高二数学平面向量数量积的坐标表示
高中数学 第1部分 第二章 §6 平面向量数量积的坐标表
[一点通] 1．向量数量积的坐标表示，可把向量的夹角问 题转化为向量坐标的计算问题．但要注意a·b>0(<0)与 夹角为锐(钝)角不是等价关系． 2．利用公式：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0来 判断两向量垂直，使向量问题代数化，判断方法简捷、 明了．
4．已知直线l1：x＋3y＋1＝0和l2：2x＋y＋3＝0，则直线l1 与l2的夹角为________．
1．平面向量数量积的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 . 2．几个重要结论
(1)向量模的坐标表示：若 a＝(x，y)， 则|a|＝ x2＋y2 .
(2)向量垂直的坐标表示：若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
理解教材新知
第 二
§6
把握热点考向
考点一 考点二
章
考点三
应用创新演练
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 问题1：你能用a，b的坐标表示a·b吗？ 提示：能．a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， 而i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝ x1x2＋y1y2. 问题2：与数量积有关的性质可以用坐标表示吗？ 提示：可以．
解析：任取 l1 和 l2 的方向向量 m＝(1，－13)和 n＝
(1，－2)．
设 m 与 n 的夹角为 θ，
cos θ＝
1＋23 1＋19×
＝ 1＋4
5 3 310×
＝ 22，θ＝45°. 5
答案：45°
5．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂 直，求k的值． 解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵ka＋b与a－3b垂直，∴(ka＋b)·(a－3b)＝0， 即(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0，解得k＝19.
平面向量数量积的坐标表示
VS
计算力的合成与分解
利用向量的坐标表示，可以将多个力进行 合成与分解，方便对物体进行受力分析。
在工程中的应用
描述物体的运动
在工程中，物体的运动可以看作是向量的 变化过程，通过引入向量的坐标表示，可 以更精确地描述物体的运动轨迹。
向量场的旋度和散度
• 旋度的性质：旋度具有方向性，其方向与向量场在该点的旋转方向一致；旋度的模长等于向量场在该点的 旋转强度。
• 散度的定义：散度是一个标量，表示向量场中某点处的发散程度。对于一个向量场$\mathbf{F} = (u, v, w)$，其在某点$(x, y, z)$处的散度为$
• abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}$。
坐标表示的意义
通过坐标系来表示向量的位置和方向，进而可以直观地理解数量积的几计算
通过坐标表示可以方便地计算向量的长度，即向量的模。
向量夹角的计算
通过坐标表示可以求出两个向量的夹角，进而可以计算出它们 的数量积。
向量投影的计算
通过坐标表示可以求出一个向量在另一个向量上的投影，进而 可以计算出它们的数量积。
曲线和曲面的切线方向
• 切线方向的确定：切线方向是指曲线或曲面上某一点处的最速上升方向或最速下降方向。在二维平面上， 曲线在某一点的切线方向是该点函数值变化最快的方向。
• 切线方向的计算：对于曲线$y = f(x)$，在某一点$(x_0, y_0)$处的切线方向向量为$(1, f'(x_0))$；对于曲面 $z = f(x,y)$，在某一点$(x_0, y_0, z_0)$处的切线方向向量为$(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0), 1)$。
平面向量的坐标表示,模,夹角
二、探究解疑
Office组件之word2007
1、平面向量数量积的坐标表示
问题1、如图，i 是x轴上的单位向量，j
是y轴上的单位向量，
i i 1 . j j 1 .
y A(x1,y1)
i j j i 0 .
B(x2,y2) a
bj
oi x
问题2
Office组件之word2007
AB AC 1313 0
是的判两断条B相线(2应段,3)
AB AC
∴ △ABC是直角三角形
或垂A(直直1,2的线) 是重否要 x 0方法之一
Office组件之word2007
uuuv
uuuv
uuuv
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2
Office组件之word2007
2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
一、复习引入
Office组件之word2007
1、数量积的定义：a b | a || b | cos
2、投影：| b | cos 叫做 b在 a方 向 上 的 投 影
B
r
b
r
Oθ
a
B1
A
| b | cos
2 2
=45o
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例3:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)+7=0
所以k= 1 3
3.数量积的性质
Office组件之word2007
平面向量数量积的坐标表示
求两向
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知向量a,b的夹角θ的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:①0°≤θ<90°⇔ a·b>0;②90°<θ≤180°⇔a·b<0.
3.解决投影向量问题的方法 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为 · =
. ,
.
平面向量数量积的坐标表示
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ( ✕ ) 2.| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( √ )
3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0;反之,若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ✕ )
.
其中的真命题为 ②③ .(填序号)
思路点拨 根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
解析 对于①,∵a=(1,2),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,2+λ). ∵a与a+λb的夹角为锐角,
∴
解得
∴λ的取值范围为
∪(0,+∞),故①错误.
对于②,∵a⊥c,∴2x-4=0,解得x=2.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的 思想方法.
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
数学-平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示高中数学 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．导语 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？一、平面向量数量积的坐标表示问题 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？提示 i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.知识梳理 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.例1 (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于( )A．10 B．－10C．3 D．－3答案 B解析 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于( )A．6 B．5 C．4 D．3答案 C解析 由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.反思感悟 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系(1)|a|2＝a·a.(2)(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2.(3)(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.跟踪训练1 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，＝2，AF → FD → 则·＝________.BE → CF → 答案 23解析 建立平面直角坐标系如图所示，则A (0,2)，E (2,1)，D (2,2)，B (0,0)，C (2,0)，因为＝2，所以F .AF → FD → (43，2)所以＝(2,1)，＝－(2,0)＝，BE → CF → (43，2)(－23，2)所以·＝(2,1)·BE → CF → (－23，2)＝2×＋1×2＝.(－23)23二、平面向量的模知识梳理 1．若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝.x 2＋y 22．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝.(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2例2 设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( )A. B.56C. D.1726答案 A解析 ∵a ∥b ，∴1×y －2×(－2)＝0，解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝.5反思感悟 求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量a 2x 2＋y 2运算的相互转化．跟踪训练2 已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝5，则|b |等于( )2A. B. C ．5 D ．25510答案 C解析 ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5，又|a ＋b |＝5，∴(a ＋b )2＝50，2即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.三、平面向量的夹角、垂直问题知识梳理 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.1．cos θ＝＝.a·b |a||b|x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 22．a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.注意点：(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆．(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角．例3 已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)因为a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝＝5，|b |＝＝，设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.42＋32(－1)2＋225a ·b |a ||b |2552525(2)因为a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝.529反思感悟 解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.a ·b |a ||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 2(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为a ·b|a ||b |180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.跟踪训练3 (1)已知向量a ＝(1，)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为，则实数m 等于( )3π6A ．2 B. C ．0 D ．－333答案 B解析 因为a ＝(1，)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝，a ·b ＝3＋m ，39＋m 23又a ，b 的夹角为，所以＝cos ，即＝，所以＋m ＝，解得m ＝.π6a ·b |a ||b |π63＋3m 29＋m 23239＋m 23(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m ，1)，∴a ＋b ＝(－1＋m，2＋1)＝(m －1,3)．又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0，即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.1．知识清单：(1)平面向量数量积的坐标表示．(2)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b为非零向量)．(3)cos θ＝(θ为非零向量a ，b 的夹角)．x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 2＋y 22．方法归纳：化归与转化．3．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错．1．若向量a ＝(x ，2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( )A ．3B ．－3 C. D ．－5353答案 A 解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.2．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( )A.B. 636565C.D.13513答案 A解析 |a |＝＝5，|b |＝＝13.32＋4252＋122a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝＝.635×1363653．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2C ．2D ．4答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝＝2.12＋n 24．已知点A (0,1)，B (1，－2)．向量＝(4，－1)，则·＝________，||＝________.AC → AB → AC → BC → 答案 7 13解析 ＝(1，－3)，AB → ∴·＝1×4＋(－3)×(－1)＝7，AB → AC → ＝－＝(4，－1)－(1，－3)＝(3,2)，BC → AC → AB → ∴||＝＝.BC → 32＋2213课时对点练1．(多选)设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝b 2B ．a ·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b答案 AD解析 |a |＝b 2＝2，故A 正确，B ，C 显然错误，a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b .故D 正确．2．已知向量a ＝(x ,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |等于( )A.B. 510C ．2D ．105答案 B解析 由题意可得a ·b ＝x ·1＋1×(－2)＝x －2＝0，解得x ＝2.再由a ＋b ＝(x ＋1，－1)＝(3，－1)，可得|a ＋b |＝.103．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案 A解析 由题设知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，所以·＝2×8＋(－4)AB → AC → BC → AB → AC → ×4＝0，即⊥.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．AB → AC → 4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. B ．2 C ．4 D ．1233答案 B解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝＝2.a 2＋4a ·b ＋4b 235．设点A (4,2)，B (a ，8)，C (2，a )，O 为坐标原点，若四边形OABC 是平行四边形，则向量与的夹角为( )OA → OC → A. B. C. D.π3π4π6π2答案 B解析 ∵四边形OABC 是平行四边形，∴＝，即(4－0,2－0)＝(a －2,8－a )，OA → CB → ∴a ＝6，∵＝(4,2)，＝(2,6)，OA → OC → 设向量与的夹角为θ，OA → OC → ∴cos θ＝＝＝，OA → ·OC → |OA → ||OC → |4×2＋2×642＋22×22＋6222又θ∈(0，π)，∴与的夹角为.OA → OC → π46．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝3，则b 等于( )5A ．(－3,6) B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)答案 A 解析 由题意，设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b |＝＝|λ|＝3，λ2＋(－2λ)255又λ<0，∴λ＝－3，故b ＝(－3,6)．7．已知a ＝(－1,1)，b ＝(1,2)，则a ·(a ＋2b )＝________.答案 4解析 ∵a ＋2b ＝(1,5)，∴a ·(a ＋2b )＝4.8．设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.答案 －1解析 由题意得m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1.9．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝3，且c ∥a ，求向量c 的坐标；2(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解 (1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝3，c ∥a 可得2Error!所以Error!或Error!故c ＝(－3,3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，2即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos θ＝＝，a ·b |a |·|b |22因为θ∈[0，π]，所以θ＝.π410．已知向量a ＝(1，)，b ＝(－2,0)．3(1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角；(2)当t ∈[－1,1]时，求|a －t b |的取值范围．解 (1)因为向量a ＝(1，)，b ＝(－2,0)，3所以a －b ＝(1，)－(－2,0)＝(3，)，33设a －b 与a 之间的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.(a －b )·a |a －b |·|a |64332因为θ∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为.π6(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝42＋3.易知当t ∈[－1,1]时，|a －t b |2∈[3,12]，(t ＋12)所以|a －t b |的取值范围是[，2 ]．3311．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案 B解析 由m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.12．(多选)在△ABC 中，＝(2,3)，＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值可能为AB → AC → ( )A ．－B.23113C. D.3±13223答案 ABC解析 ∵＝(2,3)，＝(1，k )，AB → AC → ∴＝－＝(－1，k －3)．BC → AC → AB → 若∠A ＝90°，则·＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－；AB → AC → 23若∠B ＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，AB → BC → ∴k ＝；113若∠C ＝90°，则·＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，AC → BC → ∴k ＝.3±132故所求k 的值为－或或.231133±13213．已知O 为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x 轴上有一点P 使得·有最小OA → OB → AP → BP → 值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)答案 C解析 设点P 的坐标为(x ，0)，则＝(x －2，－2)，AP → ＝(x －4，－1)．BP → ·＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)AP → BP → ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，所以当x ＝3时，·有最小值1.AP → BP → 此时点P 的坐标为(3,0)．14.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝2，点E 在边CD 上，且＝2，则·2DE → EC → AE → 的值是________．BE →答案 329解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝，BC ＝2，2∴A (0,0)，B (，0)，C (，2)，D (0,2)，22∵点E 在边CD 上，且＝2，DE → EC → ∴E .∴＝，＝，(223，2)AE → (223，2)BE → (－23，2)∴·＝－＋4＝.AE → BE → 4932915．已知A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定答案 A解析 因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >，π2即＞A ＞－B ＞0，π2π2又因为函数y ＝sin x 在上单调递增，(0，π2)所以sin A >sin ＝cos B ，(π2－B )所以p ·q ＝sin A －cos B >0，设p 与q 的夹角为θ，所以cos θ＝＞0，p ·q|p ||q |又因为p 与q 不共线，所以p 与q 的夹角是锐角．16．已知向量＝(6,1)，＝(x ，y )，＝(－2，－3)．AB → BC → CD → (1)若∥，求x 与y 之间的关系式；BC → DA → (2)在(1)的条件下，若⊥，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．AC → BD → 解 (1)∵＝＋＋＝(x ＋4，y －2)，AD → AB → BC → CD → ∴＝－＝(－x －4,2－y )．DA → AD → 又∥，且＝(x ，y )，BC → DA → BC → ∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.(2)＝＋＝(x ＋6，y ＋1)，AC → AB → BC → ＝＋＝(x －2，y －3)．BD → BC → CD → ∵⊥，∴·＝0，AC → BD → AC → BD → 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.由(1)知x ＋2y ＝0，与上式联立，化简得y 2－2y －3＝0，解得y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，此时＝(0,4)，＝(－8,0)；AC → BD → 当y ＝－1时，x ＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)；AC → BD → ∴S 四边形ABCD ＝||·||＝16.12AC → BD →。
平面向量数量积的坐标表示说课稿通用二篇
平面向量数量积的坐标表示说课稿通用二篇平面向量数量积的坐标表示说课稿 1一、教材分析1.本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的__。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
2学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。
因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。
我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
教学重点平面向量数量积的坐标表示及应用教学难点探究发现公式二、教学方法和__1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生__思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。
在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。
平面向量的数量积的坐标表示
证明： ∵(a＋b)· b
＝ a· b＋ b2 ＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42 ＝ 0， ∴ (a＋b)⊥b .
例3:已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），
求证Δ ABC是直角三角形
证明: ∵AB = （2 - 1，3 - 2）= （1，1） AC = （2 - 1，5 - 2）= （3，3）C ∴AB AC = 1╳（3 ）+ 1 ╳ 3 = 0 ∴AB⊥AC
B.a b
2
C.a平行b a b
2b
2
2 2 x2 y2 , 3a b x1 x2 y1 y2 , 4a b x1 x2 y1 y2 0
其中假命题序号是: ⑵
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是 （A） A．-1 B.0 C.1 D.2
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，
即两个向量的数量积等于它们对应坐标
的乘积之和； （2）要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.
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候有壹各水清陪着流泪就足够咯/月影怎么可能再跟着添乱？于是她只好狠下心来/强拉硬拽着竹墨出咯屋子/第1465章/饯行按照水清の吩咐/饯行宴紧锣密鼓地筹办起来/尽管只有短短の半天时间准备/食材、原料根本来别及采购/只 能全部都是就地取材/但是因为是为奴才出身の竹墨送行/是为自己人准备晚膳/大厨の心里/干得特别起劲儿/其它人晓得咯消息/别用月影督促/忙完自己手中の活计也全都积极主动地来厨房帮忙/所以天刚刚擦黑/满满壹桌の酒菜全都 准备齐全/虽然别是珍馐美味/可是众人吃到嘴里感觉却更是香甜可口/那是怡然居从别曾经历过の场面/
6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
平面向量数量积的坐标表示
求k的值.
答案：(1)b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
(2)( 2, 2 2)或( 2, 2 2) (3)k 5
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB，
BC AB，则点C的坐标为
C(3, 29) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.
5、两向量垂直、平行的坐标表示
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
a // b(b 0) a b x1 y2 x2 y1 0
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
例4:已知 a 1,2,b 3,2,当k取何值时,
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示， 即两个向量的数量积等于它们对应坐标 的乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时 这两个向量垂直
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
得 k
1 3
1). k a b 与 a 3b 垂直? 2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向
还是反向?
高中数学必修二 6 3 2 平面向量数量积的坐标表示(精练)(含答案)
6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精练）【题组一 数量积的坐标运算】1．（2021·深圳市龙岗区）已知向量()1,3a =-，()5,4b =-，则⋅=a b （ ） A ．15 B ．16C ．17D ．18【答案】C【解析】因为向量()1,3a =-，()5,4b =-，所以()()153417a b ⋅=-⨯-+⨯=，故选：C 2．（2020·广东高一期末）若(1,2),(2,3)=-=a b 则(2b)b a -⋅=（ ） A ．-5 B ．5C ．-6D ．6【答案】A【解析】因为(1,2),(2,3)=-=a b ，所以(2b)b a -⋅=(4,1)(2,3)42135-⋅=-⨯+⨯=-.故选：A.3．（2020·湖北高一期末）已知向量()4,5a =，()22,11a b -=-，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ）A ．1B ．2-C ．2D ．-1【答案】B【解析】由题意，()4,5a =，()22,11a b -=-，可得()26,6b -=-，则()3,3b =-，所以43353a b ⋅=⨯-⨯=-，()233b =+-=所以向量a 在向量b 方向上的投影为3232a b b⋅-==-.故选：B.4．（2020·湖北武汉市·高一期末）已知()1,2A -，()4,1B-，()3,2C ，则cos BAC ∠=（ ）A ．10-B ．10C ．2-D ．2【答案】D【解析】由已知得()3,1AB =，()2,4AC =，∴cos cos ,23AB AC BAC AB AC AB AC⋅∠====.故选：D. 5．（2020·安徽合肥市·高一期末）已知点()1,1A -，()1,2B ，()2,1C --，()3,4D ，则向量CD →在BA→方向上的投影是（ ） A．- B．2-C．D．2【答案】A【解析】由题可知，(1,1)A -，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，所以(2,1)BA →=--，(5,5)CD →=， 则向量CD →在BA →方向上的投影是||BA CD BA →→→⋅==-故选：A.6．（2020·四川内江市）已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，若//a b ，a c ⊥，则()b a c ⋅-=（ ） A ．14 B ．-14C ．10D ．6【答案】C【解析】向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，//a b ，可得142x ⨯=，解得2x =，(2,4)b =，a c ⊥，可得1220y ⨯+=，解得1y =-，(1,3)a c -=-，则()21210b a c -=-+=．故选：C ．7．（2020·山东聊城市·高一期末）向量(1,3)a =，(3,1)b =，则向量a b +与a b -的夹角为（ ） A ．12πB ．6πC ．3π D ．2π 【答案】D【解析】设θ为a b +与a b -的夹角，(1,3)a =，(3,1)b =，则1+31+a b +=（，，131a b -=（-，）||=6a b ++||6a b -=-又()()0cos 04a b a b a b a bθ+⋅-===+-，0,2πθπθ≤≤∴=. 故选：D .8．（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知向量(1,2)a =，(,4)a b m +=，若a b ⊥ ，则m =（ ） A ．3- B ．2-C ．2D ．3【答案】A【解析】()()(,4)1,2(1,2)b a b a m m =+-=-=-，因为a b ⊥，所以()112230a b m m ⋅=-⨯+⨯=+=，解得：3m =-，故选：A9．（2020·全国高一课时练习）设(3,4)a =，a b ⊥且b 在x 轴上的投影为2，则b =（ ） A ．8(2,)3B ．3(2,)2-C ．8(2,)3-D ．3(2,)2-【答案】B【解析】由题意，向量b 在x 轴上的投影为2，可设(2,)b y =， 因为a b ⊥，可得2340a b y ⋅=⨯+=，解得32y =-，所以3(2,)2b =-.故选：B. 10．（2021·江苏高一）已知平面向量(1,)a m =，()0,2b =，若(3)b a mb ⊥-，则实数m =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】因为(3)b a mb ⊥-，所以(3)0b a mb ⋅-=，即23a b mb ⋅=，又(1,)a m =，()0,2b =，故324m m ⨯=，解得0m =.故选：B.11．（2020·全国高一）已知向量()()126,,3,2e e λ==-，若12,e e 为钝角，则λ的范围是（ ） A ．(,9)-∞ B ．(9,)+∞C ．(,4)(4,9)-∞⋃D ．(,4)(4,9)-∞-⋃-【答案】D【解析】12,e e 为钝角，∴12·0e e <且12,e e 不共线，∴18201230λλ-+<⎧⎨+≠⎩，解得9λ<且4λ≠-， λ∴的范围是(-∞，4)(4-⋃-，9).故选：D.12．（多选）（2021·江苏高一）已知向量(),3a m =，()2,4b =-，若()a b a +⊥，则（ ） A ．1m =或3m =- B ．1m =-或3m = C ．2a b +=或10a b += D ．2a b +=或26a b +=【答案】AC【解析】因为向量(),3a m =，()2,4b =-，所以()2,1b m a +=+-，若()a b a +⊥，则()()2130m m +⨯+-⨯=，即2230m m +-=，解得1m =或3m =-， 故A 正确，B 错；当3m =-时，(b m a +=+=当1m =时，(a b m +=+=故C 正确，D 错.故选：AC.13．（多选）（2020·全国高一）设向量()2,0a =，()1,1b =，则（ ） A ．a b = B ．()//a b b - C ．()a b b -⊥ D ．a 与b 的夹角为π4【答案】CD【解析】因为()2,0a =，()1,1b =， 所以2,2a b ==，所以a b ≠，故A 错误； 因为()2,0a =，()1,1b =，所以()()=1,1a b --，又()1,1b =， 则1111⨯≠-⨯，所以()a b -与b 不平行，故B 错误； 又()110a b b -⋅=-=，故C 正确；又2cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅， 又a 与b 的夹角范围是[]0,π， 所以a 与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD.14．（2020·全国高一）已知向量()1,2a =-，()4,3b =，22c =.若a 与()b c -垂直，则向量a 与c 的夹角的余弦值是______.【答案】10-【解析】由已知14(2)32a b ⋅=⨯+-⨯=-，5a =，∵a 与()b c -垂直，∴()0a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅=，∴2a c a b ⋅=⋅=-，∴2cos 105a c a c a c⋅-<⋅>===-⨯．15．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学）已知向量()1,2a =，与向量(),1b x = （1）当x 为何值时，a b ⊥；（2）当3x =为何值时，求向量a 与向量b 的夹角； （3）求2b a -的最小值以及取得最小值时向量b 的坐标． 【答案】（1）2x =-；（2）4π；（3）最小值3，(2,1)=b ． 【解析】（1）20a b x ⋅=+=，2x =-，所以2x =-时，a b ⊥；（2）由题意(3,1)b =，3cos ,25a b a b a b⋅+<>===⨯,4a b π<>=；（3）由已知2(2,3)b a x -=--， 所以2(2)b a x -=-2x =时，2b a -取得最小值3，此时(2,1)=b ．【题组二 巧建坐标解数量积】1．（2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点P 为CD 的中点，点Q 在BC 上，且2BQ =．（1）求AP AQ ⋅；（2）若AC AP AQ λμ=+（λ，μ∈R ），求λμ的值.【答案】（1）14；（2）23λμ=. 【解析】如图，分别以边AB ，AD 所在的直线为x 轴，y 轴， 点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,3P ，()4,0B ，()4,3C ，()4,2Q .（1）∵()2,3AP =，()4,2AQ =，∴243214AP AQ ⋅=⨯+⨯=. （2）∵()4,3AC =，()2,3AP =，()4,2AQ =，由AC AP AQ λμ=+，得()()4,324,32λμλμ=++，∴244,323,λμλμ+=⎧⎨+=⎩解得1,23,4λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴23λμ=.2．（2020·江西高一期末）如图，在ABC 中，已知2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为线段BC 中点，E 为线段AD 中点.（1）求AD BC ⋅的值；（2）求EB ，EC 夹角的余弦值.【答案】（1）6；（2. 【解析】（1）依题意可知ABC为直角三角形，BC =则(0,0)B ，(0,2)A，C ， 因为D 为BC的中点，故D ，∴()3,2AD =-，()2BC =，∴36AD BC ⋅=⨯=.（2）由E 为线段AD 中点可知2E ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，∴12EB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，312EC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴cos ,||||EB ECEB EC EB EC ⋅<>=11-⨯+⨯==3．（2020·河北邢台市·高一期中）如图，扇形OAB的圆心角为90︒，2OA =，点M 为线段OA 的中点，点N 为弧AB 上任意一点.（1）若30BON ∠=︒，试用向量OA ，OB 表示向量ON ； （2）求MB ON ⋅的取值范围. 【答案】（1）1322ON OA OB =+；（2）[]2,4-. 【解析】（1）如图，以O 为坐标原点，建立直角坐标系xOy ， 则()0,0O ，()0,2A ，()2,0B ，)N，所以()0,2OA =，()2,0OB =，()3,1ON =.设ON xOA yOB=+，则212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1322ON OA OB =+. （2）设()0θ90BON θ∠=︒≤≤︒，则()2cos ,2sin N θθ，()0,1M ， 则()2,1MB =-，()2cos ,2sin ON θθ=， 所以()4cos 2sin MB ON θθθϕ⋅=-=+， 其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=（ϕ为锐角）. 因为090θ︒≤≤︒，所以90ϕθϕϕ≤+=+︒， 则()maxcos cos 5θϕϕ+==，()()mincos cos 90sin 5θϕϕϕ+=︒+=-=-，所以MBON ⋅的取值范围为[]2,4-.【题组三 数量积与三角函数综合运用】1．（2020·河南安阳市·林州一中高一月考）已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2sin cos αααα=-( ) A ．1 B ．1-C ．27-D ．12-【答案】A【解析】由2a b ⋅=-，得4sin 2(1cos )2αα--=-，整理得1tan 2α=-，所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112αααααα-===---，故选：A . 2．（2020·辽宁高一期末）已知向量()1,cos2a x =，(sin 2b x =，将函数()f x a b =⋅的图象沿x 轴向左平移ϕ()0ϕ>个单位后，得到的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．6πC ．512π D ．3π 【答案】D【解析】()sin 222sin 23f x a b x x x π=⋅⎛⎫==+⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位，得到()2sin 22sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 该函数的图象关于原点对称，∴该函数是奇函数，23k πϕπ∴+=，k Z ∈，62k ππϕ∴=-+，k Z ∈，又0ϕ>，min 3πϕ∴=.故选：D .3．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知α是锐角，3(,sin )2a α=，1(,2cos )3b α=-，且a b ⊥，则α为（ ） A ．15° B ．45°C ．75°D ．15°或75°【答案】D【解析】a b ⊥，3(,sin )2a α=，1(,2cos )3b α=-，112sin cos 0sin 222a b ααα∴⋅=-=⇒=，又()0,90α∈，则20,180α，230α∴=或150，解得α=15°或75°.故选：D4．（2020·辽宁大连市·）已知向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,cos b α=，若a b ⊥，则3cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13- B ．13C ．D 【答案】A【解析】若a b ⊥，则1tan cos 03a b αα⋅=+⋅=，即1sin 3α=-， 所以31cos sin 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭.故选：A 5．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知向量(sin 70,cos 70)a =，(cos80,sin 80)b =，则a b +的值为（ ）A ．1 BC ．2D ．4【答案】B 【解析】(sin 70,cos 70)a =，(cos80,sin 80)b =(sin 701a ∴==，(cos801b ==，1sin 70cos80cos70sin80sin1502a b ， ()22223a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=.故选：B.6．（2020·泰兴市第二高级中学高一期末）已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<. （1）求向量a b +与a b -所成的夹角； （2）若k a b +与a k b -的模相等，求2αβ-的值（k 为非零的常数）.【答案】（1）90；（2）4π-. 【解析】（1）由已知得：1a b ==，则：()()22·0a b a b a b +-=-=，因此：()()a b a b +⊥-，因此，向量a b +与a b -所成的夹角为90；（2）由(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，可得()cos cos ,sin sin k a b k k αβαβ+=++，()cos cos ,sin sin a k b k k αβαβ-=--，(cos ka b k +=，(cos a kb α-=∴=整理可得：()()222cos 112cos k k k k βαβα+-+=--+，即：()4cos 0k βα-=，0k ≠ ， ()cos 0βα∴-=，即()cos 0αβ-=，00αβππαβ<<<∴-<-<，因此：2παβ-=-，即：24αβπ-=-.7．（2020·株洲市南方中学高一期末）已知向量()2sin ,1a α=，()1,cos b α=. （1）若角α的终边过点()3,4，求a b ⋅的值； （2）//a b ，且角α为锐角，求角α的大小； 【答案】（1）115；（2）4π．【解析】（1）角α的终边过点()3,4，点(3,4)到原点距离为5r ==，∴4sin 5α，3cos 5α=， ∴43112sin cos 2555a b αα⋅=+=⨯+=； （2）∵//a b ，∴2sin cos 10αα-=，sin21α=，又α为锐角，∴22πα=，∴4πα=．8．（2020·林芝市第二高级中学高一期末）在平面直角坐标系xoy中，已知向量2(,22m =-，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．（1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 【答案】（1）tan 1x =（2）512π． 【解析】（1）∵m n ⊥，∴0mn ⋅=0x x -=，∴tan 1x =． （2）∵m 与n 的夹角为3π，∴2cos 122cos ,112x x m n m n m n -⋅<>===⨯||||，故1sin()42x π-=， 又(0,)2x π∈，∴(,)444πππ-∈-x ，46x ππ∴-=，即512x π=．故x 的值为512π． 9．（2020·广西桂林市·高一期末）已知向量(sin ,1)m x =-，向量13cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅.（1）求()f x 的最小正周期T 及其图象的对称轴的方程； （2）若方程()0f x t -=在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）π，23k x ππ=+，k z ∈；（2）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）∵(sin ,1)m x =-，13cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎭，∴1sin ,2m n x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，可得1()()sin (sin )2f x m n m x x x =+⋅=+21sin cos 2x x x =+∵21sin (1cos 2)2x x =-，1sin cos sin 22x x x =∴11()(1cos 2)2sin 212226f x x x x π⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭ 因此，()f x 的最小正周期22T ππ==. ∵262x k πππ-=+，k z ∈，∴对称轴方程为23k x ππ=+，k z ∈. （2）∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ∵方程()0f x t -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， ∴()f x t =在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，即得实数t 的取值范围为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 10．（2020·甘肃白银市·高一期末）设向量()3cos ,2sin a θθ=-． （1）当43θπ=时，求a 的值： （2）若()3,1b =-，且//a b，求22cos 124θπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1；（2）23．【解析】（1）43θπ=，所以4433cos ,2sin ,332a ππ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎝⎭⎝，所以2322a ⎛⎫==⎪； （2）//a b ，则3cos 32sin 0θθ-+⨯=，所以1tan 2θ=，故22cos 1cos 122sin cos tan 134θθπθθθθ-===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭．11．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）已知向量()2sin ,cos a m x x =，()sin cos ,4sin b x x m x =+-，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（1）若//a b ，tan 2x =-，求实数m 的值；（2）记()f x a b =⋅，若()1f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）±（2）(,1]-∞. 【解析】（1）∵//a b ，∴ 228sin cos (sin cos )m x x x x -=+，整理得：228tan tan 1m x x =-- ∵tan 2x =-，2321m =，解得：m = （2）∵()f x a b =⋅，()2sin ,cos a m x x =，()sin cos ,4sin b x x m x =+-， ∴()2sin (sin cos )4sin cos f x m x x x x x =+-22sin 2sin cos m x m x x =- (1cos 2)sin 2m x m x =-- (sin 2cos2)m m x x =-+sin(2)4m x π=+∵(,0)2x π∈-，∴32444x πππ-<+<，∴1sin(2)42x π-≤+<，∴01)14x π<+≤若()sin(2)14f x m x π=+≤恒成立，则11)4m x π≤+恒成立，又∵111)4x π≥=+，∴1m ≤，故实数m的取值范围为(,1]-∞.12．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（理））已知()sin ,cos a x x ωω=，()sin ,2sin cos b x x x ωωω=-，()0,4ω∈，若()2f x a b =⋅其图像关于点,08M π⎛⎫⎪⎝⎭对称（1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间； （3）当a b ⊥时，求x 的值. 【答案】（1）()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）28k x ππ=+，k Z ∈. 【解析】（1）()sin ,cos a x x ωω=，()sin ,2sin cos b x x x ωωω=- ∴()2222sin4sin cos 2cos f x a b x x x x ωωωω=⋅=+-2sin22cos2x x ωω=-24x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 的图象关于点,08M π⎛⎫⎪⎝⎭对称 ∴284k ππωπ⋅-=，k Z ∈即41k ω=+，k Z ∈∵()0,4ω∈ ∴1ω=∴()24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）()24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为： ()()322224288k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈； 单调递减区间为：()()33722224288k x k k Z k x k k Z πππππππππ+≤-≤+∈⇒+≤≤+∈； 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）∵a b ⊥∴()222sin 204f x a b x π⎛⎫=⋅=-= ⎪⎝⎭即24x k ππ-=，k Z ∈ 解得28k x ππ=+，k Z ∈13．（2020·广东高一期末）已知向量(1,2cos ),3sin ,0,23π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭a x b x x . （1）若//a b ，求tan2x 的值；（2）若f （x ）＝a •b ，则函数f （x ）的值域．【答案】（1（2）【解析】（1）因为//a b ，所以cos 0x x -=，所以1sin 22x =，因为03x π<<，所以2023x π<<，所以26x π=，所以tan 2tan63x π==.（2）()f x a b =⋅=2cos 2x x x x+⨯=+)4x π=+， 因为03x π<<，所以74412x πππ<+<，所以sin(),1]42x π+∈，所以()f x ∈.14．（2021·广东湛江）已知向量33cossin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos sin()22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，且0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（1）求a b 及a b +的值；（2）若()·2f x a b a b λ=-+的最小值是32-，求实数λ的值． 【答案】（1）·cos 2a b x =，2cos a b x +=，（2）12λ= 【解析】（1）因为向量33cossin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos sin()22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，所以33·cos cos sin sin cos 22222x x x xa b x =-=， 33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，所以(cosa b +===因为02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以cos 0x >， 所以2cos a b x +=，（2）由（1）可得()2·2cos 24cos 2cos 4cos 1f x a b a b x x x x λλλ=-+=-=--， 令cos t x =，则[0,1]t ∈，令2()241g t t t λ=--，其图像的对称轴为直线44t λλ-=-=， 则问题转化为当λ为何值时，函数2()241g t t t λ=--在[0,1]t ∈上有最小值32-， ①当0λ≤时，则函数()g t 在[0,1]上递增，最小值为3(0)12g =-≠-，不合题意，舍去， ②01λ<<时，则函数()g t 在[0,]λ上递减，在[,1]λ上递增，则最小值为23()212g λλ=--=-，解得12λ=或12λ=-（舍去）， ③当1λ≥时，则函数()g t 在[0,1]上递减，最小值为3(1)142g λ=-=-，解得58λ=，不合题意，舍去，综上，12λ=【题组四 数量积与几何综合运用】1．（2020·全国高一课时练习）一个平行四边形的三个顶点坐标分别是()5,7、()3,5-、()3,4，则第四个顶点的坐标不可能是（ ） A ．()1,8- B ．()5,2-C ．()11,6D ．()5,2【答案】D【解析】设点()5,7A 、()3,5B -、()3,4C ，设第四个顶点为(),D x y ，分以下三种情况讨论： ①若四边形ABDC 为平行四边形，则AC BD =，即()()2,33,5x y --=+-，即3253x y +=-⎧⎨-=-⎩，解得52x y =-⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()5,2-；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AD BC =，则()()5,76,1x y --=-， 即5671x y -=⎧⎨-=-⎩，解得116x y =⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()11,6；③若四边形ACBD 为平行四边形，则AD CB =，即()()5,76,1x y --=-，即5671x y -=-⎧⎨-=⎩，解得18x y =-⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()1,8-.综上所述，第四个顶点的坐标为()11,6或()5,2-或()1,8-，所以不可能是()5,2，故选：D. 2．（2020·辽宁）已知向量．（1）若ΔABC 为直角三角形，且∠B 为直角，求实数λ的值． （2）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数λ应满足的条件 ． 【答案】（1）λ=2；（2）λ≠−2． 【解析】∵即：−7(6−λ)+7(3λ−2)=0,∴λ=2（2）∵若点A 、B 、C 能构成三角形，则A 、B 、C 不共线 ∴−7(3λ−2)≠7(6−λ) ∴实数λ应满足的条件 是λ≠−23．（2021·重庆市）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---,(4,1)OD =． （1）若四边形ABCD 是平行四边形，求,x y 的值；（2）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值． 【答案】（1）2,5x y =-=-；（2）0{3x y ==-或2{3x y =-=．【解析】（1）(1,5)AD =，(1,)BC x y =---，由AD BC =得x=-2,y=-5． （2）(3,1),AB =(1,)BC x y =---，若B ∠为直角，则AB BC ⊥， ∴3(1)0x y ---=，又AB BC =，∴22(1)10x y ++=，再由3(1)y x =--，解得0{3x y ==-或2{3x y =-=．4．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面上三点,,A B C ，()2,3BC k =-，()2,4AC =. （1）若BC AC =，求实数k 的值.（2）若ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，求实数k 的值.【答案】（1）2k =（2）2k =-【解析】（1）由于BC AC =，则=解得2k =.（2）(),1AB AC BC k =-= 由题意得A 为直角，则•0AB AC =. 即240k +=，故2k =-.5．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（文））已知向量OA =()3,4-,OB =()6,3-,OC =()5,3m m ---,O 为坐标原点.（1）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值； （2）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件. 【答案】（1）74m =；（2）12m ≠ 【解析】（1）因为OA =()3,4-，OB =()6,3-，OC =()5,3m m ---， 所以(3,1)AB OB OA =-=，(2,1)AC OC OA m m =-=--， 若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB AC ⊥， ∴3（2﹣m ）+（1﹣m ）＝0，解得74m =． （2）若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线， 得3（1﹣m ）≠2﹣m ，∴实数12m ≠时，满足条件． 6．（2020·广东云浮市·高一期末）（1）已知向量a ，b 满足5a =，()1,2b =，且//a b ，求a 的坐标． （2）已知()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，判断并证明以A ，B ，C 为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．【答案】（1）()1,2a =或()1,2a =--；（2）ABC 为直角三角形，B 为直角，证明见解析. 【解析】（1）设(),a x y =，则225x y +=，又//a b ，所以20x y -=，联立2252x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩． 于是()1,2a =或()1,2a =--．（2）ABC 是直角三角形，B 为直角．证明如下：∵()()()1,45,26,6BA =---=--，()()()3,45,22,2BC =-=-，∴()()62620BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=，∴BA BC ⊥，即ABC 为直角三角形，B 为直角．7．（2020·湖北襄阳市·襄阳五中高一月考）已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x y =-+，(4,1)OD =--．（Ⅰ）若四边形ABCD 是平行四边形，求x ，y 的值；（Ⅱ）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B 为直角，求x ，y 的值．【答案】（Ⅰ）2,5--；（Ⅱ）03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩． 【解析】（Ⅰ）(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x y =-+，∴(1,5)AD =--，(1,)BC x y =+，由AD BC =，2x =-，5y =-； （Ⅱ）(3,1)AB =--，(1,)BC x y =+，B ∠为直角，则AB BC ⊥，3(1)0x y ∴-+-=，又||||AB BC =，22(1)10x y ∴++=，再由3(1)y x =-+，解得：03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．。
向量数量积的坐标表示、模、夹角
其中，A·B表示向量A和B 的数量积，||A||和||B||分别 表示向量A和B的模长。
ABCD
cosθ = (A·B) / (||A|| ||B||)
通过计算cosθ的值，可 以进一步求得θ的值。
向量夹角的性质
01
向量夹角具有对称性，即向量 A与向量B的夹角等于向量B与 向量A的夹角。
02
当两个向量的夹角为0或π时， 它们共线；当夹角为π/2时，它 们垂直。
03
向量夹角的余弦值与两个向量 的数量积和它们的模长之积的 比值相等。
05 向量数量积的坐标表示
数量积的定义与性质
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
定义
两个向量$vec{a}$和 $vec{b}$的数量积（也 称为点积）定义为 $vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$，其 中$theta$是$vec{a}$ 和$vec{b}$之间的夹角。
向量的运算
向量的数乘
设向量a=(x,y)，实 数λ，则数λ与向量a 的积为λa=(λx,λy)。
向量的模
设向量a=(x,y)，则 向量a的模为 |a|=√(x²+y²)。
向量的加法
设向量a=(x1,y1)， b=(x2,y2)，则向量 a与b的和为 a+b=(x1+x2,y1+y 2)。
向量的数量积
向量模的性质
非负性
向量的模总是非负的，即 |a| ≥ 0。
零向量的模为零
如果向量 a 是零向量，则 |a| = 0。
向量模的乘法性质
对于任意实数 k 和向量 a，有 |ka| = |k| × |a|。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
探究点二
平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式
问题 1 若 a＝(x，y)，试用 x，y 表示|a|.
|a|＝ x ＋y .
2
2
问题 2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面内任意两 点，试推导平面内两点间的距离公式．
答 → ∵AB＝ (x2，y2)－(x1，y1)
＝(x2－x1，y2－y1)， → ∴|AB|＝ x2－x12＋y2－y12.
；
3 π 4 例如，(1)若 a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则 a 与 b 的夹角为_____．
直角 (2)已知 A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC 的形状是_____
三角形．
【典型例题】 例1 已知 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a· b＝10. (1)求 a 的坐标；(2)若 c＝(2，－1)，求 a· (b· c)及(a· b) · c.
3．平面向量的模
2 2 x ＋ y 1 1 . (1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝__________
(2)两点间距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， → x2－x12＋y2－y12 则|AB|＝_________________________. 4．向量的夹角公式 设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ，
探究点三
平面向量夹角的坐标表示
设 a，b 都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与
x1x2＋y1y2 a· b 2 2 2 2 x ＋ y · x ＋ y cos θ＝ ＝ 1 1 2 2. |a||b|
b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：
平面向量数量积的坐标表示、模和夹角
目标要求1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.热点提示向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题．本节单独命题时，一般以选择、填空题的形式出现，属容易题；本节还可以与平面几何、解析几何、三角等内容交叉出现，一般以解答题形式出现，综合性较强，难度也较大，学习本节时应熟练掌握运算律，记准公式.1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.知识要点3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.重要公式观察思考若向量a＝(x，y)，你可知与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标吗？设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝±(x |a |，y |a |)＝±(x x 2＋y 2，y x 2＋y 2)，其中正号，负号分别表示与a 同向和反向， 易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直， ∴与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±(－y x 2＋y 2，x x 2＋y 2)，其中正，负号表示不同的方向．温馨提示自我测评1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，则a与b垂直，选A.答案：A2．设向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b和a垂直，那么λ＝()A．2 B．1 C．－2 D．－1答案：D3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()A.13B.135 C.655 D.65答案：C4．已知向量a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，设向量a 与b 的夹角为θ，且，则cos θ＝________.分析：设向量b ＝(x ，y )，则有2b －a ＝(2x,2y )－(3,3)解得x ＝1，y ＝2，∴b ＝(1,2)，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝(3，3)·(1，2)32×5＝31010.所求为 答案：310105．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．解：a·b＝1×2＋3×5＝17.∵3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，∴3a－b＝(1,4)，∴|3a－b|＝12＋42＝17.∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.温馨提示过标实现问题数应与(1)通向量的坐表示向量代化，注意方程、函等知的系数识联.(2)向量的理有思路：一是向量式，另一问题处两种种纯种标两补.是坐式，者互相充总结规律我们在进行向量的数量积运算时，要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再由已知计算．三是如果涉及图形的数量积运算，只需把握图形特点，求出相关点的坐标，利用向量的三角形减法由终点坐标与起点坐标的差得到向量的坐标即可．1若向量a＝(2，－1)，向量b＝(3，－2)，求向量(3a －b)·(a－2b)．=？解：由已知得a·b＝＝8，a2＝＝5，b2＝＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝-15.所求为b a b a b a a b ⋅=⋅==求求：已知例,43)2(;,//)1(1,21πθ，分两种情况：）由解：（b a //1;2,=⋅b a b a 同向，当。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(新2019)
向量数量积的坐标表示
05
向量数量积的扩展
向量点乘的坐标表示
总结词
向量点乘的坐标表示是两个向量的对应坐标相乘，然后求和。
详细描述
向量点乘的坐标表示是两个向量的对应坐标相乘，然后求和。设向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, a_3)$，向量$mathbf{B} = (b_1, b_2, b_3)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$。
在工程中的应用
机械系统分析
向量数量积可以用于分析机械系 统的运动状态，例如分析机器人 的关节运动、车辆的行驶轨迹等。
控制系统分析
向量数量积可以用于控制系统的 分析和设计，例如分析系统的稳 定性、设计控制算法等。
信号处理
在信号处理中，向量数量积可以 用于分析信号的频率和相位，例 如进行频谱分析和滤波器设计等。
$mathbf{C} = (c_1, c_2, c_3)$，则$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = (a_1(b_2c_3 - b_3c_2), a_2(b_3c_1 - b_1c_3), a_3(b_1c_2 - b_2c_1))$。
感谢观看
mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
数量积满足分配律，即$(mathbf{A}
+
mathbf{பைடு நூலகம்}) cdot mathbf{C} = mathbf{A}
cdot mathbf{C} + mathbf{B} cdot
mathbf{C}$。
数量积为0当且仅当两个向量垂直，即 $mathbf{A} cdot mathbf{B} = 0$当且仅当 $mathbf{A} perp mathbf{B}$。
平面向量数量积的坐标
平面向量数量积的坐标平面向量数量积是向量的一种重要运算，通常用来计算向量之间的夹角和长度。
在坐标系中，向量可以表示成有序数对 (x, y)，因此向量的数量积也可以用坐标表示出来。
以下是平面向量数量积的坐标公式：设有向量 A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则向量 A 和向量 B 的数量积为：A·B = x1x2 + y1y2这里“·”表示数量积运算，即点乘。
为了更好地理解平面向量的数量积，我们可以通过几何直观来解释。
几何意义：向量的数量积可以理解为向量 A 在向量 B 上的投影乘以向量 B 的长度，也可以理解为向量 B 在向量 A 上的投影乘以向量 A 的长度。
如果两个向量的数量积为0，则它们垂直。
如果两个向量的数量积为正，则它们之间的夹角为锐角；如果两个向量的数量积为负，则它们之间的夹角为钝角。
数学性质：向量的数量积具有以下基本性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)3. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C4. 平行四边形法则：(A+B)·(C+D) = A·C + A·D + B·C + B·D应用：通过向量的数量积，可以计算两个向量之间的夹角和长度。
夹角的计算公式为：cosθ = (A·B) / (|A||B|)其中，θ表示向量 A 和向量 B 之间的夹角，|A|和|B|表示向量 A 和向量B 的长度。
如果知道两个向量的长度和它们之间的夹角，也可以用数量积来求出向量的坐标。
综上所述，平面向量的数量积是向量的一项基本运算，可以帮助我们计算向量之间的夹角和长度，进而解决各种几何问题。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件
[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中，O
是原点(如图)．已知点 A(16,12)、B(－5,15)．
(1)求| OA|，| AB|；
(2[[[[自)自 自 自求主主 主 主∠解O解 解 解A答答 答 答B.]]]] ((((1111))))由由 由 由OOOOAAAA＝＝ ＝ ＝((((11116666,,,,11112222))))，， ， ， AAAABBBB＝＝ ＝ ＝((((－－ － －5555－－ － －11116666,,,,11115555－－ － －11112222))))＝＝ ＝ ＝((((－－ － －22221111,,,,3333))))，， ， ，得得 得 得 ||||OOOOAAAA||||＝＝ ＝ ＝ 111166662222＋＋ ＋ ＋111122222222＝＝ ＝ ＝22220000，， ， ， ||||AAAABBBB||||＝＝ ＝ ＝ －－ － －222211112222＋＋ ＋ ＋33332222＝＝ ＝ ＝11115555 2222....
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
b 设两个非零向量 a =(x1,y1), =(x2,y2),则
aaaaaaaa==bb==bb====xx======xx11==xxxx11iixx((xx11i11i(x(x++11xxxx11x+x+xx1xx12222yy11ii2222yyiiii++11++ii22++11++j2j2++yy,,jjyy+y+,y,yy1111xx1yy111xjjxyy11j))j221yy1))22yybb22((bb2(2x(xii==xxii22==22jjiixxjjii++xx++22++++22iixxyyiixxy++y2222++2y2y22jjyyyyj))11jyy)212)1ii22iijj,,jjjj,,jj++++yyyy111yy1yy2222jjjj2222
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