定积分
定积分不定积分
定积分不定积分
定积分与不定积分是数学中的重要概念，它们的基本概念是定积分与不定积分的对比。
1、定积分：它是指对某区间上一个复合函数在其上求和的操作，它可以完成求定积分，这是一个求极限的过程，当把某个函数积分的过程越来越好的时候，可以使函数的值接近某个极限，从而得到定积分的结果。
2、不定积分：它是指对某区间上某函数不断增加或减少的积分过程，它可以完成求不定积分，这是一个寻找极值的过程，当函数一次性地积分，那么就会得到函数在某个区间上的最大值或最小值，从而得到不定积分的结果。
总之，定积分与不定积分是互为对立的概念，其针对的是相同的函数，但是它们分别根据对该函数的求积分过程，来进行极限求解或极值求解，从而得出不同的结果。
- 1 -。
定积分计算公式大全
定积分计算公式大全一、定积分的基本公式。
1. 牛顿 - 莱布尼茨公式（Fundamental Theorem of Calculus）- 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，即F^′(x) = f(x)，那么∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)。
- 例如：计算∫_1^2x^2dx，因为F(x)=(1)/(3)x^3是f(x) = x^2的一个原函数，所以∫_1^2x^2dx=(1)/(3)x^3big_1^2=(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)。
2. 定积分的线性性质。
- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
- 例如：计算∫_0^1(2x + 3x^2)dx，根据线性性质∫_0^1(2x+3x^2)dx =2∫_0^1xdx+3∫_0^1x^2dx。
- 因为∫_0^1xdx=(1)/(2)x^2big_0^1=(1)/(2)，∫_0^1x^2dx=(1)/(3)x^3big_0^1=(1)/(3)，所以∫_0^1(2x + 3x^2)dx=2×(1)/(2)+3×(1)/(3)=1 + 1=2。
二、定积分的换元积分法。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x = φ(t)满足条件：1. φ(α)=a,φ(β)=b；2. φ(t)在[α,β]（或[β,α]）上具有连续导数，且其值域R_φ⊆[a,b]，则∫_a^bf(x)dx=∫_α^βf[φ(t)]φ^′(t)dt。
例如：计算∫_0^4(dx)/(1 + √(x))。
令t=√(x)，则x = t^2，dx = 2tdt。
当x = 0时，t = 0；当x = 4时，t=2。
所以∫_0^4(dx)/(1+√(x))=∫_0^2(2t)/(1 + t)dt=2∫_0^2(t + 1-1)/(1 + t)dt=2∫_0^2(1-(1)/(1 + t))dt=2<=ft[t-ln(1 + t)]big_0^2=2(2-ln3)三、定积分的分部积分法。
定积分的性质
定积分可以表示为黎曼和的形式，即将区间[a,b]分成若干小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，并取小区间 的左端点$x_{i-1}$和右端点$x_i$作为积分的下限和上限，然后对每个小区间上的函数值$f(x_i)$进行求和，最后 将所有小区间的和再乘以$\Delta x$得到定积分的值。
对于任意实数$k_1, k_2$，有$\int (k_1f(x) + k_2g(x)) dx = k_1 \int f(x) dx + k_2 \int g(x) dx$
常数倍
对于任意实数$k$，有$\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$
区间可加性
区间可加
对于任意分割$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$，有$\int_{a}^{b}f(x) dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x) dx$
利用定积分的性质
如果$f(x) \geq g(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq
\int_{a}^{b}g(x)dx$。
利用定积分的性质
如果$f(x) = g(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}g(x)dx$。
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定积分的极限性质
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于常数$c$和$d$，有$\int_{a}^{b} (c\varphi_1(x) + d\varphi_2(x)) dx = c\int_{a}^{b} \varphi_1(x) dx + d\int_{a}^{b} \varphi_2(x) dx$。
定积分的概念
设某质点作直线运动，速度 v v (t ) 是时间间 隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，物体在这段时 间内所经过的路程.
S v(t )dt
T2 T1
例1 利用定义计算定积分 x 2dx.
0
1
i 解 将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2, , n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n 取 i x i ，(i 1,2,, n )
f ( x ) |在区间[a , b] 上的可积性是显然的.
（3） 设 M 及m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值，
则 m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
b
6） (积分中值定理)若函数f ( x)在区间[a, b]上连续 . 则在[a, b]上至少存在一点 , 使得下式成立 :
o a
x1
x i 1 i x i
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， (i ) 为高的小矩形面积为 f
Ai f ( i )xi
近似
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
求和
当分割无限加细即小区间的最大长度 ,
max{x1 , x2 ,xn }
b
x
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积
a f ( x )dx A
曲边梯形的面积 的负值
b
y
a
o
A2
A1
A3
b
x
它 是 介 于x 轴 、 函 数 f ( x ) 的 图 形 及 两 条 直 线 x a, x b 之 间 的 各 部 分 面 积 的数 和 ． 代 在 x 轴 上 方 的 面 积 取 正 号在 x 轴 下 方 的 面 ； 积取负号．
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法 例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222nnni i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.（4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦L ＝224(21)lim n n n n →∞++=＝4．∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法 例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x xx +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()aaf x dx -⎰＝20()af x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aaf x dx -⎰＝0． 小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
定积分的概念
f ( i ) xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和式总趋于 确定的极限I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分， 记为
积分上限
b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f
(i )xi
积分和
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表 达 式
变 量
定积分的本质是一种特殊结构的和式的极限
曲边梯形面积A：
n
A lim 0 i1
f (i )xi
记为 b f x dx a
隔[T1 ,T2 ]内，v 的变化不大，可近似看作是
匀速运动问题。按照求曲边梯形面积的思 想。
思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上 速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到 路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求 得路程的精确值。
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ti ti ti1
sin xdx
1
A2
4
sin
xdx
所以
5
A sin xdx 4 sin xdx
1
内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i1
f (i )xi
2. 定积分的几何意义
定积分知识点和例题
定积分知识点和例题
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。
定积分的概念起源于求图形面积和其他实际应用的问题。
下面我将列举一些定积分的知识点和例题：
知识点：
1. 定积分的定义：定积分是积分和的极限，即对一个给定区间[a,b]上的函数f(x)和任意分割法，求各小区间上函数值的点乘积和的极限。
如果存在一个常数I，对于任意给定的正数ε，总存在一个δ>0，使得当|ΔSi|<δ时，对区间[a,b]的任意分割法，和Si与I的差的绝对值都小于ε，则称I为f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫abf(x)dx，其中a、b和I分别为定积分的下限、上限和值。
2. 定积分的几何意义：定积分的值等于由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b 以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
3. 定积分的性质：定积分的性质包括线性性质、积分中值定理、积分上限函数与被积函数的联系等。
4. 定积分的计算方法：主要包括基本初等函数的积分公式和不定积分的性质及计算方法，如换元法、分部积分法等。
例题：
1. 计算定积分∫10(x^2+1)dx的值。
2. 计算定积分∫π20(sinx+cosx)dx的值。
3. 计算定积分∫10|x-1|dx的值。
4. 计算定积分∫10x^2dx的值。
5. 计算定积分∫21(1/x)dx的值。
定积分的概念
定积分的概念1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()baf x dx ⎰的几何意义。
说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个1.基本积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1∫ 1/x dx = ln，x， + C∫ e^x dx = e^x + C∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2.反常积分公式：∫ 1/x dx = ln，x， + C, 其中x取区间(-∞, 0)或(0, +∞)∫ e^x dx = e^x + C, 区间为(-∞, +∞)∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1，区间为(-∞, +∞)∫ sin(x) dx = -cos(x) + C, 区间为(-∞, +∞)∫ cos(x) dx = sin(x) + C，区间为(-∞, +∞)3.分部积分法公式：∫ u dv = uv - ∫ v du，其中u, v是关于x的函数4.和差积分公式：∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx5.一些特殊函数的积分：∫ e^(x^2) dx = √π*erf(x)/2 + C∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C∫ sin^2(x) dx = (x - sin(x)cos(x))/2 + C6.换元法公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du，其中u=g(x)7.可以通过递推关系求解的积分：∫ sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫ sin^(n-2)(x) dx∫ cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫ cos^(n-2)(x) dx8.积分的对称性：∫ f(x) dx = ∫ f(a+b-x) dx，其中a和b为常数以上是定积分的一些基本公式。
定积分
第十七节定积分[归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念在f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①kf(x)d x＝kf(x)d x.②[f1(x)±f2(x)]d x＝f1(x)d x±f2(x)d x.③f(x)d x＝f(x)d x＋f(x)d x.2．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)，即f(x)d x＝F(x)＝F(b)－F(a)．[探究] 1.若积分变量为t，则f(x)d x与f(t)d t是否相等？2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？3．定积分[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？[自测·牛刀小试]1.d x等于( )A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 22．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A. B. C. D.3．(教材习题改编)直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．4．(教材改编题)d x＝________.5．由曲线y＝，直线y＝－x＋所围成的封闭图形的面积为________．[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)(x2＋2x＋1)d x； (2)(sin x－cos x)d x；(3)x(x＋1)d x； (4)d x；(5) sin2d x.———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分：(1)|x－1|d x； (2) d x.[例2] d x＝________.在本例中，改变积分上限，求d x的值．———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．2．(2013·福建模拟)已知函数f(x)＝(cos t－sin t)d t(x>0)，则f(x)的最大值为________．[例3] (2012·山东高考)由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )A. B．4 C. D．6若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A. B. C. D.[例4] 列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为v(t)d t；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－v(t)d t.2．变力做功问题物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b所做的功为F(x)d x.4．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为( )A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；(3)面积非负，而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量．1．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )A. B. C. D.2．(2012·山东高考)设a>0.若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.d x＝( )A．ln x＋ln2x B.－1 C. D.2．(2012·湖北高考)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A. B. C. D.3．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)d x＝3f(x0)，则x0等于( )A．±1 B.C．± D．24．设f(x)＝则f(x)d x＝( )A. B. C. D．不存在5．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )A. mB. mC. mD. m6．(2013·青岛模拟)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )A. B．1 C. D.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设a＝sin x d x，则曲线y＝f(x)＝xa x＋ax－2在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．8．在等比数列{a n}中，首项a1＝，a4＝(1＋2x)d x，则该数列的前5项之和S5等于________．9．(2013·孝感模拟)已知a∈，则当(cos x－sin x)d x取最大值时，a＝________.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．计算下列定积分：(1) sin2x d x； (2)2d x； (3)e2x d x.11．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．12．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，直线OP与曲线y＝x2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线y＝x2及直线x＝2围成图形的面积为S2，若S1＝S2，求点P的坐标．1．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在 s～6 s间的运动路程为________．2．计算下列定积分：(1) (3x2－2x＋1)d x； (2)d x.3．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)满足函数关系式v(t)＝某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min行驶的路程超过7 673 m，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？ 六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位．为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af(x)2＋bf(x)＋c(a≠0)的最值问题，可以考虑用配方法．[例1] 已知函数y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．[解] y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2＝(e x＋e－x)2－2a(e x＋e－x)＋2a2－2.令t＝e x＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋2a2－2.因为t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．因为抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，所以当a≤2且a≠0时，y min＝f(2)＝2(a－1)2；当a>2时，y min＝f(a)＝a2－2.[点评] 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题．如可用三角换元解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．[例2] 设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是________．[解析] 因为a，b∈R，a2＋2b2＝6，所以令a＝cos α，b＝sin α，α∈R.则a＋b＝cos α＋sin α＝3sin(α＋φ)，所以a＋b的最小值是－3.[答案] －3[点评] 在用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围．如本题换元后中间变量α∈R，这是由条件a，b∈R得到的．3．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)，≥(a≥0，b≥0)，ab≤2≤(a，b为实数)．[例3] 函数f(x)＝＋(0<x<1)的最小值为________．[解析] f(x)＝＋＝＝，令t＝3x＋1，则x＝，t∈(1,4)，f(x)变为g(t)＝＝＝＝，因为t∈(1,4)，所以5>t＋≥4,0<－＋5≤1，≥9，所以f(x)的最小值为9.[答案] 9[点评] 利用基本不等式法求解最值的关键在于确定定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数．对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函数解析式乘以“1”构造基本不等式．4．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种方法在高考中是必考的，多在解答题中的某一问出现．[例4] 已知函数f(x)＝x ln x，则函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值为________．[解析] 因为f′(x)＝ln x＋1，所以当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．①当0<t<t＋2<时，t无解；②当0<t<<t＋2，即0<t<时，f(x)min＝f ＝－；③当≤t<t＋2，即t≥时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝t lnt.所以f(x)min＝[答案] f(x)min＝[点评] 本题是函数在不定区间上的最值问题，因此区间的位置要全部考虑到，不要遗漏．5．导数法设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．[例5] 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是________，________.[解析] 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，易得，f(x)的最大值为3，最小值为－17. [答案] 3 －17[点评] (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：一是求函数在(a，b)内的极值，二是求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)，三是比较上述极值与区间端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值点及最小值点必在以下各点中取得，导数为零的点，导数不存在的点及区间端点．6．数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．[例6] 对a，b∈R，记max|a，b|＝函数f(x)＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________．[解析] 由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2，解得x≥.所以f(x)＝其图象如图所示．由图形，易知当x＝时，函数有最小值，所以f(x)min＝f＝＝. [答案] [点评] 用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是发现条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观地解决问题．如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解函数最值的方法去解．二、巧用数形结合妙解3类求参数问题数形结合就是根据数学问题的条件与结论的内在联系，既要分析问题的代数含义，又要揭示其几何意义，把“数”与“形”巧妙地结合起来，并利用“结合”寻找解题的思路，使问题得到圆满解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法．通过“以形助数，以数辅形”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，充分利用形的直观性和数的严谨性来思考问题，拓展了思路，这就是数形结合的核心价值．通过以下三个方面体会数形结合思想的运用．1．通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值[例1] 已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)[解析] 画出函数f(x)的图象，再画出直线y＝d(0<d<1)，如图所示，直观上知0<a<1,1<b<10,10<c<12，再由|lg a|＝|lg b|，得－lg a＝lg b，从而得ab＝1，则10<abc<12. [答案] C[点评] 通过图形可以发现a，b，c所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．2.通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围[例2] 已知m∈R，函数f(x)＝x2＋2(m2＋1)x＋7，g(x)＝－(2m2－m ＋2)x＋m.(1)设函数p(x)＝f(x)＋g(x)．如果p(x)＝0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数m的取值范围；(2)设函数h(x)＝是否存在m，对于任意非零实数a，总存在唯一非零实数b(b≠a)，使得h(a)＝h(b)成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为p(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋mx＋7＋m，令p(x)＝0，①因为方程①在(1,5)内有实数解，且没有重根，由p(x)＝0，得m＝－＝－＝2－(x＋1)－，因为1<x<5，令t＝x＋1，则2<t<6，如图所示，所以－<m≤2－4. 当m＝2－4时，p(x)＝0有两个相等的根，所以实数m的取值范围是－<m<2－4.(2)由题意，得当x≥0时，h(x)＝x2＋2(m2＋1)x＋7，h(x)在区间[0，＋∞)上单调递增；当x<0时，h(x)＝－(2m2－m＋2)x＋m，h(x)在区间(－∞，0)上单调递减．记A＝{h(x)|x≥0}，B＝{h(x)|x<0}，则A＝[7，＋∞)，B＝(m，＋∞)．(ⅰ)若∀a>0时，如图(1)知，由于h(x)在(0，＋∞)上是增函数，若存在非零实数b(b≠a)，使得h(a)＝h(b)，则b<0，且A⊆B，即m≤7；(ⅱ)若∀a<0时，如图(2)知，由于h(x)在(－∞，0)上是减函数，若存在非零实数b(b≠a)，使得h(a)＝h(b)，则b>0，且B⊆A，即m≥7.综合(ⅰ)(ⅱ)，知所求m＝7.现在证明充要性：①必要性：由求解过程知必要性成立；②充分性：当m＝7时，A＝B，对于∀a≠0，则∃b(b≠a，且ab<0)，使得h(a)＝h(b)．[点评] 第(1)问含有参数的二次方程或分式方程在区间(1,5)内有解且无重根，纯粹从数的角度去理解是相当困难的，通过分离变量，把方程化归为函数m＝－(1<x<5)，再通过换元画出函数的图象，方程在区间内有解的条件就非常容易得出了．第(2)问的解题思路也是在“形”指点下进行的，对于∀a>0，存在b≠a，使得h(a)＝h(b)的条件是m≤7；反过来，对于∀a<0，存在b≠a，使得h(a)＝h(b)的条件是m≥7.3．通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围[例3] 如果函数y＝1＋(|x|≤2)的图象与函数y＝k(x－2)＋4的图象有两个交点，那么实数k的取值范围是________．[解析] 函数y＝1＋的值域为[1,3]，将y－1＝两边平方，得x2＋(y－1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y＝1＋的图象是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A(－2,1)和点B(2,1)；函数y＝k(x－2)＋4是过定点P(2,4)的直线．画出两函数的图象如图所示，易得实数k的范围是. [答案] [点评] 函数y＝1＋的图象是半圆，像这样由圆或圆锥曲线的部分图形构成的函数图象，在基本初等函数中没有涉及，应该把它和对勾函数y＝x＋作为“基本初等函数”来掌握．典例3的等价命题是方程式＝3＋k(x－2)在[－2,2]上有两个不同的实根，求实数k的取值范围．。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
定积分的概念
04
定积分的应用
面积计算
几何图形面积
定积分可用于计算各种几何图形的面 积，如矩形、圆形、三角形等。通过 选取适当的积分变量和积分区间，可 以将面积表示为定积分的形式，进而 求出面积。
参数方程面积
对于由参数方程定义的曲线所围成的 图形，也可以利用定积分计算其面积。 通过消去参数，将参数方程转化为直 角坐标方程或极坐标方程，再利用定 积分进行计算。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将不定积分的被积函 数拆分成两个或多个函数的乘积，利用 乘积法则进行分部积分，从而简化计算 过程。
VS
详细描述
分部积分法的基本思想是将不定积分的被 积函数拆分成两个或多个函数的乘积，然 后利用乘积法则进行分部积分。这种方法 需要掌握基本的乘积法则和分部积分公式 ，并能够灵活运用以解决复杂的不定积分 问题。
起考虑，以确定函数值的累积结果。
特殊情况的积分上下限
当积分区间是无限区间时，积分上下限可能是无穷大或无穷小 的情况。这些特殊情况的积分上下限需要特殊处理和考虑。
02
定积分的性质
线性性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和 或差的积分，可以分别对每个函数进行积分 后再求和或求差。
具体形式
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换原不定积分中的变量，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分，从而简化 计算过程。
详细描述
换元积分法的基本思想是将原不定积分中的变量替换为另一个变量，使得新的不定积分更易于计算。这种方法需 要灵活运用变量代换技巧，选择合适的代换公式，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分。
应用
积分中值定理在解决定积分问题时非 常有用，特别是当我们需要找到一个 特定的点，使得函数在该点的值等于 整个区间的定积分时。
定积分的定义
2
0
f
x
dx－ 2 0
2xdx
=8－4=4.
答案:4
【技法点拨】利用定积分的性质求定积分的策略 （1）利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合,对于 每一个积分都可以利用定积分的几何意义求出, 从而得到所求 定积分的值. （2）求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再 相加. 提醒：要注意合理利用函数的奇偶性、对称性求解.
2
0 f
x dx
2
20
f
x
dx.
1.若在区间［1,2］上,f(x)>0恒成立,则
2
1 f
xdx 的符号(
)
A.一定为正
B.一定为负
C.可能为正,也可能为负
D.不能判断
【解析】选A.由定积分的概念可知,
2
1
f
x的d值x 为曲边梯形
的面积.而该曲边梯形始终在x轴的上方,故其值为正.
积求定积分的值.
2.弄清被积函数的图象，结合定积分的几何意义作答.
【解析】1.（1）012d表x 示的是图（1）中阴影所示长方形的
面积，由于这个长方形的面积为2，所以
1
0 2dx
2.
答案:2
(2)
2
1
x表dx示的是图（2）中阴影所示梯形的面积，由于这个
梯形的面积为 3所, 以
2
2 xdx 3 .
2
分的形式为_______.
【解析】由定积分的定义和几何意义可知
S
2 0
sin
xdx.
答案: 2 sin xdx 0
数学微积分定积分公式整理
数学微积分定积分公式整理微积分是数学中的重要分支，它主要研究函数的变化率和积分运算。
在微积分中，定积分是积分的一种形式，它用来求解曲线与坐标轴所围成的面积或曲线的长度。
定积分公式是定积分计算的基础，下面我将对一些常用的定积分公式进行整理和归纳。
一、基本的定积分公式1. 幂函数的定积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C，其中C为常数。
这个公式适用于任意实数n，其中n不等于-1。
2. 指数函数的定积分公式：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数。
指数函数e^x的定积分就是它自身再加上一个常数C。
3. 三角函数的定积分公式：∫sin x dx = -cos x + C∫cos x dx = sin x + C这两个公式是三角函数的定积分公式，其中C为常数。
4. 常数函数的定积分公式：∫k dx = kx + C，其中k为常数。
这个公式表示常数函数的定积分是它自身再乘以x再加上一个常数C。
二、定积分的性质1. 定积分的线性性质：∫[a*f(x) + b*g(x)] dx = a*∫f(x) dx + b*∫g(x) dx这个公式表示定积分具有线性性质，可以将函数的线性组合的积分转化为各个函数的积分之和。
2. 定积分的区间可加性：∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx这个公式表示定积分在不同区间上的结果可以进行相加，得到整个区间的定积分。
三、一些常见的定积分公式1. 正弦函数的定积分公式：∫sin^2 x dx = (1/2) * x - (1/4) * sin 2x + C∫sin^3 x dx = -(1/3) * cos^3 x + C这两个公式可用于计算正弦函数的定积分。
2. 余弦函数的定积分公式：∫cos^2 x dx = (1/2) * x + (1/4) * sin 2x + C∫cos^3 x dx = (1/3) * sin^3 x + C这两个公式可用于计算余弦函数的定积分。
定积分的概念
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
133
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
143
解决步骤 :
1) 分割
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
83
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
93
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
103
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
113
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
3
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
13
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
23
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
33
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
x i ． ， 为 xi xi xi 1 (i 1, , n)，记 max 1 i n
近似: 在每个小区间[xi-1, xi]上任取一点 i (i=1, 2 … n)
作乘积 f ( i )x i ,
求和：作和式 S = f ( i )xi
பைடு நூலகம்
y
o a x1
xi 1 xi
i
A lim f ( i )x
0
定积分的五种求法
上 学 期 期 中 考 试 理 科 已 知 函 数 厂 一
当 １≤ ＜√ 时， 厂，（ ）＜ｏ，此时
（１）若 “一 ２，求 证 ：函 数 ｆ（ｚ）在 （１， ｆ（ｘ）是 减 函 数 ；
＋～）上是增 数
当√ ＜ ≤ 时，厂，（ ）＞ｏ，此时
（２）求 函 数 ｆ（ ）在 ［１，ｅ］上 的 最 小 值 及
质 ，则 能 迎 刃 而 解 。
解 ：由 于 被 积 ／Ｎ数 ｔ
及
是 奇
Ｚ 十 １
函 数 ，所 以 其 在 对 称 区 间 的 积 分 值 均 为 零 。
１ ２ 求定积分 ｆ （ ｚ＋２ ＋１）ｄｊ：的
值 。 分 析 ：可 允 求 出 原 函 数 ，再 利 用 微 积 分 基
Ｉ （、／『二 ）ｄ 一 。
（４） 取 极 限 ： ｓ — ｌｉｍ 三 ．
［（ ｝（ ＋…＋（ ）。］
四 性 质 法 侧 求 下 列定 积分 ：
① 』 ｔａｎ ｚｄ－ｚ；② Ｉ
ｄ 。
一 ｌｉｒ ａ ［１ ＋ ２。＋ … ＋ ”。］
分 析 ：对 于 ① 用 微 积 分 的 基 本 定 理 可 以
分 析 ：用 定 义 法 求 积 分 司 分 四 步 ：分 割 ，
以 直 代 曲 ，作 和 ，求 极 限 。
解：（１）分割：把区间［ｏ，２］分成 等份，
。
Ｕ△‘ｚ．一 。
”
（２） 近 似 代 替 ：△Ｓ 一
（∈ ）△ｚ 一
（ ３＋ 。＋）ｆ １一（＼３＋４＋ ／一（＼ ３＋ ＋ ）一
－＝ －＝ ＝ ［｝×÷ ｃ”＋ ］
解 决 ，而 ② 的 原 函 数 很 难 找 到 ，几 乎 不 能 解 决 。若 运 用 奇 偶 函 数 在 对 称 区 间 的 积 分 性
定积分公式表完整
定积分公式表(可以直接使用，可编辑实用优秀文档，欢迎下载）1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有.当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.当时，有.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 ) 例4 求不定积分.分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰(1)u ≠-（3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a-=+-+⎰（18）sinxarc C a=+（19）ln(x C =+（20）ln |x C =++（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
定积分的概念
定积分与微积分定理1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()ba S f x dx =⎰ 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]ab 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()ba W F r dr =⎰2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a xb ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。
考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +< 于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆()b af x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx ba -=⎰1性质2 ⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质3 1212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4 ()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：1212[()()()]()()()bb bbm m a aaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：2.微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
积分与定积分
积分与定积分积分和定积分是微积分中的重要概念。
它们在数学和应用科学中有广泛的应用。
本文将介绍积分和定积分的定义、性质和计算方法。
一、积分的定义与性质1.1 定积分的定义定积分是函数在一个闭区间上的积分，表示曲线下的面积。
设函数f(x)在[a, b]上连续，则[a, b]上f(x)的定积分可表示为：∫(a到b) f(x) dx该积分表示曲线y=f(x)与x轴所围成的曲边梯形的面积。
1.2 积分的性质积分具有以下性质：（1）线性性质：若f(x)和g(x)在[a, b]上可积，且k为常数，则有∫(a 到b) [f(x)+g(x)] dx=∫(a到b) f(x) dx+∫(a到b) g(x) dx以及∫(a到b) kf(x) dx=k∫(a到b) f(x) dx。
（2）区间可加性：若f(x)在[a, b]和[b, c]上可积，则有∫(a到c) f(x) dx=∫(a到b) f(x) dx+∫(b到c) f(x) dx。
（3）积分中值定理：若f(x)在[a, b]上连续，则存在ξ∈[a, b]，使得∫(a到b) f(x) dx=f(ξ)。
二、定积分的计算方法2.1 几何意义法定积分可以通过几何意义来计算。
例如，要计算函数f(x)=x²在区间[0, 1]上的定积分，可将函数图像与x轴所围成的面积分为若干个几何图形的面积之和，然后分别计算每个几何图形的面积并求和。
在本例中，将曲边梯形近似为矩形，计算可得定积分的值为1/3。
2.2 基本积分法基本积分法是通过函数的不定积分来计算定积分。
定积分与不定积分之间有着密切的联系，可以利用不定积分来计算定积分。
例如，要计算函数f(x)=2x在区间[1, 3]上的定积分，首先求出函数f(x)的不定积分F(x)=x²+C，其中C为常数。
然后，利用不定积分的基本性质，计算定积分的值为F(3)-F(1)=9-1=8。
2.3 分部积分法分部积分法也是计算定积分的一种常用方法。
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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx) (d y )
2
2
y
ds
y f (x)
1 y2 d x
因此所求弧长
s
b
a b
2 d x 1 y
o a
xxdx b x
1 f 2 ( x) d x
a
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
则曲边梯形面积
2. 极坐标情形
求由曲线 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 及
1 d A ( ) 2 d 2 所求曲边扇形的面积为 1 2 A ( ) d 2
r ( )
d
x
例. 计算阿基米德螺线
类似地 , 若 f ( x) C ( , b] , 则定义
引入记号
F () lim F ( x) ;
x
F () lim F ( x)
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a
f ( x) dx F (x)
F () F (a) F (b) F () F () F ()
o a
x
b x
dds s dx dx
给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 侧面积为
S 2 (t ) 2 (t ) 2 (t ) d t
到 2 所围图形面积 .
对应 从 0 变
1 2 (a ) d 解: A 0 2 a 2 1 3 2 2 3 0 4 3 2 a 3
2
o
d
2 a x
例. 计算心形线
面积 . 解:
2 4 a 4 cos 0 2
所围图形的
(利用对称性)
0 i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
a f ( x) d x a f (t ) d t a f (u ) d u
b
b
b
定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
( k 为常数)
b
4.
a [ f ( x) g ( x)] dx a f ( x) dx a g ( x) dx
b
b
b
6. 若在 [a , b] 上
推论1. 若在 [a , b] 上
则 则
推论2.
( a b)
7. 设 M max f ( x) , m min f ( x) , 则
n 1 n 3 3 1 , n n2 4 2 2 n 为偶数
n 为奇数
无穷限的反常积分
定义1. 设 f ( x) C [a , ) , 取 b a , 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
这时称反常积分 就称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 求和
在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] y 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i )
为高的小矩形, 并以此小
0 i 1
n
n
y
lim f ( i )xi
0 i 1
o a x1
xi 1 xi
i
二、定积分定义
任一种分法
a x0 x1 x2 xn b ,
任取
总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数
上的定积分, 记作 f ( x) d x
a b
[a , b] [a , b]
( a b)
8. 积分中值定理 则至少存在一点 使
a f ( x) dx f ( )(b a)
b
y f (x)
y
o a
b x
第二节 微积分的基本公式
一、积分上限的函数及其导数 二、牛顿 – 莱布尼兹公式
一、积分上限的函数及其导数
定理1. 若
2
2
2
2
即 r a(1 cos )
o
• 尖点: (0 , 0)
a
x
3 a2 • 面积: 2
• 弧长: 8a
二、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
d V A( x) d x
因此所求立体体积为
V A( x) d x
在区间
即
a f ( x) d x lim0 i f ( i ) xi 1
b
n
o a x1
i xi 1 xi b x
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
bHale Waihona Puke f ( x) d x lim f ( i ) xi
0
f ( x) d x b , 则
第三节 定积分的换元法和 分部积分法
不定积分
换元积分法
分部积分法
定积分
换元积分法
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定理1. 设函数 2) 在[ , ] 上 单值函数
满足:
1) (t ) C1[ , ] , ( ) a , ( ) b ;
第五章 定积分
积分学
不定积分
定积分
第一节 定积分的概念及性质
一、定积分问题背景
二、 定积分的定义
三、 定积分的性质
一、定积分问题背景
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
y f (x)
A?
解决步骤 : 1) 划分 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
f ( x) dx F (x) f ( x) dx F (x)
b
第四节 定积分的应用
一、 平面图形的面积 二、已知平行截面面积函数的 立体体积 三、平面曲线的弧长 四、 旋转体的侧面积
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形 设曲线 边梯形面积为 A , 则 与直线 及 x 轴所围曲
ds [ x( )]2 [ y ( )]2 d
r 2 ( ) r 2 ( ) d
因此所求弧长
s
r 2 ( ) r 2 ( ) d
四、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素: 求
d S 2 y d s
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积 得
o a x1
xi 1 xi
Ai f ( i )xi
(xi xi xi 1 )
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i
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结束
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
3) 取极限. 令
则曲边梯形面积
A lim Ai
1 2 a (1 cos ) 2 d 2 d
d
令t 2
8a 2 2 cos 4t dt
0
o
2a x
3 1 3 2 8a a 4 2 2 2
2
心形线(外摆线的一种)
x y ax a x y
参数的几何意义
y
点击图中任意点 动画开始或暂停
y y
积分后得旋转体的侧面积
y f (x)
o a o a
x
b b
x x
S 2
b
a
2 ( x ) dx f ( x) 1 f
注意:侧面积元素 d S 2 y ds 2 y dx
因为2 y dx 不是薄片侧面积△S 的 的线性主部 .
若光滑曲线由参数方程
y
y f (x)
则
(t ) (t )
换元必换限 配元不换限
二、定积分的分部积分法
定理2. 设 u ( x) , v( x) C1[a , b] , 则 b
a
例.
(1) 若 (2) 若
偶倍奇零
则
a
a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx
0
a
则
a
a
f ( x ) dx 0
例 证明
ds (dx) 2 (d y ) 2
2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x)
二、牛顿 – 莱布尼兹公式
定理2.
函数 , 则
a f ( x) dx F (b) F (a)
b
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
1. 设
1 2
求
解： 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设
0
f ( x) d x a ,