2018年高考物理复习第一章第三节运动图象追及、相遇问题

第三节运动图象追及、相遇问题一、匀变速直线运动的图象1．直线运动的x－t图象(1)物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律．(2)斜率的意义：图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向．2．直线运动的v－t图象(1)物理意义：反映了物体做直线运动的速度随时间变化的规律．(2)斜率的意义：图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向．(3)“面积”的意义①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移大小．②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方，表示位移方向为负方向．1.判断正误(1)无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动．()(2)x－t图象上两图线的交点表示两物体相遇．()(3)x－t图象与时间轴围成的面积表示物体运动的路程．()(4)两条v－t图象的交点表示两个物体相遇．()提示：(1)√(2)√(3)×(4)×二、追及、相遇问题1．两类追及问题(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度．(2)若追不上前者，则当后者速度与前者相等时，两者相距最近．2．两类相遇问题(1)同向运动的两物体追及追上时即相遇．(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．2.一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距公共汽车25 m 处时，绿灯亮了，公共汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则() A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 mB ．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 mC ．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 mD ．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远 提示：B运动图象问题的应用 【知识提炼】图象中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素(多选)(2016·高考全国卷乙)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v －t 图象如图所示．已知两车在t ＝3 s 时并排行驶，则( )A ．在t ＝1 s 时，甲车在乙车后B ．在t ＝0时，甲车在乙车前7.5 mC ．两车另一次并排行驶的时刻是t ＝2 sD ．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m[审题指导] 由图象中的斜率、面积分别可得甲、乙两车运动时的加速度、位移等运动信息，再根据3 s 时并排寻找两车间的相对运动情况，从而解决问题．[解析] 根据题述，两车在t ＝3 s 时并排行驶，由图线与横轴所围面积表示位移可知，在t ＝1 s 时，甲车和乙车并排行驶，选项A 、C 错误．由图象可知，在t ＝1 s 时甲车速度为10 m/s ，乙车速度为15 m/s ，0～1 s 时间内，甲车行驶位移为x 1＝5 m ，乙车行驶位移为x 2＝12.5 m ，所以在t ＝0时，甲车在乙车前7.5 m ，选项B 正确．从t ＝1 s 到t ＝3 s ，甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为x ＝12×(10＋30)×2 m ＝40 m ，选项D 正确．[答案] BD【跟进题组】考向1 图象信息的读取1．(多选)如图甲所示，小滑块P (可视为质点)以不同的初速度v 0从长度为4 m 的固定斜面Q 的顶端沿斜面下滑时，得到小滑块下滑的最大距离x 与初速度的平方v 20的关系图象(即x －v 20图象)如图乙所示，下列判断正确的是( )A ．小滑块下滑的加速度大小为4 m/s 2B ．小滑块下滑的加速度大小为2 m/s 2C ．若v 0＝5.0 m/s ，则滑块滑到斜面底端的时间长为1 sD ．若v 0＝5.0 m/s ，则滑块滑到斜面底端的时间长为4 s解析：选BC.根据匀变速直线运动的速度位移公式得v 2－v 20＝2ax ，其中v ＝0，整理得x ＝－v 202a ，因为x －v 20图象的斜率k ＝14 m －1·s 2，可得a ＝－2 m/s 2，所以滑块下滑的加速度大小为2 m/s 2，选项A 错误、B 正确；由位移公式得x ＝v 0t ＋12at 2，代入数据解得t ＝1 s 或t＝4 s(舍去)，选项C 正确、D 错误．考向2 运动图象的转换2．(多选)下列给出的四组图象中，能够反映同一直线运动的是( )解析：选BC.由A、B选项中的v－t图象可知，0～3 s内质点做匀速直线运动，加速度为零，在3～5 s内做匀加速直线运动，a＝2 m/s2，故A错误，B正确；由C、D选项中的x －t图象可知，0～3 s内，质点静止不动，速度和加速度均为零，3～5 s内，质点做匀速运动，速度v＝2 m/s，加速度a＝0，故C正确，D错误．运用图象解决问题时构图选择的原则(1)物理量涵盖原则：所选择的坐标系要使图象尽可能全面地涵盖所研究问题的物理量，以全面反映物理过程的本质特点．一般来说，v－t图象提供的信息最多，涵盖速度、速度的变化量、时间、位移、加速度等．(2)线性函数优先的原则：线性函数能直观地反映物理现象的性质，有利于动态分析和判断．(3)化曲为直的原则：曲线的可读性相对较差，当所作图线为曲线时，应尝试将两个坐标中的一个进行适当变形，化曲线为直线，提高图线的可读性．追及、相遇问题【知识提炼】1．分析追及、相遇问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．2．能否追上的判断方法(1)做匀速直线运动的物体B追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体A：开始时，两个物体相距x0.若v A＝v B时，x A＋x0<x B，则能追上；若v A＝v B时，x A＋x0＝x B，则恰好不相撞；若v A ＝v B 时，x A ＋x 0>x B ，则不能追上．(2)数学判别式法：设相遇时间为t ，根据条件列方程，得到关于t 的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相遇．3．注意三类追及、相遇情况(1)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要判断是运动中被追上还是停止运动后被追上． (2)若追赶者先做加速运动后做匀速运动，一定要判断是在加速过程中追上还是匀速过程中追上．(3)判断是否追尾，是比较后面减速运动的物体与前面物体速度相等时的位置关系，而不是比较减速到0时的位置关系．【典题例析】在水平轨道上有两列火车A 和B 相距x ，A 车在后面做初速度为v 0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A 车的初速度v 0满足什么条件．[审题指导] 两车不相撞的临界条件是A 车追上B 车时其速度与B 车相等． [解析] 法一：临界条件法设两车运动速度相等时，所用时间为t ， 由v 0－(2a )t ＝at 得，t ＝v 03a ①A 车位移：x A ＝v 0t －12(2a )t 2B 车位移：x B ＝12at 2两车不相撞的条件：x B ＋x ≥x A 即：12at 2＋x ≥v 0t －at 2②联立①②得：v 0≤6ax . 法二：二次函数极值法 设两车运动了时间t ，则 x A ＝v 0t －at 2x B ＝12at 2两车不相撞需要满足Δx ＝x B ＋x －x A ＝32at 2－v 0t ＋x ≥0则Δx min ＝4×⎝⎛⎭⎫32a x －v 204×⎝⎛⎭⎫32a ≥0解得v 0≤6ax . 法三：图象法利用速度－时间图象求解，先作A 、B 两车的速度－时间图象，其图象如图所示，设经过t 时间两车刚好不相撞，则对A 车有v t ＝v 0－2at ，对B 车有v t ＝at 以上两式联立解得t ＝v 03a经时间t 两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x ，它可用图中的阴影面积来表示，由图象可知x ＝12v 0t ＝12v 0·v 03a ＝v 206a ，所以要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0≤6ax .法四：相对运动法巧选参考系求解．以B 车为参考系，A 车的初速度为v 0，加速度为a ′＝－2a －a ＝－3a .A 车追上B 车且刚好不相撞的条件是：v ＝0，这一过程A 车相对于B 车的位移为x ，由运动学公式v 2－v 20＝2ax 得：02－v 20＝2·(－3a )·x 所以v 0＝6ax .故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0≤6ax . [答案] v 0≤6ax图象法在追及、相遇问题中的应用总结(1)速度小者追速度大者【跟进题组】考向1 追及、相遇中的临界与极值问题1．足球比赛中，经常使用“边路突破、下底传中”的战术，即攻方队员带球沿边线前进，到底线附近进行传中．如图，某足球场长90 m 、宽60 m ，攻方前锋在中线处将足球沿边线向前踢出，足球在地面上的运动可视为初速度为12 m/s 的匀减速直线运动，减速过程的加速度大小为2 m/s 2.(1)足球从开始减速到停下来的位移为多大？(2)若足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球，该队员的启动过程可视为初速度为零、加速度为2 m/s 2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8 m/s ，则该前锋队员经过多长时间才能追上足球？解析：(1)设足球初速度大小为v 0，加速度大小为a 1，足球做匀减速直线运动的时间为t 1，位移为x 1，则有v 0＝a 1t 1，x 1＝v 02t 1，代入数据可得t 1＝6 s ，x 1＝36 m.(2)设前锋队员的加速度大小为a 2，最大速度为v m ，前锋队员加速到最大速度所用时间为t 2、位移为x 2，则有v m ＝a 2t 2，x 2＝v m2t 2，代入数据可解得t 2＝4 s ，x 2＝16 m ．前锋队员加速到最大速度时，足球的位移x ′1＝v 0t 2－12a 1t 22＝32 m ，故此时队员没有追上足球．之后前锋队员做匀速直线运动，到足球停止运动时，设前锋队员匀速运动的位移为x 3，则有x 3＝v m (t 1－t 2)，解得x 3＝16 m ．由于x 1>x 2＋x 3，故当足球停止运动时，前锋队员仍没有追上足球，设前锋队员又运动了t 3时间才追上足球，如图，则有x 1－(x 2＋x 3)＝v m t 3，代入数据解得t 3＝0.5 s ．故前锋队员追上足球所用的总时间t ＝t 1＋t 3＝6.5 s.答案：见解析考向2 追及、相遇中的“抛体模型”2．以v 0＝20 m/s 的速度竖直上抛一小球，2 s 后以相同的初速度在同一点竖直上抛另一小球．g 取10 m/s 2，则两球相碰处离出发点的高度是( )A ．10 mB ．15 mC ．20 mD ．不会相碰解析：选B.法一：设第二个小球抛出后经t 时间与第一个小球相遇，根据位移相等有 v 0(t ＋2 s)－12g (t ＋2 s)2＝v 0t －12gt 2解得t ＝1 s代入位移公式h ＝v 0t －12gt 2，解得h ＝15 m.法二：因为第二个小球抛出时，第一个小球恰开始自由下落(到达最高点)，根据速度对称，上升阶段与下降阶段经过同一位置的速度大小相等、方向相反，有－[v 0－g (t ＋2 s)]＝v 0－gt ，解得t ＝1 s ，代入位移公式，解得h ＝15 m.挖掘临界状态是解决追及、相遇问题的关键两物体要相撞但还没相撞的状态是追及、相遇问题的临界状态．速度相等是两物体间距离最大或最小、相撞或不相撞的临界条件．相遇的物体必然存在两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系，二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系．要使物体相遇就必须同时满足相应的位移关系和运动时间关系．1．甲、乙、丙三辆汽车同时以相同的速度v 0经过某一路标，此后甲一直做匀速直线运动，乙先加速后减速，丙先减速后加速，它们经过下一个路标时的速度仍为v 0，则( )A ．甲车先经过下一个路标B ．乙车先经过下一个路标C ．丙车先经过下一个路标D ．无法判断谁先经过下一个路标解析：选B.由题意画出v －t 图象如图所示，由于甲、乙、丙在此过程中位移相同，故由图可得乙车所用时间最短．2.(高考全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t ＝0到t ＝t 1的时间内，它们的v －t 图象如图所示．在这段时间内( )A ．汽车甲的平均速度比乙的大B ．汽车乙的平均速度等于v 1＋v 22C ．甲、乙两汽车的位移相同D ．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大解析：选A.根据v －t 图象下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x 甲大于汽车乙的位移x 乙，选项C 错误；根据v ＝xt得，汽车甲的平均速度v 甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A 正确；汽车乙的位移x 乙小于初速度为v 2、末速度为v 1的匀减速直线运动的位移x ，即汽车乙的平均速度小于v 1＋v 22，选项B 错误；由于v －t 图象的斜率大小反映了加速度的大小，所以汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D 错误．3．一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a －t 图象如图所示．下列v －t 图象中，可能正确描述此物体运动的是( )解析：选D.由题图可知，在0～T2时间内a ＝a 0＞0，若v 0≥0，物体做匀加速运动；若v 0＜0，物体做匀减速运动，故B 、C 皆错误．由于在T ～2T 时间内a ＝－a 0，故物体做匀减速运动且图线斜率的绝对值与0～T2时间内相同，故A 错误、D 正确．4．甲、乙两车相距x 0＝40.5 m ，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度v 1＝16.0 m/s ，加速度a 1＝2.0 m/s 2做匀减速直线运动，乙车在后，以初速度v 2＝4.0 m/s ，加速度a 2＝1.0 m/s 2与甲同向做匀加速直线运动．求：(1)甲、乙两车相遇前相距的最大距离； (2)乙车追上甲车经历的时间．解析：(1)甲、乙两车速度相等时距离最大．设时间为t 1时，两车的速度相等，则：v 1－a 1t 1＝v 2＋a 2t 1即16.0－2t 1＝4.0＋t 1，解得：t 1＝4.0 s 对甲车：x 1＝v 1t 1－12a 1t 21＝48.0 m对乙车：x 2＝v 2t 1＋12a 2t 21＝24.0 m故甲、乙两车相遇前相距的最大距离为： x max ＝x 0＋x 1－x 2＝64.5 m. (2)甲车运动的时间t 2＝v 1a 1＝8.0 s在甲车运动时间内，甲车位移：x′1＝v12t2＝64.0 m乙车位移：x′2＝v2t2＋12a2t22＝64.0 m故甲车停止时，甲、乙两车仍相距x0＝40.5 m，甲车停止时，乙车的速度：v′2＝v2＋a2t2＝12.0 m/s，故x0＝v′2t3＋12a2t23即40.5＝12.0t3＋12t23，解得：t3＝3.0 s乙车追上甲车的时间：t＝t2＋t3＝11.0 s.答案：(1)64.5 m(2)11.0 s一、单项选择题1.如图所示为一质点做直线运动的v－t图象，下列说法正确的是()A．在18～22 s时间内，质点的位移为24 mB．18 s时质点速度反向C．整个过程中，E点处质点离出发点最远D．整个过程中，CE段的加速度最大解析：选D.在18～20 s时间内，质点的位移为12 m，在20～22 s时间内，质点的位移为－12 m，则在18～22 s时间内，质点的位移为0，A错误．由题图看出，在0～20 s时间内，速度均为正值，质点沿正方向运动，在20～22 s时间内速度为负值，质点沿负方向运动，所以整个过程中，D点对应时刻离出发点最远，B、C错误．由题图看出，CE段图线斜率的绝对值最大，则CE段对应过程的加速度最大，D正确．2．(2015·高考广东卷)甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前1小时内的位移－时间图象如图所示．下列表述正确的是()A．0.2～0.5小时内，甲的加速度比乙的大B．0.2～0.5小时内，甲的速度比乙的大C ．0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的小D ．0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等解析：选B.在0.2～0.5小时内，位移－时间图象是倾斜的直线，则物体做匀速直线运动，所以在0.2～0.5小时内，甲、乙两人的加速度都为零，选项A 错误；位移－时间图象的斜率绝对值大小反映了物体运动速度的大小，斜率绝对值越大，速度越大，故0.2～0.5小时内甲的速度大于乙的速度，选项B 正确；由位移－时间图象可知，0.6～0.8小时内甲的位移大于乙的位移，选项C 错误；由位移－时间图象可知，0.8小时内甲、乙往返运动过程中，甲运动的路程大于乙运动的路程，选项D 错误．3．(2017·河北正定调研)据英国《每日邮报》报道，27名跳水运动员参加了科索沃年度高空跳水比赛．自某运动员离开跳台开始计时，在t 2时刻运动员以速度v 2落水，选向下为正方向，其速度随时间变化的规律如图所示，下列结论正确的是( )A ．该运动员在0～t 2时间内加速度大小先减小后增大，加速度的方向不变B ．该运动员在t 2～t 3时间内加速度大小逐渐减小，处于失重状态C ．在0～t 2时间内，平均速度v －1＝v 1＋v 22D ．在t 2～t 3时间内，平均速度v －2＝0＋v 22解析：选C.由题中图象可知，在0～t 2时间内运动员的加速度一直不变，A 项错误．在t 2～t 3时间内图线上各点切线的斜率的大小逐渐减小，则加速度大小逐渐减小，运动员减速下落处于超重状态，B 项错误．在0～t 2时间内为匀变速直线运动，所以平均速度v －1＝v 1＋v 22，C 项正确．在t 2～t 3时间内，由图线与t 轴所围面积表示位移可知，此时间内的平均速度v－2<0＋v 22，D 项错误． 4．(2017·河南八市重点高中联考)如图甲、乙所示为某物体在0～t 时间内运动的x －t 图象和v －t 图象，由图可知，在0～t 时间内( )A ．物体做的是曲线运动B ．物体做加速度越来越小的运动C ．甲图中t 2时刻，图线的斜率为v 02D ．x 1－x 0>v 0t 2解析：选C.运动图象(包括位移图象、速度图象、加速度图象)都是用来描述直线运动的，无论运动图象是直线还是曲线，物体都是做直线运动，都不能说物体做的是曲线运动，选项A 错误．根据速度图象的斜率表示加速度可知，物体做匀减速直线运动，选项B 错误．根据乙图可知，在t 2时刻，物体速度为v 02.而位移图象斜率表示速度，由此可知，甲图中在t 2时刻，图线的斜率为v 02，选项C 正确．根据甲图，物体是从坐标x 0位置出发沿x 轴运动，t 时刻运动到坐标为x 1位置，位移为x ＝x 1－x 0.根据乙图，速度图象的面积表示位移可知，位移x ＝v 0t 2，即x 1－x 0＝v 0t 2，选项D 错误． 5．(2017·济南调研)某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x ，从着陆到停下来所用的时间为t ，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是( )A ．v ＝x tB ．v ＝2x tC ．v ＞2x tD ．x t ＜v ＜2x t解析：选C.由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小，画出相应的v －t 图象大致如图所示．根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为x ，虚线(匀减速运动)下方的“面积”表示的位移为：v 2t .应有：v 2t ＞x ，所以v ＞2x t，所以选项C 正确． 二、多项选择题6.在同一地点，甲、乙两物体同时沿同一方向做直线运动的速度－时间图象如图所示，对0～6 s 过程，下列说法正确的是( )A ．两物体两次相遇的时刻是2 s 末和6 s 末B ．4～6 s 甲在乙后面C ．两物体相距最远的时刻是2 s 末D ．乙物体先向前运动2 s ，随后向后运动解析：选AB.在v －t 图象中图线与横坐标围成的面积大小与物体发生的位移大小相等，由题图可知当t ＝2 s 和t ＝6 s 时，两图线与横坐标围成面积相等，说明两物体发生的位移相等，由于两物体同时从同一地点沿同一方向做直线运动，因此两物体两次相遇的时刻是2 s 末和6 s 末，故A 正确；开始运动时，乙的初速度为零，甲在前面，在t ＝2 s 时，两物体相遇，此时乙的速度大于甲的速度，此后乙在前面，甲匀速运动开始追乙，乙做匀减速运动，当t ＝6 s 时，甲、乙再次相遇，因此在2～6 s 内，甲在乙后面，故B 正确；由题图可知，两物体相距最远时刻出现在甲追乙阶段，即当两物体的速度相等时，甲、乙相距最远，此时t ＝4 s ，故C 错误；整个过程中乙物体一直向前运动，先加速后减速，故D 错误．7．某同学在学习了运动学知识后，绘出了一个沿直线运动的物体的位移x 、速度v 、加速度a 随时间变化的图象如图所示，若该物体在t ＝0时刻，初速度为零，则下列图象中表示该物体在6 s 内位移一定不为零的是( )解析：选BCD.题图A ，根据图象可知，物体6 s 内的位移x ＝0－0＝0；题图B ，速度－时间图线与坐标轴围成的面积表示位移，则物体6 s 内位移为正；题图C ，物体0～1 s 内加速度不变，做匀加速直线运动，1～2 s 内加速度方向改变，大小不变，向正方向做匀减速直线运动，2 s 末速度为零，在一个周期内速度的方向不变，则物体6 s 内位移不为零；题图D ，物体在0～1 s 内，向正方向做匀加速直线运动，1～2 s 内加速度方向改变，大小不变，向正方向做匀减速直线运动，2 s 末速度为零，2～3 s 内向负方向做匀加速直线运动，运动的方向发生变化，3～4 s 内向负方向做匀减速直线运动.4 s 末位移为零，6 s 末位移等于2 s 末位移，不为零，故选项B 、C 、D 符合题意．8.一个物体沿直线运动，从t ＝0时刻开始，物体的x t－t 的图象如图所示，图线与纵横坐标轴的交点分别为0.5 m/s 和－1 s ，由此可知( )A ．物体做匀加速直线运动B ．物体做变加速直线运动C ．物体的初速度大小为0.5 m/sD ．物体的初速度大小为1 m/s解析：选AC.图线的斜率为0.5 m/s 2、纵截距为0.5 m/s.由位移公式x ＝v 0t ＋12at 2两边除以对应运动时间t 为x t ＝v 0＋12at ，可得纵截距的物理意义为物体运动的初速度，斜率的物理意义为物体加速度的一半⎝⎛⎭⎫12a .所以物体做初速度为v 0＝0.5 m/s ，加速度大小为a ＝1 m/s 2的匀加速直线运动．三、非选择题9．(2017·临川模拟)甲、乙两辆车在同一直轨道上向右匀速行驶，甲车的速度为v 1＝16 m/s ，乙车的速度为v 2＝12 m/s ，乙车在甲车的前面．当两车相距L ＝6 m 时，两车同时开始刹车，从此时开始计时，甲车以a 1＝2 m/s 2的加速度刹车，6 s 后立即改做匀速运动，乙车刹车的加速度为a 2＝1 m/s 2.求：(1)从两车刹车开始计时，甲车第一次追上乙车的时间；(2)两车相遇的次数；(3)两车速度相等的时间．解析：(1)在甲减速时，设经时间t 相遇，甲和乙的加速度分别为a 1、a 2，位移分别为x 1、x 2，则有：x 1＝v 1t －12a 1t 2，x 2＝v 2t －12a 2t 2，x 1＝x 2＋L 联立解得：t 1＝2 s ，t 2＝6 s即在甲车减速时，相遇两次，第一次相遇的时间为t 1＝2 s.(2)当t 2＝6 s 时，甲车的速度为v ′1＝v 1－a 1t 2＝4 m/s ，乙车的速度为v ′2＝v 2－a 2t 2＝6 m/s ，甲车的速度小于乙车的速度，但乙车做减速运动，设再经Δt 甲追上乙，有：v ′1Δt ＝v ′2Δt －12a 2Δt 2 解得：Δt ＝4 s此时乙仍在做减速运动，此解成立．综合以上分析可知，甲、乙两车共相遇3次．(3)第一次速度相等的时间为t 3，v 1－a 1t 3＝v 2－a 2t 3，解得：t 3＝4 s甲车匀速运动的速度为4 m/s ，第二次速度相等的时间为t 4，有：v ′1＝v 2－a 2t 4，解得：t 4＝8 s.答案：见解析10．(2017·湖北八校联考)春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x 0＝9 m 区间的速度不超过v 0＝6 m/s.现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v 甲＝20 m/s 和v 乙＝34 m/s 的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a 甲＝2 m/s 2的加速度匀减速刹车．(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章．(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m 处的速度恰好为6 m/s ，乙车司机在发现甲车刹车时经t 0＝0.5 s 的反应时间后开始以大小为a 乙＝4 m/s 2的加速度匀减速刹车．为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m 区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？解析：(1)对甲车，速度由20 m/s 减至6 m/s 过程中的位移x 1＝v 2甲－v 202a 甲＝91 m x 2＝x 0＋x 1＝100 m即：甲车司机需在离收费站窗口至少100 m 处开始刹车．(2)设甲刹车后经时间t ，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得：v 乙－a 乙(t －t 0)＝v 甲－a 甲t ，解得t ＝8 s相同速度v ＝v 甲－a 甲t ＝4 m/s ＜6 m/s ，即v ＝6 m/s 的共同速度为不相撞的临界条件 乙车从34 m/s 减速至6 m/s 的过程中的位移为x 3＝v 乙t 0＋v 2乙－v 202a 乙＝157 m 所以要满足条件甲、乙的距离至少为x ＝x 3－x 1＝66 m.答案：(1)100 m (2)66 m四、选做题11.如图所示，甲、乙两物体分别从A 、C 两地由静止出发做加速运动，B 为AC 中点．两物体在AB 段的加速度大小均为a 1，在BC 段的加速度大小均为a 2，且a 1＜a 2.若甲由A 到C 所用时间为t 甲，乙由C 到A 所用时间为t 乙，则t 甲与t 乙的大小关系为( )A ．t 甲＝t 乙B ．t 甲＞t 乙C ．t 甲＜t 乙D ．无法确定解析：选B.设甲在中点B 的速度为v ，在点C 的速度为v t ，AB ＝BC ＝x ，则v 2－0＝2a 1x ，v 2t －v 2＝2a 2x ，解得v 2t ＝2a 1x ＋2a 2x .同理可知，对乙亦有v 2t ＝2a 1x ＋2a 2x ，故甲、乙末速度大小应相等．作出两个物体的v －t 图象，由于两物体在AB 段、BC 段加速度大小相等，两段图线分别平行，两段位移又分别相等，由图看出，t 甲＞t 乙，选项B 正确．12．(2017·山西重点中学联考)一质点自坐标原点由静止出发，沿x轴正方向以加速度a 加速，经过t 0时间速度变为v 0，接着以－a 的加速度运动，当速度变为－v 02时，加速度又变为a ，直至速度变为v 04时，加速度再变为－a ，直至速度变为－v 08……，其v －t 图象如图所示，则下列说法中正确的是( )A ．质点一直沿x 轴正方向运动B ．质点运动过程中离原点的最大距离为v 0t 0C ．质点最终静止时离开原点的距离一定大于v 0t 0D ．质点将在x 轴上一直运动，永远不会停止解析：选B.速度是矢量，图中物体的速度一段时间为正值，一段时间为负值，故物体时而沿x 轴正方向运动，时而沿x 轴负方向运动，故A 错误；由图象，2t 0时刻位移最大，故质点运动过程中离原点的最大距离为v 0t 0，故B 正确；由图象可知，质点每次返回的位移均小于前一运动周期的位移．故最终静止时离开原点的距离一定小于第一个运动周期的位移v 0t 0，故C 、D 错误．。