复变函数课件ch2 2-3

0
1 1 2 C0 arg f ( z ) [ C0 arg z C0 arg(1 z )] [2 0] 3 3 3 1 1 2 C1 arg f ( z ) [C1 arg z C1 arg(1 z )] [0 2 ] 3 3 3 1 1 4 C arg f ( z ) [C arg z C arg(1 z )] [2 2 ] 3 3 3 1 1 C arg f ( z ) [C arg z C arg(1 z )] [0 0] 0 3 3
我们定义 az=ezLna, a为复数， (4.4) (一般，应设a≠0，)为z的一般指数函数。 注：当a=e，Lne取主值时，便是通常的单值 指数函数ez 。 例4
求 ii , 21i.
i ( i 2 k i ) 2
i iLni i e e 解：

e
( 2k ) 2

ln z1z2 ln z1 ln z2 ,
ln z n ln z , 这一点要特别小心。
n n
1 ln z ln z n
注2 在复变函数中，负数也有对数。这 一点和实变函数中不同，而且正实数的对数 在复变函数中也是无穷多值的。
如
Ln(1) i 2k i, Ln1 2k i, k Z .
如：函数w 3 z(z -1)( z 2)( z 3)( z 4).
(2).由已给单值解析分支 f ( z ) 的初值 f ( z1 ) 计算终值 f ( z2 )
f ( z2 ) f ( z2 ) e i arg f ( z2 ) f ( z2 ) e iC arg f ( z )e i arg f ( z1 ) C arg f ( z )表示f ( z )沿曲线C从z1变到z2辐角的改变量。
3.一般幂函数与一般指数函数 我们定义 Zb=eblnz, b为复数， (3.3) (一般，应设z≠0，∞)为z的一般幂函数。 按照定义，幂函数zb=eblnz是指数函数与 对数函数的复合函数。 由于
z e
b
bLnz
e
b (ln z i arg z i 2k )
(k 0, 1, 2, )
z
C C
w
z0
w ( 3 z )
( k 0,1,2)
k k
z w3
问题： 如何选取割线才能准确快捷地分离出根式函数 的单值解析分支？
(3). w n z 的支点和支割线
一般地，对于一个给定的点z0和给定的函数ω=f (z)，如果变点z在z0点的充分小邻域内绕z0转一周回到 原来点时，函数值与原来的值不相同，则称此z0点为 函数f (z)的支点。 因此, w n z仅以z 0和z 为支点.
因此，一般来说zb是一个多值函数，称 b (ln z i arg z ) b ln z 为zb的主值。 e e
特别需要掌握幂函数的下列几种情况： (1)当b=n(n为正整数)时，ω=zb=zn为单值 函数，它是z的n次乘方。 1 b n (2)当b=-n(n为正整数)时， w z z n . z 1 (3)当b (n为正整数)时， w z b n z . n p (4)当b (p和q为互质的整数，q>0)时， q zb具有q个不同的值，即当k=0,1,…,q-1时相应的 各个值 (5)当b是无理数或一般复数(Imb≠0)时，zb 具有无穷多值。
, n 1中
进一步，还可证明这些单值连续分支函数都是解 析的（课后思考题）。
问题：如果不用上述办法割破z平面，则可做一条 包含原点在内的简单闭曲线 C ，这时， C 穿过负实轴， C C z0是 上一点。当变点 z从z0出发，循正方向绕 一周后， (0) (0) w ( w 其像点能否回到它们原来的置 k ？ 0 w0 )
结论： 不可以，因为当变点z从z0出发，循正方向 绕 C一周后， z0的辐角已经增加了 2，z的像点无法 回到其原来的位置，而是沿下图中虚线路径从一支 变到另一支：
(0) w0 w0 w1(0) (0) wn 1 w0
从而,在包含或包围着原点O的区域D内,不可能把 w= n z分成n个独立的单值解析分支.
§3 初等多值函数
定义3.1 如果ω=f (z)是区域D内的一一解 析映射，则称f (z)是D内的单叶函数，D称为 f (z)的单叶性区域。
1.根式函数
规定根式函数w n z 为幂函数z wn的反函数。
(1).幂函数的变换性质及其单叶性区域
令w ei ,z rei , 则 r n , n .
3 z (1 z )在将z平面适当割开后能 试证 f ( z ) 例6
(2).分出 w n z 的单值解析分支
当z rei 时,函数w n z n re
i
2 k
n
出现多值性,原因是
由于z确定后, 其辐角并不唯一确定(可以相差2的整数倍) .
问题：如何分离出函数w的单值解析分支？
在z平面上从原点O到点∞任意引一条射线，将z平 面割破，割破了的z平面构成一个以此割线为边界的 区域，记为G。在G内随意指定一点z0，并指定z0的一 个辐角值，则在G内任意的点z，皆可根据z0的辐角， 依连续变化而唯一确定z的辐角。 假定从原点起割破负实轴，C是G内过点z0的一 条简单闭曲线，即其内部不包含原点O，则当变点z 从z0起绕C一周时z的像点wk ( n z )k 各画出一条闭曲 (0) 线Γk而各回到它原来的位置 wk（以n=3为例）：
2 的n个角形 n
2k 2k T:( - ) ( ),(k=0,1, ,n-1) （4.1） n n n n 都变成z平面除去原点和负实轴的区域.
结论:显然,(4.1)是幂函数z wn的单叶性区域的 一种分法(限制辐角法).由此可知,幂函数z wn的 2 单叶性区域是顶点在原点w 0, 张度不超过 n 的角形区域.
注3：每一单值分支在支割线上是不连续的。 注4：n z除了表示多值函数的总体外, 在一般书中,
i

也常用它表某一特定单值分支.
例3 设w 3 z确定在从原点z 0起沿负实轴割破了
的z平面上,并且w(i) -1,试求w(-i)之值.
2.对数函数 (1).复对数函数的定义
z r (cos i sin ),
如在复平面上割破(连接z=0和z=∞点的)负实轴 (原则上，可用任一条连结z=0和z=∞的射线，把z平 面割破)，点z也就不能绕支点z=0和支点z=∞回绕了。 因此，任意点的幅角都是唯一确定的。 一般地，用来割破z平面借以分出多值函数的单 值分支的割线，称为支割线(通俗地说，支割线就是 支点的连线)。
(3).对数函数的变换性质及其单叶性区域
令w u iv ,z rei , 则 r eu , v.
wln z
一般地,变换z e w把宽为2 的带形 Bk:(2k -1) v (2k 1) ,(k=0, 1, ) 都变成z平面除去原点和负实轴的区域.
结论：多值函数w n P （z） 1)可能的支点是a1, a2 , , am , ; 2)当且仅当n不能整除i时，ai是支点；
3)当且仅当n不能整除N时，点是支点； 4)如果n能整除1， m中若干个之和，
则a1， am中对应的那几个就可以连接 成割线抱成团，即变点z沿只包含它们 在其内部的简单闭曲线转一周后，函数 值不变。这种抱成的团可能不止一个。 其余不如团的点与连成一条割线。
原点O和点是其支点, 以连接原点O和点的广义 简单曲线为支割线,可分出w Lnz的无穷多个不同的 单值解析分支函数 wk ln k z ln r i( 2k ),( )
(k 0, 1, )
主值分支为： w0 ln0 z ln r i ,( )
w
0
n0
z
n 0
w n z
0
n
n r 0
z wn
特别地,变换z w 把角形域- 变成 n n 除去原点和负实轴的区域. z w n
n




n
w n z
z w
一般地,变换z wn把张角为
z
C C
w
z0
w ( 3 z )
( k 0,1,2)
k k
z w3
因此，在区域G内可以得到
wk ( n z )k n r ( z)e
i
( z ) 2 k
n
,( z G)
(k 0,1,
, n 1)
称为n z的n个单值连续分支函数.当k 取0,1, 的固定值时, 它就是 n z的第k 个分支函数.
arg z
令e z , 则 Lnz ln r i( 2k ) (k 0, 1, 2, )
即
Lnz ln z iArgz
ln z i arg z i2k (k 0, 1, 2, )
称 ln z i arg z为Lnz的主值，记为lnz，即
ln z ln z i arg z
Lnz ln z i 2k
( k 0, 1, 2, )
(2).对数函数的性质
设z1， z2 ≠0（），则
(1)Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 z1 (2) Ln Lnz1 Lnz2 z2
注1 一般不能有
幂函数ω=zb的解析性
ω=zb=eblnz也是除去原点与负实轴的z平面 上的解析函数，并且
d b ( z ) bz b 1 dz
注意 一般幂函数zb与整数次幂函数zn有 如下两点较大的区别： (1)zb在除去原点与负实轴的z平面上解析， 而zn在整个z平面上解析(当n取负整数时除去原 点)。 (2)zb是无穷多值函数，而zn是单值函数。