数字信号处理复习大纲

《数字信号处理》复习大纲
主要内容：三种变换、四种周期延拓关系、两类数字滤波器的设计方法 重点章节：第二章、第三章、第六章、第七章
第七章：FIR 滤波器的设计
一、FIR 滤波器的性质 )()()(ωθωωj g j e H e H = 1. FIR 滤波器的线性相位条件及特性
)()
1()()()1()(θαωωθαωωθ+-=---=-=--=第二类线性相位条件
第一类线性相位条件n N h n h n N h n h 其中21
-N ＝α
2. FIR 滤波器的幅度特性▲
1. h (n )偶对称，N 为奇数 )(ωg H 关于ππω20、、=偶对称，能设计任意类型的滤波器
2. h (n )偶对称，N 为偶数 )(ωg H 关于πω=奇对称，能设计低通和带通滤波器
3. h (n )奇对称，N 为奇数 )(ωg H 关于ππω20、、=奇对称，能设计带通滤波器
4. h (n )奇对称，N 为偶数 )(ωg H 关于πω20、=奇对称，πω=偶对称，能设计高通和带通滤波器
3. FIR 滤波器的零点特性：互为倒数的共轭对
4. FIR 滤波器的网络结构(结合滤波器设计出题)： 1. 直接型(卷积型)－横截型 2. 线性相位型：
3. 频率采样型
二、用窗函数法设计FIR 滤波器
1. 用窗函数法设计FIR 滤波器的一般过程▲： (1) 根据理想滤波器的技术指标)(ω
j d e
H 求其单位脉冲响应)(n h d ：
ωπ
ωπ
πω
d e e
H n h n j j d ⎰-
=
)(21
)(
(2) 对)(n h d 加窗截取求得实际的滤波器的单位脉冲响应h (n )：)()()(n w n h n h N d = 窗函数的选取准则：首先根据阻带衰减确定窗函数的形状，然后根据过渡带宽确定滤波器的长度N ；常用的窗函数(矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗)的过渡带宽与阻带衰减的关系。

(3) 验证设计的滤波器的副频响应)(ω
j e
H 是否满足技术指标要求。

2. 各种理想滤波器的单位脉冲响应)(n h d ：2
1
-N ＝α (1) 理想LP ：)
()
(sin )(απαω--=
n n n h c d ，偶对称，N 任意
(2) 理想HP ：)
()
(sin )()(απαωαδ---
-=n n n n h c d ，偶对称，N 奇数
(3) 理想BP ：)
()
(sin )(sin )(12απαωαω----=
n n n n h c c d ，偶对称，N 任意
4) 理想BS ：)
()
(sin )(sin )()(12απαωαωαδ-----
-=n n n n n h c c d ，偶对称，N 奇数
3. 高通、带通滤波器的另一种实现方法：
设h (n )为一低通滤波器，其截至频率为c ω，可以证明)()1()(1n h n h n
-=为一高通滤波器，
n n h n h 02cos )(2)(ω=为带通滤波器)(0c c ωπωω-<<。

三、用频率采样法设计FIR 滤波器
1. 用频率采样法设计FIR 滤波器的一般过程▲： (1) 确定理想滤波器的技术指标)(ω
j d e H ；
(2) 对理想滤波器的副频响应)(ωj d e
H 在)2,0(π上进行N 点等间隔采样，按照对称性及设
计公式求得实际的滤波器的离散傅立叶变换H (k )：)
()()(k j g e
k H k H θ=，设计公式为：
h (n )偶对称，N 为奇数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=-=k N N k k N N k k N H k H πθπθ1)(1)()()(，h (n )偶对称，N 为偶数：⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧-+=--=--=k N N k k N N k k N H k H ππθπθ1)(1)()()( 其中2/,,1,0N k =。

(3)求实际滤波器的单位脉冲响应h (n )或其系统函数H (z )(可进行对称合并)
kn N
j N k e
k H N n h π
21
0)(1)(∑-==或∑-=----=1
01)
(1)(N k k
N
N W k H N
z z H (4) 验证设计的滤波器的副频响应)(ω
j e
H 是否满足技术指标要求。

2. 频率采样法设计的FIR 滤波器的阻带衰减与过渡带宽的关系
没有过渡采样点时，阻带衰减为矩形窗函数对应的衰减，过渡带宽为N /2πω＝∆；要想增加阻带衰减，可通过增加过渡采样点实现，要想保持过渡带宽不变，需增加采样点数。

第六章：IIR 滤波器的设计
1. 一般巴特沃斯模拟滤波器的设计步骤：N
c
a j H 22
)
(11
|)(|ΩΩ+=
Ω
(1) 确定巴特沃斯模拟滤波器的技术指标),,,(s p s p ααΩΩ，用频率转换公式转化为归一化低通滤波器的技术指标),,,(s p s p ααλλ；
(2) 求归一化低通的阶数N ，查表求归一化低通的系统函数G(p)；
sp sp
k N λlg lg -=，其中1
101
101.01.0--=s
p sp k αα
，p s sp λλλ= (3) 取归一化求得实际滤波器的系统函数H(s)：关系与s p p G s H )()(= 2. 巴特沃斯滤波器的频率转换关系及去归一化公式： (1) LP-LP ：频率转换：c
ΩΩ
＝
λ，去归一化：c
s p p G s H Ω
==)()(
(2) HP-LP ：频率转换：ΩΩc
＝
λ，去归一化：s
p c p G s H Ω==)()(
(3) BP-LP ：频率转换：B Ω
=η，ηηηλ202-＝，去归一化：sB
s p p G s H 202)()(Ω+=
=
(3) BS-LP ：频率转换：B B
=
η，2
02ηηηλ-＝，去归一化：2
2)()(Ω+==s sB p p G s H 3. 用脉冲响应不变法设计IIR 数字滤波器
(1) 用脉冲响应不变法设计IIR 滤波器的一般步骤：
(a) 用脉冲响应不变法的频率公式T ω=Ω，把DF 的技术指标转换为相应AF 的指标； (b) 根据AF 技术指标设计模拟滤波器的系统函数H (s )(见1) (c) 把H (s )进行部分分式展开：∑-=
k k
k
s s A s H )(
(d) 通过极点映射，把H (s )转换为数字滤波器对应的系统函数H (z)：
∑---=k
T s k
z e A z H k 1
1)(，其中T 为采样间隔。

(e) 验证设计的滤波器的副频响应)(ω
j e
H 是否满足技术指标要求。

(2) 脉冲响应不变法的优缺点：
优点：模拟频率和数字频率为线性关系，即T Ω=ω
缺点：在模拟滤波器的折叠频率2/s f 处发生混叠，不能设计HP 、BS 滤波器。

4. 用双线性变换法设计IIR 滤波器
(1) 用双线性变换法设计IIR 滤波器的一般步骤： (a) 用双线性变换法的频率公式2
tan(/2)T
ωΩ=
，
把DF 的技术指标转换为相应AF 的指标； (b) 根据技术指标设计模拟滤波器的系统函数H (s )(见1)
(c) 用双线性转换公式，把H (s )转换为数字滤波器对应的系统函数H (z)：
11
211()()|
z s T z H z H s ---=
+=
(d) 验证设计的滤波器的副频响应)(ω
j e H 是否满足技术指标要求。

(2) 双线性变换法的优缺点：
缺点：模拟频率和数字频率不是线性关系，发生频率畸变。

优点：在模拟滤波器的折叠频率2/s f 处不会发生混叠，能设计LP 、HP 、BP 、BS 滤波器。

5. 一般IIR 滤波器是设计步骤：
第一章 时域离散信号和时域离散系统
1. 正弦(余弦)序列n 0cos ω、复指数序列n
j e 0ω周期性的判定：
当02ωπ
为整数时，为周期性序列，化为最简分式，最简分式的分子即为周期N
2. 时域离散系统线性时不变性的判定： (1) 线性：⎩
⎨
⎧=+=+)]([)]([)]
([)]([)]()([2121n x aT n ax T n x T n x T n x n x T 齐次性：叠加性：
(2) 时不变性：若)]([)(n x T n y =，则)]([)(00n n x T n n y -=-
3. 时域离散系统因果稳定性的判定：
(1) 因果性的定义：若系统在当前时刻的输出只取决于当前时刻和当前时刻以前的输入，称该系统为因果系统。

(2) 因果性的判定方法(充要条件)：时域：若n <0时，h (n )=0；频域：H (z)的收敛域为|z|>R 。

(3) 稳定性的定义：对于有界的系统输入，其输出也是有界的。

(4) 稳定性的判定方法(充要条件)：时域：
∑∞
-∞
=∞<n n h |)(|；频域：H (z)的极点都在单位圆内。

(5) 因果稳定性的判定：时域：⎪⎩⎪⎨⎧∞<<=∑∞
-∞
=n n h n n h |)(|00)(，，频域：H (z)的收敛域为||1z R R ><且。

4. 时域采样定理及其延伸(第一种周期延拓关系)： 采样信号的频谱是原模拟信号频谱以
T s /2π=Ω(T 为采样间隔)为周期进行周期延拓，当h s Ω≥Ω2时，可以不失真地把原始信
号恢复出来；^
12()(())a a k X j X j k
T T
π
∞=-∞Ω=Ω-∑ 5. 序列的线性卷积：
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
1. 序列的FT 的定义、存在条件及IFT 的定义：
(1) 序列傅立叶变换公式：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎰∑-∞-∞=-ππωωωω
ωπd e e X n x e n x e X n j j n n j j )(21)()()(
(2) FT 存在的条件：
∑∞
-∞
=∞<n n x |)(|
(3) 模拟频率与数字频率的关系：T Ω=ω
(4) 特殊点的FT 及IFT ：⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑-∞
-∞
=π
π
ωπω)0(2)()
()(0
x d e X n x e X j n j 2. 序列FT 的性质：
(1) 周期性(以2π为周期)：2k π对应数字频率的低频，(2k +1)π对应数字频率的高频。

(2) 线性、时移、频移、时域卷积、频域卷积、帕斯瓦尔定理(能量守恒定理)：
ωππ
πω
d e
X n x j n 2
2
|)(|21
|)(|⎰∑-
∞
-∞
==
(3) FT 的对称性★：
共轭对称性之一：⎪⎩⎪
⎨
⎧+=+
=
)()()()()()(ωωωj o j e j i r e X e X e X n jx n x n x 则若
共轭对称性之二：⎪⎩
⎪
⎨
⎧+
=+
=)
()()()()()(ωωωj I j R j o e e jX e X e X n x n x n x 则若 (4) 常用序列FT 对称性的特点：
实序列 －共轭对称 纯虚序列－共轭反对称
实偶序列－实偶对称 实奇序列－纯虚奇对称
实因果序列的特点及其FT(共轭对称)：实因果序列可由其共轭对称序列或共轭反
对称序列加上序列在0点的值恢复。

3. 几种常用序列的FT ：1)(↔n δ，∑∞
-∞
=-↔k k )2(21πωδπ
∑∞
-∞
=--+-↔k j k e n u )2(11
)(πωδπω
，ωω
ω21)
2
sin()2sin(
)(--↔N j N e N
n R
)]2()2([)/2(00
00k k e
k n
j πωωδπω
ωδπ
ωπω-++--↔∑∞
-∞
=为有理数
ω
j n ae a n u a --↔
<11
)1|)(|(
4. 序列的Z 变换及逆Z 变换：
(1) 定义⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==⎰∑-∞
-∞
=-c n n n dz z z X j n x z n x z X 1
)(21)()()(π
(2) 存在条件：
∑∞
-∞
=-∞<n n
z
n x |)(|
(3) 常用序列的收敛域：有限长序列、因果序列、反因果序列
(4) 逆Z 变换的求法：留数定理和部分分式展开法
(5) Z 变换的应用：求解差分方程、分析系统的因果稳定性、分析系统的频域特性 5. 序列的Z 变换与傅立叶变换的关系：ωω
j e z j z H e
H ==|)()(
第三章 离散傅立叶变换
1. 有限长序列的DFT 及IDFT 的定义：
(1) 离散傅立叶变换公式：M N N n e k X N n x N k e
n x k X N k kn
N j N n kn N
j ≥⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==-==∑∑-=-=-,1,,1,0,)(1)(1,,1,0,)()(10210
2 ππ (2) 特殊点的DFT 及IDFT ：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==∑∑-=-=1
010
)
(1)0()()0(N k N n k X N x n x X (3) 序列的FT 、ZT 、DFT 之间的关系：k N
j
e
z k N
j z H e
H k H ππ
ωω
2|
)(|
)()(2==
==
(4) 周期序列的DFS 与其主值序列的DFT 的关系(第二种延拓关系) 2. 序列DFT 的性质：
(1) 隐含周期性(以N 为周期)
(2) 时域及频域循环位移性质、时域循环卷积定理、帕斯瓦尔定理(能量守恒定理)：
∑∑-=-==1
2
1
2
|
)(|1
|)(|N k N n k X N n x
(3) DFT 的对称性(关于N /2的对称性)★：
共轭对称性之一：⎪⎩
⎪
⎨
⎧+
=+
=)
()()()()()(k X k X k X n jx n x n x op ep i r 则若
共轭对称性之二：⎪⎩
⎪
⎨
⎧+
=+
=)
()()()()()(k jX k X k X n x n x n x I R op ep 则若
(4) 常用序列DFT 对称性的特点：
实序列 －共轭对称
纯虚序列－共轭反对称
实偶序列－实偶对称 实奇序列－纯虚奇对称
3. 频域采样定理★(第三种周期延拓关系)及内插公式：
(1) 频域采样定理：若果序列的x (n )的长度为M ，对其频域进行N 点进行等间隔采样得到X (k )，其离散傅立叶逆变换得到的有限长序列x N (n )为原序列进行周期延拓序列的主值序列，即)()()(n R
rN n x n x N
r N ∑∞
-∞
=+=
；只有当频域采样点数满足N M ≥时，才能不失真地把原
序列恢复出来。

(2) 内插公式：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=-=--=∑∑-=---=--102110)2/sin()2/sin(1)()2()()(1)
(1)(N k N j j N k k
N N e N N k N k X e X W k X N z z X ωωωωωϕπωϕ， 4. DFT 的应用：
(1) 计算线性卷积(循环卷积与线性卷积的关系－第四种周期延拓关系，二者相等的条件)
(2) 进行谱分析－连续信号谱分析参数选取准则：⎪⎩
⎪⎨
⎧≥
≥F T F f N p h 1
2
第四章：掌握基2 DIT-FFT 和基2 DIF-FFT 的蝶式运算图、特点及N =8时完整的运算流图 第五章：梅森公式、IIR 滤波器的网络结构、FIR 滤波器的网络结构（线性相位、频率采样）。