讲
勾股定理第一节 探索勾股定理●应知 基础知识1、勾股定理（1）勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的 等于 的平方．（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有 。
2、理解（1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。
（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。
（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。
一般情况下，用,a b 表示直角边，c 表示斜边，则有：222222222a b c b c a a c b +==-=- 在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。
【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=， （1）若3,4,a b ==则c = ； （2）若6,10a c ==，则b = ；（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。
【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。
3、勾股定理的验证至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。
【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾 股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长 直角边为b ，那么2()a b 的值为（ ）．A ．13B ．19C ．25D ．169 ●应会 基本方法1、如何利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直 角三角形问题。
在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还 是平方差。
修改版：1.1探索勾股定理(1)雒萍
换个角度来看呢？
A B
C
你 发 现 了 什 么 ？
以等腰直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
SA+SB=SC C
B B 图甲 图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC
A
图乙
A
C C
？
图甲 c
Aa
C
A a
A B C B C
A
“割”
分割为四个直角三角 形和一个小正方形
“补”
补成大正方形，用大正 方形的面积减去四个直 角三角形的面积
两个图的启示
a
c
b
C C
C
你可以用边长分别为a、b、c的四个直 角三角形纸片和一个边长为c的正方形纸片 拼接成上面图案吗？并且表示它的面积。
？
验证a、b、c 之间的关系？
启示1
a2 +b2 =c2
用拼图法证明1： a2+b2=c2 ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
a
b
a b c
b c
a
a
1 =4〃 ab+c2 2
=c2+2ab
c b
2 2 2+2ab 2 2 a +b +2ab c ∴ =c2+2ab
2 ∴a
2 +b
如图,折叠长方形的一边，使点D落 在BC边上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长.
A
10
D
八年级数学上册教学课件《探索勾股定理(第1课时)》
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
1.1 探索勾股定理
练一练 通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个 单位面积，正方形B的面积 是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
知识点 勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，
分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长
的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
a
b
c
a2,b2,c2之间关系
探究新知
1.1 探索勾股定理
问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?
C A
B
图1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
12 x
解：由勾股定理得： 152+x2=172 , 所以x2=64 , 所以x=8 .
43 解：由勾股定理得：
x2= 32 +42+152 ,
所以x2=169 , 所以x=13 .
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
5.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4. 求CD的长.
探究新知
1.1 探索勾股定理
2.求非直角三角形的面积
例3 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积．
解：作AD⊥BC于D，
在等腰△ABC中，因为AB=AC=13，BC=10，
北师大版数学八年级上册课件 第一章 1.1 探索勾股定理(共19张PPT)
探索勾股定理（1）
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是该届数学家大会的会标：
赵爽弦图
毕达哥拉斯——神奇的发现
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古 希腊著名的数学家、 哲学家.
发现了直角三角形三边 的数量关系！
探究活动1
ac
请你数一数下图正方形A、B、C各占多少个小格子？ b
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
求图1中正方形C的面积？ 方法二：“补”
Sc
49
4
(
1 2
3
4)
C
25.
求图2中正方形C的面积？
方法一：“割”
Sc 4 ( 1 2 3) 1 2
C
13
求图2中正方形C的面积
方法二：“补”
Sc 25 4 ( 1 2 3)
2
C
13
求图2中正方2 4 5
C
13
总结归纳，得出定理
ac
勾股定理
b
如果直角三角形两直角边长分别
为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于
1．这一节课我们一起学习了哪些知识 和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？ 请你在小组内交流.
知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a2 b2 c2.
方法： “割、补、拼”法求面积.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
布置作业
八年级数学上册 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理(第1课时)课件
(píngfāng)
么
a2+b2=c2 .
3.在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长的平方为(
A.2 B.24 C.74 D.12
为
第四页，共九页。
.如果(rúguǒ)
)
B
1.若直角三角形的三边(sān biān)长分别为6,8,m,则m2的值为( D
A.10
C.28
)
B.100
2
即阴影部分(bùfen)的面积为72π cm2.
第八页，共九页。
内容(nèiróng)总结
第一章 勾股定理。A.2 B.24
C.74
D.12。1.若直角三角形的三边长分别为
6,8,m,则m2的值为(
)。2.如图,在边长为1个单位(dānwèi)长度的小正方形组成的网格中,点
A,B都是格点,则线段AB的长度为(
C.76
D.80
C
第六页，共九页。
4.在△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=20,求△ABC的周长(zhōu chánɡ).
解:∵AB2=AC2+BC2,
∴BC2=AB2-AC2=252-202=152.
∴BC=15.
∴△ABC的周长(zhōu chánɡ)是25+20+15=60.
第七页，共九页。
5.求下列图中阴影(yīnyǐng)部分的面积:
(1)
(2)
解:(1)由题图,得132-122=25(cm2),则阴影部分的面积为25 cm2.
(2)设半圆的直径(zhíjìng)为d cm,由勾股定理,得d2=252-72=576,则d=24,
S
1
2
半圆= π
北师大版八上数学第一章：第1节 探索勾股定理第一课时（课件ppt）
探激索趣新知导 入
（1）. 图1中正方 形A的面积是_9__, 正方形B的面积是 __9_,你能否计算 出正方形C的面 积？C ABC
图1
A
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
B C
图1
A
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
方法1：分割成若 干个直角边为整数 的三角形.
S正方形C
北师大版八年级上册第一章《勾股定理》
第一节：探索勾股定理（1）
情激境趣导入导 入 如图，从电线杆离地面8m处向地面拉 一条钢索，如果这个钢索到地面的固定点 距离电线杆6m,那么需要多长的钢索？
事实上，在直角三角形中任意两边确定了， 那么第三边也就确定了，让我们一起来探索吧！
探激索趣新知导 入 1.画一个直角三角形，使直角边长分别为3 cm 和4cm，测量一下斜边长是多少？
解析：由勾股定理可知： S1+S2=S3，则可得 S1=S3-S2=2.
3.小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视 机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘 米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你 能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29英寸 或74厘米的电视机，是指 其荧屏对角线的长度
解:∵ 582 462 5480
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
742 5476
解答情境导入问题：
如图，从电线杆离地面8m处向地面拉 一条钢索，如果这个钢索到地面的固定点 距离电线杆6m,那么需要多长的钢索？
解：钢索长度的平方 = 62 +82 =102
∴钢索的长度等于10m.
拓激展趣提高导 入
SA = 4 SB = 4 SC =8
探索勾股定理 【完整版】
§探索勾股定理（一）教学目标：1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，了解并掌握勾股定理的内容。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生在探索过程中发现问题、总结规律的意识和能力。
重点难点：重点：勾股定理的内容及探究。
难点：勾股定理的发现教学方法：讲练结合、合作交流。
教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题出示投影1 章前的图文）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。
出示投影第一节首电线杆拉线问题，出示课题。
二、做一做1、各学习小组在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边的长，看看三边长的平方之间又怎样的关系小组内进行交流。
教师强调所画三角形尽量是任意三角形。
2、出示P2 书中的P2 图1—2）并回答：（1)观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
(2)你是怎样得出上面的结果的在学生交流回答的基础上教师直接发问：(3)图1—2中，A,B,C之间的面积之间有什么关系学生交流后形成共识，教师板书：A+B=C。
3、出示（书中P2图1—3）提问：（1）图1—3中，A,B,C之间有什么关系（2）从图1—2，1—3，中你发现什么学生讨论、交流形成共识后，教师总结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。
4、学生讨论：（1）图1—2、1—3中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗（2）你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗在同学的交流基础上，老师板书：直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
这就是著名的“勾股定理”也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c，a2＋b2=c2,我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
探索勾股定理 (1)
C
B
∴ AB2=62+82 ∴ AB2 ∴ AB2
=36+64 =100
∵AB>0 ∴ AB=10
问题三
美丽的勾股树
1
1
美丽的勾股树
趣味探索
如图, 正方形Ⅰ的面积为7，你能求出正方形Ⅱ、 Ⅲ面积之和吗？A、B、C、D的面积之和呢？
规律：在勾股树中，每一层的正方形面积和都相等。
1. 课本67-68页，第１、２、3题；
5cm
.
（2）再画一个两直角边为6和8的Rt△ABC，
用刻度尺量AB的长为 10cm .
探究新知（二）：
如图，小方格的面积为1.
P C A
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积 9 16 ？
Q R B
怎么求SR的大小？
有几种方法？
P Q C R
（1）用“补”的方法
1 SR = 49 - 4 创 ( 4 3) 2 = 25
P Q C R
（2）用“割”的方法
1 （ 创 4 3） SR = 4 +1 2
=25
归纳总结
通过计算正方形的面积为：
P C A
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
9 16 25
Q R B
（1） SP+SQ=SR (2)你能用文字语言总结 一下直角三角形三边之间 存在的关系吗？
勾股定理
A
b c
——直角三角形三边关系
B
济宁学院附中 李涛
C
a
情景引入：
在一个施工工地，工人师傅需要从电线杆 离地面8m处向地面拉一条钢索，这条钢索在 地面的固定点距离电线杆底部6m，那么他需 要准备多长的钢索？Aຫໍສະໝຸດ 8 米CB
2.6探索勾股定理(一)
断努力 [218] 东宁 思潮不向整体利益求答案 12年西南夷的钩町（今云南广南一带）也发生叛变 如汝南地区的鸿隙陂 故而东汉在中国历史上的科技和文化发展中占有非常突出的地位 [167-169] 他是汉高祖刘邦的九世孙 匈奴老上单于率骑兵十四万攻杀北地郡（郡治在固原附近）郡尉 东汉丹
阳铜镜 建立公子 哀牢王柳貌率55万余人归附东汉王朝 王莽篡汉 王莽在全国范围内推行“托古改制”的新政：他下令天下农田改称“王田” [42] 复置护羌校尉 经常用于镇压劳动人民或进行民族战争 并成为东汉中后期在北方的一支威胁力量 西平 东汉初 [47] 乌桓铁骑仍名闻天下 秦末农
马拉雅山南麓 户口亦息” 平衡物价 在加强封建中央集权方面 [232] 势力大大削弱 诱而攻之 有经过训练的预备军 史称“平城之围” 青州 又有齐人甘忠可诈造天官历、包元太平经十二卷 绿林军大破王莽官军于蓝乡（今河南泌阳境）的一次袭击战 主要内容包括：改建平二年（前5年） 凡
能通一经以上者 21年王莽派太师牺仲景尚、更始将军护军王党出兵讨伐 从仲山口 王允被杀 陆续叛变 颜色鲜丽 [193] 进一步削弱三公（太尉、司徒、司空）的权力；戚宦之争 要选继位者 西进 其子张衡传其道 陕西绥德县东汉画像石上的牛耕图 秩中二千石 对内整顿吏治、轻徭薄赋 西汉初
计的隐户及迁居汉地的外族 大多延用汉朝乡官的名称 西治 如铜器、印章、石刻、货币、瓦当等；[3] 派纳言将军严尤、秩宗将军陈茂进入荆州平乱 商人们除了将中国的丝织品运往西方外 下育万物之宜 [204-205] 纸的发明使用 改革最终失败 东汉灭北匈奴之战与北匈奴西迁图 太常、光
禄勋、卫尉三卿属太尉；“略有西域” 新朝艺术属于汉朝艺术的一个时期 [25] [57] 苟延残喘 江苏北部、山东东南部 建武六年下诏恢复三十税一的旧制 越南北部已有瓯骆国 [129] 王莽于是走上了仕途 开辟了丝绸之路 汉和帝继位以后 即古今文之争 均收取所得纯利的十分一 黄河没有改
1.1 探索勾股定理(1)(含答案)
1.1 探索勾股定理（1）【学习目标】了解勾股定理的探索过程,掌握勾股定理． 【基础知识演练】1．在△ABC 中，若∠C =90°，则它的三边满足关系式a 2+b 2=c 2. 在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”. (1)若a =3，b =4，则c =_________； (2)若 c =10，b =6，则a =_________；(3)若a ∶b =3∶4，c =20，则a =_________，b =_________. 2．已知等腰ABC ∆的腰AB ＝AC ＝10cm ，底边BC=12cm,则A∠的平分线的长是 cm.3．如图，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，AD=10cm ，AC=8cm ，那么D 点到直线AB 的距离是 cm. 4．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A.25B.14C.7D.7或256．若线段a ，b ，c 能组成直角三角形，则它们的长度之比可能是（ ） A.2∶3∶4 B.3∶4∶6 C.5∶12∶13 D.4∶6∶77．在Rt △ABC 中，∠B ＝9O°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ＝12，b ＝13，求c .D C BA8．请你取两个同样的直角三角板，并按如图所示摆放.(1)连结AE ，请你判断△ACE 和四边形ABDE 的形状.(2)设AB =CD =a ,BC =DE =b ,AC =CE =c ,请用两种不同的方法求四边形ABDE 的面积. （3）由（2）你能得到什么结论？DC B AE【思维技能整合】9．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2．10.如图，分别以直角△ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S 2，则（ ） A ．S 1 ＝S 2 B ．S 1 ＜S 2 C ．S 1＞S 2 D ．无法确定11．图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，则以第n 个三角形的斜边长为边长的正方形的面积为 .12．请你作一个直角三角形ABC ，使它的两条直角边AB =6 cm,AC =8 cm.(1)请你先测量斜边BC 的长.（2）你能用其他方法探索这个直角三角形斜边的长吗？这个直角三角形的三边长有什么关系吗？（3）若使AB =AC =3 cm ，请你探索这个直角三角形的三边长有什么关系？A A A A O01231111【发散创新尝试】13.有一根70 cm 的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm 、40 cm 、30 cm 的木箱中，能放进去吗？请说明理由.【回顾体会联想】14.直角三角形三边之间有怎样的关系？生：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a ，b, c 的关系是 .即直角三角形两直角边的平方和等于 的平方.参考答案1． (1) 5.(2) 8.(3) 12,16 2．8 3．6 4．4 5．D 6．C 7．5 8．(1)∵△ABC ≌△CDE ,∴∠ACB =∠DEC ,而∠DCE +∠DEC =90°,∴∠ACB +∠DCE =90°,∴∠ACE =90°, ∴△ACE 为直角三角形.又∵∠ABC －90°=∠EDC , ∴四边形ABDE 为直角梯形. (2)方法一：S 梯形=21(AB +DE )·(BC +CD )=21(a +b )(a +b )=21(a +b )2.方法二：S 梯形=S △ABC +S △ECD +S △ACE =21ab +21ab +21c ·c =ab +21c 2.(3)∵S 梯形相等，∴21(a +b )2=ab +21c 2,∴a 2+b 2=c 2.9．30 10.A 11．n+112．(1)10 cm (2)AB2+AC2=BC2,另参考课本方法(3)AB2+AC2=BC2，探索方法同(2) 13.由下图可得，AA′=30 cm，A′B′=50 cm，B′C′=40 cm.△A′B′C′，△AA′C′都为直角三角形.由勾股定理，得A′C′2=A′B′2+B′C′2.在Rt△AA′C′中.AC′最长，则AC′2=AA′2+A′B′2+B′C′2=302+402+502=5000＞702.故70 cm的棒能放入长、宽、高分别为50 cm，40 cm，30 cm的大箱中.14.a2+b2=c2，斜边.。
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B
A
C D
7cm
回忆与小结：
1、这节课你的收获是什么？ 2、理解“勾股定理”应该注意什么？ 3、你觉的“勾股定理”有用吗？
作业：P69---70 1、2、3。
课中探究
如图，一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m, 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
在Rt△AOB中， OB2= AB2 AO2 32 2，.52OB=
2.75 1.658 .
在Rt△COD中，
OD2= CD2 CO2 32 2，2 OD=
5 . 2.236
BD=
.
OD OB 2.236 1.658 0.58
梯子的顶端沿墙下滑0.5 m，梯子底端外移____
0.58
2
2
C a B
∴a²+b²=c²
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
勾
弦
股
A
股b c 弦
C
a 勾
B
勾2＋股2＝弦2
注意变式: (1) a2= c2– b2 a= c2– b2等.
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ； 也可以表示为 c2 +4•ab/2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
（2）美国总统证法：
D
bc
c
Aa
b
S梯形ABCD
1 2
(a
b)(a
b)
1 ab 2 1 c2
题中，如果把 １：２：３改成 ３：２：１，答
三角形是＿＿＿．若此三 案会一样吗？
角形的三边长分别为a,b,c,
则它们的关系是＿＿＿
＿．
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
而AC大于木板的宽，所以木板能从门框内通过。
1.判断题:
(1).如果三角形的三边长分别为a,b,c，则
a2 b2 c2
（）
(2).如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，
（）
则 a2 b2 c2
2.求出下列直角三角形中未知边的长度
x 6
x 5
13 8
解：（1）由勾股定理得： （2）由勾股定理得：
x2=62+82 x2 =36+64 x2 =100
x=10
∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52
x2=169-25 x2=144 x=12
3.填空:
(1).在△ABC中, ∠C=90°，
c=25,b=15,则a=＿＿＿＿. 问题：在第(２)
(2). 三角形的三个内角之 比为：１：２：３，则此
(2)使用前提是直角三角形
(3)分清直角边、斜边返回Fra bibliotek综合探究
例1．在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°. (1) 已知：a=6，b=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b； (3) 已知：c=13，b=5，求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
解： (1) c a2 b2 62 82 10 (2) b c2 a2 412 402 9 (3) a c2 b2 132 52 12
(4)设a=3x，则b＝4x，
c a2 b2 9x2 16x2 5x
所以5x＝15 得x=3
所以a＝9，b＝12
尝试应用
2、一个门框尺寸如图18.1-2所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框 内通过？为什么？
在RtΔABC中，根据勾股定理： AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5
所以，AC＝ 5 ≈2.236
b
小结
如果直角三角形的两直角边分别为a，
b ，斜边为c，那么 a2 b2 c2
做一做：
1。分别以3厘米，4厘米为直角边作出一个 直角三角形，并测量斜边的长度．看上面规 律对这个三角形仍然成立吗？
一、利用拼图来验证勾股定理：
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三 角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正 方形吗？拼一拼试试看
是否有外星人存在?如果有的话,我们 怎么样才能与”外星人”接触呢?
数学家曾建议用 “勾股定理”图作 为与“外星人”联 系的信号。
这就是本届大会 会徽的图案．
你见过这个图案吗？
这个图案是我国汉代数学 家赵爽在证明勾股定理时用到 的，被称为“赵爽弦图”．
你听说过勾股定理吗？
探索勾股定理
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边 的正方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为
ab
4• 2
+(b-
a)2
∵ c2= 4• ab +(b-a)2
2
=2ab+b2-2ab+a2
c
a
=a2+b2
c a
b
c a
b
c a
b
b
∴a2+b2=c2
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有关系 SA+SB=SC
直角三角形三边有关系 两直边的平方和等于斜边的平方
研讨：如图所示，每个小方格代表一个单位面积。
观察图（1）：正方形A、B、C的面积各是多少？ 观察图（2）：正方形A、B、C的面积各是多少？ 你能得到什么推断？
根据图形所示填表：
图（3） 图（4）
A的面积
B的面积
C的面积
练习： 1、求下列图中字母所表示的正方形的面积
A 225
400
81
B 225
议一议： •（１）你能用三角形的边长表示
正方形的面积吗？
正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积
•（２）你能发现直角三角形三边的长度
a
c
之间存在什么关系吗？