高考数学复习点拨 导数中的“看图说话”
2023高考数学一轮复习第18讲 导数中的同构系列(教师版)
第19讲导数中同构与放缩的应用思维导图-----知识梳理同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶考法一部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）思维导图-----方法梳理在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a ＞0且a ≠1时，有log a x xa ，(2)当a ＞0且a ≠1时，有log xax a再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x ＞0)(“e x ”三兄弟与“ln x ”三姐妹)(3)ln xx xxｅｅ，ln ln ()x x x xｅ(4)ln xx xxｅｅ，ln lnx x x xｅ(5)ln x x xxｅｅ，ln lnxxx x ｅ再结合常用的切线不等式：1x x ｅ，e x x ｅ，l n 1x x ，ln xx ｅ等，可以得到更多的结论(6)ln ln 1xx xxx x ｅｅ，ln ln ()e 1xxx x x x ｅ．ln (ln )xx xx x x ｅｅｅ，1eln ln ()xxx x x x xx ｅ＝ｅｅ．(7)ln ln 1xx xx x xｅｅ，ln ln x x x x x x ｅｅ－１,ln (ln )x x xx x x ｅｅｅ，1ln ln x x x x x xｅｅ(8)ln ln 1x x xxx x ｅｅ，ln lnx x xx x x－１ｅｅ,ln (ln )x xx x x x ｅｅｅ，1ln ln x x x xx x ｅｅ围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.已知f(x)=ln x +x −x ｅx+1，则函数()f x 的最大值为________．解析1ln 1()ln ln ln (ln 2)2x x x f x x x x xx xx x xｅｅ．(当且仅当x ＋ln x ＋1＝0取等号)．例2.函数ln 1()xxf x xｅ的最小值是________．解析ln ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1()1xx xxxx x x x x x f x xx x xｅｅｅ(当且仅当x ＋ln x ＝0取等号)．例3.函数22ln ()1xx xf x xｅ的最小值是________．解析22ln 2ln 2ln 2ln 12ln ()1111xx xx x x x x xf x x x xｅｅ(当且仅当x ＋2ln x ＝0取等号)．例4.不等式ln 10xxa x x ｅ恒成立，则实数a 的最大值是________．解析m ineln 1eln 1ln 10()xxx x x x x x a x x a xxｅ恒成立ln eln 1x xx xln 1ln 11xx x x，当且仅当x ＋ln x ＝0等号成立．例5.不等式x ｅx−a(x +ln x +1)≥0恒成立，则正数a 的取值范围是________．解析ln (ln 1)0(ln 1)0(ln 1)xx x x x a x x x a x x a x x ｅｅｅ，当x ＋ln x ＋1≤0时，原不等式恒成立，当x ＋ln x ＋1＞0时，ln ln 1x xa x x ｅ，由于ln ln 1=1ln 1ln 1x x x x x x x x ｅ，当且仅当x ＋ln x ＝1等号成立，所以a １，故0a ＜１．例6.已知函数()ln 1(1)b xf x x a x x x ｅ，其中b ＞0，若()0f x 恒成立，则实数a 与b 的大小关系是________．解析ln ln 1()0ln 11ln ln x b xbxx b xx f x x a x x x a x a xｅｅｅ，由于ln 1ln 11ln ln x b xx xb x x b xxｅ，当且仅当x ＋b ln x ＝0等号成立，所以ab．例7.已知函数()ln 1xf x a x ｅ，若()0f x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析ln 1ln 10xxxa x aｅｅ，由于ln x ＋1≤x ，e x ≥e x ，两者都是当且仅当x ＝1等号成立，则ln 11e e xxx xｅ，所以a １ｅ．例8.已知不等式1ln xk x x ｅ，对任意的正数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析elne 1ln xxxk x x k xxｅ，由于e x≥e x ，lne x ≤x ，两者都是当且仅当x ＝1等号成立，所以xxｅｅ，lne 1xx则elne 1xxxxｅ，所以k ≤ｅ－1．例9.已知不等式ln 10a x a x xx ｅ，对任意的正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析ln ln 1ln 1ln 1ln 10a xa x xx a x x a x x a x x a x x ｅｅ，当且仅当－a x ＋ln x ＝0，即ln xa x时等号成立，由ln xa x有解，易得1aｅ．例10.已知函数()(ln )xf x x a x x ｅ有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析f(x)=x ｅx−a(x +ln x)=ｅx+ln x−a(x +ln x)，令ln ,t x x t R ，显然该函数单调递增，即e 0ta t 有两个根，即eta t有两个根，令e()tg t t，()g t 在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．m i n ()(1)e g t g ，e a ．例11.(2020届太原二模)已知函数()ln 1f x x a x .(1)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)若()e xf x x 恒成立，求实数a 的取值范围．解析(1)()f x 定义域是(0,) ，1()f x a x，①当0a 时，()0f x ，()f x 在定义域上单调递增，不可能有两个零点；②当0a 时，由1()0f x a x，得10x a，当1(0,)x a时，()0f x ，()f x 在定义域上单调递增，当1(,+)x a时，()0f x ，()f x 在定义域上单调递减，所以当1xa时，()f x 取得极大值．当0x 时，()f x ，当x 时，()f x ，因为()f x 有两个零点，所以1()0f a，解得10a ．(2)要使()e xf x x 恒成立，只要ln x +ax +1e xx 恒成立，只要eln 1xx x a x恒成立，令eln 1()xx x g x x，则eln 1xx x xln eln 1ln 1ln 11x xx xx x xx，当且仅当时取等号．所以()e xf x x 恒成立，实数a 的取值范围为1a ．套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．函数f(x)=x ｅx−x−ln x 的最小值为________．解析f(x)=x ｅx −x−ln x =ｅx+ln x−x−ln x ≥x +ln x +1−x−ln x =1，当且仅当x ＋ln x ＝0等号成立．2．函数ln ()1xx xf x x ｅ的最小值为________．解析ln ln ln ln 1ln ()1111xx xx x x x x xf x x x xｅｅ，当且仅当x ＋ln x ＝0等号成立．3．函数()(ln 1)x f x x x x ｅ的最大值是________．解析ln ln 1ln 1()(ln 1)x x xxx xxx x x x f x x x x ｅｅｅｅｅln 1(ln 1)0x x x x x ｅ(当且仅当x ＋ln x ＝0取等号)．4．已知不等式x ｅx−a(x +1)≥ln x ，对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析ln (1)ln 1xxx x x a x x a xｅｅ，由于ln ln ln 11x x xx x x x x ｅｅln 1ln 11x x xx ，所以a 1．5．已知函数()(ln 1)xf x x a x x ｅｅ，若()0f x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析f(x)≥0⇔x ｅx +ｅ≥a(x +ln x +1)⇔ｅx+ln x+ｅ≥a(x +ln x +1)，当x ＋ln x ＋1≤0时，原不等式恒成立，当x ＋ln x ＋1＞0时，ln ln 1x xa x x ｅｅ，由于ln (ln )=ln 1ln 1x x x x x x x x ｅｅｅｅｅ，当且仅当x ＋ln x ＝1等号成立，所以a ≤ｅ，故0＜a ≤ｅ．6．已知函数f(x)=a ｅ2x−ln x−1，若()0f x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析f(x)=a ｅ2x−ln x−1⇔a ≥ln x+1e2x，由于ln x ＋1≤x ，e 2x≥2e x ，两者都是当且仅当x ＝1等号成立，则2ln 112e 2ex xx xｅ，所以2a１ｅ．7．已知a ，b 分别满足ae a=e 2,b(ln b−1)=e 3，则ab ＝________．解析同构化处理，并利用函数的单调性．222ln 232e e e e e e e ln e (ln 1)eln e e e e ea a a ba a ab b b b b ，ln e e ln e e b a b a ，令()e xf x x ，显然该函数单调递增，即()(ln)eb f a f，即ln eba，则ab ＝e 3．8．已知x 0是函数f(x)=x 2e x−2+ln x−2的零点，则e2−x 0+ln x 0=________．解析22222222eeeeeln 2e2ln e lnln ln (ln ())ln ()x x xx x xx x x x xxxx＝０，所以2eln ()x x，即2−ln x =x ，或ｅ2−x =x ，则e 2−x 0+ln x 0=x 0+ln x 0=2．考点二整体同构携手脱衣法在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F (x )≥0能等价变形为f [g (x )]≥f [h (x )]，然后利用f (x )的单调性，如递增，再转化为g (x )≥h (x )，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）(1)f x 1 －f x 2x 1－x 2>k (x 1<x 2) f (x 1)－f (x 2)<k x 1－k x 2 f (x 1)－k x 1<f (x 2)－k x 2 y ＝f (x )－k x 为增函数；(2)f x 1 －f x 2 x 1－x 2<k x 1x 2(x 1<x 2) f (x 1)－f (x 2)>k (x 1－x 2)x 1x 2＝k x 2－k x 1 f (x 1)＋k x 1>f (x 2)＋k x 2 y ＝f (x )＋k x为减函数；含有地位同等的两个变x 1，x 2或p ，q 等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）(1)积型：ln e(ln )e ()e eln e ln eln ()ln ln ln ln (ln )()ln abx aaaa b f x x a b b b bf x x xaa b b f x x x构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左同右取对如，322222ln ln eln ln m mm mxxxxm xxme xxxxe xｅ，后面的转化同(1)说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．(2)商型：ln eee()ln ee()ln ln eln ln ln ln ln (ln )()ln abxaaaf x abx bbxf x abbxaa b b f x x x构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左同右取对(3)和差：ln e e ln ()e eln eln e ln ()ln a b x aaa ab f x xa b b b b f x x x构造函数两种同构方式构造函数同左同右如；ln (1)ln (1)1ln (1)ln (1)a x a xx a x x x a x x a x x ｅｅｅ．3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）(1)eln e ln 21a xx a x a x a x x x 同乘(无中生有)，后面的转化同()；(2)ln ln 1e ln ()eln (1)1e ln ln (1)1e +ln xxx a x x aa a x a a a x a x x a a同加(无中生有)ln (1)ln (1)1ln (1)ln ln (1)x xx x xa xｅ＋；(3)a x >log a x⇔exln a>ln x ln a⇔(xln a)e xln a>xln x ，后面的转化同2(1)．围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.若1201x x ，则()A ．2121ee ln ln x x x x B ．2121ee ln ln x x x x C ．1221ee x xx x D ．1221ee x xx x 解析设()e ln xf x x ，则1()e xf x x，故()f x 在(0,1)上有一个极值点，即()f x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断1()f x 与2()f x 的大小，故A 、B 错；构造函数()xeg x x，2(1)()xe xg x x，故()g x 在(0,1)上单调递减，所以12g x g x，选C ．例2.若120x x a，都有211212ln ln x x x x x x 成立，则a 的最大值为()A ．2１B ．1C ．eD ．2e解析121221ln ln 11x x x x x x，即121122ln ln 11x x x x x x，令ln 1()xf x xx，则()f x 在(0,)a 上为增函数，()0f x 在(0,)a 上恒成立，2ln ()xf x x，令()0f x ，解得x ＝1，()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,) 上为减函数，1a，a 的最大值为1，选B ．例3.已知f(x)=a ln (x +1)−x 2，在区间(1,2)内任取两实数p ，q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f pf q p q恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析①当p >q 时，(1)(1)(1)(1)f pf qp q即(1)(1)(1)(1)f pp f qq，令()(1)(1)g x f xx，则(1)(1)g p g q ，()g x 在(1,2)递减，即2()ln (2)(1)(1)g x a x x x ，在(1,2)递减，()0x ｇ在(1,2)上恒成立，()2(1)102a x x xｇ在上恒成立，2276a x x 在(1,2)上恒成立，∴a ≤(2x 2+7x +6)min ．②当p <q 时，同理可得出28a ，综上所述(,15][28,)a 例4.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数(1)log 2x −k ⋅2kx≥0解析log 2x−k ⋅2kx≥0⇔xlog 2x ≥kx ⋅2kx⇔(log 2x)⋅2log 2x≥kx ⋅2kx，()2x f x x ．(2)x 2ln x −m ｅm x≥0解析x 2ln x−m ｅmx≥0⇔xln x ≥m x ｅm x ⇔ln x +ln (ln x)≥m x +ln mx，f(x)=x +ln x ．(3)a(ｅax+1)≥2(x +1x)ln x 解析22221(1)2()ln 2ln 2ln ln ln a xa x a xa x xa x a x x x x a x a x x x x xｅｅｅ22ln 2ln ln ()a x xx a x a x x x f x x xｅｅ，ｅ(4)x +a ln x +ｅ−x≥x a(x >1)解析x +aln x +ｅ−x≥x a ⇔x +ｅ−x≥x a −ln x a ⇔ｅ−x −ln ｅ−x≥x a −ln x a，()ln f x x x ．(5)x 2ｅx+ln x =0解析2ln 1111ln 0lnln lnxx x x x xx x x x xxxxxｅｅｅｅｅ，()ln f x x x ．例5.已知不等式log (0,1)x a a x aa，对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析ln ln ln log e (ln )e ln ln xx a x a a x ax x a x x aln ln ln ln (ln )e (ln )e ()e (1)e ln eln ()ln (2)ln ln (ln )ln ln (ln )()ln (3)x a x x x ax ax a x f x x x x f x x x x a x a x x f x x x(三种模式，只要写一种)，由(3)得，xln a >ln x ，即ln ln xax，由导数法可得1ln aｅ，从而所以a >e 1e ．例6.已知函数()ln (1)33f x m x x ，若不等式()3e x f x m x 在(0,) 上恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．0≤m ≤3B ．m ≥3C ．m ≤3D ．m ≤0解析mln (x +1)−3(x +1)>mx−3e x=mln e x−3e x(同构)，令()ln 3g x m x x ，由(1)(e )x g x g ，且11e x x ，知()g x 在(1,) 为减函数，所以()3033m g x m x m x．故选C ．例7.对任意x >0，不等式2a e 2x−ln x +ln a ≥0恒成立，则实数a 的最小值为________．解析2222eln ln 02e ln2e ln2ln 2ln ln (ln)xx x x x x x x a x a a x x x aaa aa(积型同构取对数)，令()ln f x x x ，则()f x 为增函数，由(2)(ln)x f x f a，得2lnx xa，即2x xaｅ恒成立，令2()x xg xｅ，则212()xx g xｅ，易得m a x 11()()22e g x g ，所以实数a 的最小值为12e．例8.已知函数f(x)=ｅx−a ln (ax−a)−a(a >0)，若关于x 的不等式()0f x 恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．2(0,e ]B ．2(0,e )C ．2[1,e ]D ．2(1,e ]解析f(x)=ｅx −aln (ax−a)−a >0⇔1aｅx>ln a(x−1)−1⇔ｅx−ln a −ln a >ln (x−1)−1⇔ｅx−ln a +x−ln a >eln (x−1)+ln (x−1)(和差型同构)，令g(x)=e x+x ，显然()g x 为增函数，则原命题等价于g(x−ln a)>g(ln (x−1))⇔x−ln a >ln (x−1)⇔ln a <x−ln (x−1)，由于ln (1)(2)x x x x ，所以ln a <2，即得0<a <e 2．例9.对任意0x，不等式1(e 1)2()ln a xa x x x恒成立，则实数a 的最小值为________．解析22221(e1)2()ln (e 1)(1)ln (e 1)ln e (1)ln a xa x a x a x a x xa x x x x x x(积型同构)，令()(1)ln f x x x ，则1()ln xf x x x，22111()=xf x xxx，易知()f x 在(0,1)上递减，在(1,)上递增，所以()(1)20f x f ，所以()f x 在(0,) 上单调递增，则22(e 1)ln e(1)ln (e )a xa xa xx x f 222ln ()e 2ln a x xf x x a x x a x，由导数法易证2ln 2exx，所以2ea．例10.已知不等式1ln ea xx a x x 对任意的(1,)x 恒成立，则实数a 的最小值为()A ．eB ．e 2C ．eD ．2e解析11ln ln ln e ln e ln eea a a a x x a a xxxa x x x x a x x x x x，令()ln f x x x ，则1()xf x x，易知()f x 在(0,1)上递减，在(1,) 上递增，所以(e)()xaf f x，(1,)x ，1e (0,)e x．根据选项只讨论a ＜0的情况，当a ＜0时，(0,1)a x ，∴e−x≤x a，ln xa x．令()ln xh x x，则21ln ()(ln )xh x x，所以()h x 在(1,e )上递增，在(e ,) 上递减，则m a x ()(e )e h x h ，即e a ，故选C ．例11.已知函数ln (1)()xf x x.(1)判断()f x 在(0,) 上的单调性；(2)若x >0，证明：(e x−1)ln (x +1)>x 2．解析(1)2ln (1)1()xx xf x x，令()ln (1)1x g x x x，2()0(1)xg x x，()g x 在(0,) 上单调递减，()(0)0g x g ，即()0f x ，()f x 在(0,) 上单调递减．(2)要证2(e 1)ln (1)x x x ，即证：2ln (1)e1xx x即证：ln (1)e1xxx x即证：ln (1)ln (e11)e 1xxxx，令ln (1)()xh x x，即证：ℎ(x)>ℎ(e x−1)，由(1)，()h x 在(0,) 上单调递减，即证：e 1x x ．令s(x)=e x−x−1，s '(x)=e x−1>0，()s x 在(0,) 上单调递增，∴s(x)>s(0)=0，∴e x −x−1>0，即x <e x−1．例12.(2020·新高考Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．解析(1)当a ＝e 时，f (x )＝e x －ln x ＋1，∴f ′(x )＝e x －1x ，∴f ′(1)＝e －1．∵f (1)＝e ＋1，∴切点坐标为(1，1＋e )，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e －1＝(e －1)·(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2，∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，2)，－2e －1，0()，∴所求三角形面积为12×2×－2e －1||＝2e －1．(2)解法一：∵f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ，∴f ′(x )＝a e x －1－1x，且a >0．设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝a e x －1＋1x 2>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，当a ＝1时，f ′(1)＝0，则f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝1，∴f (x )≥1成立；当a >1时，1a <1，∴11e a<1，∴f ′1a()f ′(1)＝11(e 1)(1)0a a a ，∴存在唯一x 0>0，使得f ′(x 0)＝a e x 0－1－1x 0＝0，且当x ∈(0，x 0)时f ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时f ′(x )>0，∴a e x 0－1＝1x 0，∴ln a ＋x 0－1＝－ln x 0，因此f (x )min ＝f (x 0)＝a e x 0－1－ln x 0＋ln a ＝1x 0＋ln a ＋x 0－1＋ln a ≥2ln a －1＋21x 0·x 0＝2ln a ＋1>1，∴f (x )>1，∴f (x )≥1恒成立；当0<a <1时，f (1)＝a ＋ln a <a <1，∴f (1)<1，f (x )≥1不恒成立．综上所述，a 的取值范围是[1，＋∞)．解法二：f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ＝e ln a ＋x －1－ln x ＋ln a ≥1等价于e ln a ＋x －1＋ln a ＋x －1≥ln x ＋x ＝e ln x ＋ln x ，令g (x )＝e x ＋x ，上述不等式等价于g (ln a ＋x －1)≥g (ln x )，显然g (x )为单调递增函数，∴又等价于ln a ＋x －1≥ln x ，即ln a ≥ln x －x ＋1，令h (x )＝ln x －x ＋1，则h ′(x )＝1x －1＝1－xx，在(0，1)上h ′(x )>0，h (x )单调递增；在(1，＋∞)上h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴h (x )ma x ＝h (1)＝0，ln a ≥0，即a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．已知函数()ln()xf x m x m R ｅ，若对任意正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有1212()()f x f x x x成立，则实数m 的取值范围是________．解析由1212()()f x f x x x得，1122()()f x x f x x，令()()g x f x x，12()()g x g x ，()g x 在(0,) 单调递增，又()()xg x f x x m x xｅ，()10xm g x xｅ，在(0,) 上恒成立，即(1e)xm x，令()(1e )x h x x ，则()e (1)10x h x x ，()h x 在(0,) 单调递减，m a x ()0h x (但取不到)． m ≥0．2．已知函数()xf x a x xｅ，(0,)x ，当x 2＞x 1时，不等式1221()()0f x f x x x恒成立，则实数a的取值范围是()A ．(,e ]B ．(,e )C ．e (,)2D ．e (,]2解析由1221()()0f x f x x x，得1122()()x f x x f x ，令()()g x x f x ，则()g x 在(0,) 上单调递增，又2()xg x a x ｅ，()20xg x a x ｅ在(0,) 上恒成立，即e2xa x，令e()2xh x x，则2e (1)()2xx h x x，令()0h x ，则()h x 在(0,1)单调递减，在(1,) 单调递增，m i n e ()(1)2h x h ，选D ．3．对不等式21ln 0xxｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．解析2222ln 11ln0ln 2ln 2(ln )2xxx x xxxx x x x xｅｅｅｅｅ4．对方程2ln 0xx x ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．解析2ln 0ln ln ln x x x xx x x x x x x -ｅｅｅｅ．5．对不等式ln (1)2(1)2xa x x a x ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．解析ln (1)2(1)2ln (1)2(1)ln 2x x xa xx a x a x x a ｅｅｅ6．设实数0 ，若对任意的(0,)x ，不等式ln 0xxｅ恒成立，则 的最小值为________．解析ln ln 0ln 0ln ln xx x xxx x x x x x xｅｅｅｅ，令()e xf x x ，易知()f x 在(0,) 上递增，所以()(ln )f x f x，ln x x ，ln xx．令ln ()xh x x，则21ln ()xh x x，所以()h x 在(0,e )上递增，在(e ,) 上递减，则m a x 1()(e )eh x h，即1e．7．已知函数1()ln (0)x f x a a x a a ｅ，若关于x 的不等式()0f x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析1111()ln 0ln (ln 1)x x x x f x a a x a a a x a a a x x ｅｅｅｅ(lna x 1)a xeln 1(ln 1)e a x a x，ln 1e >(ln 1)e xa x x a x，令()e x g x x ，显然()g x 为增函数，则原命题等价于()g x (ln 1)ln 1ln ln 1g a xx a x a x x ，令()ln 1h x x x ，则1()xh x x，所以()h x 在(0,1)上递减，在(1,) 上递增，则m i n ()(1)2h x h ，所以ln 2a ，即得20e a ．8．已知对任意0x，不等式1(e 1)(1)ln 0k x k xx恒成立，则实数k 的取值范围为________．解析1(e1)(1)ln 0(e 1)(1)ln e ln k xk x k x k xk x x x k x k x x x x x，即ln e ln e ln k x x k x k x x x ．令()e xf x x x ，则()f x 在(0,) 上递增，所以()(ln )f k x f x，所以ln k x x ，则ln xk x，由导数法易证ln 1exx，所以1ek．9．已知0a ，不等式1ln 0a xxa x ｅ，对任意的实数1x恒成立，则实数a 的最小值是()A ．12eB ．1eC ．eD ．2e解析1ln ln 0ln a x xaaaa xxa x x x xxｅｅ，即ln ln e axa x xx ｅ，令()e xf x x ，则()f x 在(1,) 单调递增，即()(ln )af x f x，即ln a x x ，ln xa x．令()ln xg x x，由导数法知m i n ()(e )e g x g ，e a ．故选C ．10．已知函数13()2ln ()m xf x xxm x ｅ，当e x时，()0f x 恒成立，则实数m 的取值范围为()A ．(,4e ]B ．(,3e ]C ．(,2e ]D ．3e (,]2解析1113222()02ln ()2ln (1)ln (1)m m mxxxm m f x xxm x xxx xxxｅｅｅ，即12ln ln e(1)mxx m xxｅ，令()e x g x x ，则()g x 在[e ,) 单调递增，即2(ln )(1)m g x g x，当0m 时，12ln ln e(1)mxx m xxｅ恒成立，当0m 时，2ln 12ln m x m x x x x，令()2ln h x x x x ，则()2ln 30h x x ，()h x 在[e ,) 上单调递增，m i n ()(e )3e h x h ．故选B ．考点三分离含参式同构思维导图-----方法梳理参变分离法是将不等式变形成一个一端是f (a )，另一端是变量表达式g (x )的不等式后，若f (a )≥g (x )在x ∈D 上恒成立，则f (a )≥g (x )ma x ；若f (a )≤g (x )在x ∈D 上恒成立，则f (a )≤g (x )min ．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a ，另一端是变量表达式g (x )的不等式后，若a ≥g (x )在x ∈D 上恒成立，则a ≥g (x )ma x ；若a ≤g (x )在x ∈D 上恒成立，则a ≤g (x )min ．利用分离参数法来确定不等式f (x ，a )≥0(x ∈D ，a 为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f 1(a )≥f 2(x )或f 1(a )≤f 2(x )的形式．(2)求f 2(x )在x ∈D 时的最大值或最小值．(3)解不等式f 1(a )≥f 2(x )ma x 或f 1(a )≤f 2(x )min ，得到a 的取值范围．围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.(2020·新高考Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．解析(1)当a ＝e 时，f (x )＝e x －ln x ＋1，∴f ′(x )＝e x －1x ，∴f ′(1)＝e －1．∵f (1)＝e ＋1，∴切点坐标为(1，1＋e )，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e －1＝(e －1)·(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2，∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，2)，－2e －1，0()，∴所求三角形面积为12×2×－2e －1||＝2e －1．(2)解法一(同构后参变分离)f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ＝e ln a ＋x －1－ln x ＋ln a ≥1等价于e ln a ＋x －1＋ln a ＋x －1≥ln x ＋x ＝e ln x ＋ln x ，令g (x )＝e x ＋x ，上述不等式等价于g (ln a ＋x －1)≥g (ln x )，显然g (x )为单调递增函数，∴又等价于ln a ＋x －1≥ln x ，即ln a ≥ln x －x ＋1，令h (x )＝ln x －x ＋1，则h ′(x )＝1x －1＝1－xx，在(0，1)上h ′(x )>0，h (x )单调递增；在(1，＋∞)上h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴h (x )ma x ＝h (1)＝0，ln a ≥0，即a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．解法二(最值分析法＋隐零点法)∵f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ，∴f ′(x )＝a e x －1－1x，且a >0．设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝a e x －1＋1x 2>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，当a ＝1时，f ′(1)＝0，则f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝1，∴f (x )≥1成立；当a >1时，1a <1，∴11e a <1，∴f ′1a()f ′(1)＝11(e 1)(1)0a a a ，∴存在唯一x 0>0，使得f ′(x 0)＝a e x 0－1－1x 0＝0，且当x ∈(0，x 0)时f ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时f ′(x )>0，∴a e x 0－1＝1x 0，∴ln a ＋x 0－1＝－ln x 0，因此f (x )min ＝f (x 0)＝a e x 0－1－ln x 0＋ln a ＝1x 0＋ln a ＋x 0－1＋ln a ≥2ln a －1＋21x 0·x 0＝2ln a ＋1>1，∴f (x )>1，∴f (x )≥1恒成立；当0<a <1时，f (1)＝a ＋ln a <a <1，∴f (1)<1，f (x )≥1不恒成立．综上所述，a 的取值范围是[1，＋∞)．例2.已知函数f (x )＝x －a ln x ．(1)若曲线y ＝f (x )＋b (a ，b ∈R )在x ＝1处的切线方程为x ＋y －3＝0，求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )＋a ＋1x(a ∈R )的极值点；(3)设h (x )＝1a f (x )＋a e x －xa＋ln a (a >0)，若当x >a 时，不等式h (x )≥0恒成立，求a 的最小值．解析(1)由f (x )＝x －a ln x ，得y ＝x －a ln x ＋b ，∴y ′＝f ′(x )＝1－ax ．由已知可得f ′(1)＝－1，f (1)＋b ＝2，{即1－a ＝－1，1＋b ＝2，{∴a ＝2，b ＝1．(2)g (x )＝f (x )＋a ＋1x ＝x －a ln x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a x－a ＋1x 2＝(x ＋1)[x －(a ＋1)]x 2(x >0)，当a ＋1≤0，即a ≤－1时，g ′(x )>0，g (x )在(0，＋∞)上为增函数，无极值点．当a ＋1>0，即a >－1时，则有，当0<x <a ＋1时，g ′(x )<0，当x >a ＋1时，g ′(x )>0，∴g (x )在(0，a ＋1)上为减函数，在(a ＋1，＋∞)上为增函数，∴x ＝a ＋1是g (x )的极小值点，无极大值点．综上可知，当a ≤－1时，函数g (x )无极值点，当a >－1时，函数g (x )的极小值点是a ＋1，无极大值点．(3)(同构后参变分离)h (x )＝1a f (x )＋a e x －xa＋ln a ＝a e x －ln x ＋ln a (a >0)，由题意知，当x >a 时，a e x －ln x ＋ln a ≥0恒成立，又不等式a e x －ln x ＋ln a ≥0等价于a e x ≥ln x a ，即e x ≥1a ln x a ，即x e x ≥x a ln xa．①①式等价于x e x ≥ln x a ·eln x a ，由x >a >0知，x a >1，ln xa >0．令φ(x )＝x e x (x >0)，则原不等式即为φ(x )≥φlnxa()，又φ(x )＝x e x (x >0)在(0，＋∞)上为增函数，∴原不等式等价于x ≥lnxa，②又②式等价于e x ≥x a，即a ≥xe x (x >a >0)，设F (x )＝x e x (x >0)，则F ′(x )＝1－xex ，∴F (x )在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，又x >a >0，∴当0<a <1时，F (x )在(a ，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．∴F (x )≤F (1)＝1e ．要使原不等式恒成立，须使1e ≤a <1，当a ≥1时，F (x )在(a ，＋∞)上为减函数，F (x )<F (1)＝1e．要使原不等式恒成立，须使a ≥1e ，∴当a ≥1时，原不等式恒成立．综上可知，a 的取值范围是[1e ，＋∞)，a 的最小值为1e ．例3.已知实数a ∈R ，设函数f (x )＝ln x －a x ＋1．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥a (x ＋1－x 2)x＋1恒成立，求实数a 的取值范围．解析(1)由题意得定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－a x x．当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1a，所以当0，1a ()时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当1a，＋∞()时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．(2)因为x >0，所以f (x )≥a （x ＋1－x 2）x＋1恒成立等价于x ln x ≥a x ＋1恒成立．设h (x )＝ln x －1－1x()，则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，所以函数h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝0．即ln x ≥1－1x ，所以x ln x ≥x 1－1x()＝x －1恒成立，问题等价于x －1－a x ＋1≥0恒成立，分离参数得a ≤x －1x ＋1恒成立．设t ＝x ＋1∈(1，＋∞)，函数g (t )＝t 2－2t，则g ′(t )＝1＋2t 2>0，所以函数g (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (t )>g (1)＝－1，所以a ≤－1，故实数a 的取值范围为(－∞，－1]．套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．已知函数f (x )＝e a x －x ．(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处切线的斜率为1，求f (x )的单调区间；(2)若不等式f (x )≥e a x ln x －a x 2对x ∈(0，e ]恒成立，求a 的取值范围．解析(1)f ′(x )＝a e a x －1，则f ′(0)＝a －1＝1，即a ＝2．∴f ′(x )＝2e 2x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 22．当x <－ln 22时，f ′(x )<0；当x >－ln 22时，f ′(x )>0．故f (x )的单调递减区间为－∞，－ln 22()，单调递增区间为－ln 22，＋∞()．(2)(同构后参变分离)由f (x )≥e a x ln x －a x 2，即a x 2－x ≥e a x (ln x －1)，有a x －1ea x≥ln x －1x ，故仅需ln e a x－1ea x≥ln x －1x 即可．设函数g (x )＝ln x －1x ，则ln e a x－1ea x≥ln x －1x 等价于g (e a x )≥g (x )．∵g ′(x )＝2－ln xx 2，∴当x ∈(0，e ]时，g ′(x )>0，则g (x )在(0，e ]上单调递增，∴当x ∈(0，e ]时，g (e a x )≥g (x )等价于e a x ≥x ，即a ≥ln xx恒成立．设函数h (x )＝ln x x，x ∈(0，e ]，则h ′(x )＝1－ln xx 2≥0，即h (x )在(0，e ]上单调递增，∴h (x )ma x ＝h (e )＝1e ，则a ≥1e 即可，∴a 的取值范围为1e ，＋∞[)．2．已知函数f (x )＝1＋a e x ln x ．(1)当a ＝1时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若不等式f (x )≥e x (x a －x )(a <0)，对x ∈(1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．解析(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，f ′(x )＝e x ln x ＋1x ()，令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x－1x 2＝x －1x 2，当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，∴当x ＝1时，g (x )取得极小值即最小值g (1)＝1，∴f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)(同构后参变分离)不等式f (x )≥e x (x a －x )⇔e －x ＋x ≥x a －a ln x ⇔e －x －ln e －x ≥x a －ln x a ，设k (t )＝t －ln t ，即k (e －x )≥k (x a )，(*)∵k ′(t )＝1－1t ＝t －1t ，∴当t ∈(0，1)时，k ′(t )<0，k (t )在(0，1)上单调递减；当t ∈(1，＋∞)时，k ′(t )>0，k (t )在(1，＋∞)上单调递增，∵x∈(1，＋∞)，0<e－x<e－1<1，当a<0时，0<x a<1，且k(t)在(0，1)上单调递减，则(*)式⇔e－x≤x a⇒－a≤xln x ，令h(x)＝xln x(x>1)，则h′(x)＝lnx－1(ln x)2，当x∈(1，e)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，∴h(x)min＝h(e)＝e，则－a≤e，∴a≥－e，又a<0，∴a的取值范围是[－e，0)．3．已知函数f(x)＝e－x－a x，g(x)＝ln(x＋m)＋a x＋1．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意的x∈(－m，＋∞)，恒有f(－x)≥g(x)成立，求实数m的取值范围．解析(1)当a＝－1时，f(x)＝e－x＋x，则f′(x)＝－1e x＋1．令f′(x)＝0，得x＝0．当x＜0时，f′(x)＜0，当x＞0时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．∴当x＝0时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(0)＝1．(2)由(1)得e x≥x＋1恒成立．f(－x)≥g(x)⇔e x＋a x≥ln(x＋m)＋a x＋1⇔e x≥ln(x＋m)＋1．故x＋1≥ln(x＋m)＋1，即m≤e x－x在(－m，＋∞)上恒成立．当m＞0时，在(－m，＋∞)上，e x－x≥1，得0＜m≤1；当m≤0时，在(－m，＋∞)上，e x－x＞1，m≤e x－x恒成立．于是m≤1．∴实数m的取值范围为(－∞，1]．考点四双变量问题之转化同构思维导图-----方法梳理若问题的不等式或等式中含有1x ，2x 两个变量，我们称这类题型为双变量问题，双变量问题有若干细分题型，本节先分析其中一种：若对任意的1x ，2x 在区间D 上，某关于1x 和2x 的具有轮换对称性的不等式恒成立，求参数取值范围.这类问题一般将原不等式等价转化为12f x f x这种同构形式，根据函数f x 的单调性来研究参数的取值范围.围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.已知函数12ln f x x x.（1）求曲线yf x在点1,1f 处的切线方程；（2）若对任意的 12,0,x x ，不等式121211f x f x mx x恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由题意， 221f x xx，所以 13f ，11f ，故所求切线方程为 131y x ，整理得：34yx .（2）由（1）知 2210f x x x，所以f x 在 0, 上单调递增，不妨设120x x ，则12f x f x，所以121211f x f x mx x等价于2112m m f x f x x x，即1212m m f x f x x x①，令m g x f x x，则由①知g x 在 0, 上单调递增，所以 22210m g x xxx恒成立，从而21mx ，故1m ，所以实数m 的取值范围为 ,1 .【反思】本题的不等式121211f x f x mx x具有轮换对称性，这种情况一般考虑将1x ，2x 分离到不等号两侧，化为同构形式，运用函数的单调性解决问题.例2.已知函数 xf x e ，其中 2.71828e 为自然对数的底数.（1）设函数223g x x a x a f x ，a R ，试讨论函数 g x 的单调性；（2）设函数2h x f x m x x，m R ，若121,,22x x且12x x ，都有21121221x h x x h x x x x x 成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由题意， 22313x xg x e x a x a e x x a ，当4a 时， 210x g x e x 在R 上恒成立，所以 g x 在R 上单调递增；当4a 时， 03g x x a 或1x ， 031g x a x ，所以 g x 在 ,3a 上单调递增，在 3,1a 上单调递减，在 1, 上单调递增；当4a 时， 01g x x 或3x a ， 013g x x a ，所以 g x 在 ,1 上单调递增，在 1,3a 上单调递减，在 3,a 上单调递增.（2）由题意，22x h x f x m x x e m x x，当1x 、21,22x时， 21121221x h x x h x x x x x 等价于121212h x h x x x x x ，因为12x x ，令11xh x eF x x m x xx，则问题等价于Fx 在1,22上单调递增，所以2110xe xF x m x在1,22上恒成立，从而211xe x m x，令211xe xHx x122x，则 23110xex H x x，所以H x 在1,22上单调递增，从而 m i n1122Hx H e，故实数m 的取值范围为 ,12e.套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1.（多选）若正实数a 、b 满足ln ln s i n s i n b a b a b a ，则下列不等式可能成立的有（）A .01a bB .1b a C .01b a D .01a b 【答案】AD 【解析】ln ln ln ln s i n s i n s i n s i n b b a aba b a b a b b a a，设 ln 0f x x x x ， s i n g x x x 0x ，则 1xf x x，所以 001f x x ， 01f x x ，从而f x 在 0,1上 ，在 1, 上 ，而 1co s 0g x x ，所以 g x 在 0, 上 ，因为s i n s i n b b a a ，所以 g b g a ，故b a ，又ln ln b b a a ，所以f b f a，A 项，作出f x 的大致图象如图，由图可知A 项正确；B 项，若1b a ，则f b f a，故B 项错误；C 项，因为b a ，所以C 项错误；D 项，若01a b ，则 f b f a ，故D 项正确.2．已知函数s i n f x x a x ，若对任意12,x x R 且12x x，不等式1212f x f x a x x恒成立，则实数a 的取值范围为（）A .1,2B .1,2C .1,2D .1,2。
高中数学第四章导数应用1.1导数与函数的单调性ppt课件
y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)， 当a>1时，由于ln a>0，ax<1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的； 当0<a<1时，由于ln a<0，ax>1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的.
12345
4 B.m>3
C.m≤43
4
D.m<3 ，3)内可导，其图像如下图，记y＝f(x)的导
函数为y＝f′(x)，那么不等式f′(x)≤0的解集是 答案 解析
√－1 3
12345
3.假设函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是添加的，那么m的 取值范围答是案 解析
√
No
Image
∵函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)上是添加的，
答案
如下图，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0) 内导数的绝对值较大，图像“峻峭〞， 在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值 较小，图像“平缓〞.
梳理
普通地，假设一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么 函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“峻峭 〞(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓〞一些.
第四章 §1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性
学习目的 1.了解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判别(证明)函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超越三次多项式函数的单调 区间.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思索
察看以下各图，完成表格内容
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
高中数学必考知识点归纳整理
高中数学必考知识点归纳整理高中数学必考知识点必修一：1、集合与函数的概念 (部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解)必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。
文科：选修1—1、1—2选修1--1：重点：高考占30分1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考2、圆锥曲线：3、导数、导数的应用(高考必考)选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)理科：选修2—1、2—2、2—3选修2--1：1、逻辑用语2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数选修2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌握这部分知识点需要大量做题找规律，无技巧。
高考数学-导数-专题复习课件
)
v0t
,求1物gt体2 在时刻
2
时的瞬t0时速度.
解析：
s(t)
v0
1 2
g
2t
v0
gt
∴物体在 t时0 刻瞬时速度为 s(t0 ) v0 gt0. 题型四 导数的几何意义及几何上的应用
【例4】(12分)已知曲线 y 1 x3 4 .
33
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.
x0
x0
x0
典例分析
题型一 利用导数求函数的单调区间
【例1】已知f(x)= e-xax-1,求f(x)的单调增区间.
分析 通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.
解 ∵f(x)= -aexx -1,∴f′(x)= -a. ex 令f′(x)≥0,得 ≥ae. x 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞).
分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f′(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解（1）∵y′= ,…x2……………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率 k y |x..23′ 4. ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………….4′ (2)设曲线 y 1 x过3 点4 .P（2，4）的切线相切于点
33
则切线的斜率 k y |xx0……x02…. …………..6′
∴切线方程为
y
(1 3
利用导函数图象研究函数的单调性问题(含参讨论问题)(原卷版)-2024年高考数学复习解答题解题思路
专题03利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍..........................................................................................................1二、典型题型..........................................................................................................2题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）................................2题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型.....3题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型....................................4三、专项训练. (4)借助导函数有效部分()g x 的图象辅助解题：①令()0g x =，确定其零点0x ，并在x 轴上标出②观察()y g x =的单调性，③根据①②画出草图2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型借助导函数有效部分()g x 的图象辅助解题：①对()g x 因式分解，令()0g x =，确定其零点1x ，2x 并在x 轴上标出这两个零点②观察()y g x =的开口方向，③根据①②画出草图3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型①对()y g x =，求24b ac ∆=-②分类讨论0∆≤③对于0∆>，利用求根公式求()0g x =的两根1x ，2x ④判断两根1x ，2x 是否在定义域内：对称轴+端点正负⑤画出()y g x =草图二、含参问题讨论单调性的原则1、最高项系数含参，从0开始讨论2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论3、考虑根是否在定义域内二、典型题型题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()ln f x x a x =-，讨论()f x '的单调性.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()ln R f x a x a x a =+-∈，讨论()f x 的单调性.3．（2023上·四川成都·高三成都外国语学校校考开学考试）已知函数()()e xf x a a x =+-，()R a ∈(1)当1a =时，求()f x 的最值；(2)求()f x 的单调区间．。
新高考数学导数专题讲义第02讲 函数图象(学生版+解析版)
第2讲 函数图象1．已知函数32()f x ax bx c =++，其导数()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的极大值是( )A ．a b c ++B ．84a b c ++C ．32a b +D ．c2．设函数()y f x =可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x ='可能为( )A ．B ．C ．D ．3．函数sin 21cos xy x=-的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．4．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．()2||xf x ln x =B ．2()||f x ln x x =-C ．1()||f x ln x x=+ D ．||()||xln x f x x =5．函数2||()1xln x f x x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．函数22,01()(),01xlnxx x f x xln x x x ⎧>⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．函数||()||xln x f x x =的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ．8．函数1()()cos (f x x x x xππ=--且0)x ≠的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．9．已知21()sin()42f x x x π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是( ) A ． B ．C ．D ．10．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④11．已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式(2)()0x f x '->的解集为( )A ．(-∞，2)(1-⋃，)+∞B ．(-∞，2)(1-⋃，2)C ．(-∞，1)(2⋃，)+∞D ．(1-，1)(2⋃，)+∞12．函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示，则2212x x +等于( )A ．89B ．109C ．169D ．28913．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则12(x x += )A ．23B ．109 C ．89D ．28914．函数2()()ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a <，0b >，0c <B ．0a >，0b <，0c <C ．0a >，0b <，0c >D ．0a <，0b >，0c >15．函数2()()ax bf x x c +=+的图象大致如图所示，则下列结论正确的是()A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b >，0c <C ．0a <，0b <，0c >D．0a>，0b>，0c<16．函数32()f x ax bx cx d=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．0a>，0b<，0c>，0d>B．0a>，0b<，0c<，0d> C．0a<，0b<，0c>，0d>D．0a>，0b>，0c>，0d<17．函数22||(2)sinxxy x ex=-在[2-，2]的图象大致为()A．B．C．D．18．函数2||=-+在区间[2-，2]上的图象大致为()y x e2xA．B．C．D ．19．函数2||22x y x =-在[2-，2]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．20．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．2()||f x ln x x =-B ．()||||f x ln x x =-C ．2()2||f x ln x x =-D ．()2||||f x ln x x =- 21．已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．1()||f x ln x x =-B ．1()||f x ln x x =+C ．1()||f x ln x x=- D ．1()||||f x ln x x =+22．函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．21()2x x f x -=B ．()2(||1)x f x x =-C ．()||||f x ln x =D ．()1x f x xe =-23．已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．||()xln x f x e = B ．()||x f x e ln x = C ．||()ln x f x x=D ．()(1)||f x x ln x =-24．已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是( )A ．2()||xf x ln x =B ．2||()||x f x ln x =C ．21()1f x x =- D ．1()1||||f x x x =-25．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．||()cos x f x e x =B ．()||cos f x ln x x =C ．||()cos x f x e x =+D ．()||cos f x ln x x =+26．已知函数()f x 的局部图象如图所示，则()f x 的解析式可以是( )A ．1||()sin2x f x ex π= B ．1||()cos2x f x ex π= C ．()||sin 2f x ln x x π=D ．()||cos2f xln xxπ=第2讲函数图象1．已知函数32=++，其导数()()f x ax bx cf x的极大值是()f x'的图象如图所示，则函数()A．a b ca b+D．ca b c++C．32++B．84【解析】解：由导函数的图象知，f x在(1,2)递增；在(2,)+∞上递减()所以当2x=时取得极大值，极大值为：f（2）84=++a b c则函数()f x的极大值是84++a b c故选：B．2．设函数()y f x=的图象如图所示，则导函数()='可能为() y f xy f x=可导，()A．B．C．D．【解析】解：根据()x x≠，y f x=的图象可知其定义域为{|0}故其导函数的定义域也为{|0}x x≠，又从原函数()=的单调性是：y f xy f x=的图象可知，函数()函数()y f x =在(,0)-∞，(0,)a 上是增函数，在(,)a b 上是减函数，在(,)b +∞是增函数，即()y f x =是先增后减再增，得出导函数是先正后负再正，根据选项中的函数()f x 的单调性知选D ．故选：D ．3．函数sin 21cos x y x=-的部分图象大致为( ) A ．B ．C ．D ．【解析】解：函数sin 21cos x y x =-， 可知函数是奇函数，排除选项B ， 当3x π=时，2()1312f π==-A ， x π=时，()0f π=，排除D ．故选：C ．4．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．()2||x f x ln x =B ．2()||f x ln x x =-C ．1()||f x ln x x=+ D ．||()||xln x f x x = 【解析】解：函数图象关于原点对称，函数为奇函数，排除B ，C ，又f （1）0=，则()2||x f x ln x =无意义，排除A ， 故选：D ．5．函数2||()1xln x f x x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ． 【解析】解：因为2||()()()1xln x f x f x x ---==--+，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ， 因为f （1）0=，01x <<时，()0f x <，所以排除B ．故选：A ．6．函数22,01()(),01xlnx x x f x xln x x x ⎧>⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解析】解：若0x >，则0x -<， 则2()()1xlnx f x f x x --==-+， 若0x <，则0x ->， 则2()()()1xln x f x f x x ---==-+， 综上()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数，图象关于圆的对称，排除C ，D ，当0x >，且0x →时，()0f x <，排除B ，故选：A ．7．函数||()||xln x f x x =的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ． 【解析】解：|()|||()()||||x ln x xln x f x f x x x ----===--，()f x ∴是奇函数，图象关于原点对称，故A ，C 错误；又当1x >时，||0ln x lnx =>，()0f x ∴>，故D 错误，故选：B ．8．函数1()()cos (f x x x x x ππ=--且0)x ≠的图象可能为( )A ．B ．C ．D ． 【解析】解：11()()cos()()cos ()f x x x x x f x x x -=-+-=--=-，∴函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 的图象关于原点对称，故排除A ，B ，当x π=时，11()()cos 0f ππππππ=-=-<，故排除C ，故选：D ．9．已知21()sin()42f x x x π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A ．B ．C ．D ．【解析】解：由2211()sin()cos 424f x x x x x π=++=+， 1()sin 2f x x x ∴'=-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ． 又1()cos 2f x x ''=-，当33x ππ-<<时，1cos 2x >，()0f x ∴''<， 故函数()y f x ='在区间(3π-，)3π上单调递减，故排除C ． 故选：A ． 10．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④【解析】解：根据()0f x '>时，()f x 递增；()0f x '<时，()f x 递减可得：①中函数的图象从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；②中函数的图象也是从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；所以①②可能正确．而③中函数的图象从左向右先减后增，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0，大于0；④中函数的图象从左向右先增后减后，对应的导函数也是小于0，大于0，再小于0，大于0；所以③④可能错误．故选：B ．11．已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式(2)()0x f x '->的解集为( )A ．(-∞，2)(1-⋃，)+∞B ．(-∞，2)(1-⋃，2)C ．(-∞，1)(2⋃，)+∞D ．(1-，1)(2⋃，)+∞【解析】解：由函数()f x 的图象可得，当(,1)x ∈-∞-，(1,)+∞时，()0f x '>，当(1,1)x ∈-时，()0f x '<． 由()0(2)()020f x x f x x '>⎧-'>⇔⎨->⎩①或()020f x x '<⎧⎨-<⎩② 解①得，2x >，解②得，11x -<<，综上，不等式(2)()0x f x -'>的解集为(1-，1)(2⋃，)+∞， 故选：D ．12．函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示，则2212x x +等于( )A ．89B ．109C ．169D ．289【解析】解：32()f x x bx cx d =+++，由图象知，10b c d -+-+=，0000d +++=，8420b c d +++=， 0d ∴=，1b =-，2c =-22()32322f x x bx c x x ∴'=++=--．由题意有1x 和2x 是函数()f x 的极值点，故有1x 和2x 是()0f x '=的根，1223x x ∴+=，1223x x =-． 则2221212124416()2939x x x x x x +=+-=+=， 故选：C ．13．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则12(x x += )A ．23B ．109C ．89D ．289【解析】解：32()f x x bx cx d =+++，由图象知，10b c d -+-+=，0000d +++=， 8420b c d +++=，0d ∴=，1b =-，2c =-22()32322f x x bx c x x ∴'=++=--． 由题意有1x 和2x 是函数()f x 的极值，故有1x 和2x 是()0f x '=的根，1223x x ∴+=， 故选：A ．14．函数2()()ax b f x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a <，0b >，0c <B ．0a >，0b <，0c <C ．0a >，0b <，0c >D ．0a <，0b >，0c >【解析】解：依题意，函数()f x 的定义域为{|}x x c ≠-，从函数图象上看，0c ->，故0c <， 当0x =时，()0f x <，所以20b c<，所以0b <， 根据函数图象，当x →∞时，0ax b +>，故0a >，故选：B ．15．函数2()()ax b f x x c +=+的图象大致如图所示，则下列结论正确的是( )A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b >，0c <C ．0a <，0b <，0c >D ．0a >，0b >，0c < 【解析】解：函数2()()ax b f x x c +=+， x c ∴=-时，函数值不存在，结合函数图象得0c >，排除B 和D ； 当0x =时，(0)f b =，结合函数图象得0b >，排除C ． 故选：A ．16．函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a <，0b <，0c >，0d >D ．0a >，0b >，0c >，0d < 【解析】解：由图可知，(0)0f d =>， 32()f x ax bx cx d =+++，2()32f x ax bx c '∴=++， 从图象可知，()f x 先递增，后递减，再递增，且极大值点和极小值点均大于0， 其导函数的图象大致如下：0a ∴>，03ba ->，△2(2)430b ac =->，(0)0f '>，0a ∴>，0b <，0c >．故选：A ．17．函数22||(2)sin x x y x e x =-在[2-，2]的图象大致为() A ．B ．C ．D ．【解析】解：根据题意，函数22||(2)sin x x y x e x=-在[2-，2]中，必有0x ≠；又由222||2||()()[2()](2)()sin()sin x x x x f x x e x e f x x x ---=--=--=--，函数为奇函数，排除B ，f （1）12(2)1sin1sin1e e -=-=≈-，排除D ， f （2）224(22)2sin 2e =⨯-≈，排除C ； 故选：A ．18．函数2||2x y x e =-+在区间[2-，2]上的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：根据题意，函数2||()2x y f x x e ==-+，有f （2）280e =-+<，排除A ，又由(0)1f =，11()122f =-+>，f （1）21e =-+<，排除C 、D ，故选：B ．19．函数2||22x y x =-在[2-，2]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：函数2||22x y x =-在[2-，2]是偶函数，排除选项B 、D ， 当2x =时，f （e ）40=>，排除选项A ． 故选：C ．20．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．2()||f x ln x x =-B ．()||||f x ln x x =-C ．2()2||f x ln x x =-D ．()2||||f x ln x x =- 【解析】解：由图可知，函数()f x 为偶函数，于是只需考查0x >的情况即可， 且当0x >时，()f x 的极大值点小于1．选项A ，2()f x lnx x =-，1()2f x x x'∴=-，令()0f x '=，则x =，当x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当x ∈，)+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x ∴在(0,)+∞上的极大值点为1x =<，符合题意； 同理可得，选项B 中函数对应的极大值点为1x =， 选项C 中函数对应的极大值点为1x =，选项D 中函数对应的极大值点为21x =>，均不符合题意， 故选：A ．21．已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．1()||f x ln x x =-B ．1()||f x ln x x =+C ．1()||f x ln x x=- D ．1()||||f x ln x x =+【解析】解：选项A ，f （1）1=-与图象矛盾，故A 错误； 选项C ，1()10f e e=-<与图象矛盾，故C 错误；选项D ，(1)1f -=与图象矛盾，故D 错误． 故选：B ．22．函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．21()2x x f x -=B ．()2(||1)x f x x =-C ．()||||f x ln x =D ．()1x f x xe =-【解析】解：由图象可知，函数的定义域为R ，故排除C ； 由f （1）0=可知，故排除D ； 当x →-∞时，()0f x →，故排除A ； 故选：B ．23．已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A ．||()x ln x f x e = B ．()||x f x e ln x = C ．||()ln x f x x=D ．()(1)||f x x ln x =-【解析】解：由图象可知，当x →+∞时，()0f x →，当x →-∞时，()f x →+∞ 对于A ：满足要求，对于B ：当x →+∞时，()||x f x e ln x =→+∞，不满足， 对于C ：当x →-∞时，()||0x f x e ln x =→，不满足， 对于D ：当x →-∞时，()(1)||f x x ln x =-→+∞，不满足， 故选：A ．24．已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是( )A ．2()||xf x ln x =B ．2||()||x f x ln x =C ．21()1f x x =- D ．1()1||||f x x x =-【解析】解：由函数的图象可知函数是偶函数，选项A 函数是奇函数不成立．0x =，函数没有意义，所以选项C 的函数不成立； 1x >时，11()11||||f x x x x x==--，函数是减函数，所以选项D 不成立；故选：B ．25．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )A ．||()cos x f x e x =B ．()||cos f x ln x x =C ．||()cos x f x e x =+D ．()||cos f x ln x x =+【解析】解：由图可知()02f π>，故可排除A ，B ；对于||:()cos x C f x e x =+，当(0,1)x ∈时()0f x >，故可排除C ． 故选：D ．26．已知函数()f x 的局部图象如图所示，则()f x 的解析式可以是( )A ．1||()sin2x f x ex π= B ．1||()cos2x f x ex π= C ．()||sin2f x ln x x π= D ．()||cos2f x ln x x π=【解析】解：由图可知，函数()f x 为偶函数，可排除选项A 和C ； 对于选项B 和D ，都有f （1）0=， 当(0,1)x ∈时，1||()cos02x f x e x π=>，与函数图象不符；()||cos02f x ln x x π=<，与函数图象符合，所以选项B 错误． 故选：D ．。
导数中的“看图说话”问题
２ ／１ ０
一
八 ’ ／ ～ 范 围为（ ７ ， １ ５ —６ ｌ ｎ ３ ） ， 如图 ４ ．
—
ｌ
｜Ｖ
／ ＼ ／
数） ， 下 面 ４个 图 象 中 ， ｙ一
， （ ） 的图象 大致 是 （ ） ．
２ 一
点 从 以上 的解答 我们可 以 图４ 评 看 出， 用 导数 来 探 讨 函数 一，（ ｚ ） 的 图象 与
究函数 图象 端 点的极 限情况 ） ； ④ 画 出 函数 ． 厂 （ ） 的草图， 观 察 与 ｚ轴 的交 点 情 况， 列不等 式 ；
．
一
２
一 ２ ： ＼
Ａ
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Ｂ
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⑤ 解 不 等式得 解．
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一
７ ＿ 一 １ ｒ
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．
－ ２ 产 ｔ ｏ ２ ｊ
６ １ ｎ ｚ ＋ ， 是 否存 在 实 数 ｍ， 使得 Ｙ —Ｌ 厂 （ ） 的 图象 与 —ｇ （ ｚ ） 的图象 有 且 只有 ３个 不 同 的交 点 ？若 存 在 ， 求 出 ｍ 的取值 范 围 ； 若不 存在 ， 请说 明理 由．
Ｑ 析 由 题 意， 该 函 数的 定 义 域ｘ ＞ Ｏ ， 且ｆ （ ） 一
２ ａ ｘ ＋１ ／ ｚ ． 因 为存 在 垂 直 于 轴 的 切 线 ， 故 此时斜 率 为 ０ ， 问 题 转 化 为 ｚ＞ ０范 围 内 导 函 数
ｆ （ ） 一２ ａ ｘ ＋１ ／ ｘ存 在 零 点． 再 将 之 转 化 为 ｇ（ ） 一
一
Ｑ 解 析 令厂 （ ｚ ） 一 ｇ （ ） ， 得ｇ （ ） 一 （ ） 一 ０ ． 因 为
【高中数学】导数知识点梳理(附题型答题技巧)
高中数学导数知识点梳理一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=图片处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义：曲线的切线，当点图片趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点图片趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=图片处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数：当x变化时，图片便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作图片，即二. 导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四.推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4)一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
高考数学有哪些应试技巧
高考数学有哪些应试技巧高考数学有哪些应试技巧_高频考点学好数学的关键是方法的掌握，数学不仅是一门科学，而且是一种普遍适用的技术。
它是科学的大门和钥匙，学数学是令自己变的理性的一个很重要的措施，数学本身也有自身的乐趣。
下面是小编为大家整理的高考数学有哪些应试技巧，希望能帮助到大家!高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。
首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。
一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。
可以说是学好数学的两种最基本能力，在数学试卷中的考查无处不在。
并且在每年的阅卷中因为这两种能力不好而造成的失分占有相当的比例。
2023版新高考数学总复习专题四导数的应用 课件
含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论,但始终要注意定义域 及分类讨论的标准. 2.已知函数的单调性求参数范围 注意参数在导函数解析式中的位置,先尝试分离参数,将问题转化为求解 对应函数的最值问题;若不能分离参数或分离参数后对应函数的单调性 无法利用导数解决,则可以直接转化为求解含参内,函数的极值不一定唯一,在整个定义 域内可能有多个极大值和极小值;2)极大值与极小值没有必然关系,极大 值可能比极小值还小;3)导数等于零的点不一定是极值点(例如: f(x)=x3, f '(x)=3x2,当x=0时, f '(0)=0,但x=0不是函数的极值点);4)对于处处可导的函 数,极值点处的导数必为零. 2.函数的最值 1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值,函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
④∃x1∈M,∀x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
3.利用导数构造函数解不等式
常见的构造函数模型总结:
1)关系式为“加”型
①f '(x)+f(x)≥0,构造y=exf(x),则y'=[exf(x)]'=ex·[f '(x)+f(x)].
②xf '(x)+f(x)≥0,构造y=xf(x),则y'=[xf(x)]'=xf '(x)+f(x).
x
1 x ln x
,则f '(x)=x
x2
=
1
ln x2
x
,当x>e时,
f
'(x)<0,所以函
数f(x)在(e,+∞)上单调递减,因为t≥2,所以t+3>t+2>e,所以f(t+3)<f(t+2),所
看图说话——一堂探究性学习课的教学设计
ｘ ５ 有 很 大 的教 学 价 值 ， 数 “ 形 结 合 思 想 ” 我 们 解 决 导 数 应 用 问题 的 一 颗 璀 璨 的 是
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学 生 经 过认 真计 算 后 ， 部 分 同 学 能 得 出答 案 ， 大 但 解 题 速 度 方 面 相 差 非 常 大 ， 要 是 方 法 选 择 不 同 造 成 主
教 师 ： 面 几 位 同 学 都 讲 得 非 常 有 道 理 ， 我 们 可 上 但 以对 学 生 ４的 回 答 作 一 补 充 ， ＿（ ） 导 后 得 到 的 二 对 厂－求 ｚ
次 函 数 所 对 应 的 方 程 判别 式必 须 大 于 ０ ／ ） ． （ 的解 析 式 可 能 有 另 外 的 结 构 特 征 ， 学 生 ３所 讲 的 是 我 们 最 常 但 见最熟悉的结构形式． 问 题 二 ： 函数 ｇ（ ） （ ） ３＋ ｂ ， 判 断 设 ｚ 一 ｚ一 （ ｒ ）试 ｇ ３ 的极 值 点 ？ （） ７
两 个 极 值 点 ｎ与 ．
明 珠 ． 者 由这 幅 图 围绕 一 道 高 考 题 ， 问 题 串 形 式 进 笔 以 行探究上了一节公开课．
１ 引 入 原 题
如 图 是 导 函 数 一 （ ） 图像 ， 标 记 的点 中 ， ｚ的 在 在 哪 一 点 处 ：１ （ ）导 函数 一 （ 有 极 大值 ？ （）导 函数 ） ２ — ｆ （ ） 极 小 值 ？ （ ）函数 一 ｚ 有极 大值 ？ （ ） ｚ 有 ３ （ ） ４ 函 数 一 厂 ｚ 有 极 小 值 ？ （） 教 师 ： 正 确 解 决 此 题 ， 同 学 们 先 来 回忆 函 数 极 要 请
２ 问题 探 究
导数及应用高考题及解析
导数及应用高考题及解析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1。
(2008山东文21题）设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．（Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ)设322()3g x x x =-,试比较()f x 与()g x 的大小． 2。
(2008山东理21）已知函数1()ln(1),(1)nf x a x x =+--其中n ∈N ＊,a 为常数。
（Ⅰ)当n =2时，求函数f (x ）的极值;（Ⅱ）当a =1时，证明：对任意的正整数n , 当x ≥2时，有f （x ）≤x —1。
3.（2009山东文21题）已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠ （1） 当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2） 已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围.4.（2010山东文10题)观察2'()2x x =，4'2()4x x =，(cos )'sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()()g x f x 为的导函数，则()g x -=（A ）()f x(B)()f x -（C ）()g x（D)()g x -5。
（2010山东文21题)已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；，在点（时，求曲线))2(2)(1f x f y a =-= （Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性． 6. （2011山东理16题)已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠且， 当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1),x n n n N ∈+∈，则n =__________。
高考数学二轮复习考点知识与题型专题解析20---导数的简单应用
高考数学二轮复习考点知识与题型专题解析导数的简单应用微专题1导数的几何意义及其应用导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P 处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．『典型题训练』1．若过函数f(x)＝ln x－2x图象上一点的切线与直线y＝2x＋1平行，则该切线方程为()A．2x－y－1＝0B．2x－y－2ln2＋1＝0C．2x－y－2ln2－1＝0D．2x＋y－2ln2－1＝02．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l过定点()A．(0，2) B．(1，0)C．(1，a＋1) D．(e，1))，则曲线y＝f(x)在x＝0 3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝cos x－xf′(π2处的切线方程是()A．2x－y－1＝0 B．2x＋y＋1＝0C．x－2y＋2＝0 D．x＋2y＋1＝04．已知函数f(x)＝a e x＋x2的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝(2e+2)x＋b，那么ab＝()A．2 B．1 C．－1 D．－25．[2021·重庆三模]已知曲线C1：f(x)＝e x＋a和曲线C2：g(x)＝ln (x＋b)＋a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值范围是()，+∞)B．[0，＋∞)A．[−94]C．(−∞，1]D．(−∞，94在点(－1，－3)处的切线方程为________________．6．[2021·全国甲卷(理)]曲线y＝2x−1x+2微专题2利用导数研究函数的单调性『常考常用结论』导数与单调性的关系1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．『提分题组训练』1．[2021·山东烟台模拟]已知a＝ln12 020+2 0192 020，b＝ln12 021+2 0202 021，c＝ln12 022+2 0212 022，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b2．函数f(x)＝x2－a ln x在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(0，2] B．(2，＋∞)C．(－∞，2] D．(－∞，2)3．已知函数f(x)＝23x3－ax2＋4x在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是()A．(2√2，＋∞) B．[2√2，＋∞)C．(－∞，－2√2) D．(－∞，－2√2]4．若函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈(－π，0)，f′(x)sin x<f(x)cos x恒成立，则()A．√2f(−5π6)>f(−3π4)B．f(−5π6)>√2f(−3π4)C．√2f(−5π6)<f(−3π4)D．f(−5π6)<√2f(−3π4)5．定义在R上的函数f(x)满足f(x)>1－f′(x)，f(0)＝6，则不等式f(x)>1＋5e x(e为自然对数的底数)的解集为()A．(0，＋∞) B．(5，＋∞)C．(－∞，0)∪(5，+∞) D.(−∞，0)6．[2021·山东济南一模]设a＝2022ln2020，b＝2021ln2021，c＝2020ln2022，则() A．a>c>b B．c>b>aC．b>a>c D．a>b>c微专题3利用导数研究函数的极值、最值『常考常用结论』导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最大者”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最小者”．『提分题组训练』1．已知函数f(x)＝12sin2x＋sin x，则f(x)的最小值是()A．－3√32B．3√32C．－3√34D．3√342．[2021·全国乙卷(理)]设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则()A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜a 2D ．ab ＞a 23．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则点(a ，b )为() A ．(3，－3) B ．(－4，11) C ．(3，－3)或(－4，11) D ．(4，11)4．若函数f (x )＝x 3－3x 在区间(2a ，3－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是() A ．(－3，1) B ．(－2，1) C ．(−3，−12) D ．(－2，－1]5．若函数f (x )＝12e 2x －m e x －m2x 2有两个极值点，则实数m 的取值范围是() A ．(12，+∞) B ．(1，＋∞) C ．(e 2，+∞) D ．(e ，＋∞) 6．[2021·山东模拟]若函数f (x )＝{2x−2−2m ，x <12x 3−6x 2，x ≥1有最小值，则m 的一个正整数取值可以为________．参考答案导数的简单应用微专题1导数的几何意义及其应用典型题训练1．解析：由题意，求导函数可得y ′＝1x －2， ∵切线与直线y ＝2x ＋1平行， ∴1x －2＝2， ∴x ＝14，∴切点P 坐标为(14，−2ln 2−12)，∴过点P 且与直线y ＝2x ＋1平行的切线方程为y ＋2ln2＋12＝2(x −14)，即2x －y －2ln2－1＝0.故选C.答案：C2．解析：由f (x )＝ax －ln x ＋1⇒f ′(x )＝a －1x ，f ′(1)＝a －1，f (1)＝a ＋1，故过(1，f (1))处的切线方程为：y ＝(a －1)(x －1)＋a ＋1＝(a －1)x ＋2，故l 过定点(0，2)．故选A.答案：A3．解析：∵f (x )＝cos x －xf ′(π2)， ∴f ′(x )＝－sin x －f ′(π2)，∴f ′(π2)＝－sin π2－f ′(π2)＝－1－f ′(π2)， 解得：f ′(π2)＝－12，∴f (x )＝cos x ＋12x ，f ′(x )＝－sin x ＋12，∴f (0)＝1，f ′(0)＝12，∴y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －1＝12x ，即x －2y ＋2＝0.故选C.4．解析：因为f (x )＝a e x ＋x 2，所以f ′(x )＝a e x ＋2x ，因此切线方程的斜率k ＝f ′(1)＝a e ＋2，所以有a e ＋2＝2e ＋2，得a ＝2，又切点在切线上，可得切点坐标为(1，2e ＋2＋b )， 将切点代入f (x )中，有f (1)＝2e ＋1＝2e ＋2＋b ，得b ＝－1， 所以ab ＝－2.故选D. 答案：D5．解析：f ′(x )＝e x ，g ′(x )＝1x+b ，设斜率为1的切线在C 1，C 2上的切点横坐标分别为x 1，x 2，由题知e x 1＝1x2+b＝1，∴x 1＝0，x 2＝1－b ，两点处的切线方程分别为y －(1＋a )＝x 和y －a 2＝x －(1－b )， 故a ＋1＝a 2－1＋b ，即b ＝2＋a －a 2＝－(a −12)2＋94≤94.故选D. 答案：D6．解析：y ′＝(2x−1x+2)′＝2(x+2)−(2x−1)(x+2)2＝5(x+2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(−1+2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即y ＝5x ＋2.答案：y ＝5x ＋2微专题2利用导数研究函数的单调性提分题组训练1．解析：构造函数f (x )＝ln x ＋1－x ，f ′(x )＝1x－1＝1−x x，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (12 020)>f (12 021)>f (12 022)，a >b >c .故选A.2．解析：由题意得，f ′(x )＝2x －ax ≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤2x 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 因为2x 2在x ∈[1，＋∞)的最小值为2， 所以m ≤2.故选C. 答案：C3．解析：f ′(x )＝2x 2－2ax ＋4，由题意得∃x ∈(－2，－1)，使得不等式f ′(x )＝2(x 2－ax ＋2)<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a <(x +2x )max ，令g (x )＝x ＋2x ，x ∈(－2，－1)， 则g ′(x )＝1－2x 2＝x 2−2x 2，令g ′(x )>0，解得－2<x <－√2， 令g ′(x )<0，解得－√2<x <－1，故g (x )在(－2，－√2)上单调递增，在(－√2，－1)上单调递减， 故g (x )max ＝g (－√2)＝－2√2，故满足条件的a 的范围是(－∞，－2√2)， 故选C. 答案：C4．解析：因为任意x ∈(－π，0)，f ′(x )sin x <f (x )cos x 恒成立， 即任意x ∈(－π，0)，f ′(x )sin x －f (x )cos x <0恒成立， 又x ∈(－π，0)时，sin x <0，所以[f (x )sin x ]′＝f ′(x )sin x−f (x )cos x(sin x )2<0，所以f (x )sin x 在(－π，0)上单调递减， 因为－5π6<－3π4，所以f(−5π6)sin(−5π6)>f(−3π4)sin(−3π4)，即f(−5π6)−12>f(−3π4)−√22，所以√2f (−5π6)<f (−3π4)，故选C.答案：C5．解析：设g (x )＝e x f (x )－e x ，因为f (x )>1－f ′(x )，所以g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]>0，所以g (x )是R 上的增函数， 又g (0)＝e 0f (0)－e 0＝5，所以不等式f (x )>1＋5e x 可化为e xf (x )－e x >5，即g (x )>g (0)，所以x >0.故选A.答案：A6．解析：令f (x )＝ln xx+1且x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝1+1x−ln x (x+1)2，若g (x )＝1＋1x －ln x ，则在x ∈(0，＋∞)上g ′(x )＝－1x 2−1x <0，即g (x )单调递减， 又g (e)＝1e >0，g (e 2)＝1e 2－1<0，即∃x 0∈(1e ，e 2)使g (x 0)＝0， ∴在(x 0，＋∞)上g (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )单调递减； ∴f (2021)<f (2020)，有ln 20212 022<ln 20202 021，即a >b ，令m (x )＝ln xx−1且x ∈(0，1)∪(1，+∞)，则m ′(x )＝1−1x−ln x (x−1)2，若n (x )＝1－1x －ln x ，则n ′(x )＝1x (1x －1)，即在x ∈(0，1)上n (x )单调递增，在x ∈(1，＋∞)上n (x )单调递减，∴n (x )<n (1)＝0，即m ′(x )<0，m (x )在x ∈(1，＋∞)上递减， ∴m (2022)<m (2021)，有ln 20222 021<ln 20212 020，即b >c ，故选D.答案：D微专题3利用导数研究函数的极值、最值提分题组训练1．解析：由题得f ′(x )＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)， 所以当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )取得最小值时，cos x ＝12，此时sin x ＝±√32， 当sin x ＝－√32时，f (x )＝sin x cos x ＋sin x ＝－3√34； 当sin x ＝√32时，f (x )＝sin x cos x ＋sin x ＝3√34； 所以f (x )的最小值是－3√34.故选C.答案：C 2．解析：当a >0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图1所示，观察可知b >a .当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .综上，可知必有ab >a 2成立．故选D.答案：D3．解析：由f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2，求导f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，由函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则{f(1)=10f′(1)=0，即{1−a−b+a2=103−2a−b=0，解得{a=−4b=11或{a=3b=−3，当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，此时f(x)在定义域R上为增函数，无极值，舍去．当a＝－4，b＝11，f′(x)＝3x2＋8x－11，x＝1为极小值点，符合题意，故选B.答案：B4．解析：因为函数f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得最大值，又f(－1)＝f(2)＝2，且f(x)在区间(2a，3－a2)上有最大值，所以2a<－1<3－a2≤2，解得－2<a≤－1，所以实数a的取值范围是(－2，－1]故选D.答案：D5．解析：依题意，f′(x)＝e2x－m e x－mx有两个变号零点，令f′(x)＝0，即e2x－m e x－mx＝0，则e2x＝m(e x+x)，显然m≠0，则1m ＝e x+xe2x，设g(x)＝e x+xe2x，则g′(x)＝(e x+1)·e2x−(e x+x)·2e2xe4x ＝1−e x−2xe2x，设h(x)＝1－e x－2x，则h′(x)＝－e x－2<0，∴h(x)在R上单调递减，又h(0)＝0，∴当x∈(－∞，0)时，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(0，＋∞)时，h(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)max＝g(0)＝1，且x→－∞时，g(x)→－∞，x→＋∞时，g(x)→0，<1，解得m>1.∴0<1m故选B.答案：B6．解析：y＝2x－2－2m在(－∞，1)上单调递增，∴y＝2x－2－2m>－2m；当x≥1时，y＝2x3－6x2，此时，y′＝6x2－12x＝6x(x－2)．∴y＝2x3－6x2在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴y＝2x3－6x2在[1，＋∞)上的最小值为－8，函数f(x)有最小值，则－2m≥－8，即m≤4，故m的一个正整数取值可以为4.答案：4。
高中数学课件-导数中的综合问题-第4课时 极值点偏移问题
高考重难突破一导数中的综合问题第4课时极值点偏移问题已知函数 图象顶点的横坐标就是极值点 0.（1）若 = 的两根的中点满足1+22=0 ，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移.此时函数 在 =0两侧的函数值变化快慢相同，如图①.（2）若 = 的两根的中点1+22≠0 ，则极值点偏移，此时函数在 =0 两侧的函数值变化快慢不同，如图②、图③.技法一构造对称和（或差）法例1(2023·湖南郴州质量检测)已知函数=ln −122+1，若设函数的两个零点为1，2，证明：1+2>2.【证明】′=1−=1+1−>0，令′=0，解得=1.当0<<1时，′>0，在0,1上单调递增；当>1时，′<0，在1,+∞上单调递减，所以max=1=12>0,且当→0+时，→−∞，2=ln 2−1<0，则的两个零点1，2满足0<1<1<2<2.令=−2−,0<<1,则′=y+y2−=2K122−.当0<<1时，′>0，单调递增，所以<1=0，即<2−.因为0<1<1<2<2，所以0<2−2<1,所以2−2<2=1.又函数在0,1上单调递增，所以1>2−2,即1+2>2.对称变换求极值点偏移的步骤第一步：求导，获得的单调性，极值情况，求出的极值点0，再由1=2得出1,2的取值范围；第二步：构造辅助函数（对结论1+2><20,构造=−20−；对结论12><02,构造=−02,）求导，限定1或2的范围，判定符号，获得不等式；第三步：代入1（或2），利用1=2及的单调性证明结论.【对点训练】已知函数=−1e−，∈.设1,2是函数的两个零点，证明：1+2<0.证明：令=−1e−=0，则=−1e.设=−1e，则′=⋅e，当<0时，′<0,在−∞,0上单调递减，当>0时，′>0,在0,+∞上单调递增.所以min=0=−1，且→−∞时，→0,当>1时，>0.所以，当−1<<0时，有两个零点1，2，且12<0，1=2=0，不妨设1<0，2>0，则−2<0.令=−−=−1e+1+e−，则′=e−e−，当<0时，′=e−e−>0，此时在−∞,0上为增函数，所以<0,即=−−<0，即<−.因为−2<0，所以−2<2,因为1=2=0，所以−2<1,因为在−∞,0上为减函数，所以−2>1，即1+2<0.技法二消参减元法例2已知函数=−2e+−12有两个零点.（1）求的取值范围；【解】′=−1e+2−1=−1e+2.①设=0，则=−2e，只有一个零点.②设>0，则当∈−∞,1时，′<0；当∈1,+∞时，′>0.所以在−∞,1上单调递减，在1,+∞上单调递增.又1=−e<0，2=>0，取满足<0且<ln2，则>2−2+−12=2−32g>0，故存在两个零点.③设<0，由′=0得=1或=ln−2.若≥−e2，则l n−2≤1，故当∈1,+∞时，′>0，因此在1,+∞上单调递增.又当≤1时，<0，所以不存在两个零点.若<−e2，则l n−2>1，故当∈ 1,ln−2时，′<0；当∈ln−2,+∞时，′>0.因此在1,ln−2上单调递减，在ln−2,+∞上单调递增.又当≤1时，<0，所以不存在两个零点.综上，的取值范围为0,+∞.（2）设1，2是的两个零点，证明：1+2<2.证明：不妨设1<2，由（1）知1∈−∞,1，2∈1,+∞，2−2∈−∞,1,又在−∞,1上单调递减，所以1+2<2等价于1>2−2，即2−2<0.由于2−2=−2e2−2+2−12，而2=2−2e2+2−12=0，所以2−2=−2e2−2−2−2e2.设=−x2−−−2e，则′=−1e2−−e.所以当>1时，′<0，而1=0，故当>1时，<0.从而2=2−2<0，故1+2<2.消参减元，主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点，进而建立参数与极值点之间的关系，消参或减元，从而简化目标函数.其基本解题步骤如下：（1）建立方程：利用函数的导函数，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键——导函数解析式中使导函数变号的因式部分；（2）确定关系：根据极值点所满足的方程，建立极值点与方程系数之间的关系；（3）构建函数：根据消参、减元后式子的结构特征，构造相应的函数；（4）求解问题：利用导数研究所构造的函数的单调性、极值、最值等，解决相应的问题.【对点训练】已知函数=122−+En .若函数有两个极值点1，2，证明：1+2>−ln 22−34.证明：由题意得，′=−1+=2−r>0.因为函数有两个极值点1，2，所以方程2−+=0在0,+∞上有两个不同的实数根1，2，则&1+2=1>0，&12=>0，且=1−4>0，所以0<<14.由题意得1+2=1212−1+En 1+1222−2+En 2 =1212+22−1+2+En12=121+22−12−1+2+En12=12−−1+En =En −−12.令ℎ=En −−12 0<<14，则ℎ′=ln <0，所以ℎ在0,14上单调递减，所以ℎ>ℎ14=−ln 22−34，所以1+2>−ln 22−34.技法三比（差）值换元法例3已知函数=Bln +（，为实数）的图象在点1,1处的切线方程为=−1.（1）求实数，的值及函数的单调区间；【解】′=1+ln >0，由题意得&′1==1，&1==0，解得&=1，&=0.令′=1+ln =0，解得=1e.当>1e时，′>0，在1e,+∞ 上单调递增；当0<<1e时，′<0，在0,1e上单调递减.所以的单调递减区间为0,1e，单调递增区间为1e,+∞ .（2）设函数=+1，证明：1=21<2时，1+2>2.证明：由（1）得=En >0，故=+1=ln +1>0，由1=21<2,得l n 1+11=ln 2+12，即2−112=ln21>0.要证1+2>2，即证1+2⋅2−112>2ln21,即证21−12>2ln21.设21=>1，则需证−1>2ln >1.令ℎ=−1−2ln >1，则ℎ′=1+12−2= 1−12>0.所以ℎ在1,+∞上单调递增，则ℎ>ℎ1=0，即−1>2ln .故1+2>2得证.比（差）值换元的目的也是消参，就是先根据已知条件建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比（或差）作为变量，实现消参、减元的目的.设法用两个极值点的比值或差值表示所求解的不等式，进而转化为相应的函数问题求解，多用来研究含对数（或指数）式的函数的极值点偏移问题.其基本解题步骤如下：（1）建等式：利用极值点所满足的条件建立两个关于极值点1，2的方程；（2）设比差：根据两个数值之间的大小关系，选取两数之商或差作为变量，建立两个极值点之间的关系；（3）定关系：用一个极值点与比值或差值表示另一个极值点，代入方程.通过两个方程之差或商构造极值点与比值或差值之间的关系，进而通过解方程用比值或差值表示两个极值点；（4）构函数：将关于极值点的目标代数式用比值或差值表示出来，构造相应的函数；（5）解问题：利用导数研究所构造的函数的单调性、极值、最值等，解决相应的问题.【对点训练】已知函数=e−B有两个零点1，21<2.证明：2−1<21−2.证明：由题意得&e1=B1,&e2=B2,令=2−1>0，两式相除得e=e2−1=21=1+1，即1=e−1>0，欲证2−1<21−2，即证<2 e−1 −2，即证2+2r2e<2.记ℎ=2+2r2e>0，ℎ′=2r2e− 2+2r2 ee2=−2e<0，故ℎ在0,+∞上单调递减，所以ℎ<ℎ0=2，即2+2r2e<2，所以2−1<21−2得证.。
步步高高考数学总复习导数的概念及其运算理新人教BPPT学习教案
题型三
导 数 的 几 何 意义
【例 3】 已知函数 f(x)＝x3 －4x2＋5x－4. (1)求曲线 f(x)在点(2，f(2)) 处的切线方程； (2)求经过点 A(2，－2)的曲 线 f(x)的切线方程．
思维启迪 解析 思维升华
(1)∵f′(x) ＝ 3x2 － 8x ＋ 5 ， ∴f′(2)＝1， 又 f(2)＝－2，
知识回顾 理清教材
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
f′xgx－fxg′x
(3)gfxx′＝
[gx]2
(g(x)≠0)．
6．复合函数的导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间 的关系为 y′x＝ y′u·u′x ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的 导数与 u 对 x 的导数的乘积．
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基础知识·自主学习
要 点梳理
4．基本初等函数的导数公式
y＝f(x)
y＝c y＝xn(n∈N＋) y＝xμ (x>0，μ≠0 且 μ∈Q) y＝ax (a>0，a≠1) y＝ex y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝ln x y＝sin x y＝cos x
知识回顾 理清教材
【例 3】 已知函数 f(x)＝x3 －4x2＋5x－4. (1)求曲线 f(x)在点(2，f(2)) 处的切线方程； (2)求经过点 A(2，－2)的曲 线 f(x)的切线方程．
步步高高考数学总复习导数的概念及其 运算理新人教BPPT课件
会计学
1
基础知识·自主学习
要 点梳理
知识回顾 理清教材
2．函数 f(x)在点 x0 处的导数
导数在函数中的应用专题
导数在函数中的应用专题高二数学组 崔占维高考对导数的应用的考查综合性较强，一般为解答题，着重考查以下几个方面：一是利用导数的几何意义来解题；二是讨论函数的单调性；三是利用导数研究函数的极值与最值．其中常涉及不等式的证明、方程根的讨论等问题.类型一 利用导数研究切线问题此类型问题常考查：导数的几何意义：(1)函数)(x f y =在0x x =处的导数)(0x f '就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率即)(0x f k '=;(2)曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-．此类型问题注意：求函数在某点处的切线与过某点处的切线问题时，要注意该点是否在曲线上，若非切点则需要设出切点，否则会出错。
[例1] (2012年高考安徽卷改编)设函数b aeae x f xx ++=1)()0(>a ．在点))2(,2(f 处的切线方程为x y 23=，求b a ,的值．[突破训练1] 已知函数x x x f -=3)(，(1)求曲线)(x f y =的过点(1，0)的切线方程；(2)若过x 轴上的点(a ，0)可以作曲线)(x f y =的三条切线，求a 的取值范围．类型二 利用导数研究函数的单调性问题此类型问题常考查：函数的单调性与导数的关系：在区间(a ，b)内，如果0)(>'x f ，那么函数)(x f 在区间(a ，b)上单调递增；如果0)(<'x f ，那么函数)(x f 在区间(a ，b)上单调递减．此类型问题注意：对于含参数的单调性的判断时要注意分类讨论；已知函数的单调性求参数的取值范围时，实际上是转化为0)(≥'x f 或0)(≤'x f 的恒成立问题。
[例2] (2012年高考山东卷改编)已知函数xek x x f +=ln )( (k 为常数，e ＝2.718 28…)，曲线)(x f y =在点(1，)1(f )处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求)(x f 的单调区间．[突破训练2]若函数x ax x x f 221ln )(2--=存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．类型三 利用导数研究函数的极值与最值问题此类型问题常考查：1．求函数)(x f y =在某个区间上的极值的步骤：⑴求)(x f 的定义域；⑵求导数)(x f '；⑶求方程)(x f '＝0的根0x ；⑷检查)(x f '在0x x =左右的符号：①左正右负则)(x f 在0x x =处取极大值；②左负右正则)(x f 在0x x =处取极小值．2．求函数)(x f y =在区间[a ，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数)(x f y =在区间(a ，b)内的极值(极大值或极小值)；(2)将)(x f y =的各极值与)(),(b f a f 进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．此类型问题注意：导数为零的点不一定是函数的极值点，它是函数在该点取得极值的必要不充分条件。
《导数的应用举例》课件
导数的未来发展前景
导数在数学、物理、工程等领域的应用将更加广泛 导数在机器学习、人工智能等领域的应用将逐渐增多 导数在金融、经济等领域的应用将逐渐深入 导数在教育、科普等领域的应用将逐渐普及
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汇报人：
导数与极值
导数在几何中的应用：求曲线的斜 率、切线、拐点等
极值的判断：利用导数判断函数在 某点处的极值
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极值的定义：函数在某点处的导数 为0，且该点两侧的导数符号相反
极值的应用：求函数的最大值和最 小值，解决实际问题
导数在物理中的 应用
导数与速度、加速度
导数与速度：导 数是描述函数在 某一点处变化率 的概念，可以用 于描述物体在某 一点的速度。
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导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的微分值
导数的性质
导数是函数在某一点的切线斜率
导数是函数在某一点的局部线性近 似
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导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的局部线性逼 近
导数与函数关系
导数描述了函数在某一点的 变化率
导数是函数的局部线性逼近
导数与最优化问题
导数在经济学中的应用：求解最优化问题 导数在经济学中的应用：求解边际效益 导数在经济学中的应用：求解边际成本 导数在经济学中的应用：求解边际利润
导数在其他领域 的应用举例
导数与计算机科学中的算法优化
导数在计算机科学中的作用：优化算法，提高计算效率 导数在算法优化中的应用：梯度下降法、牛顿法等 导数在机器学习中的应用：神经网络、深度学习等 导数在图像处理中的应用：图像平滑、边缘检测等
高三数学解题方法谈：导数中的“看图说话”
导数中的“看图说话”导数的引入，为研究函数的单调性、求最值提供了有力的工具，与传统的证明和各种求解技巧相比，导数的优势是简洁．使用导数首先要学会“看图说话”，因为导数往往和函数图象，各种图表联系紧密！例1 若函数2()f x x bx c=++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x'的图象是（）解析：()2f x x b'=+，由f（x）图象的顶点在第四象限得b＜0，则直线()2f x x b'=+的斜率为2，且直线在y轴的截距为负．易知，只有（A）符合要求．评注：解析几何中的许多问题是通过图象来表达出来的，因此要能够根据文字语言、图形语言的提示信息，准确读懂图表，并将隐藏其中的数学信息挖掘出来．例2 设()f x'是函数()f x的导函数，()f x'的图象如图1所示，则()f x的图象最有可能是（）解析：由()f x'的图象在x＜0，x＞2的符号为正，则()f x在x＜0，x＞2为增函数，当0＜x＜2时()f x'为负，则()f x在0＜x＜2为减函数，故选（C）．评注：其实，有许多看似无从下手的函数问题，如果有应用导数的意识的话，会变得简单起来．例3 已知函数32()(0)f x ax bx x a b ab=++∈≠R，，的图象如图2所示（12x x，为两个极值点），且12x x>，则有（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．Ａ．a ＞0，b ＞0 Ｂ．a ＜0，b ＜0 Ｃ．a ＜0，b ＞0 Ｄ．a ＞0，b ＜0 解析：因为12x x >，根据图象，显然有1212000x x x x <><，，，又12x x >，即1220x x x x ->+<，为f （x ）的两个极值点，求导数有2()321f x ax bx '=++，即方程23210ax bx ++=的 两个实根为12x x ，．由根与系数关系知12122133bx x x x a a +=-=，．因此a ＜0，b ＜0．故选Ｂ．。
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导数中的“看图说话”
导数的引入，为研究函数的单调性、求最值提供了有力的工具，与传统的证明和各种求解技巧相比，导数的优势是简洁.使用导数首先要学会“看图说话”，因为导数往往和函数图象，各种图表联系紧密.
一、解析几何中的许多问题是通过图象来表达出来的，因此要能够根据文字语言、数学语言、图形语言的提示信息，准确读懂图表，并将隐藏其中的数学信息挖掘出来. 例１ 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ ）
解析：()2f x x b '=+，由()f x 图象的顶点在第四象限得0b <，则直线()2f x x b '=+的斜率为2，且直线在y 轴的截距为负．易知，只有Ａ符合要求．
二、函数的增减性，由导数值的符号反映出来，由导函数图象可大略知道函数的图象，做此类题需要对导数含义深刻理解．
例2 已知函数()y xf x '=的图象如图1所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =图象大致为（ ）
解析：由图1知，当1x <-时，()0x f x '<·，
()
0f x '>∴，()f x 为增函数，表现在图象上是上升的， 当10x -<<时，()0xf x '>．
()
0f x '<∴，()f x 为减函数，表现在图象上为下降． 当1x >时，()0xf x '>，
()
0f x '>∴，()f x 为增函数，表现在图象上为上升． 由以上分析知，Ｃ符合．
三、其实，许多看似无从下手的问题，如果有应用导数的意识的话，也许会比较简单． 例3 已知函数32()(0)f x ax bx x a b ab =++∈≠R ，，的图象如图2所示（12x x ，为两个极值点），且12x x >，则有（ ）
Ａ．00a b >>，
Ｂ．00a b <<， Ｃ．00a b >>，
Ｄ．00a b ><，
解析：因为12x x >，根据图象，显然有1200x x <>，，120x x <·，又12x x >，即12x x ->，
120x x +<．
12x x ，为()f x 的两个极值点，求导数有2()321f x ax bx '=++，即方程23210ax bx ++=的两个实根为12x x ，，由根与系数的关系1223b x x a +=-，1213x x a =·，因此00a b <<，．故选Ｂ．。