【暑假作业】第20天 反三角函数的图像与性质-2019-2020学年沪教版(上海)高一数学暑假作业
沪教版高一下册数学反三角函案一级第二学期
三角函数及反三角函数知识重点：1、三角函数定义、图像、性质（单调性、单调区间、奇偶性、周期性）2、重点掌握三角函数公式：（1）诱导公式（2）两角和差公式（3）倍角公式（4）万能公式（5）积化和差、和差化积公式（6）)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中ab tg =ϕ 3、掌握)sin(ϕω+=x A y 的周期、最值、单调区间、平移伸缩变换 4、三角变换的三条原则：（1）降低式子的次数：常用公式2cos 12sin2αα-=，2cos 12cos 2αα+=降次， 因式分解（或配方）也是常用方法（注：为了达到约分和化同名同角的目的，有时也需升次）（2）减少式中角的种数①造特殊角（60,45,30等）②寻找不同角间的关系（互补、互余、或和、差、倍、半等） ③利用已知条件中角的关系（如三角形内角和为180等） （3）减少式中三角函数的种类 常用方法：切割化弦 5、三角形中的边角关系： （1）π=++C B A （2）正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===（2R 为ABC ∆外接圆直径） （3）余弦定理：A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= （a 、b 、c 分别为三内角A 、B 、C 的对边） 6、掌握四个反三角函数定义（包括定义域、值域）、图像、性质及其应用 练习题1、α是第四象限角，则1sec 1sec 22-⋅++⋅ααααtg tg等于（ ）(A) 1 (B)1± (C)1- (D)αα22sec tg + 2、若4=αtg ，则ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-=3、设ααααctg tg y ++=cos sin ，则y 的值为（ ）（A ）正值 （B ）负值 (C)非负值 （D ）正值或负值4、求值：)76cos()74cos()72cos(πππ= 5、要得到函数)32sin(π-=x y 的图像，只需将x y 2sin =的图像（ ）（A ）向左平移3π个单位 (B)向右平移3π个单位 (C) 向左平移6π个单位 (D) 向右平移6π个单位6、函数3sin 8)(2-=x x f 的递减区间是（ ） （A ）)(4,4Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B))(2,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ (C))(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ (D))(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ 7、已知：5sin 6sin 2)(2-+-=x x x f ，则它的最大值，最小值是（ ） （A ）最大值不存在，最小值为21-（B ）最大值是21-，最小值不存在 (C)最大值是 -1，最小值是 -13 （D ）最大值是1，最小值是 -1 8、函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值为 9、函数)23sin(2sin x x y -⋅=π的最大值是（ ）（A ）23- (B)41 (C)21(D)22 10、化简xx xx cos sin 1cos sin 1++-+=11、求值：50cos 20sin 50cos 20sin 22++=12、ABC ∆中，已知tgB tgAba =22，则ABC ∆的形状为13、当∈a 时，方程1cos -=a x 无解14、函数)22cos(π+=x y 的图像的一条对称轴方程是（ ）（A ）2π-=x （B ）4π-=x (C)8π=x (D)π=x15、“1=a ”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小周期为π”的（ ） (A)充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件16、在ABC ∆中，若C A B sin sin cos 2=，则ABC ∆的形状为（ ） （A ）等腰直角三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）等边三角形 17、函数2cos 2sinxx y +=在)2,2(ππ-内的递增区间是 18、函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（ ）（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y (B))20)(1arccos(≤≤--=x x y π (C))20)(1arccos(≤≤-=x x y (D))20)(1arccos(≤≤-+=x x y π 19、函数)323)(arccos(sin ππ<<-=x x y 的值域是( ) (A))65,6(ππ (B)⎪⎭⎫⎢⎣⎡65,0π(C))32,3(ππ (D)⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,6ππ 20、满足x x arccos )1arccos(≥-的x 的取值范围是（ ） （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1 (B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21 (C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 (D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2121、解简单的三角方程： （1）04sin 32sin82=-+x x（2）13cos cos 22=+x x22、已知：)24(12sin sin 22παπααα<<=++k tg ，试用k 表示ααcos sin -的值。
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22
(3)奇偶性: 是奇函数
arctan(-x)=-arctanx(x∈R) 其图象关于坐标原点对称。
(4)单调性: 是增函数
-4
-3
-2
-1
2
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一、反正弦函数
1、定义：正弦函数y sin x(x [ , ]) 的反函数
22 叫反正弦函数，记作 y arcsin x
x [1,1], y [ , ]
22 若x a [1,1],有y arcsin a, 这里的“arcsina ”是一个角的符号.
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理解和掌握 arccos a( a 1) 符号
（1）、arccos a 表示一个角
（2）、这个角的范围是 0,
即arccos a0, .
（3）、这个角的余弦值是 a,
即 cos(arccos a) a(a [1,1])
二、反余弦函数
1、定义：余弦函数 y cos x(x [0, ])
叫反余弦函数，记作 y arccos x
x[1,1], y [0, ]
的反函数
若x a [1,1],有y arccos a,
这里的“ arccos a ”是一个角的符号.
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(4) arccos(cos) , [0, ].
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2、反余弦函数y=arccosx,x∈[-1，1]的图 沪教版数学高一下-反三角函数ppt下载【PPT教研课件】 象与性质
【暑假作业】第18天 正弦函数和余弦函数的图像与性质(2)-2019-2020学年沪教版(上海)高一数学暑假作业
高一年级暑假作业第18天正弦函数和余弦函数的图像与性质（2）【知识梳理】一．填空题1. 函数2sin 24y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称轴是__________.2. 函数()213sin 4f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为_____________.3. 函数13cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的增区间是___________.4. 函数y 的定义域是_____________. 5. 函数2cos 3cos y x x =-的最小值是_________.6. 函数()22cos 2xf x x =+的值域为____________.7. 若函数()3tan sin 3f x a x b x =++，且()56f =，则()5f -=_______.8. 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只要将函数sin 2y x =的图像向__________平移________单位. 二．选择题9. 关于函数2sin y x =的判断，正确的是（ ）A ．最小正周期为2π，值域为[]1,1-，在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减 B ．最小正周期为π，值域为[]1,1-，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减C ．最小正周期为π，值域为[]0,1，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增D ．最小正周期为2π，值域为[]0,1，在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增10. 为了得到函数()sin3cos3y x x x =+∈R 的图像，可以将函数y x 的图像（ ） A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位 11. 设ϕ∈R ，则“0ϕ=”是“()()()cos f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件12. 若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对任意0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立，则a 的取值范围是（ ） A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,14π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,1三． 解答题13. 已知函数()22sin cos 2cos ,f x x x x x x =+∈R . （1） 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2） 函数()f x 图像可以由函数sin 2y x =的图像经过怎样的变换得到？14. 函数()()sin 10,06f x A x A πωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1） 求函数()f x 的解析式；（2） 设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求α的值.15. 已知函数()22sin cos 2cos y x x x =++.（1） 当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合；（2） 该函数图像可由sin y x =的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？16. 已知函数()2sin cos f x x x x =+⋅.（1） 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2） 已知△ABC 中，2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4a =，5b c +=，求△ABC 的面积.参考答案： 1. ()28k x k ππ=+∈Z 2. π3. ()424,433k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z4. ()2,233k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z5. 2-6. []1,3-7. 08. 右，6π9. C 10. D 11. A 12. B13. （1）(),,36T k k k πππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）左移12π，上移3214. （1）()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）3π15. （1）,8x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；（2）向左平移4π，横坐标变为原来的12（纵坐标不变），纵坐标变为原来的，向上平移2个单位.16. （1）1⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）S .。
2021年沪教版高一数学暑假作业：余弦函数的图像与性质【含答案】
2021年沪教版高一数学暑假作业：余弦函数的图像与性质【含答案】一、单选题1．下列命题中正确的是（ ） A ．cos y x =在第二象限是减函数 B ．tan y x =在定义域内是增函数 C ．|cos(2)|3y x π=+的周期是2π D ．sin ||y x =是周期为2π的偶函数【答案】C【分析】根据函数的图象与图象变换进行判断．【详解】解：由余弦函数图象可知cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，故单调递减，但是在第二象限内不具有单调性，故A 错误；由正切函数的图象可知tan y x =在每一个周期内都是增函数，故tan y x =在定义域内不是增函数，故B 错误．cos(2)3y x π=+的周期为π，则|cos(2)|3y x π=+的图象是由cos(2)3y x π=+的图象将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得到的，故周期减半， |cos(2)|3y x π∴=+的周期是2π，故C 正确． sin ||y x =是偶函数，其图象是将sin y x =在y 轴右侧的函数图象翻折到y 轴左侧，所以函数sin ||y x =不是周期函数，故D 错误． 故选：C ．2．若()y f x =的图像与cos y x =的图象关于x 轴对称，则()y f x =的解析式为（ ） A ．()cos y x =- B ．cos y x =- C ．cos y x = D ．cos y x =【答案】B【分析】根据()f x -、()f x -、()fx 与()f x 的图象特征依次判断即可得到结果.【详解】对于A ，()cos cos y x x =-=，图象与cos y x =重合，A 错误； 对于B ，()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称，cos y x ∴=-与cos y x =图象关于x 轴对称，B正确；对于C ，当0x ≥时，cos cos y x x ==，可知其图象不可能与cos y x =关于x 轴对称，C 错误； 对于D ，将cos y x =位于x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，就可以得到cos y x =的图象，可知其图象与cos y x =的图象不关于x 轴对称，D 错误.故选：B.3．函数cos y x =在区间(),3ππ上的图像的对称轴是（ ） A ．3x π= B ．52x π=C ．2x π=D ．x π=【答案】C【分析】根据余弦函数的性质即可求出对称轴.【详解】由余弦函数的性质可得函数cos y x =关于,x k k Z π=∈对称， 又(),3x ππ∈，则2x π=，故函数cos y x =在区间(),3ππ上的图像的对称轴是2x π=. 故选：C.4．若函数()3sin 12f x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()f x 是（ ） A ．周期为1的奇函数 B ．周期为2的偶函数C ．周期为1的非奇非偶函数D ．周期为2的非奇非偶函数．【答案】B【分析】先化简()f x 的解析式可得()3cos 1f x x π=-，由正弦函数的周期公式和奇偶性的定义法可得答案.【详解】()3sin 13cos 12f x x x πππ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ==又()()()3cos 13cos 1f x x x f x ππ-=--=-=，所以()f x 为偶函数. 故选：B二、填空题5．已知余弦函数过点,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭，则m 的值为__________． 3【分析】将,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭代入余弦函数即可求解. 【详解】设余弦函数为cos y x =， 由函数过点,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭可得3cos 6m π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 36．方程2cos 303⎛⎫++= ⎪⎝⎭x π的解集是____________. 【答案】22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭【分析】由题意可得出3cos 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得出3x π+的等式，由此可求得原方程的解集. 【详解】2cos 303x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 3x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ ()5236x k k Z πππ∴+=±∈，解得22x k ππ=+或()726x k k Z ππ=-∈，因此，方程2cos 303⎛⎫+= ⎪⎝⎭x π的解集是22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭. 故答案为：22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭. 【点睛】本题考查余弦方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 7．函数2sin 3cos =+y x x 的值域为_____________． 【答案】[3,3]-【分析】设cos x t =，[]1,1t ∈-，得到231324y t ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，根据二次函数性质得到值域.【详解】22sin 3cos 1cos 3cos y x x x x =+=-+，设cos x t =，[]1,1t ∈-，则223133124y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，函数在[]1,1t ∈-上单调递增，故1t =时，max 1313y =-++=，1t =-时，min 1313y =--+=-，故值域为[3,3]-. 故答案为：[3,3]-.【点睛】本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和转化能力，换元是解题的关键. 8．函数()lg cos f x x x =-在(,)-∞+∞内的零点个数为__________． 【答案】4【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数|lg |y x =和cos y x =的图像如图， 结合图像的对称性可以看出两函数|lg |y x =和cos y x =的图像应有4个交点， 即函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内有4个零点， 故答案为：4．点睛：本题旨在考查化归转化的数学思想、函数方程思想、数形结合思想等数学思想的综合运用，求解时依据函数的对称性，先画出y 轴右边的函数的图像相交的情形，再根据对称性确定y 轴左边的函数的图像相交的情形，最终使得问题获解． 9．当3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()arcsin cos y x =的值域是______. 【答案】,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】令cos t x =，3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，再利用反正弦函数的性质求解. 【详解】令cos t x =，3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以212t -≤≤， 因为arcsin y t =在2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增， 所以arcsin 42t ππ-≤≤，所以函数()arcsin cos y x =的值域是,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查反正弦函数的图象和性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.10．函数2()sin cos 2f x x x =+-的值域是________ 【答案】3[3,]4--【分析】化简得到2()cos cos 1f x x x =-+-，设cos x t =，得到21324y t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，根据二次函数性质得到值域.【详解】22()sin cos 2cos cos 1f x x x x x =+-=-+-,设cos x t =，[]1,1t ∈-，则2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭， 当12t =时，函数有最大值为34-；当1t =-时，函数有最小值为3-.故函数值域为3[3,]4--. 故答案为：3[3,]4--.【点睛】本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和转化能力，换元转化为二次函数是解题的关键.11．方程2cos 210x -=的解集是___________. 【答案】{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【分析】根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可. 【详解】由2cos 210x -=可得：1cos 22x =， 所以223x k ππ=+或223x k ππ=-，()k ∈Z即6x k ππ=+或6x k ππ=-故答案为：{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题. 三、解答题12．作出函数[]32cos ,,y x x ππ=-∈-的大致图象，并分别写出使0y >和0y <的x 的取值范围． 【答案】图象见解析；当,,66⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦x ππππ时，0y >；当,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0y <. 【分析】利用五点作图法可得函数大致图象，令0y =，确定函数零点，数形结合得到所求x 的取值范围. 【详解】由五点作图法可知：x π-2π-2ππcos x1-0 11-y32+ 3 32- 3 32+由此可得函数大致图象如下图所示：令0y =32cos 0x =，3cos 2x ∴=，又[],x ππ∈-，6x π∴=-或6π，结合图象可知：当,,66⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦x ππππ时，0y >；当,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0y <. 【点睛】本题考查五点作图法的应用、与余弦函数有关的不等式的求解；求解不等式可确定函数零点后，通过数形结合的方式来求解.13．利用“五点法”作出函数1cos y x =-，[]0,2x π∈的图像． 【分析】根据“五点法”的步骤先描点，再画出图象. 【详解】先找出五个关键点，列表如下：x2ππ32π 2π1cos y x =-0 121描点作出函数图象如下：14．求下列函数的单调递增区间： （1）3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）2cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （3）sin y x =；（4）()22sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈．【答案】（1）37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦；（2）5,88k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦；（3）,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（4）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）利用诱导公式变形，由正弦型复合函数的单调性求解； （2）余弦型复合函数的单调性求解； （3）画出函数图象，结合函数图象即可判断；（4）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得．【详解】解：（1）2sin 22sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由3222242k x k πππππ+-+，得3878k x k ππππ++，k Z ∈． 3sin 24y x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭的单调增区间为37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， （2）因为2cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由2224k x k ππππ-++，k Z ∈，得588k x k ππππ-+≤≤-+，k Z ∈． 2cos 24y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为5,88k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， （3）sin y x =的图象是由sin y x =位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折上去，函数图象如下所示：由函数图象可得函数的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （4）因为()22sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈所以()sin 2cos 222224f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故函数的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦15．如图，设A 、B 是半径为1的圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为等边三角形，记以Ox 轴正半轴为始边、射线OA 为终边的角为θ.（1）若点A 的坐标为34(,)55，求5sin()5cos()3cot()2πθπθθ--++-值；（2）设2()||f BC θ=，求函数()f θ的解析式和值域. 【答案】（1）3；（2）()22cos()3f πθθ=-+，值域为(2,23).【分析】（1）根据A 的坐标，利用三角函数的定义，求出sin θ，cos θ，再利用诱导公式，即可得到结论； （2）由题意，cos cos()3COB πθ∠=+，利用余弦定理，可得函数()f θ的解析式，从而可求函数的值域．【详解】解：（1）A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，以Ox 轴正半轴为始边，射线OA 为终边的角为θ∴根据三角函数的定义可知，4sin 5θ=，3cos 5θ=，4tan 3θ=∴5sin()5cos()3cot()2πθπθθ--++-5sin 5cos 3tan θθθ=-++4345533553=-⨯+⨯+⨯=；（2）)AOB 为正三角形，3AOB π∴∠=．cos cos()3COB πθ∴∠=+222()||||||2||||cos 22cos 3f BC OC OB OC OB COB πθθ⎛⎫∴==+-∠=-+ ⎪⎝⎭62ππθ<<， 5236πππθ∴<+<， 3cos 03πθ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以222cos 233πθ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭(2()2,3f θ∴+∈．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查余弦定理求边长的平方，考查学生的计算能力，属于中档题．。
2019-2020年高二数学暑假作业15三角函数的图象和性质2理湘教版
2019-2020年高二数学暑假作业15三角函数的图象和性质2理湘教版 参考时量：分钟完成时间：月日一、选择题 1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象(部分)如 图，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R ) B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R ) C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R ) D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R ) 解析：由三角函数图象可得A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2＝2πω，则ω＝π，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2代入f (x )＝2sin(πx ＋φ)可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，解得φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 答案：A2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象 ( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称 解析：当x ＝π3时，y ＝sin π＝0，当x ＝π4时y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝cos π3＝12， ∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．答案：A 3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )·cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C.3＋1 D.3＋2 解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵0≤x <π2，∴f (x )max ＝2.答案：B4.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增5．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则 ( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6解析：由π2ω＝7π12－π3解得ω＝2，又当x ＝π3时，ωx ＋φ＝π2，解得φ＝－π6. 答案：D6.已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值可以是 ( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称，即f (x ＋φ)为偶函数． ∴π3＋φ＝π2＋k π，φ＝k π＋π6，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6. 答案：D二、填空题7．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．解析：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3sin x 0≤x ＜π，－sin x π≤x ≤2π.在同一坐标系中，作出函数f (x )与y ＝k 的图象可知1＜k ＜3.答案：(1,3)8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最 高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝________. 解析：据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋＋2＝22，解得T＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ) ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6. 答案：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6 9．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ，sin x ≥cos x cos x ，sin x <cos x ，给出下列三个命题：(1)该函数的图象关于x ＝2k π＋π4(k ∈Z )对称； (2)当且仅当x ＝k π＋π2(k ∈Z )时，该函数取得最大值1； (3)该函数是以π为最小正周期的函数．上述命题中正确的是________．解析：由函数f (x )的图象知，在x ＝0处，函数也取得最大值，∴(2)错；函数f (x )的最小正周期为2π，∴(3)错；由题意可知，(1)正确．答案：(1)10、函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.三、解答题11．(本小题满分10分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π4，又－π＜φ＜0，则－54＜k ＜－14， ∴k ＝－1，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 12．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R (其中0≤φ≤π2)的图象与y 轴交于点(0,1)． (1)求φ的值；(2)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求PM →与PN →的夹角的余弦．解：(1)由已知：2sin φ＝1，即sin φ＝12，又0≤φ≤π2， ∴φ＝π6，因此y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. (2)令2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6＝0，则πx ＋π6＝k π，k ∈Z ，即x ＝k －16，k ∈Z . 当k ＝1时，x ＝56，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，0；当k ＝0时，x ＝－16， 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，0.又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2，∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. cos 〈PM →，PN →〉＝ ＝1517. ∴PM →与PN →的夹角的余弦为1517. 13．(本小题满分10分)设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，x ∈R .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)将函数y ＝f (x )的图象按向量d 平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.解：∵a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x )＝sin 2x －sin x cos x －sin x cosx ＋3cos 2x＝1－cos 2x 2－sin 2x ＋32(1＋cos 2x )＝cos 2x －sin 2x ＋2＝2cos(2x ＋π4)＋2. (1)函数f (x )的最大值为2＋2，最小正周期为π.(2)d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，－2. 将y ＝f (x )的图象按向量d 平移得的图象对应的函数解析式为y ＝－2sin 2x .。
2019-2020学年度华东师大版数学八年级下册第十七章 《函数及其图像》(含解析)第17章 单元测试
第十七章函数及其图像单元测试班级：姓名：学号：成绩：一、选择题1.对于圆的面积公式S=πR2，下列说法中，正确的为()A. π是自变量B. R是常量C. R是自变量D. π和R是都是常量.其中y是x函数的是() 2.关于变量x，y有如下关系：①x−y=5；②y2=2x；③：y=|x|；④y=3xA. ①②③B. ①②③④C. ①③D. ①③④3.某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草坪的一边长为y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化的图象可能是()A. B. C. D.4.如图，是反比例函数y1=k和一次函数y2=mx+n的图象，若y1<y2，则相应的x的取值范围是()xA. 1<x<6B. x<1C. x<6D. x>15.关于函数y=−2x+1，下列结论正确的是()A. 图象必经过点(−2,1)B. 图象经过第一、二、三象限C. 图象与直线y=−2x+3平行D. y随x的增大而增大6.已知反比例函数y=−2，下列结论不正确的是()xA. 图象经过点(−2,1)B. 图象在第二、四象限C. 当x<0时，y随着x的增大而增大D. 当x>−1时，y>27.当x=−3时，函数y=x2−3x−7的函数值为()A. −25B. −7C. 8D. 11(k≠0)的图象经过点(2,−3)，则k的值为()8.若反比例函数y=kxA. 5B. −5C. 6D. −69.若反比例函数y=2k+1的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是()xA. −3B. -2C. -1D. 010.在平面直角坐标系中，点P(-2,3-π)所在象限是()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限11.甲、乙两人进行慢跑练习，慢跑路程y(米)与所用时间t(分钟)之间的关系如图所示，下列说法错误的是()A. 前2分钟，乙的平均速度比甲快B. 5分钟时两人都跑了500米C. 甲跑完800米的平均速度为100米/分D. 甲乙两人8分钟各跑了800米12.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20min到一个离家900m的报亭看10min报纸后，用15min返回家里，图中表示小明父亲离家的时间与距离之间的关系是()A.B.C.D.二、填空题13. 王明在班级的座位是“第3列第5排”，若用(3,5)表示，则(5,3)表示的实际意义是______． 14. 在平面直角坐标系内，一次函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的图象如图所示，则关于x ，y 的方程组{y −k 1x =b 1y −k 2x =b 2的解是______．15. 若一次函数y =−2x +b(b 为常数)的图象经过第二、三、四象限，则b 的值可以是 (写出一个即可)．16. 已知点P(x,y)在第四象限，且到y 轴的距离为3，到x 轴的距离为5，则点P 的坐标是 ． 17. 已知y =(k −1)x +k 2−1是正比例函数，则k = ． 18. 函数y =√x+2−√3−x 中自变量x 的取值范围是 ．19. 如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是(3,−1)和(−3,1)，那么“卒”的坐标为 ．20.如图，在平面直角坐标系中，A是x轴上的任意一点，BC平行于x轴，分别交y=4x (x>0)，y=kx(x<0)的图象于B，C两点若△ABC的面积为3，则k的值为______．三、解答题21.已知一次函数图象经过点(3,5),(−4,−9)两点．(1)求一次函数解析式．(2)若图象与x轴交与点A，与y轴交与点B，求出点A、B的坐标，并画出图象。
第20讲-三角函数的图象与性质(解析版)
第20讲-三角函数的图象与性质一、 考情分析1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质.二、 知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无[微点提醒] 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.三、 经典例题考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cosx ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8.规律方法 1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解. 考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________. 【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3， 即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【解析】 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ， 解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.规律方法 1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.规律方法 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( ) A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称 (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称， 所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33， 所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称.(2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ).又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9.规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可. 2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可. [方法技巧]1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.4.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.5.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.6.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .四、 课时作业1．（2020·宝鸡中学高一期中）函数π()tan 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．πππ2π,()2623k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ5π,()212212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．π5ππ,π()1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z D ．π2ππ,π()63k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 【答案】C 【解析】()π2232k x k k Z ππππ-<-<+∈得：5212212k k x ππππ-<<+，所以函数π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5ππ,π()1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z . 2．（2020·陕西省西安中学高一期中）设函数12sin y x =-，则函数的最大值及取到最大值时的x 取值集合分别为（ ） A ．3，|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．1，3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．3，3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．1，|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由于22sin 2,22sin 2,112sin 3x x x -≤≤-≤-≤-≤-≤， 所以当32,2x k k Z ππ=+∈时，函数12sin y x =-有最大值为3. 3．（2020·吉林省高三其他（文））下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( ) A ．1y x=B ．y tanx =C ．x x y e e -=-D ．2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间， 对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意；对于C 选项，令()x xf x e e -=-知()x x f x e e --=-，所以()()0f x f x +-=所以()x xf x e e -=-为奇函数，又x y e =在定义内单调递增，所以xy e -=-单调递增， 所以函数xxy e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数.4．（2020·武功县普集高级中学高一月考）函数y =的定义域是（ ）A ．()2,266k k k Z ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦π-π+∈ B ．()22,333k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈ D ．()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由2cos 10x +≥得：2222,33k x k k πππ-≤≤π+∈Z . 所以函数2cos 1y x =+的定义域是()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈. 5．（2020·武功县普集高级中学高一月考）函数sin y x x =的部分图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】:因为sin y x x =，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故可以排除B ，D.又因为函数()f x 在()0,π上函数值为正，故排除C.6．（2019·呼玛县高级中学高一月考）若函数()sin()(0,0,)2πωϕωϕ=+>><f x A x A 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin(2)6f x x π=+B ．()cos(2)6f x x π=+ C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()sin(2)3f x x π=+【答案】D【解析】由函数的部分图像可知1A =，22T π=，故T π=，所以2ππω=即2ω=.由函数图像的对称轴为12x π=，所以22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，因2πϕ<，故3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选D . 7．（2019·呼玛县高级中学高一月考）设cos 12a π=，41sin6b π=，7cos 4c π=，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A 【解析】4155b sinsin 6sin sin cos 66663ππππππ⎛⎫==+=== ⎪⎝⎭,7c cos cos 44ππ== 因为3412πππ>>，且y cos 0,2x π=在（，）是单调递减函数，所以a c b >>，故选A 8．（2019·延安市第一中学高三月考（理））已知函数()sin()(0)2f x x πωφωϕ=+><，图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线12x π=-对称D ．关于直线12x π=对称【答案】B【解析】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=． 设将()f x 的图像向左平移3π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()2sin 23g x x πφ⎛⎫=++⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故()01g =±， 所以2sin 13πφ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，2,32k k Z ππφπ+=+∈，所以,6k k Z πφπ=-∈， 因2πφ<，所以6πφ=-．又()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，故对称轴为直线,23k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k π-=π∈Z ，故,212k x k Z ππ=+∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以A 错误，D 正确．9．（2020·河北省故城县高级中学高一期中）关于函数sin(),2y x π=+在以下说法中正确的是（ ）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数 C ．[,0]π-上是减函数 D ．[,]-ππ上是减函数【答案】B【解析】sin()cos 2y x x π=+=，它在[0,]π上是减函数．10．（2020·上海高一课时练习）下列命题中正确的是（ ） A ．cos y x =在第一象限和第四象限内是减函数 B ．sin y x =在第一象限和第三象限内是增函数 C ．cos y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 D ．sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】D【解析】对于cos y x =，该函数的单调递减区间为：[]2,2,k k k Z πππ+∈，故A 错，C 错. 对于sin y x =，该函数的单调递增区间为：2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错，D 对.11．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））关于函数()2sinsin 222x x f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有下述四个结论： ①函数()f x 的图象把圆221x y +=的面积两等分②()f x 是周期为π的函数③函数()f x 在区间(,)-∞+∞上有3个零点④函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【解析】f （x ）＝2sin2x sin （2π+2x ）﹣x ＝2sin 2x cos 2x﹣x ＝sin x ﹣x ， 对于①，因为f （﹣x ）＝sin （﹣x ）﹣（﹣x ）＝﹣sin x +x ＝﹣f （x ），所以函数f （x ）为奇函数，关于原点对称，且过圆心，而圆x 2+y 2＝1也是关于原点对称，所以①正确；对于②，因为f （x +π）＝sin （x +π）﹣（x +π）＝﹣sin x ﹣x ﹣π≠f （x ），所以f （x ）的周期不是π，即②错误；对于③，因为()'f x ＝cos x ﹣1≤0，所以f （x ）单调递减，所以f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上至多有1个零点， 即③错误； 对于④，()'fx ＝cos x ﹣1≤0，所以f （x ）单调递减，即④正确．12．（2020·山西省高三其他（文））已知()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象关于直线524x π=对称，把()f x 的图象向左平移4π个单位后所得的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】因为()f x 的图象向左平移4π个单位后所得的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 所以()f x 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 又()f x 的图象既关于直线524x π=对称， 设()f x 的最小正周期为T ，则()()2153244k T k N ππ+-=∈， 即()21284k k N ππω+⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭，所以()84k k N ω=+∈，取0k =，得4ω=，13．（2020·上海高二课时练习）设直线的斜率(,1][1,)k ∈-∞-⋃+∞，则该直线的倾斜角α满足（ ）. A ．44ππα- B ．42ππα<或324ππα< C ．04πα或34παπ< D ．04πα或34παπ【答案】B【解析】因为tan k α=， 所以当1k ≤-时，324ππα<≤， 当1k时，42ππα≤<，即直线的倾斜角α满足42ππα<或324ππα<， 14．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）方程10sin x x =的根的个数是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】分别作函数,10sin y x y x ==图象，如图，由图可得交点个数为7，所以方程10sin x x =的根的个数是715．（2020·福建省高三其他（文））图数()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)(],00,x ππ∈-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题知：()()11cos cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 为奇函数，故排除B ，D. 又因为02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故排除C.16．（2020·上海高一期中）函数sin cos y x x =⋅的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1 B ．π，12C ．2π，1D ．2π，12【答案】B【解析】1sin cos =sin 22y x x x =⋅， 函数sin cos y x x =⋅的最小正周期22T ππ==， 1sin 21x -≤≤，∴111sin 2222x -≤≤，∴函数sin cos y x x =⋅的最大值为12. 17．（2020·山西省高三其他（文））对于函数()()1122f x sinx cosx sinx cosx =+--.有下列说法：①()f x 的值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值；③函数()f x 的最小正周期是π；④当且仅当()222x k kk Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时,()0f x >.其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为()()1122cosx sinx cosx f x sinx cosx sinx cosx sinx sinx cosx≥⎧=+--=⎨<⎩，，，作出函数()f x 的图象，如图所示：所以，()f x 的值城为21,2⎡-⎢⎣⎦，①错误； 函数()f x 的最小正周期是2π，③错误； 当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值，②正确；当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，④正确. 18．（多选题）（2020·海南省海南中学高三月考）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0,0A ω>>）在1x =处取得最大值，且最小正周期为2，则下列说法正确的有( ). A ．函数()1f x -是奇函数B ．函数()1f x +是偶函数C ．函数()2f x +在[]0,1上单调递增D ．函数()3f x +是周期函数【答案】BCD【解析】因为()()sin f x A x =+ωϕ在1x =处取得最大值， 所以有2()2k k Z πωϕπ+=+∈，又因为()()sin f x A x =+ωϕ的最小正周期为2， 所以有22,0πωωπω=>∴=，因此()()sin sin 2cos 2f x A x A x k A x πωϕπππ⎛⎫=+=+-=- ⎪⎝⎭.选项A ：设()()1cos[(1)]cos g x f x A x A x ππ=-=--=， 因为()cos[()]cos ()g x A x A x g x ππ-=-==， 所以()()1g x f x =-是偶函数，故本选项说法不正确； 选项B ：设()()1cos[(1)]cos h x f x A x A x ππ=+=-+= 因为()cos[()]cos ()h x A x A x h x ππ-=-==， 所以()()1h x f x =+是偶函数，故本选项说法正确；选项C ：设()()2cos[(2)]cos m x f x A x A x ππ=+=-+=-，因为[]0,1x ∈，所以[]0,x ππ∈，又因为0A >，所以函数()()2m x f x =+在[]0,1上单调递增，故本选项说法正确；选项D ：设()()3cos[(3)]cos n x f x A x A x ππ=+=-+=， 函数()n x 最小正周期为：22ππ=，所以本选项说法正确.19．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．2π为()f x 的一个周期B ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称 C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x π+的一个零点为3π【答案】AD【解析】根据函数()6f x cos x π⎛⎫=+⎪⎝⎭知最小正周期为2π，A 正确.当43x π=时，443cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由余弦函数的对称性知，B 错误；函数()6f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误； ()76f x cos x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，73cos cos 03632f πππππ⎛⎫⎛⎫∴+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.20．（2020·山东省高一期中）将函数()2sin 2f x x x =+12π个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f xB ．()g x 是奇函数C ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()g x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】CD【解析】函数2()sin 2sin 22sin(2)3f x x x x x x π=++=+，把函数图象向左平移12π个单位，得到2sin[2()]2sin(2)2cos 21232y x x x πππ=++=+=， 再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到()2cos g x x =． ①故()f x 函数的最大值为2，故选项A 错误． ②函数()2cos g x x =为偶函数，故选项B 错误． ③当6x π=-时，2sin 20663f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故选项C 正确．④由于()2cos g x x =，在[]2,2k k πππ+，()k Z ∈上单调递减，故函数()g x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．故选项D 正确．21．（2020·上海高一期中）函数()tan 6f x x π=的单调递增区间为________【答案】(63,63)k k -+，k ∈Z 【解析】由622x k k πππππ-+<<+，k Z ∈，解得6363k x k -<<+，k Z ∈，故函数的单调增区间为()63,63k k -+，k Z ∈，22．（2020·河北省故城县高级中学高一期中）已知函数()sin()f x x π=-，()cos()g x x π=+，有以下结论： ①函数()()y f x g x =的最小正周期为π； ②函数()()y f x g x =的最大值为2；③将函数()y f x =的图象向右平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象； ④将函数()y f x =的图象向左平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象.其中正确结论的序号是____________. 【答案】①④【解析】()sin()sin f x x x π=-=-，()cos()cos g x x x π=+=-. 因为1()()(sin )(cos )sin cos sin 22y f x g x x x x x x ==-⋅-=⋅=， 所以1()()sin 22y f x g x x ==的最小正周期为：22ππ=，故结论①正确； 因为1()()sin 22y f x g x x ==的最大值为12，所以结论②不正确；因为函数()y f x =的图象向右平移2π个单位后得到函数的解析式为： ()sin()cos 22y f x x x ππ=-=--=，所以结论③不正确；因为函数()y f x =的图象向左平移2π个单位后得到函数的解析式为： ()sin()cos ()22y f x x x g x ππ=+=-+=-=，所以结论④正确.23．（2020·宝鸡中学高一期中）函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，其中0A >，0>ω，π||2ϕ<.（1）求函数()y f x =解析式；（2）求[0,π]x ∈时，函数()y f x =的值域； （3）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递减区间.【解析】（1）根据函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象，其中0A >，0>ω，π||2ϕ<， ∵40A B A B +=⎧⎨-+=⎩，∴22A B =⎧⎨=⎩；∵12π5ππ44126T ω=⋅=-，∴2ω=， 再根据π46f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得ππ22π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，∴π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，∵π||2ϕ<，∴π6ϕ=，∴函数()y f x =的解析式为π()2sin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （2）∵[]0,πx ∈，∴ππ13π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 2[1,1]6x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ∴函数()y f x =的值域为[]0,4； （3）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度， 得到函数πππ()2sin 222sin 22463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，对于函数π()2sin 223g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，k ∈Z ， 求得5π11πππ1212k x k +≤≤+，k ∈Z ， 故函数()g x 的单调减区间为5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .24．（2020·山西省平遥中学校高一月考）已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）求函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域和取得最大值时相应的x 的值.【解析】（1）()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22sin cos x x x =-)sin 21cos2x x =-+sin 22x x =+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴22T ππ==. 由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ∴单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵46x ππ-≤≤，∴22633x πππ-≤+≤. ∴1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即12sin 223x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.∴函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2- 且当232x ππ+=，即12x π=时，()max 2f x =.25．（2020·武功县普集高级中学高一月考）在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式；(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 【解析】（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． (2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2； 当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．。
MJT-上海市浦东新区2020年高一第二学期数学讲义反三角函数性质及其运算演练
上海市浦东新区2020年高一第二学期数学讲义反三角函数图像性质及计算演练【知识梳理】反三角函数：名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinxx∈[-2π,2π] 的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsinyy=cosx(x∈[0,π]的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosyy=tanxx∈(-2π,2π))的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctanyy=cotxx∈(0,π)的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty理解arcsinx表示属于［-2π,2π］且正弦值等于x的角arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角arctanx表示属于(-2π,2π)，且正切值等于x的角arccotx表示属于(0，π)且余切值等于x的角图像性质定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞) (-∞，+∞)值域［-2π，2π］［0，π］(-2π，2π) (0，π)【典型例题分析】例1、求下了各式的值：113(1)arcsin(cos);(2)arccos(cos);(3)arctan(cot)555πππ答案：3(1);(2);(3)10510πππ-变式练习：求值：() 123(1)tan(arccos());(2)cos(arcsin arctan(1))(3)arccos(cos4);(4)arccos sin4.235----⎡⎤⎣⎦答案：34;(4) 4.2ππ--例2、求下列各式的值：11(1)arctan arctan ;2313(2)cos arccos ;254(3)sin 2arcsin .5+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：(1)4π(3)2425变式练习：求下列各式的值：(1) sin(arccos(解：设x arccos(=，则cos x =且x [,]2π∈π，则sin x =(2) tan[arccos(]26π-解：231)tan()2432ππ-===+ (3) 213cos (arccos )25解：设3x arccos 5=，则3cos x 5=且x [0,]2π∈，则2x 1cos x 4cos 225+== (4) 123sin[arctanarcsin ]55- 解：设12arctan5α=，3arcsin 5β=，则12tan 5α=，4sin 5β=且,(0,)2παβ∈，则1231245333sin[arctan arcsin ]sin()5513513565-=α-β=⨯-⨯=。
2019-2020年八年级语文暑假作业第20天名著导读新人教版
2019-2020年八年级语文暑假作业第20天名著导读新人教版典例在线一、阅读下面文段，回答问题。
他说那泾河龙诬告我许救转杀之事，是朕将前言陈具一遍。
……崔判官教朕回阳世，千万作一场水陆大会，超度那无主的孤魂……（唐太宗）榜行天下，着各处官员推选有道的高僧，上长安做会。
（《西游记》第十一回）1．请简述“泾河龙诬告我许救转杀之事”。
【答案】泾河龙因触犯天条被判死罪，向太宗求救；太宗答应救它，但不料泾河龙仍被魏征梦中所杀。
泾河龙就到地府状告太宗。
2．推选的“有道高僧”是谁？这位高僧在“水陆大会”后发下什么誓愿？【答案】玄奘誓死去西天取回真经【解析】此题考查学生对名著《西游记》中的重要人物及故事情节的了解，唐太宗还魂，登朝宣布大赦天下，严禁毁僧谤佛。
众人推举陈玄奘主持水陆大会，太宗许之。
观音菩萨变成疥癞游僧，将锡杖袈裟献给太宗。
太宗将其赐予玄奘。
观音上台对玄奘言大乘佛法的妙处，玄奘愿去西天，太宗封其为“御弟圣僧”，赐号为“三藏”。
三藏唐僧出关而去。
二、下面一段文字选自名著，请你认真阅读后按要求填空。
“去拿你的书来。
”他慢慢地说。
这所谓“书”，是指我开蒙时候所读的《鉴略》，因为我再没有第二本了。
我们那里上学的岁数是多拣单数的，所以这使我记住我其时是七岁。
我忐忑着，拿了书来了。
他使我同坐在堂中央的桌子前，教我一句一句地读下去。
我担着心，一句一句地读下去。
两句一行，大约读了二三十行罢，他说：“给我读熟。
背不出，就不准去看会。
”他说完，便站起来，走进房里去了。
我似乎从头上浇了一盆冷水。
但是，有什么法子呢？自然是读着，读着，强记着，——而且要背出来。
上面的文字出自《》，作者是。
【答案】《朝花夕拾》（或《五猖会》）鲁迅试题推荐1．名著阅读。
当他躺在手术台上，手术刀剖开他的颈子，切除一侧的副甲状腺时，死神的黑色翅膀曾经三次触及到他。
然而他的生命力非常顽强。
达雅焦急不安地守候在外面，几个小时以后，她看见丈夫脸色像死人般苍白，但仍然很有生气，而且像往常一样平静温存：“好姑娘，你别担心，我可不会这么容易就进棺材的。
沪教版(第6章_三角函数_68_反三角函数(有答案)
沪教版(上海某校高一第二学期新高考辅导与训练第6章三角函数 6.8 反三角函数（1）一、解答题1. 求下列反正弦函数的值：（1）；（2）；（3）.2. 用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x：（1）；（2）；（3）.3. 求下列函数的反函数：（1），；（2），；（3），.二、填空题________．函数的定义域是________.当时，的取值范围是________.若函数的值域是，则它的定义域为________. 在中，若，则________.已知，用反正弦函数值表示角x为________.下列式子中正确的是________（填写序号）.①；②；③；④.三、单选题，则角x等于().A. B.C. D.参考答案与试题解析沪教版(上海某校高一第二学期 新高考辅导与训练 第6章 三角函数 6.8 反三角函数（1）一、解答题1.【答案】（1）ac sin √22=π4；（2）ac sin [−√32)=−π3； （3）ac sin 1=π2【考点】反三角函数【解析】（1）IH 】利用反正弦函数直接求出对应的角即可．【解答】（1）sin π4=√22，且π4∈[−π2,π2] ax sin √22=π4（2）sin (−π3)=−√32，且−π3∈[−π2,π2] ar cos (−√32)=−π3（3）sin π2=1，且π2∈[−π2,π2]a tan 1=π22.【答案】（1）x =−a tan √25（2）x =加−ar sin 13（3）x =at sin 15或x =π−ar sin 15【考点】反三角函数【解析】（1）由条件利用反正弦函数的定义和性质，即可求解．【解答】（1）∵ x ∈[π2,32π]π−x ∈[−π2,π2]sin (π−x )=sin x =13由反正弦函数定义，知π−x =ar sin 13 x =π−a tan 13（2）在区间[0,π2]上，由定义可得x =ac sin 15；在区间(π2,π]上，由诱导公式， 知x =π−ar sin 15满足s ln x =15 x =ac sin 15或x =π−ar sin 153.【答案】（1）y =π−ax sin xx ∈[0,1]；（2）y =12(ax sin x +π3)x ∈[12,√32]； （3）y =−cos xx ∈[0,π]【考点】反三角函数【解析】（1）求出函数y =sin x 在区间[π2,π]上的值域，再结合x ∈[π2,π]可求得原函数的反函数；（2）由x ∈[π4,π3]计算出2x −π3的取值范围，并求得函数y =sin (2x −π3)的值域，进而可解得原函数的反函数；（3）由x ∈[−1,1]计算出函数y =π2+a tan x 的值域，再由y =π2+a tan x 得出ax sin x =y −π2，利用诱导公式可求得原函数的反函数．【解答】（1）∵ x ∈[π2,π]．y =sin x ∈[0,1]，且π−x ∈[0,π2] ．sin (π−x )=sin x =y ，π−x =ac sin y ，即x =π−at sin y所求原函数的反函数为y =π−ar sin x,x ∈[0,1]（2）∵ x ∈[π4,π3]．2x −π3∈[π6,π3]，y ∈[12,√32] ：y =sin (2x −π3)，2x −π3=a cos y ，即x =12(atc sin y +π3)因此，所求原函数的反函数为y =12(ax sin x +π3),x ∈[12,√32]（3）∵ x∈[−1,1]．at sin x∈[−π2,π2]．y∈[0,π]由y=π2+a tan x，得ac sin x=y−π2∴ x=sin(y−π2)=−cos y因此，所求原函数的反函数为y=−cos x,x∈[0,π]二、填空题【答案】12×4+12＝60（元）【考点】图文应用题【解析】观察图可知：钢笔的价格是12元，书包的价格是钢笔价格的4倍，求出两种商品一共多少钱，先用钢笔的价格乘4，求出书包的价格，再把两者的价格相加即可。
【暑假提升】第20天 反三角函数的图像与性质-2019-2020学年沪教版(上海)高一数学暑假提升
高一年级暑假作业第20天 反三角函数的图像与性质【知识梳理】1. 反三角函数的概念：以反正弦函数arcsin y x =为例，（1）表示一个以弧度制度量的角；（2）这个角的范围是,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（3）这个角的正弦值为x.2. 反三角函数的图像与性质：[]1,1-[]1,1- (),-∞+∞一．填空题1. 若tan ,,2x a x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则x =________________. 2. 设2cos ,,63x ππαα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，则arcsin x 的取值范围是_______. 3. 函数arccos y x =在11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域是____________.4. 函数sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的反函数为_____________. 5. 函数()2arcsin y x x =-的值域为___________. 6. 函数()arcsin 1y x =-的定义域是____________.7. 已知()2cos ,,032ππθθ⎛⎫+=-∈- ⎪⎝⎭，则θ=___________. 8. 已知62sin ,,x πθπθ⎡∈=⎤-⎢⎥⎣⎦，则arccos x 的取值范围是___________. 二． 选择题9. 函数()cos 2y x x ππ=≤≤的反函数是（ ）A ．arccos y x =B ．arccos y x π=+C ．arccos y x =-D ．2arccos y x π=-10. 函数y = ）A ．[],ππ-B ．[]0,2C ．[]0,πD ．[]2,2-11. 已知sin ,2x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则x 的值为（ ）A ．2π+B ．2π-C ． D ．π- 12. 若一个直角三角形的三个内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为（ ）A ．B ．C ．D ． 三．解答题13. 求下列函数的定义域和值域：（1）()2arcsin 2y x x =-；（2）y =14. 已知方程240x ++=的两个实根为12,x x ，且12arctan ,arctan x x αβ==，求αβ+的值.15. 求下列函数的反函数： （1）[]arcsin ,1,12y x x π=-∈-；（2）3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.16. 求下列各式的值：（1）11tan arccos 23⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）cos 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭参考答案： 1. arctan a π+2. ,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3. []arcsin ,1,1y x x =∈-4.5π5. 1arcsin ,42π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6. []0,27. 2arccos 3- 8. 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9. D 10. C 11. D 12. B13. （1）定义域1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）定义域[]1,1-，值域⎡⎣ 14. 23π-15. （1）[]cos ,0,y x x π=∈；（2）[]arcsin ,1,1y x x π=-∈-.16.（1；（2。
沪教版(上海)高中数学高一下册6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质(课件)
探究一
1.你能设计出一个利用正弦线作出函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图像的方法吗？
提示：作图的关键是如何确定对应的（x,sinx）。
y
P
利用正弦线作正弦函
数图像的主要步骤是:
Q
O1
Ax
1、等分；2、作正弦线；
3、移线；4、连线
探究二
2.如何利用函数y sinx,x0,2 的图像
作出函数y sin x, x R的图像呢？
正弦函数和余弦 函数的图像与性质
Graphs and Properties of Sine and Cosine Functions
问题：
1. 当x R时 y sin x及 y cos x能不能构成函数？ 为什么？
2. 什么是正弦线？
y P
Q
O1
A
设单位圆与x轴的正 半轴交于A，与角α 的终边交于P，过P x 点作x轴的垂线，垂 足为Q,则QP叫做角α 的正弦线。
探究三
1.用五点法作 y sin x, x 0,2 的图像
与x轴的三个交点：(0,0), ( ,0), (2 ,0)
最高点（ ，1）和最低点（3 ，－1）
2
2
2y
1-
•
0•
2
•
1 -
-
3 2
•
2
x
探究三
2.用五点法作函数 y cos x, x 0,2 的图像
分析：五个关键点，注意：相邻两点横坐标的差
2
探究四
(1)X为何值时,sinx>0?
正弦曲线
y y sinx , xR
1 2
x
-2 3 -
o 3 2 5 3
4
【暑假作业】第19天 正切函数的图像与性质-2019-2020学年沪教版(上海)高一数学暑假作业
高一年级暑假作业 第19天 正切函数的图像与性质【知识梳理】sin y x=cos y x =tan y x =图像定义域 RR|,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z值域 []1,1-[]1,1-R奇偶性 奇函数偶函数奇函数周期性2T π=2T π=T π=单调性在2,22k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦递增在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦递减在[]2,2k k πππ-递增 在[]2,2k k πππ+递减在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭递增最值22x k ππ=+时，max 1y =22x k ππ=-时，min 1y =-2x k π=时，max 1y =()21x k π=+时，min 1y =-无最值【练习巩固】 一．填空题1. 函数tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是_________. 2. 函数tan y x =-的单调递减区间是__________.3. 函数tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心坐标是____________.4. 直线3y =与函数()tan 0y x ωω=>的图像相交，则相邻两交点间的距离是__________.5. 已知函数()tan 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω=________.6. 函数()()lg tan 1f x x =+的定义域是_____________.7. 函数2sec 2tan 3y x x =++在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为7+，则x =__________. 8. 函数tan 1tan 1x y x +=-的值域是_____________. 二．选择题9. 下列命题中，正确的是（ ）A ．tan y x =是增函数B ．tan y x =在第一象限是增函数C ．tan y x =在(),22k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 上是增函数D ．tan y x =在某一区间内是减函数10. 与函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像不相交的一条直线是（ ）A ．2x π=B ．2y π=C ．8x π=D ．8y π=11. 下列函数中，是奇函数的是（ ） A ．1sin 2y x = B ．sin 3xy x=C ．2tan sin y x x x =-D ．cot x y e =12. 方程sin tan x x =在[]2,2ππ-上的解有（ ） A ．3个 B ．5个C ．7个D ．9个三．解答题13. 已知函数()()2tan 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，求函数()f x 的单调区间.14. 若函数()2tan tan 4f x x a x x π⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭的最小值为6-，求实数a 的值.15. 若,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，tan 23y k x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的值总大于零，求实数k 的取值范围.16. 已知1，求函数2125tan tan y x x =-+的值域.参考答案： 1. 3,4k k x x ππ≠+∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭Z 2. (),22k k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∈Z3. (),048k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 4.πω5. 56. (),42k k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∈Z7.3π8. ()(),11,-∞⋃+∞ 9. C 10. C 11. C 12. B 13. ()5,212212k k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭∈Z 14. 7a =或7a =-15.k> 16.[]4,5。
沪教版(第6章_三角函数_69_反三角函数(有答案)
沪教版(上海某校高一第二学期新高考辅导与训练第6章三角函数 6.9 反三角函数（2）一、解答题1. 求下列函数的反函数：（1）；（2）．2. 求下列函数的定义域和值域：（1）；（2）．3. 求下列各式的值：（1）；（2）．二、双空题________．三、填空题为的一个内角，若，则________．不等式的解集是________．函数，的奇偶性为________．函数的反函数为________．函数的值域为________．四、单选题函数的值域是()A. B. C. D.函数的值域是()A. B. C. D.使得成立的x的取值范围是()A. B. C. D.参考答案与试题解析沪教版(上海某校高一第二学期新高考辅导与训练第6章三角函数 6.9 反三角函数（2）一、解答题1.【答案】（1）y=−a ln x,x∈[−1,1]；（2）y=atx,x∈(−1,√3)【考点】反三角函数【解析】（1）根据反函数的求法，先反解》，得到x=ac cos y，再将∼与）互换即可；根据反函数的求法，先反解》，得到x=at tan y，再将∼与）互换即可；【解答】（1）∵ x∈[−π,0]，…y∈[−1,1]cos x=y，∴x=ar cos y…原函数的反函数为y=ac cos x,x∈[−1,1]．（2）∵ x∈(−π4,π3)，∴y∈(−1,√3)y=tan x，∴x=at tan y…原函数的反函数为y=at tan x,x∈(−1,√3) 2.【答案】（1）定义域为[0,1]，值域为[0,a+cos34)（2）定义域为R，值域为[−π4,π2 )【考点】反三角函数【解析】（1）先利用反余弦函数有意义列不等式求得函数的定义域，再求反余弦函数的值域（2）先利用反正切函数有意义求得函数的定义域，再求反正切函数的值域【→解】（1）由，解得，定义域为[0,1]为减函数，…．函数的值域为[0,at cos34)（2）x2+2x∈R∴ x∈R，即定义域为R．令t=x2+2x=(x+1)2−1，则t∈[−1,+∞)y=at tan t是增函数，…．函数的值域为[−π4,π2 )【解答】此题暂无解答3.【答案】（1）一、π；（2）2【考点】反三角函数【解析】（1）利用诱导公式得cos115π=cosπ5，再结合反三角函数直接求解（2）由反三角得tanα=12,tanβ=13，再利用两角和的正切公式展开求解【解答】（1）at cos(cos115π)=aa cosπ5)=π5（2）令α=ar tan12,β=at tan13，则tanα=12,tanβ=13tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=12+131−12×13=10<ar tan12≤π4,0<a tan13<π4，α+β∈(0,π2)．α+β=π4，即arc tan12+at cos13=π4二、双空题【答案】12×4+12＝60（元）【考点】图文应用题【解析】观察图可知：钢笔的价格是12元，书包的价格是钢笔价格的4倍，求出两种商品一共多少钱，先用钢笔的价格乘4，求出书包的价格，再把两者的价格相加即可。
沪教版(第6章_三角函数_66_函数y=Asin(ωx φ)的图像与性质(有答案)
沪教版(上海某校高一第二学期新高考辅导与训练第6章三角函数 6.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质（1）一、解答题1. 用“五点法”画出下列函数的图像，并指出该函数图像怎样由函数的图像变换得到．（1）；（2）．二、填空题（1）要得到的图像，只需要把函数的图像上的对应点的横坐标________，纵坐标________；（2）要得到的图像，只需要把函数的图像上的对应点的横坐标________，纵坐标________．若将函数的图像向右平移个单位，所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，则可得到函数________的图像．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数，再向左平移个单位得到函数解析式是________.函数的图像向________平移________个单位可得到函数的图像．要得到函数的图像，只需将函数的图像至少向右平移________个单位．若函数的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图像向左平移个单位，向下平移1个单位，得到函数的图像，则________．若将函数的图象向左平移个单位，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是________．三、单选题将函数的图象向左平移个单位后得到的图象解析式为()A. B.C. D.要得到函数的图象，可以将函数的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位参考答案与试题解析沪教版(上海某校高一第二学期 新高考辅导与训练 第6章 三角函数 6.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质（1）一、解答题 1.【答案】 （1）见解析 （2）见解析【考点】五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象 【解析】（1）化简y =2sin (2x +π3)，列出表格，画出图像，再根据三角函数平移法则得到答案（2）列出表格，画出图像，变换y =2sin (x2+π4)，再根据三角函数平移法则得到答案 【解答】（1）y =sin 2x +√3cos 2x =2sin (2x +π3)，如表所示： 2x +π3】o π2π|32π/2元 Ix −π6Ⅰπ)12)⑤十Iπl 712π56π ly)012)0)−2)0在平面直角坐标系中，作出函数y =2sin (2x +π3),x ∈[−π6,56π]的图像（如图）．从图像变换看，可由）=sin Ⅰ图像上所有点先向左平移π3个单位，得到y =sin (x +π3)的图像；然后把图像上点的横坐标缩短为原来的一，纵坐标不变，得到函数y =sin (2x +π3)的图像；再把所得图像上点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 ，即得到y =2sin (2x +π3)的图像． aV（2）如表所示： x 2−π4/0π2)π32π/2π Ⅰπ|Ix2¯32π52π72π92πly/2/0l −2/0)2要由Ⅳ=sin π的图像变换得到y =2cos (x 2−π4)的图像，则首先要对目标函数进行转化，即y =2cos (x 2−π4)=2sin (π2+x 2−π4)=2sin (x 2+π4)先将y =sin x 图像上所有点向左平移π4个单位，得到y =sin (x +π4)的图像；然后把图像上点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y =sin (x2+π4)的图像；再把所得图像上点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，即得到 y =2sin (x2+π4)的图像，如图所示．二、填空题【答案】（1）不变,变为原来的3倍 （2）变为原来的一,不变 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 极差、方差与标准差【解析】（1）由题意结合三角函数图象振幅变换规律即可得解； （2）由题意结合三角函数图象伸缩变换规律即可得解．【解答】（1）要把函数y =5sin x 的图像变为函数y =3sin x 的图像，由三角函数图象振幅变换规律可得应使对应点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍； （2）要把函数y =5sin x 的图像变为函数y =sin 4x 的图像，由三角函数图象伸缩变换规律可得应使对应点的横坐标变为原来的14，纵坐标不变故答案为：不变；变为原来的3倍；变为原来的14；不变． 【答案】L ，_z)y =sin (1,_2(25) 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 正弦函数的单调性三角函数的周期性及其求法【解析】由题意结合三角函数的图象变换即可得解．【解答】将函数y=sin x的图象向右平移π3个单位可得到函数y=sin(x−π3)的图象，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数y=sin(12x−π3)的图象．故答案为：y=sin(12x−π3)【答案】1________）y=sin（++⑤）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换对数函数的图象与性质【解析】根据正弦函数的平移变换和伸缩变换求解即可．【解答】把函数y=sin x图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）得到函数y=sin2x的图象，再向左平移π6个单位得到函数解析式y=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3)故答案为:y=sin(2x+π3)【答案】左T8【考点】单位向量数列的概念及简单表示法【解析】直接利用三角函数平移法则得到答案【解答】y=12sin(2x−π4)=12sin2(x−π8)故函数y=12sin(2x−π4)的图像向左平移π8个单位可得到函数y=12sin2x的图像．故答案为：左；π8【答案】等【考点】辅助角公式 【解析】先由题目将函数化为y =A sin (ωx +φ)的形式，再根据图象变换规律，可得结论． 【解答】解：y =√3sin x −cos x =2sin (x −π6)y =√3sin x +cos x =2sin (x +π6) 则2sin (x +π6−π3)=2sin (x −π6)需将函数y =√3sin x +cos x 的图像至少向右平移π3个单位． 故答案为∵ π3【答案】−∼2cos 2x +1 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 余弦函数的图象【解析】直接利用三角函数平移法则得到答案 【解答】y =12sin x 向上平移1个单位得到y =12sin x +1 向右平移π2个单位得到y =12sin (x −π2)+1纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，得到y =12sin (2x −π2)+1=−12cos 2x +1故答案为：−12cos 2x +1【答案】________，5r 不 【考点】 基本不等式幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】函数y =√3cos x −sin x =2cos (x +π6)图象向左平移m 个单位可得y =2cos (x +m +π6)，由图象关于）轴对称，可得 2cos (m +π6)=±2，求解即可． 【解答】：函数y =√3cos x −sin x =2cos (x +π6)图象向左平移m 个单位 可得y =2cos (x +m +π6)根据图象关于）轴对称，可得此函数在y 轴处取得函数的最值，即2cos(m+π6)=±2解得m+π6=kπ,m=kπ−π6,k∈Zm的最小值5π6，故答案为5π6三、单选题【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】[1))根据三角函数图象平移变换特点，即可得解．【解答】将函数y=sin(2x+π6)的图象向左平移π6个单位，可得y=sin[2(x+π6)+π6]=sin(2x+π2)=cos2x故选：B．【答案】A【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】将函数y=3cos(2x−π4)的解析式变形为y=3sin(2x+π4)，利用图象的平移规律可得结论．【解答】∵y=3cos(2x−π4)=3sin[(2x−π4)+π2]=3sin(2x+π4)=3sin[2(x+π8)]所以，要得到函数y=3cos(2x−π4)的图象，可以将函数y=3sin2x的图象向左平移π8个单位故选：A．。
沪教版(上海)2019-2020学年度高三数学综合备考三角系列之正弦函数和余弦函数的图像与性质-1
沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学综合备考三角系列之正余弦函数的图像与性质 ①教学目标1. 形成正弦函数和余弦函数的概念并理解其意义；2. 掌握正弦函数和余弦函数的奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值等性质.【重点掌握两函数sin ,cos y x y x ==的四大性质（奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值），特别是正弦函数和余弦函数的周期性与单位圆的对应.对对称中心和对称轴的讲解视学生情况自定.】 知识梳理 1． 正弦函数的图像与性质正弦函数的定义域是__________,最大值是____，最小值是____，周期是____, 递增区间是_____________________，递减区间是______________________． 对称轴是______________,对称中心是_____________；答案：定义域是x R ∈，最大值1，最小值1-，周期2π，递增区间是(2,2),k k k Z ππππ-++∈，递减区间是3(2,2),22k k k Z ππππ++∈2. 余弦函数的图像与性质余弦函数的定义域是______,最大值是______，最小值是____，周期是____, 递增区间是_____________________，递减区间是______________________． 对称轴是__________________,对称中心是____________；答案：定义域是x R ∈，最大值1，最小值1-，周期2π，递增区间是(2,2),k k k Z πππ-+∈，递减区间是(2,2),k k k Z πππ+∈典例精讲例1. （★）求下列函数的定义域与值域（1）x y 2sin 21=（2）x y cos 2-= 分析：(1)∵sin y x =的定义域为R ，值域是[1,1]-；∴1sin 22y x =的定义域应是2x R ∈，即x R ∈，值域是11[,]22-； (2)虽然cos y x =的定义域为R ，值域是[1,1]-.但本题中2cos x -作为二次根式的被开方数，所以2cos 0x -≥，即cos 0x ≤.根据余弦比的符号可求得x 求值范围，并由02cos 2x ≤-≤，可得函数值域.解：(1)定义域为R ，值域是11[,]22-； (2)定义域为322,()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈，值域为[0y ∈. 例2. （★）求下列函数的周期（1）cos(2)y x =-； （2）sin()26x y π=+ 【分析：2||T πω=.】 解：（1）2|2|T ππ==-； （2）2412T ππ==例3. （★★）设R x t x ∈-=,3sin ，求t 的取值范围.解：1sin 1,x x R -≤≤∈,则131t -≤-≤，解得24t ≤≤.【本题实际是正弦函数的值域问题.学生程度尚可的话可以选用变式练习为例题进行讲解.】 变式练习：（★★★）已知α是第四象限角,且23sin 4m mα-=-，求实数m 的取值范围. 解：α是第四象限角，故0sin 1α≤≤从而有23014m m -≤≤-， 解得 3723m ≤≤.【本题的难点：解分式不等式.必要的话学科教师可以进行分解，即适当讲解分式不等式的解法.】例4. （★★）函数sin y a b α=+的值域为[4,2]-,求,a b 的值.解：当0a >时 2341a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-+=-=-⎩⎩. 当0a <时 2341a b a a b b -+==⎧⎧⇒⎨⎨+=-=-⎩⎩（矛盾舍去）. 变式训练：（★★）设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M m +等于（ ）A ．32B ．－32C ．－34 D ．－2 解：D例5. （★★）判断函数sin()2y x π=-的奇偶性和单调性，并写出的单调区间.解：sin()cos 2y x x π=-=-，为偶函数，单调递增区间为(2,2),k k k Z πππ+∈，单调递减区间为(2,2),k k k Z πππ-+∈.课堂练习 1. （★）函数cos3y x =，x R ∈的最小正周期是 .解：23π 2. （★★）函数x x x f 22sin cos )(-=是 （ ）A ．最小正周期为2π的奇函数．B ．最小正周期为2π的偶函数．C ．最小正周期为π的奇函数．D ．最小正周期为π的偶函数．解：D3. （★★）若将函数sin ()cos xf x x=的图像向左平移a (0)a >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为（ ） A ．6π B ．3πC ．32π D ．65π解：D4. （★★）函数)cos(sin x x y --=π)R (∈x 的单调递增区间为 ．解：3[2,2],44k k k Z ππππ-+∈。
三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
三角函数1.特殊锐角(0°, 30°, 45°, 60°, 90° )的三角函数值2.角度制与弧度制设扇形的弧长为I ，圆心角为a(rad ),半径为R,面积为S3.诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限)所谓奇偶指是整数k 的奇偶性(k • /2+ a )所谓符号看象限是看原函数的象限(将 a 看做锐角，k • /2+a 之和所在象限)注：①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了4. 二角函数的图像和性质：（其中k z）①:三角函数函数图象定义域值域周期奇偶性单调性对称性零直点最值点八、、y sirx[-1,1]2奇2k C2k22k2,2k2对称轴：x k 2对称中心：（k , 0）x kx k J y max 12:y miry cosx71 >-cuxA7VK3A / n2 V 2** f ■ d A iMi ■■.Hl,■i[-1,1]2偶2k ,2k2k ,2k对称轴：x k对称中心：（k +2,0）x k 一2x 2k ，y max 1 ；y 2k ，y mir 1y tarxk2，k2,k c、对称中心：（_T,0）y cotxiy=coiiff非奇非偶25. 三角函数尺度变换y sin x 经过变换变为y Asin( x )的步骤(先平移后伸缩)y sin x 向左或向右目 sin( x平袒个单位‘纵坐标变为原来A 倍横坐标不变yAsin x)6. 三角函数的对称变换：① y f(x) y f( x))将y f (x)图像绕y 轴翻折180°(整体翻折) (对三角函数来说：图像关于x 轴对称)② y f(x) y f(x)将y f(x)图像绕x 轴翻折180°(整体翻折) (对三角函数来说：图像关于y 轴对称)③ y f(x) y f(x)将y f(x)图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到 左侧(偶函数局部翻折)④ y f(x) y f(x)保留y f(x)在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去(局 部翻动)(1)函数y Asin( x )和y Acos( x )的周期都是T2(2)函数yAtan(x )和y Acot(x )的周期都是T1②：函数y Asin( x )的图像与性质:横坐标变为原来的倍ysinx纵坐标不变7. 反三角函数的图像与性质:7.三角函数公式:(1)倒数关系:tan cot 1sin csc 1cossec1(3) 三角和与差公式si n( )sin cos cos sincos()coscos sin sin、 tantantan( )1tan tan(4) 二倍角公式：2 2sincos1 221 tansec221 cotcscsin( )sin cos cos sin cos()cos cos sin sintan() tan tan1 tan tansin sin2si n —cos2 2 sinsin 2cos sin2 2coscos2cos- cos-22coscos2si nsin22(6)三角函数的积化和差公式sin cos 1sin(2 )sin( ) cos sin1sin(2)sin( ) cos cos-cos( 2 )cos( ) sin sin1cos( 2)cos()六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割， 左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个 函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函 数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平 方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个 顶点的三角函数值的乘积。
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高一年级暑假作业
第20天 反三角函数的图像与性质
【知识梳理】
1. 反三角函数的概念：以反正弦函数arcsin y x =为例，
（1）表示一个以弧度制度量的角；（2）这个角的范围是,22ππ
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
；（3）这个角的正弦值为x.
2. 反三角函数的图像与性质：
[]1,1-
[]1,1- (),-∞+∞
一．
填空题
1. 若tan ,,2
x a x π
π⎛⎫
=∈ ⎪⎝
⎭
，则x =________________. 2. 设2cos ,,
63x ππαα⎡⎤
=∈-⎢⎥⎣⎦
，则arcsin x 的取值范围是_______. 3. 函数arccos y x =在11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
的值域是____________.
4. 函数sin ,,22y x x ππ
⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦
的反函数为_____________. 5. 函数()2arcsin y x x =-的值域为___________. 6. 函数()arcsin 1y x =-的定义域是____________.
7. 已知()2
cos ,,032
π
πθθ⎛⎫+=-∈- ⎪⎝
⎭
，则θ=___________. 8. 已知62sin ,,x πθπ
θ⎡∈=⎤-⎢⎥⎣⎦
，则arccos x 的取值范围是___________. 二． 选择题
9. 函数()cos 2y x x ππ=≤≤的反函数是（ ） A ．arccos y x = B ．arccos y x π=+ C ．arccos y x =-
D ．2arccos y x π=-
10. 函数
y = ）
A ．[],ππ-
B ．[]0,2
C ．[]0,π
D ．[]2,2-
11. 已知sin ,2x x ππ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
，则x 的值为（ ）
A ．2
π
+B ．2
π
-C ．D ．π- 12. 若一个直角三角形的三个内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 三．
解答题
13. 求下列函数的定义域和值域： （1）()
2arcsin 2y x x =-；（2）y =
14. 已知方程
240x ++=的两个实根为12,x x ，且12arctan ,arctan x x αβ==，求αβ+的值.
15. 求下列函数的反函数：
（1）[]arcsin ,1,12
y x x π
=-∈-；（2）3sin ,,22y x x ππ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
.
16. 求下列各式的值：
（1）1
1
tan arccos 2
3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）cos 3π
⎛⎫ ⎪⎝⎭
参考答案： 1. arctan a π+
2. ,62ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
3. []arcsin ,1,1y x x =∈-
4.
5
π
5. 1arcsin ,42π⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦
6. []0,2
7. 2
arccos 3
-
8. 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
9. D 10. C 11. D 12. B
13. （1）定义域1
,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，值域,22ππ
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）定义域[]1,1-，值域⎡⎣ 14. 23
π
-
15. （1）[]cos ,0,y x x π=∈；（2）[]arcsin ,1,1y x x π=-∈-.
16.（1）；（2）。