第5章矩阵分析ppt
北京工业大学线性代数第五章第三节 矩阵的对角化.ppt
l1 l2 L lr 0,
从而 1,2 ,L ,s , 1, 2 ,L , r 线性无关．
8
对于A的不同的特征值的个数作归纳，可得到 定理3：设 1,2 ,L , m 是数域P上n 阶矩阵A 的 不同的特征值， j1, j2 ,L , jrj 是A的属于 j 的 线性无关的特征向量，j 1, 2,L , m, 则向量组
以上两式相减得
k1(1 2 )1 k2 (1 2 )2 L ks (1 2 )s ,
由于1 2，因此由上式得
k11 k22 L kss ,
7
由于 1,2 ,L ,s 线性无关，
则
k1 k2 L ks 0,
代入①式得
l11 l22 L lr r
由于 1, 2 ,L , s 线性无关，
解：Q A1 21 , A2 22 , 1 2, 2 2 是A的两个不同的特征值, 1 ,2 线性无关。令
P (1,2)
1 1
1 1
,
1
P 1
2 1
1 2 1
,
2 2
22
则
P 1 AP =
2 0
0 2
,
因此
A P
2 0
0 2
P 1
所以
A10 P
2 0
0 2
10
P 1
6
k1 A1 k2 A2 L ks As l1 A1 l2 A2 L lr Ar
从而有
k111 k212 L ks1s l121 l222 L lr2r ,
①式两边乘以 2 得
k121 k222 L ks2s l121 l222 L lr2r ,
12
例1 已知
A
3 5
第五章_矩阵的对角化
(2) A的迹 trA a11 a22
注： A可逆
A不可逆
A的n个特征值全不为零。 0是A的特征值。
20（74）
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
性质2：假设 x 是A的对应于特征值 的特征向量. k是常数，m是正整数，则 (1) k , m 分别是kA, Am的特征值，且x 是
例5.6 假设A为n阶方阵，且 A2 I ，求A的特征值.
17（74）
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
2. 特征值、特征向量的求法
1°数值矩阵特征值、特征向量的求法
第一步：求出特征方程 f ( ) | I A | 0 的全部根1,2, …,n，它们就是A的全部特征根; 第二步：求出相应的齐次线性方程组 ( A i I ) X 0 的全体非零解，即可得对应于特征值i的 全部特征向量.
2. 特征值、特征向量的求法
14（74）
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
n阶方阵
非零向量
Ax = x (A－ I )x = 0
特征值
特征向量
特征多项式
|A－I| = 0
特征方程
a11– a21 |A– I | = … a n1
a12 … a1n a22– … a2n … … … an2 … ann–
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
例5.8 已知3阶方阵A的特征值为：1 4, 2 3 1 求： (1) B A2 3 A 4 I 的特征值及|B|. (2) C A 3 A
1
的特征值.
第5章特征值估计与广义逆矩阵
2
F
B
2 F
n2 max i, j
| bij
|2 ，
i j
n | tii t ii |2
i1
2
n | tij |2 2 i, j1
T TH 2
2
F
C
2 F
n2 max i, j
| cij
|2 ，
i j
所以有
|
Re k
|2
n2
max | i, j
bij
|2
，
|
Imk
|2
n2
max | i, j
i 1
i j
i , j1
i , j 1
所以得到
n
n
| i |2
T
2 F
A2 F
| aii |2 ．
i 1
i , j 1
由式(5-2)知结论中等号成立当且仅当
(5-3)
| tij |2 0 ．
i j
即 T 为对角阵，因此结论中等号成立当且仅当 A 酉相似于对角形矩阵， 也就是 A 为正规矩阵(定理 2-8)． 证毕.
5.1 特征值的界的估计
下面给出一些利用矩阵元素直接估计矩阵特征值上下界的方法，
为便于表达，对于 A (aij ) C nn ，记矩阵
B (bij )
A AH 2
， bij
aij
a ji 2
C
(cij )
A AH 2
， cij
aij
a ji 2
则 B 为 Hermite矩阵， C 为反 Hermite矩阵，且 A B C ．
例 已知矩阵
3 i 2 3i 2i
A 1
第五章 相似矩阵(2)
i的特征向量。因为 P可逆，得 A的n个特征向量线性无关。
(2) 充分性（命题：已知n阶方阵A有n个线性无关的特征 向量，则A相似于）
14
设A有n个线性无关的特征向量 P , P2 ,...Pn , 它们分别属于 1 A的特征值 1，2， n ..., AP A( P , P2 ,...Pn ) ( AP , AP2 ,...APn ) 1 1 (1 P , 2 P2 ,...n Pn ) 1 1 2 ( P , P2 ,...Pn ) 1 P n P 1 AP A相似于对角矩阵
2 1
T X 1 X 2 0 X 1与X 2正交。
20
定理10：设A为n阶实对称矩阵，则一定存在正交矩阵Q，使 1 2 T 1 Q AQ Q AQ ..., , 其中1，2， n为A的特征值
n
1
(2)当A可逆时, A是A的伴随矩阵A*的特征值;
是A-1的特征值;
(3)f(x)是x的一个一元多项式,则f()是f(A)的一个特征值,并且x仍 是矩阵A-1,A*,f(A)的分别对应于特征值
1
,
A
, f()的特征向量.
定理3：设1，2，m 是方阵A的m个互不相同的特征 值， X1，X2，Xm依次为与之相对应的特征向 量， 则X1，X2，Xm线性无关。 证明：采用数学归纳法进行证明 （1）当m=1时，∵X10，所以X1线性无关
令P ( X 1 , 2 ,... n ),则P正交， P 1 AP P T AP 1 0 B 0 1 1 T T T T T T 又( P AP ) P A P P AP T B 0 B 0, B T B , 所以B为n 1阶实对称矩阵，由归纳假设 存在n 1阶正交矩阵P1 , 使 P1 BP1 P1 BP1 diag{2 ,...,n }
2024版第5章矩阵分析ppt课件
矩阵函数以及矩阵微分方程等问题时，都可以利用若尔当标准型来简化
计算。
05
二次型及其标准型
二次型定义及性质
二次型定义
对称性
线性变换下的不变性
二次型的值
二次型是n个变量的二次多项式， 其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$为常 数，且$a_{ij} = a_{ ji}$。
若尔当标准型简介
01
若尔当标准型定义
对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=J$
为若尔当标准型，其中J由若干个若尔当块组成。
02
若尔当块
一个若尔当块是一个上三角矩阵，它的对角线上的元素相等，且对角线
上方的元素或者是1，或者是0。
03
若尔当标准型的应用
若尔当标准型在矩阵分析中有着广泛的应用，例如在求解矩阵的高次幂、
矩阵性质总结
结合律 $(AB)C = A(BC)$。
数乘结合律 $(kA)(lB) = kl(AB)$。
分配律
$(A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB$。
数乘分配律
$(k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB$。
02
矩阵变换与等价类
求解过程
先求出矩阵A的特征值，然后将其代 入(A-λE)X=0，解出对应的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵分析中的应用
判断矩阵是否可对角化
如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第三节 相似矩阵
定理 若定矩阵理A 与若矩矩阵阵 AB与相似矩,阵且B矩相阵似A, 且矩阵
可逆, 则矩可阵逆B, 也则可矩逆阵, B且也A可-1 逆与,B且-1A相-1似与. B-1 相似.
三、矩阵对角化的步骤
设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的 步骤如下：
步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A
有 s 个不同的特征值 1 , 2 , ···, s ，它们的重
数分别为 n1, n2 , ···, ns , 有 n1 + n2 + ···+ ns = n.
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - iE)x = 0
证毕
在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如
果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某
些运算. 例如, 如果令
P 11
32
,
A
7 9
86
.
不难验算,
P
1
AP
1 0
02 记为
.
如果我们要计算 A10 或 An , 直接计算, 运算 量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵 的性质,可得
相似矩阵具有下列性质：下设 A，B 是同阶 矩阵.
定理 3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
因而 A 与 B 有相同的特征值、相同的行列式.
证明 只需证证明A 与只需B 证有相A 同与的B特有征相多同项的式特即征多项 可. 推由论于 A可若与. nB由阶相于方似A阵,与所AB以与相, 对必似角有, 所矩可以阵逆,矩必阵有可P,使逆得矩阵 P
第五章相似矩阵
k 1
a1 x a0 .
则定义矩阵多项式
g( A) ak A ak 1 A
k
k 1
a1 A a0 I .
用例5的方法，读者可自证： 若g（A）是矩阵多项式， 0 为A的特征值，则g(0 )为
g（ 0） a k k a k 1 k 1 a1 0 a 0 0 0 的特征值。
例4 设n 阶方阵A 满足等式 A2 A， 证明A 的特征值为1或0。
证 设 由此
为A 特征值，则存在向量 X 0, 使 AX X .
2 2
A X A( AX ) A(X ) X . 又 A2 A， 故有 2 X X ,
即 ( ) X 0.
T
X k [0, 1, 1] , k 0 .
问题：从上面例子可以看到，的一个特征值对应着无 穷多个特征向量. 那么的一个重特征值对应着多少个 线性无关的特征向量？而一个特征向量又能否对应不 同的特征值？这都是有待讨论的问题.
注意：上面给出的特征值和特征向量的计算步骤主要 是针对具体的数值矩阵的. 求具有某些性质的非数值矩 阵的特征值，往往需要用定义讨论.
T
k 0 给出A关于
X k [1, 1, 2] .
4 的全体特征向量.
4 只对应一个线性无关的特征向量
[1, 1, 2] .
T
例3 求
3 1 1 7 5 1 A 6 6 2
的特征值和特征向量。 1 3 1 解 | I A | 7 5 1 ( 2 ) 2 ( 4) . 6 6 2
2
因此 X 0, 所以 2 0,即 1或0.
线性代数第5章 相似矩阵及二次型
aij
,
nn
是数，
a11 E A a21
a12
a22
a1n a2n
an1
an2
ann
是关于 的一个多项式，称为矩阵A
的特征多项式。
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求特征值、特征向量步骤：
(1) E A 0 求出 即为特征值;
（2）对每个特征值 , 求齐次线性方程 组 E A X 0 的非零解，即
Rn 中线性无关 的向量组，令：
1 1,
2
a2
T 2
1
T 1
1
1
3
a3
T 3
1
T 1
1
1
T 3
2
T 2
2
2
s
as
T s
1
T 1
1
1
T s
2
T 2
2
2
T s
s-1
T s-1 s-1
s-1
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3
2
T 3
2
T 2
2
2
1 1, 2, 1T
2
即为所求
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3. 正交矩阵
定义6： A是一个n阶实矩阵，
若 AT A E, 则称A为正交矩阵。
定理1：A是正交矩阵当且仅当
第五章矩阵分析（改）
第五章矩阵分析（改）第五章矩阵分析本章将介绍矩阵微积分的⼀些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识.§5.1 向量与矩阵的范数从计算数学的⾓度看，在研究计算⽅法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了⼗分重要的作⽤.⼀、向量的范数定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的⼀个实值函数，如果该函数关系还满⾜如下条件：1）⾮负性对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有x =0；2）齐次性对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3）三⾓不等式对任意V y x ∈,，有y x y x +≤+，则称此函数x （有时为强调函数关系⽽表⽰为?）为V 上的⼀种向量范数.例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义222212nx x x x+++=则2x 为n C 上的⼀种向量范数[i x 表⽰复数i x 的模].证⾸先，2n x C 是上的实值函数，并且满⾜1）⾮负性当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2）齐次性对任意k C ∈及n x C ∈，有22||||||kx k x ==；3）三⾓不等式对任意复向量1212(,,,),(,,,)T T n n x x x x y y y y ==，有222221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++++2221122()()()n n x y x y x y ≤++++++22111||2||||||nnni i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不等式）222222222||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+因此 222||||||||||||x y x y +≤+所以 2||||x 确为n C 上的⼀种向量范数例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义112||||||||||n x x x x =+++，1max i i nxx ∞≤≤=，则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数.证仅对后者进⾏证明. 1）⾮负性当0x ≠时，max 0i ixx ∞=>，⼜显然有00∞=；2）齐次性对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ，max max ;i i iikxkx k x k x ∞∞===3）三⾓不等式对任意向量1212(,,,),(,,,),T T n n x x x x y y y y ==()i i ii i iy x y x yx +≤+=+∞max maxi ii iy x max max +≤ =∞∞+y x .综上可知∞x 确为向量范数.上两例中的∞x x x ,,21是常⽤的三种向量范数.⼀般地，对于任何不⼩于1的正数p ，向量()T n x x x x ,,,21 =的函数pni p i px x11??=∑= 也构成向量范数，称为向量的p -范数.注（1）当1p =时，1;pxx =（2）当2p =时，2x 为2-范数，它是⾣空间范数；当i x 为实数时，12221()ni i x x ==∑为欧⽒空间范数；由p -范数的存在，可知向量的范数有⽆穷多种，⽽且，向量的范数并不仅限于p -范数.在验证向量的范数定义中，三⾓不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式，即：1、H?lder 不等式设正实数,p q 满⾜111,p q+=则对任意的,,n x y C ∈有11111()()nnnpq pqi ii i i i i x yx y ===≤∑∑∑2、Minkowski 不等式对任意实数1p ≥,及,,n x y C ∈有（111111()()()nnnpp ppppi i i i i i i x y x y ===+≤+∑∑∑）.例3 设()T n 1,,1,1 =为n 维向量，则1,,21===∞xn x n x各种范数值差距很⼤.但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，称为范数的等价性.定理1 设βα??,为有限维线性空间V 的任意两种向量范数（它们不限于p -范数），则存在正的常数12,C C ,使对⼀切向量x ，恒有βαβx C x xC 21≤≤ (1)证如果范数x α和x β都与⼀固定范数譬如2-范数2x 满⾜式（1）的关系，则这两种范数之间也存在式（1）的关系，这是因为若存在正常数12,C C ''和12,C C ''''，使 1222122,C x x C x C xx C x αββ''≤≤''''≤≤成⽴，则显然有1122||||||||||||C C x x C C x βαβ''''''≤≤ 令111222,C C C C C C ''''''==，则得式（1），因此只要对2β=证明或（1）成⽴即可.设V 是n 维的，它的⼀个基是12,,,n x x x ，于是V 中的任意向量x 可表⽰为1122n n x x x x ξξξ=+++从⽽，1122n n x x x x ααξξξ=+++可视为n 个变量12,,,n ξξξ的函数，记为12(,,,)n x α?ξξξ=，易证12(,,,)n ?ξξξ是连续函数，事实上，若令1122nn x x x x V ξξξ''''=+++∈,则 12(,,,)nx α?ξξξ''''=. 1212(,,,)(,,,)n n x x x x αααξξξ?ξξξ'''''-=-≤- 11111()()nn n nn n x x x x αααξξξξξξξξ''''=-++-≤-++-. 由于ix α(1,2,,)i n =是常数，因此i ξ'与i ξ充分接近时，12(,,,)nξξξ'''就与12(,,,)n ?ξξξ充分接近，所以12(,,,)n ?ξξξ是连续函数.所以在有界闭集{1212(,,,)1n S ξξξξξξ=+++=上，函数12(,,,)n ?ξξξ可达到最⼤值2C 及最⼩值1C .因此在S 中，i ξ不能全为零，所以10C >.记向量1212222nn y x x x xxxξξξ=+++，则其坐标分量满⾜22212122221nx x xxxξξξ+因此，y S ∈.从⽽有 11122220,,n C yC xx x αξξξ<≤=≤ ? ???. 但2,xy x =故 122x C C x α'≤≤. 即 12222C x x C x ≤≤.⼆、矩阵的范数定义 2 设V 是数域F 上所有n m ?矩阵的集合，A 是定义在V 上的⼀个实值函数，如果该函数关系还满⾜如下条件：对V 中任意矩阵A 、B 及F 中任意常数k 总有1）⾮负性 0≥A 并且仅当0=A 时，才有0=A ； 2）齐次性 A kkA =；3）三⾓不等式 B A B A +≤+；则称()?A是V 上的⼀种矩阵范数.例4 对n m C ?（或n m R ?）上的矩阵A ()ij a =定义∑∑===mi nj ij M a A111，∑∑===m i nj ijM aA1122，11max ij M i m j nA a ∞≤≤≤≤=，则∞M M M ,,21都是n m C ?（或n m R ?）上的矩阵范数.实⽤中涉及较多的是⽅阵的范数，即m n =的情形.定义 3 设F 是数域，?是n n F ?上的⽅阵范数.如果对任意的,n n A B F ?∈，总有AB A B ≤?，则说⽅阵范数?具有乘法相容性.注意：在某些教科书上，往往把乘法相容性直接纳⼊⽅阵范数的定义中作为第4个条件，在读书时，只要注意到各⾃定义的内涵就可以了.例 5 对n n C ?上的矩阵][A ij a =定义ij nj i a n A ≤≤?=,1max ，则?是⼀种矩阵范数，并且具备乘法相容性.证⾮负性与齐次性显然成⽴，另两条证明如下：三⾓不等式ij ij b a n B A +?=+max()max max ij ij n a b ≤+ B A +=；乘法相容性≤?=∑∑==n k kj ik nk kj ik b a n b a n AB 11max max()()B A b n a n ij ij =?≤max max ，证得A 为矩阵范数且具有乘法相容性.并不是所有的⽅阵范数都具有乘法相容性.例如对于22?R 上的⽅阵范数.M ∞就不具备相容性条件.此时ij j i M a A2,1m ax ≤≤=∞.取 1110,0111A B== ? ?????，∞M M BA ，⽽ 2M M M ABA B∞∞∞=>.定义4 如果n 阶矩阵A 的范数A 与n 维向量x 的范数x ，使对任意n 阶矩阵A 及任意n 维向量x 均有x A Ax ≤，则称矩阵范数A 与向量范数x是相容的.定理2 设x 是某种向量范数，对n 阶矩阵A 定义AxxAx A x x 1max max=≠==（2）则A 为⽅阵范数，称为由向量范数x 导出的矩阵范数，⽽且它具有乘法相容性并且与向量范数x 相容.证⾸先可证，由（2）式定义的函数关系||||A 满⾜与向量范数||||x 的相容性.对于任意n 阶矩阵A 及n 维向量x ，当0x ≠时，有0||||||||max ||||||||||||y Ax Ay A x y ≠≤=，即 ||||||||||||;Ax A x ≤（3）⽽当0x =时，||||0||||||||Ax A x ==，于是总有（3）式成⽴.容易验证||||A 满⾜范数定义中的⾮负性、齐次性及三⾓不等式三个条件，因⽽A 是⼀种⽅阵范数.并且，对任意n 阶矩阵,A B ，利⽤（2）式和（3）式可得maxmaxmaxx x x A BxABx Bx AB A A B xxx即说矩阵范数A 具备乘法相容性.⼀般地，把由向量p -范数p x 导出的矩阵范数记作p A .下⾯看常⽤的三种矩阵范数：例6 证明：对n 阶复矩阵[]i j A a =，有 1）11max nij j ni Aa ∞≤≤==∑，称为A 的列和范数.2）11max nij j nj Aa ∞≤≤==∑，称为A 的⾏和范数.证 1）设111max nnijikj ni i w a a≤≤===∑∑.若A 按列分块为12(,,,)n A ααα=则111max k j j nw αα≤≤==.任意n 维向量12(,,)T n x x x x =，有112211221111112111()max .n n n nn jj nAx x x x x x x x x x x w ααααααα≤≤+++≤+++≤+++≤＝于是，对任意⾮零向量x 有11Ax w x ≤. 以下证明存在⾮零向量k e 使11k kAe w e =.事实上，设k e 是第k 个分量为1⽽其余分量全为0的向量，则1k e =1,且1k ik i Ae a w =∑n=1＝,即11k kAe w e =.2）的证明与1）相仿，留给读者去完成. 例7 证明对n 阶复矩阵A ，有21max i i nA σ≤≤=，这⾥()n i i ,,2,1 =σ是A 的奇异值，称此范数为A 的谱范数.证设H A A 的全部特征根为12,,n λλλ不妨设11max i i nλλ≤≤=.于是11max i i nσσ≤≤==.因为H A A 为H -矩阵，故有⾣矩阵U ，使得,,H H U A AV diag λλλ=Λ=12n (,).如设12(,,,)n U u u u =则i u 是H A A 相应于特征根i λ的单位特征向量，即有,H i i i A A u u λ= 21iu =.对任意满⾜2||||1x =的复向量12(,,,)T n x x x x = ，有22||||()()H H Ax Ax Ax x ==H令H y U x =，则222222||||||||||||1H y U x x ===，说明y 亦为单位向量.若设12(,,,)T n y y y y =,则2221||||||1nii y y ===∑于是 22211||||||nHi i i Ax y y y λλ==Λ=≤∑.即有12Ax σ≤.由x 的任意性，便得21221max x A Ax σ==≤特别取1x u =，则有211111112H H H Au u A Au u u λλ==＝，即112Au σ=.这说明2Ax 在单位球⾯{}21,n x x x C =∈上可取到最⼤值1σ，从⽽证明了21221max x A Ax σ===各种矩阵范数之间也具有范数的等价性定理 3 设,a A A β是任意两种矩阵范数则有正实数12,,C C 使对⼀切矩阵A 恒有12a C A A C A ββ≤≤§5.2 向量与矩阵序列的收敛性在这⼀节⾥，我们将把数列极限的概念，扩展到向量序列与矩阵序列上去.可数多个向量（矩阵）按顺序成⼀列，就成为⼀个向量（矩阵）序列，()12(,,,)k k k Tk n x x x x =，1,2,3,k=是⼀个n 维向量序列，记为{}k x ，诸k x 的相应分量则形成数列{}k i x .定义5 设有向量序列()()()12{}:(,,,)k k k Tk k n x x x x x =.如果对1,2,i n =，数列(){}k i x 均收敛且有()lim k i i k x x →∞=，则说向量序列{}k x 收敛.如记12(,,,)T n x x x x =，则称x 为向量序列{}k x 的极限，记为lim k k x x →∞=，或简记为k x x →.如果向量序列{}k x 不收敛，则称为发散.类似于数列的收敛性质，读者不难证明向量序列的收敛性具有如下性质.设{},{}k k x y 是n C 中两个向量序列，,a b 是复常数，n ,m A C ?∈如果lim ,lim k k k k x x y y →∞→∞==，则1lim();2lim .k k k k k ax by ax by Ax Ax →∞→∞>+=+>=定理 4 对向量序列{}k x ，x x k =∞→k lim 的充分必要条件是0lim =-∞→x x k k ，其中?是任意⼀种向量范数.证明1）先对向量范数i ni x x=1max 证明定理成⽴.有i k i k k k x x x x =?=∞→∞→)(lim lim ，n i ,...,2,1=；,0lim )(=-?∞→i k i k x x n i ,...,2,1=；0max lim )(1=-?≤≤∞→i k i ni k x x ；0lim =-?∞∞→xx k k .2）由向量范数等价性，对任⼀种向量范数?，有正实数21,b b ，使∞∞-≤-≤-x x b x x xx b k k k 21.令∞→k 取极限即知lim 0lim 0k k k k x x x x∞→∞→∞-=?-=.于是定理对任⼀种向量范数都成⽴.根据上述定义，向量序列有极限的根本之处在于各分量形成的数列都有极限.由于m n C ?中矩阵可以看作⼀个mn 维向量，其收敛性可以和mn C 中的向量⼀样考虑.因此，我们可以⽤矩阵各个元素序列的同时收敛来规定矩阵序列的收敛性.定义 6 设有矩阵序列{}n m k ij k k a A A ?=][:)(，如果对任何,(1,1)i j i m j n ≤≤≤≤，均有ij k ij k a a =∞→)(lim 则说矩阵序列{}k A 收敛，如令n m ij a A ?=][，⼜称A 为{}k A 的极限.记为,lim A A k k =∞→或A A k →.矩阵序列不收敛时称为发散.→lim ，则()aA A a k k k =∞→lim .特别，当a 为常数时，()k k k k A a aA ∞→∞→=lim lim .2) 若A A k k =∞→lim ，B B k k =∞→lim ，则()B A B A k k k ±=±∞→lim .3) 若A A k k =∞→lim ，B B k k =∞→lim ，则()AB B A k k k =∞→lim .4) 若A A k k =∞→lim 且诸k A 及A 均可逆，则{}1-k A 收敛，并且11lim --∞→=A A k k .。
第五章向量范数和矩阵范数ppt
欲证结论。
p
例 10 计算向量
α (3i, 0, 4i, 12)T 的p范数，这里 p 1, 2, .
解：
4
|| α ||1
| xk | | 3i | | 4i | | 12 | 19.
k1
|| α ||
max k
|
xk
|
max(3, 0, 4, 12)
12.
4
1
|| α ||2 ( | xk | )2
一、 从向量的长度或模谈起
例 1 复数 x (a, b) a i b j 的长度或模指的是量
|| x || a2 b2 显然复向量 x 的模 || x || 具有下列三条性质：
(1) || x || 0 ，当且仅当 x 时，等号成立。 (2) || x || | | || x || ; ( R)
n
如果 W diag(w1, , wn )，此时|| x ||A ( | wi xi |2 )1/，2
这就是加权范数或椭圆范数名称的由来。 i 1
在现代控制理论中，称二次型函数
V ( x) || x ||2P xH P x
为李雅普诺夫（Lyapunov）函数，这里 P 是正定对
称矩阵。大家已经知道，此函数是讨论线性和非线 性系统稳定性的重要工具。
i
x |
|| xi |
max i
lim
p
| xi || x
| ||
p
是向量范数显然很 。
令
|
xj
|
max | i
xi
|
，则有
p
|| x || | x j | ( | xi |p )1/ p || x ||p
i 1
矩阵论第5章
例 5.1.2 如果V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间，而 是线性空 P
间 P n 上的一种范数，在 V 中取定一个基 e1, e2 ,, en ，那么对任意的
x V ， 存 在 唯 一 的 向 量 (x1, x2 ,, xn ) Pn ， 使 得 x x1e1 x2e2 xnen ，在此意义下 x 与 (x1, x2 ,, xn ) 一一对应，
k 1
k 1
k 1
（5.1.4）
5.1.3 Cn上的向量范数
线性空间 C n 上的范数，称为向量范数．下面先介绍一些 C n 上常用
的向量范数．
例 5. 1.2 给定常数 p [1,) ，对任意的 x x1, x2,, xn C n ，
定义
n
1
x ( p
xi p ) p ，
i1
（5.1.5）
进一步，因为
x y 2 x y, x y x, x 2 Rex, y y, y ，
而由 Cauchy-Schwarz 不等式知
Rex, y x, y x, xy, y x y ，
所以
x y 2 x 2 2 x y y 2 x y 2 ，
即 x y x y ，所以 x (x, x) 是V 上的范数．
mx x M x ．
（5.1.8）
就称范数 与 是等价的．
结论：有限维空间上任何两种范数都是等价的.
5.1.2 几个著名的不等式
为了介绍范数理论，我们需要了解一些相关的不等式知识，当然，
它们在许多其它场合也是非常有用的．如果常数 p 1, q 1, 并且 1 1 1，则称 p,q 为共轭指数． pq
n
1
n
1
kx ( p
数值分析 第5章 矩阵分析基础
( A)2
max | i | min | i |
§ 5.2 初等矩阵
初等矩阵对线性方程组的研究起着重要的作用，本节介绍 一般形式的初等矩阵，它是矩阵计算的基本工具。 5.2.1 初等矩阵
定义6 设向量 u, v Rn , R ，则形如
E(u, v; ) I uvT
的矩阵叫做实初等矩阵，其中I 是n 阶单位矩阵，
nn
| aij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
i1 j1
可以证明, 对方阵 A Rnn 和 xRn ，有 || Ax ||2|| A ||F || x ||2
注：（1） || A||F tr(AT A)
（2） 矩阵的Frobenius范数不是算子范数。
3．矩阵的范数与特征值之间的关系
n
aii aij , (i 1, 2,L , n) j 1 ji
且至少有一个不等式严格成立，则称矩阵A为弱对角占优阵，
若
n
aii aij , (i 1, 2,L , n)
j 1
ji
对所有不等式严格成立，则称矩阵A为严格对角占优阵。
定理5.2.5 （对角优势定理） 若矩阵 A 为严格对角占优阵，
问，他的研究兴趣转向数值计算，不久，他又转移到位于Oak Ridge，Ten nessee 的著名的国家实验室，从事与原子能和武器有关的并行计算的研究。 他于1954～1956年间出任ACM的主席，1963—1964年又出任工业与应用 数学学会SIAM的主席。豪斯霍德1969年获Harry Goode奖，他是美国艺术 和科学院院士。1980 年获得计算机先驱奖。
定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{ Ak}，若
lim
南航戴华《矩阵论》Hermite矩阵与正定矩阵(课堂PPT)
rran (Ak);
(5 )存在 r的 秩 Q 矩 使 为 A 阵 得 Q H Q ;
（ 6 ）n 存 阶 H在 e矩 rm S 使 阵 A i t得 S e 2 .
.
18
推论5.2.2 设A是n阶Herm非it负 e 定矩阵，为其
称形如（5.1.12）的二次型为Hermite二次型的
标准形。
.
9
定理5.1.7 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在酉 线性变换x = Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite 二次型f (x)变成标准形
1 y 1 y 1 2 y 2 y 2 n y n y n
其 1,中 2, ,n 是 He矩 rm A 的 阵 ite 特征
A C 0 (A C 0 ).
定理5.3.2 设A,B均为n 阶Hermite矩阵，且A≥0, B>0， 则
(1)BA的充分必要条 (AB 件 1)是 1; (2)BA的充分必要条 (AB 件 1)是 1.
定理5.3.3 设A是n 阶Hermite矩阵, 则
定义5.2.2 设 A,BCnn,如果存 和 在非 复零 数
xCn使得
A x Bx (5 .2 .5 )
则称λ为广义特征值问题 AxB的x特征值，非零
向量 x 称为对应于特征值的特征向量。
定理5.2.7 设A,B 均为n 阶Hermite矩阵 ，且B>0， 则存在非奇异矩阵 P 使得
P H A d P (i 1 , a ,n ) g P ,H B I P
.
14
5.2 Hermite正定（非负定）矩阵
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只要 f (x, y) 在[a, b] R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条 件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 | f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 | 对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存 在唯一解。
在工程和科学计算中，所建立的各种IVP问题，绝大多数 很难甚至不可能给出解析解，其主要原因在于积分工具的 局限性。
§1. 引言
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值 yi y( xi ) (i 1, ... , n) 思 利用数值解法求解。 路
y i 1
h yi [ f ( xi , yi ) f ( x i 1 , yi 1 )] ( i 0, ... , n 1) 2
注：的确有局部截断误差 Ri y( xi 1 ) yi 1 O(h3 ) ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。 但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到 迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。
第五章
常微分方程初值问题数值解法
/* Numerical Methods for Ordinary Differential Equations */
第一讲
§1. 引言
§2.简单的数值方法与基本概念
§1. 引言
考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:
例：设初值问题
2x dy y y dx y (0) 1
试分别用Euler方法和改进的Euler方法求解，并与 精确解y 1 2x 进行比较。 解： 取 h 0.1，计算x [0,1]上的结果，此时
2 xn ) (n 0,1, 2,...) Euler方法：yn1 yn 0.1( yn yn
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.435133
1.508966 1.580338 1.649783 1.717779 1.784770
1.416402
1.485956 1.552514 1.616475 1.678166 1.737867
1.414214
1.483240 1.549193 1.612452 1.673320 1y
1.000000 1.000000
改进的Euler法y 精确解
1.000000 1.095909 1.000000 1.095445
0.2
0.3 0.4
1.191818
1.277438 1.358213
1.184097
1.266201 1.343360
1.183216
1.264911 1.341641
, n 1) 节点间距 hi xi 1 xi (i 0, ...计算y为步长，通常采用等距节点， n+1时只用到前一点的 即取 hi = h (常数)。 计算y ，称为单步法． 值y 时用到前面k个点的
值yn, yn-1,…, yn-k+1，称为k步法．
n+1 n
§2.简单的数值方法与基本概念 §1.拉格朗日插值
一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。 隐式欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 h2 y( xi ) O(h3 )
2
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
2.２
梯形方法
梯形公式 /* trapezoid formula */
— 显、隐式两种算法的平均
隐式欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
2.1
欧拉方法
注：
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得
到，故称为隐式（后退） /* implicit */ 欧拉公式，而前 者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
2
h2 2
y( xi ) O(h3 ) 欧拉法具有 1 阶精度。
2.1
欧拉方法
欧拉公式的改进：
隐式(后退)欧拉法 /* implicit Euler method */
y( x1 ) y( x0 ) h
x0 x1
向后差商近似导数
y( x1 )
y ( x1 ) y0 h f ( x1 , y ( x1 ))
方
法
简单
精度低 稳定性最好
精度低, 计算量大
显式欧拉 隐式欧拉
梯形公式
精度提高
计算量大
改进欧拉法 /* modified Euler’s method */
2.３
改进欧拉方法
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 y i 1 y i h f ( x i , y i ) Step 2: 再将 yi 1 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到
y i 1
h yi [ f ( x i , yi ) f ( x i 1 , yi 1 )] 2
y i 1
h yi f ( xi , yi ) f xi 1 , yi h f ( xi , yi ) 2
( i 0, ... , n 1)
注：此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */。 可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单 步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将 看到，它的稳定性高于显式欧拉法。
truncation error */。
定义 若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。
Ri 的主项
/* leading term */
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 [ y( xi ) hy( xi ) h2 y( xi ) O(h3 )] [ yi hf ( xi , yi )]
1 yn 1 yn (k1 k2 ) 改进的Euler方法： 2 2x k1 0.1( yn n ) yn 2( xn 0.1) k2 0.1( yn k1 ) yn k1
( n 0,1, 2,...)
计算结果如下表 x
y1
yi 1 yi h f ( xi , yi ) (i 0, ... , n 1)
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
2.1
欧拉方法
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local
2.1 2.1 欧拉方法 拉格朗日插值 2.1 2.2 梯形方法 拉格朗日插值
2.3
改进的欧拉方法
2.1
欧拉方法
欧拉方法 /* Euler’s Method */
欧拉公式：
向前差商近似导数
y( x0 ) y( x1 ) y( x0 ) h
记为
x0 x1
y( x1 ) y( x0 ) hy( x0 ) y0 h f ( x0 , y0 )