广州大学2007-2008第一学期数学分析(1)试题(A)卷
数学分析试卷及答案6套
f ( x1 ) f ( x2 ) .
g ( x) ,x 0 九. (12 分)设 f ( x) x 且 g (0) g (0) 0 , g (0) 3 , 求 f (0) . 0, x 0
答案参见我的新浪博客：/s/blog_3fb788630100muda.html
lim
h 0
1 h
x
a
[ f (t h) f (t )] dt f ( x) f (a).
六 (10 分 ) 求椭圆区域 R : (a1 x b1 y c1 ) 2 (a2 x b2 y c2 ) 2 1 (a1b2 a2b1 0) 的 面积 A . 七 (10 分) 设 F (t ) f ( x 2 y 2 z 2 ) dx dy dz ，其中 V : x 2 y 2 z 2 t 2 (t 0) ，
四. (12 分)证明函数 f ( x)
五. (12 分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10 分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12 分)确定 a, b 使 lim ( x 2 x 1 ax b) 0 .
x
1 5 八. (14 分)求函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 在 [ , ] 的最大值与最小值. 4 2
x x0
x x0
1 1 . f ( x) b
三. (10 分)设 an 0 ,且 lim
an l 1 , 证明 lim an 0 . n n a n 1
四. (10 分 ) 证 明 函 数 f ( x) 在 开 区 间 ( a, b) 一 致 连 续 f ( x) 在 ( a, b) 连 续 , 且
2008级数学分析第1学期期终考试解答(电、软)2009-01-07
工科数分(1)试题解答(C 类A 卷)一、填空题(1) 12; (2) 1; (3) sin yCx x =; (4) 1e (1)a a --+，1二、选择题C D A B三、判断题1 不正确. 典型反例是[0,1]上的Riemann 函数，它在[0,1]上有无穷个间断点，且在[0,1]的任何子区间上都不单调，但熟知Riemann 函数在[0,1]上可积.2 正确. 对0(,)x a b ∀∈，因f '单调，由单调函数单侧极限存在性定理可知0lim (),lim ()x x x x f x f x -+→→''均存在，故0x 至多为()f x '的第一类间断点，但因导数无第一类间断点，因此0x 必为()f x '的连续点.由0x 取法任意性即有(,)f C a b '∈四、全面讨论函数y =解 1o函数定义域为(,)-∞+∞，且经过点(0,3),(3,0)-；2o令()0y x '=，得驻点13x =-；令()0y x ''=，得11,2x =-；3o因lim ()1,lim ()1x x y x y x →+∞→-∞==-，故曲线有水平渐近线1y =±.曲线无垂直渐近线和斜渐近线；4o列表如下其中()min{()}1/3x f x f ∈==R；拐点((1,,1/2,-- 图形如右五、1求极限lim n →∞+⎝⎭ 解令()f x =[0,1]区间作n 等分，则每个小区间长1k x n∆=，取(1~)k kk n nξ==，于是有13/201122lim (1)1)33n n k x x n →∞===+=⎰现因1111111/n nn n k k k k n n n n n k n =====<<+++∑ 而已计算112lim lim 1)13n nn n k k n n →∞→∞====+由夹逼性定理可知原式21)3=2求极限12lim sin d n nx x →∞⎰解原式11cos 2lim d 2n nxx →∞-=⎰11011lim 22n x x →∞=+⎰⎰由Riemann引理可知有10lim 0n x →∞=⎰，于是原式sin 1/20011cos d 22sin cos x t tx tt t=π==+⎰⎰令 (再令2t x π=-) /201sin d 2cos sin xx x xπ=+⎰ 由此得出原式/201sin cos d 4sin cos x x x x x π+=+⎰1428ππ=⋅= 3 求解二阶微分方程ln xy y x x '''-= 解 令y p '=，化原方程为ln xp p x x '-= ⇒ 1ln p p x x'-=由一阶线性方程通解公式得出11d d 11lne ln e d d x x x xx p x x C x x C x -⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 221111(ln )(ln )22x x C x x C x ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦也即有21d 1(ln )d 2y x x C x x =+. 现因ln 222221(ln )d e d d(e )2x tt t x x x t t t ===⎰⎰⎰令()2221e 2e d 2t tt t t =-⎰ 222e 122t t t C ⎛⎫'=-++ ⎪⎝⎭故通解为()22223ln ln 4x y x x C x C =-++4 求以半径为R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积解 过点(,0)x 并与x 轴垂直的平面截正劈锥体所得截面的面积()A x h =， …… 4分故体积R V h x -=⎰…… 6分20π22R h h x ==⎰ …… 8分六、设有界函数()f x 在[,]a b 上的间断点为{}n x ，且0lim (,)n n x x a b →∞=∈，证明[,]f R a b ∈证明 由条件可知0M ∃>，使得(),[,]f x M x a b ≤∀∈.对0ε∀>(ε充分小)，记00(,)(,)x x εεαβ-+=，因有0()n x x n →→∞，故在区间[,],[,]a b αβ上至多含{}n x 中有限项，从而()f x 在这两个区间上均可积.由可积性第二充要条件可知12[,],[,]a b αβ∃π⊂π⊂，使在分法12,ππ下有1k k x ω∆επ<∑ ， 2k k x ω∆επ<∑而对于3[,]αβ∀π⊂，恒有3324k k k x M x M ω∆∆εππ≤=∑∑.取123π=π⋃π⋃π（此时,αβ为分点），就有1213nk k k k k k k k x x x x κω∆ω∆ω∆ω∆=πππ=++∑∑∑∑2(21)M ε<+.仍由可积性第二充要条件可知[,]f R a b ∈.七、设正值函数[,]f C a b ∈，定义()d ,bn n a x f x x n =∈⎰N .证明(1)对n ∀∈N 有212n n n x x x ++≤；(2){}1/n n x x +收敛，且1[,]lim{/}max{()}n n n x a b x x f x +→∞∈=证明 （1）由Schwarz 积分不等式，有()22221221()d ()()d n n b bn n aa x f x xfx f x x +++⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰2()d ()d b bn n aaf x x f x x +≤⋅⎰⎰2n n x x +=（2）由(1)的结果有121,n n n n x x n x x +++≤∀∈N ，即数列1n n x x +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增的. 又f 恒正连续，故0[,]x a b ∃∈：def0()max{()}0a x bf x f x M ≤≤==>，于是对n ∀∈N ，有 11()d ()d bbn n n n aax f x x M f x x M x ++=≤=⎰⎰也即有1n nx M x +≤，即数列1n n x x +⎧⎫⎨⎬⎩⎭有上界，从而数列1n n x x +⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛.往证n M =.由条件0,0,x εδ∀>∃>∀0(,)[,]U x a b δ∈⋂def[,]αβ=：00()()()f x f x f x ε-<≤ ⇒ []00()()()nn n f x f x f x ε-<≤ 由此得出[]111100()()()d ()d ()()bnnnnnna f x f x x f x x f xb a βαεβα⎡⎤⎡⎤--<≤≤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 已知11lim()lim()1n nn n b a βα→∞→∞-=-=，从而有100()lim ()d ()bnn a n f x f x x f x ε→∞⎡⎤-≤≤⎢⎥⎣⎦⎰由ε任意性即得10lim ()d ()bnn a n f x x f x →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰. 再由Cauchy 第二定理就有10lim ()n n n n nxf x M x +→∞====.工科数分(1)试题解答(C 类B 卷)一、填空题(1) 12-; (2) 1; (3) sin y C x x =(或1Cx); (4) 1e (1)λλ--+，1二、选择题 B A C D。
2007-2008上学期高数I试A卷答案
暨 南 大 学 考 试 试 卷一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 设)(x y y =是由方程0sin 21=+-y y x 所确定，则=dy dx ycos 22-. 2. 数列的极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 12111lim = __1____________________. 3. 函数xxe y =的带有佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式为).(21332x o x x x +++4. 函数xe x y ++=4)1(的凹区间为),(+∞-∞.5. 抛物线22y x x y ==和围成的面积为____1/3________________________.二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 当时, 不为等价无穷小量的是 (D) (A) 22sin x x 和; (B)nx x n和11-+;(C) x x 和)1ln(+; (D) 2cos 1x x 和-.2.设]1,0[上0)(">x f ,则)1()0()0()1(),1('),0('f f f f f f --或几个数的大小顺序为(B)(A) );0()1()0(')1('f f f f ->> (B) );0(')0()1()1('f f f f >-> (C) );0(')1(')0()1(•f f f f >>- (D) ).0(')1()0()1('f f f f >-> 3. 以下函数有可去间断点的是 (B )(A) ⎩⎨⎧>-≤-=;0,3,0,1)(x x x x x f (B) ;39)(2--=x x x f(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=;0,0,0,1sin )(x x xx f (D) .|sin |)(x x x f = 4. 摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (θθθa y a x 的一摆)20(πθ≤≤的长度为 (D)(A) a 2; (B) a 4; (C) a 6; (D) a 8.5. 函数],[)(b a x f 在区间上连续是],[)(b a x f 在可积的 (A) (A) 充分条件; (B) 必要条件;(D) 即不是充分条件也不是必要条件.三、计算题（共7小题，每小题7分，共49分）1. 求定积分⎰210arcsin xdx ;解: 原式⎰--=21022101|arcsin dx xx x x ----------------------------------4⎰--+=21022)1(112112x d x π----------------------------------5 2102112x -+=π--------------------------------------------6.12312-+=π----------------------------------------------7 2. 求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→;解: 原式)sin 1tan 1()sin 1(tan 1lim3x x x x x x ++++-+=→-------------------------------------------------230sin tan lim21x xx x -=→ )21~cos 1,~sin ,0(cos )cos 1(sin lim 21230x x x x x xx x x x -→-=→时当 --------5.4121lim 21320=⋅=→x x x x -----------------------------------------------------------------73. 设)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttsin ,cos 所确定，求22dx y d ; 解:)sin (cos t t e dt dx t -=, )cos (sin t t e dtdyt +=,-------------------------------------2,s in c o s c o s s in t t t t dtdx dt dy dx dy -+==-------------------------------------------------------4dx dtt t t t dt d dx dy dx d dx y d ⋅-+==)sin cos cos sin ()(22------------------------------------------------6 )sin (cos 1)sin (cos )cos (sin )cos (sin 222t t e t t t t t t t -⋅-++-=.)s i n (c o s 23t t e t -=--------------------------------------------------------------------74. 求不定积分⎰+x x xdxcos sin cos ;解: 原式⎰+-++=dx x x x x x x cos sin )sin (cos )sin (cos 21-------------- -- ----------------------3⎰⎰+++=x x x x d dx cos sin )cos (sin 2121----------------------------------------------------5C x x x +++=|cos sin |ln 2121.---------------------------------------------------75. 求极限2020222)1(limxdte t x x tx ⎰-→+;解: 原式22222)1(limxdt e t ex t x x ⎰+=-→------------- ---------------------------------------222022)1(limx dt e t x t x ⎰+=→-----------------------------------------------------------4xxe x x x 22)1(lim 440⋅+=→------------------------------------------------------------61)1(lim 440=+=→x x e x .-------------------------------------------------------------76. 求过点)0,23(与曲线21xy =相切的直线方程; 解: 设切点为)1,(20x x , 32'xy -=, 所以切线方程为-----------------------------1 )(21032x x x x y --=-.-----------------------4因)0,23(过切线, 所以)23(210032x x x --=-.-----------------------6 解得.10=x 因此切线方程为 .032=-+x y --------------------------------------7 7. 讨论瑕积分⎰10q x dx(q >0)的收敛性，如果收敛则计算其值.解: 对任意)1,0(∈ε,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠--=-=-==--⎰.1),1(1111,1,ln |ln 11111q q x q q x x dx q q q εεεεε------------------------------------------3因此⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<-=⎰+→.1,,1,11lim10q q q x dx qεε--------------------------------------------------------------------6即1≥q 发散,当1<q 时收敛,其值为q-11.----------------------------------------------------------7四、应用题（共2小题，每小题8分，共16分）h m, 底面半径为r m , 桶内盛满了某种液体. 试问要把桶内的液体全部吸出需要作多少功? 已知这种液体的密度为ρ.解: 建立如图所示的坐标. 在任一小区间 上的一薄液体的 O的重力为dx r g 2ρπ(KN)----------------------------------3这薄层液体吸出桶外所做的功(功元素)为 xdx r g dW 2ρπ=----------------------------5所求的功为 hh x r g xdx r g W 02202|21ρπρπ==⎰2221h r g ρπ=(KN).---------------------8 2. 要做一个容积为V 的圆柱形罐头筒, 怎样设计才能使所用的材料最省? 解: 设底面半径为r , 则高为2r Vπ,表面积为 .0,2222222>+=⋅+=r r Vr rV r r S ππππ------------------------------------3令022'2=-=rV r S π得3πV r =,--------------------------------------------------------------------------5 又0|)42(|'333>+===πππV r Vr r V S , 因此当3πV r =时S 取最--------------------------------------7 即当底面半径为3πV,高为3πV时所用的材料最少.--------------------------------------------------8五、证明题（共1小题，每小题5分，共5分）1. 设)(x f 在区间],[b a 上连续,且0)(>x f ,⎰⎰∈+=x bx ab a x t f dtdt t f x F ],[,)()()(. 证明: (1) 2)('≥x F ; (2) 方程0)(=x F 在),(b a 内有且仅有一个根.证明: (1) .2)(1)(2)(1)()('=⋅≥+=x f x f x f x f x F ---------------------------------------------2 (2) )(x F 在],[b a 上连续, 且]d ,[x x x +0)()()()()()()(<-===⋅⎰⎰⎰⎰b a b a baa bdt t f t f dt •dt t f t f dt x F b F a F ,因此由介值定理)(x F 在),(b a 至少有一根, ----------------------------------------------------------4 又0)('>x F , 所以)(x F 在],[b a 上单调增, 因此)(x F 在),(b a 是只有一根.----------------5。
07-08(1)高数I(A)参考答案
2007-2008学年第一学期2007级电气、电子、工程管理、机制、教技、土木工程、计算机、农机、网络工程、物理专业高等数学Ⅰ 试卷A 参考答案一、填空题(填对每空得2分，填错或不填每空得0分，计20分) 1．982442424++++x x x x ．2．3-e．3． 3 ． 4． 3 ． 5． （ 0 ，-1 ）． 6．21．7．0144=++y x ．8．51．9． 0 ． 10．14．二、选择题（选对每题得2分，不选、选错或多选每题得0分，计10分） 1．（ D ） 2．（ B ） 3．（ C ） 4．（ A ） 5．（ B ）三、计算题（每小题5分，计20分）1．解： xx x x x x x x sin )sin 21(1lim sin 2cos 1lim 200--=-→→…………………………2分xx xx sin sin 2lim 20→= …………………………………3分 x xx sin 2lim0→=..........................................4分 2=． (5)分2．解：应用洛必达法则得xxx xtd t t x xx 2arctan limarctan lim20-=∞-→∞-→⎰………………………3分x x a r c t a nlim 21∞-→-= ………………………4分 4)2(21ππ=-⨯-=. ………………………5分3．解： ⎰dx xx2sin ⎰-=x xd cot ……………………………………1分 ⎰+-=xdx x x cot cot ， …………………………2分 ⎰+-=dx x x x x sin cos cot ……………………………3分 ⎰+-=x d x x x s i n s i n1c o t ………………………4分c x x x ++-=|s i n |ln cot ．………………………5分4．解： ⎰-+1021xx dx ⎰+=20cos sin cos sin πtt tdt tx ……………………………1分⎰++=202)cos (sin )cos (sin cos πt t dt t t t (2)分⎰+++=202sin 112cos 2sin 21πdttt t……………………3分⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=202sin 12cos 121πdt t t ………………………4分 4)2sin 1ln(212120ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=t t ．………………5分四、解答题（每小题5分，计20分） 1．解：)sin ()cos 1(t t ad t ad dxdy --= (1)分ttcos 1sin -=． …………………………………………2分)sin (cos 1sin 22t t ad t t d dxy d -⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ………………………………………3分)cos 1()cos 1(sin )cos 1(cos 22t a t t t t ----=……………………………4分23)cos 1(1)cos 1(1cos t a t a t --=--=． …………………5分 2．解： 方程两边同时微分得)()(y x e d xy d += ………………………1分即 )(dy dx e xdy ydx y x +=++ ……………………3分 整理得 ydx dx e dy e xdy y x y x -=-++， …………………4分 从而得 dx ex yedy yx yx ++--=．……………………………5分3．解：令u e x=可得u x ln =，代入已知式得 ……………………………1分 u u f ln )(='， c u u u udu +-=⎰ln ln …………………2分 从而有 0ln )(c u u u u f +-= ……………………………………3分 由0)1(=f 得 10=c ……………………………………………4分 因此 1ln )(+-=x x x x f ． ……………………………………5分4．解：设所求平面的法线向量为0),,(≠=C B A n ，两个已知平面的法线向量分别为)4,2,1(,)2,5,3(21-=-=n n， ……………………………………1分则有n n n n⊥⊥21, 即有 ⎩⎨⎧=+-=-+0420253C B A C B A ………………………2分得 A C A B 1611,87-=-=，0≠A ……………………………………3分 所以所求平面的方程为 0)3(161187)2(=+---z A Ay x A ，………4分整理得所求平面的方程为 065111416=---z y x ． …………………5分五、证明题（6分×2题＝12分） 1．证明：由题设有hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→，所以…………………1分hx f h x f x f h x f hh x f h x f h h )]()5([)()3(lim)5()3(lim 00000000----+=--+→→……………2分⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=→h x f h x f h x f h x f h )()5()()3(lim 00000…………3分hx f h x f h x f h x f h h 5)()5(lim53)()3(lim3000000---+-+=→→……5分)(8)(5)(3000x f x f x f '='+'=． (6)分2．证：设x x x x f -++=)1ln()1()(，则0)0(=f ，………………………1分 又 )1l n ()(x x f +='． ……………………………………………2分 当0>x 时， 0)(>'x f ，函数单调增加， ……………………3分当01<<-x 时， 0)(<'x f ，函数单调减少．………………………4分 从而，当01≠<-x 时有0)(>x f ，且0)0(=f ， ………………………5分因此，当1->x 时，x x x ≥++)1ln()1(． ……………………………6分六、综合应用题（6分×3题＝18分）解：由⎩⎨⎧=+-=022y x x y 得两曲线交点为)4,2(),1,1(-， …………………1分1．图形面积为 ⎰--+=212)2(dx x x A …………………………3分 29312212132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-x x x ， …………………6分2．图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为⎰--+=21222])()2[(dx x x V x π……………………………9分 57251)2(312153ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-x x ……………………12分3．曲线2x y =交y 轴于点)0,0(，直线02=+-y x 与y 交于点)2,0( ……………………………13分图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为⎰⎰--=4422)2(dy y ydy V y ππ， (15)分 316)2(32423402πππ=--=y y ； ………………………18分。
2008-2009(1)高等数学试题(A卷)(90)答案
广州大学2008-2009学年第一学期考试卷 参考答案 课 程：高等数学（A 卷）（90学时） 考 试 形 式： 闭卷 考试一．填空题（每空2分，本大题满分16分）1．设⎩⎨⎧≤>=1,1,1)(2x x x x f ，则=-))2((f f 1 .2. 若函数 ⎩⎨⎧>≤-+=0,)arctan(0,2)(2xax x b x x x f 在0=x 处可导，则=a 2 ，=b 0 .3．曲线x x x y 1sin 22-=有水平渐近线=y __1_ 和铅直渐近线=x __2____.4．已知1)(0-='x f ，则=+--→h h x f h x f h )2()(lim 000 3 .5．设C x dt t f x++=⎰501)()(，则常数=C -1 ，=)(x f 415)(+x .二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当0→x 时, )ln(21x +是x 的( A )无穷小.(A) 高阶 (B) 低阶 (C) 同阶 (D) 等价学院专业班 级姓 名2. 函数12+=x y 在点(1,2)处的法线方程为 ( B ). (A) 252--=x y (B) 2521+-=x y (C) 252-=x y ; (D) 2521--=x y 3．2x x f =)(在闭区间],[10上满足拉格朗日中值定理，则定理中的=ξ( B ). (A) 31(B) 21(C) 22 (D) 21-4. 若函数)(x f 在点0x x =处取得极值, 且)(0x f '存在，则必有 ( A) . (A) 0)(0='x f (B) 00>')(x f(C) 0)(0>''x f (D) )(0x f '的值不确定5. x x f ln )(=在),(+∞0内是 ( C ).(A) 周期函数 (B) 凹函数 (C) 凸函数 （D ）单减函数三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分30分）1．212x xy -=arctan ，求dy . 解：22212112⎪⎭⎫⎝⎛-+'⎪⎭⎫⎝⎛-='x x x x y2222212112212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----=x x x x x x )()(）（……………………………………………3分212x += ………… ………………………………………………..4分dx xdy 212+=∴……………………………………………………6分 2．=y )sin(12+x ，求n （N n ∈）阶导数)()(x y n . 解： )sin()cos(π211221221++=+='x x y ，……………….1分 )sin()sin(π2212212222++=+-=''x x y ，……………2分 )sin()cos(π2312212233++=+-='''x x y ，……………3分 所以有N n n x x y n n ∈++=),sin()()(π2122……………….……………6分3．设曲线参数方程为⎩⎨⎧-=-=321t t y t x ，求dx dy . 解：dtdxdt dydx dy = ……………….…………………………….........3分 tt 2312--= ………….…………………………….................6分4．求x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim . 解： =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 2lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→221lim ………….………….........2分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222221x x x x x lim ………….………….......................4分2-=e ……………….……………………………...................6分5．求⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x sin lim 110. 解： =⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x sin lim 110x x x x x sin sin lim -→0………….……..............2分 20xx x x -=→sin lim xx x 210-=→cos lim ………………….…………............................4分 020==→x x sin lim .………….………… ………………………6分 四．计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分） 1．⎜⎠⎛++dx x x x )(132222. 解：⎜⎠⎛+-+=⎜⎠⎛++dx x x x x dx x x x )()(1331322222222 ⎜⎠⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dx x x11322………….………………………………….3分 C x x+--=arctan 3…………………… ……………………….6分 2．⎜⎠⎛+901dx xx . 解：令x t =，则tdt dx t x 22==,……..……….…….................1分 ⎜⎠⎛+=⎜⎠⎛+3090211tdt t t dx xx ……………………….…………..........2分 ⎜⎠⎛++-=301112dt tt )( ()302122)ln(t t t ++-=…………………………….………… …….5分 243ln +=………………………………………….……....................6分3．⎰∞+-02dx e x x .解：⎰⎰∞+-∞+--=0202x x de x dx e x ⎰∞+-+∞-+-=0022dx xe e x x x ……………………...……....................2分 ⎰∞+-+∞---=0022x x xde e x x d e xe e x x x x ⎰∞+-+∞-+∞-+--=000222……………...………..........4分 220=-=+∞-xe .………………………...………….……....................6分五．（本题满分7分）.)(所围平面图形的面积求椭圆012222>>=+b a by a x 解：根据对称性⎰=a ydx S 04令20π≤≤⎩⎨⎧==t t b y t a x sin cos………………...…….......................2分 则 ⎰⎰==02044π)cos (sin t a td b ydx S a⎰=2024πtdt ab sin …………...……………………………….5分 ⎰-=202214πdt t ab cos .ab π= ...………………………………………………………..7分六．（本题满分7分）1． 设0>>a b ，()x f 在[]b a ,连续，在()b a ,可导。
0708高等数学A(一)答案
高等数学（一）、（二）（上）试题（A ）评分标准与分工一、 填空题（每小题4分, 共24分）1．e . 2． =a －１. 3．)4ln 2,2(+ .4．０ . 5． x e x C C y )(21+=）. 6.21=ξ注：该题评分原则是 非对即错二、选择题 (每小题4分, 共20分) D C BB C 三、（5分）解: 30sin tan sin limx x x x -→30tan sin lim xxx x -=→ x x x x x sin cos 1cos lim 30-=→22021lim xx x -=→21-= -------------------------------- 5分注：该题评分原则 体现方法3分、结果正确2分；主要有以下几种方法 1）洛必达法则、2）等价无穷小替换、3）其他 四、（8分）解: 212)111(22tt t tdtdxdt dy dx dt dt dy dx dy =++-==⋅=； ------------- 4分t t dt dx t dt d dx dy dx d dx y d 412222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=……. ------------- 4分 五、（8分）1）⎰-+x x e e dx ⎰+=xxede 21-------------------------------- 4分 C e x+=arctan -------------------------------- 4分2）. 解: ⎰⎰⎰⎰+=+=ππππ002200222]2cos [2122cos 1cos xdx x dx x dx x x xdx x ………2分 （第一个积分1分；第二个积分3分）⎰⎰⎰-==ππππ22122122122sin 0|2sin 2sin 2cos xdx x x x d x xdx x ………3分=⎰⎰=-=ππππ0022121212cos 0|2cos 2cos xdx x x x xd4361ππ+=∴原式 ……………………………………3分 注：本题主要考察学生对分部积分的内容的掌握情况。
工科数分(上) 2007-2008 第一学期期末考试参考答案(08-01-24)
1
=
1
1
dx = 2 1+ x = 2( 2 −1).
0 1+ x
0
………………5 分
3
2. lim x 2 ( x + 1 + x −1 − 2 x ) x→+
1
解:
当 x 充分大时,
利用 1+
1 2 的带有佩亚诺型余项
x
1 x2
的麦克劳林公式
1
x +1 =
x1+ 1 2 = x
x f (t)dt − a |=| 1
x
( f (t) − a)dt | 2 ，
x0
x0
所以
lim 1
x
f (t)dt = a .
x x→+ 0
………8 分
八、 （本题满分 10 分）
用 Dirichlet 判别法判别级数 (1+ 1 + + 1 ) sin nx , x (0, ) 的敛散性?
（如是收敛的一般项级数，需明确是绝对收敛还是条件收敛）
1. ( 1 − ln n + 1)
n=1 n
n
（比较判别法）
解：
因为 ln
n +1 n
=
ln(1 +
1) n
=
1 n
−
1 2n 2
+
o(
1 n2
) ，且 ln
n +1 n
1 n
，
………2 分
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A
所以
0
an
=
1 n
2007-2008(1)高等数学试题(A卷)(90)
).
A. 1;
B. 2 ; 3
C. - 3 ; 2
D. 0 .
学号
第 1 页 共 6页
3. 若 f (x) 在 x = a 处可导, 则 lim f (a + x) - f (a - x) = (
).
x®0
x
A. f ¢(a) ;
B. 2 f ¢(a) ;
C. 0 ;
D. f ¢(2a) .
4. 曲线 y = x sin 1 有一条(
二．选择题 (每小题 3 分, 本大题满分 15 分)
1. 函数 y = ln sin x 在区间[p , 5p ] 上满足罗尔定理的x = (
).
66
A. 0 ;
B. p ; 6
C.
p
;
2
D. 5p . 6
1
2. 当 x ® 0 时, (1+ ax2 )3 -1与 cos x -1 是等价无穷小, 则 a = (
学院
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A卷
广州大学 2007-2008 学年第一学期考试卷
课 程：高等数学（90 学时）
题次 一 二 三 四 分 数 15 15 12 18 得分 评卷人
考 试 形 式： 闭卷 考试
五 六 七 八 总分 18 7 5 10 100
专业班 级
姓名
一．填空题（每小题 3 分，本大题满分 15 分）
处连续.
3．曲线 y = 2 sin x + x2 上横坐标为 x = 0 处的法线方程为__________________.
4．设 f (x) 可导, y = f (x2 ) , 则 y¢ = ____________.
5．曲线 y = xe-x 在区间__________内是凸的, 拐点为__________.
()高等数学试题(A卷)()(00001)
广州大学2006-2007学年第一学期考试卷 课 程：高等数学（54学时） 考 试 形 式： 闭卷 考试一．填空题 (每小题3分, 本大题满分15分) 1. 10lim(1)x x x →-=_______. 2．=++∞→x x x x cos 122lim 2_______. 3. 曲线2x y =在点)4,2(处的切线方程为_________________. 4. 函数2x e y -=的渐近线为_________.5. 曲线233x x y -=的拐点坐标为_________.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分) 1．下列函数为偶函数的是（ ）.(A) x x cos ; (B) 1+x ; (C) 12+x ; (D) x x cos +.2. 当0→x 时, 11-+x 是2x 的( )无穷小. (A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶但不等价; (D) 等价.3．函数)(x f 在点0x 处有定义,是函数)(x f 在点0x 处连续的( ).(A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件.4. 函数||y x =在点0=x 处（ ）.(A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微.学院专 业班级姓名学 号5. 设⎰+-=C x dx x f sin )(, 则=')(x f ( ).(A) cos x -; (B) x sin -; (C) x cos ; (D) sin x .三．解答下列各题(每小题6分，本大题满分18分) 1. 112-=x y , 求y ''.2. 设)(ln x f y =, 其中)(x f 可微, 求dy .3. 设)(x y 是由方程2=+-x y e xy e 所确定的隐函数, 求0|=x dx dy .四．计算下列极限(每小题6分，本大题满分12分) 1. 0sin lim (1cos )x x x x x →--. 2．x x x ln 12)1(lim ++∞→.五．计算下列积分(每小题6分，本大题满分24分) 1. dx x x )3(-⎰.装订线内不要答题2. ⎰dx x x )1(sin 2+.3. 22ln(1)x dx x +⎰.4.dx x x ⎰+31.某厂生产x 件产品的成本为 21()2500020040C x x x =++(元). 问 (1) 若使平均成本最小, 应生产多少件产品?(2) 若产品以每件500元售出, 要使利润最大, 应生产多少件产品?装 订 线 内 不 要 答 题证明: 当0x >时,221)1ln(1x x x x +>+++.。
2007-2008(1)线性代数试题A卷解答
广州大学2007-2008学年第一学期考试卷线性代数A 卷参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．设A 为3阶方阵，且||4A =, 则|2|A =322．设1234⎛⎫= ⎪⎝⎭AB , 则T T1324⎛⎫= ⎪⎝⎭B A3．已知200*220421⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则1100110210.5-⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭A4．n 元齐次线性方程组=Ax 0的解空间的维数等于()n R -A5．若2阶方阵A 满足方程256-+=A A E O ，且A 的两个特征值不相等, 则||=A 6二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1．设123,,ααα为3维列向量, 且123|,,|4ααα=, 则1322|2,23,|-=αααα( B ). (A) 16； (B) 16-； (C) 24 (D) 24-.2. 二次多项式281175413561081x x ---中2x 项的系数是( D ).(A) 7； (B) 7-； (C) 5 (D) 5-.3. 设,,A B C 均为n 阶方阵, 且ABC E =, 则必有( A ).(A) BCA E =; (B) BAC E =; (C) CBA E =; (D) ACB E =.4. 矩阵方程=AX B 有解的充分必要条件是( C ). (A) ()(,)R R <A A B ; (B) ()(,)R R <B A B ;(C) ()(,)R R =A A B ; (D) ()(,)R R =B A B .5. 若向量组1,,ααm 线性相关, 且110ααm m k k ++= , 则( D ). (A) 1,,m k k 全为0; (B) 1,,m k k 全不为0; (C) 1,,m k k 不全为0; (D) 前述情况都可能出现.三．（本题满分8分）计算行列式0000a b ca b cD b a c c a b =.解 000a b c a b c a b c b cD a b c a c a b c a b ++++=++++……………………………………………….3分000000000a b c a b c a b c++-=--…………………………………………..6分 ()abc a b c =-++……………………………………………………..8分四．（本题满分10分）设1200010000240012⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求8A . 解 令11201⎛⎫= ⎪⎝⎭A , 22412⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,21121214010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A , 41141418010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A , 811818116010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ,……………………………………..4分 22224248164121248⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A ,422222322222()(4)44====A A A A A ,8423262722222()(4)44====A A A A A ,………………………………8分 881151682141511600010000220022⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A O A O A (10)分五．（本题满分10分）设12341314(,,,)431010561114⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααα, 求向量组1234,,,αααα的秩和一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.解 化矩阵1234(,,,)αααα为行最简形:1234(,,,)αααα1314~09660966⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭103222~01330000⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪⎝⎭……………..4分 向量组1234,,,αααα的秩为2, …………………………………………………….6分一个最大无关组为12,αα, …………………………………………………………8分 且有 312233=-ααα, 412223=+ααα………………………………………10分六．（本题满分10分）已知矩阵3000130011301113⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 解矩阵方程2=+AX X A . 解 由 2=+AX X A ,得 (2)-=A E X A ,…………………………………………………….2分因 10001100211101111⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E , |2|1,-=A E 所以2-A E 可逆, 于是 1(2)-=-X A E A …………………………………...5分利用 1(2,)(,(2))r--−−→-A E A E A E A 求1(2)-=-X A E A :1000300011001300(2,)1110113011111113⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E A 10003000010023000010023000010023r ⎛⎫ ⎪-⎪−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭ 3000230002300023⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭X ………………………………………………...10分七．（本题满分12分）求方程组12341234123432434537761171513x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩的通解.解 化增广矩阵为行最简形:13243(,)4537761171513--⎛⎫⎪=-- ⎪--⎝⎭A b …………………………………..2分13243~0759507595--⎛⎫⎪-- ⎪--⎝⎭…………………………………………4分 61177759577710~0100000--⎛⎫ ⎪-- ⎪⎝⎭………………………………………….6分 同解方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=--757975767171432431x x x x x x ……………………………………….8分令13k x =，24k x =，得通解为121234116777595777100010x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中21,k k 为任意实数……………...12分八．（本题满分12分）已知矩阵9226A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1) 求矩阵A 的特征值和特征向量;(2) 求可逆矩阵P , 使1P AP -为对角矩阵.解 (1) 92||26λλλ--=-A E (5)(10)λλ=-- A 的特征值为15λ=，210λ=……………………...…………………………...5分当15λ=时，解 (5)0-=A E x ，得基础解系112⎛⎫= ⎪-⎝⎭p ，对应于特征值15λ=的全部特征向量为11k p （01≠k ）……………………….7分 当210λ=时，解 (10)0-=A Εx ，得基础解系221⎛⎫= ⎪⎝⎭p ，对应于特征值210λ=的全部特征向量为22k p （02≠k ）……………………9分 (2) 取1221⎛⎫=⎪-⎝⎭P , 则150010-⎛⎫= ⎪⎝⎭P AP …………………………………..12分九．（本题满分8分）设η是非齐次线性方程组=Ax b 的一个解, 1,,n r -ξξ 是=Ax 0的一个基础解系. 证明 1,,,n r -++ηηξηξ 线性无关.证明 设存在一组数1,,,n r x x x - , 使11()()0n r n r x x x --+++++=ηηξηξ (1)即 111()0n r n r n r x x x x x ---++++++=ηξξ (2)..................2分 由题设=A ηb , (1,,)0i i n r ==-A ξ , 用矩阵A 左乘(2)的两边, 得1()0n r x x x -+++=b因0≠b , 得10n r x x x -+++= (3)…………..5分代入(2)得110n r n r x x --++=ξξ因基础解系 1,,n r -ξξ 线性无关, 所以10n r x x -===代入(3)得 0x =.因此(1)只有零解, 从而1,,,n r -++ηηξηξ 线性无关………………………..8分。
广州大学高数考试卷
广州大学2006-2007学年第一学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．=∞→xxx sin lim 02．设函数(ln )y f x =, 其中()f x 可微, 则d y =(ln )d f x x x'3．曲线sin y x =上点(0,0)处的切线斜率为=k 14．设()xf x xe =, 则(2006)()fx =2006x x xe e + 5．质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于 0.5 米.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量(1)x -是2(1的( C ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小. 2. 0x =是函数1arctany x=的( B )间断点. A. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡.3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( A ).A. ];3,2[,65)(2∈+-=x x x x f B . ];2,0[,)1(1)(32∈-=x x x fC. ];1,0[,)(∈=x e x f xD. ].1,1[,)(-∈=x x x f4. 设函数()y y x =的导函数为cos x ，且(0)1y =，则()y x =( D ). A. cos x ; B. sin x ; C. cos 1x +; D. sin 1x +.5. 若22001()d ()d 2axf x x f x x =⎰⎰，则a =( A ). A. 4; B. 2; C.12; D. 1. 三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．21sin ()xe y x -=，求y '. 解：112sin (sin )x x e e y x x --''=⋅。
07-08数学分析答案
07-08数学分析答案暨南⼤学考试试卷⼀、单选题（每⼩题2分, 共8分）1. 设{}n a 为⼀数列, 且lim 0.n n a →∞=以下结论中不成⽴的是（ b ）.(a) 存在正数,M 使对⼀切正整数n 有||n a M ≤;(b) 若存在正整数0,N 使当0n N >时有0,n a < 则lim 0n n a →∞<;(c) 任取{}n a 的⼦列{},k n a 则lim 0k n k a →∞=;(d) lim ||0n n a →∞=.2. 设变量α是当0x x →时的⽆穷⼩量, 则下列结论（ c ）成⽴.(a) α是⼀个很⼩的数; (b) α可取任意⼩数;(c) 当0x x →时, sin αα为α的⾼阶⽆穷⼩量; (d) sin αα与α是当0x x →时的等价⽆穷⼩.3. 设11,1(),1x x x f x e x --≤?=?>?, 则1x =是f 的（ c ）.(a) 连续点; (b) 可去间断点; (c) 跳跃间断点; (d) 第⼆类间断点. 4. 设()||f x x =, 则对曲线()y f x =成⽴以下结论（ d ）.⼆、填空题（每空1.5分, 共15分）1. 设(1){1|1,2,}2nn S n -=+=, 则 inf S = 1/2 , sup S = 5/4 .2. sin limx xx→∞= 0 .3. 令1(),1f x x=+ 则f 在1x =处带有佩亚诺型余项的泰勒公式为 2231111 1(1)(1)(1)(1)(1)((1))2222n nnn f x x xo x+=--+-++--+- 4. 设2()1(3),(3)xf x x x =+>-+ 则函数f 的严格递增区间为（-3,3） ,极值点为x = 3 , 最⼤值为 13/12 , 其对应的曲线的渐近线为1 3.y x ==-⽔平渐近线和竖直渐近线5. 函数y 的严格凹区间为 (0,) +∞, 其对应的曲线的拐点为(0,0)三、判断题（若正确的命题请给予证明,错误的命题请举出反例并作必要的说明）（每⼩题6分, 共12分）设12,[,]x x a b ∈，则2212121212121212()()()2(),f x f x x x x x x x x x x x a b x x -=-=+?-≤+?-≤+- 所以，对任给的0,ε>取,2()a b εδ=+则当12,[,]x x a b ∈且12x x δ-<时，就有12()()f x f x ε-<,故()f x 在[,]a b 上⼀致连续.2. 设函数f 在0x 点可导, 则f ⼀定在0x 的某邻域内可导. 解：此命题是错误的.举⼀个反例如下: 2()(),f x x D x =其中()D x 为狄利克雷函数.因为()(0)()0, ( 0) 0f x f xD x x x -=→→-故f 在0x =可导.取01ε=,对0x =的任意δ邻域(不论正数δ多⼩),任取0(0,),x U δ∈00,x ≠存在有理数列{}n x 和⽆理数列{}n x '，满⾜0();n x x n →→∞0()n x x n '→→∞，但220(),()()0n n n f x x x n f x =→→∞'=200x ≠，故f 在0x =的任意δ邻域均不连续，所以f 不可导.四、计算题（每⼩题5分, 共45分）（1）设21ln(1),2y xarctgx x 2=-+ 求y '.解: y '=21()(ln(1)2xarctgx x 2''-+=22222111()(1)1()21arctgx x x x x x2''+??-?+++222111221()21arctgx x x x x x 2=+?-++2=+-++（2）设22()(1)u x y x =+（其中()u u x =为可微函数），求dy .解：222222()()ln(1)()ln(1)22((1))()(()ln(1))u x u x x u x x dy d x d e ed u x x ++=+==+22()2222(1)[()(l n (1))l n (1)(())]u x x u x d x x d u x =++++ 22()2222(1)[()l n (1)()()].1u x x x u x x u x u x dx x'=++++（3）设函数()y y x =是由参数⽅程33cos sin x ty t==所确定, 求dy dx 及24t d y π=. 解：32 32(sin )3sin cos sin tan (cos )3cos (sin )cos dy dy t t t tdt t dx dx t t t tdt'?====-=-'?-； 222324(tan )sec 1所以224t d y dx π==（4）设21,0(),xx x x f x e x ?++≥?=?解：当0x >时，()()21,()2,()0(3);k f x x f x f x k '''=+=≡≥当0x <时，()()(1).k x f x e k ≡≥ 当0x =时，由左右导数定义可求得(0)(0)(0)1,f f f +-'''===⽽当2k ≥时,()(0)k f 不存在,整理后得21, >0,()1, =0,, <0,x x x f x x e x ?+?'=2, >0, (), =0,, <0,x x f x x e x ??''=不存在当3n ≥时,()()()()0(0),()(0),(0)k k x k f x x f x e x f =>=<不存在.2. 求极限（1）222lim()21222n nnnn n n n→∞++++++;解:因为22222222222212222121n n n n nlim lim 222n n n n n n n n →∞→∞==++, 所以由迫敛性,得2221lim().212222n nnn n n n n →∞+++=+++（2）20ln(1)cos lim 1x x x xe tgx →+++;解:因为函数在0x =连续,故2200ln(1)cos ln(10)cos001lim 1.11010x x x x e tgx e tg →+++++===+++（3）011lim()1x x x e →--;解:这是⼀个∞-∞型不定式极限,通分后化为0型的极限,即000011111lim()lim lim lim .1122x x x x x x x x x x x x x e x e e x e xe x e xe e xe →→→→----====--+-+（4）12sin 0lim(1)xx x →+;解:这是⼀个1∞型不定式极限.作恒等变形211ln(1)2sin sin (1)x xx其指数部分的极限201limln(1)sin x x x →+是00型不定式极限,可先求得220012101lim ln(1)lim 0,sin cos 1x x x x x x x →→?++===从⽽得到120sin 0lim(1)1.xx x e →+==（5）2221lim()1n n n n →∞-+.解:先求函数极限22222221(1)1lim()lim ,11(1)x x x x x x x x x→∞→∞--=++ 由于2222111lim(1)lim 1(1)x x x xx e x→∞→∞--==-且221lim(1)x x e x →∞+=,故 2222222211lim(1)11lim()11lim(1)x x x x x x x x e x e e x→∞→∞→∞--===++,由归结原则,可得222211lim()1n n n n e →∞-=+.五、证明题（第1、2⼩题每题6分, 第3⼩题8分,共20分）1. ⽤N ε-定义证明222312222231515621n n n n n n n n n n n n ++++-=≤=----，所以，任给0,ε>取6[]1,N ε=+则当n N >时，有222312,n n n nε++-<-故22231lim 2.n n n n n →∞++=-2. 设2()1xf x x =+, ⽤εδ-定义证明函数f 连续. 解:易见函数定义域为,R 任取0,x R ∈不妨设01,x x -<0000222200()(1)()()11(1)(1)x x xx x xf x f x x x x x ---=-=++++001x x xx ≤-?-00000(1)(1(1))x x x x x x x x ≤-+?<-++?200(1),x x x ≤-+ 故对任给0,ε>取20min{1,},(1)x εδ=+则当0x x δ-<时,0()(),f x f x ε-<即()f x 在0x 点连续.由0x 的任意性知, f 在R 上连续.3. 设函数g 在闭区间[,](0)a b a b <<上连续, 在开区间(,)a b 内可导, ()0,g a <()0,g b <且存在(,)c a b ∈使()0.g c > 证明: ⾄少存在⼀点(,)a b ξ∈使()()0.g g ξξξ'+=证明:因为函数g 在闭区间[,][,](0)a c a b a b ?<<上连续,且()0,g a <()0,g c > 由零点定理知,存在1(,),a c η∈使得1()0.g η=同理, 因为函数g 在闭区间[,][,](0)c b a b a b ?<<上连续,且()0,g c >()0,g b <由零点定理知,存在2(,),c b η∈使得2()0.g η=构造12[,]ηη上的辅助函数()()G x xg x =,易见()G x 在闭区间12[,]ηη上连续,在开区间12(,)(,)a b ηη?上可导,且111222()()0,()()0,G g G g ηηηηηη====由罗尔定理,可得⾄少存在⼀点12(,)(,),a b ξηη∈?使得()0G ξ'=,即。
08级数学分析上期末试卷A001
计算机科学技术学院《数学分析（上）》期末考试试卷A 卷 共 7页课程代码：1204。
01-02考试形式：□开卷√闭卷 2009 年 1月（本试卷答卷时间为120分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效）专业学号姓名成绩一、严格表述题（10%） 1. “A x f x x =→)(lim 0”的否定说法。
2. 函数)(x f y =在点0x 可微分。
3. 广义积分⎰+∞adx x f )(收敛。
二、判断简答题（30%，每题6分，答“对”的，请简要证明；答“错”的，请举反例并简要说明。
）1. 假设{n a }是严格单调增加数列，{n b }是严格单调减少数列，且)1(≥<n b a n n ，则φ≠∞=),(1n nn b a（即存在),(1n n n b a ∞=∈ξ）。
2. 假设))((~)(01x x x u x u →，即1)()(lim10=→x u x u x x ，))((~)(01x x x v x v →，则有)(~011x x u u vv →。
3. 假设)(x f 在]1,0[上连续，则)0(2)(lim1220f dx x f xh h h π=+⎰+→三、极限计算题（12%）1. 3111)1())((limx dtds s f t xtx -⎰⎰→其中)(x f 在1=x 的某领域内可导，且0)1(=f ，3)1(='f 。
四、导数与微分计算题（20%）1. ⎩⎨⎧-'='=)()()(t t t y t x ϕϕϕ其中函数ϕ在),(+∞-∞上具有二阶导数且0)(≠''t ϕ，求y y ''',。
2. 设65122+-++=x x x x y ，求)(n y 。
3. 设隐函数方程0ln sin 2=+y x x y ，求y d dy 2,。
4. 设86435)12()4()4()1(+-+-=x x x x x y ，求y '。
2007年数学分析试卷
2007年数学数学分析 试卷一、判别题：(1) 设D 是一个单连通开区域，000(,)P x y D ∈，(,)P x y ,(,)Q x y 在D 内连续，P y∂∂，Q x ∂∂在0\D P 上连续且相等，C 是一条不经过0P 的光滑闭曲线，其方向为逆时针方向，则第二型曲线积分 (,)d (,)d 0CP x y x Q x y y +=⎰ 。
(2) 设()f x ，()g x 在区间],[b a 上连续可微，)()(b g a g ≠，那么存在),(b a ∈ζ.)(')(')()()()(ζζg f a g b g a f b f =-- (3) 设∑∞=1n n u 收敛， 那么nu n n ∑∞=1也收敛。
(4) 函数1sin ,0()1,0x x x f x x -⎧≠=⎨=⎩ 是否有原函数。
二、计算题： (1) 6220)sin(sin lim x x x x -→。
(2) ,222dxdy zx dzdx yz dydz xy S ⎰⎰++ 其中S 为圆柱面221x y +=，0x ≥，0y ≥，01z ≤≤，且S 的法方向与x 轴的正向成锐角。
(3) 设11n I x =⎰，试求极限lim n n I →∞以及lim n n n I →∞⋅。
(4) 求函数22)(),(y x e y x y x f --+=在平面上的最大值与最小值（要求说明理由）。
(5) 设[0,1][0,1]D =⨯，求函数⎰⎰-+=D dxdy t y x t f ||)(。
三、证明题：(1) 对于任意正整数n ，集合n A 是一个有限集合，并且当m n ≠时，m n A A φ⋂=。
令1(),n f x x A n=∈， ()0,n f x x A =∉。
求证：对于任意0x ，0()0lim x x f x →=。
(2) 求证：2arctan ,021x x x x π+<>+。
人教A版数学必修一广州市08第一学期期中考试十校联考数学试题.docx
第4题高中数学学习材料唐玲出品2007学年第一学期期中考试十校联考高一数学试题试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知集合M ={}2x y y =，用自然语言描述M 应为（ ） A.函数2y x =的值域 B.函数2y x =的定义域 C.函数2y x =的图象上的点组成的集合 D.以上说法都不对 2．下列四组函数中表示同一函数的是（ ）A.x x f =)(，2()()g x x =B.()221)(,)(+==x x g x x fC.2()f x x =，()g x x = D.()0f x =，()11g x x x=-+-3．一元二次不等式0652>+-x x 的解集是（ ）A.{}|16x x x <->，或B.}{61<<-x xC.{}|23x x x <>，或D.}{32<<x x4. 如图所示，U 是全集，A 、B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. A B B.()U B C AC. AB D.()U AC B5．下列四个函数中是R 上的减函数的为（ ）A.xy -⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 B.2log 2x y -= C.11+=x y D.2y x =6．函数f （x ）=⎩⎨⎧≥-<-)2()1()2(2x x f x x ，则(2)f =（ ）A.1-B.0C.1D.27．如果函数2()f x x bx c =++对任意实数均有()()f x f x -=，那么（ ） A.(2)(1)(3)f f f -<< B.(3)(2)(1)f f f <-< C.(2)(3)(1)f f f -<< D.(1)(2)(3)f f f <-<第9题图8．生产计算机的成本不断降低，若每3年计算机价格降低13，那么现在价格 为8100元的计算机，9年后的价格可降为（ ） A.2400元 B.2700元 C.3000元 D.3600元9．如图给出了函数(1),log ,log ,x a a y a y x y x +===2(1)y a x =-的图象，则与函数(1),log ,log ,x a a y a y x y x +===2(1)y a x =-依次对应的图象是（ ）A.①②③④B.①③②④C.②③①④D.①④③②10．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x =-，那么不等式0)(<x f 的解集是（ ） A. {}20<<x xB. {}2-<x xC. {,02<<-x x 或}20<<xD. {,2-<x x 或}20<<x二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．设}{3,2,1=A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=3,2,1,21,31,0B ，从A 到B 的映射是“求倒数”，与A 中元素3相对应的B 中的元素是 * ． 12． ===12lg ,3lg ,2lg 则已知b a* （用,a b 表示）．13．若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在(]4,∞-上是单调递减的，则实数a 的取值集合是 * ． 14．对于函数)(x f 中任意的21,x x )(21x x ≠有如下结论：（1）=⋅)(21x x f )()(21x f x f +；（2）=+)(21x x f )()(21x f x f ⋅； （3）())(111x f x f =-（4）()0111<-x x f ()01≠x ；（5）.0)()(2121>--x x x f x f 当xx f 2)(=时，上述结论中正确结论的序号是 * ．三、解答题（本大题共6小题，共64分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 15．（本小题满分10分）已知集合{}36A x x =≤<，{}29B x x =<<． （1）分别求()R C AB ，()R C B A ；（2）已知{}1+<<=a x a x C ，若B C ⊆，求实数a 的取值集合．16．（本小题满分10分）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，已知0≥x 时，x x x f 2)(2-=． （1）画出偶函数)(x f 的图象；y（2）根据图象，写出)(x f 的单调区间；同时写出函数的值域．17．（本小题满分10分） 已知函数()111)(≠-+=x x x x f ． （1）证明)(x f 在()+∞,1上是减函数；（2）当[]5,3∈x 时，求)(x f 的最小值和最大值．18．（本小题满分10分）已知函数()(),0(,1log )(,1log )(>-=+=a x x g x x f a a 且)1≠a ．（1）求函数)()(x g x f -定义域；判断函数)()(x g x f -的奇偶性，并予以证明； （2）求使0)()(>-x g x f 的x 的取值范围．19． （本小题满分12分）某商品在近30天内每件的销售价格P 元和时间)(N t t ∈的关系如图所示． （1）请确定销售价格P （元）和时间t （天）的函数解析式；（2）该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的关系是：40(030,)Q t t t N =-+≤≤∈，求该商品的日销售金额y （元）与时间t （天）的函数解析式；（3）求该商品的日销售金额y （元）的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天？(注：日销售金额=日销售量⨯销售价格)20．（本小题满分12分）函数xx f 2)(=和3)(x x g =的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点 ()11,y x A ，()22,y x B ，且21x x <．（1）请指出示意图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函数? （2）证明：[]2,11∈x ，且[]10,92∈x ；（3）结合函数图象的示意图，判断(6)f ，(6)g ，(2007)f ，(2007)g O25 30 t(天)P(元)75 7044 19 。
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广州大学 2007---2008学年第 一 学期考试卷
课程 《数学分析》 考试形式（闭卷，考试）
学院 数学与信息科学 系 专业 班级 07级 学号 姓名
一、填 空 题 （2分 / 题，共10分）
1、lim
n →∞
= ；()
1000
lim
1.00000001n
n n
→∞
= 。
sin 2lim
x x x
→∞
、= ；()
sin sin lim ln 1sin x x
x →=+ 。
22
sin 3()tan x f x x
=
、若 ，则x =0 为()f x 的 间断点（填第一或第二类型）。
4、Rolle 定理的内容是：。
5、0
100001
lim x
x x
→-= 。
二、单项选择题 （3分/题，共15分）
1、1, 0
(), 0x e x f x a x ⎧+≠=⎨=⎩
若，则当a = 时，()f x 在x =0处连续。
A 、1
B 、1/2
C 、－1/2
D 、2
20000000().
()()()()()()()().
x x 、下列结论正确的是、若在连续，则必存在；
、若在不可导， 则在不连续；、若在不可微，则lim 不存在；
、若在不连续，则在必不可导A f x x f x B f x x f x x C f x x f x D f x x f x x →' 3、设 S 为非空有界数集， 下列结论错误的是 （ ）
A 、sup 、infS 必存在；S
B 、sup inf 是的最大上界，是的最小下界；S S S S
C 、in f S 可能不属于S ；
D 、m ax sup 若存在，则一定存在S S 。
40
00
0(
).
()lim
1,()~(),();
()
lim ()、下面结论正确的是、无穷大量是一个很大的数；、无界函数一定是无穷大量；、若则1、若f (x )=，则
在某内必存在上、下确界.
f (x )
x x x x A B f x C f x g x x x g x D U x →→=→∞
5、下列叙述错误的是 。
A 、()若f x 在0x 连续，则0
lim ()x x f x →=0()f x ；
B 、若0
lim ()x x f x →存在，则()f x 在0x 必有定义；
C 、若0()f x '存在，则00(0)(0)f x f x +-、存在且相等；
D 、000()()()f x f x f x x +-''若、存在，则必在连续.
三、计算题（6分/题，共36分）
11lim (1)
、求n n →∞
⎛⎫+
++
+⎝
()21
1ln lim ln 、求x x e
x -→
3()ln
、设f x =0'()"()求及。
f x f
4、若,f g 均可微，()()
x
g x y f e
e
y =求的微分d 。
5、
sin d ()d x
y y x x
x
=求的导数。
6lim
x →、计算.
四、应用题 （8分）
已知平面曲线2
3
1,x t
y t t
⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t
为参数），求该曲线在点1t =处的切线方程与法线方
程.
五、证明题 （4小题，共31分）
1、证明：()f x =
[0,)+∞上一致连续。
（7分）
20--ln
,b a b b a a b b
a
a
<<
<<、用Lagrange中值定理证明不等式
其中（8分）
3、证明:在[-1，1]上，arcsinx+arccosx 2
π
≡
.（8分）
46 (8cos .、证明当时，极限不存在分）x y x →+∞=。