2010高三一模-宣武-理数学

北京市宣武区2009—2010学年度高三第二学期第一次质量检测数 学 试 题（理）2010．4本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1．设集合3.022},032|{=≤-=m x x x P ，则下列关系中正确的是 （ ）A ．P m ⊂B ．P m ∉C ．P m ∈}{D ．}{m ≠⊄2．设平面向量|3|,//),,2(),2,1(b a y +-==则若b a b a 等于（ ）A ．5B ．6C ．17D ．26 3．若复数z 满足,21i iz=+ 则z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．设函数,)21()(23--=x x x f 则其零点所在的区间为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）5．若}{n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且32211π=S ，则6tan a 的值为 （ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．33-6．若椭圆122=+n y m x 与双曲线q p n m qy p x ,,,(122=-均为正数）有共同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则||||21PF PF ⋅等于（ ）A ．2m p -2B ．m p -C ．p m -D ．22p m -7．某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三级，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是,451则该单位员工总数为（ ）A ．110B ．100C ．90D80．8．设函数)(x f y =的定义域为R +，若对于给定的正数K ，定义函数⎩⎨⎧>≤=,)(),(,)(,)(K x f x f K x f K x f K ，则当函数1,1)(==K x x f 时，定积分⎰241)(dx x f k 的值为（ ）A ．2ln2+2B ．2ln2-1C ．2ln2D ．2ln2+1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是 .10．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 cm 3.11．若A ，B ，C 是⊙O 上三点，PC 切⊙O 于点C ， ︒=∠︒=∠40,110BCP ABC ，则AO B ∠的大小为 .12．若直线03:=-y x l 与曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=ϕϕsin 2cos 2:y a x C（ϕ为参数，0>a ）有两个公共点A ，B ，且|AB|=2，则实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .13．若A ，B ，C 为ABC ∆的三个内角，则CB A ++14的最小值为 . 14．有下列命题：①若)(x f 存在导函数，则;)]'2([)2('x f x f =②若函数;)]'2([)12(',sin cos )(44x f h x x x h =-=π则③若函数)2100)(2009()2)(1()(----=x x x x x g ，则;!2009)2010('=g ④若三次函数,)(23d cx bx ax x f +++=则"0"=++c b a 是“)(x f 有极值点”的充要条件.其中真命题的序号是 .三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题共13分）已知函数.cos sin )32cos()(22x x x x f -+-=π（I ）求函数)(x f 的最小正周期及图象的对称轴方程； （II ）设函数),()]([)(2x f x f x g +=求)(x g 的值域.16．（本小题共13分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，E AD BC PB PA .21===为AB 中点，F 为PC 中点. （I ）求证：PE ⊥BC ；（II ）求二面角C —PE —A 的余弦值；（III ）若四棱锥P —ABCD 的体积为4，求AF 的长.17．（本小题共13分）某公司要将一批海鲜用汽车运往A 城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，或多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公（I ）记汽车走公路1时公司获得的毛利润为ξ（万元），求ξ的分布列和数学期望;ξE （II ）假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？（注：毛利润=销售收入-运费）18．（本小题共13分）已知函数).,()1(31)(223R ∈+-+-=b a b x a ax x x f （I ）若x=1为)(x f 的极值点，求a 的值；（II ）若)(x f y =的图象在点（1，)1(f ）处的切线方程为03=-+y x ，（i ）求)(x f 在区间[-2，4]上的最大值；（ii ）求函数)(])2()('[)(R ∈+++=-m e m x m x f x G x的单调区间.19．（本小题共14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为.36（I ）若原点到直线0=-+b y x 的距离为,2求椭圆的方程； （II ）设过椭圆的右焦点且倾斜角为︒45的直线l 和椭圆交于A ，B 两点. （i ）当3||=AB ，求b 的值；（ii ）对于椭圆上任一点M ，若μλ+=，求实数μλ,满足的关系式.20．（本小题共14分）已知数列}{n a 满足11=a ，点),(1+n n a a 在直线12+=x y 上. （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）若数列}{n b 满足),2(111,*12111N n n a a a a b a b n n n ∈≥+++==-且 求11)1(+++-n n n n a b a b 的值；（III ）对于（II ）中的数列}{n b ，求证：n n b b b b b b 2121310)1()1)(1(<+++).(*N n ∈参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且仅有一个符合题目要求的） 1—4 DABB 5—8 CCBD二、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分） 9．0.12 10．6 11．60°12．02cos 4,22=+-θρρ13．π914．③三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题满分13分）解：（I ）x x x x x f 22cos sin 2sin 23221)(-++=)62sin(2cos 2sin 232cos 21π-=-+=x x x x ∴最小正周期ππ==22T 由)(262Z k k x ∈+=-πππ，得)(32Z k k x ∈+=ππ 函数图象的对称轴方程为).(32Z k k x ∈+=ππ …………7分（II ）.41]21)62[sin()62sin()62(sin )()]([)(222-+-=-+-=+=πππx x x x f x f x g 当21)62sin(-=-πx 时， )(x g 取得最小值41-，当1)62sin(=-πx 时，)(x g 取得最大值2，所以)(x g 的值域为].2,4[1-…………13分16．（本题满分13分）解：（I ）ABCD BC ABCD PA 平面平面⊂⊥, ∴PA ⊥BC,90︒=∠ABC AB BC ⊥∴∴BC ⊥平面PAB又E 是AB 中点， ⊂∴PE 平面PAB ∴BC ⊥PE.…………6分（II ）建立直角坐标系,1,=-AB xyz A 设则B （1，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1），)0,0,21(E)0,1,21(),1,0,21(),0,1,0(=-==∴由（I ）知，BC ⊥平面PAE ，∴是平面PAE 的法向量.设平面PEC 的法向量为),,,(z y x n = 则00=⋅=⋅n n 且)1,1,2(,21,21-==-=∴n x z x y,66||||||cos =⋅=∴BC n θ 二面角C —PE —A 的余弦值为.66- …………10分（III ）连结BC ，设AB=a ，2,4222313=∴==⨯⨯+⨯=-a a a a a a V ABCDP PAC ∆ 是直角三角形， .321==∴PC AF…………13分17．（本题满分13分）解：（I ）汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润4.286.130=-=ξ万元 堵车时公司获得的毛利润4.2716.130=--=ξ万元 ∴汽车走公路1时获得的毛利润ξ的分布列为3.281014.271094.28=⨯+⨯=∴ξE 万元 …………6分（II ）设汽车走公路2时获得的毛利润为η万元不堵车时获得的毛利润2.3018.030=+-=η万元 堵车时的毛利润2.2728.030=--=μ万元 ∴汽车走公路2时获得的毛利润η的分布列为7.28212.27212.30=⨯+⨯=∴μE 万元 ηξE E <∴∴选择公路2可能获利更多. …………13分18．（本题洪分13分）解：（1）.12)(22-+-='a ax x x f 1=x 是极值点0)1(='∴f ，即022=-a a0=∴x 或2.…………………………………………………………3分 （2）))1(,1(f 在03=-+y x 上. 2)1(=∴f ∵（1，2）在)(x f y =上 b a a +-+-=∴13122 又11211)1(2-=-+-∴-=='a a k f38,10122===+-∴b a a a .2)(,3831)(222x x x f x x x f -='+-=∴ （i ）由0)(='x f 可知x =0和x =2是)(x f 的极值点.,8)4(,4)2(,34)2(,38)0(=-=-==f f f f )(x f ∴在区间[－2，4]上的最大值为8.…………………………8分 （ii ）x e m mx x x G -++=)()(2])2([)()2()(22x m x e m mx x e e m x x G x x x -+-=++-+='--- 令0)(='x G ，得m x x -==2,0当m =2时，0)(≤'x G ，此时)(x G 在),(+∞-∞单调递减当时G （x ）在（－∞，2，－m ），（0，+∞）单调递减，在（2－m ，0）单调递增. 当2<m 时：此时G （x ）在（－∞，0），（2－m+∞）单调递减，在（0，2－m ）单调递增，综上所述：当m=2时，G （x ）在（－∞，+∞）单调递减； 2>m 时，G （x ）在（－∞，2－m ），（0，+∞）单调递减，在（2－m ，0）单调递增； 2<m 时，G （x ）在（－∞，0），（2－m ，+∞）单调递减，在（0，2－m ）单调递增. ………………………………………………………………13分 19．（本题满份14分） 解：（1）222=∴==b b d 323622=∴==ac a c e22222324a a cb a =-∴=- 解得.4,1222==b a 椭圆的方程为.141222=+y x …………………………………………4分 （2）（i ）.232,3,36222222b a c b a c ===∴=椭圆的方程可化为：22233b y x =+ ①易知右焦点)0,2(b F ，据题意有AB ：b x y 2-= ②由①，②有：0326422=+-b bx x ③设),(),,(2211y x B y x A ， 33424244872)11()()(||222222212212==⋅=-+=-+-=b b b b y y x x AB 1=∴b …………………………………………………………8分（2）（ii ）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等OB OA OM μλ+=,成立. 设M （x ，y ），,,),,(),(),(21212211y y y x x x y x y x y x μλμλμλ+=+=∴+=又点M 在椭圆上，22212213)(3)(b y y x x =+++∴μλμλ ④由③有：43,22322121b x x b x x ==+ 则22121212121216)(234)2)(2(33b x x b x x b x b x x x y y x x ++-=--+=+ 0693222=+-b b b ⑤又A ，B 在椭圆上，故有222222212133,33b y x b y x =+=+ ⑥将⑥，⑤代入④可得：.122=+μλ………………………………14分20．（本题满分14分）解：（1）∵点),(1+n n a a 在直线12+=x y 上，,121+=∴+n n a a}1{),1(211++=+∴+n n n a a a 是以2为首项，2为公比的等比数列，).(12*∈-=∴N n a n n ………………………………………………3分（2）2(111121≥+++=+n a a a a b n n n 且)*∈N n ， n n n n n n n n n a a b a b a a a a a b 1,11111112111+=∴++++=∴++-++ 2(0)1(11≥=+-∴++n a b a b n n n n 且)*∈N n ；当n =1时，.3)1(2112-=+-a b a b …………………………7分（3）由（2）知2211),2(1a b n a a b b n n n n =≥=+++ )11()11)(11(21nb b b +++∴ 11132211221111111111++-⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=+⋅⋅+⋅+=n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b b )111(221121111114332211n n n n n n n n a a a a b b a a a a a a a a b b b +++=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=++++- 2≥k 时，)121121(2)12)(12(2)12)(12(1212111111---=--<---=-+++++k k k k k k k k k 12131111121-+++=+++∴n n a a a 35)12131(21)]121121()121121[(211132<--+=---++---+<++n n n ， 310)11()11)(11(21<+++∴n b b b ， 即.310)1()1)(1(2121n n b b b b b b <+++…………………………14分。