2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：11.1-排列组合
浙江2019年高考数学一轮基础复习讲义1
浙江2019年高考数学一轮复习讲义1目录第1讲集合 (3)第2讲函数及其基本性质 (11)第3讲基本初等函数 (23)第4讲函数与方程 (35)第5讲函数模型及其应用 (43)第6讲空间几何体 (51)第7讲空间点、直线、平面之间的位置关系 (62)第8讲直线、平面平行的判定及性质 (74)第9讲直线、平面垂直的判定及性质 (86)第10讲直线与方程 (102)第11讲圆与方程 (111)第12讲任意角的三角函数和诱导公式 (122)第13讲三角函数的图形和性质 (132)第14讲平面向量基本概念、线性运算及坐标表示 (144)第15讲平面向量的数量积 (154)知识点一集合的概念1．集合一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．2．元素构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．3．空集不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.知识点二集合与元素的关系1．属于如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.2．不属于如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.知识点三集合的特性及分类1．集合元素的特性________、________、________.2．集合的分类(1)有限集：含有________元素的集合．(2)无限集：含有________元素的集合．3．常用数集及符号表示名称非负整数集(自然数集)整数集实数集符号N N*或N＋Z Q R1．列举法把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系1．子集与真子集定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集________(或________)真子集如果集合A⊆B，但存在元素________，且________，我们称集合A是集合B的真子集________(或________)2.子集的性质(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________．(3)如果A⊆B，B⊆C，则________．(4)如果A B，B C，则________．3．集合相等定义符号语言图形图言(Venn图)集合相等如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等A＝B4.集合相等的性质如果A⊆B，B⊆A，则A＝B；反之，________________________.知识点六集合的运算1．交集自然语言符号语言图形语言由________________________________________组成的集合，称为A与B的交集A∩B＝_________2．并集自然语言符号语言图形语言由__________________________________组成的集合，称为A与B的并集A∪B＝_______________3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质A∩B＝________A∪B＝________A∩A＝________A∪A＝________A∩∅＝________A∪∅＝________A⊆B⇔A∩B＝________ A⊆B⇔A∪B＝________4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________．5．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________符号语言∁U A＝________________ 图形语言例1已知集合A＝{3,4,5,6}，B＝{a}，若A∩B＝{6}，则a等于()A．3 B．4 C．5 D．6例2已知集合A＝{1,2}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0，a∈R}，若A＝B，则a的值为() A．2 B．1 C．－1 D．－2例3设全集U＝{2,3,4}，集合A＝{2,3}，则A的补集∁U A＝________.例4已知集合A＝{1,2}，B＝{1，m,3}，如果A∩B＝A，那么实数m等于()A．2 B．1 C．0 D．－1例5已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x2＋2x－8>0}，则A∪B等于() A．(2,3] B．(－∞，4)∪[－2，＋∞)C．[－2,2) D．(－∞，3]∪(4，＋∞)例6如图，I为全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S例7若集合A＝{x|1≤3x≤81}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，则A∩B等于()A．(2,4] B．[2,4]C．(－∞，0)∪(0,4] D．(－∞，－1)∪[0,4]一、选择题1．设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A．6 B．5 C．4 D．32．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－5x＋6≥0}，则下列结论中正确的是() A．A∩B＝B B．A∪B＝AC．A⊆B D．∁R A＝B3．已知集合A＝{3，a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于()A．{2,3} B．{3,4} C．{2，2,3} D．{2,3,4}4．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，P＝{x∈N|－1<x<3}，则P的补集∁U P等于() A．{4} B．{0,4} C．{3,4} D．{0,3,4}5．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则A∩(∁U B)等于()A ．{4,5}B ．{2,4,5,7}C ．{1,6}D ．{3}6．已知全集U ＝{－1,1,3}，集合A ＝{a ＋2，a 2＋2}，且∁U A ＝{－1}，则a 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．±17．已知A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则a 等于( ) A.13 B.15 C.13或15 D.13或15或0 8．已知集合A ＝{x |x 2≥16}，B ＝{m }，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4) B ．[4，＋∞)C ．[－4,4]D ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)二、填空题9．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0，x ∈N *}，则用列举法表示集合A ＝________.10．设a ，b ∈R ，集合A ＝{1，a }，B ＝{x |x (x －a )(x －b )＝0}，若A ＝B ，则a ＝________，b ＝________.11．设全集U ＝{x ∈Z |－2≤x ≤4}，A ＝{－1,0,1,2,3}，若B ⊆∁U A ，则集合B 的个数是________．12．已知集合A ＝{x |x 2－x <0}，B ＝(0，a )(a >0)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．13．已知集合A ＝{x ||x －2|<a }，B ＝{x |x 2－2x －3<0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________．答案精析知识条目排查知识点一1．确定的不同的全体2．每个对象知识点二1．属于∈2．不属于∉知识点三1．确定性互异性无序性2．(1)有限个(2)无限个3．正整数集有理数集知识点四1．一一列举出来2．共同特征知识点五1．任意一个A⊆B B⊇A x∈B x∉AA B B A2．(1)任何集合∅⊆A(2)A⊆A(3)A⊆C(4)A C3．集合B是集合A的子集(B⊆A)4．如果A＝B, 则A⊆B，且B⊆A知识点六1．属于集合A且属于集合B的所有元素{x|x∈A，且x∈B} 2．所有属于集合A或属于集合B的元素{x|x∈A，或x∈B} 3．B∩A B∪A A A∅A A B4．所有元素U5．不属于集合A∁U A{x|x∈U，且x∉A}题型分类示例例1 D例2A[∵A＝B，∴2∈B，则a＝2.]例3{4}解析 ∵全集U ＝{2,3,4}，集合A ＝{2,3}，∴∁U A ＝{4}． 例4 A [∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B . ∵A ＝{1,2}，B ＝{1，m,3}， ∴m ＝2，故选A.]例5 B [由B 中不等式变形得 (x －2)(x ＋4)>0， 解得x <－4或x >2，即B ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)． ∵A ＝[－2,3]，∴A ∪B ＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)． 故选B.]例6 C [图中的阴影部分是M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S ，故选C.]例7 A [A ＝{x |1≤3x ≤81} ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}＝{x |x 2－x >2} ＝{x |x <－1或x >2}， ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤4}＝(2,4]．] 考点专项训练1．B [∵集合A ＝{x |1≤x ≤5}，Z 为整数集， 则集合A ∩Z ＝{1,2,3,4,5}． ∴集合A ∩Z 中元素的个数是5， 故选B.]2．C [由x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2. 又集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴A ⊆B ， 故选C.] 3．D 4.C5．A [∁U B ＝{2,4,5,7}，A ∩(∁U B )＝{3,4,5}∩{2,4,5,7}＝{4,5}，故选A .] 6．A [因为全集U ＝{－1,1,3}， 集合A ＝{a ＋2，a 2＋2}，且∁U A ＝{－1}， 所以1,3是集合A 中的元素，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，a 2＋2＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝3，a 2＋2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝1，a 2＋2＝3，得a ＝－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝3，a 2＋2＝1，得a 无解， 所以a ＝－1，故选A.]7．D [A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}， ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或{3}或{5}， 若B ＝∅时，a ＝0； 若B ＝{3}，则a ＝13；若B ＝{5}，则a ＝15.故a ＝13或15或0，故选D.]8．D [∵集合A ＝{x |x 2≥16}＝{x |x ≤－4或x ≥4}， B ＝{m }，且A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴m ≤－4或m ≥4， ∴实数m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故选D.] 9．{1,2} 10．0 1解析 A ＝{1，a }，∵x (x －a )(x －b )＝0， 解得x ＝0或a 或b ， 若A ＝B ，则a ＝0，b ＝1. 11．4解析 全集U ＝{x ∈Z |－2≤x ≤4}＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，A ＝{－1,0,1,2,3}，∁U A ＝{－2,4}， ∵B ⊆∁U A ，则集合B ＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}， 因此满足条件的集合B 的个数是4. 12．[1，＋∞)解析 由x 2－x <0，解得0<x <1，∴A ＝(0,1)． ∵B ＝(0，a )(a >0)，A ⊆B ，∴a ≥1.13．[3，＋∞)解析 由|x －2|<a ，可得2－a <x <2＋a (a >0)， ∴A ＝(2－a,2＋a )(a >0)．由x 2－2x －3<0，解得－1<x <3.B ＝(－1,3)．∵B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤－1，2＋a ≥3解得a ≥3.知识点一函数的有关概念知识点二两个函数相等的条件1．定义域________．2．________完全一致．知识点三区间的概念及表示1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半开半闭区间{x|a<x≤b}半开半闭区间2.特殊区间的表示知识点四函数的表示方法函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．知识点五分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的________，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的________，值域是各段值域的________．知识点六映射的概念设A，B是两个________________，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________________，在集合B中都有________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射．知识点七函数的单调性1．增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．2．函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．3．单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则1f(x)为减(增)函数．知识点八函数的最大值、最小值性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．知识点九 函数的奇偶性 1．函数奇偶性的概念偶函数奇函数条件对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 f (－x )＝f (x )f (－x )＝－f (x ) 结论函数f (x )是偶函数函数f (x )是奇函数2.性质(1)偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反．(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．例1 函数f (x )＝ln(x －3)的定义域为( ) A ．{x |x >－3} B ．{x |x >0} C ．{x |x >3}D ．{x |x ≥3}例2 下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )图象的是( )例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2－2x ＋4，x ≤1，则f (f (3))＝________，f (x )的单调递减区间是________．例4 已知函数f (x )＝x ＋a ＋|x －a |2，g (x )＝ax ＋1，其中a >0，若f (x )与g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．例5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意的x 1<x 2都有f (x 1)>f (x 2)，求a 的取值范围．例6 已知函数f (x )＝1x －1－1x －3.(1)设g (x )＝f (x ＋2)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由； (2)求证：函数f (x )在[2,3)上是增函数．例7 已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋1＋1x －1，a ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当a <2时，证明：函数f (x )在(0,1)上单调递减．例8设函数f(x)＝1(|x－1|－a)2的定义域为D，其中a<1.(1)当a＝－3时，写出函数f(x)的单调区间(不要求证明)；(2)若对于任意的x∈[0,2]∩D，均有f(x)≥kx2成立，求实数k的取值范围．一、选择题1．函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3,0] B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]2．下列四组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝－2x3与y＝x－2xB．y＝(x)2与y＝|x|C．y＝x＋1·x－1与y＝(x＋1)(x－1)D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－13．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()4．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)等于()A．x＋1 B．2x－1C．－x＋1 D．x＋1或－x－15．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ) A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝14xD ．f ：x →y ＝16x6．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．17．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．08．偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (4)＝f (1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式x ·f (x )<0的解集为( ) A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(－1,0) C ．(－4，－1)∪(1,4)D ．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4) 二、填空题9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－12x ，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )＝a ，则实数a ＝________.10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋2是定义在[1＋a,1]上的偶函数，则f (x )>0的解集为________． 11．若关于x 的不等式x 2－4x －a ≥0在[1,3]上恒成立，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题12．已知函数f (x )＝1＋ax 2x ＋b 的图象经过点(1,3)，并且g (x )＝xf (x )是偶函数．(1)求函数中a 、b 的值；(2)判断函数g (x )在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．13．已知二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b 在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求f (x )的解析式；(2)若b >1，g (x )＝f (x )＋mx 在[2,4]上为单调函数，求实数m 的取值范围．答案精析知识条目排查 知识点一非空数集 唯一确定 从集合A 到集合B {f (x )|x ∈A } 知识点二 1．相同 2．对应关系 知识点三1．[a ，b ] (a ，b ) [a ，b ) (a ，b ] 知识点五对应关系 并集 并集 知识点六非空的集合 任意一个元素x 唯一 知识点八f (x )≤M f (x 0)＝M f (x )≥M f (x 0)＝M 题型分类示例 例1 C例2 A [当x ＝0时，有两个y 值对应，故A 不可能是函数y ＝f (x )的图象．] 例3 5 [－1，＋∞) 解析 f (3)＝log 133＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－1＋2＋4＝5， 当x ≤1时，f (x )＝－x 2－2x ＋4 ＝－(x ＋1)2＋5， 对称轴x ＝－1，f (x )在[－1，1]上递减，当x >1时，f (x )递减， ∴f (x )在[－1，＋∞)上递减． 例4 (0,1)解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >a ，a ，x ≤a ，在平面直角坐标系内分别画出0<a <1，a ＝1，a >1时，函数f (x )，g (x )的图象，由图易得当f (x )，g (x )的图象有两个交点时，有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，g (a )>a ，解得0<a <1，a 的取值范围为0<a <1.例5 解 由题意知，f (x )为减函数， ∴0<a <1且a －3<0且a 0≥(a －3)×0＋4a ， ∴0<a ≤14.例6 (1)解 ∵f (x )＝1x －1－1x －3，∴g (x )＝f (x ＋2)＝1x ＋1－1x －1，∵g (－x )＝1－x ＋1－1－x －1＝1x ＋1－1x －1＝g (x )， 又∵g (x )的定义域为{x |x ≠－1且x ≠1}， ∴y ＝g (x )是偶函数．(2)证明 设x 1，x 2∈[2,3)且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝(1x 1－1－1x 1－3)－(1x 2－1－1x 2－3)＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)(x 1－1)(x 1－3)(x 2－1)(x 2－3)，∵x 1，x 2∈[2,3)且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2－4>0，(x 1－1)(x 1－3)(x 2－1)(x 2－3)>0， 综上得f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在[2,3)上是增函数． 例7 (1)解 因为f (－x )＝－ax ＋1－x ＋1＋1－x －1＝－(ax ＋1x －1＋1x ＋1)＝－f (x )，又因为f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠－1且x ≠1}， 所以函数f (x )为奇函数．(2)证明 任取x 1，x 2∈(0,1)，设x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a (x 1－x 2)＋x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)＋x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)＝(x 1－x 2)[a －1(x 1－1)(x 2－1)－1(x 1＋1)(x 2＋1)]＝(x 1－x 2)[a －2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)]．因为0<x 1<x 2<1，所以2(x 1x 2＋1)>2,0<(x 21－1)(x 22－1)<1，所以2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)>2>a ，所以a －2(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)<0.又因为x 1－x 2<0，所以f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0,1)上单调递减．例8 解 (1)单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是[1，＋∞)． (2)当x ＝0时，不等式f (x )≥kx 2成立； 当x ≠0时，f (x )≥kx 2等价于 k ≤1[x (|x －1|－a )]2. 设h (x )＝x (|x －1|－a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x [x －(1－a )]，0＜x ≤1，x [x －(1＋a )]，1＜x ≤2. ①当a ≤－1时，h (x )在(0,2]上单调递增， 所以0<h (x )≤h (2)， 即0<h (x )≤2(1－a )．故k ≤14(1－a )2.②当－1<a <0时，h (x )在(0，1－a 2]上单调递增，在[1－a2，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，因为h (2)＝2－2a ≥(1－a )24＝h (1－a2)．即0<h (x )≤2(1－a )． 故k ≤14(1－a )2.③当0≤a ＜1时，h (x )在(0，1－a2]上单调递增， 在[1－a 2，1－a )上单调递减，在(1－a,1]上单调递减，在[1,1＋a )上单调递增，在(1＋a,2]上单调递增， 所以h (1)≤h (x )≤max{h (2)，h (1－a2)}且h (x )≠0.因为h (2)＝2－2a >(1－a )24＝h (1－a2)，所以－a ≤h (x )≤2－2a 且h (x )≠0. 当0≤a ＜23时，因为|2－2a |＞|－a |，所以k ≤14(1－a )2；当23≤a ＜1时，因为|2－2a |≤|－a |， 所以k ≤1a2，综上所述，当a <23时，k ≤14(1－a )2；当23≤a <1时，k ≤1a 2. 考点专项训练1．A [要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ≥0，x ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3.故－3<x ≤0.即函数的定义域为(－3,0]，故选A.]2．D [在A 选项中，前者的y 属于非负数，后者的y ≤0，两个函数的值域不同； 在B 选项中，前者的定义域x ≥0，后者的x ∈R ，定义域不同；在C 选项中，前者定义域为x >1，后者为x >1或x <－1，定义域不同； 在D 选项中，两个函数是同一个函数，故选D.] 3．B4．A [f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ， f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2， 即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，k 2＝1， kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1. 则f (x )＝x ＋1，故选A.] 5．A 6.B 7.C8．D [求x ·f (x )<0即等价于求函数在第二、四象限图象x 的取值范围．∵偶函数f (x )(x ∈R )满足f (4)＝f (1)＝0， ∴f (4)＝f (－1) ＝f (－4)＝f (1)＝0，且f (x )在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减与递增， 如图可知：即x ∈(1,4)时，函数图象位于第四象限， x ∈(－∞，－4)∪(－1,0)时，函数图象位于第二象限， 综上所述，x ·f (x )<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)， 故选D.] 9．－1或23解析 当a ≥0时，f (a )＝1－12a ＝a ，得a ＝23；当a <0时，1a ＝a ，解得a ＝－1或1(舍去)．∴a ＝－1或23.10．(－1,1)解析 ∵f (x )为定义在[1＋a,1]上的偶函数， ∴1＋a ＝－1，∴a ＝－2，又f (－x )＝f (x )，即ax 2－bx ＋2＝ax 2＋bx ＋2，∴2bx ＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－2x 2＋2. ∴由f (x )>0得，－2x 2＋2>0，解得－1<x <1，∴f (x )>0的解集为(－1,1)． 11．(－∞，－4]解析 若关于x 的不等式x 2－4x －a ≥0在[1,3]上恒成立， 则a ≤x 2－4x 在[1,3]上恒成立， 令f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，x ∈[1,3]， 对称轴x ＝2，开口向上， f (x )在[1,2)递减，在(2,3]递增， ∴f (x )min ＝f (2)＝－4，∴a ≤－4.12．解 (1)∵函数g (x )＝xf (x )＝x ＋ax 3x ＋b 是偶函数，则g (－x )＝g (x )．∴－x －ax 3－x ＋b ＝x ＋ax 3x ＋b 恒成立， 即x －b ＝x ＋b 恒成立，∴b ＝0. 又函数f (x )的图象经过点(1,3)， ∴f (1)＝3，即1＋a ＝3， ∴a ＝2.(2)由(1)知g (x )＝xf (x )＝2x 2＋1， g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 设x 2>x 1>1，则g (x 2)－g (x 1)＝2x 22＋1－2x 21－1＝2(x 2－x 1)(x 2＋x 1)．∵x 2>x 1>1，∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1)>0， ∴g (x 2)>g (x 1)，∴函数g (x )在区间(1，＋∞)上是增函数． 13．解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上单调递增，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ＝2，3a ＋2＋b ＝5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.②当a <0时，f (x )在[2,3]上单调递减，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝5，f (3)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ＝5，3a ＋2＋b ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以f (x )＝x 2－2x ＋2或f (x )＝－x 2＋2x ＋5. (2)因为b >1，所以f (x )＝－x 2＋2x ＋5，所以g (x )＝－x 2＋(m ＋2)x ＋5在[2,4]上为单调函数， 故m ＋22≤2或m ＋22≥4， 所以m ≤2或m ≥6.知识点一 根式 1．a 的n 次方根的定义如果________，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. 2．a 的n 次方根表示x ＝⎩⎨⎧n a ，n 为奇数，±n a ，n 为偶数.3．根式4．根式的性质(n >1，且n ∈N *) (1)n 为奇数时，na n ＝________. (2)n 为偶数时，na n＝________＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).(3)n0＝________.(4)负数没有________方根．知识点二分数指数幂正数的分数指数幂正数的正分数指数幂规定：a－mn＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1)正数的负分数指数幂规定：amn＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1)规定0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________知识点三指数幂的运算性质1．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝________(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝________(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．2．无理数指数幂的运算无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．知识点四指数函数及其性质1．指数函数的定义一般地，函数________(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中________是自变量，函数的定义域是________．2．指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域过定点________，即当x＝0时，y＝________单调性在R上是________ 在R上是________奇偶性非奇非偶函数知识点五对数的概念1．定义一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以________为底________的对数．记作________________，a 叫做对数的________，N 叫做________． 2．特殊对数⎩⎪⎨⎪⎧常用对数：以10为底数，记作lg N .自然对数：以e 为底数，记作ln N ，其中e`＝2.718 28…. 3．对数和指数的关系当a >0，a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝________. 4．对数的性质(1)负数和0没有对数．(2)log a 1＝0.(3)log a a ＝1. 知识点六 对数的运算 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0. (1)log a (M ·N )＝________________. (2)log a MN ＝________________.(3)log a M N ＝________(N ∈R )． (4)a log a N ＝N (对数恒等式)．(5)对数的换底公式：log a b ＝________________(a >0，a ≠1，b >0，c >0，c ≠1)． 特别地，log a b ·log b a ＝1(a >0，a ≠1，b >0，b ≠1)． 知识点七 对数函数及其性质 1．对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝________(a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中________是自变量，函数的定义域是________． 2．对数函数的图象及其性质a >10<a <1图象性质定义域 (0，＋∞)值域R过定点 过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0<x <1时，y <0，当x >1时，y >0当0<x <1时，y >0，当x >1时，y <0单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数知识点八 指数函数和对数函数的关系同底的指数函数与对数函数图象关于直线________对称，单调性________． 知识点九 幂函数 1．幂函数的概念一般地，函数________叫做幂函数，其中________是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象与性质幂函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象定义域 值域 奇偶性奇函数单调性在R 上是________x ∈[0，＋∞)______，x ∈(－∞，0] ______在R 上是________在[0，＋∞)上是增函数x ∈(0，＋∞)____，x ∈(－∞，0)____公共点 (1,1)例1 对任意的正实数a 及m ，n ∈Q ，下列运算正确的是( ) A ．(a m )n ＝a m ＋n B ．(a m )n ＝am n C ．(a m )n ＝a m －n D ．(a m )n ＝a mn例2 设函数f (x )＝(2e )x ，g (x )＝(e3)x ，其中e 为自然对数的底数，则( )A ．对于任意实数x 恒有f (x )≥g (x )B ．存在正实数x 0使得f (x 0)>g (x 0)C ．对于任意实数x 恒有f (x )≤g (x )D ．存在正实数x 0使得f (x 0)<g (x 0)例3 函数f (x )＝2x ＋a (a ∈R )，若函数f (x )的图象过点(3,18)，则a 的值为________． 例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(12，1)C ．(0，12)D ．(1，＋∞)例5 已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )例6 幂函数f (x )＝(m 2－m －1)23m m x+-在(0，＋∞)上为增函数，则m ＝________.例7 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝f (x )的图象与y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称，函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称．若g (m )＝－1，则m ＝________. 例8 已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． (1)若a ＝3，f (27x )＝－5，求x 的值；(2)若f (3a －1)>f (a )，求实数a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[a,2a ]上最大值是最小值的3倍，求a 的值．例9 已知定义在R 上的奇函数f (x )＝a ·3x ＋3－x ，a 为常数． (1)求a 的值；(2)用单调性定义证明f (x )在[0，＋∞)上是减函数； (3)解不等式f (x －1)＋f (2x ＋3)<0.一、选择题1．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( ) A ．幂函数 B ．对数函数 C ．指数函数D ．余弦函数2．若log 32＝a ，则log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2 B ．a －1－a 2 C ．5a －2D ．3a －2－a 23．设a ＝12log 3，b ＝(13)0.2，c ＝132，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是单调增函数的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝(12)|x |5．对a (a >0且a ≠1)取不同的值，函数y ＝log a 2x ＋1x －1的图象恒过定点P ，则P 的坐标为( ) A ．(1,0) B ．(－2,0) C ．(2,0)D ．(－1,0)6．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与函数y ＝(1－a )x 的图象可能是( )7．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(－∞，0)上单调递减，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系是( ) A ．f (b －2)＝f (a ＋1)B ．f (b －2)>f (a ＋1)C ．f (b －2)<f (a ＋1)D ．不能确定 二、填空题8．已知幂函数f (x )的图象过点(2，14)，则f (x )的单调减区间为________．9．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (2)＝________. 10．若x ＋x －1＝4，则12x ＋12x-＝________.11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (log 23)＝________.12．函数f (x )＝log 2x ·x )的最小值为________．三、解答题13．已知函数f (x )＝2x ＋k ·2－x ，k ∈R . (1)若函数f (x )为奇函数，求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，都有f (x )>2－x 成立，求实数k 的取值范围．答案精析知识条目排查 知识点一 1．x n ＝a3．根指数 被开方数 4．(1)a (2)|a | (3)0 (4)偶次 知识点二 n a m1a m n0 没有意义 知识点三1．(1)a r ＋s (2)a rs (3)a r b r 知识点四 1．y ＝a x x R2．(0，＋∞) (0,1) 1 增函数 减函数 知识点五1．a N x ＝log a N 底数 真数 3．log a N 知识点六(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)N log a M (5)log c blog c a知识点七1．log a x x (0，＋∞) 知识点八 y ＝x 相同 知识点九 1．y ＝x α x2．R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇函数 偶函数 非奇非偶 奇函数 增函数 递增 递减 增函数 递减 递减 题型分类示例 例1 D 例2 D 例3 10解析 由题意可得f (3)＝23＋a ＝18，得a ＝10.例4 B [因为a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0(a ≠1)，所以a 2＋1>2a .由log a (a 2＋1)<log a 2a 知，0<a <1.又log a 2a <0＝log a 1，所以2a >1⇒a >12. 综上所述，12<a <1.故选B.] 例5 B [∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg ab ＝0，即ab ＝1.A 项，∵g (x )的定义域为{x |x >0}，∴A 错误；B 项，由图象知指数函数单调递增，∴a >1，此时g (x )单调递增，满足条件；C 项，由图象知指数函数单调递减，∴0<a <1，此时g (x )单调递减，不满足条件；D 项，由图象知指数函数单调递增，∴a >1，此时g (x )单调递增，不满足条件．故答案为B.]例6 2解析 由题意知m 2－m －1＝1，解得m ＝2或－1，当m ＝－1时，幂函数f (x )＝x －3在(0，＋∞)上为减函数，不合题意，舍去；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3在(0，＋∞)上为增函数，满足题意，∴m ＝2.例7 －1e解析 由题意，得f (x )＝ln x .由于函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，可得g (x )＝f (－x )＝ln(－x )，g (m )＝－1，即ln(－m )＝－1，解得m ＝－e －1＝－1e. 例8 解 (1)f (27x )＝log 3(27x)＝－5， ∴27x ＝3－5，∴x ＝273－5＝333－5＝38. (2)①若a >1，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴3a －1>a >1，解得a >1；②若0<a <1，则f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴0<3a －1<a ，解得13<a <12. 综上，a 的取值范围是(13，12)∪(1，＋∞)． (3)由题意知，当0<a <1时，log a a ＝3log a 2a ，解得a ＝24； 当a >1时，log a 2a ＝3log a a ，解得a ＝ 2.∴a ＝24或 2. 例9 解 (1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即a ＋1＝0，解得a ＝－1.(2)f (x )＝－3x ＋3－x ，设x 1>x 2≥0，则f (x 1)－f (x 2)＝3x 2－3x 1＋3－x 1－3－x 2，∵x 1>x 2≥0，∴－x 1<－x 2，∴3x 2<3x 1，3－x 1<3－x 2，即3x 2－3x 1<0,3－x 1－3－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)＝3x 2－3x 1＋3－x 1－3－x 2<0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．(3)∵f (x )是奇函数且在[0，＋∞)上单调递减，∴f (x )在R 上是减函数．∵f (x －1)＋f (2x ＋3)<0，∴f (2x ＋3)<－f (x －1)＝f (1－x )，∴2x ＋3>1－x ，解得x >－23. 考点专项训练1．C2．A [log 38－2log 36＝log 323－2(1＋log 32)＝3a －2－2a ＝a －2.]3．A [∵a ＝12log 3<12log 1＝0，0<b ＝(13)0.2<(13)0＝1， c ＝122>20＝1，∴c >b >a .]4．B [对于A ，y ＝1x为定义域上的奇函数，不满足题意； 对于B ，y ＝|x |－1是定义域R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是单调增函数，满足题意； 对于C ，y ＝lg x 是非奇非偶的函数，不满足题意；对于D ，y ＝(12)|x |是定义域上的偶函数，但在(0，＋∞)上单调递减，不满足题意． 故选B.]5．B 6.C7．C [由题意知f (－x )＝f (x )，即log a |－x ＋b |＝log a |x ＋b |，得b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，再根据f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递减，可得a >1，∴a ＋1>2－b ＝2，由偶函数的性质可得，f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，∴f (a ＋1)>f (2－b )．]8．(0，＋∞)解析 设幂函数f (x )＝x α(α为常数)，由题意可得，14＝2α，解得α＝－2，∴f (x )＝1x 2，则f (x )的单调减区间为(0，＋∞)．9．－1解析 由题意可知，f (x )＝log a x ，∵f (x )的图象过点(a ，a )，∴a ＝log a a ，解得a ＝12，∴f (2)＝12log 2＝－1. 10. 6解析 (12x ＋12x -)2＝x ＋2＋x －1＝6， 由题意知，12x >0，12x ->0. ∴12x ＋12x -＝ 6.11.124解析 ∵1<log 23<2，∴f (log 23)＝f (log 23＋3)又log 23＋3>4，∴f (log 23)＝2log 331()2＋ ＝18×13＝124. 12．－14解析 f (x )＝12log 2x ·2log 2(2x ) ＝log 2x (1＋log 2x )，设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可化为y ＝t (t ＋1)＝(t ＋12)2－14，t ∈R ， 故该函数的最小值为－14. 13．解 (1)因为f (x )＝2x ＋k ·2－x 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即2－x ＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x )，所以(1＋k )2x ＋(k ＋1)2－x ＝0对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－1.(2)因为对x ∈[0，＋∞)均有f (x )>2－x,即2x ＋k ·2－x >2－x 成立，所以1－k <22x 对x ≥0恒成立，所以1－k <(22x )min (x ≥0)，又y ＝22x 在[0，＋∞)上单调递增，所以(22x )min ＝1，所以k >0.知识点一 函数的零点1．定义对于函数y ＝f (x )，使________________叫做函数y ＝f (x )的零点．2．几何意义函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的________，就是函数y ＝f (x )的零点．知识点二 函数的零点与方程的根的关系方程f (x )＝0有________⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有________⇔函数y ＝f (x )有________． 知识点三 函数零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )________，那么y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )________，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．例1 函数f (x )＝x 2－|x |－6，则f (x )的零点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1例2 已知实数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m ，若函数g (x )＝f (x )－x 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．例4 已知关于x 的方程2kx 2－2x －3k －2＝0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，求实数k 的取值范围．例5 已知函数f (x )＝1x －a －1x －b (a ，b 为实常数且a <b )．设集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，N ＝{(x ，y )|y ＝λ(x －a ＋b 2)2，λ∈R }．若M ∩N ＝∅，求λ的取值范围．一、选择题1．方程(13)x ＝12x 有解x 0，x 0所在区间是( ) A ．(2,3)B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(－1,0) 2．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)3．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数f (x )＝(x －1)(x －2)＋(x －2)(x －3)＋(x －3)(x －1)，则函数f (x )的两个零点分别位于区间( )A ．(1,2)和(2,3)内B ．(－∞，1)和(1,2)内C ．(2,3)和(3，＋∞)内D ．(－∞，1)和(3，＋∞)内5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}6．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b7．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(0,1)D ．(1,2)二、填空题8．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．9．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点个数是________． 10．函数f (x )＝|x |＋k 有两个零点，则k 的取值范围是________．三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝log n (mx ＋1)的零点．12．若函数F (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．答案精析知识条目排查知识点一1．f (x )＝0的实数x2．横坐标知识点二实数根 交点 零点知识点三<0 ＝0题型分类示例例1 C [x >0时，x 2－x －6＝0，解得x ＝－2或3，∴x ＝3；当x <0时，x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或－3，∴x ＝－3；∴f (x )的零点个数为2.]例2 B [∵实数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，∴a ＝log 23>1,0<b ＝log 32<1，∵函数f (x )＝a x ＋x －b ，∴f (x )＝(log 23)x ＋x －log 32单调递增，∵f (0)＝1－log 32>0，f (－1)＝log 32－1－log 32＝－1<0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间为(－1,0)．] 例3 [－1,2)解析 由题意可得函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m ， 若它的图象和直线y ＝x 有3个不同的交点，即直线y ＝x 和直线y ＝2有交点，且y ＝x 2＋4x ＋2的图象和直线y ＝x 有两个交点，即必须使函数y ＝2－x 有零点，并且函数y ＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)有两个零点，从而得到m <2并且m ≥－1.故答案为[－1,2)．例4 解 令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，则由根的分布知函数f (x )的图象如图所示．对应的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f (1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f (1)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，2k －2－3k －2<0 或⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，2k －2－3k －2>0， 解得k >0或k <－4.故k 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．例5 解 因为M ∩N ＝∅，所以函数y ＝f (x )与y ＝λ(x －a ＋b 2)2的图象无公共点， 即方程1x －a －1x －b＝λ(x －a ＋b 2)2无实数根， 也即方程a －b ＝λ(x －a )(x －b )(x －a ＋b 2)2(x ≠a 且x ≠b )(*)无实数解． ①当λ＝0时，(*)无解，显然符合题意．②当λ≠0时，令y ＝(x －a )(x －b )(x －a ＋b 2)2， 变形得y ＝[(x －a ＋b 2)2－(a －b )24](x －a ＋b 2)2. 又令t ＝(x －a ＋b 2)2，得 y ＝t [t －(a －b )24] ＝[t －(a －b )28]2－(a －b )464. 于是当t ＝(a －b )28， 即x ＝a ＋b 2±2(a －b )4时，有y min ＝－(a －b )464. 所以，要使(*)无实数解，只要a －b λ<－(a －b )464， 解得0<λ<64(b －a )3. 综上可得0≤λ<64(b －a )3. 考点专项训练1．C [令f (x )＝(13)x －12x ， ∵f (0)＝1>0，f (1)＝－23<0， ∴f (0)f (1)<0，∴方程(13)x ＝12x 的解所在区间为(0,1)．] 2．B 3.B4．A [∵f (1)＝2>0，f (2)＝－1<0，f (3)＝2>0，∴f (1)·f (2)<0，f (2)·f (3)<0，则f (x )的两个零点分别位于区间(1,2)和(2,3)内．]5．D [当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0，得x 1＝3，x 2＝1. 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )，∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x .令g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0，得x 3＝－2－7，x 4＝－2＋7>0(舍)，∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}，故选D.]6．B [由于f (－1)＝12－1＝－12<0， f (0)＝1>0，且f (x )为R 上的递增函数．故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0)；∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2；∵h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0， 且h (x )为(0，＋∞)上的增函数，∴h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b .]7．A [设函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点， 由图象可知当0<a <1时两函数只有一个交点，不符合条件． 当a >1时，∵函数y ＝a x (a >0)的图象过点(0,1)， 而直线y ＝x ＋a 所过的点(0，a )， 此点一定在点(0,1)的上方，∴一定有两个交点，∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)， 故选A.] 8．0或－12解析 由题意知，f (2)＝0，即b ＝－2a ， ∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)＝0， ∴x ＝0或－12.9．210．(－∞，0) 解析在同一平面直角坐标系中画出y 1＝|x |与y 2＝－k 的图象，如图所示： 若f (x )有两个零点，必有－k >0，即k <0.11．解 由题可知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2， 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两个根，可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2，所以函数y ＝log n (mx ＋1)的解析式为y ＝log 2(－2x ＋1)． 则log 2(－2x ＋1)＝0，解得x ＝0. 所以函数y ＝log 2(－2x ＋1)的零点为0. 12．解若F (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点， 即方程|4x －x 2|＋a ＝0有四个根， 即|4x －x 2|＝－a 有四个根． 令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a . 则作出g (x )的图象，由图象可知要使|4x －x 2|＝－a 有四个根， 则需g (x )的图象与h (x )的图象有四个交点， ∴0<－a <4，即－4<a <0， 故a 的取值范围为(－4,0)．知识点一三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调________单调________单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与________平行随x的增大逐渐表现为与________平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x 知识点二几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b (a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b (k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝ax n＋b (a，b为常数，a≠0)。
2019版高考数学(5年高考+3年模拟)B版精品课件浙江专用 11.1 排列、组合
3.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4 个人,每人2张,不同的获奖情况有 答案 60 解析 不同的获奖情况可分为以下两类:
2 C3 A2 (1)有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有 4 =36种获奖情况.
种.(用数字填写答案)
C1 C2 =4种选法;②1女2男:有 2 4 =12种选法,故至少有1位女生入选的选法有4+12=16种. C3 C3 解法二:从2位女生,4位男生中选3人有 6 =20种选法,其中选出的3人都是男生的选法有 4 =4种,
所以至少有1位女生入选的选法有20-4=16种.
1.(2017课标全国Ⅱ理,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完 成,则不同的安排方式共有 ( A.12种 B.18种 C.24种 ) D.36种
答案 D 本题主要考查排列、组合.
C2 第一步:将4项工作分成3组,共有 4 种分法. C2 A3 A3 第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有 4· 3 种分配方法,故共有 3 =36种安排方式,故选D.
方法总结 分组、分配问题 分组、分配问题是排列组合的综合问题,解题思想是先分组后分配. (1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种:
①完全均匀分组,每组元素的个数都相等;
②部分均匀分组,应注意不要重复; ③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种: ①相同元素的分配问题,常用“挡板法”; ②不同元素的分配问题,利用分步乘法计数原理,先分组,后分配; ③有限制条件的分配问题,采用分类法求解.
n n2.
2
2
浙江高考数学一轮复习第十章计数原理10.2排列与组合讲义含解析
§10.2排列与组合最新考纲考情考向分析以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问1.了解排列、组合的概念.2.会用排列数公式、组合数公式解决题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题 简单的实际问题.的能力，题型以选择、填空题为主，难度为中档.1.排列与组合的概念名称 排列 定义按照一定的顺序排成一列合成一组从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素组合2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个 不同元素中取出m 个元素的排列数，用A n(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用C n m表示.m表示.3.排列数、组合数的公式及性质n ！(1)A n ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)＝mn －m ！公式A A m ＝n n －1n －2…n －m ＋1＝ n ！ (2)C n m ＝ nmm m ！ m ！n －m ！(3)0！＝1；A n n ＝n ！性质(4)C n ＝C n m n －m；C mn ＋1＝C nm ＋C n m －1概念方法微思考1.排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？提示(1)排列数与组合数之间的联系为C n m A m＝A n m . m(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.3.解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(√)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(√)(5)若组合式C n x ＝C n，则x＝m成立.(×)m(6)kC k ＝nC k－1 .(√)n－1n题组二教材改编2.[P27A组T7]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24答案D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A4＝4×3×2＝24.33.[P19例4]用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120答案C解析末位数字排法有A2 1 种，其他位置排法有A4种，3共有A 1 A 3 ＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.42题组三易错自纠4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A.192种C.240种答案BB.216种D.288种解析第一类：甲在最左端，有A 5 ＝5×4×3×2×1＝120(种)排法； 5 第二类：乙在最左端，甲不在最右端， 有4A ＝4×4×3×2×1＝96(种)排法. 44所以共有120＋96＝216(种)排法.5.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每 个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为( A.180B.240C.540D.630 )答案C解析依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有C 4 C 1 C 1 1 ·A 3＝ 36 2A 2 2 90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C 6 3 C 2 C 1 1 A 3 ＝360(种)；③3 3 每个国家各派2名，有C 2 C A 2 C 22 ·A 3＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540. 36 43 3 6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A ，B ，C ，D ， E 五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己 车票相符座位的坐法有______种.(用数字作答) 答案45解析设5名同学也用A ，B ，C ，D ，E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设 E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC ，BDAC ，BCDA ，CADB ， CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA ，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法 有9×5＝45(种).题型一排列问题1.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复 数字的五位数，共有( A.96个 )B.78个 D.64个C.72个 答案B解析根据题意知，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A 4＝24(个)；当首位是2，4， 5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A 4－A 3)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.故选B.4 4 3 2.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了 ________条毕业留言.(用数字作答)答案1560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 2＝40×39＝1560(条)留言.403.6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不 同站法. 答案480解析方法一(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4 人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A 5种站法；2第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A 4种站法. 4由分步乘法计数原理可知，共有A 2 A 4 ＝480(种)不同的站法. 5 4方法二(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人 的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A 4种站法；1第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A 5种站法. 5由分步乘法计数原理可知，共有A 1 A 5 ＝480(种)不同的站法. 4 5思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时 一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过 多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件 的排列问题的常用方法. 题型二组合问题例1男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下 列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)队长中至少有1人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员. 解(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有C 6 3 种选法； 第二步，选2名女运动员，有C 4 2 种选法.由分步乘法计数原理可得，共有C 3 ·C 4 2 ＝120(种)选法. 6(2)方法一“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法共有C 4 1 C 4 ＋C 4 2 C 3 ＋C 4 3 C 2 ＋C 4 4 C 1＝246(种). 6 6 6 6方法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解. 从10人中任选5人有C5 5 种选法，其中全是男运动员的选法有C6 10种.所以“至少有1名女运动员”的选法有C 510－C 6 5 ＝246(种). (3)方法一(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为C 4 ； ； 8 “只有女队长”的选法种数为C 4 8“男、女队长都入选”的选法种数为C 8所以共有2C 8＋C 8方法二(间接法)从10人中任选5人有C3 ，4 3 ＝196(种)选法.5种选法，10其中不选队长的方法有C 8 (4)当有女队长时，其他人任意选，共有C 9 选法，其中不含女运动员的选法有C 5种，所以不选女队长时的选法共有(C 8 5 种.所以“至少有1名队长”的选法有C 5 －C 8 5 ＝196(种). 104 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C 8种 44 4 －C5 4 )种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C ＋C 8－C 5＝191(种). 4 4 4 9思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元 素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至 多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，当用直接法分类 复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.跟踪训练1某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中 选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C ＝561种取法， 2 34∴某一种假货必须在内的不同取法有561种. (2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C 3 35 －C 2 34 ＝C 334＝5984种取法. ＝2100种取法. ∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种. (3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C ∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.1 C20215(4)选取2种假货有C 2555(种).1 C 202 种，选取3种假货有C 153 种，共有选取方式C 15 1 C 20 2 ＋C 15 3＝2100＋455＝15∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种. (5)方法一(间接法)选取3种商品的总数为C 3 ，选取3种假货有C353种，因此共有选取方式15C 3 －C 353 ＝6545－455＝6090(种). 15∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种. 方法二(直接法)选取0种假货有C 3 种，选取1种假货有C 201 C 152 种，选取2种假货有C 202 C 1 种， 2015因此共有选取方式C 3＋C 202 C 1511 ＋CC 15 2＝6090(种).2020 ∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种. 题型三排列与组合的综合问题命题点1相邻问题例23名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( )A.2B.9C.72D.36 答案C解析可分两步完成：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A 2种排法；第二步，3名女生排在一起有A 3 排法，3名男生排在一起有A 3种排法，故排法种数为A 2命题点2相间问题例3某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则 2 3种32 A3 A 3＝72. 3 3同类节目不相邻的排法种数是( A.72B.120C.144D.168 答案B)解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序 有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”. 对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A 22 C 1 A 2＝36(种)安排方法；3 3同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A 2 A 3＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方 2 4法.命题点3特殊元素(位置)问题例4(2018·浙江省金华名校统练)某公司安排五名大学生从事A ，B ，C ，D 四项工作，每项工 作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A 项工作仅安排一人，甲同学不能从事B 项工作， 则不同的分配方案的种数为( A.96B.120C.132D.240 答案C)解析当甲选A 时，共有C 42 C 1 A 2 ＝36(种)分配方案；当甲不选A 时，若B 安排两人，共有C 4 1 C 2 A 22 3 23＝24(种)分配方案，若C 或D 安排两人，共有C 4 1 C 1 C 2 A 2＝72(种)分配方案.所以一共有36＋24 3 3 2＋72＝132(种)分配方案.思维升华解排列、组合问题要遵循的两个原则 ①按元素(位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满 足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).跟踪训练2(1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相 邻，则不同的摆法有________种. 答案36解析将产品A 与B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A 2A 4种方法，将产2 4品A ，B ，C 捆绑在一起，且A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A 2 2 3A 3种方法.于是符合题意的摆法共有A 2 2 A 4 －A 2 2 A 3 ＝36(种). 4 3(2)(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4 人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法.(用数字作答) 答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C 2然后排队长、副队长位置，有A 4种方法.由分步乘法计数原理知，共有C 2 有2名女生时，再选2名男生，有C 6 1种方法；再选3名男生，有C 6 3 种方法；2 1 C3 A2 ＝480(种)选法. 6 42 种方法；然后排队长、副队长位置，有A 4种方法.由分 2步乘法计数原理知，共有C 6 2 A 2 ＝180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180 4＝660(种)不同的选法.方法二不考虑限制条件，共有A 而没有女生的选法有A 6C 4 故至少有1名女生的选法有A 2 C 6 2 种不同的选法， 82 2种，2 C 2 －A 6 2 C 2＝840－180＝660(种). 8 6 41.“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China 又可以简写为CN ，从“CNDream” 中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )A.360种B.480种C.600种D.720种 答案C解析从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有C 54 A5 ＝600种，故选C.52.(2018·浙江省十校联盟高考适应性考试)某国际会议在杭州举行，为做好服务工作，若将 4名志愿者分配到主会场附近的3个路口维持交通，每个路口至少安排1名志愿者，则不同 的分配方案种数为( A.12B.36C.72D.108 答案B)解析由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成：第一步，从4名志愿 者中选出2名志愿者作为一组，其余2名志愿者各自为一组，共有C 4述三组与3个路口对应，共有A 3种分配方案.故不同的分配方案种数为C 4 2种选法；第二步，将上32 A3 ＝36.故选B. 33.(2018·浙江省镇海中学模拟)甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只 去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( )A.18种B.12种C.36种D.24种 答案D解析①甲单独一人时，则甲只能去B ，C 两个景点中的一个，其余三人分为两组，然后分别去剩余的两个景点，则有C 2 1 C 2 A 2＝12(种)；②甲与另外一人为一组，去B ，C 两个景点中的一 3 2 个，其余两人分别各去一个景点，则有C 3 1 C 1 A 2 ＝12(种).由分类加法计数原理可得总的方案为 2 224种，故选D.4.(2018·杭州七校联考)一个盒中装有黑、白、红三种颜色的卡片共10张，其中黑色卡片3 张.已知从盒中任意摸出2张卡片，摸出的2张卡片中至少有1张是白色的情况有35种，则 盒中红色卡片的张数为( A.1B.2C.3D.4 )答案B2 2解析设盒中白色卡片有x 张，则C －C ＝35，10 10－x ∴x 2－19x ＋70＝0，∴x＝5或x ＝14(舍去)，∴红色卡片的张数为10－3－5＝2.故选B. 5.(2019·台州质检)有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间， 与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是( )A.144B.216C.288D.432 答案D解析第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有C 3 1 C 1 A 2 ＝18(种) 3 2 排法；第二步剩余的学生全排列，共有A 4 4 ＝24(种)排法，根据分步乘法计数原理得排法共有18×24＝432(种)，故选D.6.(2018·浙江联盟校联考)近年来，随着高考制度的改革，高考分数不再是高校录取的唯一标准，自主招生、“三位一体”综合评价招生的出现，使得学生的选择越来越多.2018年有3 所高校欲通过“三位一体”综合评价招生共招收24名高三学生，若每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同，则不同的招生方法种数是(A.252B.253C.222D.223)答案C解析采用隔板法，在24名学生排列所形成的23个间隔中，任插入2个隔板，分成三组，共有C 2 ＝253种，其中三组人数都相同的情况是(8，8，8)，1种；有两组人数相同的人数组23合情况是(1，1，22)，(2，2，20)，(3，3，18)，(4，4，16)，(5，5，14)，(6，6，12)，(7，7，10)，(9，9，6)，(10，10，4)，(11，11，2)，则有两组人数相同的情况共有10×3＝30种.所以每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同的招生方法有253－1－30＝222 种.故选C.7.(2018·浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案1260解析不含有0的四位数有C 含有0的四位数有C5×C3×C3 2 ×C3 2 ×A4 4 ＝720(个). 52 1 1 ×A3 3 ＝540(个).综上，四位数的个数为720＋540＝1260.8.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)答案60解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A4种分法；3第二类：3张中奖奖券分给2个人，相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C 2 A 2 种分法.3 4总获奖情况共有A4 3 ＋C3 2 A 2 ＝60(种).49.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种.(用数字作答)答案120解析先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有C6 1 A 2 ＝12(种)，把这三个2人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有C5 1 A 2 ＝10(种)，故不同的发言2顺序共有12×10＝120(种).10.用数字0，1，2，3，4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个.答案240解析由题意知本题是一个分步计数问题，从1，2，3，4四个数中选取一个有四种选法，接 着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A 5＝60(个)，根据分步乘法计数原理知，3有60×4＝240(个). 11.(2018·温州普通高中高考适应性测试)学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科 目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物 最多上一节，则不同的功课安排有______种情况. 答案336解析当语文和数学都安排在上午时，不同的功课安排有A 2 2 A 4 3 种情况；当语文和数学有一科 安排在上午，一科安排在下午时，不同的功课安排有C 4 2 C 1 A 3 C 1 A 2 2 种情况，所以不同的功课安排 2 3 2 一共有A 2 2 A 3 ＋C 4 2 C 1 A 3 C 1 A 2 ＝336(种)情况. 4 2 3 2 212.某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同 一房间，则共有________种不同的安排方法.(用数字作答) 答案114解析5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，当为(3，1，1)时，有C 5 3 ·A 3 3 ＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 3 1 ·A 3 3 ＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当 为(2，2，1)时，有C 2 2·A 3 ＝90(种)，A ，B 住同一房间有C 3 53 2 3·A 3＝18(种)，故有90－18＝72(种)，根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种).13.7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人， 后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( )A.120B.240C.360D.480 答案C解析前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C 4插入的2人不相邻，有A 5种方法；若相邻，有C 5A 2种，故共有C 4选C.1 C 3 1种方法，对于后排，若2 1 21 C 1 (A 52 1 ＋C 5 A 2)＝360(种)，故 3214.设三位数n ＝abc ，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这 样的三位数n 有多少个？解a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a ，b ，c∈{1，2，3，…，9}.①若 构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n 1，由于三位数中三个数字都相同，所以n 1＝C 9＝19；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n 2，由于三位数中只有2个不同 数字，设为a ，b ，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a ，b)共有2C 9 2 组，但当大数为底时，设a>b ，必须满足b<a<2b ，此时，不能构成三角形的数字是 a b9 8 7 6 5 4 3 12 14，3，2，14，3，2，13，2，13，2，11，21，2共20种情况.同时，每个数组(a ，b)中的两个数字填上三个数位，有C 3 2 种情况，故n 2＝C 2 (2C 9 2 －20)＝156. 3综上，n ＝n 1＋n 2＝165.15.设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5，6，7}， 那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋…＋|x 7|≤4”的元素个数为( )A.938B.900C.1200D.1300 答案A解析A 中元素为有序数组(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7)，题中要求有序数组的7个数中仅有1个±1，仅有2个±1，仅有3个±1或仅有4个±1，所以共有C 7×2＋C 7 ＋C 7 ＋C 7×244 1 2 ×2 2 3 ×23＝938(个).16.(2018·浙江教育绿色评价联盟高考适应性考试)有7个球，其中红色球2个(同色不加区 分)，白色，黄色，蓝色，紫色，灰色球各1个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2 个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有______种不同的排法(用数字回答). 答案408解析不考虑白色球排列限制，先不排黄色球和红色球，其他球任意排列共有A 44种排法，再将2个红色球(排一起)和黄色球插入5个空隙中，有A 5种排法，即此时排法共有A 424 A 25＝480(种)，而最左边排白色球的排法共有A 3 3A 24＝72(种)，故符合条件的排法共有480－72＝ 408(种).11。
高考数学一轮总复习 第十章 排列与组合
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
(1)从中任取4张，共有________种不同取法；
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
• 拓直展接提法高 求把解符排合列条应件用的问排题列的数主直要接方列法式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
故共有 C16C25C33＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题． 由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑 再分配，共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题． 先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不 妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步 取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，
拓展提高 组合问题常有以下两类题型：
法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人， 拓展提高 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还
是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；
正难则有反、A等价26种转化排的方法法 ，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)．
• 思路点拨 要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、 “至多”．
[解] (1)共有 C318＝816(种)． (2)共有 C518＝8 568(种)． (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C318＝6 936(种)． (4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是 外科医生的选法种数，得 C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．
高考数学一轮复习第11章第2节排列组合课件理
二、走进教材
2．(选修 2－3P18 例 3 改编)从 4 本不同的课外读物中，买 3 本送给 3 名同学，每人 各 1 本，则不同的送法种数是( )
A．12
B．24
C．64
D．81
答案：B
3．(选修 2－3P26 知识改编)计算 C37＋C47＋C58＋C69的值为________(用数字作答)． 答案：210
►名师点津
直接法 优先法 捆绑法
求解排列应用问题的 6 种主要方法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先安排特殊元素或特殊位置
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元 素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元 素插在前面元素排列的空中
定序问题除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的
2．组合与组合数 (1)组合 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个 4 ___组__合__． (2)组合数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的 5 _组__合__数____，记作 6 ___C_nm___．
►常用结论 (1)Cmn ＝Cnn－m：从 n 个不同元素中取出 m 个元素的方法数等于取出剩余 n－m 个元素 的方法数． (2)Cmn ＋Cmn －1＝Cmn＋1：从 n＋1 个不同元素中取出 m 个元素可分以下两种情况：①不 含特殊元素 A 有 Cmn 种方法；②含特殊元素 A 有 Cmn －1种方法．
(3)从 20 种真货中选取 1 种，从 15 种假货中选取 2 种有 C120C215＝2 100(种)取法． 所以恰有 2 种假货在内的不同取法有 2 100 种． (4)选取 2 种假货有 C120C215种，选取 3 种假货有 C315种， 选取方式共有 C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)． 所以至少有 2 种假货在内的不同取法有 2 555 种．
2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：11.2 二项式定理
3.(2017 课标全国Ⅰ理,6,5 分)
(1+x)6 展开式中 x2 的系数为( )
A.15 B.20 C.30 D.35
答案 C
4.(2016 四川,2,5 分)设 i 为虚数单位,则(x+i)6 的展开式中含 x4 的项为( )
A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4
答案 A
8.(2017 浙江名校(绍兴一中)交流卷一,13)(1+x+x2)·
的展开式中的各项系数和是
;常数项
的值为
.
答案 0;-5 9.(2017 浙江名校(衢州二中)交流卷五,13)在(4-3x)n 的展开式中,各项系数的和为
第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则展开式中所有偶数项的二项式系数之和为
的展开式中各项系数的和为 32,则展开式中系数最大的
4.(2017 浙江温州 2 月模拟,6)若二项式
为( ) A.1 B.5 C.10 答案 B
D.20
的展开式中各项系数和为 32,则该展开式中含 x 项的系数
二、填空题
5.(2018 浙江“七彩阳光”联盟期初联考,11)
(1+x)6 的展开式中 x3 的系数为
方法 3 二项式定理综合应用的解题策略
4.若 n∈N*,n<100,且二项式
的展开式中存在常数项,求所有满足条件的 n 的值的和.
解析 展开式的通项为 Tk+1= (x3)n-k = x3n-5k,∵展开式中存在常数项,∴3n-5k=0(k=0,1,2,…,n)有解,
∴n 为 5 的倍数,又 n∈N*,n<100,∴n=5,10,15,…,95,故所有 n 的值的和为
高考数学一轮总复习课件：排列与组合
其余 6 人有 A66种方法，故共有 5×A66＝3 600(种)．
方法二：排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的 6 个 人中选 2 个排列，有 A26种方法，中间 5 个位置由余下 4 人和甲进 行全排列，有 A55种方法，共有 A26×A55＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全 排列，有 A44种方法，再将 4 名女生进行全排列，也有 A44种方法， 故共有 A44×A44＝576(种)．
再除以定序元素的全排列 正难则反，等价转化的方法
思考题 1 (1)(2019·上海春季高考题)某校组队参加辩 论赛，从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩，若其 中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 ___1_8_0___(结果用数值表示)．
【解析】 先安排甲，有 3 种情况，再从剩下的 5 名学生中选 3 人排列，有 A35种情况，
∴共有 3A35＝180 种方法．
(2)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，
其中程序 A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时
必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( C )
A．34 种
B．48 种
C．96 种
D．144 种
【解析】 程序 A 有 A12＝2(种)，将程序 B 和 C 看作一个整体 与除 A 外的元素排列，有 A22A44＝48(种)，所以由分步乘法计数原理， 实验顺序的编排方法共有 2×48＝96(种)．故选 C.
(5)分三步进行： 第一步：选 1 男 1 女分别担任两个职务为 C17C15种； 第二步：选 2 男 1 女补足 5 人有 C26C14种； 第三步：为这 3 人安排工作有 A33种． 由分步乘法计数原理共有 C17C15C26C14A33＝12 600 种选法． 【答案】 (1)120 (2)252 (3)672 (4)596 (5)12 600
2019版高考数学浙江版一轮配套课件：§11-1 排列、组
方法技巧
方法 1 个基本原理的应用的解题策略
如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事,则选用分类加法 计数原理,即类与类之间是相互独立的,即“分类完成”.如果只有各个 步骤都做完,这件事才能完成,则选用分步乘法计数原理,即步与步之间 是相互依存的、连续的,即“分步完成”. 无论分类加法计数原理,还是分步乘法计数原理,都要选择合理的分 类排列、组合及其应用的解题策略
求解排列、组合问题的思路:“排组分清,加乘明确;有序排列,无序组 合;分类相加,分步相乘”. 1.简单问题直接法:把符合条件的排列数或组合数直接列式计算. 2.相邻问题捆绑法:在特定条件下,将几个相关元素当作一个元素来考 虑,待整个问题排好之后再考虑它们“内部”的排列.它主要用于解决 相邻和不相邻问题. 3.相间问题插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之
解法三(排除法): -3 =241 920(种). A9 A8 9 8 (2)(特殊优先)先排甲、乙有 种,再排其余的人有 种, A2 A7 2 7
7 ∴共有 =10 080(种). A2 A 2 7
(3)(捆绑法)男、女分别捆绑成两组有 种排法,男、女在本组内分别各 A2 2
5 有 及 种排法,故不同的站法数为 4 =5 760(种). A5 A4 A2 5 4 2 A4 A5
Am m n C n = (3)计算公式: m =⑤ Am
C
m n
表示.
n(n 1)(n m 1) m(m 1)1
=
n! .由于0!=1,所 m!(n m)!
以 =1. C0 n 5.组合数的性质 (1) =⑥ Cm n
C
n m n
1 ;(2) = + . Cm Cm Cm n n n1
2019届浙江省新高考数学一轮复习讲练测：排列与组合
2019届浙江省新高考数学一轮复习讲练测：排列与组合讲知识【考纲解读】【知识清单】1. 排列与组合1. 排列的相关概念及排列数公式(1)排列的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用mn A 表示．(3)排列数公式：()()()121m n A n n n n m =---+这里,n m N ∈æ并且m n ≤(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，()()1221!n n A n n n n =--⋅⋅=(叫做n 的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为()!!mnn A n m =-，这里规定0!1=.2．组合的相关概念及组合数公式(1)组合的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示．(3)组合数的计算公式：()()()()121!!!!mmnnm m n n n n m A n C A m m n m ---+===-，由于0!1=，所以01n C =.(4)组合数的性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -+=+；③11r r n n rC nC --=.3.区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．4.解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．5.要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．【重点难点突破】考点1 排列与组合【1-1】【2018年理新课标I 卷】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16【1-2】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】某校的A 、B 、C 、D 四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B 不选修同一门课，则不同的选法有（ ）A. 36种B. 72种C. 30种D. 66种 【答案】C【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有246C =种选法，减去A B 、在同一组还有5种选法，再选3门课程有33A 种选法，利用分步计数原理有33530A =种不同选法.选C.【1-3】【2018年浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260【领悟技法】1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 2. 解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．3. 有条件的排列问题大致分四种类型．(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数． (2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列． (3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)． (4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误． 【触类旁通】【变式一】【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列33A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336C A ⨯=种方法. 故选D.【变式二】【2017浙江卷16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答） 【答案】660【变式三】【河南省2018年高考一模】2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中班、班，班、班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学乘同一辆车的4名同学不考虑位置，其中班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有A． 18种 B． 24种 C． 48种 D． 36种【答案】B【解析】由题意，第一类，一班的名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为，故有种；第二类，一班的名同学不在甲车上，则从剩下的个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为，这时共有种，根据分类计数原理得，共有种不同的乘车方式故选考点2 有附加条件的排列组合问题（1）相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【2-1】,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种【答案】D【解析】把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种，答案：D.（2）相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【2-2】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 【答案】B【解析】除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .（3） 定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【2-3】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种 【答案】B【解析】B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . （4） 标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【2-4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 【答案】B【解析】先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .（5） 有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.【2-5】有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种 【答案】C（6） 全员分配问题分组法:【2-6】4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 【答案】36【解析】把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （7） 名额分配问题隔板法:【2-7】10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 【答案】84【解析】10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.（8） 限制条件的分配问题分类法:【2-8】某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 【答案】（9）多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 【2-9】由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种 【答案】B【解析】按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B .（10）交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.【2-10】从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ 【答案】252【解析】设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.（11）定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素.【2-11】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 【答案】72【解析】老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有44A 种方法；所以共有143472A A =种.（12）多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.【2-12】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种 【答案】C【解析】前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C .【2-13】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 【答案】5760（13）“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:【2-14】从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）A 、140种B 、80种C 、70种D 、35种 【答案】C 【解析】（14）选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.【2-15】四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【答案】2344144C A =【解析】先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种.【2-16】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？ 【答案】120【解析】先取男女运动员各2名，有2254C C 种，这四名运动员混和双打练习有22A 中排法，故共有222542120C C A =种.（15）部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求. 【2-17】以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ） A 、70种 B 、64种 C 、58种 D 、52种 【答案】58【解析】正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C -=个.【2-18】四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ） A 、150种 B 、147种 C 、144种 D 、141种 【答案】D【解析】10个点中任取4个点共有410C 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为46C ，四个面共有464C 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是44106436141C C ---=种.（16）复杂排列组合问题构造模型法:【2-19】马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【答案】10【解析】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.（17）元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:【2-20】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？【答案】20【解析】（18）复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:【2-21】30030能被多少个不同偶数整除？【答案】32【解析】先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为012345 55555532C C C C C C+++++=个.【2-22】正方体8个顶点可连成多少队异面直线？【答案】174【解析】因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有481258C-=个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.（19）利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理. 【2-23】圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？【答案】410C【2-24】某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？【答案】47C【解析】可将图中矩形的一边叫一小段，从A 到B 最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有47C 种.【领悟技法】排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有1343C C 种不同的分法；而平均分为两组则有224222C CA 种不同的分法．【触类旁通】【变式一】某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节目自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有__________种.（结果用数字表示）AB【答案】1296【变式二】【湖南省长沙市周南中学2018届三模】元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为A． 48 B． 36 C． 24 D． 12【答案】C【解析】分步进行：①歌曲节目排在首尾，有种排法.②将个小品节目安排在歌曲节目的中间，有种排法.③排好后，个小品节目与个歌曲节目之间有3个空位，将个舞蹈节目全排列，安排在中间的个空位，有种排法.则这个节目出场的不同编排种数为种，故选C.【易错试题常警惕】易错典例：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？易错分析：实际问题意义不清，计算重复、遗漏致误，本题第二步若取出一等品则与第一步取出的一等品有了先后顺序，从而使取法重复．按分步原理，第一步确保1个一等品，有C116种取法；第二步从余下的19个零件中任意取2个，有C219种不同的取法，故共有C116C219＝2 736种取法．正确解析：法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理有：C116C24＋C216C14＋C316＝1 136(种)．法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C320－C34＝1 136(种)．温馨提醒：排列组合问题由于其思想方法独特计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题. “至少、至多型”问题不能利用分步计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解【学科素养提升之思想方法篇】排列组合中的“分组分配”问题分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．【典例1】5名志愿者分到了3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有()A．150种B．180种C．200种D．280种【答案】A【典例2】【江西省南昌市2018届二轮测试（七）】为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景点．若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为（）A． 3600 B． 1080 C． 1440 D． 2520【答案】C【解析】由于每个班级必须参加且只能游览个景点，且每个景点至多有两个班级游览，因此可以把问题看成是将个班级分配到除新四军军部旧址外的四个景点或三个景点，可以分两种情况：第一种，先将个班级分成四组，分别为再分配到四个景点，温馨提醒：(1)类型一：整体均匀分组在解决整体均分型题目时，要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)类型二：部分均匀分组解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组中有几个这样的均匀分组就要除以这样的全排列数．(3)类型三：不均匀分组解答本类题，只需先分组，后排列，注意分组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．练基础A基础巩固训练1．【2018届河南省师范大学附属中学高三8月】()412x-展开式中第3项的二项式系数为（）A. 6B. -6C. 24D. -24【答案】A【解析】试题分析：第3项的二项式系数为246C=,选A.2.在nx⎛+⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则3x的系数为（）A ．15B ．45C ．135D ．405 【答案】C3. 612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A ．1516 B ．1516- C ．52 D ．52- 【答案】D 【解析】4． 821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中7x 的系数为__________ (用数字作答) .【答案】56-【解析】展开式通项为()()821631881C 1C rrr rr rr T xx x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.令1637r -=，得3r =，所以7x 的系数为()3381C 56-=-． 5．【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟考试（一）】若()223nx x --的展开式中所有项的系数之和为256，则n =______，含2x 项的系数是______（用数字作答）. 【答案】 4 108B 能力提升训练1．已知6(1)ax +的二项展开式中含3x 项的系数为52，则a 的值是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．2【答案】C【解析】6(1)ax +6(1)ax =+，含3x 的项为336()C ax 3336C a x =，因此33652C a =，12a =．故选C ． 2．【2018届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研】若()2018201801201813,x a a x a x x R -=+++∈，则22018122018333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（ ）A. 201821-B. 201881-C. 20182D. 20188 【答案】B【解析】令0x =，得01a =. 令3x =，得()20182201820180122018333198a a a a +⋅+⋅++⋅=-=.所以22018201820181220180333881a a a a ⋅+⋅++⋅=-=-.故选B.3．【2018届山西省孝义市高三上学期入学】1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯= ( )A. 2123n + B. ()2413n - C. 123n -⨯ D. ()2313n -【答案】B4． 5)(x ax +的展开式中3x 项的系数为20，则实数a = ． 【答案】4【解析】二项式5)(x ax +展开式的通项为210551r rrr xC aT --+=，令3210=-r，解得4=r ，故展开式中3x 项的系数为2045=aC ，解得4=a .5.若二项式的展开式中各项的系数和为，则该展开式中含项的系数为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设及二项式定理可得，则，由题意，即，所以展开式中含项的系数为.应选答案B.C 思维拓展训练 1．()4x y z ++的展开式共（ ）项A. 10B. 15C. 20D. 21 【答案】B 【解析】因为()()()()()()444320122334444444x y z x y z C x y C x y z C x y z C x y z C z ⎡⎤++=++=++++++++⎣⎦所以再运用二项式定理展开共有5432115++++=项，应选答案B .2．【2018届江西省新余市第一中学毕业年级第二模拟】在二项式3nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且72A B +=，则展开式中常数项的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B3．【2018届广东省深圳市南山区高三上学期入学】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯= ( )A. 2123n + B. ()2413n - C. 123n -⨯ D. ()2313n -【答案】B【解析】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯=()()12200122223333333133n n nn n n n n n n n C C C C C C C =⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-()()221314133nn ⎡⎤=+-=-⎣⎦选B.4．【浙江省台州中学2018届高三模拟】二项式的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________．【答案】 32 【解析】展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的常数项为，令，得到所有项的系数和为，得到结果.5．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45测能力一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A． 12种 B． 18种 C． 24种 D． 36种【答案】D2.【北京市2019届一轮训练】 GZ新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C三期播出, A期播出两间学校, B期，C期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有A． 140种 B． 420种 C． 840种 D． 1680种【答案】C【解析】从8间候选学校中选出4间，共有方法种方法，4所选出2所，共有方法种方法，再进行全排，共有方法种方法，共有种方法，故选：C．3.【2017届广东省韶关市高三4月高考模拟】5位大学毕业生分配到3家单位,每家单位至少录用1人,则不同的分配方法共有( )A. 25种B. 60种C. 90种D. 150种【答案】D【解析】因为5 位大学毕业生分配到3 家单位,每家单位至少录用1 人，所以共有两种方：，一是，一个单位1 名，其他两个单位各2 名，有1235432290C C A A ⨯=种分配方法；二是 ，一个单位3 名，其他两个单位各1 名，有335360C A ⨯=种分配方法，共有9060150+= 种分法，故选D.4．【广州市岭南中学高三上期中】将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（ ） A ． 150种 B ． 180种 C ． 240种 D ． 540种 【答案】A 【解析】5.学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学和生物6门不同的课程，若第一节不排语文且第六节排生物，则不同的排法共有（ ）A ．96种B ． 120种C ．216种D ．240种 【答案】A【解析】因为生物课时固定的，语文不排在第一节，那么语文的排法有14A ，其它课任意排，不同的排法共有4414A A ⋅=96种．故选A ． 6. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有( )。
(浙江专版)高考数学一轮复习 第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第2节 排列与组合教师用书-
第二节排列与组合1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！(2)C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！性质(1)0！＝1；A n n＝n!(2)C m n＝C n－mn；Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．( )(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( ) [答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言( )A．1 560条B．780条C．1 600条D．800条A [由题意，得毕业留言共A 240＝1 560条．]3．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．48C ．60D ．72 D [第一步，先排个位，有C 13种选择；第二步，排前4位，有A 44种选择．由分步乘法计数原理，知有C 13·A 44＝72(个)．]4．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28C [法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有C 17C 22种方法，甲、乙两人只有1人入选，有C 12C 27种方法，由分类加法计数原理，共有C 22C 17＋C 12C 27＝49种选法．法二(间接法)：从9人中选3人有C 39种方法，其中甲、乙均不入选有C 37种方法，∴满足条件的选排方法有C 39－C 37＝84－35＝49种．]5．A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边(A ，B 可以不相邻)，那么不同的排法共有________种. 【导学号：51062328】60 [5人的全排列，B 站在A 的右边与A 站在B 的右边各占一半，∴满足条件的不同排法共12A 55＝60种．]排列应用题 (1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 (2)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．(1)B (2)36 [(1)第一类：甲在左端，有A 55＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，有4A 44＝4×4×3×2×1＝96种方法，所以共有120＋96＝216种方法．(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有A22A33种方法．再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法．] [规律方法] 1.第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类．注意特殊元素(位置)优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置．对于分类过多的问题，可利用间接法．2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法．[变式训练1] 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( ) A．34种B．48种C．96种D．144种C[程序A的顺序有A12＝2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有A22A44＝48种结果，由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法．]组合应用题(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种(2)定义“规X01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规X01数列”共有( )A．18个B．16个C．14个D．12个(1)D(2)C[(1)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴不同的取法共有C45＋C44＋C25C24＝66种．(2)由题意知：当m＝4时，“规X01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规X01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.][规律方法] 1.(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．2．第(2)题是“新定义”问题，首先理解“规X01数列”的定义是解题的关键，注意分类讨论时要不重不漏，并重视间接法的应用．[变式训练2] 现有16X 不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4X ．从中任取3X ，要求这3X 卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1X ，不同取法的种数为________．472 [第一类，含有1X 红色卡片，不同的取法C 14C 212＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法C 312－3C 34＝220－12＝208种．由分类加法计数原理，不同的取法共264＋208＝472种．]排列与组合的综合应用☞角度1 简单的排列与组合的综合问题 (2017·某某质检)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个B [当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有C 12A 34＝48个；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有C 13A 34＝72个，所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120个．]☞角度2 分组分配问题(2017·某某名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到大学，某某交通大学，某某大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( ) 【导学号：51062329】A ．240种B ．180种C ．150种D ．540种 C [5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式．当5名学生分成2,2,1时，共有12C 25C 23A 33＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有C 35A 33＝60种方法．由分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．][规律方法] 1.解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素排列．2．(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”．[思想与方法]1．解有附加条件的排列、组合应用题的三种思路：(1)特殊元素、特殊位置优先原则．(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一．(3)解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配．2．求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”[易错与防X]1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．2．计算A m n时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)．3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数，是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．4．解组合应用题时，应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义．5．对于分配问题，一般是坚持先分组，再分配的原则，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏．课时分层训练(五十三) 排列与组合A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144 B．120C．72 D．24D[先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把3人带椅子插放在4个位置，共有A34＝24种放法．]2．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为( ) 【导学号：51062330】A．6 B．18C．20 D．24B[由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.]3．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )A．10 B．20C．30 D．40B[将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C35C22×2＝20种．]4．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A．18个B．15个C．12个D．9个B[根据“六合数”的定义可知，当首位为2时，其余三位是数组(0,0,4)，(0,1,3)，(0,2,2)，(1,1,2)的所有排列，即共有3＋A33＋3＋3＝15个．]5．(2017·某某五校联考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对C [正方体六个面的对角线共有12条，则有C 212＝66对，而相对的两个面中的对角线其夹角都不是60°，则共有3×C 24＝18对，而其余的都符合题意，因此满足条件的对角线共有66－18＝48对．]6．(2017·某某二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )【导学号：51062331】A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种C [1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C 13C 22A 33种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有C 23C 22A 33种，由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为C 13C 22A 33＋C 23C 22A 33＝36种．]二、填空题7．方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 的解为________．5 [由排列数公式可知3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)．∵x ≥3，且x ∈N *，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23(舍去)，∴x ＝5.] 8．7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法．20 [先排最中间位置有1种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C 36种排法，再排剩下右边三个位置，共1种排法，所以排法种数为C 36＝20种．]9．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误种数共有________种． 11 [把g ，o ，o ，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g 和d ，共有A 24种排法；第二步：排两个o ，共1种排法，所以总的排法种数为A 24＝12种．其中正确的有一种，所以错误的共A 24－1＝12－1＝11种．]10．(2016·某某模拟)2017年第十三届全国运动会在某某举行，将6名志愿者分成4个组分赴全运会赛场的四个不同场馆服务，其中两个组各2人，另两个组各1人．不同的分配方案有________种(用数字作答). 【导学号：51062332】1 080 [将6位志愿者分为2名，2名，1名，1名四组，有C 26C 24A 22＝12×15×6＝45种分组方法．将四组分赴四个不同场馆有A44种方法．∴根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有45·A44＝1 080种方法．]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·某某十校联考)甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )A．12种B．24种C．48种D．120种B[甲、乙相邻，将甲、乙捆绑在一起看作一个元素，共有A44A22种排法，甲、乙相邻且在两端有C12A33A22种排法，故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有A44A22－C12A33A22＝24(种)．] 2．(2017·某某质检)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( ) A．60 B．90C．120 D．130D[因为x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，所以x i中至少两个为0，至多四个为0.(1)x i(i＝1,2,3,4,5)中有4个0,1个－1或1.A有2C15＝10个元素．(2)x i中有3个0,2个－1或1，A有C25×2×2＝40个元素．(3)x i中有2个0,3个－1或1，A有C35×2×2×2＝80个元素．从而，集合A中共有10＋40＋80＝130个元素．]3．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．60[法一(直接法)：若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23 A24种方法．由分类加法计数原理知共A34＋C23A24＝60种方法．法二(间接法)：先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60种．]4．(2017·某某学军中学联考)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答) 【导学号：51062333】20 [先从5位小朋友中选取2位，让他们位置不变，其余3位都改变自己的位置，即3人不在其位，共有方案种数为N＝C25·C12·C11·C11＝20种．]。
2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：1.1集合与集合的运算
第一章会合与常用逻辑用语§1.1 会合与会合的运算考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 20171.1. 认识会合的含义、元素与会合的属于关系.集2. 能用自然语言、图形语言、会合语言( 列举法合或描绘法 ) 描绘不一样的详细问题 .及理解3. 理解会合之间包括与相等的含义, 能辨别给定其会合的子集 .关4. 在详细情境中 , 认识全集与空集的含义 .系2.1. 理解两个会合的并集与交集的含义, 会求两个2,5 1,5 1,5 1,5集简单的会合的并集与交集 . 分分分分合1,42. 理解在给定会合中一个子集的补集的含义, 会理解1( 文1( 文1( 文1( 文的分求给定子集的补集 . ), ), ), ), 运3. 能使用韦恩 (Venn) 图表示会合的关系及运算 . 5 分 5 分 5 分 5 分算剖析解读 1. 本节内容是高考的必考内容, 在复习时要掌握会合的表示方法, 能判断元素与会合的属于关系、会合与会合之间的包括关系, 能判断会合能否相等. 娴熟掌握会合的交、并、补运算和性质, 会用分类议论和数形联合的数学思想研究会合的运算问题. 如 2016 浙江第 1 题 ;2017 浙江第 1 题 .2. 估计 2019 年高考试题中 , 考察会合的运算的可能性很大 .五年高考考点一会合及其关系1.(2016 四川 ,1,5 分) 设会合 A={x|-2 ≤ x≤ 2},Z 为整数集 , 则会合 A∩ Z 中元素的个数是 ( )A.3B.4C.5D.6答案 C2.(2015 重庆 ,1,5 分) 已知会合 A={1,2,3},B={2,3}, 则 ( )A.A=BB.A ∩ B=?C.A? BD.B? A答案 D2+y 2≤ 1,x,y ∈ Z},B={(x,y)||x|3.(2015 湖北 ,9,5 分) 已知会合 A={(x,y)|x ≤ 2,|y| ≤ 2,x,y ∈ Z}, 定义会合A⊕ B={(x 1+x2,y 1+y2)|(x 1,y 1) ∈ A,(x 2,y 2) ∈ B}, 则 A⊕ B 中元素的个数为 ( )A.77B.49C.45D.30答案 C课标全国Ⅰ ,1,5 分 ) 已知会合 A={x|x 2-2x>0},B={x|-4.(2013 <x< }, 则 ()A.A∩ B=?B.A∪ B=RC.B? AD.A? B答案 B5.(2013 山东 ,2,5 分) 已知会合 A={0,1,2}, 则会合 B={x-y|x ∈ A,y ∈ A} 中元素的个数是 ( )A.1B.3C.5D.9答案 C2 +3}. 若 A∩B={1}, 则实数 a 的值为6.(2017 江苏 ,1,5 分) 已知会合 A={1,2},B={a,a .答案 17.(2013 江苏 ,4,5 分) 会合 {-1,0,1} 共有个子集 .答案 8 考点二会合的运算1.(2017 浙江 ,1,4 分) 已知会合 P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2}, 则 P ∪Q=()A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)答案 A会合 P={1,3,5},Q={1,2,4},则(? P) ∪Q=()2.(2016浙江文 ,1,5 分 ) 已知全集 U={1,2,3,4,5,6},UA.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5} 答案 C分) 已知会合 P={x ∈R|1 ≤ x ≤3},Q={x ∈ R|x 2≥ 4}, 则 P ∪ ( ?R Q)=() 3.(2016 浙江 ,1,5 A.[2,3] B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞ ,-2] ∪ [1,+ ∞ ) 答案 B24.(2015 浙江 ,1,5 分) 已知会合 P={x|x -2x ≥ 0},Q={x|1<x R )≤2}, 则( ? P)∩Q=( A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2]答案 C5.(2015 浙江文 ,1,5 分 ) 已知会合 P={x|x 2-2x ≥ 3},Q={x|2<x<4}, 则 P ∩ Q=( )A.[3,4)B.(2,3]C.(-1,2)D.(-1,3]答案 A26.(2014 浙江 ,1,5 分) 设全集U)U={x ∈ N|x ≥ 2}, 会合 A={x ∈N|x ≥ 5}, 则 ? A=(A. ?B.{2}C.{5}D.{2,5} 答案 B 7.(2014 浙江文 ,1,5 分 ) 设会合 S={x|x ≥ 2},T={x|x ≤ 5}, 则 S ∩ T=( ) A.(- ∞ ,5] B.[2,+ ∞ ) C.(2,5) D.[2,5] 答案 D2+3x-4 ≤ 0}, 则 ( ?R S)∪ T=(8.(2013 浙江 ,2,5 分) 设会合 S={x|x>-2},T={x|x)A.(-2,1]B.(- ∞,-4]C.(- ∞ ,1]D.[1,+ ∞ ) 答案 C9.(2017 课标全国Ⅰ文 ,1,5 分 ) 已知会合 A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则 ( )A.A ∩ B=B.A ∩ B=?C.A ∪ B=D.A ∪ B=R答案 A x <1},10.(2017 课标全国Ⅰ理 ,1,5 分 ) 已知会合 A={x|x<1},B={x|3 则( ) A.A ∩ B={x|x<0} B.A ∪ B=R C.A ∪ B={x|x>1} D.A ∩ B=? 答案 A 2-4x+m=0}. 若 A ∩ B={1},11.(2017 课标全国Ⅱ理 ,2,5 分 ) 设会合 A={1,2,4},B={x|x则B=() A.{1,-3} B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案C12.(2017课标全国Ⅲ理,1,5分)已知会合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩ B中元素的个数为()A.3B.2C.1D.0答案 B13.(2017北京理,1,5分)若会合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩ B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案 A14.(2017 山东理 ,1,5 分 ) 设函数 y= 的定义域为 A, 函数 y=ln(1-x) 的定义域为 B, 则 A∩ B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案 D15.(2016 课标全国Ⅲ ,1,5 分) 设会合 S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0}, 则 S∩T=()A.[2,3]B.(- ∞ ,2] ∪ [3,+ ∞ )C.[3,+ ∞ )D.(0,2] ∪[3,+ ∞)答案 D16.(2016 课标全国Ⅱ ,2,5 分) 已知会合 A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x ∈Z}, 则 A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}答案 C17.(2016 天津 ,1,5 分 ) 已知会合 A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x ∈ A}, 则 A∩ B=( )A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}答案 D分 ) 设会合 A={y|y=2 x ,x ∈ R},B={x|x 2-1<0},18.(2016 山东 ,2,5 则 A∪ B=( )A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+ ∞ )D.(0,+ ∞ )答案 C19.(2015 课标Ⅱ ,1,5 分 ) 已知会合 A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0}, 则 A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案 A分 ) 设会合 M={x|x 2=x},N={x|lgx ≤ 0},20.(2015 陕西 ,1,5 则 M∪ N=( )A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(- ∞ ,1]答案 A分 ) 已知会合 A={x|x 2-2x-3 ≥0},B={x|-221.(2014 课标Ⅰ ,1,5 ≤ x<2}, 则 A∩ B=( )A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)答案 A22.(2014 辽宁 ,1,5 分 ) 已知全集 U=R,A={x|x ≤ 0},B={x|x ≥ 1}, 则会合 ?U(A ∪ B)=( )A.{x|x ≥ 0}B.{x|x ≤ 1}C.{x|0 ≤ x≤ 1}D.{x|0<x<1}答案 D23.(2016 江苏 ,1,5 分 ) 已知会合 A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3}, 则 A∩B= .答案{-1,2}教师用书专用(24 — 42)24.(2017 课标全国Ⅱ文 ,1,5 分 ) 设会合 A={1,2,3},B={2,3,4}, 则 A∪ B=( )A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,3,4}答案 A25.(2017 课标全国Ⅲ文 ,1,5 分 ) 已知会合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8}, 则 A∩B 中元素的个数为 ()D.4答案 B26.(2017 北京文 ,1,5 分 ) 已知全集 U=R,会合 A={x|x<-2 或 x>2}, 则 ?U A=( )A.(-2,2)B.(- ∞,-2) ∪ (2,+ ∞ )C.[-2,2]D.(- ∞,-2] ∪ [2,+ ∞ )答案 C27.(2017 天津文 ,1,5 分 ) 设会合 A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4}, 则(A ∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}答案 B28.(2017 山东文 ,1,5 分 ) 设会合 M={x||x-1|<1},N={x|x<2}, 则 M∩N=( )A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)答案 C29.(2013 浙江文 ,1,5 分 ) 设会合 S={x|x>-2},T={x|-4 ≤ x≤ 1}, 则 S∩ T=( )A.[-4,+ ∞ )B.(-2,+ ∞ )C.[-4,1]D.(-2,1]答案 D30.(2016 北京 ,1,5 分 ) 已知会合 A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3}, 则 A∩ B=( )A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}答案 C31.(2015山东,1,5分)已知会合A={x|x 2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩ B=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案 C32.(2014四川,1,5分)已知会合A={x|x 2-x-2 ≤ 0}, 会合 B 为整数集 , 则 A∩ B=()A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}答案 A33.(2014陕西,1,5分)设会合M={x|x≥ 0,x∈ R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)答案 B34.(2016课标全国Ⅰ ,1,5分)设会合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩ B=()A. B.C. D.答案 D35.(2015 广东 ,1,5 分 ) 若会合 M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0}, 则 M∩ N=( ) A.{1,4} B.{-1,-4}C.{0}D. ?答案 D2-3x+236.(2014 课标Ⅱ ,1,5 分 ) 设会合 M={0,1,2},N={x|x ≤0}, 则 M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}答案 D37.(2014广东,1,5分)已知会合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪ N=()A.{0,1}B.{-1,0,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1}答案 C纲领全国 ,2,5 分 ) 设会合 M={x|x 2-3x-4<0},N={x|038.(2014 ≤ x≤ 5}, 则 M∩ N=( )A.(0,4]B.[0,4)C.[-1,0)D.(-1,0]答案 B39.(2013 天津 ,1,5 分 ) 已知会合 A={x ∈ R||x| ≤ 2},B={x ∈ R|x ≤ 1}, 则 A∩ B=( )A.(- ∞ ,2]B.[1,2]C.[-2,2]D.[-2,1]答案 D2<4,x ∈ R},N={-1,0,1,2,3},40.(2013 课标全国Ⅱ ,1,5 分) 已知会合 M={x|(x-1) 则 M∩N=()A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}答案 A41.(2014 江苏 ,1,5 分 ) 已知会合 A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3}, 则 A∩B= .答案 {-1,3}42.(2014 重庆 ,11,5 分 ) 设全集 U={n ∈N|1 ≤ n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9}, 则( ?U A) ∩B= .答案{7,9}三年模拟A 组2016— 2018 年模拟·基础题组考点一会合及其关系1.(2018浙江杭州地域要点中学第一学期期中,2) 已知会合 {x|mx 2-2x+1=0}={n},则m+n=()A.0 或 1B.C.2D.或2答案 D2.(2017浙江镇海中学模拟( 六 ),1) 已知会合A={x|x 2+x=0,x ∈R}, 则知足 A∪ B={0,-1,1}的会合B的个数是()A.2B.3C.4D.8答案 C3.(2016浙江名校(柯桥中学)沟通卷四,1)已知会合A={-1,0,1,2},会合B={x∈ Z||x|≤ a},则知足A? B的实数 a 的一个值为 ()A.0B.1C.2D.答案 C4.(2016 浙江名校 ( 衢州二中 ) 沟通卷五 ,9) 设非空会合A={x|m-1 ≤ x≤ 2m+1,m∈R},B={x|-4≤ x≤ 2},若m=2, 则 A∩ B=; 若 A? A∩B, 则 m的取值范围是.答案[1,2];考点二会合的运算5.(2018浙江镇海中学期中,1) 若会合 M=,N={x|x<1},则M∪ N=()A.(0,1)B.(0,2)C.(- ∞ ,2)D.(0,+ ∞ )答案 C6.(2018 浙江 9+1 高中结盟期中 ,1) 已知会合 P={x|x>0},Q={x|-1<x<1}, 那么 ( ?R P) ∩ Q=()A.(-1,+ ∞ )B.(0,1)C.(-1,0]D.(-1,1) 答案 C7.(2018 浙江浙东北结盟期中 ,1) 已知会合 a若 A ∩B= , 则 A ∪B=( )A={1,2 },B={a,b}, A. B. C. D.答案 D28.(2017 浙江杭州二模 (4 月 ),1) 设 U={-1,0,1,2},会合 A={x|x U )<1,x ∈U}, 则? A=(A.{0,1,2}B.{-1,1,2}C.{-1,0,2}D.{-1,0,1} 答案 B9.(2017 浙江温州十校期末联考 ,1) 已知会合 P={x|y= },Q={x|y=ln(x+1)}, 则 P ∩Q=()A.{x|-1 ≤ x ≤ 2}B.{x|-1 ≤ x<2}C.{x|-1<x ≤ 2}D.{x|-1<x<2}答案 CB 组 2016— 2018 年模拟·提高题组一、选择题1.(2018 浙江温州适应性测试,1) 已知会合 A={x|x 2-3x+2<0},B={x|x ≥1}, 则 A ∩ B=( )A.(1,2)B.(2,+∞ )C.(1,+ ∞ )D.? 答案 Ax>1}, 则 A ∩ ( ?R B)=(2.(2018 浙江萧山九中 12 月月考 ,2) 已知 A={x|-2<x<1},B={x|2 )A.(-2,1)B.(- ∞,1)C.(0,1)D.(-2,0] 答案 D3.(2018 浙江“七彩阳光” 结盟期中 ,2) 已知会合 M= ,N={x|y=lg(-x2+2x+3)}, 则 M ∩N=()A.{x|0<x<3}B.{x|-1<x<3}C.{x|0<x<4}D.{x|-1<x<4}答案 A,1) 已知会合 M={x|x 2-x-2 ≤ 0},N={y|y=3x 2+1}, 则 M ∩N=(4.(2018 浙江高考模拟训练冲刺卷一 )A. ?B.{x|1 ≤ x ≤ 2}C.{x|-1 ≤ x ≤ 2}D.{1} 答案 B x ≥ 1}, 则 M ∩ N=(5.(2017 浙江高考模拟训练冲刺卷一 ,1) 若会合 M={x||x| ≤ 2},N={x|e )A.[0,+ ∞ )B.[0,2]C.[0,1]D.[1,2] 答案 B6.(2017 浙江测试卷 ,1) 已知会合 P={x|0 ≤ x ≤ 4,x ∈ R},Q={x||x|<3,x∈ R}, 则 P ∪ Q=()A.[3,4]B.(-3,4]C.(- ∞ ,4]D.(-3,+ ∞ )答案 B已知全集 U=R,会合 A={x|x 2≥ 3},B={x|1<x<3},7.(2017 浙江“七彩阳光” 新高考研究结盟测试,1) 则 A ∪(?B)=()RA.RB.{x|x ≤ - 或 x ≥ }C.{x|x ≤ 1 或 x ≥ }D.{x|x ≤ - 或 x ≥ 3}答案 C8.(2017 浙江温州模拟 ,1) 设会合 A={x||x-2| ≤1},B={x|0<x ≤ 1}, 则 A∪ B=()A.(0,3]B.(0,1]C.(- ∞ ,3]D.{1}答案 A,10) 若会合 A={(m,n)|(m+1)+(m+2)+ , +(m+n)=10 2015,m∈ N,n ∈ N* }, 则会合 A 9.(2017 浙江名校协作体测试中的元素个数是 ()A.2016B.2017C.2018D.2019答案 A二、填空题10.(2017 浙江温州十校期末联考,16) 设有序会合对 (A,B) 知足 :A ∪B={1,2,3,4,5,6,7,8},A ∩B=? , 记card(A),card(B) 分别表示会合A,B 的元素个数 , 则切合条件 card(A) ?A,card(B) ?B 的会合对 (A,B) 的对数是.答案44C 组 2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1 会合的观点和基本关系的解题策略1. 设会合 A={x|x 2+4x=0},B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0}, 若 B? A, 则实数 a 的取值范围是.答案a≤ -1 或 a=12. 已知会合 A= , 试用列举法表示会合 A.分析由题意知6-x 是 8 的正约数 , 当 6-x=1 时 ,x=5; 当 6-x=2 时 ,x=4; 当 6-x=4 时 ,x=2; 当 6-x=8 时 ,x=-2, 而 x≥ 0, ∴x=2,4,5, 即 A={2,4,5}.方法 2 会合的基本运算的解题策略3.设I 为全集 ,S 1、 S2、 S3是 I 的三个非空子集 , 且 S1∪ S2∪ S3=I, 则以下结论正确的选项是( )A.( ?I S1) ∩ (S 2∪ S3)= ?B.S1? [( ?I S2) ∩ ( ?I S3)]C.( ? S)∩(? S)∩(? S)=?I 1 I 2 I 3D.S1? [( ?I S2) ∪ ( ?I S3)]答案 C方法 3 与会合相关的新观点问题的解题策略4.(2016 浙江诸暨质量检测(5 月卷 ),8) 设 A1,A 2,A 3, , ,A n是会合 {1,2,3, , ,n} 的 n 个非空子集 (n ≥ 2). 定义a ij = 此中 i,j=1,2, , ,n, 这样获得的 n2个数之和记为 S(A1,A 2,A 3, , ,A n), 简记为 S. 以下三种说法 :① S 与 n 的奇偶性同样 ; ② S是 n 的倍数 ; ③ S 的最小值为 n, 最大值为 n2. 此中正确的选项是 ( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ③答案 B5.(2016 浙江五校第一次联考 ,12) 若三个非零且互不相等的实数a,b,c 知足 + = , 则称 a,b,c 是调解的 ; 若知足 a+c=2b, 则称 a,b,c 是等差的 . 若会合 P中元素 a,b,c 既是调解的 , 又是等差的 , 则称会合 P 为“好集”, 若会合 M={x||x| ≤ 2014,x ∈Z}, 会合 P={a,b,c} ? M,则“好集” P 中的元素最大值为, “好集” P 的个数为.答案2012;1006。
浙江高考数学一轮复习第十章计数原理10.2排列与组合讲义含解析
12
C 种，选取 3种假货有 C
3
种，共有选取方式
12
3
C C ＋ C ＝ 2100＋455＝
20 15
15
20 15
15
2555( 种 ).
∴至少有 2种假货在内的不同的取法有 2555种 . (5) 方法一 ( 间接法 )
选取 3种商品的总数为
C
3
，选取 3种假货有
C
35
C3
－
3
C
＝
6545
－
455
＝
6090(
种
).
35
15
3
种，因此共有选取方式
15
∴至多有 2种假货在内的不同的取法有 6090种 .
方法二 ( 直接法 )
选取 0种假货有 C 因此共有选取方式
3
种，选取
1种假货有
C
12
C 种，选取
2种假货有
C
C 2
15
1
种，
20
15 20
20
C
3
2
＋C
1
1
C20＋ CC
2
＝ 6090(
种 ).
4
1女 4男， 2女 3男， 3女 2男， 4女 1男.
由分类加法计数原理可得总选法共有
C41C46＋ C42C36＋C43C26＋ C44C16＝ 246( 种 ).
方法二“至少有 1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解
.
从 10人中任选 5人有 C
5
5
种选法，其中全是男运动员的选法有
有9×5＝ 45( 种 ).
题型一排列问题
1. 用 1， 2， 3， 4， 5这五个数字，可以组成比 20000大，并且百位数不是数字 3的没有重复
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第十一章计数原理§11.1排列、组合考纲解读分析解读 1.排列与组合是高考常考内容,常以选择题、填空题的形式出现,有时还与概率相结合进行考查.2.常结合实际背景,以应用题形式出现,且背景灵活多变,常见的有排队问题,涂色问题等,也有跨章节、跨学科及以生活实际为出发点的问题.3.考查排列与组合的综合应用能力,涉及分类讨论思想.4.预计2019年高考试题中,排列、组合与概率一起考查必不可少.五年高考考点排列、组合1.(2017课标全国Ⅱ理,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种答案D2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案B3.(2016四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案D4.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案B5.(2014广东,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130答案D6.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案B7.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对答案C8.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案D9.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种答案C10.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案66011.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案6012.(2013浙江,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案48013.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案108014.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案156015.(2016江苏,23,10分)(1)求7-4的值;(2)设m,n∈N*,n≥m,求证:(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+n+(n+1)=(m+1).解析(1)7-4=7×-4×=0.(2)当n=m时,结论显然成立.当n>m时,(k+1)==(m+1)·=(m+1),k=m+1,m+2,…,n.又因为+=,所以(k+1)=(m+1)(-),k=m+1,m+2,…,n.因此,(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+(n+1)=(m+1)+[(m+2)+(m+3)+…+(n+1)]=(m+1)+(m+1)[(-)+(-)+…+(-)]=(m+1).教师用书专用(16—20)16.(2014福建,10,5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)答案A17.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20答案C18.(2013山东,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279答案B19.(2013福建,5,5分)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10答案B20.(2013北京,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案96三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点排列、组合1.(2018浙江浙东北联盟期中,9)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个6元的,1个8元的,1个10元的(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有()A.18种B.24种C.36种D.48种答案C2.(2017浙江宁波二模(5月),7)从1,2,3,4,5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数,则奇数位上必须是奇数的三位数个数为()A.12B.18C.24D.30答案B3.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,3)有2张写数字1,3张写数字2,4张写数字7的卡片,从中任取3张排列,最多可以组成不同的数的个数为()A.24B.44C.32D.26答案D4.(2016山东部分重点中学第二次联考,7)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求取出的卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,则不同的取法共有()A.232种B.252种C.472种D.484种答案C5.(2018浙江萧山九中12月月考,15)现有6本不同的数学资料书,分给甲、乙、丙三位同学,每人至少要有1本,至多2本,可以剩余,则不同的分法种数为.(用数字作答)答案12906.(2018浙江重点中学12月联考,16)甲,乙,丙,丁四名同学做传递手帕游戏(每位同学传递到另一位同学记传递1次),手帕从甲手中开始传递,经过5次传递后手帕回到甲手中,则不同的传递方法的种数为.(用数字作答)答案607.(2017浙江绍兴质量调测(3月),15)将3个男同学和3个女同学排成一列,若男同学甲与另外两个男同学不相邻,则不同的排法种数为.(用具体的数字作答)答案2888.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,14)把1,2,3,4,5,6这六个数随机排成一列组成一个数列,如果要求1必须在3的左侧,则数列的个数为;若要求该数列恰好先增后减,则这样的数列共有个.答案360;30B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2017浙江名校(衢州二中)交流卷五,7)A,B,C,D,E,F6个人排成一列,要求A和B排在一起,E和F不能排在一起,则不同的排法种数为()A.216B.192C.144D.108答案C二、填空题2.(2018浙江9+1高中联盟期中,14)4支足球队两两比赛,若每场比赛都分出胜负,每队赢的概率都为0.5,并且每队赢的场数各不相同,则不同结果的种数为;其概率为.答案24;3.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,17)设集合A={a,b,c},其中a,b,c∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},若a,b,c满足a<b<c,且2≤c-b≤6,则集合A的个数为.答案554.(2017浙江台州4月调研卷(一模),16)某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课,其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门,第8节只能安排选修课或自修课,且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻,则所有不同的排法共有种.(结果用数字表示)答案12965.(2017浙江稽阳联谊学校高三4月联考,16)将7人分成3组,要求每组至多3人,则不同的分组方法种数是.答案1756.(2017浙江测试卷,15)如图所示,某货场有两堆集装箱,一堆2个,一堆3个,现需要全部装运,每次只能从其中一堆中取最上面的一个集装箱进行装运,则在装运的过程中不同取法的种数是.(用数字作答)答案107.(2016河南安阳模拟,14)各高校在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的7个专业中,选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿,其中甲、乙两个专业不能同时兼报,则该考生不同的填报专业志愿的方法有种.答案1808.(2016湖北黄冈质检,14)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场的顺序的排法种数为.答案60C组2016—2018年模拟·方法题组方法1两个基本原理的应用的解题策略1.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形,使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1,5,9则符合条件的涂法共有种.答案108方法2排列、组合及其应用的解题策略2.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,9)在G20杭州峰会期间,6名志愿者被安排到A,B,C三个岗位进行服务,每个岗位安排两名志愿者,其中甲志愿者必须到A岗位,乙和丙志愿者均不能到C岗位,则不同的安排方法种数为()A.12B.9C.6D.5答案B3.(2017浙江湖州期末调研,15)A,B,C,D,E共5名同学坐成一排照相,要求学生A,B不能同时坐在两旁,也不能相邻而坐,则这5名同学坐成一排的不同坐法共有种.(用数字作答)答案604.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,15)有写好数字1,1,2,2,3,3,4,4的8张卡片,任取4张,则可以组成不同的四位数的个数为.(用数字作答)答案204。