人教a版必修5学案：3.1不等关系与不等式(含答案)
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第三章 不等式
§3.1 不等关系与不等式
材拓展
1．不等式的基本性质
对于任意的实数a ，b ，有以下事实：
a>b ⇔a －b>0；
a ＝
b ⇔a －b ＝0；
a
这三条基本性质是差值比较法的理论依据．
例如：已知a>b>0，m>0，要比较a ＋m b ＋m 与a b
的大小，就可以采用以下方法： a ＋m b ＋m －a b ＝bm －am b (b ＋m )＝m (b －a )b (b ＋m )
. ∵m>0，a>b>0，∴b －a<0，
∴m (b －a )b (b ＋m )<0，∴a ＋m b ＋m . 2．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面 单向性： (1)a>b ，b>c ⇒a>c. (2)a>b ，c>d ⇒a ＋c>b ＋d. (3)a>b ，c>0⇒ac>bc. (4)a>b ，c<0⇒ac (5)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (6)a>b>0，n 为正实数⇒a n >b n . 双向性： (1)a －b>0⇔a>b ；a －b ＝0⇔a ＝b ； a －b<0⇔a (2)a>b ⇔b (3)a>b ⇔a ＋c>b ＋c. 单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)． 若把c>0作为大前提，则a>b ⇔ac>bc ，若把c<0作为大前提，则a>b ⇔ac 解不等式：－16x ＋34<23x －112 . 解 －16x ＋34<23x －112 ⇔－2x ＋9<8x －1 (不等式两边都乘以12，等式方向不改变) ⇔－2x<8x －10 (不等式两边都加上－9) ⇔－10x<－10 (不等式两边都加上－8x) ⇔x>1 (不等式两边都乘以－110 ，不等式方向改变！) 3．正分数的一个有趣性质 在a>b>0，m>0的条件下，我们可以利用比较法证明下列事实：b a . 由b a 可知：一个正的真分数，分子、分母加上同一个正数，分数值将增大．例如： 12<23<34<45<56<67<78<89 . 由a ＋m b ＋m 可知：一个正的假分数，分子、分母加上同一个分数，分数值将减小．例如： 32>43>54>65>76>87>98>109 . 从函数的观点看： 当a>b>0时，函数f(x)＝b ＋x a ＋x 在x ∈[0，＋∞)上是单调递增的；函数f(x)＝a ＋x b ＋x 在[0，＋∞)上是单调递减的． 法突破 一、利用作差法比较实数大小 方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解和配方法． 例1 已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1 ，试比较f (a )与f (b )的大小． 解 可将f (a )与f (b )分别表示出来，然后根据m ，a ，b 的取值范围进行比较，但由于m 的取值不确定，所以应用分类讨论的方法求解． 由于f (x )＝mx x －1，所以f (a )＝ma a －1，f (b )＝mb b －1 ， 于是f (a )－f (b )＝ma a －1－mb b －1＝m (b －a )(a －1)(b －1) ， 由于a >b >1，所以b －a <0，(a －1)(b －1)>0. 当m >0时，m (b －a )(a －1)(b －1) <0，所以f (a ) >0，所以f (a )>f (b )； 当m ＝0时，m (b －a )(a －1)(b －1) ＝0，所以f (a )＝f (b )． 二、利用作商法比较实数大小 方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：(1)若a ，b 都是正数，则a >b ⇔a b >1； a ＝1. (2)若a ，b 都是负数，则a >b ⇔a b <1. a 1；a ＝b ⇔a b ＝1. 作商比较法的基本步骤为： ①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论． 例2 设a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b ，a b b a ，(ab )a ＋b 2 三者的大小． 解 ∵a a b b (ab )a ＋b 2 ＝aa －a ＋b 2·bb －a ＋b 2 ＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝⎛⎭⎫a b a －b 2 当a >b >0时，a b >1，a －b >0，a －b 2 >0 ∴⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>⎝⎛⎭⎫a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2 . 当0 <0. ∴⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>⎝⎛⎭⎫a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2 . 所以，不论a >b >0还是0 总有a a b b >(ab )a ＋b 2 . 同理：(ab )a ＋b 2 >a b b a . 综上所述，a a b b >(ab )a ＋b 2 >a b b a . 三、利用不等式的性质比较大小 方法链接：利用不等式的性质比较代数式的大小，有时要结合函数的单调性加以判断． 例3 对于0 ①log a (1＋a ) ⎫1＋1a ②log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭ ⎫1＋1a ③a 1＋a ④a 1＋a >a 1＋1a 其中成立的是( ) A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③ D ．②与④