2018届浙江省基于高考试题的复习资料 ——古典概型
浙江专版2018届高考数学专题3概率及期望与方差专题限时集训6古典概型
专题限时集训(六) 古典概型(对应学生用书第125页) [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A.815 B.18 C.115D.130C [∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种． ∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.]2．(2017·浙江五校联考)在某次全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )【导学号：68334082】A.310 B.58 C.710D.25D [由题意得从5人中选出2人，有10种不同的选法，其中满足2人编号相连的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种不同的选法，所以所求概率为410＝25，故选D.]3．在一次旅行途中，组织者要开展一个游戏节目，需要从5对夫妇中选出4位表演节目，请问选出的4位中不含有夫妇的概率为( ) A.521B.27C.13D.821D [从5对夫妇即10个人中选4个人，共有C 410种情况，其中选出的4个人中不含有夫妇的情况有C 45×24种，因此所求概率为C 45×24C 410＝821.]4．某中学有3个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中一个社团，则这两位同学参加不同社团的概率为( )A.13B.12C.23D.34C [甲、乙两位同学参加3个社团，共有9种不同的情况，其中两人参加相同的社团的情况有3种，所以两人参加不同的社团的概率为1－39＝23，故选C.]5．现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为( ) A.16B.56C.1027D.1727B [依题意得，甲、乙、丙、丁到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分一名义工的方法数是C 24·A 33，其中甲、乙两人被分到同一社区的方法数是C 22·A 33，因此甲、乙两人被分到不同社区的概率等于1－C 22·A 33C 24·A 33＝56.]二、填空题6．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝__________.23[将事件A ＋B 分为：事件C “朝上一面的数为1,2”与事件D “朝上一面的数为3,5”，则C ，D 互斥，且P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ＋B )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝23.]7．(2016·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{}4，6，8，b ∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为__________. 【导学号：68334083】23[要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0要有两个实根，则Δ＝4a 2－4b 2>0.又a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，即a >b ，而a ，b 的取法共有3×3＝9种，其中满足a >b 的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为69＝23.]8．在一个袋子中装有标注数字1,2,3,4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出一个小球，记下数字后放回袋中，这样连续进行3次，则以记下的三个数字为边，不能组成三角形的概率为________．1532[连续取3次，共有4×4×4＝64种不同结果，其中不能组成三角形的数字组合有(1,1,2)，(1,1,3)，(1,1,4)，(2,2,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，有4C 23＋3A 33＝30种，故所求概率为3064＝1532.]三、解答题9．袋子里放有编了号的6个小球，其中红球3个，白球2个，黄球1个，并且这些球除颜色和编号外完全相同．(1)现从袋子里任意摸出3球，求其中恰有2球同色的概率；(2)若在袋子里任意摸球，取后放回，每次只摸出一球，共摸3次，求摸出的3球中至少有2球同色的概率．[解] (1)从袋子里任意摸出3个球有C 36＝20种方法， 3分 从袋子里任意摸出3球恰有2球同色有C 23C 13＋C 22C 14＝13种方法. 5分 所以概率为P ＝C 23C 13＋C 22C 14C 36＝1320.6分(2)从袋子中有放回地任意摸球3次，有C 16C 16C 16A 33种方法，摸出的3球都不同色，有C 13C 12C 11种方法.11分 所以概率为P ＝1－C 13C 12C 11C 16C 16C 16·A 33＝56.15分10．(2017·温州质量检测)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7则中一等奖，等于6或5则中二等奖，等于4则中三等奖，其余结果为不中奖． (1)求中二等奖的概率； (2)求不中奖的概率.【导学号：68334084】[解] (1)记“中二等奖”为事件A .从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10个基本事件．记两个小球的编号之和为X ，由题意可知，事件A 包括两个互斥事件：X ＝5，X ＝6.3分事件X ＝5的取法有2种，即{1,4}，{2,3}，故P (X ＝5)＝210＝15；事件X ＝6的取法有1种，即{2,4}， 故P (X ＝6)＝110.5分 所以P (A )＝P (X ＝5)＋P (X ＝6)＝15＋110＝310.7分 (2)记“不中奖”为事件B ，则“中奖”为事件B －，由题意可知，事件B －包括三个互斥事件：中一等奖(X ＝7)，中二等奖(事件A )，中三等奖(X ＝4)．事件X ＝7的取法有1种，即{3,4}，故P (X ＝7)＝110；9分事件X ＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2种， 故P (X ＝4)＝210＝15.由(1)可知，P (A )＝310.11分 所以P (B －)＝P (X ＝7)＋P (X ＝4)＋P (A )＝110＋15＋310＝35.13分 所以不中奖的概率为P (B )＝1－P (B －)＝1－35＝25.15分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( ) A.310B.15C.12D.35A [基本事件的总数为10，其中能构成三角形三边长的数组为(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故其概率为310.]2．下列试验中，是古典概型的个数为( )①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD 内，任意抛掷一点P ，点P 恰与点C 重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之和是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率. 【导学号：68334085】 A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型．②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型．③符合古典概型的特点，是古典概型问题．] 3．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B －发生的概率为( ) A.13B.12C.23D.56C [掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B －)＝1－P (B )＝1－23＝13.∵B －表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B －互斥，从而P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝13＋13＝23.] 4．已知函数f (x )＝13ax 3－12bx 2＋x ，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数f ′(x )在x ＝1处取得最值的概率是( ) A.136 B.118C.112D.16C [由题意得f ′(x )＝ax 2－bx ＋1，因为f ′(x )在x ＝1处取得最值，所以b2a ＝1，符合的点数(a ，b )有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a ，b )共有36种情况，所以所求概率为336＝112，故选C.]二、填空题5．曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A 为“方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝__________.512[试验中所含基本事件个数为36.若表示焦点在x 轴上的椭圆，则m >n ，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P (A )＝1536＝512.]6．(2017·绍兴调研)电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字构成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为________. 【导学号：68334086】1360[因为时钟一分钟显示一次，故总的显示方法数为24×60＝1 440(种)，四个数字之和为23的有09：59,18：59,19：49,19：58四种情况，故所求概率为41 440＝1360.]三、解答题7．现有8名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3数学成绩优秀，B 1，B 2，B 3物理成绩优秀，C 1，C 2化学成绩优秀，从中选出数学、物量、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛． (1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率．[解] (1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(A 1，B 1，C 1}，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}，共18个基本事件组成.4分由于每一个基本事件被抽取的机会均等．因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“C 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)}. 6分 事件M 由9个基本事件组成，因而P (M )＝918＝12.8分(2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件， 则其对立事件N 表示“A 1，B 1全被选中”这一事件．由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，事件N 由2个基本事件组成，所以P (N )＝218＝19.13分 由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－19＝89.15分8．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)若直线l ：x ＋y －5＝0，求点P (b ，c )恰好在直线l 上的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．[解] (1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，4分 当b ＋c ＝5时，(b ，c )的所有取值为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，5分所以所求概率为P 1＝416＝14.6分 (2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立. 7分②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2. 8分③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3. 9分④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0， 即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4. 11分 由①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)， 14分 所以方程为“漂亮方程”的概率为P 2＝316.15分。
2018高考数学文科一轮复习讲义 7.2 第二节 古典概型
第二节 古典概型【考点点知】知己知彼，百战不殆古典概型是新课标概率知识中最重要的内容，高考对这一部分的考查，主要是利用古典概型的概率公式解决一些古典概型的应用题，是考查的重点．复习时，应先加强对基本事件的定义及古典概型定义的理解，从而更好地利用古典概型的概率公式求解古典概型问题． 考点一: 基本事件1.在试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来表示，这样的事件称为基本事件. 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间.2.古典概型，都具有两个特征：（1）试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；（2）每一个试验结果出现的可能性相同.我们把具有这两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型（古典的概率模型），试验的每一个可能结果称为基本事件.考点二: 有放回抽样与无放回抽样1.在随机试验中有两种重要的概率模型,即有放回抽样与无放回抽样.（1）有放回的抽样：每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样.显然，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去.（2）无放回的抽样：每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称为无放回的抽样. 显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次.2.由此可见有放回的抽样不是古典概型，无放回的抽样是古典概型.考点三: 古典概型的概率公式对于古典概型，通常试验中的某一事件A 是由几个基本事件组成，如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率规定为P （A ）=nm .由此规定可知，在古典概型中，计算事件A 的概率，关键是计算试验的所有可能结果（基本事件）数n 和事件A 包含的可能结果（基本事件）数m .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007江西文,6)一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ） Ａ．132 Ｂ．164 Ｃ．332 Ｄ．364思路透析:两个球的编号和不小于．．．15, 则两球号码可以为7,8; 8,7; 8,8三种可能, 其概率为338864P ==⨯, 故应选D. 点评:应用枚举法列出基本事件的个数,再利用公式求概率,求解中有不少考生遗漏了8,8这一可能性.例2.(基础·2007上海春季)在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有 人．思路透析:设男教师有x 人,则女教师有12x +人,则随机挑选一人是男教师的概率1112912220xx x C x C x ++==+,解之得54x =, ∴参加联欢会的教师共有122120x +=人.点评:本题考查了随机事件的概率事件的分析与实际应用, 概率与方程思想相交汇的综合考查. 不可能事件和必然事件虽然是两类不同的事件，但它们可以看作是随机事件的两个极端情况，用这种既对立又统一的观点去看待它们，有利于认识它们的内在联系.例3.(综合·2007山东卷文科12)设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4思路透析:当2x =时, 211()236P C ==⨯; 当3x =时, 321()233P C ==⨯; 当4x =时, 421()233P C ==⨯; 当5x =时, 511()236P C ==⨯, 综上可得事件n C 的概率最大时, n 的所有可能值为3或4,故应选D.点评:考生在求解不同的赋值情况下的概率时,对于点在直线上的点坐标的对号选择有部分错误,导致结论出解中出现错误,也有部分考生对于得到的两个值持怀疑态度,进行二次概率求解,试图比较其两者的大小而出现延时现象.高考概率试题的求解,对概率事件的分析过程一要细心,二要清楚的理解该事件所有可能发生的情况,作出正确的判断后再进行求解.例 4.(综合·2007山东临沂期中,17)已知△ABC ，向量ABC k AB AC k BC ∆∈≤=-=求且,,4||),4,2(),3,2(Z 为直角三角形的概率.思路透析:).1,(),3,2()3,2(k CB AC AB k CB k BC =+=∴--=∴-=又.1515,15,161,4||22≤≤-∴≤≤+∴≤k k k又.3,2,1,0,±±±=∴∈k k Z若△ABC 为直角三角形，则（i ）2,042,0-=∴=+∴=⋅k k ；（ii ）13,32,02-=∴--∴=⋅或k k k ；（iii ）8,012)2(2,0=∴=+-∴=⋅k k （舍去）.∴△ABC 为直角三角形的k 的值为－1，－2，3，而基本事件总数为7.由古典概型知，.73=P 即△ABC 为直角三角形的概率为.73点评:本题以平面向量的坐标运算与点坐标间的相互联性定义进行命题,通过直角三角形的个数作为事件,考查了古典概型及其概率计算公式,属于一道综合题,考查了考生对复杂的概率事件的分析与推理论证的能力.例 5.(创新探究·2008如东、启东期中,18)已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，且,b c Z ∈，记函数)(x f 满足条件：⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 的事件为A ，求事件A 发生的概率．思路透析:由 ⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 得:282b c b c +≤⎧⎨-+≤⎩ 且 04,04b c ≤≤≤≤,b c Z ∈ . 当b=0时c=0,1,2 ; 当b=1时c=0,1,2,3 ; 当b=2时c=0,1,2,3,4 ;当b=3时c=0,1,2 ; 当b=4时c=0以上共16种情形 .故事件A 发生的概率为16()25P A = . 点评:古典概型是近几年高考考查的热点内容.在计算其基本事件的个数以及事件A 所包含的基本事件的个数时，既可以直接列举，也可借用平面直角坐标系、有序实数对（有序实数组或有序元素等）、树枝状图等方法来列举. 本例中是通过有序实数对来计数的.例6.(创新探究·2007湖北八校联考)箱中装有15张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到15中的一个号码，正面号码为n 的卡片反面标的数字是21240n n -+．（卡片正反面用颜色区分）（1）如果任意取出一张卡片，试求正面数字大于反面数字的概率；（2）如果同时取出两张卡片，试求他们反面数字相同的概率．思路透析:（1）由不等式21240n n n >-+，得58n <<.由题意知6,7n =，即共有2张卡片正面数字大于反面数字，故所求的概率为215． 答：所求的概率为215. （2）设取出的是第m 号卡片和n 号卡片（m n ≠）， 则有2212401240m m n n -+=-+.即2212()n m n m -=-，由m n ≠得12m n +=.故符合条件的取法为1，11；2，10；3，9；4，8；5，7． 故所求的概率为2155121C =． 答：故所求的概率为121． 点评:本题为一个不等式与概率问题的交汇考题,通过解不等式得出符合条件的基本事件数,也可以用列举法列出所有的基本事件(当基本事件个数较少时适用),然后分别求得符合条件的概率值.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗1.规律总结:(1)一般地,对于古典概型,如果试验的n 个基本事件组成基本事件集合(称为基本事件空间),随机事件A 含有m 个基本事件,这m 个基本事件构成集合A,则集合A 中元素的个数m 与基本事件的个数n 的比值,就是事件A 的概率,即P (A )=n m . (2) P （A ）=nm ,既是概率的古典定义又是求古典概型的概率的基本方法. 求P(A)时，首先要判断是否是古典概型，它的计算步骤是： ①判断事件A 是否为古典概型; ②算出基本事件的总个数n ;③算出事件A 包含的基本事件的个数m ；④算出事件A 的概率P （A ）=A 事件所包含的基本事件数试验的所有可能的基本事件总数=nm . 2.学以致用:(1)将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为A ．91B ．121C ．151D ．181 (2)将一枚硬币连掷3次，出现“2个正面，1个反面”的概率是 A.31 B.81 C.83 D.32 (3)在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率 是 （结果用数值表示）．(4)豌豆的高矮性态的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D ，决定矮的基因记为d,第一子代的一对基因为D d ，若第一子代的D ，d 基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率.（只要有基因D,则茎就是高茎，只有两个基因全是d 时，才显现矮茎）答案:(1)D 解析: 设骰子连续抛掷三次向上的对应的点数所成等差数列的公差为d ,若0d =,则该等差数列有6个; 若1d =,则该等差数列有4个; 若2d =,则该等差数列有2个; 若3d ≥,则该等差数列不存在; 若1d =-,则该等差数列有4个; 若2d =-,则该等差数列有2个; 若3d ≤-,则该等差数列不存在.由此可得点数依次成等差数列的概率3642421618P ++++==, 故应选D. (2)C 解析:用“×”表示反面向上，“√”表示正面向上，所有的可能结果有“√√√”“√√×”“√×√”“×√√”“√××”“×√×”“××√”“×××”共8种；其中“2个正面，1个反面”的有3种，概率为83. 故应选C.(3)3.0解析:从5个数中任取3个共有10种方法,而取出三个数字后剩下的两个数字都是奇数,则取出的三个数中必有一个是奇数,两个是偶数,共有3种取法,∴剩下两个数字都是奇数的概率30.310P ==. (4)解析:由于第一子代的D ，d 基因的遗传是等可能的，可以将各种可能的遗传情形都列举出来. 如图所示，Dd 与Dd 的组合有4种：DD ，Dd ，d D ，dd ， 其中只有第四种表现为矮茎，故第二子代为高茎的概率为375%4=. 3.易错分析:(1)在运用公式时，关键在于求出m 、n. 在求n 时，必须注意几种结果必须是等可能的，这一点比较容易出错.(2)利用图表的形象直观性，可以清晰地分析基本事件空间，确定随机事件中所含的基本事件的个数，进而利用古典概型的概率公式来求其概率.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则2log 1x y =的概率为 （ ）A ．61B ．365 C ．121 D ．21 2.从1,2,…,9共9个数字中任取一个数字,取出数字为偶数的概率为 ( ) A.0 B.1C.95D.94 3.一个口袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中摸出2个球,则1个是白球,1个是黑球的概率是( ) A.21 B.31 C.41 D.32 4.若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是物理书的概率为( ) A.51 B.103 C.53 D.21 5.从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是 ( ) A .53 B.52 C.41 D.81 6.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A ．17B ．27C ．37D ．47二、填空题:7.若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取1把能将该锁打开的概率为 .8.从含有两件正品a 1、a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次,取出的两件产品中恰有一件次品的概率为 .9.某号码锁有6个拨盘，每个拨盘上有从0到9共十个数字，当6个拨盘上的数字组成某一个六位数字号码(开锁号码)时，锁才能打开．如果不知道开锁号码，试开一次就把锁打开的概率是 ?10.有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，取到的卡片是7的倍数的概率是_______.三、解答题:11.抛掷两粒均匀的骰子，求：（Ⅰ）点数和为7的概率；（Ⅱ）出现两个5点的概率.12.某校举行运动会，高三（一）班有男乒乓球运动员4名，女乒乓球运动员3名，现要选一男一女运动员组成混合双打组合代表本班参赛，试列出全部可能结果,若某女乒乓球运动员为国家一级运动员,则她参赛的概率是多少?13.某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码中任指一个电话号码，求（Ⅰ）头两位号码都是8的概率；（Ⅱ）头两位号码都不超过8的概率；（Ⅲ）头两位号码不相同的概率.14.已知袋中有编号为1~9的小球各一个，它们的大小相同，从中任取三个小球.求：(Ⅰ)恰好有一球编号是3的倍数的概率；(Ⅱ)至少有一球编号是3的倍数的概率；(Ⅲ)三个小球编号之和是3的倍数的概率.【能力训练】参考答案一、选择题:1. C2. D3. D4. B5. C6. C二、填空题:7. 15 8. 32 9. 11000000 10. 0.14 三、解答题:11.解析:用有序实数对（x ，y ）表示基本事件，其中x 、y 分别表示两粒骰子的点数，易知所有基本事件数为36.（Ⅰ）用A 表示事件“点数之和为7”，则事件A 所含有的基本事件数为6.所以P （A ）=61366=. （Ⅱ）用B 表示事件“出现两个5点”，则事件B 所含有的基本事件数为1.所以P （B ）=361. 12.解析:由于男生从四人中任意选取，女生从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男生为A,B,C,D,女生为1,2,3,我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果如（A ，1）表示：第一次随机选取中从男生中选的是男生A ，从女生中选取的是女生1, 可用列举法列出所有可能的结果. 如下表所示：由表可知，可能结果总数是12个.设该国家一级运动员为编号1,她参赛的可能事件有4个,故她参赛的概率为41123P == 13.解析:电话号码的第一位可以是0~9中的任一个数字.第二位也是0~9中的任一个数字，我们把前2位号码用（,x y ）表示，试验的所有结果如下表：从表中可以看出，头两位号码的所有可能的结果共有100个，由于是随机抽取，每个号码是等可能出现的，这个试验属于古典概型.（Ⅰ）记A 为“头两位号码都是8”，事件A 包含的基本事件只有1个（8，8），∴事件A 的概率1()0.01100P A ==. （Ⅱ）记B 为“头两位号码都不超过8”，则事件B 包含的基本事件由表可知共有81个, ∴事件B 的概率81()0.81100P B ==. （Ⅲ）记C 为头两位号码不相同，则事件C 包含的基本事件数由表可以数出共90个, ∴事件C 的概率90()0.9100P C ==. 14.解析:(Ⅰ)从九个小球中任取三个共有39C 种取法，它们是等可能的.设恰好有一球编号是3的倍数的事件为A ， 则2815)(392613=⋅=C C C A P . (Ⅱ)设至少有一球编号是3的倍数的事件为B ， 则2116)(21161)(3926131623333936=++==-=C C C C C C B P C C B P 或 . （Ⅲ）设三个小球编号之和是3的倍数的事件为C ，设集合}7,4,1{},9,6,3{21==S S ,}8,5,2{3=S ,则取出三个小球编号之和为3的倍数的取法共有131313333C C C C ⋅⋅+种，则1453)(3913131333=⋅⋅+=C C C C C C P .。
2018年高考数学 考点一遍过 专题45 古典概型 文
考点45古典概型（1）理解古典概型及其概率计算公式.（2）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.一、基本事件在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件.基本事件有如下特点：（1）任何两个基本事件是互斥的.（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.二、古典概型的概念及特点把具有特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.三、古典概型的概率计算公式() P AA事件包含的基本事件数试验的基本事件总数.四、必记结论（1）古典概型中的基本事件都是互斥的．（2）在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视它们是否是等可能的．考向一古典概型的概率求解1.求古典概型的基本步骤：(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式()mP An，求出P(A)．2.求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件.基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择3.对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.4.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.典例1甲盒子装有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，乙盒子装有分别标有数字2，5的2张卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1张卡片，则2张卡片上的数字为相邻数字的概率为A．78B．38C．14D．18【答案】B典例2 某校高一、高二、高三分别有400人、350人、350人.为调査该校学生的学习情况,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本.已知从高一的同学中抽取8人.(1)求样本容量n的值和从高二抽取的人数；(2)若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动,已知高二被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选中的概率.3【解析】(1)由题意可得8400350350400n =++,解得22n =,从高二抽取83507400⨯=人. 从这7位同学中任选2人,有女生的有:{}{}{}{}{},,,,,,,,,A B A C A D A E A F ,{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,A G B C B D B E B F B G 共 11 种, 故至少有1名女同学被选中的概率为1121.1．在1,2,3,4中任取2个不同的数,则这2个数的和小于5的概率为 ．2．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,与此同时,相关管理部门推出了针对电商商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品好评率为3,5对服务好评率为3,4其中对商品和服务都做出好评的交易为80次． (1)是否可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关?(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率． 注:()()()()()22,其中n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.考向二用随机模拟估计概率用随机模拟估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果，然后按实际需要将所得的随机数分为若干个一组（比如试验要求随机抽取三个球就三个数据一组），明晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组，即可求解概率.典例3已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示命中靶心,4,5,6,7,8,9表示未命中靶心,再以每三个随机数为一组,代表三次打靶的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数: 321421191925271932800478589663531297396021546388230113507965据此估计,小李三次打靶恰有两次命中的概率为A．0.25 B．0.30C．0.35 D．0.40【答案】B3．袋子中有四个小球，分别写有“甲、乙、丙、丁”四个字，从中任取一个小球，取到“丙”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“甲、乙、丙、丁”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 2123 13 32 21 24 42 13 32 21 34据此估计，直到第二次就停止的概率为A．15B．14C．13D．1251．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ,B ,C 可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为A ．13B ．23 C ．16D ．562．现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为A ．110 B ．25 C ．12D ．7103．袋中共有6个除颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两个球,则两个球的颜色为一白一黑的概率等于A ．15B ．25 C ．35D ．454．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 137 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A ．0.40 B ．0.30 C ．0.35D ．0.255．从集合{}2,1,2A =--中随机选取一个数记为a ,从集合{}1,1,3B =-中随机选取一个数记为b ,则直线0ax y b -+=不经过第四象限的概率为A ．29B ．13 C ．49D ．146．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为A ,从集合A 中任取一个元素a ,则函数[),0,a y x x =∈+∞是增函数的概率为A ．37B ．45 C ．35D ．347．2017年1月18日支付宝集福活动又来了,假定每次扫福都能得到一张福卡(福卡一共有五种:爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福),且得到每一种类型福卡的概率相同,若小张已经得到了富强福、和谐福、友善福,则小张再扫两次可以集齐五福的概率为___________.8．已知集合A ={-2,3,5,7},从A 中随机抽取两个不同的元素a ,b ,作为复数z =a+b i(i 为虚数单位)的实部和虚部.则复数z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率为___________.9．某中学有一调查小组为了解假期期间本校学生白天在家的时间情况,从全校学生中抽取120人,统计他们平均每天在家的时间(在家时间超过4小时的就认为具有“宅”属性,否则就认为不具有“宅”属性).采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,若从这6人中随机选取3人做进一步的调查,则选取的3人中至少有1名女生的概率为___________.10．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2016年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将7他们按年龄分成6段[)[)[)[)[)[]:20,30,30,40,40,50,50,60,60,70,70,80后得到如图所示的频率分布直方图.(l)计算这40名广场舞者中年龄分布在[)40,70的人数;(2)若从年龄在[)20,40中的广场舞者任取2名,求这两名广场舞者中恰有一人年龄在[)30,40的概率.11．某市为了了解高三学生的身体综合素质,从甲、乙两所学校(两所学校的高三学生人数均按365计算)各抽取20名学生的数据作为样本,将综合素质分进行统计,如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).总分在35分以下(不包括35分)的为需要加强训练的学生;35~75分之间的为需要提高训练的学生;75分以上(不包括75分)的为运动健儿.(1)以这20名学生的身体综合素质分来估计全校365名高三学生的身体状况,则甲、乙两所学校中分别约有多少名需要加强训练和需要提高训练的高三学生?(2)从两所学校共抽取的40名高三学生中综合素质分在[60,80]内的学生中随机抽取2名,求抽取的2名高三学生均为运动健儿的概率.1．（2017天津文科）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．45B ．35 C ．25D ．152．（2017新课标全国Ⅱ文科）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为9A ．110 B ．15C ．310D ．253．（2016新课标全国Ⅰ文科）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．564．（2016新课标全国Ⅲ文科）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．815 B ．18 C ．115D ．1305．（2016北京文科）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为A ．15 B ．25C ．825D ．9256．（2017山东文科）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.（1）若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.7．（2016山东文科）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若3xy≤，则奖励玩具一个；②若8xy≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.1．【答案】1 3【解析】在1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，共6种不同的取法，其中，“2个数的和小于5”包含()()1,2,1,3，共2种不同的取法，11则这2个数的和小于5的概率为2163=. 2．【解析】(1)由题意可得关于商品评价和服务评价的22⨯列联表:计算得2K 的观测值为()22008010407011.11110.828,1505012080k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关．()()(),,,,,A B A C A a ,()()(),,,,,A b B C B a ,()(),,,B b C a ,()(),,,C a a b ，共计10种情况．其中只有一次好评的情况是()()()()()(),,,,,,,,,,,,A a A b B a B b C a C b 共计6种情况． 因此,只有一次好评的概率为63105=． 3．【答案】B【解析】由题意知在20组随机数中表示第二次就停止的有13 43 23 13 13，共5组随机数，故所求概率为51204P ==.1．【答案】A【解析】甲、乙两人参加三个不同的学习小组共包含9个基本事件, 其中两人参加同一个小组包含3个基本事件()()(),,,,,A A B B C C , 则所求概率为3193P ==.故选A ． 2．【答案】C【解析】共有10个几何体,其中旋转体有5个,所以从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为51102=. 3．【答案】B【解析】将1个红球,2个白球和3个黑球分别记为a 1,b 1,b 2,c 1,c 2,c 3, 从袋中任取两个球的基本事件有:(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,c 1),(a 1,c 2),(a 1,c 3),(b 1,b 2),( b 1,c 1),(b 1,c 2),(b 1,c 3),(b 2,c 1),(b 2,c 2), (b 2,c 3),(c 1,c 2),(c 1,c 3),(c 2,c 3)，共15种. 满足两个球的颜色为一白一黑的有6种, 故所求概率为62155=. 4．【答案】B【解析】由题意，得在20组模拟数据中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的数据有137、191、271、932、812、393，共6个数据，则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为60.3020=.故选B ． 5．【答案】A6．【答案】C【解析】该程序的运行过程如下:x =-3,输出3;2y x ==-,输出0;1y x ==-,输出1;0y x =-=,输出0;1y x ==,输出3;2y x ==,输出8;3y x ==,输出y =15,程序结束,故A ={3,0,-1,8,15},其中有3个元素可使得函数[),0,ay x x =∈+∞是增函数,故所求概率为35. 7．【答案】【解析】再扫两次得到福卡的所有情况有(爱国福,爱国福)、(爱国福,富强福)、(爱国福,和谐福)、(爱国福,友善福)、(爱国福,敬业福)、(富强福,爱国福)、(富强福,富强福)、(富强福,和谐福)、(富强福,友善福)、(富强福,敬业福)、(和谐福,爱国福)、(和谐福,富强福)、(和谐福,和谐福)、(和谐福,友善福)、(和谐福,敬业福)、(友善福,爱国福)、(友善福,富强福)、(友善福,和谐福)、(友善福,友善福)、(友善福,敬业福)、(敬业福,爱国福)、(敬业福,富强福)、(敬业福,和谐福)、(敬业福,友善福)、(敬业福,敬业福),共25种,记“小张再扫两次可以集齐五福”为事件M,则事件M包含的情况有(爱国福,敬业福)、(敬业福,爱国福),共2种,根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为P(M )=.8．【答案】1 29．【答案】4 5【解析】记事件M为“选取的3人中至少有1名女生”,则事件M为“选取的3人都是男生”.采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,其中男生有4人,编号分别为a,b,c,d,女生有2人,编号分别为A,B．从6人中随机选取3人的基本事件有{a,b,c},{a,b,d},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,d},{a,c,A},{a,c,B},{a,d,A},{a,d,B},{a,A,B},{b,c,d},{b,c,A},{b,c,B},{b,d,A},{b,d,B},{b,A,B},{c,d,A},{c,d,B},{c,A,B},{d ,A,B},共20个.事件M所含的基本事件分别为{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},共4个,所以事件M的概率为P(M)=41 205=,所以事件M的概率为P(M)=1-P(M)=1-1455=.1310．【解析】(1)由表中数据知,这40名广场舞者中年龄分布在[)40,70的人数为()0.020.030.025104030++⨯⨯=.(2)由直方图可知,年龄在[)20,30的有2人,分别记为12,,a a 在[)30,40的有4人,分别记为1234,,,b b b b .现从这6人中任选两人,共有如下15种选法:()()()()12111213,,,,,,,a a a b a b a b ,()()()()14212223,,,,,,,a b a b a b a b ,()()()()24121314,,,,,,,a b b b b b b b ,()()()232434,,,,,,b b b b b b 其中恰有1人在[)30,40的有8种,故这两名广场舞者中恰有一人年龄在[)30,40的概率为815p =.(2)在抽取的40名高三学生的样本数据中,身体综合素质分在[60,80]内的有6名,而身体综合素质分在(75,80]内的有3名,分别记为D 1,D 2,D 3,身体综合素质分在[60,75]内的有3名,分别记为d 1,d 2,d 3, 则从这6名高三学生中随机抽取2名共有15种结果:(D 1,D 2),(D 1,D 3),(D 2,D 3),(d 1,d 2),(d 1,d 3),(d 2,d 3),(D 1,d 1), (D 1,d 2),(D 1,d 3),(D 2,d 1),(D 2,d 2),(D 2,d 3),(D 3,d 1),(D 3,d 2),(D 3,d 3).记“抽取的2名高三学生均为运动健儿”为事件M ,则其包含的结果有3种:(D 1,D 2),(D 1,D 3),(D 2,D 3). 故抽取的2名高三学生均为运动健儿的概率为P (M )=.1．【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率42105P==．故选C．【名师点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，然后找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，代入公式()()n APnΩ=即可得解．2．【答案】D【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：总计有25种情况，满足条件的有10种.所以所求概率为102 255=.【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 3．【答案】C【解析】从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛有4种种法，故所求概率为23，选C．4．【答案】C155．【答案】B【解析】从5名学生中随机选出2人有10种选法，甲被选中的情况有4种， 故所求概率为42105P ==，故选B ． 6．【解析】（1）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}121323111213212223,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A B A B A B A B {}{}{}{}{}{}313233121323,,,,,,,,,,,A B A B A B B B B B B B ，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ,共3个，则所求事件的概率为：31155P ==. （2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,{,},,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B ，共9个，包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个， 所以所求事件的概率为：29P =.【名师点睛】(1)对于事件A 的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A 是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )＝求出事件A 的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.17则事件A 包含的基本事件共有5个，即()()()()()1,1,1,2,1,3,2,1,3,1, 所以()5,16P A =即小亮获得玩具的概率为516. （2）记“8xy ≥”为事件B ，“38xy <<”为事件C .则事件B 包含的基本事件共有6个，即()()()()()()2,4,3,3,3,4,4,2,4,3,4,4, 所以()63.168P B == 事件C 包含的基本事件共5个，即()()()()()1,4,2,2,2,3,3,2,4,1, 所以()5.16P C = 因为35,816>所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
(浙江版)2018年高考数学一轮复习 专题10.4 随机事件的概率与古典概型(讲)
专题10.4 随机事件的概率与古典概型【考纲解读】【知识清单】1. 随机事件的概率1．随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件. (1)在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件． (2)在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母,,,A B C 表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()An n f A n=为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，把这个常数记作()p A ，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 3．互斥事件与对立事件互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即A B 为不可能事件(AB φ=)，则称事件A 与事件B 互斥，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生．一般地，如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥.对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即A B 为不可能事件，而A B为必然事件，那么事件A 与事件B 互为对立事件，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生．互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件.两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件. 4.事件的关系与运算B或A B +)B (或AB )B 为不可能事件，那么称事件B φ=B 为不可能事件，B 为必然事件，B 互为对立事件B φ=且B =Ω5.随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作()p A .由定义可知()01p A ≤≤，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 5．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：()01p A ≤≤. (2)必然事件的概率：()1p A =. (3)不可能事件的概率：()0p A =. (4)互斥事件的概率加法公式： ①()()()p A B p A p B =+(,A B 互斥)，且有()()()1p A A p A p A +=+=． ②()()()()1212n n p A A A p A p A p A =+++ (12,,,n A A A 彼此互斥)．(5)对立事件的概率：()()1P A P A =-． 对点练习：1．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A = “所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A 的对立事件是（ ）A. 1个白球2个红球B. 2个白球1个红球C. 3个都是红球D. 至少有一个红球 【答案】C2．古典概型1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n1。
专题10 计数原理与古典概率-2018届浙江省高三数学优质金卷考卷分项(解析版)
第十章 计数原理与古典概率一．基础题组1. 【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】在一次随机试验中，事件A 发生的概率为p ，事件A 发生的次数为ξ，则期望E ξ=__________ ，方差D ξ的最大值为 __________． 【答案】 p14【解析】记事件A 发生的次数为ξ可能的值为01、期望()011E p p p ξ=⨯-+⨯=方差()()()()22101114D p p p p p p ξ=-⨯-+-⨯=-≤ 故期望E p ξ=，方差D ξ的最大值为142. 【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】在二项式()52a x a R x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中，若含7x 的项的系数为-10，则a =__________． 【答案】-23．【浙江省杭州市2018届高三上学期期末】有红，黄，蓝三种颜色的小球（除颜色外均相同）各4只，都分别标有字母,,,A B C D ．任意取出4只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法有__________ 种． 【答案】36【解析】字母各不相同且三种颜色齐备则分别取出112，，个小球，共有211342132236C C C A A ⨯=点睛：本题考查了排列组合，要满足题目中“字母各不相同且三种颜色齐备”先理清可能性，然后运用组合法求出数量后除去重复的可能，再进行全排列，即可计算出结果4. 【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末】有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出3个，则取出的编号互不相同的概率是________． 【答案】47【解析】8个球，从中取出3个，共有3856C = 种基本事件 其中取出的编号互不相同的有334232C = 种基本事件，所以概率为3256= 475. 【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末】已知()62601261x a a x a x a x -=++++，则2x 项的二项式系数是________； 0126a a a a ++++=________.【答案】 15 64点睛：赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如()()2,(,)nnax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(),nax by a b R +∈的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.6. 【浙江省宁波市2018届高三上学期期末】现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于24的情形共有__________种（请用数字作答）． 【答案】52【解析】因为246411622143213222=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，对于上述四种情形掷这四个骰子，分别有212414434412,12,24,4A C C A C =⨯===种情形，综上共有121224452+++=种情形，故答案为52. 7. 【浙江省宁波市2018届高三上学期期末】一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和()*n n N ∈个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若()1D X =，则()E X =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B8. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末】若()223nx x --的展开式中所有项的系数之和为256，则n =______，含2x 项的系数是______（用数字作答）.【答案】 4 108 【解析】()223nx x --的展开式中所有项的系数之和为256， 4256n ∴=， 4n ∴=，()()()()44422232331nx x x x x x --=--=-+，∴ 2x 项的系数是()()()24322114444333108C C C C -+⨯-+⨯-⨯= ，故答案为（1）4，（2）108. 9. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末】已知随机变量X 的分布列为:则m =___________， ()D X =__________. 【答案】16 59【解析】由题意，1111,236m m ++=∴=， 11151232363EX ∴=⨯+⨯+⨯=， ()D X = 22215151551232333639⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为（1）16，（2）59. 10. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末】有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是 A. 144 B. 216 C. 288 D. 432 【答案】D11. 【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】甲，乙，丙，丁四名同学做传递手帕游戏（每位同学传递到另一位同学记传递1次），手帕从甲手中开始传递，经过5次传递后手帕回到甲手中，则共有__________种不同的传递方法．（用数字作答） 【答案】60种【解析】根据题意分3种情况①当甲第一次传给其余3人，有133C =种情况，第二次将手帕传给了甲，第三次甲再传给其余3人，有133C =种情况，第四次传给了除甲以外的2人，有122C =种情况，第五次传给甲，此时有33218⨯⨯=种情况； ②当甲第一次传给其余3人，有133C =种情况，第二次将手帕传给了除甲以外的2人，有122C =种情况，第三次传给了甲，第四次传给了其余3人，有133C =种情况， 第五次传给甲，此时有32318⨯⨯=种情况； ③当甲第一次传给其余3人，有133C =种情况，第二次将手帕传给了除甲以外的2人，有122C =种情况，第三次再传给了除甲以外的2人，有122C =种情况，第四次仍然传给了除甲以外的2人，有122C =种情况，第五次传给甲，此时有322224⨯⨯⨯=种情况 综上，共有18182460++=种不同的传递方法 故答案为60.12. 【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】已知多项式()()21mnx x ++=2012m n m n a a x a x a x ++++++满足01416a a ==，，则m n +=_________，012m n a a a a +++++=__________．【答案】 5 72 【解析】∵多项式()()21mnx x ++= 2012m n m n a a x a x a x ++++++满足01416a a ==，∴令0x =，得0214m n a ⨯==，则2m = ∴()()()()221441mnnx x x x x ++=+++∴该多项式的一次项系数为11414116n n n n n n C C --+=∴13n n C -=∴3n = ∴5m n +=令1x =，得()()23012121172m n a a a a ++⨯+=+++⋅⋅⋅+= 故答案为5，72.13. 【2017年12月浙江省高三上学期期末热身】已知随机变量ξ满足()103P ξ==， ()1P x ξ==， ()223P x ξ==-，若203x <<，则（ ） A. ()E ξ随着x 的增大而增大， ()D ξ随着x 的增大而增大 B. ()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而增大 C. ()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而减小 D. ()E ξ随着x 的增大而增大， ()D ξ随着x 的增大而减小 【答案】C∴()22222241442141220123333333333D x x x x x x x x x ξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛=--⨯+--⋅+--⋅-=-+-⋅++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 221811139612x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭∵203x <<∴()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而减小 故选C.14. 【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018届高三上学期9+1联考】4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有__________种结果；其概率为__________.【答案】 243815. 【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2018届高三上学期9+1联考】在1nx ⎫+⎪⎭的展开式中，各项系数之和为64，则n =__________；展开式中的常数项为__________. 【答案】 6 15【解析】∵在1nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为64∴将1x =代入，得264n = ∴6n =∵36321661rrr rr r T C C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭∴令3302r -=，即2r =，则其系数为2615C = 故答案为：6，1516. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三9月基础知识测试】一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是________； 若表示摸出黑球的个数，则________．【答案】17．【浙江省嘉兴第一中学2018届高三9月基础知识测试】若的展开式各项系数之和为64，则___；展开式中的常数项为___．【答案】 6 -540【解析】令,易得：；通项公式为令,得常数项为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.18. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期测试】安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有___种，学生甲被单独安排去金华的概率是___．【答案】1507 75【解析】根据题意，按五名同学分组的不同分2种情况讨论：①、五人分为2、2、1的三组，有2215312215C C CA=种分组方法，对应三项志愿者活动，有331590A⨯=种安排方案，②、五人分为3、1、1的三组，有3115212210C C CA=种分组方法，对应三项志愿者活动，有331060A⨯=种安排方案，则共有9060150+= 种不同的安排方案；学生甲被单独安排去金华时，共有2231224241222214C C C C A A A +=种不同的安排方案，则学生甲被单独安排去金华的概率是14713075=19. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期测试】()4121x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） .16.12.8.4A B C D【答案】C20. 【浙江省清源中学2018届高三9月月考】已知213nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数和为64，则n =_______；二项展开式中含3x 的系数为________.【答案】 6 -540【解析】213nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中所有二项式系数和为64，∴264n =，解得n=6；∴6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：26612311(3)()(1)366r r r r r r r r T C x C x x---+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅，令123r - =3，解得r=3；∴二项式展开式中含x3项的系数为333(1)35406C -⋅⋅=-.故答案为：6，−540.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.21．【浙江省清源中学2018届高三9月月考】已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为ς，则1ς=的概率是_______；随机变量ς期望是_______. 【答案】351()213421356C CP C ξ===；()211242356C CP C ξ===；所以()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故答案为： 315，.22. 【浙江省清源中学2018届高三9月月考】把7个字符1，1，1，A ，A ， α， β排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有（ ） A. 12种 B. 30种 C. 96种 D. 144种 【答案】C【解析】先排列A,A,α,β,若A,B 不相邻,有22623A C=种,若A,B 相邻,有363A =种，共有6+6=12种，从所形成了5个空中选3个插入1,1,1,共有3121205C =，若A,A 相邻时,从所形成了4个空中选3个插入1,1,1,共有36244C=，故三个“1”两两不相邻，且两个“A“也不相邻，则这样的排法共有120−24=96种， 故选：C.23. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三上学期期中】二项式()512x +中，所有的二项式系数之和为___________；系数最大的项为_________． 【答案】 32 3480,80x x24. 【浙江省嘉兴第一中学2018届高三上学期期中】某校的A 、B 、C 、D 四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B 不选修同一门课，则不同的选法有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种 【答案】C【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有246C =种选法，减去A B 、在同一组还有5种选法，再选3门课程有33A 种选法，利用分步计数原理有33530A =种不同选法.选C.。
2018版高考文科数学古典概型高品质版
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4．[2015·广东卷] 已知 5 件产品中有 2 件次品， 其余为合格品，现从这 5 件产品中任取 2 件，恰 有 1 件次品的概率为( ) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
[解析] B 5 件产品中有 2 件次品，记 为 a，b，有 3 件合格品，记为 c，d， e，从这 5 件产品中任取 2 件，有 10 种，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)， (a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c， d)，(c，e)，(d，e)，恰有 1 件次品， 有 6 种，分别是(a，c)，(a，d)，(a， e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)．设事件 A
所以构成勾股数的概率为110.
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4．[2013·新课标全国卷Ⅰ] 从 1，2，3，4 中 任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的 绝对值为 2 的概率是( )
1111 A.2 B.3 C.4 D.6
[解析] B 基本事件是(1，2)，(1，3)，(1， 4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 6 个，其中 两数之差的绝对值为 2 的基本事件是(1，3)， (2，4)，共 2 个，根据古典概型公式得所求
意，故所求概率为122＝16.
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3．[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各 个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体 玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是________．
[答案]
5 6
[解析] 本题为古典概型，基本事件共 有 36 个，点数之和大于等于 10 的有 (4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，(6， 5)，(6，4)，共计 6 个基本事件，故点 数之和小于 10 的有 30 个基本事件，
2018年浙江高考一轮 第9章 第5节 古典概型
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5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________． 1 [由乘法计数原理，两人各选一种运动服有 3×3＝9 种方法， 3
1 球，1 个红球共有 C1 10C5＝50 种取法，所以所取的球恰好 1 个白球 1 个红球的概
50 10 率为 ＝ . 105 21
2 C2 － C 5 4 2 (2)由古典概型概率公式，得所求事件的概率为 P＝ ＝ .] C2 6 4
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[ 规律方法]
1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数
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抓 基 础 · 自 主 学 习
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第五节 古典概型Βιβλιοθήκη 明 考 向 · 题 型 突 破
课 时 分 层 训 练
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1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是_____ 互斥 的．
基本事件 的和． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__________
n；(2)计算事件 A 所包含的基本事件的个数 m；(3)代入公式求出概率 P. 2．确定基本事件个数的方法： (1)基本事件较少的古典概型，用列举法写出所有基本事件时，可借助“树 状图”列举，以便做到不重、不漏． (2)利用计数原理、排列与组合的有关知识计算基本事件．
2018版高考数学浙江专用专题复习专题11 概率、随机变量及其分布 第66练 含解析 精品
1．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件．那么( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件2．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数为a ，设事件A ＝“a 为3”，B ＝“a 为4”，C ＝“a 为奇数”，则下列结论正确的是( )A ．A 与B 为互斥事件B ．A 与B 为对立事件C ．A 与C 为对立事件D ．A 与C 为互斥事件3．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”中的( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．(2016·浙江大学附属中学高考全真模拟考试)两人掷一枚硬币，掷出正面多者为胜，但这枚硬币不均匀，以致出现正面的概率P 1与出现反面的概率P 2不相等．已知出现正面与出现反面是对立事件，设两人各掷一次成平局的概率为P ，则P 与0.5的大小关系是( )A ．P <0.5B ．P ＝0.5C ．P >0.5D ．不确定5．(2016·杭州二中高三第五次月考)同时掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( )A.118B.112C.19D.166．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( ) A.15 B.25 C.16 D.187．(2016·绍兴质检)某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会4×100 m 接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为( )A.415B.215C.421D.158．俊、杰兄弟俩分别在P ，Q 两支篮球队，P 队、Q 队分别有14和15名球员，且每个队员在各自队中被安排首发上场的机会是均等的，则P ，Q 两队交战时，俊、杰兄弟俩同为首发上场交战的概率是(首发上场各队5名队员)( )A.1210B.542C.2542D.14二、填空题9．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A ＝{摸出黑球}，B ＝{摸出白球}，C ＝{摸出绿球}，D ＝{摸出红球}，则P (A )＝__________.P (B )＝________；P (C ∪D )＝________.10．(2016·温州适应性测试)甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为________．11．(2016·嘉兴高三测试)设m ，n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－1)，则向量a ，b 的夹角为锐角的概率是________．12．(2016·宁波高三十校联考)有下列四个函数：f 1(x )＝x 2－2|x |，f 2(x )＝a lg 1－x 1＋x (－1<x <1)(a 是非零常数)，f 3(x )＝2x ＋2－x (x >0)，f 4(x )＝x ，从中任取两个函数f i (x )，f j (x )，i ，j ∈{1,2,3,4}，i ≠j ，则使F (x )＝f i (x )f j (x )为偶函数的概率为________．答案解析1．B 2.A 3.A 4.C5．C [利用古典概型的概率公式求解．同时抛掷两个骰子，向上的点数共有36个结果，其中点数之差的绝对值为4的结果有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)，共4个，所求概率为436＝19，故选C.]6．B [如图为正六边形ABCDEF ，从6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF 、BCDE 、ABCF 、CDEF 、ABCD 、ADEF ，共6种选法，故构成的四边形是梯形的概率为P ＝615＝25，故选B.] 7．C [从6名短跑运动员中任选4人参加4×100 m 接力赛，其中甲不跑第一棒且乙不跑第四棒的方法共有A 46－2A 35＋A 24＝252(种)，在这252种方法中甲跑第二棒的方法共有C 12·A 24＋A 34＝48(种)，因此所求的概率等于48252＝421，故选C.] 8．B [由题意得，P ，Q 两队交战时，首发上场交战安排的不同情况有C 514·C 515种，其中俊、杰兄弟俩同为首发上场交战的不同情况有C 413·C 414，故P ，Q 两队交战时，俊、杰兄弟俩同为首发上场交战的概率P ＝C 413·C 414C 514·C 515＝542.] 9.25 320 920解析 P (A )＝820＝25，P (B )＝320， P (C ∪D )＝4＋520＝920. 10．0.3解析 利用互斥事件的概率公式求解．乙获胜的概率为1－0.2－0.5＝0.3.11.512解析 向量a ，b 的夹角为锐角，所以a ·b ＞0，所以m －n ＞0，即m ＞n .所以P ＝5＋4＋3＋2＋16×6＝1536＝512. 12.16解析 因为f 1(x )是偶函数，f 2(x )，f 4(x )为奇函数，f 3(x )是非奇非偶函数，且仅当f i (x )，f j (x )的奇偶性相同时，F (x )为偶函数．从4个函数中任取两个函数，有6种结果，其中F (x )为偶函数的结果有1种，故所求概率为16.。
2018届高考数学一轮复习古典概型课件理新人教A版
两个试验的共同特点： (1)试验中所有可能出现的基本事件的 只有有限个 个数____________
(2)每个基本事件出现的可能性_______ 我们将具有这两个特点的概率模型称为
________________
两个试验的共同特点： (1)试验中所有可能出现的基本事件的 只有有限个 个数____________ 相等 (2)每个基本事件出现的可能性_______
D={b、c}; E={b、d}；F={c、d}；
1点 问题：
2点
3点
4点
5点
6点
(1)在一次试验中，会同时出现“1点” 与 “2点”这两个基本事件吗？ (2) 事件“出现偶数点”包含哪几个基
本事件？
1点 问题：
2点
3点
4点
5点
6点
(1)在一次试验中，会同时出现“1点” 与 “2点”这两个基本事件吗？ 不会 (2) 事件“出现偶数点”包含哪几个基
探究：如果该题是不定项选择题，假如考生 也不会做，则他能够答对的概率为多少？此时比单 选题容易了，还是更难了？ 基本事件有15个： A B
C
D
BC BD CD
AB AC AD ABCD
ABC ABD ACD BCD
“答对”包含的基本事件数：1 1 P(“答对”) 15
正面向上
反面向上
问题：每个基本事件的概率是多少？
1点
2点
3点
4点
5点
6点
P(“1点”)=P(“2点”)=P(“3点”)=P(“4点”) =P(“5点”)=P(“6点”)
正面向上
反面向上
2
P(“正面向上”)=P(“反面向上”) 1
2018高中数学人教A版浙江一轮参考课件：10-4 随机事件的概率与古典概型 精品
备 考 定 向 从近五年高考来看,随机事件 及其概率基本上不单独考查, 往往与统计综合考查.高考对 该部分内容的考查主要有两个 方面:一是列出频率分布表,由 频率估计概率;二是考查互斥 事件、对立事件的概率.古典概 型可在解答题中与统计等知识 综合考查,题目一般中等难度, 以考查基本概念和基本运算为 主,求解的关键在于正确计算 随机试验不同的结果及某事件 包含的基本事件数.
-7知识梳理 双击自测
4.古典概型 (1)基本事件的特点 ①任何两个基本事件是互斥 的. ②任何事件都可以表示成基本事件 的和(除不可能事件). (2)古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. ①有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 . ②等可能性:每个基本事件出现的可能性相等 . (3)古典概型的概率公式
A.
5 21
B.
10 21
C.
11 21
D.1
1 C1 10 C5
2 解析:从 15 个球中任取 2 球有C15 种情况,所取 2 球中恰有 1 个
白故所求概率
P=
C2 15
=
10 .故选 21
B.
-9知识梳理 双击自测
3.给出下列三个命题,其中正确的命题有 0 个. ①有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是 次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概 3 率是 7 ;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 解析:①错,不一定是10件次品;②错, 7 是频率而非概率;③错,频 率不等于概率,这是两个不同的概念. 4.口袋内有一些除颜色外完全相同的红球、黄球、白球,从中摸 出一个球,摸出红球或白球的概率为0.65,摸出黄球或白球的概率为 0.6,那么摸出白球的概率是 0.25 . 解析:设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A,B,C, 由条件P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.65,P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.6, 又P(A∪B)=1-P(C),∴P(C)=0.35.∴P(B)=0.25.
(浙江版)备战2018高考数学二轮复习 专题1.7 计数原理与古典概率教学案
专题1.7 计数原理与古典概率【考情动态】【热点重温】热点一 计数原理与排列与组合【典例1】【2016全国甲理5改编】如图所示，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 .A.24B.C.12D.9 【答案】18【解析】从E F →的最短路径有6种走法，从F G →的最短路径有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法． 【对点训练】春节期间已知{},1,2,3,4,5,6,7,8,9a b ∈，log a u b =，则u 的不同取值个数为_________. 【答案】542【典例2】【2017课标II 改编】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 .A ．12种B ．18种C ．24种D ．【答案】36种【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列33A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336C A ⨯=种方法.【对点训练】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】某校的A 、B 、C 、D 四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B 不选修同一门课，则不同的选法有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种 【答案】C【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有246C =种选法，减去A B 、在同一组还有5种选法，再选3门课程有33A 种选法，利用分步计数原理有33530A =种不同选法.选C.【典例3】【2017浙江卷16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答） 【答案】660【解析】由题意可得：总的选择方法为411843C C C ⨯⨯种方法，其中不满足题意的选法有411643C C C ⨯⨯种方法，则满足题意的选法有：411411843643660C C C C C C ⨯⨯-⨯⨯=种．【对点训练】某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是 （ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 42 【答案】D3点睛：3.排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有1343C C 种不同的分法；而平均分为两组则有224222C C A 种不同的分法． 【考向预测】1.两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，通常与排列组合问题或概率计算问题综合考查．2.排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与概率相结合进行考查． 热点二 二项式定理【典例4】【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 . 【答案】30【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=.【对点训练】【2018届云南省大理市云南师范大学附属中学月考卷二】若的展开式中常数项为，则实数的值为（ ） A.B. C. -2 D.【答案】D【解析】的展开式通项为，令，则有，∴，4即，解得，故选D ．【典例5】【2017山东，理11】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】由二项式定理的通项公式()1C 3C 3rr r r rr n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．【对点训练】设5nx ⎛ ⎝的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则n =________.【答案】4【典例6】【2018届河南省师范大学附属中学高三8月】已知()92901292x a a x a x a x +=++++，则()()2213579246835792468a a a a a a a a a ++++-+++的值为（ ）A. 93B. 103C. 113D. 123 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，因为92901292)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+（，两边同时取导数，可得()828123992239x a a x a x a x +=++⋅⋅⋅+，令1x =，得1012392393a a a a ++⋅⋅⋅+=，令1x =-，得1234923499a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=，又()221357924683579)2468a a a a a a a a a ++++-+++（()12345678912345678923456789)23456789a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++++++++-+-+-+-+（1012393=⨯=，故选D ．【对点训练】【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________．【答案】16，45【解析】点睛：1.在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②1r T +是展开式中的第1r +项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式()na b -展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法． 2. 二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项1r n r rr n T C a b -+=，注意()n a b +与()nb a +虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rn C ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． ⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +，有时还需先求n ，再求r ，才能求出1r T +. ⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.【考向预测】二项式定理中热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n ，求参数的值等． 热点三 古典概型【典例7】【2017天津改编】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 . 【答案】256【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===.【对点训练】【2017山东，理8】从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【典例8】【2017课标II ，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 . 【答案】25【对点训练】【2018届江西省宜春昌黎实验学校高三第二次段考】五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为( )A. 12B.1532C.1132D.516【答案】C点睛：古典概型中基本事件的探求方法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识．【考向预测】概率是高考热点之一，特别是古典概型，以互斥事件、对立事件的概率为主．客观题与大题都有可能考查，在大题中更加注重实际背景，考查分析、推理能力.7本文档仅供文库使用。
专题10-4 随机事件的概率与古典概型测-2018年高考数学
2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第十章 计数原理，概率，随机变量及其分布第四节 随机事件的概率与古典概型班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1.一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是（ ） A. 只有一次投中 B. 两次都不中 C. 两次都投中 D. 至少投中一次 【答案】C【解析】由互斥事件的定义可知“至多投中一次”的反面是“两次都投中”，应选答案C 。
2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为28254×1534≈169石，故选B .3. 将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为( )A.1936B.12C.59D.1736【答案】A4. 加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为( ) A.368 B.369 C. 370D.170 【答案】C【解析】加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率6968673170696870p =-⨯⨯=. 5.【2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考】在6盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为 （ ） A.13 B. 23 C. 35 D. 115【答案】C【解析】所求概率为24266311155C C -=-= ,选C.6.抛掷两枚骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则一次试验成功的概率是（ ） A ．15 B ．118C ．23D ．59【答案】D ．7. 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是( )． A.16 B.13 C.19 D.12 【答案】B【解析】采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为13.8.从一批产品中取出三件产品，设A = “三件产品全不是次品”， B = “三件产品全是次品”， C = “三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ）A. A 与C 互斥B. 任何两个均互斥C. B 与C 互斥D. 任何两个均不互斥 【答案】A9.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( ) A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 【答案】B【解析】由题意可得该班同学的身高共3类：（1）身高小于，（2）身高在；（3）身高超过；他们的概率和为1，∴所求概率，故选B.10.先后抛掷一个质地均匀的骰子两次，其结果记为(a,b)，其中a 表示第一次抛掷的结果，b 表示第二次抛掷的结果，则函数32()f x x ax bx c =+++有极值点的概率为（ ） A ．34 B ．78 C ．49 D ．59【答案】D【解析】先后抛掷一个质地均匀的骰子两次，其结果有36种，'2()32f x x ax b =++，函数()f x 有极值点，等价于24120a b ->，即23a b >，当2a =时，有1种；当3a =时，有2种；当4a =时，有5种；当5a =时，有6种；当6a =时，有6种，故函数32()f x x ax bx c =+++有极值点的概率为205369=． 11.甲和乙等五名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为( )A ．110B ．910【答案】B12.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（ ）A. “至少1名男生”与“全是女生”B. “至少1名男生”与“至少有1名是女生”C. “至少1名男生”与“全是男生”D. “恰好有1名男生”与“恰好2名女生” 【答案】D二、填空题13.【2017届湖南省郴州市高三第四次检测】一个袋中装有1红、2白和2黑共5个小球，这5个球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为__________． 【答案】【解析】“至少一个白球”的对立事件为“没有白球”，所以14.【2018届辽宁省沈阳市交联体高三上学期期中】有3个兴趣小组，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这三位同学中有且仅有两个同学参加同一兴趣小组的概率为__________． 【答案】23【解析】由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这三位同学中有且仅有两个同学参加同一兴趣小组， 由于共有三个小组，则有6种结果， 根据古典概型概率公式得到P=6293=， 故答案为：2315.已知函数)3cos()(x a x f π=，a 为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数)(x f 在]4,0[上零点的个数小于5或大于6的概率为 . 【答案】6516.【2018届贵州省黔东南州高三上学期第一次联考】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,,6a b c A π=，若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为,a b ，则满足条件的三角形恰有两解的概率是__________． 【答案】16【解析】根据题意，a 、b 的情况均有6种，则将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数的情况有6×6=36种； 在△ABC 中,由正弦定理可得2b aa sinB sinA==，则b=2asinB ， 若△ABC 有两个解,必有B≠90°，则有b<2a ， 若b<a ，则C 为钝角，只有一解， 故有a<b<2a ，符合此条件的情况有：b=3，a=2；b=4，a=3；b=5，a=3；b=5，a=4；b=6，a=4；b=6，a=5；共6种； 则△ABC 有两个解的概率为61366=， 答案为:16. 三、解答题17.【浙江省慈溪中学】某班共有36名学生，其中有班干部6名，现从36名同学中任选2名代表参加某次活动，求：（1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2）至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于12，则男生比女生多几人？ 【答案】（1）27；（2）1342；（3）6． 【解析】试题分析：（1）利用古典概型分析所有的基本事件与符合题意的基本事件，再用组合数公式即可求解；（2）考虑其对立事件，没有一名班干部当选代表，利用古典概型求得其概率后即可求解；（3）设男生有n 人，根据题意可列得n 的方程，求出n 的值，即可求解．试题解析：（1）所求概率为：1130623627C C C =；（2）所求概率为：23023613142C C -=；（3）设男生有n 人，则女生有36n -人，则有条件可知：223623612n nC C C -+=，解得15n =或21n =，而18n >，∴21n =，即男生比女生多6人．18.【2017山东，文】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率. 【答案】(Ⅰ)15；(Ⅱ)2.9【解析】所选两个国家都是亚洲的事件所包含的基本事件有：{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ,共3个，所以所求事件的概率为31155p ==；19.【浙江省温州市“十五校联合体”期中联考】一个口袋里有分别标上数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片，其中标上数字1，2的卡片是红色的，标上数字3，4，5的卡片是黄色的，标上数字6，7，8，9的卡片是蓝色的。
(浙江专版)2018高考数学一轮复习 第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5节 古典概型课时分层训练
课时分层训练(五十六) 古典概型A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为( )A.12 B.13 C.23D.56C [设两本不同的数学书为a 1，a 2,1本语文书为b .则在书架上的摆放方法有a 1a 2b ，a 1ba 2，a 2a 1b ，a 2ba 1，ba 1a 2，ba 2a 1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.]2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )【导学号：51062349】A.15 B.25 C.825D.925B [设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P ＝410＝25.]3．(2017·绍兴模拟)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )A.112B.512C.712D.56A [先从4个位置中选一个排4，再从剩下的位置中选一个排3，最后剩下的2个位置排1.∴共有4×3×1＝12种不同排法． 又卡片排成“1314”只有1种情况，故所求事件的概率P ＝112.]4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) 【导学号：51062350】A.18B.38C.58D.78D [4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.]5．如图952，三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a31a 32 a 33图952 A.37 B.47 C.114D.1314D [从九个数中任取三个数的不同取法共有C 39＝84(种)，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 13·C 12·C 11＝6(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝1314.] 二、填空题6．在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n π3，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________. 【导学号：51062351】15 [基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为2，故所求概率为P ＝210＝15.] 7．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．16[从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则有2,3；2,8；2,9；3,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P ＝212＝16.]8．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．13[记“两人都中奖”为事件A ， 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P (A )＝26＝13.] 三、解答题9．(2017·浙江五校联考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．[解] (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.5分(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种.10分②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.15分10．(2017·浙江湖州检测)一个盒子里装有若干个均匀的红球和白球，每个球被取到的概率相等．若从盒子里随机取一个球，取到的球是红球的概率为13；若一次从盒子里随机取两个球，取到的球至少有一个是白球的概率为1011.(1)该盒子里的红球、白球分别为多少个？(2)若一次从盒子中随机取出3个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率. 【导学号：51062352】[解] (1)设该盒子里有红球m 个，有白球n 个，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋n ＝13，1－C 2mC 2m ＋n＝1011，4分解方程组得m ＝4，n ＝8， ∴红球4个，白球8个.7分(2)设“从盒子中任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A ，则P (A )＝C 38＋C 28·C 14C 312＝4255，13分 因此，从盒子中任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数的概率为4255.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·浙江杭州模拟)某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( )A.112B.19C.536D.16A [先后掷两次骰子的结果共6×6＝36种．以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为336＝112.]2．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4＜0成立的事件发生的概率为________．14[由题意知(a ，b )的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a －2b ＋4＜0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果．故所求事件的概率P ＝416＝14.]3．先后掷一枚质地均匀的骰子，分别记向上的点数为a ，b .事件A ：点(a ，b )落在圆x 2＋y 2＝12内；事件B ：f (a )＜0，其中函数f (x )＝x 2－2x ＋34.(1)求事件A 发生的概率；(2)求事件A ，B 同时发生的概率. 【导学号：51062353】[解] (1)先后掷一枚质地均匀的骰子，有6×6＝36种等可能的结果.2分满足落在圆x 2＋y 2＝12内的点(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个．所以事件A 发生的概率P (A )＝636＝16.6分(2)由f (a )＝a 2－2a ＋34＜0，得12＜a ＜32.又a ∈{1,2,3,4,5,6}，知a ＝1.所以事件A ，B 同时发生时，有(1,1)，(1,2)，(1,3)共3种情形.10分故事件A ，B 同时发生的概率为P (AB )＝336＝112.15分。
2018版高中数学(3)第3章 3.2.1 古典概型含解析
3.2古典概型3。
2.1 古典概型1．了解基本事件的特点,能写出一次试验所出现的基本事件．(易错易混点）2．理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．（难点)3．会用列举法求古典概型的概率．（重点)［基础·初探］教材整理1 基本事件的特点阅读教材P125例1以上的部分，完成下列问题．1．任何两个基本事件是互斥的．2．任何事件(除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个,则基本事件共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】基本事件有（数学，计算机），(数学，航空模型），（计算机，航空模型)共3个．【答案】C教材整理2 古典概型阅读教材P126~P127“探究”以上的部分,完成下列问题．1．古典概型的特点如果某类概率模型具有以下两个特点：（1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等．我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．2．古典概型的概率公式对于任何事件A，P(A)＝错误!.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1）若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型．( ）（2）“抛掷两枚硬币,至少一枚正面向上"是基本事件．( )（3）从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．( )(4)一个古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出现的概率都是错误!。
（)【答案】（1）×(2）×（3）×(4)√2．甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是（)A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!【解析】基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个,所以甲站在中间的概率：P＝错误!＝错误!。
【答案】C3．若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本,3本，2本，则随机抽出一本是物理书的概率为________．【解析】从中随机抽出一本书共有10种取法，抽到物理书有3种情况，故抽到物理书的概率为错误!。
2021版高2021届高2018级浙江省选考学考高中数学教师用书12.2古典概型试题部分
12.2古典概型探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点古典概型理解古典概型,会计算古典概型中事件的概率.2015浙江自选,04(2),5分古典概型★★★分析解读 1.古典概型的概率求法是高考常考内容,是高考的命题热点.2.考查古典概型的概率的计算是本节最为常见的考查内容,往往与排列、组合相结合,并体现对分类讨论思想的考查.3.预计2021年高考试题中,对古典概型的考查的可能性很大.破考点练考向【考点集训】考点古典概型1.(2019浙江9＋1联盟期中,15)将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为a,b,c,d,e,f,则使a×b×c＋d×e×f是偶数的排列出现的概率是.【参考答案】9102.(2019浙江高考信息卷(二),16)某人做摸球游戏,袋中装有大小形状和质地均完全相同的6个小球,其中3个红球,2个黄球,1个蓝球.摸球规则如下:每次摸2个球,摸到一个红球得1分,摸到一个黄球得2分,摸到一个蓝球得3分,则此人摸一次恰好得4分的概率是;设此人摸一次得分为X分,则X的数学期望是.【参考答案】415;103炼技法提能力【方法集训】方法古典概型概率的计算方法1.(2019浙江诸暨牌头中学期中,13)用0,1,2,3,4,5这六个数字组成的没有重复数字的五位数,从中随机取一个数,则这个数恰好能被5整除的概率是.【参考答案】9252.(2018浙江镇海中学阶段性测试,13)甲、乙等五名工人被随机地分到A,B,C三个不同的岗位工作,每个岗位至少有一名工人,则甲、乙被同时安排在A岗位的概率为.【参考答案】225【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点古典概型(2015浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(2),5分)设袋中共有7个球,其中4个红球,3个白球.从袋中随机取出3个球,求取出的白球比红球多的概率.解析从袋中取出3个球,总的取法有C73=35种;其中白球比红球多的取法有C33＋C32·C41=13种.因此取出的白球比红球多的概率为1335.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点古典概型1.(2019课标全国Ⅱ文,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.35C.25D.15【参考答案】B2.(2019课标全国Ⅲ文,3,5分)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.12【参考答案】D3.(2018课标全国Ⅱ,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3【参考答案】D4.(2017课标全国Ⅱ文,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110B.15C.310D.25【参考答案】D5.(2016课标全国Ⅰ,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B.12C.23D.56【参考答案】C6.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.【参考答案】7107.(2019上海,10,5分)某三位数密码,每位数字可在0—9这10个数字中任选一个,则该三位数密码中,恰有两位数字相同的概率是.【参考答案】271008.(2019天津文,15,13分)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.项目员工A B C D E F子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○解析本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,体现了数学运算素养.(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.(ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=1115.思路分析(1)首先得出抽样比,从而按比例抽取各层的人数;(2)(i)利用列举法列出满足题意的基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率.失分警示在列举基本事件时应找好标准,做到不重不漏.C组教师专用题组考点古典概型1.(2018课标全国Ⅲ,5,5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【参考答案】B2.(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7＋23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118【参考答案】C3.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.79【参考答案】C4.(2017天津文,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45B.35C.25D.15【参考答案】C5.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.130【参考答案】C6.(2016北京,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A.15B.25C.825D.925【参考答案】B7.(2015课标Ⅰ,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120【参考答案】C8.(2015广东,4,5分)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为()A.521B.1021C.1121D.1【参考答案】B9.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为. 【参考答案】31010.(2018上海,9,5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).【参考答案】1511.(2016四川,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log a b为整数的概率是.【参考答案】1612.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.【参考答案】5613.(2018天津,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.解析本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G}, {F,G},共21种.②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.所以,事件M发生的概率P(M)=521.14.(2018北京文,17,13分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)解析(1)由题意知,样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510=2000,第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.故所求概率为502 000=0.025.(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1=56＋10＋45＋50＋160＋51=372.故所求概率估计为1－3722 000=0.814.(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.15.(2017山东,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解析(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,则所求事件的概率P=315=1 5 .(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事件的概率P=29.16.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.解析 (1)由已知,有P(A)=C 31C 41＋C 32C 102=13.所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=C 32＋C 32＋C 42C 102=415, P(X=1)=C 31C 31＋C 31C 41C 102=715,P(X=2)=C 31C 41C 102=415.所以随机变量X 的分布列为X 012P415715415随机变量X 的数学期望E(X)=0×415＋1×715＋2×415=1.17.(2015天津,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率; (2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解析 (1)由已知,有P(A)=C 22C 32＋C 32C 32C 84=635.所以事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P(X=k)=C 5k C 34－kC 84(k=1,2,3,4).所以随机变量X 的分布列为X 1234P1143737114随机变量X 的数学期望E(X)=1×114＋2×37＋3×37＋4×114=52.评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共8分)1.(2018浙江稽阳联谊学校联考,8)甲、乙两个人玩一种游戏,两人分别在两张纸上各写一个数字,分别记为a,b,其中a,b 必须是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素,如果a,b 满足|a －b|≤1,我们就称两人是“友好对”.现在任意找两人玩这种游戏,则他们是“友好对”的概率为( )A.718B.29C.518D.49【参考答案】D2.(2020届浙江镇海中学模拟,7)从集合A={0,1,2,3,4,5}中任取3个不同的数分别作为方程ax 2＋bx ＋c=0的系数,其中恰好能使方程有两个不同的实数根的概率是( )A.1760B.415C.17120D.1720【参考答案】A二、填空题(单空题4分,多空题6分,共38分)3.(2020届浙江高考冲刺试题三,14)甲、乙、丙、丁4位同学抽签到A,B,C,D4个垃圾投放点进行垃圾分类义务宣传活动,每个投放点去1人,则甲恰好抽到A 投放点的概率是 . 【参考答案】144.(2020届浙江高考模拟试题一,12)在校运会上,甲、乙、丙3位同学都在跳高、跳远、铅球、100 m 跑4个项目中任意选择2个项目报名,则恰好有2位同学的报名项目完全相同的概率是 . 【参考答案】5125.(2019浙江高考信息优化卷(五),14)某中学的十佳校园歌手有6名男同学,4名女同学,其中3名来自1班,其余7名来自其他互不相同的7个班,现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会,则选出的3名同学来自不同班级的概率为 ;设X 为选出的3名同学中女同学的人数,则该变量X 的数学期望为 . 【参考答案】4960;656.(2019浙江金华十校期末,12)一个口袋里装有大小相同的5个小球,其中红色球2个,其余3个球颜色各不相同. 现从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球颜色相同的概率是 ;若变量X 为取出的三个小球中红球的个数,则X 的数学期望E(X)= . 【参考答案】310;657.(2020届浙江高考冲刺试题二,13)任意取U={0,1,2,3,4,5,6}中一个含3个元素的子集M,则M 中的元素之和恰好为7的概率是 ;设M 中的元素之和为X,则X 的期望是 . 【参考答案】435;98.(2020届浙江高考模拟试题五,12)有一枚质地均匀的正方体骰子,甲、乙二人玩投骰子的游戏,各投1次,记两人投的点数分别为a,b,设X=|a －b|,约定当X ≤1时,甲赢,则甲赢的概率是 ;X 的期望是 . 【参考答案】49;35189.(2020届浙江镇海中学阶段检测,13)甲、乙两位同学在“7选3”选考科目时都选择了物理,其他科目任意选2科,那么两位同学选择的科目完全相同的概率是 ;两位同学选择的科目总数X 的期望是 . 【参考答案】115;133。
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九、计数原理与古典概率(三）古典概率一、高考考什么？[考试说明]4．了解事件、互斥事件、对立事件及独立事件的概念。
5． 了解概率和频率的概念。
6． 了解古典概型，会计算古典概型中事件的概率。
7．了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解两点分布，了解独立重复试验的模型及二项分布。
8．了解离散型随机变量均值、方差的概念。
[知识梳理] （一） 古典概型１．随机事件A 的概率：0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件； 2．等可能事件的概率（古典概型）： P(A)=nm。
理解这里m 、ｎ的意义。
3．互斥事件：A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生。
计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )。
4．对立事件：A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生。
计算公式是：P （A ）+ P(B)＝１；P (A )=1－P (A )；（二）分布列 1．分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列2散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）0(1,2,)i P i ≥=; （2）121P P ++=.对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和，即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ 3.数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++数学期望的性质：()()E a b aE b ξξ+=+.4.方差：()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+5.标准差：σξ=ξD .6.方差的性质：()2D a b a D ξξ+=；7．二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )， 且E np ξ=；(1)D np p ξ=-.8．两点分布列: 随机变量 X 的分布列是：像上面这样的分布列称为两点分布列．[全面解读]古典概型这一模块内容分两个部分，一个是古典概型，一个是离散型随机变量的概率分布。
古典概型的问题基本是数个数，它本质是排列组合问题，分布列问题主要应掌握期望与方差的公式，对二项分布问题应重点关注。
[难度系数]★★☆☆☆二、高考怎么考？[原题解析] [2006年]（15）随机变量ξ的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列，若3E ξ=，则D ξ的值是 ． [2011]（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。
若将其随机地并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ） A ．45 B ．25 C ．15D ． 5 （15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。
记X 为该毕业生得到面试得公司个数。
若1(0)12P X ==，则随机变量X 的数学期望()E X =[2015]（04）（2）设袋中共有7个球，其中4个红球，3个白球. 从袋中随机取出3个球，求取出的白球比红球多的概率.[2016]（04）（2）设袋中共有8个球，其中3个白球，5个红球，从袋中随机取出3个球，求至少有1个白球的概率。
[2017]（8）已知随机变量i ξ满足i i i i P(1)p ,P(0)1p ,i 1,2ξ==ξ==-=．若12102p p <<<，则（ ） A ．1212(((()))E E D D ξξξξ<<), B ．1212(((()))E E D D ξξξξ><), C ．1212(((()))E E D D ξξξξ><), D ．1212(((()))E E D D ξξξξ>>),[附：文科试题] [2005年]（6）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码统计结果如下：A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37[2007年]（8）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）A ．0.216B ．0.36C ．0.432D ．0.648[2009年]（17）有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k ，k+1，其中k=0，1，2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10）不小于14”为A ，则P(A)= . [2010年]（17）在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG OE OF =+的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为[2011年]（8）从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（ ） A ．110 B ．310 C ．35 D ．910[2012年]（12）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为2的概率是___________。
[2013年]（12）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的机会相等），则2名都是女同学的概率等于_________.[2014年]（14）在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为 .三、不妨猜猜题？概率问题除了掌握诸如二次分布、二项分布等几个特殊分布外，本质还是排列组合问题，不管是具体的某个随机变量的概率还是分布列，主要的还是数清基本事件的个数和特殊事件的个数。
A 组1．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为,x y ．将,,5x y 的值分别作为三条线段的长，这三条线段能围成等腰三角形的概率 ．2．在一次随机试验中，事件A 发生的概率为p ，事件A 发生的次数为ξ，则期望E ξ=__________ ，方差D ξ的最大值为 __________．3．若随机变量()~,X B n p ，且52EX =， 54DX =，则()1P X ==__________．（用数字作答）4．有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率为 .5．若离散型随机变量ξ的取值分别为,m n ，且()P m n ξ==，()P n m ξ==， 38E ξ=，则22m n +的值为6．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是（ ）A ．1127 B ． 1124 C ． 1627 D ． 9247．一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（ ） A ．1481 B ．2081 C ．2281 D ．25818．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分。
若甲、乙两人射击的命中率分别为35和P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920。
假设甲、乙两人射击互不影响，则P 值为（ ） A ．35B ．45C ．34D ．149．一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和()*n n N ∈个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若()1D X =，则()E X =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4B 组1．若p 为非负实数，随机变量ξ的概率分布如下表，则E ξ的最大值为________，D ξ的最大值为________.2．已知：),(~p n B ξ，若3E D ξξ=，则P = ;若6n =，则D ξ= .3．甲袋装有4个球，1个球标0， 3个球标1；乙袋装有5个球，2个球标0，1个球标1，2个球标2。
现从甲乙两个袋子中各取一个球，则取出的标号都为0的概率为 ；若取出的两个球上标有的数码之积为ξ，则数学期望E ξ= 。
4．设随机变量()~2,X B p ，随机变量()~3,Y B p ，若()519P X ≥=， 则()E X = ;()31D Y +=_________.5．某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游戏经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通关的概率分别为111,,234（这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的得分会有影响），则此人在开启一个这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为__________，设X 表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量X 的数学期望为__________6．甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，则E(ξ)＝________．7．已知01a <<．随机变量ξ的分布列如下：（ ）A ．E(ξ)增大，D(ξ)增大B ．E(ξ)减小，D(ξ)增大C ．E(ξ)增大，D(ξ)减小D ．E(ξ)减小，D(ξ)减小 8．已知随机变量ξ满足()103P ξ==， ()1P x ξ==， ()223P x ξ==-，若203x <<，则（ ）A. ()E ξ随着x 的增大而增大， ()D ξ随着x 的增大而增大B. ()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而增大C. ()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而减小D. ()E ξ随着x 的增大而增大， ()D ξ随着x 的增大而减小 9．随机变量X 的分布列如下：若13EX =，则DX 的值是（ ） A. 19 B. 29 C. 49 D. 59古典概率解答部分：[2006年]（15）59[2011年]（9） B (15)53[2015年]（04）（2） 1335 [2016年]（04）（2） 2328[2017年]（8）A附：文科试题[2005年]（6） A [2007年]（8） D[2009年]（17）14 [2010年]（17）34[2011年]（8） D[2012年]（12） 25 [2013年]（12） 15[2014年]（14） 13不妨猜猜题 A 组 1.718 2.p ；14 3.532 4.56 5.58AACB B 组1.3,122.23；43 3.110； 34 4. 61 413126.43BCD5.。