第14课时 二次函数及其图象
二次函数及其图像
二次函数及其图像一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。
[1]编辑本段几种表达式一般式y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c 的值。
[1]顶点式y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，当x=h 时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)^2+2，把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)^2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，-h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
[1]交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B （x2，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
二次函数及其图像
二次函数及其图像【知识点回顾】 1. 解析式：(1)一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0)(2)顶点式：y =a (x -h )2+k (a ≠0)，其图象顶点坐标(h ，k ).(3)两根式：y =a (x -x 1)( x -x 2) (a ≠0)，其图象与x 轴的两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0). 注意：①一般式可通过配方法化为顶点式.②求二次函数解析式通常由图象上三个点的坐标，用待定系数法求得. 若已知抛物线的顶点和对称轴，可用顶点式；若已知抛物线与x 轴的两个交点，可用两根式；若已知三个非特殊点，通常用一般式.2a ＞03. 二次函数y =a (x -h )2+k (a ≠0)的对称轴是______________，顶点坐标是___________.4. 二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成y =a (x -h )2+k 的形式，其中h =____，k =________.5. 二次函数y =a (x -h )2+k 的图象和y =ax 2图象的关系.6. 二次函数y =ax 2+bx +c 图象与a ，b ，c 符号的关系.(1)a 决定抛物线开口方向：a ＞0时抛物线开口向上；a ＜0时抛物线开口向下； (2)a 、b 决定对称轴x =-2ba的位置：ab ＞0时对称轴在y 轴左侧；b =0时对称轴为y 轴； ab ＜0时对称轴在y 轴右侧.(3)c 决定抛物线与y 轴交点的位置：c ＞0时抛物线交y 轴于正半轴；c =0时抛物线过原点；c ＜0时抛物线交y 轴于负半轴.7.抛物线的平移抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax 2沿着y 轴（上“＋”，下“－”）平移k （k>0）个单位得到函数y=ax 2±k ，将y=ax 2沿着x 轴（右“－”，左“＋”）平移h （h>0）个单位得到y=a （x ±h ）2．•在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y•轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x 轴平移则直接在含x 的括号内进行加减（右减左加）． 【典例精析】例1 已知：二次函数为y=x 2－x+m ，（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m 为何值时，顶点在x 轴上方，（3）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作AB ∥x 轴交抛物线于另一点B ，当S △AOB =4时，求此二次函数的解析式．例2 如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．24y ax bx a =+-(10)A -，(04)C ，x B (1)D m m +，D BC BD P 45DBP∠=°P【迎考精练】一、选择题1.抛物线（是常数）的顶点坐标是（）A．B．C．D．2.根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴（）A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点3.函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）4.二次函数的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定5.将函数的图象向右平移a个单位，得到函数的图象，则22()y x m n=++m n，()m n，()m n-，()m n-，()m n--，cbxaxy++=244cbxaxy++=221yy<21yy=21yy>2y x x=+(0)a>232y x x=-+B．C．D．a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．46.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ． B ．C. D ．7.把二次函数用配方法化成的形式 A. B. C. D. 8.某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数（x ＞0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（ ） A ．40 m/s B ．20 m/s C ．10 m/sD ．5 m/s二、填空题1.若把代数式化为的形式，其中为常数，则=.2.已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为3.抛物线的顶点坐标为__________．4.已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 个．5.抛物线的图象如图所示， 则此抛物线的解析式为 ．22y x x =+-x y 22y x x =--+22y x x =-+-22y x x =-++22y x x =++3412+--=x x y ()k h x a y +-=2()22412+--=x y ()42412+-=x y ()42412++-=x y 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 2120y x =223x x --()2x m k -+,m k m k +12-14-23(1)5y x =--+2y ax bx c =++x (20)-，1(0)x ，112x <<y (02)，420a b c -+=0a b <<20a c +>210a b -+>2y x bx c=-++6.函数取得最大值时，______． 三、解答题1.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．2.已知为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．（1）求点的坐标（用表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结并延长交于点，试证明：(2)(3)y x x =--x =ABC ∆90ACB ∠=︒AC BC =A C x B 3m 0m >AB y D P B D A m Q P B PQ BC E BQ AC F (FC AC3.已知二次函数过点A （0，），B （，0），C （）． （1）求此二次函数的解析式；（2）判断点M （1，）是否在直线AC 上？（3）过点M （1，）作一条直线与二次函数的图象交于E 、F 两点（不同于A ，B ，C 三点），请自已给出E 点的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．2-1-5948，1212l 第3题4.如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．5.新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？6.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．7.如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点C，经过B、C两点的直线是，连结．（1）B、C两点坐标分别为B（_____，_____）、C（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；（2）判断的形状，并说明理由；（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．[抛物线的顶点坐标是]。
人教版九年级上册数学 讲义 二次函数的图像与性质
C． D．
【例2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的大致图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图
象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为（）．
3、抛物线 （ ）的顶点坐标公式：（ ， ）；对称轴是直线： ；当 时，函数有最值： 。
4、二次函数图像的平移：只要抛物线解析式中的a相同，它们之间可以相互平移得到，平移规律：左加右减，上加下减。
二、典型例题：
考点一：二次函数的定义
【例1】下列函数中，关于 的二次函数是（ ）。
A、 B、 C、 D、
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【例2】已知二次函数 ，若自变量 分别取 ， ， ，且 ，则对应的函数值 的大小关系正确的是（）
A. B. C. D.
三、强化训练：
【夯实基ห้องสมุดไป่ตู้】
1、二次函数 的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）
【例2】已知函数 （ 为常数）。
（1） 为何值时，这个函数为二次函数？
（2） 为何值时，这个函数为一次函数？
考点二：二次函数的顶点、对称轴、最值
【例1】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值；
（1） （2） （3）
考点三：抛物线的平移（上加下减，左加右减）
【例1】把抛物线 向左平移2个单位，再向下平移2个单位，则所得的抛物线的表达式是；
A、4个B、3个C、2个D、1个
考点五：直线与抛物线的位置关系
2015年人教版中考数学总复习课件(考点聚焦+归类探究+回归教材)：第14课时 二次函数的图象及其性质二
考点聚焦
归类探究
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第14课时┃ 二次函数的图象及其性质(二)
考点聚焦
归类探究
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第14课时┃ 二次函数的图象及其性质(二)
考点3 平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标 将抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成 y＝a(x－h)2 ＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线 y＝a(x－h)2＋k 均可由抛物 线 y＝ax2 平移得到，具体平移方法如图 14－1 所示．
探究三
二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系
命题角度： 1．二次函数的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标， 与坐标轴的交点情况与a，b，c的关系； 2．图象上的特殊点与a，b，c的关系．
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第14课时┃ 二次函数的图象及其性质(二)
例 3 [2014· 资阳] 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如 图 14－2 所示，给出下列四个结论：①4ac－b2<0；②4a＋c<2b； ③3b＋2c<0； ④m(am＋b)＋b<a(m≠－1)． 其中正确结论有( B )
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第14课时┃ 二次函数的图象及其性质(二)
函数 y＝2x2＋4x－3 的图象向右平移 2 个单位长 度， 再向下平移 1 个单位长度得到抛物线 y＝2(x－2)2＋4(x －2)－3－1，即 y＝2(x－1)2－6，顶点坐标是(1，－6)．
解
析
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第14课时┃ 二次函数的图象及其性质(二)
方法点析
二次函数的图象特征主要从开口方向，与x轴有无交点， 与y轴交点及对称轴的位置，确定a，b，c及b2－4ac的符号 ，有时也可把x的值代入，根据图象确定y的符号．
第十四课时二次函数的图象与性质
第十四课时教学内容：二次函数y＝ax2的图象与性质。
（P26—27）教学目标：1、继续学习描点画出二次函数y＝ax2的图象。
2、通过具体操作，进一步感受二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，体会并了解二次函数y＝ax2的图象的意义。
3、通过二次函数y＝ax2的图象的分析，探索并掌握二次函数y＝ax2的图象的性质。
教学重点难点：重点：二次函数y＝ax2的图象和性质。
难点：根据图象概括二次函数y＝ax2的性质。
教学方法教师引导学生进行归纳。
教学准备：投影仪、投影片。
教学过程：一、创设问题，情境引入：（出示投影1）问题：1、指名说说二次函数y＝1/2x2的图象和性质2、指名说说画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？让学生逐个回答，教师适当引导归纳：二、探究新知：（出示投影2）1、二次函数y＝x2的图象是什么样子呢？例1 画二次函数y＝X2的图象（1）列表取值：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取0和一些负数，一些正数，并且算出相应的函数值，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值，列成下表如P24的表格。
（2）描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标。
相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）观察和分析：函数图象经过原点，y轴右边的点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y也随着增大，y轴左边的点当横坐标x 逐渐增大时，纵坐标y反而减小。
事实上，不难证明：对于二次函数y＝X2，当x＞0时，函数值随自变量取值的增大而增大；当x＜0时，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y反而减小。
（4）连线：根据以上分析，我们可以把y轴右边的各点、原点和y轴左边各点，用一条光滑的曲线顺次连起来。
连线时要用光滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线，如图2—4。
二次函数的概念图像和性质
二次函数的概念图像和性质课前每组把本组要处理的知识或题目提前写在各自黑板上，先由四个小组处理本课的基本知识，其中一个小组陈述课题，两个小组通过描点、连线、画图，画出两个不同类型的二次函数的图像，最后一个小组根据前面的图像得出了结论：二次函数的性质。
第二阶段是由两个小组应用所得结论，处理课本上的两个练习题第三阶段是五个小组分别用一个题目进行了知识的扩展，使学生的知识运用有了进一步提高。
第四阶段是一个小组对本节课的内容进行小结，最后老师布置了作业。
优点：1、整体感觉是学习过程逻辑清晰，小组分工明确，学生主体地位体现充分，学生配合好，课堂气氛活跃；2、学生充分小老师角色非常到位，有讲有问，学生回答积极配合；3、教师穿插点评、补充、总结、讲解，少好精；4、整个教学过程分为四部分：基本知识、知识应用、扩展部分、总结部分。
前后紧密相连，由易而难，步步推进；整节课教学思路层次分明，脉络清晰，始终以“二次函数的解析式与图象”及其应用为主线，贯穿于整个教学过程。
老师语言精炼，富有亲和力与感染力；师生关系融洽，气氛和谐；重点突出，难点突破，教学目标基本达成。
做到了“从一个知识传授者转变为学生发展的促进者；从课堂时间与空间支配者的权威地位，向数学的组织者、引导者和合作者的角色转换”。
二次函数教材分析一、教学目标：本章的主要内容是二次函数及其图象与性质，这是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一。
教材从解决一个实际问题出发，引入二次函数，研究二次函数的图象与性质，以及它的应用。
本章的主要教学目标是：1、探索具体问题中的数量关系和变化规律，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2、结合具体情境体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念。
3、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象认识二次函数的性质。
4、会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴。
5、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
6、会通过对现实情情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的现实问题。
中考数学总复习 第三单元 函数及其图象 第14课时 二次函数的实际应用随堂小测
二次函数的实际应用1．★在A 市中学生男子足球比赛中，某队守门员踢出的足球飞行高度y (m)与水平距离x (m)之间满足关系式y ＝－18x 2＋1.5x ，则足球飞出的最远距离是( ) A ．8 m B ．12 m C ．15 m D ．20 m2．★王大爷用200 m 的竹篱笆围成一个长方形的养鸡场，则能围成的养鸡场的最大面积是( ) A ．50 m 2 B ．100 m 2 C ．200 m 2 D ．2500 m 23．我国最新研制的38 mm 高射炮炮弹的飞行高度y (m)与飞行时间x (s)满足关系式y ＝ax 2＋bx ，若该炮弹在第3秒和第11秒的飞行高度相同，则下列哪一个时间的高度最高( )A ．第4秒B ．第7秒C ．第10秒D ．第15秒4．一所中学的大门近似于抛物线(如图Y －15)，若大门的跨度AB ＝10 m ，大门最高点C 距离地面6 m ，则该二次函数的表达式是____________．Y －16.如图Y －16是一条单向行驶的隧道的截面图，其截面图是抛物线，且表达式为y ＝－13x 2＋3.那么一辆宽为2米，载物高度为2.5米的载货汽车________(填“能”或“不能”)安全通过该隧道．6．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元/件的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)/件满足一次函数关系：y ＝－10x ＋1200.(1)求出利润S (元)与销售单价x (元)/件之间的表达式；(利润＝销售额－成本)(2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？参考答案1．B [解析] 足球飞出距离最远时，y ＝0，即－18x 2＋1.5x ＝0，解得x ＝0或x ＝12，所以足球飞出的最远距离是12 m ．本题容易出错的地方是不理解飞出最远距离的意义，导致无法求解．2．D3．B [解析] 根据抛物线的对称性知对称轴为直线x ＝3＋(11－3)÷2＝7，所以第7秒时，炮弹的飞行高度最高．4．y ＝－625(x －5)2＋6 [解析] 根据题意，抛物线的顶点坐标为(5，6)．设抛物线的表达式为y ＝a (x －5)2＋6.又因为抛物线过点(0，0)，所以0＝a (0－5)2＋6，解得a ＝－625，故所求抛物线的表达式为y ＝－625(x －5)2＋6. 5．能 [解析] 当x ＝1时，y ＝－13×12＋3≈2.67＞2.5(m)，所以该汽车能安全通过隧道． 6．解：(1)根据题意，得S ＝(x －40)y ＝(x －40)(－10x ＋1200)＝－10x 2＋1600x －48000，其中x ＞40.所以利润S (元)与销售单价x (元件)之间的表达式是S ＝－10x 2＋1600x －48000(x ＞40)．(2)S ＝－10x 2＋1600x －48000.因为a ＝－10＜0，所以当x ＝－b 2a ＝－16002×（－10）＝80时，S 有最大值，最大值是＝－10×802＋1600×80－48000＝16000(元)．答：当销售单价定为80元/件时，销售利润最大，最大利润是16000元．。
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
2014届中考数学(华师版)复习方案：14二次函数的图象及其性质(二)
为y＝(x－1＋1)2＋3，即y＝x2＋3；再向下平移3个单位为y＝x2＋3－3，
即y＝x2.故选D.
考点聚焦 归类探究
归类探究
项目 字母 a
b
c
c>0 c<0
考点聚焦
第14课时┃ 二次函数的图象及其性质(二)
项目 字母
字母的符号 b2－4ac＝0
图象的特征 与 x 轴有唯一交点 (顶点) 与 x 轴有两个不 同交点 与 x 轴没有交点 当 x＝1 时，y＝a＋b＋c
b2－4ac
b2－4ac>0 b2－4ac<0
特殊 关系
图14－1
[注意] 确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点式，利用顶点的 平移来研究图象的平移．
考点聚焦 归类探究
第14课时┃ 二次函数的图象及其性质(二)
考点4
求二次函数的最值
1．如果自变量的取值范围是全体实数，那么二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在 2 4 ac － b b 图象顶点 处取得最大值(或最小值)，即当 x＝－ 时，y 最值＝ ______________ ， 2a 4a 具体求法： ①配方法：将二次函数 y＝ax2＋bx＋c 化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，其图 (h， k ) ． 象的顶点坐标为________ y最小＝k ； 最小值 ，当 x＝h 时，___________ 当 a＞0 时，y 有________ y最大＝k ． 最大值 ，当 x＝h 时，___________ 当 a＜0 时，y 有________
两个不相等 实根 _____________ 两个相等 实根 _____________
_____________ 实根 没有
中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第14课时 二次函数的图象与性质(二)课件0
根据抛物线的轴对称性可知抛物线与 x 轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两
1
4
点),∴当 x=1 时,y=a+b+c<0.∵a=3b,∴3b+c<0,∴4b+3c<0,∴结论④错误.
故选 A.
2. [2019·鄂州]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-7所示,对称轴是直线x=1.下
∴b2-4ac>0,∴①正确;
∵抛物线的对称轴为直线 x=1,而点(-1,0)关于直线 x=1 的对称点的坐标为(3,0),
∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=-1,x2=3,∴②正确;
∵对称轴 x=- =1,即 b=-2a,而 x=-1 时,y=0,即 a-b+c=0,∴a+2a+c=0,
A.1
B.2
C.3
图14-6D.4)源自[答案] A3
[解析]根据对称轴-2 =-2得 b=3a,故可得 3a-b=0,∴结论①正确;
∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴结论②正确;
根据结论①可知 b=3a,∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知 a<0,c>0,
特殊关系
当x=-1时,y=⑩ a-b+c
若a+b+c>0,则当x=1时,y>0
若a-b+c>0,则当x=⑪ -1 时,y>0
图象的特征
对点演练
题组一
必会题
1.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线
二次函数的性质及其图象
象经过一、三、四象限，反比例函数 y
c x
经过二、四象限.故选择B.
经典考题
【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴
交于点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），
对称轴为直线x=1，下列结论：
（ D）
①abc＞0
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
（3）c=0时，抛物线过原点.
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
平移 |h|个 左 单 位 加 向右 右 (h 减 0)、 左 （h 0） y=a(x-h)2
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
经典考题
得
4a 2b 4 36a 6b 0
，解得
a
1 2
；
b 3
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、
F.则：S△OAD
1 2
OD
AD
1 2
2
4
4.
S△ACD
1 2
AD
CE
1 2
4x
2
2x
4.
S△BCD
1 2
BD
CF
1 2
3.4.2 二次函数的图象及性质
要点梳理
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象是抛物线.
1.当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x= b .当x= b 时， y有最小
值为4ac b2 .在对称轴左边（即x＜
2012年中考复习考点跟踪训练14 二次函数及其图象(含答案)
考点跟踪训练14 二次函数及其图象一、选择题1．(2011·温州)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值(第1题) (第2题) (第3题) 2．(2011·烟台)如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是()A．m＝n，k＞h B．m＝n，k＜h C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h 3．(2011·宿迁)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是() A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根4．(2011·泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：x －7－6－5－4－3－2y －27－13－335 3则当x＝1时，y的值为A．5 B．－3 C．－13 D．－275．(2010·天津)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2－4ac>0；②abc>0；③8a＋c>0；④9a＋3b＋c<0.其中，正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题6．(2011·济宁)将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝(x－h)2＋k的形式，则y＝________. 7．(2011·舟山)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1,0)，(1，－2)，当y随x 的增大而增大时，x的取值范围是______.(第7题) (第8题) (第9题)8．(2011·湖州)如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点(0，－3)，请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间，你所确定的b 的值是________． 9．(2011·日照)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，给出下列命题 ：①a ＋b ＋c ＝0；②b ＞2a ；③ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3和1； ④a －2b ＋c ＞0.其中正确的命题是________．(只要求填写正确命题的序号) 10．(2011·茂名)给出下列命题：命题1：点(1,1)是双曲线y ＝1x 与抛物线y ＝x 2的一个交点．命题2：点(1,2)是双曲线y ＝2x 与抛物线y ＝2x 2的一个交点．命题3：点(1,3)是双曲线y ＝3x 与抛物线y ＝3x 2的一个交点．……请你观察上面的命题，猜想出命题n (n 是正整数)：________________________________. 三、解答题11．(2011·东莞)已知抛物线y ＝12x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点．(1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx ＋1经过的象限，并说明理由．12．(2011·南京)已知函数y ＝mx 2－6x ＋1(m 是常数)．(1)求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； (2)若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．13．(2011·江津)已知双曲线y ＝k x与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A (2,3)、B (m,2)、c (－3，n )三点．(1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C ，并求出△ABC 的面积．14．(2011·黄冈)我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100()x －602＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润Q ＝－99100()100－x 2＋2945()100－x ＋160(万元)．(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？ (3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？15．(2011·杭州)设函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1 (k 为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k ，函数的图象都具有的特征，并给予证明； (3)对任意负．实数k ，当x <m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．参考答案一、选择题1．(2011·温州)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值答案 C解析当0≤x≤3时，观察图象，可得图象上最低点(1，－1)，最高点(3,3)，函数有最小值－1，最大值3.2．(2011·烟台)如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是()A．m＝n，k＞h B．m＝n，k＜h C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h答案 A解析两条抛物线的顶点分别为(n，k)，(m，h)因为有相同的对称轴，且点(n，k)在点(m，h)上方，所以m＝n，k>h.3．(2011·宿迁)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是()A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根答案 D解析 抛物线开口向下，a <0；对称轴是直线x ＝1，当x ≥1时，y 随x 的增大而减小；抛物线与y 轴交点(0，c )在x 轴上方，c >0；所以A 、B 、C 为错误的，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为x 1，x 2，则x 1＝－1，－1＋x 22＝1，x 2＝3,3是方程的一个根． 4．(2011·泰安)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 与y 的部分对应值如下表：x －7 －6 －5 －4 －3 －2 y－27－13－3353则当x ＝1时，y 的值为A ．5B ．－3C ．－13D ．－27 答案 D解析 观察上表，当x ＝－4或－2时，y ＝3，抛物线的对称轴为直线x ＝－4－22＝－3.当x ＝1时，－7＋12＝－3，可知当x ＝－7或1时，y ＝－27.5．(2010·天津)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b 2－4ac >0；②abc >0；③8a ＋c >0；④9a ＋3b ＋c <0. 其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△＝b 2－4ac >0，故①正确．抛物线开口向上，得a >0；又对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，b ＝－2a <0.抛物线交y 轴于负半轴，得c <0，所以abc >0，②正确．根据图象，可知当x ＝－2时，y >0，即4a －2b ＋c >0，把b ＝－2a 代入，得4a －2(－2a )＋c ＝8a ＋c >0，故③正确．当x ＝－1时，y <0，所以x ＝3时，也有y <0，即9a ＋3b ＋c <0，故④正确． 二、填空题6．(2011·济宁)将二次函数y ＝x 2－4x ＋5化成 y ＝(x －h )2＋k 的形式，则y ＝________.答案 y ＝(x －2)2＋1解析 y ＝x 2－4x ＋5＝(x 2－4x ＋4)＋1＝(x －2)2＋1.7．(2011·舟山)如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1,0)，(1，－2)，当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是______.答案 x ≥12解析 抛物线经过点(－1,0)，(1，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝－2，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，b ＝－1.所以y ＝x 2－x －2，其对称轴直线x ＝－－12×1＝12，当x ≥12，y 随x 的增大而增大．8．(2011·湖州)如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点(0，－3)，请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间，你所确定的b 的值是________．答案 如－12(答案不唯一)解析 采用特殊值法，如设抛物线与x 轴的交点坐标为(2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋2b ＋c ＝0，c ＝－3.得b ＝－12.9．(2011·日照)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，给出下列命题 ：①a ＋b ＋c ＝0；②b ＞2a ；③ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3和1； ④a －2b ＋c ＞0.其中正确的命题是________．(只要求填写正确命题的序号) 答案 ①③解析 抛物线过点(1,0)，则有a ＋b ＋c ＝0；对称轴为直线x ＝－1，则－3＋12＝－1，另一交点为(－3,0)，①③正确；对称轴线x ＝－b2a ＝－1，b ＝2a ；又a >0，c <0，则a －2b ＋c ＝a －4a ＋c ＝－3a ＋c <0，所以②、④错误． 10．(2011·茂名)给出下列命题：命题1：点(1,1)是双曲线y ＝1x 与抛物线y ＝x 2的一个交点．命题2：点(1,2)是双曲线y ＝2x 与抛物线y ＝2x 2的一个交点．命题3：点(1,3)是双曲线y ＝3x 与抛物线y ＝3x 2的一个交点．……请你观察上面的命题，猜想出命题n (n 是正整数)：________________________________. 答案 点(1，n )是双曲线y ＝nx 与抛物线y ＝nx 2的一个交点解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝n x ，y ＝nx 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝n ，所以点(1，n )是双曲线y ＝nx 与抛物线y ＝nx 2的一个交点．三、解答题11．(2011·东莞)已知抛物线y ＝12x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点．(1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx ＋1经过的象限，并说明理由． 解 (1)∵抛物线与x 轴没有交点，则方程12x 2＋x ＋c ＝0中，△＜0，即1－2c ＜0，解得c ＞12.(2)∵c ＞12>0，∴直线y ＝cx ＋1随x 的增大而增大． ∵b ＝1，∴直线y ＝cx ＋1经过第一、二、三象限． 12．(2011·南京)已知函数y ＝mx 2－6x ＋1(m 是常数)．(1)求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； (2)若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 解 (1)当x ＝0时，y ＝1.所以不论m 为何值，函数y ＝mx 2－6x ＋1的图象经过y 轴上的一个定点(0,1)．(2)①当m ＝0时，函数y ＝－6x ＋1的图象与x 轴只有一个交点； ②当m ≠0时，若函数y ＝mx 2－6x ＋1的图象与x 轴只有一个交点，则方程mx 2－6x ＋1＝0有两个相等的实数根，所以b 2－4ac ＝(－6)2－4m ＝0，m ＝9. 综上，若函数y ＝mx 2－6x ＋1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9. 13．(2011·江津)已知双曲线y ＝kx与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A (2,3)、B (m,2)、c (－3，n )三点．(1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C ，并求出△ABC 的面积．解 (1)把点A (2,3)代入y ＝kx 得：k ＝6.∴反比例函数的解析式为：y ＝6x.把点B (m,2)、C (－3，n )分别代入y ＝6x得： m ＝3，n ＝－2.把A (2,3)、B (3,2)、C (－3，－2)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝2，9a －3b ＋c ＝－2，解之得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝23，c ＝3.∴抛物线的解析式为：y ＝－13x 2＋23x ＋3.(2)描点画图(如图)：S △ABC ＝12(1＋6)×5－12×1×1－12×6×4＝352－12－12＝5.14．(2011·黄冈)我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100()x －602＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润Q ＝－99100()100－x 2＋2945()100－x ＋160(万元)．(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？ (3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解 (1)当x ＝60时，P 最大值为41，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)．(2)前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 增大而增大，所以x ＝50时，P 最大值为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y ，当地投资额为x ，则外地投资额为100－x ，所以y ＝P ＋Q ＝⎣⎡⎦⎤－1100()x －602＋41＋⎣⎡⎦⎤－99100x 2＋2945x ＋160＝－x 2＋60x ＋165＝－()x －302＋1065，表明x ＝30时，y 最大值为1065，那么三年获利最大为1065×3＝3495(万元)，故五年获利最大值为80＋3495－50×2＝3475(万元)． 因此(3)有极大的实施价值．15．(2011·杭州)设函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1 (k 为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k ，函数的图象都具有的特征，并给予证明； (3)对任意负．实数k ，当x <m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．- 11 - 解 (1)当k ＝1时，y ＝x 2＋3x ＋1；当k ＝0时，y ＝x ＋1，图略．(2) 对任意实数k ，函数的图象都经过点(－2，－1)和点(0,1)．证明：把x ＝－2代入函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1，得y ＝－1，即函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象经过点(－2，－1)；把x ＝0代入函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1，得y ＝1，即函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象经过点(0,1)．(3) 当k 为任意负实数，该函数的图象总是开口向下的抛物线，其对称轴为x ＝－2k ＋12k＝－1－12k ，当负数k 所取的值非常小时，正数－12k 靠近0，所以x ＝－1－12k靠近－1，所以只要m 的值不大于－1即可．。
第14讲 二次函数
当x=
b 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a
当x=
【即时应用】 ＞-2 1.y=x2+4x-1的顶点坐标为(_______)，当x_____时，y随x的增 -2，-5
大而增大.
小 2 2.对于二次函数y=3x2-12x+13，当x=__时，函数y有最___值， 其值为__. 1 y轴(或x=0) 3.函数y=x2+3的对称轴为___________.
∴当x=3时，y=9+3b+c≤0
①②联立解得：c≥3,故选B.
②，
4.(2012·泰州中考)如图，在平面直角坐
标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，
C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数 y=2 2 x +bx+c的图象经过B，C两点. 3
(1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围.
一、二次函数的有关概念 1.定义 二次 如果函数的解析式是自变量的_____多项式,这样的函数称为二 次函数. 2.形式 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) (1)一般式:_____________________________; y=a(x-h)2+k (h,k) (2)顶点式:___________,其中顶点坐标是______.
【解析2，2). ∵二次函数y=- 2 x2+bx+c的图象经过B，C两点，
3 ∴c=2，2b+c= 14 ，∴b= 4 ， 3 3 ∴二次函数的解析式为y= 2 x 2 4 x 2 . 3 3 2 2 4 (2)令y=0，则 x x 2 =0，解得x=-1或x=3， 3 3
(呼和浩特专版)中考数学复习第三单元函数及其图象第14课时二次函数的简单综合课件
例2 [2018·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B, 抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C. (2)求抛物线的对称轴; (2)∵抛物线 y=ax2+bx-3a 经过点 A,
③ 没有 实数根
2.二次函数与不等式的关系 (1)ax2+bx+c>0的解集 函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围. (2)ax2+bx+c<0的解集 函数y=ax2+bx+c的图象位于④ x轴下方 的部分对应的点的横坐标的取值范围.
考点二 二次函数的综合应用
∵OC=3,OB=4,∴由勾股定理得 BC=5,PB=BC+PC=5+2=7, ∴OQ=12PB=72,故选 C.
2.[2019·凉山州]如图 14-2,正方形 ABCD 中,AB=12,AE=1AB,点 P 在 BC 上运动(不
4
与 B,C 重合),过点 P 作 PQ⊥EP,交 CD 于点 Q,则 CQ 的最大值为
第 14 课时
二次函数的简单综合
考点聚焦
考点一 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的交点个数
2个 1个 没有
判别式b2-4ac的正负
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
2013-2014中考数学专题复习学生版第十四讲 二次函数的图象和性质
第十四讲 二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的二次函数【名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列 2、强调二次项系数a 0】二、二次函数的同象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式2、在抛物y=kx 2+bx+c(a≠0)中：①、当a>0时，y 口向 ，当x<ab2-时，y 随x 的增大而 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，②、当a<0时，开口向 当x<ab2-时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点 1、y=ax 2 ,对称轴 定点坐标2、y= ax 2 +k ，对称轴 定点坐标3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴 定点坐标 】 三、二次函数同象的平移【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】四、二次函数y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a ｜越大，开口越 b:对称轴位置，与a 联系一起，用 判断b=0时，对称轴是c:与y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点【名师提醒：在抛物线y = ax 2+bx+c 中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号】 【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2012•常州）已知二次函数y=a （x-2）2+c （a ＞0），当自变量x 、3、0时，对应的函数值分别：y 1，y 2，y 3，，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ） A ．y 3＜y 2＜y 1 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＜y 1＜y 3 D ．y 3＜y 1＜y 2点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大． 对应训练1．（2012•衢州）已知二次函数y=12-x 2-7x+152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．点评：本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点．对应训练2．（2012•河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=12（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例3 （2012•玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．对应训练3．（2012•重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=12 ．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1点评：此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．对应训练4．（2012•南京）已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．4．①③【聚焦山东中考】1．（2012•泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限2．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=-1时，y的值大于1 D．当x=-3时，y的值小于03．（2012•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．4．（2012•泰安）设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2 5．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2012•日照）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④7．（2012•泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A ．y=3（x+2）2+3B ．y=3（x-2）2+3C ．y=3（x+2）2-3D ．y=3（x-2）2-3 8．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x 度的范围是18≤x≤90），（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x 度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．【备考真题过关】一、选择题1. ．(2013•昭通)已知二次函数y ＝ ax 2＋bx ＋c （a ≠ 0）的图象如图5所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞0B ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根C ．a ＋b ＋c ＝0D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小2.（2013•包头）已知二次函数y =ax 2+bx +c （c ≠0）的图像如图所示，下列结论 ①b <0 ；②4a +2b +c <0； ③a —b +c >0； ④（a +b )²<b ² 其中正确的结论是（ ）x ＝1xy O-1A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④ 3. ( 2013•牡丹江)抛物线y=2ax +bx+c (a ＜0)如图所示，则关于x 的不等式2ax +bx+c ＞0的解集是（ ）A.x ＜2B.x ＞-3C.-3＜x ＜1D.x ＜-3或x ＞1 4. （2013•怀化）下列函数是二次函数的是（ ）A ．y ＝2x ＋1B ． y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2D ． y ＝12x －2 5. （2013•岳阳）二次函数2=++y ax bx c 的图象如图所示，对于下列结论：①<0;a ②<0;b ③0;>c ④20;+=b a ⑤0++<a b c ．其中正确的个数是（ ） A ．１个 B ．２个 C ．3个D ．4个6.(2013•鄂州)下列命题正确的个数是( )x 的取值范围为x≤1且x≠0.②我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为302 600 000元，保留三个有效数字用科学计数法表示为3.03×108元.③若反比例函数my x=(m 为常数)，当x ＞0时，y 随x 增大而增大，则一次函数y =-2 x + m 的图像一定不经过第一象限.④若函数的图像关于y 轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y =3，y =2x+1，y =x 2中偶函数的个数为2个.A ．1B ．2C ．3D ．47. (2013•鄂州)小轩从如图所示的二次函数y = ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab > 0；②a ＋b ＋c < 0；③b ＋2c ＞0；④a-2b ＋4c ＞0；⑤32a b =。