天津市滨海新区大港油田第一中学2019届高三二模考试数学(文)试卷(扫描版)
2019年天津市滨海新区中考数学二模试卷 解析版
2019年天津市滨海新区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算（﹣18）÷（﹣6）的结果等于（）A．3B．﹣3C．D．2．（3分）sin45°的值等于（）A．B．C．D．13．（3分）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即149600000千米．则用科学记数法表示1个天文单位是（）千米．A．1.496×108B．1.496×109C．1.496×107D．1.496×1010 4．（3分）下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3分）估计的值在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．（3分）计算的结果为（）A．1B．C．a+1D．8．（3分）一元二次方程x2+x＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝0D．x1＝1，x2＝0 9．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限10．（3分）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（）A．15B．18C．21D．2411．（3分）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在斜边AB上，且满足BO：OA＝1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC的大小为（）A．100°B．105°C．120°D．135°12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①2a+b＝0；②；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算a3+a3的结果等于．14．（3分）计算（2﹣）2的结果等于．15．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是．16．（3分）若一次函数y＝kx+3的图象在每个象限内y随x的增大而减小，则k的值可以为（只需写出一个符合条件的k值即可）17．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．18．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解不等式，请结合题意填空，完成本题的解答：（Ⅰ）解不等式（1），得．（Ⅱ）解不等式（2），得．（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．（8分）八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了如下的统计图1和图2，请根据图中相关信息，解决下列问题：（Ⅰ）图1中m的值为，共有名同学参与问卷调查；（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）全校共有学生1500人，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少？21．（10分）已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CD与AB交于点E，连接BD．（Ⅰ）如图1，若点D是弧AB的中点，求∠C的大小；（Ⅱ）如图2，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝CP，求∠D的大小．22．（10分）随着科学技术的发展，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到C地开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，导航显示车辆应沿北偏东58°方向行驶8km至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53）23．（10分）服装店准备购进甲乙两种服装共100件，费用不得超过7500元．甲种服装每件进价80元，每件售价120元；乙种服装每件进价60元，每件售价90元．（I）设购进甲种服装x件，试填写表：表一购进甲种服装的数量/件1020x购进甲种服装所用费用/元8001600购进乙种服装所用费用/元5400表二购进甲种服装的数量/件1020x甲种服装获得的利润/元800乙种服装获得的利润/元27002400（II）给出能够获得最大利润的进货方案，并说明理由．24．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（﹣3，0）．动点M，N同时从点A出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接MN．（Ⅰ）如图1，当点N移动到AB中点时，求此时t的值及M点坐标；（Ⅱ）在移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A的对称点为A1．①如图2，当点A1恰好落在BC边上的点D处时，求此时t的值；②当点M移动到点C时，点A1落在点E处，求此时点E的坐标（直接写出结果即可）．25．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线（a≠0）经过点A（，﹣3），对称轴为直线l，点O关于直线l的对称点为点B．过点A作直线AC∥x轴，交y 轴于点C．（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P在y轴上，当P A+PB的值最小时，求点P的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC＝S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2019年天津市滨海新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算（﹣18）÷（﹣6）的结果等于（）A．3B．﹣3C．D．【分析】根据有理数的除法法则，即可解答．【解答】解：（﹣18）÷（﹣6）＝+（18÷6）＝3．故选：A．【点评】本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是熟记有理数除法的法则．2．（3分）sin45°的值等于（）A．B．C．D．1【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可．【解答】解：sin45°＝．故选：B．【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．3．（3分）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即149600000千米．则用科学记数法表示1个天文单位是（）千米．A．1.496×108B．1.496×109C．1.496×107D．1.496×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将149600000用科学记数法表示为：1.496×108．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层左边一个小正方形．故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．6．（3分）估计的值在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【分析】先估算出的范围，再得出选项即可．【解答】解：∵6＜＜7，∴在6和7之间，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．7．（3分）计算的结果为（）A．1B．C．a+1D．【分析】根据分式的加减法计算即可．【解答】解：＝，故选：D．【点评】此题考查分式的加减法，关键根据分式加减法则解答．8．（3分）一元二次方程x2+x＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x＝﹣1C．x1＝﹣1，x2＝0D．x1＝1，x2＝0【分析】方程左边多项式提取x分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2+x＝0，分解因式得：x（x+1）＝0，可得x＝0或x+1＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝0．故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．9．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限【分析】先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可．【解答】解：由题意得，k＝﹣1×2＝﹣2＜0，∴函数的图象位于第二，四象限．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的图象的性质：k＞0时，图象在第一、三象限，k＜0时，图象在第二、四象限．10．（3分）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（）A．15B．18C．21D．24【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题；【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，∴BC+CD＝18，∵OD＝OB，DE＝EC，∴OE+DE＝（BC+CD）＝9，∵BD＝12，∴OD＝BD＝6，∴△DOE的周长为9+6＝15，故选：A．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．11．（3分）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在斜边AB上，且满足BO：OA＝1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC的大小为（）A．100°B．105°C．120°D．135°【分析】连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ＝90°，∠OCQ＝90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．【解答】解：连接OQ，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠B＝45°，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，∴AQ＝BO，CQ＝CO，∠QAC＝∠B＝45°，∠ACQ＝∠BCO，∴∠OAQ＝∠BAC+∠CAQ＝90°，∠OCQ＝∠OCA+∠ACQ＝∠OCA+∠BCO＝90°，∴∠OQC＝45°，∵BO：OA＝1：，设BO＝1，OA＝，∴AQ＝1，则tan∠AQO＝＝，∴∠AQO＝60°，∴∠AQC＝105°．故选：B．【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，特殊角直角三角形的边角关系，掌握图形旋转的性质，熟记特殊直角三角形的边角关系是解决问题的关键．12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①2a+b＝0；②；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则2a+b＝0，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c＝﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，而抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c＝﹣3a，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x＝1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算a3+a3的结果等于2a3．【分析】原式合并同类项即可得到结果．【解答】解：原式＝2a3，故答案为：2a3【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键．14．（3分）计算（2﹣）2的结果等于22﹣4．【分析】利用完全平方公式计算．【解答】解：原式＝20﹣4+2＝22﹣4．故答案为22﹣4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是．【分析】利用概率公式可直接得到答案．【解答】解：它是蓝球的概率是：，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率，关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．16．（3分）若一次函数y＝kx+3的图象在每个象限内y随x的增大而减小，则k的值可以为﹣1（只需写出一个符合条件的k值即可）【分析】由一次函数y＝kx+3的图象在每个象限内y随x的增大而减小，即可得k＜0，继而求得答案．【解答】解：∵一次函数y＝kx+3的图象在每个象限内y随x的增大而减小，∴k＜0，∴k的值可以为：k＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了一次函数的性质．注意k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．17．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D ＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE ＝∠BGF＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，∴BF＝＝，∴GH＝BF＝，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．18．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于6；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D 画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．【分析】（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC 的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB 相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG 即为所求【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3＝6；（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ 与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E 画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．【点评】此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解不等式，请结合题意填空，完成本题的解答：（Ⅰ）解不等式（1），得x≥﹣3．（Ⅱ）解不等式（2），得x≤0．（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3≤x≤0．【分析】分别求出每个不等式的解集，再求其解集的公共部分即可．【解答】解：（Ⅰ）解不等式（1），得：x≥﹣3．（Ⅱ）解不等式（2），得：x≤0．（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3≤x≤0；故答案为：（Ⅰ）x≥﹣3；（Ⅱ）x≤0；（Ⅳ）﹣3≤x≤0．【点评】此题考查了不等式组的解法，求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．20．（8分）八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了如下的统计图1和图2，请根据图中相关信息，解决下列问题：（Ⅰ）图1中m的值为，共有100名同学参与问卷调查；（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）全校共有学生1500人，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少？【分析】（Ⅰ）共有学生数：15÷15%＝100（名），阅读课外书2本所占的百分比：；（Ⅱ）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，x n，则x¯＝1n（x1+x2+…+x n）就叫做这n 个数的算术平均数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；（Ⅲ）估计这1500名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：1500×＝615（本）．【解答】解：（Ⅰ）共有学生数：15÷15%＝100（名），阅读课外书2本所占的百分比：故答案为：41，100；（Ⅱ）∵，∴这组数据的平均数是2.54；∵在这组数据中，2出现了41次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为2；∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有，∴这组数据的中位数为2；（Ⅲ）估计这1500名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：1500×＝615（本）【点评】本题考查了条形统计图，熟练掌握条形统计图是解题的关键．21．（10分）已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CD与AB交于点E，连接BD．（Ⅰ）如图1，若点D是弧AB的中点，求∠C的大小；（Ⅱ）如图2，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝CP，求∠D的大小．【分析】（Ⅰ）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，求得AD＝BD，推出△ABD 是等腰直角三角形，得到∠ABD＝45°，于是得到结论；（Ⅱ）连接OC，根据切线的性质得到∠OCP＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠P，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）如图1，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵D是弧AB的中点，∴＝，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，又∵∠C＝∠ABD，∴∠C＝45°；（Ⅱ）如图2，连接OC，∵CP是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∵AC＝CP，∴∠A＝∠P，∵∠COP＝2∠A，∴∠COP＝2∠P，∴在Rt△OPC中，∠COP+∠P＝90°，∴2∠P+∠P＝90°，∴∠P＝30°，∴∠A＝30°，∴∠D＝∠A＝30°．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（10分）随着科学技术的发展，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到C地开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，导航显示车辆应沿北偏东58°方向行驶8km至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53）【分析】作BD⊥AC，设AD＝x，在Rt△ABD中求得BD，在Rt△BCD中求得CD，由AC＝AD+CD建立关于x的方程，解之求得x的值，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，由题意得∠BAD＝58°，∠BCD＝37°，AB＝8，在Rt△ABD中，sin58°＝，∴，∴BD＝8 sin58°，在Rt△BCD中，sin37°＝，∴sin37°＝，∴BC＝，∴BC≈11．答：B、C两地的距离约为11千米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．23．（10分）服装店准备购进甲乙两种服装共100件，费用不得超过7500元．甲种服装每件进价80元，每件售价120元；乙种服装每件进价60元，每件售价90元．（I）设购进甲种服装x件，试填写表：表一购进甲种服装的数量/件1020x购进甲种服装所用费用/元800160080x购进乙种服装所用费用/元540048006000﹣60x表二购进甲种服装的数量/件1020x甲种服装获得的利润/元40080040x乙种服装获得的利润/元270024003000﹣30x（II）给出能够获得最大利润的进货方案，并说明理由．【分析】（1）设购进甲种服装x件，则购进乙种服装（100﹣x）件，根据总价＝单价×数量结合利润＝售价﹣进价即可得出结论；（2）由进货费用不得超过7500元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x 的取值范围，设获得的利润为y元，则可得出y关于x的一次函数关系式，根据一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设购进甲种服装x件，则购进乙种服装（100﹣x）件，当x＝10时，甲种服装获得的利润为（120﹣80）×10＝400（元）；当x＝20时，购进乙种服装所用费用为60×（100﹣20）＝4800（元）；当购进甲种服装x件时，购进甲种服装所用费用80x元，购进乙种服装所用费用60（100﹣x）＝6000﹣60x元，销售甲种服装获得的利润为（120﹣80）x＝40x元，销售乙种服装获得的利润为（90﹣60）（100﹣x）＝3000﹣30x元．故答案为：4800；80x；6000﹣60x；400；40x；3000﹣30x．（2）∵80x+6000﹣60x≤7500，∴x≤75．设获得的利润为y元，则y＝40x+3000﹣30x＝10x+3000，∴当x＝75时，y取最大值，最大值为3750．故当购进甲种服装75件，购进乙种服装25件时，销售利润最高．【点评】本题考查了一次函数的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据数量关系列出代数式；（2）根据一次函数的性质解决最值问题．24．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（3，0），B（0，4），C（﹣3，0）．动点M，N同时从点A出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接MN．（Ⅰ）如图1，当点N移动到AB中点时，求此时t的值及M点坐标；（Ⅱ）在移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A的对称点为A1．①如图2，当点A1恰好落在BC边上的点D处时，求此时t的值；②当点M移动到点C时，点A1落在点E处，求此时点E的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）根据题意可以求得AB的长，从而可以得到当点N移动到AB中点时t的值，进而求得点M的坐标；（Ⅱ）①根据题意，可知四边形DNAM是菱形，然后根据三角形相似即可求得t的值；②先写出点E的坐标，然后根据题意画出相应的图形，再利用勾股定理即可求得点E的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵A（3，0），B（0，4），∠AOB＝90°，∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，当点N移动到AB中点时，则AN＝AM＝，∴t＝，∵OM＝OA﹣AM＝3﹣＝，∴点M坐标为（，0）；（Ⅱ）①由题意可得AM＝AN＝t，∵△AMN沿直线MN翻折，点A1落在点D处，∴AM＝AN＝MD＝ND＝t，∴四边形AMDN为菱形，∴BN＝5﹣t，DN∥x轴，∴△BDN∽△BCA，∴，即，解得，t＝；②E点坐标为（），理由：连接AE，则AE⊥MB，∵OC＝3，OB＝4，∠COB＝90°，∴AB＝5，∴sin∠BCO＝，∵，即，∴AH＝，∴AE＝，设MF＝a，EF＝b，∵AC＝EM＝6，∴，解得，∴OF＝3+＝，∴点E的坐标为（，）．【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用勾股定理和数形结合的思想解答．25．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线（a≠0）经过点A（，﹣3），对称轴为直线l，点O关于直线l的对称点为点B．过点A作直线AC∥x轴，交y 轴于点C．（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P在y轴上，当P A+PB的值最小时，求点P的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC＝S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）把点A（，﹣3）代入（a≠0），即可求得解析式，利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴；（Ⅱ）根据轴对称的性质求得B点的坐标，然后作点B关于y轴的对称点B1，得B1（﹣，0），利用待定系数法求得直线AB1的解析式，然后令x＝0，即可求得P点；（Ⅲ）存在，设Q点坐标为，过Q作QD⊥OA，根据S△AOQ＝S梯形OCDQ﹣S△AOC﹣S△AQD＝，列出关于m的方程，解方程即可求得Q的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵y＝ax2﹣x（a≠0）经过点A（，﹣3），∴﹣3＝a×（）2﹣×，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x，∵x＝＝＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝，（Ⅱ）∵点O（0，0），对称轴为x＝，∴点O关于对称轴的对称点B点坐标为（，0），作点B关于y轴的对称点B1，得B1（﹣，0），设直线AB1的解析式为y＝kx+b，把点A（，﹣3），点B1（﹣，0）代入得，解得，∴直线AB1的解析式为y＝x，∴直线y＝x与y轴的交点即为P点．令x＝0得y＝，∴P点坐标为（0，）．（Ⅲ）∵A（，﹣3），AC∥x轴，∴AC＝，OC＝3，∴S△AOC＝OC•AC＝•3•＝，又∵S△AOC＝S△AOQ，∴S△AOQ＝3 S△AOC＝，设Q点坐标为，作QD⊥CA，交CA延长线于点D，∵S△AOQ＝S梯形OCDQ﹣S△AOC﹣S△AQD＝，∴．m（3++3）﹣..3﹣（m﹣）（+3）＝，化简整理得m2﹣m﹣18＝0，解得m1＝，m2＝﹣2，∴Q点坐标为（3，0）或（﹣2，15），∴抛物线上存在点Q，使得S△AOC＝S△AOQ．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积等，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。
2019年天津市滨海新区大港油田中考数学模拟试卷(一)-解析版
2019年天津市滨海新区大港油田中考数学模拟试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 计算(−1)2019的结果等于( )A. −2019B. 2019C. −1D. 1 2. 2cos30°的值等于( )A. √33B. √3C. √2D. 323. 为贯彻落实党中央、国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部署，教育部会同有关部门近五年来共新建、改扩建校舍186000000平方米，其中数据186000000用科学记数法表示是( )A. 1.86×107B. 186×106C. 1.86×108D. 0.186×1094. 在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是( )A.B.C.D.5. 如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是( )A. B. C. D.6. 估计√10+1的值应在( )A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间7. 化简x 2x−1−xx−1的结果是( ) A. x +1B. x −1C. xD. −x8. 方程组{x −3y =−2x+y=6的解是( )A. {y =1x=5B. {y =2x=4C. {y =−1x=−5D. {y =−2x=−49. 反比例函数y =3x 图象上三个点的坐标为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、(x 3,y 3)，若x 1<x 2<0<x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3B. y 2<y 1<y 3C. y 2<y 3<y 1D. y 1<y 3<y 210. 如图，将△ABC 绕C 顺时针旋转，使点B 落在AB 边上的点B′处，此时，点A 的对应点A′恰好落在BC 边的延长线上，则下列结论中错误的是( )A. ∠BCB′=∠ACA′B. ∠ACB =2∠BC. B′C 平分∠BB′A′D. ∠B′CA =∠B′AC11.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为()A. 4B. 5C. 6D. 712.已知抛物线y=ax2+3x+c(a,c为常数，且a≠0)经过点(−1,−1)，(0,3)，有下列结论：①ac<0；②当x>1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+2x+c=0的一个根；④当−1<x<3时，ax2+2x+c>0其中正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.计算(−3a)2⋅a3的结果等于______．14.计算(2√3+3√2)(2√3−3√2)的结果等于______15.不透明的袋子中装有8个球，其中有3个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______．16.将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，点A(−1,2)关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为______．17.已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC，过点F作FG⊥AB于点G，当点G与点D重合时，AD的长是______．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O，A，B，M均在格点上，P为线段OM上的一个动点．(I)OM的长等于______；(Ⅱ)当点P在线段OM上运动，且使PA2+PB2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.A，B两地相距20km.甲、乙两人都由A地去B地，甲骑自行车，平均速度为10km/ℎ；乙乘汽车，平均速度为40km/ℎ，且比甲晚1.5ℎ出发．设甲的骑行时间为x(ℎ)(0≤x≤2)时间x(ℎ)0.5 1.8______与A地的距离甲与A地的距离(km)5______ 20乙与A地的距离(km)012______121，2关于的函数解析式；(Ⅲ)设甲，乙两人之间的距离为y，当y=12时，求x的值．四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）20. 解不等式组{2x ≥−9−x ①5x −1≥3(x +1) ②请结合题意填空，完成本题的解答．(1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为______．21. 随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注，某校计划将这种学习方式应用到教育学中，从全校1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备的情况进行调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：(Ⅰ)本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中m 的值为______； (Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；(Ⅲ)根据样本数据，估计该校1500名学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数．22.已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BCD=28°．(I)如图①，求∠ABD的大小；(Ⅱ)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP//AC，求∠OCD 的大小．23.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为30m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为35°测得底部C处的俯角为43°，求甲、乙两建筑物的高度AB和DC(结果取整数)．(参考数据：tan35°≈0.70，tan43°≈0.93)24.已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A(11,0)、B(0,6)，点P为BC边上的动点(点P不与点点B、C重合)，经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP.设BP=t．(1)如图1，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；(2)如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；(3)在(2)的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标(直接写出结果即可)．25.如图，抛物线y=ax2+bx−5(a≠0)与x轴交于点A(−5,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：(−1)2019=−1，故选：C．根据有理数的乘方的运算法则计算可得．本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的运算法则．2.【答案】B=√3．【解析】解：2cos30°=2×√32故选：B．根据特殊角的三角函数值直接解答即可．此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容．3.【答案】C【解析】解：将186000000用科学记数法表示为：1.86×108．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选：D．根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】B【解析】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，故选：B．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．6.【答案】B【解析】解：∵3<√10<4，∴4<√10+1<5，故选：B．根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出3<√10<4是解题关键，又利用了不等式的性质．7.【答案】C=x，【解析】解：原式=x(x−1)x−1故选：C．原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.【答案】Bx+y=6 ①【解析】解：{x−3y=−2 ②①−②得：4y=8解得y=2将y=2代入①可解得：x=4x=4∴原方程组的解为：{y=2故选：B．可用两种方式解决本题：①将选项中的x与y的值分别代入题干中两个方程验证；②直接解方程组选出答案．此处选用第二种方法．本题考察二元一次方程组的解法，因此要对二元一次方程组的解法非常熟悉．9.【答案】B【解析】解：∵反比例函数y=3中，k=3>0，x∴此函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵x1<x2<0<x3，∴(x1,y1)、(x2,y2)在第三象限，(x3,y3)在第一象限，∴y2<y1<0<y3．故选：B．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据x1<x2< 0<x3即可得出结论．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．10.【答案】D【解析】解：根据旋转的性质得，∠BCB′和∠ACA′都是旋转角，则∠BCB′=∠ACA′，故A正确，∵CB=CB′，∴∠B=∠BB′C，又∵∠A′CB′=∠B+∠BB′C，∴∠A′CB′=2∠B，又∵∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB=2∠B，故B正确；∵∠A′B′C=∠B，∴∠A′B′C=∠BB′C，∴B′C平分∠BB′A′，故C正确；故选：D．根据旋转的性质得到∠BCB′=∠ACA′，故A正确，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB′C，根据三角形的外角的性质得到∠A′CB′=2∠B，等量代换得到∠ACB=2∠B，故B正确；等量代换得到∠A′B′C=∠BB′C，于是得到B′C平分∠BB′A′，故D正确．本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵BD=3，DC=1，∴BC=4，连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′=√BC′2+BD2=√32+42=5．故选：B．过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由DC=1，BC=4，得到BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．此题考查了轴对称−线路最短的问题，确定动点P位于何位置时，PC+PD的值最小是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：把点(−1,−1)，(0,3)代入y=ax2+3x+c得：{−1=a−3+c 3=c∴{a=−1c=3∴y=−x2+3x+3∴①ac<0正确；该抛物线的对称轴为：x=−b2a =32，∴②当x>1时，y的值随x值的增大而减小是错误的；方程ax2+2x+c=0可化为：方程ax2+3x+c=x，把x=3代入y=−x2+3x+3得y=3，∴−x2+2x+3=0，故③正确；∴(3,3)在该抛物线上，又∵抛物线y=ax2+3x+c(a,c为常数，且a≠0)经过点(−1,−1)，∴抛物线y=ax2+3x+c与y=x的交点为(−1,−1)和(3,3)，当−1<x<3时，ax2+3x+c>x，即ax2+2x+c>0④当−1<x<3时，ax2+2x+c>0，故④正确．综上，①③④正确．故选：C．先由抛物线y=ax2+3x+c(a,c为常数，且a≠0)经过点(−1,−1)，(0,3)，列方程组求出a，c，从而解得其解析式，进而求得其对称轴，再根据二次函数与方程和二次函数与不等式的关系可解．本题考查了二次函数解析式、二次函数的对称轴、二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，综合性较强，难度较大．13.【答案】9a5【解析】解：(−3a)2⋅a3=9a2⋅a3=9a5．故答案为：9a5．直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．14.【答案】−6【解析】解：原式=12−18=−6．故答案为−6．利用平方差公式计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15.【答案】38【解析】解：∵袋子中共有8个小球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是3，8．故答案为：38根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事．件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn16.【答案】4【解析】【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，关于y轴对称的点坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练记忆函数平移规律是解题关键．先根据一次函数平移规律得出直线y= x+b沿y轴向下平移3个单位长度后的直线解析式，再把点A(−1,2)关于y轴的对称点(1,2)代入，即可求出b的值．【解答】解：将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度，得直线y=x+b−3．∵点A(−1,2)关于y轴的对称点是(1,2)，∴把点(1,2)代入y=x+b−3，得1+b−3=2，解得b=4．故答案为4．17.【答案】8【解析】解：如图，设BD=x．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，∴BF=2x，∴CF=12−2x，∴CE=2CF=24−4x，∴AE=12−CE=4x−12，∴AD=2AE=8x−24，∵AD+BD=AB，∴8x−24+x=12，∴x=4，∴AD=8x−24=32−24=8．故答案为8．设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．18.【答案】4√2【解析】解：(Ⅰ)OM=√42+42=4√2；故答案为4√2．(Ⅱ)以点O 为原点建立直角坐标系，则A(1,0)，B(4,0)，设P(a,a)，(0≤a ≤4)， ∵PA 2=(a −1)2+a 2，PB 2=(a −4)2+a 2，∴PA 2+PB 2=4(a −54)2+434，∵0≤a ≤4，∴当a =54时，PA 2+PB 2 取得最小值434，综上，需作出点P 满足线段OP 的长=5√24； 取格点F ，E ，连接EF ，得到点N ，取格点S ，T ，连接ST ，得到点R ，连接NR 交OM 于P ，则点P 即为所求．(Ⅰ)根据勾股定理即可得到结论；(Ⅱ)取格点F ，E ，连接EF ，得到点N ，取格点S ，T ，连接ST ，得到点R ，连接NR 即可得到结果．本题考查了作图−应用与设计作图，轴对称−最短距离问题，勾股定理等知识，正确的作出图形是解题的关键．19.【答案】2 18 20【解析】解(Ⅰ)由题意知：甲、乙二人平均速度分别是平均速度为10km/ℎ和40km/ℎ，且比甲晚1.5ℎ出发．当时间x =1.8时，甲离开A 的距离是10×1.8=18(km)当甲离开A 的距离20km 时，甲的行驶时间是20÷10=2(时)此时乙行驶的时间是2−1.5=0.5(时)，所以乙离开A 的距离是40×0.5=20(km)故填写下表：(Ⅱ)由题意知：y 1=10x (0≤x ≤1.5)，y 2={0(0≤x ≤1.5)40x −60(1.5<x ≤2)(Ⅲ)根据题意，得y ={10x (0≤x ≤1.5)−30x +60(1.5<x ≤2)当0≤x ≤1.5时，由10x =12，得x =1.2当1.5<x ≤2时，由−30x +60=12，得x =1.6因此，当y =12时，x 的值是1.2或1.6(Ⅰ)根据“路程=速度×时间”可以得出表中数据；(Ⅱ)对于甲乙两者与A 地的距离的解析书把握住乙比甲晚1.5ℎ出发即可；(Ⅲ)甲，乙两人之间的距离为y 实际上是y 1，y 2的差的绝对值．本题根据题意写函数解析式的题目，需要注意分段函数的表达和应用，需要注意的是必须结合实际情况来解答问题．考查了学生的建模能力和分类思想．20.【答案】(1)x ≥−3；(2)x ≥2；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)x ≥2．【解析】解：(1)解不等式①，得x ≥−3，故答案为：x ≥−3；(2)解不等式②，得x ≥2，故答案为：x ≥2；(3)见答案；(4)原不等式组的解集为x ≥2，故答案为：x ≥2．【分析】分别解两不等式得到x ≥−3和x ≥2，利用同大取大确定不等式组的解集，然后利用数轴表示解集．本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．21.【答案】50 32【解析】解：(Ⅰ)本次接受随机抽样调查的学生人数为：48%=50(人)，图①中m 的值为1650×100=32，故答案为：50、32；(Ⅱ)∵这组样本数据中，4出现了16次，出现次数最多，∴这组数据的众数为4；∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为3，有3+32=3， ∴这组数据的中位数是3；由条形统计图可得x −=1×4+2×10+3×14+4×16+5×650=3.2，∴这组数据的平均数是3.2．(Ⅲ)1500×28%=420(人)．答：估计该校学生家庭中；拥有3台移动设备的学生人数约为420人．(Ⅰ)根据家庭中拥有1台移动设备的人数及所占百分比可得查的学生人数，将拥有4台移动设备的人数除以总人数可得m 的值；(Ⅱ)根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；(Ⅲ)将样本中拥有3台移动设备的学生人数所占比例乘以总人数1500即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22.【答案】解：(Ⅰ)∵AB是直径，∴∠ACB=90°，且∠BCD=28°，∴∠ACD=62°，∵∠ACD=∠ABD，∴∠ABD=62°(Ⅱ)连接OD，∵DP是⊙O的切线，∴∠ODP=90°，∵∠DOB=2∠DCB，∴∠DOB=2×28°=56°，∴∠P=34°，∵AC//DP，∴∠P=∠OAC=34°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=34°，∴∠COB=∠OAC+∠OCA=68°，∴∠COD=∠COB+∠DOB=124°∵CO=DO∴∠OCD=∠ODC=28°【解析】(Ⅰ)根据圆周角定理可求∠ACB=90°，即可求∠ABD的度数；(Ⅱ)根据切线的性质可得∠ODP=90°，且∠POD=2∠BCD=56°，即可求∠P=34°，根据平行线性质和等腰三角形的性质可求∠OCD的度数．本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，熟练运用切线的性质是本题的关键．23.【答案】解：如图作AE⊥CD交CD的延长线于E.则四边形ABCE是矩形，∴AE=BC=30，AB=CE，在Rt△ACE中，EC=AE⋅tan43°≈27.9(m)在Rt△AED中，DE=AE⋅tan35°，∴CD=EC−DE=AE⋅tan43°−AE⋅tan35°=30×0.93−30×0.7≈7(m)，答：甲、乙建筑物的高度AB为28m，DC为7m．【解析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应用其公共边构造关系式，进而可求出答案．本题考查的是解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．24.【答案】解：(1)根据题意，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．∵OP2=OB2+BP2，即(2t)2=62+t2，解得：t1=2√3，t2=−2√3(舍去)．∴点P的坐标为(2√3,6)；(2)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°，∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ，又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ，∴OBPC =BPCQ，由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11−t，CQ=6−m．∴611−t =t6−m，∴m=16t2−116t+6(0<t<11)；(3)过点P作PE⊥OA于E，如图3，∴∠PEA=∠QAC′=90°，∴∠PC′E+∠EPC′=90°，∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴PEAC′=C′EAQ，在△PC′E和△OC′B′中，{∠PEC′=∠OB′C ∠PC′E=∠OC′B′PE=OB′，∴△PC′E≌△OC′B′(AAS)，∴PC′=OC′=PC，∴BP=AC′，∵AC′=PB=t，PE=OB=6，AQ=m，EC′=11−2t，∴6t =11−2t m ， ∵m =16t 2−116t +6，∴3t 2−22t +36=0，解得：t 1=11−√133，t 2=11+√133 故点P 的坐标为(11−√133,6)或(11+√133,6)．【解析】(1)根据题意得，∠OBP =90°，OB =6，在Rt △OBP 中，由∠BOP =30°，BP =t ，得OP =2t ，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；(2)由△OB′P 、△QC′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP ，△QC′P≌△QCP ，易证得△OBP∽△PCQ ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；(3)首先过点P 作PE ⊥OA 于E ，易证得△PC′E∽△C′QA ，由勾股定理可求得C′A 的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m 和t 的关系，即可求得t 的值，得出P 点坐标． 本题考查了几何变换综合性题目，用到的知识点有：翻折变换的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等有关的知识点，综合性较强，难度较大．清楚翻折前后的两个图形全等以及熟悉相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．25.【答案】解：(1)把A 、B 两点坐标代入解析式可得{25a −5b −5=09a +3b −5=0，解得{a =13b =23， ∴抛物线解析式为y =13x 2+23x −5；(2)在y =13x 2+23x −5中，令x =0可得y =−5，∴C(0,−5)，∵S △ABE =S △ABC ，且E 点在x 轴下方，∴E 点纵坐标和C 点纵坐标相同，当y =−5时，代入可得13x 2+23x −5=−5，解得x =−2或x =0(舍去)，∴E 点坐标为(−2,−5)；(3)假设存在满足条件的P 点，其坐标为(m,13m 2+23m −5)，如图，连接AP 、CE 、AE ，过E 作ED ⊥AC 于点D ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，则AQ =AO +OQ =5+m ，PQ =|13m 2+23m −5|，在Rt △AOC 中，OA =OC =5，则AC =5√2，∠ACO =∠DCE =45°，由(2)可得EC =2，在Rt △EDC 中，可得DE =DC =√2，∴AD =AC −DC =5√2−√2=4√2，当∠BAP =∠CAE 时，则△EDA∽△PQA ，∴ED AD=PQ AQ ，即√24√2=|13m 2+23m−5|5+m ， ∴13m 2+23m −5=14(5+m)或13m 2+23m −5=−14(5+m)，当13m 2+23m −5=14(5+m)时，整理可得4m 2+5m −75=0，解得m =154或m =−5(与A 点重合，舍去)，当13m 2+23m −5=−14(5+m)时，整理可得4m 2+11m −45=0，解得m =94或m =−5(与A 点重合，舍去)，∴存在满足条件的点P ，其横坐标为94或154．【解析】(1)把A 、B 两点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；(2)当S △ABE =S △ABC 时，可知E 点和C 点的纵坐标相同，可求得E 点坐标；(3)在△CAE 中，过E 作ED ⊥AC 于点D ，可求得ED 和AD 的长度，设出点P 坐标，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，由条件可知△EDA∽△PQA ，利用相似三角形的对应边可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标．本题主要考查二次函数的综合运用．涉及到的知识点有待定系数法、三角形的面积、相似三角形的判定和性质及分类讨论等．在(3)中利用∠BAP =∠CAE 构造三角形相似是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度适中．。
天津市滨海新区大港油田一中2019届高三数学上学期期中试题 理
油田一中2018-2019（1）期中考试试卷高三数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试用时120分钟。
第I 卷 选择题 共40分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6},集合A ＝{2,3,5},集合B ＝{1,3,4,6},则集合A∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{2,5}C ．{1,4,6}D ．{2,3,5} 2．设20.3a =,0.32b =,0.3log 2c =,则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<3．已知a R ∈ ，则“2450a a +-> ”是“23a +> ”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ． 既不充分也不必要4．已知实数,x y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则42z x y =- 的最小值是（ ）A ．-15B ．-4C ．6D ．185．等差数列{}n a 中,36a =-,60a =.等比数列{}n b 满足19b =,1212b b a a +=+,则3b 等于（ ）A ．9B ．-63C ．81D ．-816．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2=b 2+c 2+bc ，则角A 等于（ ） A ．B ．C ．D ．7．定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数．若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈[0，]时，f （x ）=sinx ，则f （）的值为（ ） A ．﹣ B ． C ．﹣D ．8．已知函数22()52x f x x x +⎧=⎨++⎩x ax a>≤，若函数()()2g x f x x =- 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[-1,2)B ．[-1,1)C ．[-2,2)D ．[0,2]w第Ⅱ卷 非选择题 共110分二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市滨海新区2019届高三数学毕业班质量监测试题文(含解析)
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1. 已知集合 A 1，0，1，2 ， B x x 0 ，则 A B （ ）
A. 0，1，2
B. 1，2
C. 1，0
D. 1
【答案】 B 【解析】 【分析】 根据交集的概念，求得两个集合的交集 .
【详解】依题意 A B 1,2 ，故选 B.
【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念和运算，属于基础题
.
3
x y1 0
2. 若 x， y 满足约束条件 x y 1 0 ，则目标函数 z x 3y 的最小值为（
）
3x y 3 0
A. 2
B. 1
【答案】 C
【解析】
【分析】
C. 7
D. 3
画出可行域， 向上平移基准直线 x 3 y 0 到可行域边界位置， 由此求得目标函数的最小值 .
2019届天津市滨海新区高三毕业班质量监测数学(文)试题(解析版)
2019届天津市滨海新区高三毕业班质量监测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}10120A B x x ->，，，，，则A B =（ ）A ．{}012，， B ．{}12， C ．{}10-， D ．{}1-【答案】B【解析】根据交集的概念，求得两个集合的交集. 【详解】 依题意{}1,2A B =，故选B.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念和运算，属于基础题.2．若x y ，满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数3z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1C ．7-D ．3-【答案】C【解析】画出可行域，向上平移基准直线30x y -=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数3z x y =-在点()2,3A 处取得最小值为2337-⨯=-.故选C.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.3．设x ∈R ，则“03x <<”是“12x -<” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解绝对值不等式12x -<求得x 的取值范围.然后根据两者的范围判断正确选项. 【详解】由12x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，()0,3是()1,3-的子集，故“03x <<”是“12x -<”的充分而不必要条件.故选A. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 4．执行如图所示的程序框图，若输入9n =，则输出S 的值为（ ）A ．89B ．910C ．1011D ．1112【答案】B【解析】运行程序进行计算，退出循环后计算出输出的S 的值. 【详解】输入9n =，0,1S i ==，判断是，1,212S i ==⨯，判断是，11,31223S i =+=⨯⨯，判断是，……，依次类推，111,101223910S i =+++=⨯⨯⨯，判断否，输出1111223910S =+++⨯⨯⨯1111119112239101010=-+-++-=-=.故选B.【点睛】本小题主要考查程序框图计算输出结果，考查裂项求和法，属于基础题. 5．已知函数()f x x =，且()1231ln log 223a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c <<【答案】A【解析】根据函数()f x 为偶函数化简b ，比较自变量的大小，然后根据函数的单调性判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】由于函数()f x 为偶函数，故()221log log 33b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.而112231ln ln 21log 322e -<==<<，而当0x >时，函数()f x 为增函数，故a c b <<.所以本小题选A. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查指数式和对数式比较大小，属于中档题.6．过双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B ，两点，OAB ∆的面积为3，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3 C ．2D ．3【答案】D【解析】令x c =，代入双曲线方程可得2by a=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离心率公式计算可得所求值． 【详解】右焦点设为F ，其坐标为(),0c令x c =，代入双曲线方程可得2by a=±=±OAB 的面积为2122b c a ⋅⋅= b a ⇒=可得3c e a ====本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题． 7．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最小正周期为4π，且当23x π=时，()f x 取最大值，是（ ） A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数 B ．()f x 在区间[]0π-，上是增函数 C ．()f x 在区间[]0π，上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，上是增函数 【答案】B【解析】先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω==，即()1sin 2f x x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π2262k x k -≤+≤+，解得4π2π4π4π33k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 选项正确.所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.8．已知函数()22211315x x f x x x x ，，⎧+-<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()102f x kx -=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A．(220625⎛⎤⋃-- ⎥⎝⎦，，B．(110325⎛⎤⋃-- ⎥⎝⎦，，C ．(](013⋃--，， D ．(](026⋃--，， 【答案】A【解析】画出函数()f x 与12y kx =的图像，根据两个函数图像有两个不同的交点，求得实数k 的取值范围. 【详解】画出函数()f x 与12y kx =的图像如下图所示，其中115,5A ⎛⎫⎪⎝⎭,由图可知，当(]10,2OA k k ∈时，两个函数图像有两个不同的交点.11115525OA k ==，故111220,,0,22525k k ⎛⎤⎛⎤∈∈ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.注意到()1,2OA OD k k k ∈，即11122,1,,222525k k ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，两个函数图像只有一个交点，不符合题意，由此排除B,C,D 三个选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题9．已知复数z 在复平面内对应点是()12-，，i 为虚数单位，则21z z +=-_______. 【答案】312i +【解析】写出z 对应的复数，利用复数的除法运算化简所求表达式，由此得出正确结论. 【详解】依题意12z i =-，故原式()()()()32232463122242i i i i i i i i --+====+--. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应的点的坐标，属于基础题. 10．已函数()()2sin f x x x =-，则()f x 在点22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，处的切线方程为______. 【答案】0x y -=【解析】先求得切点坐标，然后求得函数的导数，由此求得切线的斜率，根据点斜式求得切线方程. 【详解】 依题意ππππ2sin 2222f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故切点为ππ,22⎛⎫⎪⎝⎭，()()'2sin cos 2sin cos f x x x x x x x =-+-=--，所以'π2112f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.由点斜式得ππ,022y x x y -=--=. 【点睛】本小题主要考查在某点处切线方程的求法，考查导数的运算，考查直线点斜式方程，属于基础题.11．已知直线y ax =与圆222220:x y ax y C +--+=相交于A B ，两点（C 为圆心），且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为________.【答案】【解析】根据三角形ABC为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离等于半径的2，由此列方程，解方程求得 a 的值. 【详解】由于三角形ABC 为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的2.直线的一般方程为0ax y -=，圆的方程为()()22211x a y a -+-=-，圆心为(),1a，半径为)1a >.2=a =. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题. 12．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱与底面边长均为2，则该三棱柱的外接球的表面积为______. 【答案】283π 【解析】先找到球心的位置，然后计算出球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】画出图像如下图所示，设B是底面的外心，则球心在其正上方，也即BC中点O的位置.故外接球的半径r OA====故外接球的表面积为27284π4ππ33r=⨯=.【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.13．已知x y，为正实数，则22x x yx y x+++的最小值为_________.【答案】32+【解析】化简题目所求表达式，然后利用基本不的等式求得最小值.【详解】原式1221yy xx=+++，令ytx=>，则上式变为1212tt+++()113121222tt=++++3322≥=+()11112,1222t tt-=+=+时等号成立，故最小值为32+.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14．如图，在梯形ABCD ，432AB CD AB AD CD ===∥，，，，32AB AD ⋅=，AM AD λ=，()()01λ∈，，且3AC BM ⋅=-，则λ的值为______.【答案】23【解析】将3AC BM ⋅=-转化为用,AB AD 来表示，解方程求得λ的值. 【详解】 依题意()132AC BM AD AB AD AB λ⎛⎫⋅=+-=- ⎪⎝⎭,22111322AD AB AD AB λλ⎛⎫+-⋅-=- ⎪⎝⎭，解得23λ=.【点睛】本小题主要考查向量的加法和减法运算，考查向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题15．为了调查居民对城市共享单车的满意度，随机选取了100人进行问卷调查，并将问卷中的100人根据其满意度评分值按照[)[)[)[)[)506060707080809090100，，，，，，，，，分为5组，得到号如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求满意度分值不低于70分的人数.（Ⅱ）已知满意度分值在[)5060，内的男性与女性的比为3：4，为提高共享单车的满意度，现从满意度分值在[)5060，的人中随机抽取2人进行座谈，求这2人中只有一位男性的概率.【答案】（Ⅰ）73人（Ⅱ）()47P M =【解析】（I ）计算出70分以上的频率，然后乘以100得到所求的人数.（II ）先求得[)50,60内的人数为7人，其中男性3人，女性4人，利用列举法和古典概型概率计算公式计算出所求的概率. 【详解】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知满意度分值不低于70分的人数为： ()0.0350.0300.0081010073++⨯⨯=（人）， ∴满意度分值不低于70分的人数为73人.（Ⅱ）[)5060，的样本内共有居民0.007101007⨯⨯=人，3名男性，4名女性， 设三名男性分别表示为A B C ，，，四名女性分别表示为D E F G ，，， 则从7名居民随机抽取2名的所有可能结果为：{}{}{}{}{}{}A B A C A D A E A F A G ，，，，，，，，，，， {}{}{}{}{}B C B D B E B F B G ，，，，，，，，， {}{}{}{}C D C E C F C G ，，，，，，， {}{}{}D E D F D G ，，，，， {}{}E F E G ，，， {}F G ，，共21种.设事件M 为“抽取2人中只有一位男性”，则M 中所含的结果为：{}{}{}{}A D A E A F A G ，，，，，，， {}{}{}{}B D B E B F B G ，，，，，，， {}{}{}{}C D C E C F C G ，，，，，，，共12种∴事件M 发生的概率为()124217P M ==. 【点睛】本小题主要考查频率分布直方图计算频率和频数，考查列举法求解古典概型问题，属于中档题.16．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()cos cos 0C a B b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2a b ==，求()sin 2B C -的值.【答案】（Ⅰ）34C π=（Ⅱ）10-【解析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得C 的大小.（II ）根据余弦定理求得c ，利用正弦定理求得sin B ，利用同角三角函数关系式求得cos B ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2B B 的值，再由两角差的正弦公式求得()sin 2B C -的值. 【详解】解：（Ⅰ()sin cos sin cos sin 0C A B B A C ++=sin sin 0C C C +=，∴cos 2C =-，∵0C π<<，∴34C π=（Ⅱ）因为2a b ==，34C π=，由余弦定理得2222cos 2422102c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴c =由sin sin sin c b B C B =⇒=，因为B 为锐角，所以cos B =4sin 225B ==，223cos 2cos sin 5B B B =-=()43sin 2sin 2cos cos 2sin 525210B C B C B C ⎛-=-=⨯--⨯=- ⎝⎭【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题. 17．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，2PA PB AB BC PC =====，点E 为AB 的中点，AC 与BD 交于点O .（Ⅰ）求异面直线PC 与AD 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PCE ABCD ⊥平面平面； （Ⅲ）求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）见证明；（Ⅲ【解析】（I ）根据//AD BC 判断出PCB ∠是异面直线成角，判断三角形PBC 是直角三角形后，直接计算出线线角的余弦值.（II ）先证得PE AB ⊥,然后证得PE EC ⊥，由此证得PE ⊥平面ABCD ，从而证得平面PCE ⊥平面ABCD .（III ）过点A 作AH EC ⊥与EC 的延长线交于点H ，证得APH ∠直线PA 与平面PCE 所成角，在Rt APH ∆中，求得线面角的正弦值.【详解】解：（Ⅰ）∵ABCD 是矩形，∴AD BC ∥∴PCB ∠是异面直线成角在PBC ∆中，2PB PC BC ===， ∴在Rt PBC ∆中，cos BC PCB PC ∠==∴（Ⅱ）∵2PA PB AB ===，点E 为AB 的中点∴PE AB PE EC ⊥==，又∵PC =∴PE EC ⊥又∵AB EC E AB CE ABCD ⋂=⊂，，面，∴PE ABCD ⊥面 又∵PE PCE ⊂面∴PCE ABCD ⊥平面平面 （Ⅲ）过点A 作AH EC ⊥与EC 的延长线交于点H ， ∵AH PCE ⊥平面，PH 为斜线PA 在面PCE 内的射影∴APH ∠直线PA 与平面PCE 所成角 在Rt APH ∆中，2AH AP ==∴sin AH APH AP ∠==∴直线PA 与平面PCE【点睛】本小题主要考查线线角余弦值的求法，考查面面垂直的证明，考查线面角正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 18．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ()*n N∈，{}nb 是首项为12的等比数列，且公比大于0，2343198317b b b a a S b +==-=+，，. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求{}2n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）2212n n n a n b -=-=（Ⅱ）()655499nn n T -=+ 【解析】（I ）根据基本元的思想列方程，解方程求得1,,q a d 的值，由此求得数列,n n a b 的通项公式（II ）利用错位相减求和法求得数列的前n 项和n T . 【详解】解：（1）∵231132b b b +==，∴2q =或3-（舍） ∵431b a a =- ∴2d = 又∵9817S b =+ ∴5981a =∴11a = ∴2212n n n a n b -=-=（2）()()2212212214n n n n a b n n --=-=- ()0121143454214n n T n -=⋅+⋅+⋅++-()()12141434234214n n n T n n -=⋅+⋅++-+-()()2313124444214n n n T n --=+++++--()()14141221414n n n --=+---∴()655499n n n T -=+【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差、等比数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.19．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点在抛物线2y =的准线上，且椭圆的短轴长为2，12F F ，分别为椭圆的左，右焦点，A B ，分别为椭圆的左，右顶点，设点P 在第一象限，且PB x ⊥轴，连接PA 交椭圆于点C ，直线PA 的斜率为k . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求k 的值； （Ⅲ）设点N 为AC 的中点，射线NO （O 为原点）与椭圆交于点M，满足6AMC MA MC∠=⋅，求k 的值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）()04k k =>（Ⅲ）6k = 【解析】（I ）根据抛物线的准线求得c ，根据短轴长求得b ，由此求得a ，进而求得椭圆方程.（II ）设出直线PC 的方程，联立直线PC 的方程和椭圆方程，求得C 点的坐标，令2x =求得P 点坐标.利用三角形的面积公式计算出AOC ∆和PBC ∆的面积，根据题目已知条件，这两个三角形的面积相等，由此列方程，解方程求得k 的值.（III ）根据（II ）求得N 点坐标，由此求得ON 的斜率，设NO 所在直线方程为14y x k=-，代入椭圆方程，求得M 点坐标，计算出M 到直线ON 的距离d ，AC 的长度，化简6AMC MA MC∠=⋅得到AMC S ∆=，利用12AMC S AC d ∆=⋅列方程，解方程求得k 的值. 【详解】解：（Ⅰ）由已知得，1c b ==，故2a =，椭圆方程为：2214x y +=，（Ⅱ）设PC 直线方程为()22(2)2,14y k x y k x x y =+⎧⎪=+⎨+=⎪⎩∴()222241161640k x k x k +++-=∴()22161244c k x k --=+∴228241c k x k -+=+ ∴2441c ky k =+，令2x =∴()24P k ， ∴22144224141AOC k kS k k ∆=⨯⨯=++ ∴2322128324224141PBCk k S k k k ∆⎛⎫-=⨯⨯-= ⎪++⎝⎭ ∵PBC AOC S S ∆∆=∴)04k k => （Ⅲ）由（II ）和中点坐标公式，得22282,4141k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，设NO 所在直线方程为14y x k=-，则 22444x y k x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，∴2221641k x k =+∴M ⎛⎫， M 到直线NO的距离：241d AC k ==+，6AMC MA MC∠=⋅，6cos MAMC AMC =⋅∠即AMC S ∆=，AMCS∆==4k =， ∵0k >，∴6k =. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式，考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，综合性很强，属于难题. 20．已知函数()324x a x f x x =-++.（Ⅰ）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的()0x ∈+∞，，()()ln 8f x f x x +-+≥恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）当3a =时，设函数()()g x f x kx =-.证明：对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点.【答案】（Ⅰ）40x y -+=（Ⅱ）1e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，（Ⅲ）见证明 【解析】（I ）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（II ）将原不等式分离常数，得到2max 4ln 2x a x ⎛⎫-⎪⎝⎭≥恒成立，构造函数()24ln 0xv x xx =>，，利用导数求得函数()v x 的最大值，由此求得a 的取值范围.（III ）先求得()g x 的表达式，然后利用导数证得()g x 在()0-∞，上有一个零点.再利用导数证得()g x 在()0,∞+上没有零点，由此得证. 【详解】解：（Ⅰ）已知函数()324x a x f x x =-++，可得2()321(0)1f x x ax f ''=-+=，，且(0)4f =，函数()f x 在0x =处的切线方程为40x y -+=.（Ⅱ）()()224ln 8f x f x ax x +-=-++8≥对任意()0x ∈+∞，恒成立，所以2max4ln 2x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥.令()24ln 0x v x xx =>，，则()24312ln 12ln 44x x xx x v x x x '⋅--=⋅= 令()'0v x =，解得x =当时(0x ∈时，()'0v x >，所以()v x在(0上单调递增；当)x ∈+∞时，()'0v x <，所以()v x在)+∞上单调递减.所以()max 2v x ve ==， 所以22a e-≥，即1a e≤-，所以a 的取值范围为1e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，. （Ⅲ）证明：由已知3a =，则()()32314x x x g x k =-+-+.且可知10k ->.当0x ≤时，()23610g x x x k '=-+->，()g x 单调递增，()110g k -=-<，()04g =，所以()0g x =在()0-∞，有唯一实根.当0x >时，令()3234x x h x =-+，则()()()()1g x h x k x h x =+->.()2()3632h x x x x x '=-=-，()h x 在()0,2单调递减；在()2+∞，单调递增.所以()()()20g x h x h >=≥.所以()0g x =在()0+∞，没有实根.综上，对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点. 【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用分离常数法求解不等式恒成立问题，考查利用导数证明有关函数零点的问题，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.。
2019届天津市部分区高三高考二模数学(文)试题(解析版)
（1）因为表中所有应聘人数为 ，被录用的人数为 .
所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为 .
（2）（i）记应聘 岗位的男性为 ， ， ，应聘 岗位的女性为 ， ， ，
从应聘 岗位的6人中随机选择2人，共有15种结果，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，
（Ⅱ）分离参数，构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，即可容易判断.
【详解】
（Ⅰ）当 时， ，故可得 ，
令 ，解得 ，
故 在区间 单调递减，在区间 单调递增.
（Ⅱ）因为
故当 时， ，即 一定是函数 的一个零点.
又当 时，令 ，分离参数可得：
，令 ，故可得 ，
令 ，解得 ，
故 在区间 上单调递增，在区间 和 单调递减.
【答案】A
【解析】根据点在双曲线上，则点的坐标满足曲线方程，结合向量数量积的坐标运算，即可容易求得.
【详解】
因为点 在双曲线上，故可得 ，
又因为 ，
故可得 ，
将 代入不等式可得 ，解得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的范围问题，属基础题.
8．如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径， ，则 的值是（）
16．某区在2019年教师招聘考试中，参加 、 、 、 四个岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：
岗位
男性应聘人数
男性录用人数
男性录用比例
女性应聘人数
女性录用人数
ห้องสมุดไป่ตู้女性录用比例
269
167
62%
40
24
60%
217
69
32%
2019年天津市十二区县高考数学二模试卷(文)含答案解析
2019年天津市十二区县重点高中高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i2．已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+（y﹣1）2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若a=50.2，b=logπ3，c=log5sinπ，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为8，则判断条件是（）A．k＜2 B．k＜4 C．k＜3 D．k≤35．点P为△ABC边AB上任一点，则使S△PBC≤S△ABC的概率是（）A．B．C．D．6．函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于原点对称，则φ的最小值为（）A． B．C．D．7．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．8．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD内有一点P，满足AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取________人进行该项调查．10．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于________．11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则EC=________．12．函数的单调递增区间是________．13．已知数列{a n}，a1=1，a2=3，a n+2=a n+1﹣a n，则a2019=________．14．若函数f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则实数b的取值范围是________．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求S△ABC．16．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，使总预计收益达到最大，最大收益是多少？17．如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，CD=BC=AB=1，AE∩DF=O，M为EC的中点．（Ⅰ）证明：OM∥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AB﹣E的正切值；（Ⅲ）求BF与平面ADEF所成角的余弦值．18．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的长轴长为短轴长的倍．（1）求椭圆E的离心率；（2）设椭圆E的焦距为2，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求证：直线l恒与圆x2+y2=相切．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n为{b n}的前n项和，求T2n．20．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx．（a∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）在x=2处的切线斜率为，不等式f（x）≥bx﹣2对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明对于任意n∈N，n≥2有： +++…+＜．2019年天津市十二区县重点高中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用分子分母同时乘以分母的共轭复数得答案．【解答】解：z==，故选：A．2．已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+（y﹣1）2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l与曲线C有公共点⇔≤1，化为|b﹣1|≤，即可判断出结论．【解答】解：直线l与曲线C有公共点⇔≤1，化为|b﹣1|≤．可知：b=1时，满足上式；反之不成立，取b=也可以．∴“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的充分不必要条件．故选：A．3．若a=50.2，b=logπ3，c=log5sinπ，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】分别利用指数式与对数函数的运算性质比较三个数与0和1的大小得答案．【解答】解：∵a=50.2＞50=1，0＜b=logπ3＜logππ=1，c=log5sinπ≤0，∴a＞b＞c．故选：C．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为8，则判断条件是（）A．k＜2 B．k＜4 C．k＜3 D．k≤3【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，由题意当s=8，k=3时，由题意应该不满足条件，退出循环，输出s的值为8，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，s=1应满足条件，执行循环体，s=1，k=1应满足条件，执行循环体，s=2，k=2应满足条件，执行循环体，s=8，k=3此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出s的值为8．则判断框内应为：k＜3？故选：C．5．点P为△ABC边AB上任一点，则使S△PBC≤S△ABC的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，使S△PBC≤S△ABC得到三角形高的关系，利用几何概型求概率．【解答】解：设P到BC的距离为h，∵三角形ABC的面积为S，设BC边上的高为d，因为两个三角形有共同的边BC，所以满足S△PBC≤S△ABC时，h≤d，所以使S△PBC≤S△ABC的概率为=；故选：A．6．函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于原点对称，则φ的最小值为（）A． B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得φ的最小值．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+），∴图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度得到y=sin[2（x+φ）+]=sin（2x+2φ+），∵所得的图象关于原点对称，∴2φ+=kπ（k∈Z），φ＞0，则φ的最小正值为．故选：B．7．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|AF1|=t，|AB|=4x，根据双曲线的定义算出t=2x，x=a，Rt△ABF2中算出cos∠BAF2==，可得cos∠F2AF1=﹣，在△F2AF1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．【解答】解：设|AF1|=t，|AB|=4x，则|BF2|=3x，|AF2|=5x，根据双曲线的定义，得|AF2|﹣|AF1|=|BF1|﹣|BF2|=2a，即5x﹣t=（4x+t）﹣3x=2a，解得t=2x，x=a，即|AF1|=a，|AF2|=a，∵|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，得△ABF2是以B为直角的Rt△，∴cos∠BAF2==，可得cos∠F2AF1=﹣，△F2AF1中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos∠F2AF1=a2+a2﹣2×a×a×（﹣）=20a2，可得|F1F2|=2a，即c=a，因此，该双曲线的离心率e==．故选：D．8．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD内有一点P，满足AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可作出图形，根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对两边平方，进行数量积的运算便可得到5=4λ2+2λμ+μ2=（2λ+μ）2﹣2λμ，由基本不等式即可得出2λ+μ的范围，从而便可得出2λ+μ的最大值．【解答】解：如图，依题意知，λ＞0，μ＞0；根据条件，5==4λ2+2λμ+μ2==；∴；∴；∴2λ+μ的最大值为．故选B．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取31人进行该项调查．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：解：由分层抽样的定义得该校共抽取：=31，故答案为：31；10．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于1：3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．∴V1==，V2==4π．∴V1：V2=1：3．故答案为：1：3．11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则EC=4．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】利用切割线定理结合题中所给数据，得PA=3，由弦切角定理结合有一个角为60°的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BE•DE=AE•CE，从而求出EC的长．【解答】解：∵PA是圆O的切线，∴PA2=PD•PB=9，可得PA=3．∵∠PAC是弦切角，夹弧ADC，∴∠PAC=∠ABC=60°，∵△APE中，PE=PA，∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3．∴BE=PB﹣PE=6，DE=PE﹣PD=2∵圆O中，弦AC、BD相交于E，∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，∴EC=4，故答案为：4．12．函数的单调递增区间是（2，3）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由函数，知﹣x2+4x﹣3＞0，由t=﹣x2+4x﹣3是开口向下，对称轴为x=2的抛物线，利用复合函数的单调性的性质能求出函数的单调递增区间．【解答】解：∵函数，∴﹣x2+4x﹣3＞0，解得1＜x＜3，∵t=﹣x2+4x﹣3是开口向下，对称轴为x=2的抛物线，∴由复合函数的单调性的性质知函数的单调递增区间是（2，3）．故答案为：（2，3）．13．已知数列{a n}，a1=1，a2=3，a n+2=a n+1﹣a n，则a2019=﹣2．【考点】数列递推式．【分析】由于数列{a n}，a1=1，a2=3，a n+2=a n+1﹣a n，可得a n+6=a n．即可得出．【解答】解：∵数列{a n}，a1=1，a2=3，a n+2=a n+1﹣a n，∴a3=a2﹣a1=2，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣3，a6=﹣2，a7=1，a8=3，…，∴a n+6=a n．则a2019=a335×6+6=a6=﹣2，故答案为：﹣2．14．若函数f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则实数b的取值范围是（﹣6，0）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数f（x）是偶函数，结合函数与x轴交点个数得到f（0）=0，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，则必有f（0）=0，即a2﹣6=0，即a2=6，即a=±，当a=时，f（x）=x2+2|x|，此时函数f（x）只有1个零点，不满足条件．当a=﹣时，f（x）=x2﹣2|x|，此时函数f（x）有3个零点，满足条件，此时f（x）=x2﹣2|x|=（|x|﹣）2﹣6，∴f（x）≥﹣6，由g（x）=f（x）﹣b=0得b=f（x），作出函数f（x）的图象如图：要使函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则﹣6＜b＜0，故答案为：（﹣6，0）三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求S△ABC．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（I）利用倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性值域即可得出．（II）利用三角函数求值、余弦定理、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）==．当时，f（x）取最小值为．（Ⅱ），∴．在△ABC中，∵C∈（0，π），，∴，又c2=a2+b2﹣2abcosC，（a+b）2﹣3ab=7．∴ab=3．∴．16．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【考点】简单线性规划．【分析】设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=1000x+1200y．由图表列出关于x，y的不等式组，画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=1000x+1200y．则有．作出可行域如图：作直线l：1000x+1200y=0，即直线x+1.2y=0．把直线l向右上方平移到l1的位置，直线l1经过可行域上的点B，此时z=1000x+1200y取得最大值．由，解得点M的坐标为（3，6）．∴当x=3，y=6时，z max=3×1000+6×1200=10200（百元）．答：搭载A产品3件，B产品6件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为10200百元．故答案为：10200百元．17．如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，CD=BC=AB=1，AE∩DF=O，M为EC的中点．（Ⅰ）证明：OM∥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AB﹣E的正切值；（Ⅲ）求BF与平面ADEF所成角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推导出OM∥AC，由此能证明OM||平面ABCD．（Ⅱ）取AB中点H，连接DH，则∠EHD为二面角D﹣AB﹣E的平面角，由此能求出二面角D﹣AB﹣E的正切值．（Ⅲ）推导出BD⊥DA，从而BD⊥平面ADEF，由此得到∠BFD的余弦值即为所求．【解答】证明：（Ⅰ）∵O，M分别为EA，EC的中点，∴OM∥AC…．∵OM⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD…．∴OM||平面ABCD …．解：（Ⅱ）取AB中点H，连接DH，EH∵DA=DB∴DH⊥AB，…．又EA=EB∴EH⊥AB…．∴∠EHD为二面角D﹣AB﹣E的平面角…．又DH=1，∴，∴二面角D﹣AB﹣E的正切值为．…．（Ⅲ）∵DC=BC=1，∠BCD=90°，∴∵．∴BD⊥DA…．∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面ADEF…．∴∠BFD的余弦值即为所求…在，∴…．∴…．18．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的长轴长为短轴长的倍．（1）求椭圆E的离心率；（2）设椭圆E的焦距为2，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求证：直线l恒与圆x2+y2=相切．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得a=b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值；（2）求得椭圆的a，b，可得椭圆方程，讨论直线的斜率不存在，设出方程x=m，代入椭圆方程求得P，Q的坐标，由仇恨值的条件，可得m，求得圆心到直线的距离可得结论；再设直线y=kx+n，代入椭圆方程，运用韦达定理，由两直线垂直的条件，可得x1x2+y1y2=0，化简整理，可得4t2=3+3k2，再求圆心到直线的距离，即可得到直线恒与圆相切．【解答】解：（1）由题意可得2a=2b，即a=b，c===a，可得e==；（2）证明：由题意可得c=，由（1）可得a=，b=1，椭圆的方程为+y2=1，当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=m，代入椭圆方程，可得y=±，由OP⊥OQ，可得m2﹣（1﹣）=0，解得m=±，由圆心（0，0）到直线x=m 的距离为，即有直线l 与圆x 2+y 2=相切；当直线的斜率存在时，设l ：y=kx +t ，代入椭圆方程x 2+3y 2=3，可得（1+3k 2）x 2+6ktx +3t 2﹣3=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），可得x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，y 1y 2=（kx 1+t ）（kx 2+t ）=k 2x 1x 2+kt （x 1+x 2）+t 2，由题意OP ⊥OQ ，可得x 1x 2+y 1y 2=0，即为（1+k 2）x 1x 2+kt （x 1+x 2）+t 2=0，即（1+k 2）•+kt （﹣）+t 2=0，化简可得4t 2=3+3k 2，由圆心（0，0）到直线y=kx +t 的距离为d===，即为半径．则直线l 恒与圆x 2+y 2=相切．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n ﹣2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，T n 为{b n }的前n 项和，求T 2n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）当n 为奇数时，b n ==；当n 为偶数时，b n ==．分别利用“裂项求和”、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（1）∵S n =2a n ﹣2，∴n=1时，a 1=2a 1﹣2，解得a 1=2．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2﹣（2a n ﹣1﹣2），化为a n =2a n ﹣1．∴数列{a n }是等比数列，公比为2．∴a n =2n ，b n =（2）当n 为奇数时，b n ==；当n 为偶数时，b n ==．设数列{}的前k 项和为A k ，则A k =+…+==．设数列{}的前k 项和为B k ，则B k =，=，∴=2=2，∴B k =（﹣）=﹣．∴T 2n =+﹣．20．已知函数f （x ）=ax ﹣1﹣lnx ．（a ∈R ）（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）若函数f （x ）在x=2处的切线斜率为，不等式f （x ）≥bx ﹣2对任意x ∈（0，+∞）恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）证明对于任意n ∈N ，n ≥2有： +++…+＜．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，得到a=1，分离参数得到，令，根据函数的单调性求出g （x ）的最小值，从而求出b 的范围即可；（Ⅲ）当n ≥2时，得到lnn 2＜n 2﹣1，根据放缩法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）的定义域为（0，+∞），…当a ≤0时，ax ﹣1＜0，从而f'（x ）＜0，故函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减 …当a ＞0时，若，则ax ﹣1＜0，从而f'（x ）＜0，…若，则ax﹣1＞0，从而f'（x）＞0，…故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增；…（Ⅱ）求导数：，∴，解得a=1．…所以f（x）≥bx﹣2，即x﹣1﹣lnx≥bx﹣2，由于x＞0，即．…令，则，当0＜x＜e2时，g'（x）＜0；当x＞e2时，g'（x）＞0∴g（x）在（0，e2）上单调递减，在（e2，+∞）上单调递增；…故，所以实数b的取值范围为…（3）证明：由当a=1，x＞1时，，f（x）为增函数，∵f（1）=0∴f（x）=x﹣1﹣lnx＞0即lnx＜x﹣1…∴当n≥2时，lnn2＜n2﹣1，…∴…=∴（n∈N*，n≥2）．…2019年9月7日。